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Tamer Bcherrawy

lectrocintique

Tamer BcherrawyMatre de confrences luniversit de Nancy

et formateur lIUFM de Lorraine

Cours + Exos

Dunod, Paris, 2008ISBN 978-2-10-053939-0

1 Notions de base 11.1 Charges lectriques 1

1.2 Champ lectrique 5

1.3 nergie et potentiel lectrostatiques 6

1.4 Conducteurs en quilibre et condensateurs 11

1.5 Champ dinduction et flux magntique 12

1.6 Loi dinduction et inductance 13

Points-cls 16

Questions de rflexion 16

Exercices corrigs 17

Solutions des exercices 20

2 Conductance et rsistance 252.1 Intensit et densit de courant 25

2.2 Modle phnomnologique de conduction, loi dOhm 28

2.3 Conduction et temps de collision 32

2.4 Effet Joule 33

2.5 Variation de la rsistivit avec la temprature, la supraconductivit 34

2.6 Conducteurs non ohmiques 37

2.7 Utilisations des rsistances 38

Points-cls 41




Table des matires

3 Courant alternatif 493.1 Courant sinusodal 49

3.2 Reprsentation trigonomtrique et reprsentation de Fresnel 51

3.3 Reprsentation complexe 53

3.4 Effet Joule et valeurs efficaces 59

3.5 Circuit oscillant LC 60

3.6 Circuit oscillant LCR 63

Points-cls 70




4 Diples 874.1 Dfinitions et reprsentations 87

4.2 Rgles de Kirchhoff 90

4.3 Impdance 92

4.4 Association des diples 95

4.5 Puissance lectrique dans les diples 99

4.6 Gnrateurs comme source de tension 103

4.7 Gnrateurs comme source de courant 107

4.8 Association des gnrateurs 108

4.9 Rcepteurs 111

4.10 Diples non linaires 114

Points-cls 117




5 Analyse des circuits 1315.1 Dfinitions 131

5.2 Circuit RLC forc 133

5.3 Rsonance dans le circuit RLC 135

5.4 Bilan dnergie en rgime permanent 138

5.5 Application des rgles de Kirchhoff 140

5.6 Analyse utilisant la superposition 143

IV Table des matires

5.7 Thormes de Thvenin et de Norton 145

5.8 Courants de mailles et rciprocit 148

5.9 Dualit 150

Points-cls 152




6 Rgimes transitoires 1676.1 Rgimes permanents et rgimes transitoires 167

6.2 Circuit RC 170

6.3 Circuit RL 173

6.4 Circuits RLC 175

Points-cls 177




7 Filtres 1877.1 Dfinitions 187

7.2 Fonction de transfert et bande passante 189

7.3 Quadriples en T 193

7.4 Rponse dun filtre un signal 197

7.5 Systmes non linaires 199

7.6 Annexe : Intgration complexe 200

Points-cls 202




Indications pour les questions de rflexion 217

Annexes 225

Index 229

Table des matires V

La page dentre de chapitre

Elle donne le plan du cours,ainsi quun rappel des objectifs pdagogiques du chapitre.

Le cours

Le cours, concis et structur,expose les notions importantesdu programme.

Les rubriques

Une erreur viter

Un peu de mthode

Un exemple pour comprendre

Les points cls retenir

Les exercices

Ils sont proposs en fin de chapitre,avec leur solution, pour se tester toutau long de lanne.

Comment utiliser le Mini-Manuel ?

3.1 COURANT S

INUSODAL

Un systme est prio

dique si toutes ses g

randeurs reprennent

les

mmes valeurs aux

instants spars par

un intervalle de tem

ps T ,

appel priode. La frqu

ence est le nombre d

oscillations compl-

tes par unit de temp

s. Elle est lie la p

riode par la relation

= 1/T .(3.1)

La priode est exprim

e ordinairement en

secondes (s) et la frquen

ce

en s1

. Cette unit de frqu

ence est appele aussi

Hertz (Hz.) Pour les

hautes frquences, on

emploie le kilohertz

(kHz = 103 Hz), mga-

hertz (MHz =106 Hz) et le

gigahertz (GHz = 10

9 Hz).

3

CH

AP

ITR

E

Courant

alternatif

3.1 Courant sin

usodal

3.2 Reprsentat

ion trigonomtriq

ue et reprsentat

ion de Fresnel

3.3 Reprsentat

ion complexe

3.4 Effet Joule e

t valeurs efficace

s

3.5 Circuit osci

llant LC

3.6 Circuit osci

llant LCR

PLA

N

tudes des lm

ents dun circuit e

n courant sinuso

dal et des oscilla-

tions propres dun

circuit.

OB

JEC

TIF

A =

A21 + A22 + 2A1 A2 cos(1 2)cos = (A1 cos 1 + A2 cos 2)/A ,sin = (A1 sin 1 + A2 sin 2)/A

(3.11)Les conditions initiales de u(t) sont des combinaisons linaires des

conditions initiales de u1(t) et u2(t) avec les mmes coefficients C1 et

C2. Cest le principe de superposition des solutions. La reprsentation

de Fresnel illustre bien cette proprit. Les vecteurs de Fresnel u1(t) et

u2(t), qui reprsentent u1 et u2, tournent autour de lorigine avec la

mme vitesse angulaire et forment entre eux un angle constant

(1 2). Leur somme u est la projection sur laxe Ox de la somme

vectorielle u1(t) + u2(t) . Cest un vecteur tournant avec la mme

vitesse angulaire , de module A et de phase t + .Un calcul go-

mtrique simple donne justement les relations (3.11). Le maximum de

lamplitude A est (A1 + A2) si u1 et u2 sont en phase (1 = 2) et le

minimum de A est |A1 A2| si u1 et u2 sont en opposition de phase

(1 = 2 ). Si u1(t) et u2(t) sont dphass de /2, on dit quils

sont en quadrature. Les vecteurs qui les reprsentent sont orthogonaux

et lamplitude de leur superposition est A =

A21 + A22 .Si u1 et u2 nont pas la mme frquence, les vecteurs qui les reprsen

-

tent tournent des vitesses diffrentes. La vibration rsultante nest pas

priodique (sauf si 1/2 est gal au rapport de deux nombres entiers).

Elle oscille entre une valeur maximale A1 + A2 , lorsque les deux vecteurs

sont colinaires et de mme sens, une valeur minimale |A1 A2| et

lorsque les deux vecteurs sont colinaires et de sens opposs. Nous avons

alors un phnomne de battements de frquence = |1 2|.3.3 REPRSENTATION COMPLEXEPour prciser les notations, rappelons dabord quelques lments de

lanalyse complexe. Une variable complexe (dsigne ici par un sym-

bole soulign) scrit sous la forme algbriqueu = x + jy ; x = Re u et y = Im u (3.12)

3.3 Reprsentation complexe

53

EXERCICES CORR

IGS

3-1 On observe la te

nsion aux bornes d

un condensateur de

capacit

C = 2 F sur lcran d

un oscilloscope. Ce

st une sinusode dam

pli-

tude 2,5 V et de prio

de de 0,5 ms en partan

t linstant t = 0 du po

int

y = 1 V et elle augme

nte. Dterminez sa pul

sation. crivez lexpress

ion

de la tension, la ch

arge du condensate

ur et lintensit de

courant.

Quelle est la phase de

V et I linstant t = 0

? Quelle est lintensit

maximale?

3-2 On considre l

quation doscillation

u + 2 u =0. a) Vri

fiez

directement quelle a

dmet comme solutio

n gnrale les expre

ssions

suivantes

u = A1 cos(t) + A2 sin(

t) et u= Re(Ce

jt ).

Calculez A1et A2 en fo

nction de C . Exprim

ez C en fonction de

A1 et

A2. b) Tracez les v

ecteurs tournants

qui reprsentent les

deux vibra-

tions A1 cos(t) e

t A2 sin(t) ainsi qu

e leur somme. En d

duire que

cette somme peut

tre crite sous la form

e A cos(t + ) , o A

et

sont lies A1 et A2

par les relations (3.11)

.

3-3 Supposons quon

branche sur la voie

x dun oscilloscope u

ne ten-

sion Vx(t) = a cos(t

+ 1) et sur la voie

y une tension Vy(t

) =

b cos(t + 2). Nous su

pposons que le dpl

acement du spot est

pro-

portionnel la tensio

n pour les deux voie

s.

a) Montrez que, si 1

= 2, le spot dcrit la p

remire diagonale du

rec-

tangle de cts 2a

et 2b et que, si 2

1 = , le spot dcr

it la

deuxime diagonale.

b) Montrez que, si

2 1 =/2 , le sp

ot dcrit une ellipse

droite

inscrite dans ce rect

angle dans le sens d

es aiguilles dune m

ontre et

que, si 2 1 = /

2, il dcrit cette ellip

se dans le sens oppos

. En

particulier, si a = b, l

ellipse devient un ce

rcle.

c) Montrez que, si

2 1 =, le sp

ot dcrit une ellipse

inscrite

dans ce rectangle

dans le sens des

aiguilles dune mo

ntre si

0 < < et dans l

e sens oppos si VB) cor-respond un travail WAB positif. Ce travail est videmment fourni parle systme qui produit le champ E (cest--dire le gnrateur qui pro-duit la d.d.p.). Si la charge est libre, cette nergie est transforme ennergie cintique. Par contre si cette charge se dplace avec une vites-se constante ou ngligeable (dans un conducteur, par exemple), cettenergie est transforme en chaleur (par effet Joule), en nergie mca-nique (dans un moteur), en nergie chimique (pour charger une batte-rie, par exemple) etc.

c) Units et ordres de grandeur

La charge lectrique est une grandeur qui ne peut pas tre exprime enunits mcaniques fondamentales (longueur, masse et temps). Son choixest donc arbitraire et la valeur de Ko dpend de ce choix. Pour des rai-sons de commodit et de prcision des mesures, la grandeur lectriquefondamentale dans le systme International dunits (SI ) est lintensitde courant lectrique I et son unit est lampre (A). Lintensit duncourant stationnaire est la quantit de charge quil transporte par unit detemps :

I = Q/t (1.17)

Lampre est dfini dune faon prcise en utilisant linteraction descourants lectriques. Lunit de charge, appele coulomb (C), estalors dfinie comme la quantit de charge transporte par un courantstationnaire dintensit 1 A. Dans ce systme dunits, la valeurnumrique de la constante dans la loi de Coulomb (1.1) est

Ko = 1/4o = 8,987 551 79 109 N.m2/C2

o = 8,854 187 82 1012 C/N.m2 (1.18)

La constante o est appele permittivit du vide. La force est alorsexprime en newtons (N). Si les charges taient dans un milieu isolant(un dilectrique) linaire et isotrope, la constante o doit tre remplacepar la permittivit du dilectrique toujours suprieure o. Lair, parexemple, a une permittivit air = 1,00058 o tandis que leau a unepermittivit eau = 80,4 o 20C.

Dans le Systme International dunits (SI ), les units mcaniquesfondamentales sont le mtre (m) pour la longueur, le kilogramme (kg)

1.3 nergie et potentiel lectrostatiques 9

pour la masse et la seconde (s) pour le temps. Lunit dnergie est lejoule (J) et celle du potentiel est le volt (V = J/C). Lunit de champ lec-trique est le V/m ou N/C.

Pour avoir une ide de lordre des grandeurs, notons dabord quela force lectrique est norme, compare la force gravitationnelle.Deux petites boules de masse 1 kg portant chacune une charge de 1 Cet spares par une distance de 1 m se repoussent avec une force lec-trique de 9 109 N (poids dun million de tonnes !) et sattirent avecune force gravitationnelle de 6,67 1011 N. En fait, le coulomb estune charge norme lchelle humaine : les tincelles transportentbeaucoup moins quun micro coulomb (1C = 106 C) et les frotte-ments produisent une charge de lordre de 10 nano coulombs par cm2(1 nC = 109 C). Le champ lectrique peut atteindre 107 N/C dansles membranes des cellules de notre corps, 1011 N/C dans les atomeset 1020 N/C sur la surface des noyaux atomiques.

Nous vivons dans un environnement de champ lectrique : quelquesN/C dans les domiciles, un champ atmosphrique vertical et dirigvers le sol denviron 150 N/C en beau temps et jusqu 104 N/C entemps orageux.

d) nergie lectrostatique dun systme de charges

Lnergie lectrostatique dun ensemble de charges est lnergie nces-saire pour les assembler en les amenant de trs loin. Considrons, parexemple, le cas de trois charges. Supposons quon amne dabord q1 delinfini la position r1. Aucun travail nest ncessaire pour cela. Ellecre en tout point r un potentiel V1(r) . Pour amener la charge q2 de lin-fini la position r2, il faut effectuer le travail U12 = q2V1(r2). Lepotentiel de ces deux charges est maintenant V1(r) + V2(r) en toutpoint r. Pour amener ensuite q3 de linfini la position r3, il faut unenergie q3[V1(r3) + V2(r3)] . Le travail total ncessaire pour assemblerles trois charges est

UE = q2V1(r2) + q3[V1(r3) + V2(r3)]= 1

4o

[q1q2

|r1 r2| +q1q3

|r1 r3| +q2q3

|r2 r3|]

10 Chapitre 1 Notions de base

Chaque paire de charges contribue donc un terme lnergie totale.Gnralisant au cas dun nombre arbitraire N de charges, nous pouvons crire

UE = 14o pairesqi qjri rj

= 12

14o

i /= jqi qjri rj

=12i qi V (ri )

(1.19)

Dans la premire forme, la sommation est sur toutes les 12 N (N 1)paires de particules distinctes, dans la deuxime forme, la sommationest sur toutes les particules i et j diffrentes, le facteur 1/2 compensantle fait que chaque paire est compte deux fois. Dans la troisimeforme, nous avons utilis lexpression (1.12) pour le potentiel produiten rj par toutes les charges sauf (j). Dans le cas dune distributioncontinue de charge, la sommation doit tre remplace par des intgra-les en considrant des lments de volume, de surface ou de lignescharges. En particulier, dans le cas de conducteurs, on montre quonpeut remplacer V (rj ) par le potentiel total V (rj ), chaque conducteurtant quipotentiel. Faisant la sommation pour chaque conducteur (j)puis pour les conducteurs, on peut crire

UE = 12j Qj Vj (1.20)o Qj est la charge totale du conducteur (j) et Vj est son potentiel.

1.4 CONDUCTEURS EN QUILIBRE ET CONDENSATEURS

Dans un conducteur en quilibre, des charges en excs ne peuvent serpartir que sur la surface extrieure. En effet des lectrons, en excsdans le volume du conducteur ou sur la surface dune cavit, se repous-sent et finissent par stablir sur la surface extrieure. De mme, unexcs de charges positives attire les lectrons de la surface extrieure ; cequi rend celle-ci charge positivement. Le champ lectrique dans leconducteur doit tre nul ; sinon ce champ dplacerait les lectrons deconduction et le conducteur ne serait pas en quilibre. Le champ tantnul, la relation (1.13) montre que le conducteur est quipotentiel. Juste lextrieur de la surface extrieure, le champ doit tre normal la sur-face ; car une ventuelle composante tangentielle dplacerait les charges.

Un condensateur est form de deux conducteurs voisins. On montreque ces conducteurs portent des charges opposes +Q et Q propor-tionnelles leur d.d.p. V

Q = CV (1.21)

1.4 Conducteurs en quilibre et condensateurs 11

Cest lquation caractristique du condensateur. C est une constan-te positive appele capacit, qui dpend de la gomtrie des conduc-teurs et de la permittivit lectrique du milieu qui les spare. Dans lesystme SI dunits, C est exprime en farad (F).

Le farad tant norme, on utilise souvent le microfarad (1 F= 106 F) et le picofarad (1 pF = 1012 F). Par exemple, dans le casdun condensateur plan dpaisseur d, dont les armatures ont une sur-face S (Fig. 1.5), la capacit est C = S/d .


Figure 1-5 Condensateur plan.

d+

V = 0 OQ

V = Vo A +Q

E

Un condensateur charg emmagasine une nergie lectrique. Si lad.d.p. des armatures est V V1 V2 , daprs lquation (1.20), lner-gie emmagasine est donne par lune des expressions

UE = 12 QV =12

Q2/C = 12

CV 2 (1.22)

1.5 CHAMP DINDUCTION ET FLUX MAGNTIQUE

Un aimant permanent, un courant lectrique ou une charge en mouve-ment produisent un champ dinduction magntique B , dfini par laforce quil exerce sur une particule charge en mouvement de vitesse v,

F(M) = qv B (1.23)Cette force est donc proportionnelle v et B et elle est perpendiculaire la fois B et v. Si la particule se dplace de dr = v dt, le travail duchamp magntique est

dWM = F(M).dr = q(v B).v dt = 0 (1.24)

Ce travail tant nul, lnergie cintique de la particule est constante. Savitesse reste constante en module mais sa direction change. Dans le casdun champ B constant, une particule charge dcrit une hlice dontlaxe est parallle B (ou un cercle) de rayon mv/q B.

Le flux du champ magntique B travers une surface S est dfini par

S =

SdS n.B (1.25)

o n est le vecteur unitaire normal llment de surface dS. Le champmagntique a la proprit importante davoir un flux conservatif. Celaveut dire que le flux de B sur une surface ferme est nul et le flux est lemme sur deux surfaces limites par un mme contour.

Dans le systme international dunits, le flux du champ B est exprim en weber(Wb) et le champ B en tesla (T) quivalent Wb/m2 ou N.C1.s.m1 .

Un circuit C, transportant un courant dintensit I, produit un champ

B(r) = 4

I

C

dr (r r)|r r|3 (1.26)

est la permabilit magntique du milieu. La permabilit du vide est

o = 4 107 T.m/A (valeur exacte) (1.27)Un champ magntique uniforme peut tre produit lintrieur dun

long solnode et il est donn par

B = N I , (1.28)o N est le nombre de spires par unit de longueur. B est dans la direc-tion de laxe du solnode.

1.6 LOI DINDUCTION ET INDUCTANCE

Lexprience montre quune f..m. est induite dans un circuit, si le flux duchamp magntique lintrieur de ce circuit varie. Cette variation peut tredue un dplacement du circuit ou des systmes qui produisent le champ,une dformation du circuit ou la variation du champ dans le temps.

La f..m. induite est donne par la loi de Faraday

E = dSdt

(1.29)

1.5 Champ dinduction et flux magntique 13

Pour appliquer cette loi, on choisit une orientation du circuit ; ladirection de la normale n la surface S limite par le circuit est alorsdonne par la rgle de la main droite (n est dans la direction du pouce siles doigts sont dans le sens choisi du circuit). Si E est positive, le courantinduit est effectivement dans le sens choisi. On peut utiliser aussi la loide Lenz, selon laquelle la f..m. et le courant induits sont dans un senstel quils sopposent la cause qui les produit.

Dans le cas de phnomnes variables, le champ E ne drive pasdun potentiel ; la circulation de E sur le circuit ferm nest pas nulle,mais justement gale la f..m. induite E.


Figure 1-6 a) Self-inductance dans une bobine : le sens de B est donn par la rgle de la maindroite.Si I augmente,B et augmentent,un courant est induit dans le sens NM pour quil pro-

duise un champ Bind et un flux ind qui tendent diminuer . b) Influence mutuelle de deux cir-cuits.Le champ magntique du circuit C1 produit un flux dans le circuit C2 et rciproquement.

(a) (b)

BM N

Bind

C1

B1

C2

Considrons un circuit (une bobine par exemple) transportant uncourant I. Le champ magntique B, quil produit, est proportionnel I etil en est de mme pour le flux magntique travers le circuit lui-mme. Nous crivons

= L I (1.30) L est une constante positive, appele self-inductance, qui dpend de lagomtrie du circuit et de la permabilit du milieu. Lunit de self-inductance est appele henry (1 H = 1 Wb/A). Si lintensit varie, le fluxvarie et une f..m. est induite, produisant un courant induit et un champmagntique induit Bind qui soppose la variation du flux . Cela pro-duit une d.d.p.

VMN = d I/dt (1.31)

Cest lquation caractristique de la self-inductance. Pour vrifier lesigne du second membre, considrons la bobine de la Fig. 1.6 et suppo-sons que le courant est dans le sens MN. La rgle de la main droite donnela direction du champ B dans le sens NM. La f..m. induite soppose lacause qui la produit.

Par exemple, si I augmente, la f..m. induite tend rduire cette augmentation enproduisant un courant induit oppos, donc dans le sens NM. Ce qui est quivalent un gnrateur dont la borne positive est en M, donc une d.d.p. induite VM VNpositive ; cela est en accord avec lquation (1.31).

Une self-inductance L, transportant un courant dintensit I, possdeune nergie magntique. Pour calculer cette nergie, supposons quelintensit est augmente graduellement de 0 I. un instant donn lin-tensit est i(t). Le potentiel aux bornes de la self est VM N = L(di/dt).Pendant dt, la charge transporte est dq = i dt et lnergie fournie est

dU(M) = VM N dq = L didt i dt = L i di

Pour augmenter i de 0 I, lnergie fournie est

U(M) = f inal

ini tialdU(M) = L

I0

di i do U(M) = 12 L I2

(1.32)Cest lnergie magntique emmagasine dans la self-inductance.

Deux circuits lectriques C1 et C2 sont en influence mutuelle si lechamp magntique de lun produit un flux magntique dans lautre (figure 1.6b). Si C1 est le sige dun courant i1, il produit un champ B1et celui-ci a travers C2 un flux magntique proportionnel i1 et rci-proquement. Nous crivons

12 = M12 i1 et 21 = M21 i2 (1.33)

Mi j est le coefficient dinfluence magntique de Ci sur Cj. On choisitdes sens pour les circuits ; les intensits et les flux sont alors positifs oungatif et il en est de mmes pour les Mi j. On montre que Mi j = Mji. Siles courants varient il y aura des f..m. induites dinfluence dans les cir-cuits :

E 1 = d21

dt= M di2

dtet E 2 =

d12dt

= M di1dt

(1.34)

1.6 Loi dinduction et inductance 15

Ces f..m. se superposent aux f..m. E1 = L1(di1/dt) etE2 = L2(di2/dt) auto-induites dans les deux circuits. Lnergiemagntique des deux circuits est alors

U(M) = 12 L1i21 +

12

L2 i22 + Mi1i2 (1.35)

POINTS-CLS

La charge lmentaire tant extrmement petite, la quantification de lacharge na souvent aucun effet sur les phnomnes macroscopiques. Laloi de conservation de la charge veut dire quelle ne peut tre ni dtruiteni cre. Dans tout processus physique, la charge totale dun systmeisol est conserve.

Il faut retenir la dfinition du potentiel comme lnergie potentielledune charge q = 1 C dans le champ lectrique, cest--dire le travailncessaire pour amener la charge de linfini sa position actuelle. La dif-frence de potentiel VA VB est le travail du champ pour dplacer unecharge q = 1 de A B . Cest aussi le travail quun agent extrieur doitfournir pour dplacer la charge de B A (faire lanalogie avec le travailquon doit effectuer pour dplacer une masse de 1 kg de B A dans lechamp de pesanteur). Ce travail ne dpend pas du chemin. Si le corpsdcrit un contour ferm pour revenir au point de dpart, le travail est nul.Cest la dfinition mme dun champ conservatif. Cela nest pas vraidans un champ magntique variable ( cause de la force lectromotriceinduite).

Le champ magntique ne sera pas utilis dans ce texte. Nous lavonsintroduit ici seulement pour crire lexpression de la d.d.p. aux bornesdune self-inductance V = L I et son nergie magntique emmagasineU(M) = 12 L I 2.

QUESTIONS DE RFLEXION

1. On dplace une charge q = 1,0 C dun point A, o VA = 0, unpoint B, o VB = 100 V. On suppose que la vitesse initiale et la vitessefinale sont nulles. Discutez la variation de lnergie de la particule et letravail ncessaire pour effectuer ce dplacement. Ce travail dpend-il dela trajectoire et de la vitesse intermdiaire ?


2. Est-il possible quune particule charge soit en mouvement rectilignea) dans un champ lectrique uniforme ?b) dans un champ magntique uniforme ?c) dans une rgion o il y un champ lectrique et un champ magntiqueuniformes ?3. Utilisant lexpression E = (qs/2)n du champ dun plan portant unecharge de densit qs et normal au vecteur unitaire n, vrifiez que lechamp entre les armatures dun condensateur est (qs/) et nul lext-rieur. Quelle est la direction de ce champ ? Quelle est la d.d.p. des arma-tures ? Quelle est la capacit du condensateur ?4. Si un aimant permanent est dplac prs dun circuit ne contenant pasde gnrateurs, un courant est induit et cela exige de lnergie. Quelle estlorigine de cette nergie ? Comment lnergie est-elle transfre au circuitisol ? Peut-on dire que le champ magntique transporte de lnergie ?5. Un courant de 5 A est tabli dans une self de 30 H. Peut-on avoir unef..m. induite de 100 V dans L ? Pourquoi une tincelle clate-t-elleentre les bornes de linterrupteur lorsquon coupe le courant ?6. Quel est leffet dune bobine de self-inductance L et de rsistance Rdans un circuit si lintensit de courant est constante ? Quelle est la puis-sance quelle consomme dans le cas dun courant variable ? Quel estleffet dun condensateur dans un circuit si lintensit de courant estconstante ? Quelle est la puissance quil consomme dans le cas dun cou-rant variable ?

EXERCICES CORRIGS

1-1 Une goutte deau de rayon 1 mm a un excs de 106 lectrons. Quelleforce lectrique subit-elle prs du sol en beau temps (le champ lectriqueest alors E = 150 N/C dirig vers le haut) et en temps dorage (alors E = 104 N/C) ? Comparez cette force au poids de la goutte.1-2 Dans un tube de rayons cathodiques, les lectrons sont mis par lacathode et attirs par lanode dont le potentiel est suprieur de 104 V surcelui de la cathode. Supposant que les lectrons sont initialement aurepos, dterminez leur vitesse en arrivant lanode.

1-3 Deux plaques mtalliques planes et parallles de surface S sont spa-res par une distance d et mises sous une tension Vo. Nous supposonsque le champ est uniforme entre ces plaques.


a) Supposons que ces plaques constituent les armatures dun condensa-teur plan. Quelle est la charge de ce condensateur ? Dterminez le champlectrique E entre ces armatures.b) Supposons quun lectron est mis sans vitesse par la plaque ngative.Quelle est la force exerce sur cet lectron ? crivez son quation demouvement et dterminez sa vitesse v f lorsquil atteint la plaque positive.

c) Supposant que d = 1 mm, S = 10 cm2 et Vo = 10 V, dterminez E et v f .

d) Sans analyser les dtails du mouvement comme dans la question pr-cdente, dterminez directement lnergie U reue par cet lectron lors-quil atteint la plaque positive. Dduisez-en sa vitesse.e) Supposons que lespace entre ces plaques est rempli dune substancequi exerce sur llectron une force de frottement bv o v est la vitessede llectron. crivez lquation de mouvement. Sans rsoudre cettequation, montrez que llectron atteint rapidement une vitesse limiteconstante. Que devient alors le travail de la force lectrique ?1-4 Supposant que la charge dun condensateur est augmente graduel-lement de 0 Q, montrez que son nergie est U = 12 Q2/C = 12 CV 2.1-5 Calculez la self-inductance L dun solnode de longueur l et formpar N tours circulaires de rayon R. Application numrique : DterminezL si R = 2 cm, N = 5 000 tours et l = 20 cm.1-6 Si on coupe le courant dans un circuit linstant t = 0, lintensitne sannule pas instantanment, mais diminue selon la loiI (t) = Io et/, o Io est lintensit initiale et est un temps caract-ristique donn par = L/R o L est la self-inductance du circuit et Rest sa rsistance. crivez lexpression de la charge Q(t) qui traverse unpoint du circuit entre t = 0 et t. Reprsentez graphiquement Q et Icomme des fonctions du temps. Quelle est la d.d.p aux bornes de la selfinductance ? Interprtez son signe.


Figure 1-7 Exprience de Millikan.

+ + + + + + + + + + + + + + + +

+ +

v E

1-7 Lexprience de Millikan (1913) a permis dtablir lexistence de lacharge lmentaire et de dterminer sa valeur avec une assez bonne pr-cision. Le dispositif est reprsent dans la Fig. 1.7. Un champ lectriqueE peut tre tabli entre les deux armatures dun condensateur plan. Desgouttes fines dhuile sortent dun pulvriseur, passent travers un troudans larmature suprieure et tombent dans lespace sparant les deuxarmatures. Une goutte peut acqurir une charge q soit cause du frotte-ment en sortant du pulvriseur, soit lors des collisions avec des molcu-les dair ionises. En absence de champ lectrique entre les armatures,elle est soumise son poids mg, une force de viscosit donne par laloi de Stokes fv = 6rv (o est la viscosit de lair, r est le rayonde la goutte et v est sa vitesse) et une pousse dArchimde dans lairm g . Soient la masse spcifique de lhuile et celle de lair.a) tudiez le mouvement de la goutte et montrez que sa vitesse tend versune vitesse limite donne par vl = (2/9)r2g( ) . Cette vitesse esttrs faible. Lobservation de la goutte laide dune lunette permet demesurer cette vitesse limite et den dduire le rayon r de la goutte. b) On applique maintenant une tension V et on ajuste son sens et savaleur pour que la goutte reste suspendue dans lair sous leffet des for-ces prcdentes et la force lectrique. Vrifiez que ce champ doit treE = (4/3q)r3 g ( ) . En dduire que q = 6rvl/E .Lexprience a montr que q est toujours un multiple entier de1,6 1019 C, qui est la charge lmentaire de llectron, du proton oude toute particule lmentaire charge. Supposons que, si E = 0, lagoutte tombe de 1 mm en 27,4 s et quelle reste en quilibre dans unchamp E = 2,25 104 V/m. Combien dlectrons contient-elle ? Laviscosit de lair est de 1,8 105 N.s/m, la densit de lhuile est 950kg/m3 et celle de lair est 1,29 kg/m3.

1-8 Un champ lectrique uniforme E = Eey est tabli entre les armatu-res dun condensateur (Fig.1.8). Une particule de charge q est lance delorigine avec une vitesse vo dans la direction Ox.

a) crivez les quations de mouvement de cette particule et dterminezsa trajectoire entre les armatures. b) Aprs avoir parcouru une distance L la particule sort du champ ; sonmouvement devient rectiligne. Elle est intercepte par un cran plac une distance D de lorigine (D >> L). Dterminez sa dviation Y surcet cran en fonction de la d.d.p. des armatures.


c) Des lectrons sont mis par un filament chauff et acclrs par unetension Va = 10 kV. Calculer leur nergie et leur vitesse. Ils passententre les armatures dun condensateur de longueur L = 1 cm, dpais-seur 2 mm et soumis une diffrence de potentiel V = 100 V.Calculez leur dflexion observe sur un cran plac 20 cm ducondensateur.


Figure 1-8 Dflexion dune particule charge dans un champ lectrique.

O

Y

E

+ + + + + D

L

O

y

x

SOLUTIONS DES EXERCICES

1-1 La force subie par la goutte en beau temps est :FE =q Ebt =106 (1,60 1019C)(150 N/C)=2,40 1011 Net en temps dorageFE = q Eor = 106 (1,60 1019C)(104N/C) = 1,60 109NCette force est dirige vers le haut. Le poids de la goutte estFG = (4/3)r3mvg

= (4/3)(1,0 103m)3(1000 kg/m3)(9,8m/s2)=4,1 105N1-2 Le champ lectrique est dirig de lanode vers la cathode (qui est un potentiel infrieur). Les lectrons sont soumis une force eE diri-ge vers lanode. Ils sont donc acclrs et ils gagnent une nergie poten-tielle lectrique eV, qui est transforme en nergie cintique. Nous avonsdonc Ec = 12 mv2 = eV , do

v =

2eV/m = [2 (1,6 1019)(104V )/(9,1 1031kg)]1/2= 5,9 107 m/s

Cest environ le cinquime de la vitesse de la lumire. Lanalyse correcte doit utiliserla mcanique relativiste.

1-3 a) La capacit de ce condensateur est C = oS/d. Sa charge est doncQ = CVo = oSVo/d.

Nous prenons lorigine des axes sur la plaque ngative et laxe Oz nor-mal aux plaques et dirig vers la plaque positive (voir la Fig. 1.5). cause de la symtrie de translation paralllement aux plaques (supposestre trs grandes), le potentiel V entre les plaques ne dpend que de z.Nous pouvons prendre V = 0 sur la plaque ngative et V = Vo sur laplaque positive. Le champ lectrique E entre ces armatures est alors

E = (V/x)ex (V/y)ey (V/z)ez = (V/z)ezLe champ est donc dans la direction Oz . En supposant quil est cons-tant, nous trouvons lquation V/z = E , dont la solution estV = Ez + a . Comme V = 0 sur la plaque ngative (z = 0) etV = Vo sur la plaque positive (z = d), nous dduisons queV = (Vo/d)z et E = (Vo/d), donc

E = (Vo/d)ezb) La force exerce sur llectron est

F = eE = (eVo/d)ezLa force tant dans la direction Oz, et la vitesse initiale tant nulle,llectron se dplace sur laxe Oz. Son quation de mouvementmz = Fz scrit donc

z = (eVo/md)Tenant compte des conditions initiales (v = 0 et z = 0 pour t = 0), lavitesse et la position scrivent z = (eVo/md)t et z = (eVo/2md)t2 . Ilatteint la plaque positive (z = d) linstant t f = d

2m/eVo ; sa

vitesse est alorsv f = (eVo/md)t f =

2eVo/m

c) Si d = 1 mm, S = 10 cm2 et Vo = 10 V, nous trouvonsE = Vo/d = 1 104 V .m1et v f = {2 1,60 1019 10/9,109 1031}1/2 = 1,9 106 m/s d) Lnergie reue par llectron lorsquil atteint la plaque positive est

U = eV = 1,602 1019 10 = 1,602 1018 JCette nergie est cintique. Nous avons donc 12 mev

2f = U , do

v f =

2eVo/m .


e) Tenant compte de la force de frottement, lquation de mouvementscrit

mz = eE bzAu dbut du mouvement, la vitesse est faible, la force de frottement estdonc faible mais elle augmente avec la vitesse. Llectron continue treacclr jusqu ce que la force de frottement quilibre la force lec-trique. Il atteint donc une vitesse limite vl = eE/b . Le travail de la forcelectrique est alors dissip par la force de frottement comme chaleur.

1-4 Supposons qu un instant donn t les charges portes par les arma-tures sont +q et q. Le potentiel est alors V VA VB = q/C. Pourfaire varier les charges, il faut amener de linfini une charge +dq lar-mature positive et dq larmature ngative. Cela ncessite un travail

dU(E) = dqVA dqVB = V dq = qC dqCest aussi le travail ncessaire pour amener une charge +dq de larma-ture ngative larmature positive. Le travail total ncessaire pour char-ger le condensateur est donc

U(E) = f inal

ini tialdU(E) =

Q0

dqqC

do U(E) = Q2

2C= 1

2CV 2.

1-5 Le nombre de tours par unit de longueur du solnode estn = N/ l. Sil est le sige dun courant dintensit I, le champ magn-tique son intrieur est B = onI et le flux de ce champ travers unespire est SB = R2 B. Le flux travers les N spires est = N SB= o R2 N 2 I/ l . La self-inductance du solnode est doncL = /I = oR2 N 2/ l. Sa valeur numrique est

L = (4 107)( 4 104)(5000)2/0,20 = 0,20 H

1-6 La charge qui passe par un point du circuit pendant dt estdq = I (t)dt. La charge totale entre les instants t = 0 et t est obtenuepar intgration :

Q(t) = i

0dt I (t) =

i0

dt Ioet/ = Ioet/t0 = Io(1 et/)

La figure 1.9 montre la variation de Q(t). Elle augmente exponentielle-ment de 0 une valeur asymptotique Io.


Supposons que la self-inductance L est localise entre A et B dansune bobine de rsistance ngligeable. La d.d.p aux bornes de la bobine est

V = L I = (L/)Ioet/Dans cette relation I IAB est lintensit dans le sens de A vers B etV VAB VA VB est la diffrence de potentiel entre les bornes dela bobine. Dans le cas considr, lintensit I = Ioet/ diminue, la rela-tion V = (L/)Ioet/ montre que VA < VB.

La bobine est donc quivalente un gnrateur de borne positive enB et de borne ngative en A. Il tend donc produire dans le circuitextrieur la bobine un courant (induit) sortant de B, donc renforantle courant I. Cest une forme de la loi de Lenz, selon laquelle le cou-rant induit et la f..m. induite sont dans un sens qui soppose lacause qui les a produits.

1-7 Orientons laxe vertical vers le bas. En absence de champ lectrique,la rsultante des forces, qui agissent sur la goutte, est

fz = mg mg 6 rv = (4/3)r3g( ) 6rvLa vitesse limite est atteinte lorsque fz = 0, sa valeur est doncvl = (2/9)r2g( ) . La mesure de vl permet donc de dterminer lerayon r de la goutte. Si on applique la tension V, le champ lectriqueest E = V/d . Ce champ agit sur la goutte avec une force fE = q E . Onchoisit V pour que cette force soit vers le haut et quelle maintienne lagoutte immobile, alors fE = fz, cest--dire (4/3)r3g( ) = q E ,do q = 6rvl/E .Application numrique : vl =1103m/27,4s =3,65105 m/s, dor2 = 9vl/2g( )

= 9(1,8 105)(3,65 105)/2 9,81(950 1,29)


Figure 1-9 Variation de Q en fonction de t.

t/

1 2 3 4

Q

soit r = 5,64 107 m. La charge de la goutte est doncq = 6rvl/E

= 6(1,8 105)(5,64 107)(3,65 105)/(2,25 104)soit 3,10 1019 C ; ce qui correspond 2e.1-8 a) La particule est soumise une force F = q Eey. Elle a donc uneacclration a = (q E/m)ey . Projetant cette quation sur les axes et int-grant deux fois, compte tenu des conditions initiales, nous trouvons lavitesse et la positionvx = vo, vy = (q E/m)t , vz = 0 x = vot, y = (q E/2m)t2 et z = 0Ainsi la particule reste dans le plan Oxy. Son mouvement est uniformedans la direction Ox et acclr dans la direction Oy du champ.Lquation de la trajectoire est obtenue en liminant t entre x et y, noustrouvons une parabole de sommet O

y = (q E/2mv2o)x2.b) La particule sort de la rgion du champ linstant t = L/vo. Lescomposantes de sa vitesse sont alors vx = vo et vy = q E L/mvo. Endehors du condensateur, la particule est libre ; elle conserve cettevitesse, dcrivant une trajectoire rectiligne de pente

tan = vy/vx = q E L/mv2oSi les armatures du condensateur sont soumises une diffrence depotentiel V, le champ est E = V/d o d est la distance sparant lesarmatures. Le dplacement du point dimpact sur lcran, situ unedistance D, est

Y = D tan = q E L D/mv2o = (q L D/mdv2o)VLa dflexion est donc proportionnelle la tension applique aux arma-tures du condensateur.c) Lnergie cintique des lectrons est Ec = qVa = 1,6022 1015 J.Leur vitesse est v = (2Ec/m)1/2 = 0,593 108 m/s. La dviation surlcran est donc

Y = (q L D/2d Ec)V = (L D/2d)(V/Va) = 0,5 cm.


2.1 INTENSIT ET DENSIT DE COURANT

Llectrocintique est ltude des courants lectriques. Nous sommesconcerns ici surtout par les courants dus au dplacement des lectronsde conduction dans un conducteur soumis la tension dun gnrateur.

Dans un mtal en quilibre lectrostatique, le champ lectrique est nulet le corps est quipotentiel. cause de lagitation thermique, leslectrons sont en mouvement permanent et dsordonn, au hasarddans toutes les directions. En moyenne, la charge qui traverse une sur-face quelconque dans un sens est la mme que celle qui la traversedans le sens oppos.

2CH

AP

ITR

E

Conductanceet rsistance

2.1 Intensit et densit de courant

2.2 Modle phnomnologique de conduction, loi dOhm

2.3 Conduction et temps de collision

2.4 Effet Joule

2.5 Variation de la rsistivit avec la temprature, la supraconductivit

2.6 Conducteurs non ohmiques

2.7 Utilisations des rsistances

PLA

N

Discuter les lois dOhm et de Joule et les modles de conduction

OB

JEC

TIF

Si une d.d.p. V est tablie entre deux points dun conducteur, ildevient le sige dun champ lectrique E dans le sens du potentieldcroissant. Ce champ agit sur les lectrons de conduction ; ils sontalors pousss dans la direction oppose au champ. Les lectrons dpla-cs et les ions fixes produisent leur propre champ lectrique, oppos auchamp extrieur. Le mouvement des lectrons dure jusqu ce que lesdeux champs se neutralisent.

Si on supprime la d.d.p, le conducteur retourne lquilibre lectro-statique. On peut montrer que le temps de retour lquilibre, appeltemps de relaxation, est de lordre de 1018 s dans les mtaux. Pourque le mouvement des lectrons continue, il faut que ce dplacementsoit dans un circuit ferm et que la d.d.p. soit maintenue par un gn-rateur (batteries, dynamos etc.). Ce mouvement des lectrons produitun courant qui se manifeste par des effets calorifiques, magntiques,chimiques etc.

Supposons que la densit de charges mobiles dans le conducteur estqv(r,t) avec une vitesse moyenne (de drive) v(r,t) . Les particules quitraversent un lment de surface S pendant dt sont celles qui se trou-vent lintrieur dun cylindre de base S et qui a des gnratrices delongueur v dt (Fig.2.1a). La hauteur de ce cylindre est dh = (n.v dt)et son volume est Sdh = (n.v) dt S. La quantit de charge qui tra-verse S est donc dQS = qv (n.v) dt S . Lintensit de courant quitraverse S est la quantit de charge qui la traverse en une seconde, soit

I = qv (n.v) S. (2.1)Lintensit de courant qui traverse une surface finie S est obtenue parintgration de I sur S :

IS = QS/t =

Sd I =

SdSqv(n.v) (2.2)

Cest le flux de la densit de courant

j(r,t) = qv(r,t)v(r,t) (2.3)

travers S (Fig. 2.1b). Dans le cas o j est uniforme et S est une sur-face plane, lintensit (2.2) scrit

I = QS/t = S(j.n) = S jcos (2.4)

26 Chapitre 2 Conduction et rsistance

o est langle de j avec n. En particulier, si j est uniforme et perpen-diculaire S , cette relation scrit

I = jS (2.5)Les lignes tangentes la densit de courant en chaque point ne se ren-contrent pas ; elles sont appeles lignes de courant (Fig. 2.1b).

2.1 Intensit et densit de courant 27

Figure 2-1 a) Densit de courant et b) intensit travers une surface finie S .

(b)

j

nS

S AB

(a)

j

h

v t

dS qv n

Si le conducteur contient plusieurs types de charges mobiles, cha-cune avec une densit et une vitesse moyenne caractristique, la den-sit de courant totale est la somme gomtrique de leurs densits decourant. Cest notamment le cas des ions positifs et des ions ngatifsdans une solution. Dans les mtaux, les charges mobiles sont leslectrons de conduction en nombre de lordre dun lectron par atome.La densit de courant est alors

j(r) = ene(r) ve(r) (2.6)

Le sens conventionnel du courant dans une solution est celui des ions positifs.Dansles mtaux il est dans la direction oppose celle du mouvement des lectrons.

Dans un circuit lectrique, cest lintensit de courant (et non ladensit de courant) dans les lments du circuit qui nous intresse.Dans le cas dun conducteur cylindrique, on peut souvent supposer quela densit de courant est uniforme. Cependant dans le cas dun courantalternatif de haute frquence, le courant circule surtout prs de la sur-face (effet de peau).

Dautre part, selon la thorie lectromagntique, lorsquon brancheun gnrateur sur un circuit, le courant et la tension stablissent dansle circuit de proche en proche grce la propagation de londe lectro-magntique dans le milieu isolant ambiant.

La vitesse de propagation est gale la vitesse de la lumire c dans cemilieu. En principe lintensit dans un conducteur et la tension le longdun fil de connexion ne sont pas donc les mmes en tous les points.Le retard d ce phnomne de propagation est de lordre de L/c, oL est la distance parcourue. Ce retard peut tre nglig sil est trscourt, compar au temps caractristique T du circuit, tel que la cons-tante de temps des rgimes transitoires (voir le chapitre 5) ou lapriode du courant alternatif. Les dimensions du circuit doivent donctre faibles compares cT.

Dans le cas dun courant alternatif de frquence , la priode estT = 1/ ; cette condition scrit donc L

Comme la loi de Fourier qui exprime la proportionnalit du trans-fert de chaleur la diffrence de temprature, la loi dOhm est une loiphnomnologique. Il est possible de linterprter en faisant appel unmodle microscopique. Le champ lectrique agit sur un lectron deconduction avec une force fE = eE et lui donne une acclrationa = eE/m . Si llectron ntait pas soumis dautres forces, savitesse augmente et le travail de la force lectrique serait transform ennergie cintique. En fait llectron mobile entre en collision avec lesions immobiles et suit un parcours en zigzag (Fig. 2.2a). Ce qui rduitson nergie, comme sil tait soumis une force de frottement f dau-tant plus importante que les chocs sont plus nombreux, cest--dire lavitesse de llectron est plus grande. Si la vitesse est faible, nous sup-posons que f = bve (comme une force lastique). La vitesse de llectron augmente donc jusqu ce que f quilibre la force lectrique(eE bve = 0) ; llectron atteint alors une vitesse limite moyenneve = (e/b)E . Il en rsulte un courant de densit j = eneve= (nee2/b)E . Nous crivons :

j = E o = nee2/b (2.8)

est la conductivit du milieu et son inverse = 1/ est la rsistivit,qui ne dpendent que du matriau et de ses conditions physiques (tem-prature, les impurets quil contient etc.). Entre deux collisions,llectron se dplace comme sil tait dans le vide, avec une vitesse quipeut tre aussi grande que 106 m/s(1). Mais, cette vitesse tant orienteau hasard, presque dans toutes les directions, les lectrons de conduc-


Figure 2-2 a) Mouvement des lectrons dans un conducteur. b) Conducteur cylindrique.

(a)

E

vd dt

Sv +

V V = 0

A BE jl

(b)

(1) La vitesse moyenne < th > de lagitation thermique est lie la temprature par la rela-tion 12 m < th >

2= (3/2)kT, o k = 1,38 05 1023 J/K est la constante de Boltzmann.Ainsi, la temprature normale, < th > 1,2 105 m/s.

tion progressent en moyenne dans la direction du champ, avec unevitesse de drive vd dune fraction de mm/s, dans le cas des courantshabituels.

La vitesse de drive ne doit pas tre confondue avec la vitesse dtablissement du courant dans le circuit ou de transmission dunsignal lectrique le long dune ligne. Cette vitesse est celle des ondeslectromagntiques dans lisolant qui entoure les conducteurs (cest--dire la vitesse de la lumire). Ceux-ci jouent seulement le rle dunguide donde. Quand vous branchez une lampe sur le secteur, leslectrons ne sortent pas dune borne, circulent avec la vitesse vd lelong du conducteur et retournent lautre borne ; car cela mettrait desheures pour allumer la lampe(2). Ce qui se passe est que londelectromagntique stablit dans lair situ entre les fils de connexionavec la vitesse de la lumire. Cette onde met les lectrons en mouve-ment en tout point du circuit, aprs un retard de temps ngligeable. Lemme phnomne de propagation a lieu quand vous faites un appeltlphonique un correspondant des milliers de kilomtres.

Les relations liant V, E et j tant linaires(3), nous en dduisons quela d.d.p. V est proportionnelle I :

V = RI, (2.9)R est la rsistance du conducteur vu des points A et B. La rsistivit est une caractristique du matriau tandis que la rsistance R est pro-portionnelle (si celle-ci est uniforme) et elle dpend de la forme go-mtrique du conducteur et des points A et B o la d.d.p. est applique.

Dans le cas dun conducteur cylindrique de longueur l et de sectionS (Fig. 2.2b), le champ lintrieur du cylindre est uniforme et demodule E = V/ l. La relation (2.8) donne alors la densit de courantj = E/ = V/l et lintensit de courant scrit I = Sj = V S/L.La relation (2.9) est donc vrifie avec R = L/S .


(2) Dans le cas dun courant alternatif, les lectrons de conduction se dplacent dans un senspuis dans lautre. En moyenne sur le temps, il ny a aucun dplacement de charges.(3) La relation dune grandeur y une grandeur x est linaire si, quels que soient les coeffi-cients et , la combinaison linaire y1 + y2 correspond x1 + x2 , si y1 correspond x1 et y2 correspond x2. La relation de proportionnalit y = ax est une relation linaire maisla relation affine y = ax + b ne lest pas.

Lexpression E = j (ou j = E) est la forme locale de la loidOhm et lexpression V = RI est sa forme intgre. Un conducteurqui vrifie ces relations est dit ohmique. Le rapport R = V/I est alorsconstant (cest--dire il ne dpend pas de la tension applique).


Mtal (108 .m) (K1) Mtal (108 .m) (K1)

Aluminium 2,65 3,9 103 Constantan 44-50 2106Cuivre 1,67 3,93103 Manganin 43-48 106Fer pur 10,4 5,0103 Nichrome 150 0,4 103Acier 18 3,0103 Tungstne 5,6 4,5 103Argent 1,59 3,8103 Carbone 3500 5 104Or 2,35 3,4103 Plomb 20,7 4 104Platine 10,6 3,927103 Mercure 94 9104

Lunit de rsistance, dfinie par R = V/I , est le volt par ampre, couramment appe-le ohm ( ). Pour les petites rsistances, on utilise aussi le microhm ( = 106 )

et pour les grandes rsistances on utilise le mga-ohm ( = 106 ). Lunit dersistivit = E/ j est lohm-mtre ( .m).

Notons que les isolants parfaits nexistent pas. Ce quon dsignecomme isolant est, en fait, un trs mauvais conducteur, cest--dire unmatriau de trs grande rsistivit ( > 105 .m). Ces corps nobis-sent pas la loi dOhm. La paraffine, par exemple, a une rsistivit delordre de 108.m et les meilleurs isolants sont les cristaux covalentscomme le diamant dont la rsistivit dpasse 1012.m. Pour cescorps, il nest pas possible de dfinir la rsistivit dune faon nonquivoque. Les matriaux dont la rsistivit est infrieure environ

Matriau ( .m) (K1) Matriau (.m) (K1)

Germanium 0,46 48103 Caoutchouc 1013Silicone 100-1000 75103 Quartz fondu 7,5 1017Verre 1010-1014 Porcelaine 1010-1012

Polythylne 108-109 Teflon 1014

Tableau 2-1 Valeurs de et pour certains matriaux usuels au voisinage de 20C.Le constantan est form de ~ 60 % de cuivre et ~ 40 % de nickel. Le manganin est

form de ~ 84% de cuivre, ~12 % de manganse et ~ 4 % de nickel. Le nichrome estform de ~ 59 % de nickel, ~ 23 % de cuivre et ~16 % de chrome.

105.m sont considrs comme conducteurs : tandis que les mat-riaux de rsistivit allant de 105 105 sont considrs comme dessemi-conducteurs. La rsistivit dpend fortement des impurets,cest--dire les atomes diffrents introduis dans le matriau, surtoutdans le cas des semi-conducteurs.

2.3 CONDUCTION ET TEMPS DE COLLISION

La force de frottement, que subit un lectron de conduction, est due auxcollisions de llectron avec les atomes fixes et les autres lectrons. Pourlier directement la conductivit lectrique aux collisions, considrons lemouvement de llectron entre deux collisions. Il est soumis une acc-lration a = eE/m. Sa vitesse varie donc selon lexpression

v = vo (e/m)Et (2.10)o vo est sa vitesse aprs la dernire collision. Si llectron subit la col-lision suivante linstant , prenons la valeur de la vitesse linstant/2 comme vitesse moyenne de llectron entre les deux collisions ;nous trouvons alors < v >= vo (e/2m)E . Faisons maintenant lamoyenne pour lensemble des lectrons de conduction. Comme vo estoriente au hasard dans toutes les directions, sa moyenne est nulle etnous pouvons identifier la valeur moyenne de v la vitesse de drivedes lectrons

vd = (e/2m)E (2.11)La densit de courant est donc

j = envd = (ne2/2m)E (2.12)Ce modle, bas sur la mcanique classique, prdit donc la loi dOhmj = E, o est donne par la formule de Drude

= ne2/2m (2.13) Soit < vth > la vitesse moyenne de llectron dans le conducteur.< vth > est due lagitation thermique ; elle est trs grande maisoriente au hasard dans toutes les directions. Elle ne doit pas donc treconfondue avec la vitesse de drive vd. Le temps de collision est = l/ < v >, o l est le libre parcours moyen, cest--dire la distanceparcourue par llectron entre deux collisions successives. La conduc-tivit scrit alors

= ne2l/2m < vth > (2.14)


Laccord de cette formule avec lexprience nest pas bon. De plus,comme < vth > est proportionnelle

T , o T est la temprature

absolue, cette formule prdit que la rsistivit augmente avec la tem-prature comme

T au lieu de laugmentation exprimentale pro-

portionnellement T . Ce dsaccord est vit en utilisant un modlequantique.

2.4 EFFET JOULE

Une tension V applique aux bornes dun conducteur de rsistance Rproduit un courant dintensit I = V/R. Pendant un temps dt la chargetransporte est dq = I dt . Le travail du champ lectrique sur cettecharge est

dW = V dq = V I dt (2.15)Ce qui veut dire que le gnrateur de la tension V fournit une puissance

P = dW/dt = V I = RI 2 = V 2/R (2.16)

Comme les charges ne sont pas acclres dans le conducteur et quilny a aucun effet mcanique, chimique ou autre, qui puisse utilisercette nergie, elle est dissipe sous forme de chaleur. Cela se mani-feste par un chauffement du conducteur, appel effet Joule.

Pour comprendre cet effet, reprenons le modle phnomnologiquede la section 2.2. En se dplaant dans le conducteur, pouss par lechamp lectrique, llectron de conduction subit une force de frotte-ment f = bv. Le travail de la force lectrique f = qE ne peut pastre transform en nergie cintique ; car llectron se dplace avec lavitesse limite moyenne ve constante (et trs faible). Il est dissip sousforme de chaleur par la force de frottement. La puissance dissipe parun lectron est

pe = f.ve = f.ve = q(ve.E) (2.17)La puissance dissipe par unit de volume contenant ne lectrons est donc

Pv = ne pe = neq(ve.E) = (j.E) (2.18)Utilisant la loi dOhm (2.8), nous pouvons crire aussi

Pv = j2 = E2 (2.19)

2.4 Effet Joule 33

Cest la forme locale de la loi de Joule, donnant la puissance dissipepar unit de volume en fonction de la densit de courant ou en fonctiondu champ lectrique. Si lon considre un conducteur cylindrique (dela Fig. 2.2b), par exemple, la puissance dissipe par unit de volumeest uniforme et la puissance totale dissipe est

P = VPv = j2LS = (I/S)2LS = (L/S)I 2 RI 2 (2.20)Nous retrouvons donc la forme intgre de la loi de Joule.

2.5 VARIATION DE LA RSISTIVIT AVEC LA TEMPRATURE,LA SUPRACONDUCTIVIT

La rsistivit dun matriau dpend de sa temprature. En effet, si latemprature augmente, lagitation thermique augmente. Il en est demme pour le nombre de collisions des lectrons avec les atomes ; cequi augmente le frottement et, par consquent, la rsistivit.Lagitation thermique peut aussi modifier le nombre des porteurs decharge. La variation de la rsistivit avec la temprature est doncassez difficile analyser, dautant plus que les effets quantiquesjouent un rle important pour linterprtation des proprits deconduction. La rsistivit de la plupart des matriaux augmente lg-rement avec la temprature. Nous dfinissons le coefficient de temp-rature comme tant le taux de variation relative de la rsistivit avecla temprature

= 1

T(2.21)

Si la variation de T est faible, peut tre considr comme une cons-tante caractristique du matriau. La rsistivit varie donc avec la tem-prature T selon la loi

= o[1 + (T To)] (2.22)

O To est une temprature de rfrence et o est la rsistivit cettetemprature. Le coefficient est de lordre de 103 pour la plupart desmtaux. Certains matriaux, comme le carbone, font exception avec uncoefficient = 0,5 103. Le tableau 2.1 donne les valeurs de et pour certains matriaux usuels au voisinage de 20C. En faisant unalliage dlments de coefficients de temprature positifs et ngatifs,on peut avoir des matriaux dont la rsistivit varie trs peu avec latemprature ; cest le cas du constantan, du manganin et du nichrome.


La rsistance dun conducteur varie avec la temprature cause dela variation de la rsistivit et aussi cause de la dilatation linique .Si la rsistance est Ro une certaine temprature de rfrence To, cettedilatation multiplie chaque dimension du corps par un facteur[1 + (T To)] . Les deux effets font que la rsistance varie avec latemprature comme

R = Ro 1 + T1 + (T To) (2.23)

Comme est de lordre de 105 /K, leffet de la dilatation est trs fai-ble.

La rsistivit de certains matriaux a un comportement trs parti-culier en fonction de la temprature ; elle diminue rapidement si Taugmente. La rsistivit du graphite, par exemple, est rduite de moi-ti lorsque la temprature slve de 0 C 2 000 C. Dautres semi-conducteurs ont des variations encore plus rapides. Ainsi la rsistivi-t de certains composs base de Fe2O3 est rduite de moiti si latemprature varie de quelques dizaines de degrs. Ces composs sontutiliss dans les thermistances, qui servent rgulariser lintensit decourant dans les circuits. Cette augmentation brusque de la conducti-vit sexplique par une augmentation du nombre dlectrons deconduction.

En 1911 H. K. Onnes a utilis lhlium liquide pour refroidir lemercure jusqu 1 K. Il a observ que la rsistance du mercure dimi-nue lentement, mais une temprature critique Tc = 4,154 K, ellediminue brusquement une valeur ngligeable (Fig. 2.3). Onnes aconclu que le mercure subit une transition de phase un tat de supra-conductivit. Quelques 27 lments et des milliers de corps compossdeviennent supraconducteurs au-dessous dune certaine tempraturecritique caractristique. Ils comprennent le zinc (Tc = 0,88 K), lalu-minium (Tc = 1,175 K), le plomb (Tc = 7,18 K), le niobium(Tc = 9,46 K), ltain (Tc = 3,721 K) et le tungstne (Tc = 0,0154K). On na pas observ un tat supraconducteur dans le cas des bonsconducteurs comme le platine, lor, largent et le cuivre.

2.5 Variation de la rsistivit avec la temprature, la supraconductivit 35

Contrairement aux substances ltat normal, un supraconducteurnoppose aucune rsistivit au passage du courant ( < 4 1025 .m).Le courant stablit donc sans perte dnergie. Une fois tabli dans uncircuit supraconducteur, un courant lectrique peut durer, peut-treindfiniment, sans d.d.p. et sans champ lectrique dans le supracon-ducteur. la temprature critique, la substance subit une transition dephase ; toutes ses proprits physiques changent brusquement (exac-tement comme dans la transition de la phase gazeuse la phase liqui-de, par exemple).

En 1957, la thorie BCS, propose par Bardeen, Cooper etSchrieffer, a expliqu la supraconductivit comme un effet quantiquedassociation des lectrons en paires (provoque par une attractionquantique de longue porte). Contrairement aux lectrons dun tatnormal (qui se dplacent indpendamment), les lectrons dun supra-conducteur sont lis ensemble et agissent en coordination, de faonquaucun lectron ne subisse de collisions.

En 1986 Berdnoz et Mller (Prix Nobel en 1987) ont observ lasupraconductivit des oxydes de cuivre, de baryum et de lanthane, une temprature proche de 30 K. Cette dcouverte importante a sus-cit une grande activit de recherche chez les physiciens et les chi-mistes. Dautres composs cramiques ont t dcouverts avec unetemprature critique plus leve (92 K pour le Yba2Cu3O7, 105 Kpour le Bi-Sr-Ca-Cu-O, 134 K pour le HgBa2Ca2Cu3O8 et mme150 K pour un oxyde contenant du mercure). Il nest pas donc excluque certains composs soient supraconducteurs aux tempratures nor-males ; ce qui aura certainement beaucoup dapplications technolo-giques.


Figure 2-3 Supraconductivit : rsistivit de ltain,compare sa rsistivit 4 K.

1/(4)

1

0,5

2 3 4 ()

2.6 CONDUCTEURS NON OHMIQUES

Le courant est une rponse du milieu conducteur lexcitation lec-trique. En gnral, j est une fonction complique de E. Si le milieu estisotrope, j est dans la mme direction que E. Si le champ nest pasintense, nous pouvons toujours faire un dveloppement de j en termesde E, de la forme

j = E + E2 + ... (2.24)o nous avons utilis le fait que j = 0 si E = 0. Le premier terme dece dveloppement correspond la loi dOhm. Cest effectivement lecas des conducteurs ohmiques, tels que les mtaux et les solutionsconductrices, aux conditions physiques normales et dans le cas dunchamp qui nest pas trs intense. Sous la forme intgre, nous trouvonsla loi linaire I = V/R. La courbe reprsentant I en fonction de V,appele caractristique, est une droite de pente 1/R sur laxe des V.

Un conducteur nest pas ohmique entre deux bornes A et B, si le rap-port V/I nest pas constant. Les diodes, par exemple, ne sont pasohmiques (voir la section 4.10). La figure 2.4b reprsente la caract-ristique dune cuve lectrolytique : le courant napparat que si la ten-sion est suprieure un certain seuil Vo. La rsistance est donc infi-nie au-dessous de Vo, elle dcrot si V est suprieur Vo, passe par unminimum puis augmente de nouveau. Enfin la figure 2.4c reprsentela caractristique dune thermistance ; la rsistance est dabord cons-tante puis elle dcrot avec V.

2.6 Conducteurs non ohmiques 37

Figure 2-4 a) Caractristique dun conducteur ohmique, b) dune solution lectrolytique et c) dune thermistance.

(c)

IR

VO(a)

IR

VO(b)

I

R

VO Vo

Pour connatre la cause du comportement non ohmique de certainsconducteurs, rappelons que la loi dOhm V = RI est tablie sous leshypothses que le champ nest pas trs intense, que le nombre de por-

teurs de charges par unit de volume est uniforme et indpendant de V,que ces charges se dplacent sous le seul effet des forces lectriques etde frottement, que la temprature du conducteur est uniforme et inva-riable. La loi dOhm nest pas donc valable si toutes ces hypothses nesont pas respectes.

Par exemple, elle nest pas valable si le champ lectrique est trsintense car le nombre de porteurs de charge peut augmenter (effet davalanche dans un tube gaz ou une diode rgulatrice de tension,par exemple).

Elle ne lest pas si le champ lectrique varie rapidement dans letemps, car alors un champ magntique important est induit et cechamp agit sur les charges en mouvement (cest le cas dun champ detrs haute frquence 1013 Hz).

La loi cesse aussi dtre valable dans le cas de deux conducteurs encontact ; car alors une d.d.p. de contact existe de part et dautre de lasurface de contact.

De mme, si on a deux semi-conducteurs ou un conducteur et unsemi-conducteur en contact, la loi dOhm nest pas valable dans largion de transition ; car le courant peut passer plus facilement dansun sens que dans lautre. Ce dernier effet permet de construire desdiodes jonction pour redresser le courant alternatif.

Les anciens tubes vide sont un autre exemple dlments nonohmiques : une partie du circuit est en fait un faisceau dlectronsmis par une cathode chauffe et qui se propagent dans le vide. Ledbit dlectrons et, par consquent, lintensit du courant I sontessentiellement dtermins par la vitesse dmission de la cathode etvarient avec la tension applique entre la cathode et lanode suivantune loi non linaire. En particulier, si le potentiel est renvers, leslectrons sont repousss au lieu dtre attirs et lintensit de courantsannule.

2.7 UTILISATIONS DES RSISTANCES

Tous les conducteurs, y compris les fils de connexion, ont une cer-taine rsistance. Ils dissipent donc de lnergie et limitent les applica-tions techniques. Mais les rsistances peuvent aussi tre utiles.


a) Une rsistance permet de transformer lnergie lectrique en cha-leur. Si elle est branche sur une tension V, la puissance dissipe pareffet Joule est P = V 2/R. Cette puissance est donc inversement pro-portionnelle R . Pour cela, il faut que la chaleur dgage puisse trevacue du conducteur et que celui-ci rsiste bien la chaleur, pourquil ne fonde pas ou ne soxyde pas, sil est expos lair. Pour vi-ter loxydation, on peut remplacer lair par un gaz inerte. La chaleurdgage peut tre utilise pour le chauffage, pour lclairage par deslampes incandescence (mission de la lumire par un filament detungstne chauff environ 3000 C). Mentionnons aussi leffetthermoionique, qui est troitement li leffet Joule. Cestlmission dlectrons par une cathode chauffe laide dune rsis-tance. Cet effet est utilis dans plusieurs appareils dobservation et demesure. Leffet Joule est utilis aussi dans lampremtre thermique(qui mesure lintensit dun courant partir de lallongement dun filconducteur, d la chaleur dgage).

Les rsistances utilises pour le chauffage sont habituellement fai-tes de nichrome, un alliage de haute rsistivit et de faible coefficientde temprature. Elles peuvent tre maintenues haute tempraturepour une longue dure sans se dtriorer mcaniquement ou chimi-quement. Elles ont habituellement la forme de bandes ou en hliceplutt quun conducteur cylindrique pour vacuer plus facilement lachaleur.

b) La variation de la rsistance avec la temprature peut tre utilise enthermomtrie. Les divers types du thermomtre rsistance de platinepermettent de mesurer des tempratures allant de 260C 960Cavec une prcision proche du centime ou le millime de degr.c) Les rsistances sont des lments essentiels des circuits lectro-niques pour contrler les tensions et les courants. Pour cela, il faut quela consommation de puissance soit trs faible (de lordre du watt), vi-tant ainsi un surchauffement nuisible des instruments et une grandeconsommation dnergie. Pour avoir une rsistance de valeur assezprcise et variant peu avec la temprature, on enroule, sur un noyauisolant, un long fil fin fait dun alliage de haute rsistivit et de faiblecoefficient de temprature, tel que le nichrome, le manganin ou leconstantan.

Des rsistances peu coteuses, mais moins prcises, peuvent treralises avec une poudre de graphite mlang largile. Elles se pr-


sentent alors comme des composants en cramique avec un code decouleur pour indiquer leur valeur et la tolrance derreur (Fig. 2.5). Lescouleurs des bandes A et B reprsentent le premier et le second chiffresignificatif respectivement. La bande C reprsente la puissance de 10multiplicative, selon le tableau 2.2, et la bande D reprsente la tol-rance. Pour cette dernire, la couleur dore veut dire une tolrance de5 %, la couleur argente veut dire 10 % tandis que labsence de bandeveut dire une tolrance de 20 %.


Couleur Bandes A et B Bande C du facteur des chiffres significatifs multiplicateur

Noir 0 1Brun 1 10

Rouge 2 102

Orange 3 103

Jaune 4 104

Vert 5 105

Bleu 6 106

Violet 7 107

Gris 8 108

Blanc 9 109

Tableau 2-2 Code des couleurs pour les rsistances

Figure 2-5 Rsistances et leurs bandes de couleur.

A

B

C

D

d) Les rsistances rglables (ou rhostats) peuvent tre ralises endplaant un curseur B sur un bobinage AC (Fig. 2.6a). On peut aussiutiliser ce dispositif comme diviseur de tension. Si un gnrateur detension Vo est branch entre A et C, la tension obtenue entre A et B est

VAB = Vo RAB/RAC = Vo AB/AC (2.25)En dplaant le curseur B , il est ainsi possible de faire varier VAB de0 Vo. Au lieu du bobinage, le potentiomtre de la Fig. 2.6b) utiliseune bande circulaire AC sur laquelle glisse le point B . Ces diviseurs detension, sont utiliss pour contrler les instruments (le volume sonoreet la luminosit dun tlviseur, par exemple).

e) Pour transporter une puissance lectrique P sur une grande distance,il est ncessaire de rduire les pertes. Si R est la rsistance totale de laligne et V est le potentiel lentre, lintensit du courant est I = P/Vet la puissance perdue par effet Joule est PJ = RI 2 = R P2/V 2. Lerendement est R = 1/(1 + R P/V 2). Par exemple, si une puissance P = 10 MW est transporte sous unetension de 220 V sur une ligne de 100 km et de rsistance 1 par km,lintensit de courant est 4,5 104 A et le rendement est seulement = 5 105 ! Cela veut dire que presque toute lnergie est perdue.Pour rduire la perte, on doit rduire R en choisissant un mtal de fai-ble rsistivit et en augmentant le diamtre des conducteurs ; mais celapose de srieux problmes techniques et conomiques. Une meilleuresolution consiste augmenter la tension V en utilisant des lignes hautetension (des centaines de milliers de volts). Laugmentation de V pourle transport de la puissance et la rduction de V pour la distributionaux usagers sont ralises laide de transformateurs et cela nest pos-sible quavec des courants alternatifs.

POINTS-CLS

Un fil de connexion idal a une rsistance ngligeable. Le champ lec-trique y est nul et tous ses points sont quipotentiels. En rgime quasistationnaire lintensit est la mme en tous les points dune branche.

Le courant lectrique a t initialement introduit en relation avec llec-trolyse et sa direction conventionnelle a t choisie par conventioncomme celle du mouvement des ions positifs. Dans un mtal, le courantest d au mouvement des lectrons libres ngatifs, le courant est donc


Figure 2-6 Potentiomtres ou diviseur de tension.

(a)

A CB

Vo

VAB

(b)

C

A

VAC

VAB

B

dans le sens oppos leur mouvement. Normalement le courant sort dela borne positive du gnrateur et entre par la borne ngative (leslectrons sortent de la borne ngative et entrent par la borne positive).Dans un circuit avec plusieurs gnrateurs, un gnrateur peut tre bran-ch en opposition, le courant entre alors dans ce gnrateur sa bornepositive et sort de sa borne ngative ; cest le cas dun accumulateur encharge.

Seule la d.d.p. entre les points dun circuit a un sens ; elle est lie lapuissance qui apparat entre ces points par la relation P = I V. Noterque la notation utilise couramment est VAB pour VA VB, contraire-ment la distance algbrique sur un axe AB = xB xA . Cest donc lachute de potentiel.

QUESTIONS DE RFLEXION

1. Une d.d.p. V est branche aux extrmits dune tige de longueur L.Analysez le champ et le potentiel lectriques lintrieur de la tige.Pourquoi ce conducteur ne peut pas tre en quilibre ? Est-ce quunedensit de charge existe lintrieur du conducteur ? Si la rponse estnon, comment expliquer lexistence du courant ?2. Si vous branchez une pile aux extrmits dun fil trs fin, il fond. Lesenceintes de certains instruments sont munies de trous daration.Expliquez pourquoi.3. Un courant continu ne change pas de sens au cours du temps ; lesporteurs de charge se dplacent donc toujours dans le mme sens. Quese passe-t-il dans le cas dun courant alternatif ? Comment les porteursde charges se dplacent-ils ? Comment lnergie est-elle transmise ?4. Dans une solution lectrolytique, les ions positifs et les ions ngatifsse dplacent. Soient q+, v+ et n+ la charge des ions positifs, leurvitesse et leur nombre par unit de volume et de mme, q, v et n

pour les ions ngatifs. Montrez que q+n+ = qn . crivez lexpres-sion de la densit de courant.5. La vitesse de drive dans les mtaux est une fraction de mm/s. Si lacharge se dplace si lentement, pourquoi une lampe sallume-t-ellepresque immdiatement lorsque vous la branchez ? Quel est le tempsque met votre appel tlphonique pour arriver votre correspondant une distance de 1000 km ?


6. Peut-on dire que les charges sont produites par les batteries et quunlectron sort de la borne ngative et entre par la borne positive ?7. Si vous rduisez la longueur du fil chauffant dans un rchaud lectrique,est-ce que la chaleur dgage par effet Joule augmente ou diminue ?8. La loi de conduction de llectricit dans une tige I = dq/dt =V/R = (S/L)V ressemble la loi de Fourier pour la conductionde la chaleur, d Q/dt = kT (S/L)T , o kT est la conductivit ther-mique. En fait le rapport kT / est environ 6 106W/K pour lesmtaux. Est-ce que cela veut dire une relation entre les deux phno-mnes ?9. Considrons un conducteur cylindrique de longueur L et desection S. Vrifiez que la dissipation de puissance par effet JouleP(J) v = j2 par unit de volume correspond bien RI 2 dans leconducteur (o R = L/S).10. Deux ampoules de 100 W et 50 W fonctionnent sous 220 V.Laquelle a la plus grande rsistance ? Laquelle transporte la plusgrande intensit ? Que se passe-t-il si vous les branchez sous 110 V etsous 440 V ? Si vous les branchez en srie sous 220, obtenez-vous plusde lumire ?11. Pouvez-vous expliquer pourquoi les ampoules ordinaires fila-ment de tungstne grillent habituellement ds quon les branche enmettant brivement une lumire intense bleutre ?12. Pourquoi le champ lectrique doit tre nul dans un supraconduc-teur ? Quest ce qui fait alors dplacer les porteurs de charge ? Quepouvez-vous dire de la d.d.p. ? Pourquoi un courant lectrique persiste-t-il dans un supraconducteur sans gnrateur ?13. Pouvez-vous deviner la forme de la courbe caractristique duneampoule filament de tungstne ?

14. Une lampe gaz, destine mettre des clairs, a la caractristiqueillustre dans la Fig. 2.7a. Discutez la variation de la rsistance de cette


Figure 2-7

I

V(a)

CR

E L

(b)

lampe comme fonction de la tension applique. La Fig. 2.7b reprsenteun circuit utilisant cette lampe L. Lorsquon ferme linterrupteur, lalampe met un clair brillant. Expliquez pourquoi.

15. Cest un courant intense, circulant dans le corps humain, qui estdangereux plutt que la haute tension. Pourquoi alors avertir de lahaute tension plutt que dun courant intense prs des quipementslectriques ? Comment pouvez-vous aider une personne lectrocutesans risquer votre propre vie ? Est-il dangereux de toucher un cblehaute tension ? Est-il dangereux de toucher larmature dun condensa-teur charg ? Pourquoi un oiseau peut se poser sur une ligne haute ten-sion sans tre lectrocut ?

EXERCICES CORRIGS

Donnes : Nombre dAvogadro : NA = 6,0221 1023 mol1, masse atomique ducuivre : 63,55 et celle de largent : 107,868 ; masse volumique du cuivre : 8920kg/m3 et celle de largent : 10500 kg/m3.

2-1 Un faisceau dlectrons de section 0,20 cm2 contient N = 1,0 106lectrons par cm3, qui se dplacent avec une vitesse v = 1,0 105 m/sdans la direction Ox. Calculez la densit de courant et lintensit cor-respondantes ?

2-2 On voudrait dposer une couche daluminium dpaisseure = 5 nm en vaporant le mtal sur un morceau de verre carr. Oncesse lvaporation quand la rsistance entre deux cts opposs de lacouche atteint une valeur convenable R . Quelle doit tre la valeur deR , si la rsistivit de laluminium est de 2,83 106.cm ? Est-ceque R dpend du ct de la couche ?

2-3 Supposons que la densit de courant dans un conducteur cylin-drique varie avec la distance r laxe comme j = jor . Calculez lin-tensit si le conducteur a un rayon a .

2-4 Un nuage porte une charge positive de 10 coulombs et se dchargeen 1 ms. Quelle est lintensit moyenne dans cette dcharge ? Quel estle nombre dlectrons correspondant ? Dans quel sens se dplacent-ils ? Supposant que la d.d.p. entre le nuage et le sol est de 3 106 V,quelle est lnergie libre dans cette dcharge ? Quel est le tempsncessaire pour quune ampoule de 100 W consomme cette nergie ?


2-5 Un fil de cuivre de diamtre 1 mm et de longueur 2 m transporteun courant de 1 A. Calculez la densit de courant. Supposant que lenombre dlectrons de conduction est un lectron par atome, calculezla vitesse de drive. Quel est le champ lectrique dans ce fil ? Quelleest sa rsistance ? Quelle est la d.d.p. ses extrmits ?2-6 Un fer repasser a une puissance de 1500 W et fonctionne sous220 V et 200C. a) Dterminez lintensit de courant et la rsistance chaud.b) Le fil chauffant est en nichrome ( = 150 108.m et =0,4 103K1) et il a une longueur de 8 m. Quel doit tre le diamtrede ce fil ?c) Calculez la rsistance froid de ce fil.

2-7 Dans un thermomtre rsistance de platine, on utilise la variationde la rsistance pour mesurer les variations de temprature. Quelle estla rsistance dun fil de platine de longueur 1 m et de diamtre 0,1 mm 0C ? Quelle est la variation de sa rsistance qui correspond unevariation de 1,00 C ? quelle temprature la rsistance est-elle dou-ble ?

2-8 On voudrait raliser un conducteur dont la rsistance ne varie pasbeaucoup avec la temprature, en plaant en srie deux cylindres decarbone et de cuivre de mme section. Quel doit tre le rapport de leurslongueurs ?

SOLUTIONS DES EXERCICES

2-1 La densit de courant est

j = eNv= (1,6 1019C) (1,0 1012 lectrons/m1) (1,0 105 m/s) = 1,6 102 A.m2

La charge de llectron tant ngative, la densit de courant est dans lesens oppos au mouvement. La densit de courant est donc

I = | j |S = (1,6 102A.m2) (0,2 104m2) = 3,2 107 A


2-2 Soit a le ct du carr. La rsistance de la couche entre deux ctsopposs est

R = a/(ea) = /e = 2,83 106.cm/5 107cm = 5,66 Elle est indpendante du ct de la plaque.

2-3 Considrons une couche cylindrique situe entre les deux cylin-dres de rayon r et r + dr (Fig. 2.8). La section normale du cylindre derayon r est r2. Sa variation lorsque r varie de dr est dS = 2 r dr ;cest la section normale de la couche cylindrique. On lobtient aussi


Figure 2-8

rdrj (r)

en valuant laire dune bande de longueur 2r (primtre du cercleintrieur) et de largeur dr. Lintensit dans cette couche estd I = j (r)dS = 2 jor2 dr . Lintensit totale est obtenue par intgra-tion sur la section du conducteur :

I = a

0d I = 2 jo

a0

r2 dr = (2/3) joa3

2-4 Lintensit moyenne dans la dcharge est I = Q/t =10 C/1 103s = 104 A.

Le nombre dlectrons qui portent cette charge estQ/e = 10/1,6 1019C = 6,2 1019 lectrons.

Le sol est ngatif ; les lectrons se dplacent du sol vers le nuage.Lnergie libre dans cette dcharge est

U = QV = 10 C (3 106) = 3 107 J ; ce qui correspond la consommation dune lampe de 100 W pendantun temps t = U/P = 3 107 J/100 W = 3 105 s soit 83 h.2-5 Supposant que la densit de courant est uniforme sur la section, savaleur est

j = I/S = 1A/(0,5 103m)2 = 1,27 106 A/m2 .

1 m3 de cuivre pse 8 900 kg et sa masse atomique est 63,5 g/mole. Lenombre dAvogadro (NA = 6,0 1023 atomes/mol) est le nombredatomes dans 63,5 g de cuivre. Le nombre dlectrons par unit devolume, approximativement gal au nombre datomes dans 1 m3, est

ne = (8,90 103 kg/m3) 6,02 1023 atomes/mole)/(63,5 103 kg/mol) = 8,44 1028 lectrons/m3

Comme j = enevd , cest--dire vd = j/ene, nous trouvonsvd = (1,27 106)/(1,60 1019)(8,44 1028) = 9,40 105 m/s. Le champ lectrique dans le fil est donn par la loi dOhm

E = j = (1,7 108 W.m)(1,27 106 A/m2) = 0,0216 V/m La rsistance du fil est

R = L/S = (1,7 108.m)(2,0m)/(0,5 103m)2= 4,33 102

La d.d.p. entre ses extrmits est

V = E L = (0,0216 V/m) 2 m = 0,0433 VElle est bien gale I R.

2-6 a) La tension et la puissance sont donnes par les relations V = I Ret P = RI 2. Nous en dduisons que

I = P/V = 1 500 W/220 V = 6,82 Aet R = V 2/P = (220 V)2/1 500 W = 32,3

b) La rsistance du fil est donne par la relation R = L/S = 4L/d2 ,do

d = 4L/R = 0,69 mmc) Ngligeant leffet de la dilatation, la rsistance varie avec la temp-rature comme la rsistivit, selon la relation R = Ro(1 + T ) . Larsistance la temprature normale (20 C) est donc

Ro = R/(1 + T ) = 32,3 /(1 + 0,4 103K 1 180 K)= 30,1

2-7 La rsistance 0 estRo =oL/S=(10,6108 .m)(1m)/(0,05103m)2 =13,5


La variation de la rsistance, due une variation de 1,00 K, est

R Ro = RooT =(13,5 )(0,003 927 K1 1 K)=0,053 La rsistance est double si Ro(1 + oT ) = 2Ro , donc oT = 1,

soit T = 1/o = 254,6 K

2-8 Soient lcu et lca les longueurs des cylindres de cuivre et de carbone.Ngligeant les effets de la dilatation, la rsistance des deux cylindresen srie la temprature T est

R = culcu/S + calca/S= (1/S)[lcuo,cu(1 + cuT ) + lcao,ca(1 + caT )]= (1/S)[lcuo,cu + lcao,ca + T (lcuo,cucu + lcao,caca)]

R varie peu avec T si le coefficient de T est nul, do la condition

lcu/ lca = o,caca/o,cucu= (3 500 108)(5 104)/(1,67 108)(3,93 103) 267


3.1 COURANT SINUSODAL

Un systme est priodique si toutes ses grandeurs reprennent lesmmes valeurs aux instants spars par un intervalle de temps T ,appel priode. La frquence est le nombre doscillations compl-tes par unit de temps. Elle est lie la priode par la relation

= 1/T . (3.1)La priode est exprime ordinairement en secondes (s) et la frquenceen s1. Cette unit de frquence est appele aussi Hertz (Hz.) Pour leshautes frquences, on emploie le kilohertz (kHz = 103 Hz), mga-hertz (MHz = 106 Hz) et le gigahertz (GHz = 109 Hz).

3CH

AP

ITR

E

Courantalternatif

3.1 Courant sinusodal

3.2 Reprsentation trigonomtrique et reprsentation de Fresnel

3.3 Reprsentation complexe

3.4 Effet Joule et valeurs efficaces

3.5 Circuit oscillant LC

3.6 Circuit oscillant LCR

PLA

N

tudes des lments dun circuit en courant sinusodal et des oscilla-tions propres dun circuit.

OB

JEC

TIF

Une fonction priodique particulirement simple et utile est la fonc-tion harmonique ou sinusodale de la forme

u = A cos(t + ) (3.2)(t + ) est la phase linstant t et est la phase initiale (souventappele phase, pour simplifier). La phase a les dimensions dunangle ; elle est donc exprime en radians (rad) et la pulsation estexprime en radians par seconde (rad/s). La fonction (3.2) reprend lesmmes valeurs si la phase varie de 2, cest--dire aprs une priodeT telle que (t + T ) + = t + + 2 , do les relations de lapriode T et la frquence

T = 2/ et = 1/T = /2 (3.3)

A est lamplitude (que nous dsignons aussi par um). u oscille entreA et +A (Fig. 3.1a). A et u sexpriment avec les mmes units. Unchoix convenable de permet toujours davoir A positive et nous pre-nons compris entre et + .

Dans la suite, u peut tre une d.d.p. ou une intensit de courant dansun circuit aliment par un gnrateur de pulsation . Il est vident quela tension entre deux points quelconques du circuit et les intensits decourant dans les diverses branches sont sinusodales de mme pulsa-tion.

50 Chapitre 3 Courant alternatif

Figure 3-1 a) Tension harmonique et b) Oscilloscope cathodique : les lectrons, mis par unfilament chauff F, sont acclrs par un potentiel Va. Ils sont dvis dans la direction Oy

par la tension observer V et dans la direction Ox par la tension de balayage Vb. Ils produisentsur lcran luminescent une tache dplace dans la direction Oy proportionnellement V et dans la direction Ox proportionnellement au temps. On observe donc la courbe

de V en fonction du temps.

A

u

tO

A

T

A cos yFaisceaudlectrons

Ecran

x

Vb

VaVf

V

zOF

u peut tre aussi la tension ou lintensit dans un circuit oscillantlibrement (cest--dire non aliment par un gnrateur) ; est alors lapulsation propre du circuit et elle est dsigne par o. On peut mon-trer que u vrifie lquation diffrentielle

u + 2u = 0 (o u d2u/dt2), (3.4)La pulsation est indpendante des conditions initiales ; cest unegrandeur caractristique du circuit tandis que les constantes A et dpendent de la faon de lexciter.

Si u est une tension lectrique, elle peut tre facilement observe en la branchantaux bornes dun oscilloscope (Fig. 3.1b). Si la tension est harmonique, linstrumentpermet de mesurer son amplitude et sa frquence. Il permet aussi de dterminer ledphasage de deux tensions sinusodales. Pour observer un courant lectriquedans une rsistance, on branche loscilloscope aux bornes de la rsistance.

3.2 REPRSENTATION TRIGONOMTRIQUEET REPRSENTATION DE FRESNEL

La solution gnrale de lquation diffrentielle (3.4) peut tre critesous lune des formes trigonomtriques :u(t) = A cos(t + ) = A sin(t + ) = A1 cos(t) + A2 sin(t)

(3.5)Ces expressions sont quivalentes et dpendent de deux paramtres quipeuvent tre dtermins partir des conditions initiales. Les relationsqui lient ces paramtres sont

A = A et = + /2 (3.6)A1 = A cos = A sin , (3.7)

A2 = A sin = A cos (3.8)Notons que A1 et A2 sont positives, ngatives ou nulles. Si nous choi-sissons les amplitudes A et A positives, nous avons aussi les relations

A =

A21 + A22 , tan = A2/A1, tan = A1/A2 (3.9)La reprsentation de Fresnel (ou des vecteurs tournants) considre

la fonction u = A cos(t + ) comme la projection sur un axe Oxdun vecteur u(t) de module A et qui fait avec Ox un angle (t + )

3.2 Reprsentation trigonomtrique et reprsentation de Fresnel 51

(Fig. 3.2a). Il tourne donc autour de O avec une vitesse angulaire dans le sens contraire celui des aiguilles dune montre en partant dunangle linstant t = 0. De mme, la fonction A sin(t + ) peut tre considre comme la projection du vecteur u(t) sur laxe Oy per-pendiculaire Ox.

La drive de u(t), u = A cos(t + + /2), est reprsentepar le vecteur de longueur A en avance de phase de /2 sur u(t) etsa drive seconde u = 2 A cos(t + + ) est reprsente par levecteur de longueur 2 A en avance de phase de sur u(t). La primi-

tive de u(t) est reprsente par le vecteur

dt u(t) de module A/ eten retard de phase de /2 sur u(t). Si toutes les grandeurs consid-rer ont la mme pulsation , il suffit de les reprsenter linstantt = 0 ; leur reprsentation linstant t est obtenue par une rotation dela figure dun angle t.

Lquation des oscillations (3.4) est linaire et homogne. Ses solu-tions ont donc une proprit remarquable : si u(t) est une solution etC est une constante arbitraire, Cu(t) est aussi une solution. Plusgnralement, si u1(t) et u2(t) sont deux solutions, toute combinai-son linaire avec des coefficients C1 et C2 arbitraires,u =C1u1(t) + C2u2(t)=C1 A1 cos(t + 1) + C2 A2 cos(t + 2)= A cos(t + )

(3.10)est aussi une solution de lquation avec A et donnes par

52 Chapitre 3 Courant alternatif

Figure 3-2 Reprsentation dune fonction harmonique, ses drives et sa primitive :a) reprsentation de Fresnel et b) reprsentation complexe pour t = 0.

(a) dt )(tu

)(tuO

x

u(t)

t +

t++t +

2A

)(tu

(b)

A/

dt u

O x

y

d2 u /dt2

A A

u

2A

d u /dt +

/2

/2

/2

/2

A =

A21 + A22 + 2A1 A2 cos(1 2)cos = (A1 cos 1 + A2 cos 2)/A ,sin = (A1 sin 1 + A2 sin 2)/A (3.11)

Les conditions initiales de u(t) sont des combinaisons linaires desconditions initiales de u1(t) et u2(t) avec les mmes coefficients C1 etC2. Cest le principe de superposition des solutions. La reprsentationde Fresnel illustre bien cette proprit. Les vecteurs de Fresnel u1(t) etu2(t), qui reprsentent u1 et u2, tournent autour de lorigine avec lamme vitesse angulaire et forment entre eux un angle constant(1 2). Leur somme u est la projection sur laxe Ox de la sommevectorielle u1(t) + u2(t) . Cest un vecteur tournant avec la mmevitesse angulaire , de module A et de phase t + .Un calcul go-mtrique simple donne justement les relations (3.11). Le maximum delamplitude A est (A1 + A2) si u1 et u2 sont en phase (1 = 2) et leminimum de A est |A1 A2| si u1 et u2 sont en opposition de phase(1 = 2 ). Si u1(t) et u2(t) sont dphass de /2, on dit quilssont en quadrature. Les vecteurs qui les reprsentent sont orthogonaux

et lamplitude de leur superposition est A =

A21 + A22 .Si u1 et u2 nont pas la mme frquence, les vecteurs qui les reprsen-

tent tournent des vitesses diffrentes. La vibration rsultante nest paspriodique (sauf si 1/2 est gal au rapport de deux nombres entiers).Elle oscille entre une valeur maximale A1 + A2, lorsque les deux vecteurssont colinaires et de mme sens, et une valeur minimale |A1 A2|,lorsque les deux vecteurs sont colinaires et de sens opposs. Nous avonsalors un phnomne de battements de frquence = |1 2|.

3.3 REPRSENTATION COMPLEXE

Pour prciser les notations, rappelons dabord quelques lments delanalyse complexe. Une variable complexe (dsigne ici par un sym-bole soulign) scrit sous la forme algbrique

u = x + jy ; x = Re u et y = Im u (3.12)

3.3 Reprsentation complexe 53

O nous avons pos j2 1. x est la partie relle de u et y est la par-tie imaginaire de u. Nous pouvons utiliser aussi la forme exponen-tielle

u = ej o = module u et = phase u (3.13) est le module de u et est sa phase. Utilisant la relation dEuler(1)

ej = cos + j sin , (3.14)nous trouvons les relatio

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