minimal surfaces spanning closed manifolds rcourant

7/27/2019 Minimal Surfaces Spanning Closed Manifolds RCourant

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MATHEMA T I C S : CO URA NT AND DA VIDS P R O C . N . A . S .w i t h r e s p e c t t o t h e p r o p e r t y o f b e i n g t h e p r o d u c t o f c o n t i n u a o f t y p e P ,w h e r e a c o n t i n u u m C i s s a i d t o b e o f t y p e P p r o v i d e d t h e c l o s u r e o f t h ec o m p l e m e n t o f C c o n s i s t s o f a f i n i t e n u m b e r o f c o m p o n e n t s D i , e a c h D ii n t e r s e c t i n g C i n a s i n g l e p o i n t p i , a n d w h e r e T ( p , ) e ( D , - p i ) . I t i s t h e ns h o w n t h a t N i s a s u b s e t o f a n F - s e t , a n d f i n a l l y t h a t N c o n t a i n s a c o n -t i n u u m 7 r s u c h t h a t T ( 7 r ) D r .A s r e s u l t s o f 3 . 1 we o b t a i nT H E O R E M 3 . 2 : I f T ( M ) CM i s a c o n t i n u o u s t r a n s f o r m a t i o n o f a c o m p a c tc o n t i n u u m M , t h e r e e x i s t s e i t h e r a f i x e d p o i n t i n M o r a n F - s e t F s u c h t h a tF . T ( F ) c o n t a i n s a n o n - d e g e n e r a t e c o n t i n u u m .T H E O R E M 3 . 3 : I f T ( M ) CM i s a c o n t i n u o u s t r a n s f o r m a t i o n o f a c o m p a c tc o n t i n u u m M , t h e r e e x i s t s a c o m p a c t s u b s e t R o f a n F - s e t F o f M s u c h t h a tT ( R ) = R .T H E O R E M 3 . 4 : I f T ( M ) CM i s a c o n t i n u o u s t r a n s f o r m a t i o n o f a c o m p a c tc o n t i n u u m M w h i c h c a r r i e s e a c h F - s e t i n t o a s u b s e t o f a n F - s e t - - i f , f o r e x -a m p l e , t h e i n v e r s e o f n o p o i n t s e p a r a t e s a n F - s e t i n M , - t h e n t h e r e e x i s t s a n F -s e t F s u c h t h a t T ( F ) C F .

I n c a s e e v e r y F - s e t i s d e g e n e r a t e , we h a v e f r o m 3 . 4 t h e S c h e r r e r f i x e dp o i n t t h e o r e m f o r d e n d r i t e s . 6 I f T i s a h o m e o m o r p h i s m a n d M l i s l o c a l l yc o n n e c t e d , 3 . 4 i s A y r e s ' t h e o r e m . 7

' P r e s e n t e d t o t h e A m e r . M a t h . S o c . , D e c . , 1 9 3 8 . Th e p a p e r i n f u l l was o f f e r e d t oF u n d a m e n t a M a t h e m a t i c a e f o r p u b l i c a t i o n i n J u n e , 1 9 3 9 .2 C o m p a r e w i t h K u r a t o w s k i a n d W h y b u r n , F u n d . M a t h . , 1 6 , 3 0 5 - 3 3 1 ( 1 9 3 0 ) , a n dM o o r e , R . L . , F o u n d a t i o n s o f P o i n t S e t T h e o r y , p . 7 2 .3 peM i s r e g u l a r i f t h e r e e x i s t s a n a r b i t r a r i l y s m a l l n e i g h b o r h o o d o f p w i t h a f i n i t eb o u n d a r y . S e e M e n g e r , K u r v e n t h e o r i e , p . 9 6 .4 W h y b u r n , G . T . , T r a n s . A m e r . M a t h . S o c . , 3 0 , 5 9 7 - 6 0 9 ( 1 9 2 5 ) .6 A s e t N CM i s a r e t r a c t o f M i f t h e r e e x i s t s a c o n t i n u o u s t r a n s f o r m a t i o n T ( M ) = Ns u c h t h a t T i s t h e i d e n t i t y t r a n s f o r m a t i o n o n N . S e e B o r s u k , K . , F u n d . M a t h . , 1 7 , 1 5 5( 1 9 3 1 ) .6 M a t h . Z e i t . , 2 5 , 1 2 9 ( 1 9 2 6 ) .7 F u n d . M a t h . , 1 6 , 3 3 3 - 3 3 6 ( 1 9 3 0 ) .

MINIMAL SURFA CES SPANNING CLOSED MANIFOLDSBy R . COURANT AND N . DAVIDS

NEW YORK UNIVERSITYC o m m u n i c a t e d J a n u a r y 2 6 , 1 9 4 0

Th e g r e a t v a r i e t y o f p h e n o m e n a p r e s e n t e d b y t h e P l a t e a u - D o u g l a sp r o b l e m i s s u r p a s s e d b y t h e p o s s i b i l i t i e s i n t h e c o r r e s p o n d i n g p r o b l e m s w i t h" f r e e b o u n d a r i e s . " I n a p r e v i o u s n o t e ' a s i m p l y c o n n e c t e d m i n i m a l s u r -f a c e o f l e a s t a r e a was c o n s t r u c t e d w h o s e b o u n d a r y c o n s i s t e d p a r t l y o f a

1 9 4


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MATHEMA T I C S : CO URA NT A ND DA VIDSg i v e n J o r d a n a r c a n d p a r t l y o f a p o i n t - s e t f r e e o n a g i v e n m a n i f o l d , M. I na m o r e d e t a i l e d p a p e r 2 a d o u b l y c o n n e c t e d m i n i m a l s u r f a c e o f l e a s t a r e ai s c o n s t r u c t e d o n e o f w h o s e b o u n d a r i e s i s a p r e s c r i b e d J o r d a n c u r v e , t h eo t h e r f r e e o n a g i v e n m a n i f o l d . Th e s o l u t i o n o f t h e s e v a r i a t i o n a l p r o b l e m si s b a s e d o n a g e n e r a l c o n v e r g e n c e t h e o r e m c o n c e r n i n g b o u n d a r y v a l u e s o fh a r m o n i c v e c t o r s . ( S e e I o r I I . )T h e p r e s e n t n o t e i s c o n c e r n e d w i t h m i n i m a l s u r f a c e s n o p a r t o f w h o s eb o u n d a r y i s r e q u i r e d t o b e a m o n o t o n i c a l l y d e s c r i b e d J o r d a n c u r v e . H e r e ,a s a l r e a d y p o i n t e d o u t i n I I , a n e n t i r e l y new e l e m e n t e n t e r s i n t o t h e p r o b l e ma n d i n t o t h e e x i s t e n c e p r o o f : n a m e l y , i t b e c o m e s n e c e s s a r y t o s p e c i f yt h e t o p o l o g i c a l p o s i t i o n o f t h e r e q u i r e d s o l u t i o n r e l a t i v e t o t h e p r e s c r i b e db o u n d a r y m a n i f o l d . T h i s i s d o n e b y c o n s i d e r i n g l i n k i n g n u m b e r s b e t w e e nt h e b o u n d a r y c o m p o n e n t s o f t h e s u r f a c e s u n d e r c o n s i d e r a t i o n a n d p r e -a s s i g n e d c y c l e s i n t h e s p a c e c o m p l e m e n t a r y t o t h e g i v e n m a n i f o l d . N a t u -r a l l y , t h i s v i e w p o i n t p e r t a i n s i n a g e n e r a l way t o t h e t h e o r y o f t h eC a l c u l u s o f V a r i a t i o n s i n t h e L a r g e f o r s e v e r a l i n d e p e n d e n t v a r i a b l e s a n di s b y n o m e a n s r e s t r i c t e d t o t h e p r o b l e m o f m i n i m a l s u r f a c e s a l o n e .

I n t h e p r e s e n t n o t e we s h a l l s o l v e t h e f o l l o w i n g t y p i c a l p r o b l e m f o r t h et h r e e - d i m e n s i o n a l e u c l i d e a n s p a c e w i t h t h e p o s i t i o n v e c t o r T : g i v e n ac l o s e d s u r f a c e M o f g e n u s p > 0 , e . g . , a t o r u s ; g i v e n , f u r t h e r m o r e , a c l o s e ds i m p l e p o l y g o n H w h i c h h a s n o p o i n t s i n common w i t h M a n d w h i c h i sl i n k e d w i t h M, i . e . , w h i c h i s l i n k e d 3 w i t h a l l i n d i v i d u a l s o f a c l a s s o f e q u i v a -l e n t n o n - b o u n d i n g c y c l e s o n M. We s e e k a s i m p l e c o n n e c t e d m i n i m a ls u r f a c e o f l e a s t a r e a w h o s e b o u n d a r y l i e s o n M 4 a n d i s l i n k e d w i t h H , i na s e n s e made p r e c i s e i m m e d i a t e l y b e l o w . W i t h o u t a t o p o l o g i c a l c o n d i t i o ns u c h a s t h i s o n e t h e p r o b l e m w o u l d b e c o m e m e a n i n g l e s s , s i n c e i t s s o l u t i o nw o u l d t h e n b e t h e d e g e n e r a t e s u r f a c e g = c o n s t . A c c o r d i n g t o t h e c h o i c eo f H we c a n , f o r i n s t a n c e , c h a r a c t e r i z e s u r f a c e s f i l l i n g o u t t h e h o l e i n at o r u s , o r s p a n n i n g t h e i n s i d e o f t h e t o r u s .

A c c o r d i n g l y , we s u p p o s e o u r a d m i s s i b l e s u r f a c e s t o b e r e p r e s e n t e d p a r a -m e t r i c a l l y b y T ( u , v ) o r t ( r , 0 ) i n t h e u n i t c i r c l e B o f t h e u , v - p l a n e w i t hp o l a r c o o r d i n a t e s r , 0 . S i n c e t h e b o u n d a r y o f X n e e d n o t b e a c o n t i n u o u sc u r v e o n Mwe i m p o s e o u r l i n k i n g c o n d i t i o n i n t h e f o l l o w i n g m a n n e r : wer e q u i r e t h a t a l l i m a g e s u n d e r X ( u , v ) o f s i m p l e c l o s e d c u r v e s i n B s u f f i c i e n t l yn e a r t o t h e c i r c u m f e r e n c e C o f B s h a l l b e c u r v e s a r b i t r a r i l y n e a r t o M a n dl i n k e d w i t h H . F u r t h e r m o r e , we s u p p o s e t h a t t h e f i r s t d e r i v a t i v e s T . a n dX , a r e p i e c e w i s e c o n t i n u o u s i n B a n d t h a t t h e D i r i c h l e t i n t e g r a l

D [ F ] = DB [ F ] = l / 2 Jf(2u +Z V ) d u d v= / 2f ( 2-2 r d r d E

V O L . 2 6 , 1 9 4 0 1 9 5


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MATHEMATICS: COURANT AND DA VIDS P R O c . N . A . S .e x i s t s . We t h e n e s t a b l i s h t h e v a r i a t i o n a l p r o b l e m : t o f i n d a n a d m i s s i b l ev e c t o r g f o r w h i c h

D [ g ] = di s t h e s m a l l e s t p o s s i b l e v a l u e . T h a t a s o l u t i o n o f t h i s p r o b l e m y i e l d s am i n i m a l s u r f a c e f o l l o w s e x a c t l y a s i n t h e c a s e o f t h e P l a t e a u p r o b l e m ,e i t h e r w i t h o r w i t h o u t t h e u s e o f c o n f o r m a l m a p p i n g . I t i s t h e e x i s t e n c ep r o o f w h i c h r e q u i r e s a n e s s e n t i a l l y new r e a s o n i n g .I . E x i s t e n c e P r o o f . - D e n o t i n g b y d t h e g r e a t e s t l o w e r b o u n d o f D [ X ]f o r a d m i s s i b l e v e c t o r s we d e f i n e a n " a d m i s s i b l e s e q u e n c e " F n a s a s e q u e n c ea l l o f w h o s e m e m b e r s s a t i s f y t h e a d m i s s i b i l i t y c o n d i t i o n s e x c e p t t h a t t h eb o u n d a r y o f t h e s u r f a c e X . n e e d n o t b e o n M, b u t o n l y o n a m a n i f o l d Mnw h i c h , f o r n - - c o , t e n d s t o M i n t h e s e n s e t h a t t h e g r e a t e s t d i s t a n c e f r o mp o i n t s o f Mn t o M t e n d s t o z e r o . L e t a d e n o t e t h e g r e a t e s t l o w e r b o u n d o fD [ X ] f o r a l l s u c h a d m i s s i b l e s e q u e n c e s . Then a n a d m i s s i b l e s e q u e n c e 9 nf o r w h i c h

D [ X n ] -ai s c a l l e d a g e n e r a l i z e d m i n i m i z i n g s e q u e n c e . We o b v i o u s l y h a v e 6 < d , a n dwe s h a l l s e e t h a t a = d .F o r t h e e x i s t e n c e p r o o f we s t a r t w i t h s u c h a s e q u e n c e p . a n d r e p l a c ei t b y a g e n e r a l i z e d m i n i m i z i n g s e q u e n c e o f h a r m o n i c v e c t o r s a s f o l l o w s :We c h o o s e r . s o c l o s e t o 1 t h a t t h e p i e c e w i s e s m o o t h c u r v e p " ( r . , 0 ) d e -f i n e d b y t h e p a r a m e t e r 0 a n d c a l l e d M . l i e s w i t h i n t h e d i s t a n c e e = I / no f M a n d i s l i n k e d w i t h H . We t h e n f o r m t h e h a r m o n i c s u r f a c e g * ( u , v )w h i c h i s d e f i n e d o n t h e b o u n d a r y C o f B b y 4 ( 1 2 , 0 ) = 0 ( r . , ) . T h i ss u r f a c e s p a n s M n . S i n c e D [ 4 ] < D [ n , ] t h e 4 n a r e a g a i n a g e n e r a l i z e dm i n i m i z i n g s e q u e n c e . N o w , s i n c e M . a n d H a r e l i n k e d , t h e r e must e x i s ta t l e a s t o n e p o i n t u o , v 0 i n B s u c h t h a t X , ( u o , s o ) i s o n H . By a c o m p l e xl i n e a r t r a n s f o r m a t i o n o f B i n t o i t s e l f we c a n t h r o w u o , v o i n t o t h e o r i g i n a n do b t a i n a h a r m o n i c v e c t o r X . w i t h D [ X , ] = D [ 4 * ] a n d w i t h t h e b o u n d a r yM , . We o p e r a t e n ow w i t h t h e n ew s e q u e n c e t n . D [ g . ] i s u n i f o r m l yb o u n d e d . H e n c e we c a n , a c c o r d i n g t o a n e l e m e n t a r y lemma o f p o t e n t i a lt h e o r y , c h o o s e a s u b s e q u e n c e f o r w h i c h X . - f X u n i f o r m l y i n e a c h c o n -c e n t r i c c i r c l e . T h e h a r m o n i c v e c t o r X h a s t h e p o i n t g ( O , 0 ) o n H . A c -c o r d i n g t o t h e u s u a l r e a s o n i n g we h a v e

D [ X ] < l i m D [ [ ] = 5 ( 1 )a n d l i k e w i s e , f o r a n y s u b d o m a i n o f B , e . g . , f o r t h e c i r c l e B ' : r < 1 / 2 , w e h a v e

2 a = D B I [ I ] = D 1 1 2 [ X ] < l i m i n f D 1 / 2 [ 9 n ] . (

1 9 6

( 2 )


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V O L . 2 6 , 1 9 4 0 MATHEMA T I C S : COURANT AND DA VIDSBy t h e f u n d a m e n t a l c o n v e r g e n c e t h e o r e m o n b o u n d a r y v a l u e s i n I o r I It h e b o u n d a r y o f t i s o n M. S i n c e X ( O , 0 ) i s a t a p o s i t i v e d i s t a n c e f r o m M,i t f o l l o w s t h a t g i s n o t c o n s t a n t i n B o r B ' . H e n c e a > 0 . We t h e r e f o r eh a v e , f o r s u f f i c i e n t l y l a r g e n ,

D 1 / 2 [ F x ] > a > 0 , ( 3 )w i t h a f i x e d .I f we s h o w t h a t g i s a d m i s s i b l e , t h e n X i s i m m e d i a t e l y r e c o g n i z e d a s t h es o l u t i o n , a n d i n a d d i t i o n , s i n c e D [ g ] < 6 < d a n d D [ g ] > d , t h e r e l a t i o na = d i s e s t a b l i s h e d .A l l t h a t r e m a i n s t o b e p r o v e d - a n d t h i s i s t h e c r u c i a l p o i n t i n t h ew h o l e r e a s o n i n g - i s t h a t t h e b o u n d a r y o f X i s l i n k e d w i t h H . To t h i s e n dwe f i r s t mark o f f t h e p o i n t s i n B f o r w h i c h X ( u , v ) i s o n H . S i n c e , a c c o r d i n gt o t h e c o n v e r g e n c e t h e o r e m i n I o r I I , t h e b o u n d a r y o f g i s o n M, a n dh e n c e b o u n d e d away f r o m H , t h e r e a r e o n l y a f i n i t e n u m b e r o f s u c h " i n -t e r s e c t i o n s , " w h i l e t h e n u m b e r o f t h e s e p o i n t s f o r X , , o n t b e o t h e rh a n d n e e d n o t b e b o u n d e d . F o r a g i v e n s m a ll e we c h o o s e a c i r c l e p _ r .w h i c h e n c l o s e s a l l t h e i n t e r s e c t i o n p o i n t s o f X , a n d s u c h t h a t T ( p , 0 ) d e f i n e sa c u r v e M , e v e r y w h e r e n e a r e r t o M t h a n e / 4 . We t h e n c h o o s e n s o l a r g et h a t 1 9 . ( P , 0 ) - Z ( P , 0 ) < e / 4 a n d t h a t X n h a v e t h e s a m e n u m b e r o f i n t e r -s e c t i o n s f o r r< p a s X . S u p p o s e t h a t t h e c u r v e X ( p , 0 ) i s n o t l i n k e d w i t hH . X n ( p , 0 ) w o u l d t h e n a l s o n o t b e l i n k e d w i t h H . B u t , s i n c e t h e c u r v e0 ) i s l i n k e d w i t h H , t h e a l g e b r a i c sum o f t h e i n t e r s e c t i o n n u m b e r so f X , , c o r r e s p o n d i n g t o t h e r i n g R . p < r < 1 w o u l d t h e r e f o r e n o t v a n i s h .Now t h e v a l u e s D [ X . ] a r e e q u a l l y b o u n d e d b y a b o u n d A 2 . H e n c e t h e r ee x i s t s , f o r e a c h F n , a v a l u e 0 = , s u c h t h a t

~l , } 2 ; l ( 8 t n ) d r < J S ( t ) r d r < 2 1 A 2 ,a n d h e n c e , b y S c h w a r z ' s i n e q u a l i t y ,

T .( r , )- n( 1 , ) 2 < ( 1-r ) AH e n c e t h e o s c i l l a t i o n o f T ( r , , B ) i n t h e s e g m e n t S : 0 = # f o r p < r < 1 i sl e s s t h a n 6 / 4 i f p i s c h o s e n n e a r e n o u g h t o 1 ; c o n s e q u e n t l y t h e v a l u e s o fg n o n t h e s e g m e n t S a r e a t a d i s t a n c e l e s s t h a n 6 / 2 f r o m M, s i n c e T . ( 1 , j 3 )i s o n M. We c u t t h e r i n g R a l o n g S a n d t h u s o b t a i n a s i m p l y c o n n e c t e dd o m a i n R * = R w h o s e b o u n d a r y i s m a p p e d b y g , , o n a c o n t i n u o u s c u r v en e a r e r t o M t h a n e a n d l i n k e d w i t h H . ( N o i n t e r s e c t i o n p o i n t s o f X , , c a nc o r r e s p o n d t o p o i n t s o n S , s i n c e s u c h p o i n t s a r e f a r t h e r away f r o m M t h a ne . ) We h a v e

1 9 7


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MATHEMAT I C S : COURANT AND DA VIDS P R O C . N . A . S .D R * [ = [ ] - D B - R * [ X n ]

a n d D B - R * [ X n ] > D 1 1 2 f [ X ] > ab e c a u s e o f ( 3 ) , h e n c e

D R * [ X . ] < D [ X . ] - aI f we l e t e t e n d t o z e r o a n d , a c c o r d i n g l y , n t o i n f i n i t y a n d p t o 1 , w e h a v e

l i m i n f D R * [ X j ] < 6 - a . [ 4 ]B u t , b y a c o n f o r m a l m a p p i n g R* c a n b e t r a n s f o r m e d i n t o t h e u n i t c i r c l e Ba n d X , , i n R* i n t o a v e c t o r j , , i n B w i t h D [ j ] = D R * [ X J . Th e s e q u e n c e3 , i s c e r t a i n l y a n a d m i s si b l e s e q u e n c e . H e n c e

l i m i n f D [ j , ] = l i m i n f D R * [ J ] 2 8 ,w h i c h c o n t r a d i c t s ( 4 ) . T h e r e f o r e o u r a s s u m p t i o n t h a t X i s n o t a d m i s s i b l ei s r e f u t e d a n d t h e e x i s t e n c e p r o o f c o m p l e t e d .I I . R e m a r k s . - ( 1 ) I f we c o n s i d e r t h e s p e c i a l c a s e w h e r e M d e g e n e r a t e si n t o a J o r d a n c u r v e , we o b t a i n b y o u r m e t h o d t h e s o l u t i o n o f a p r o b l e ms i m i l a r t o t h e P l a t e a u p r o b le m , b u t d i f f e r e n t i n s o f a r a s a much w i d e rc l a s s o f s u r f a c e s i s a d m i t t e d t o c o m p e t i t i o n . B u t , a s s t a t e d b e f o r e i n I I ,t h i s m o r e g e n e r a l p r o b l e m l e a d s t o t h e s a m e s o l u t i o n a s t h e P l a t e a up r o b l e m . 5( 2 ) Th e s o l u t i o n o f t h e v a r i a t i o n a l p r o b l e m s a t i s f i e s a n a t u r a l b o u n d a r yc o n d i t i o n e x p r e s s i n g o r t h o g o n a l i t y i n a c e r t a i n a v e r a g e s e n s e . 6( 3 ) T h e p r o b l e m a n d m e t h o d o f t h i s p a p e r l e a d t o a v a r i e t y o f g e n -e r a l i z a t i o n s . We c a n c o n s i d e r m i n i m a l s u r f a c e s n o t o n l y h a v i n g - p r e -s c r i b e d t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e , b u t a l s o h a v i n g p r e s c r i b e d l i n k i n g p r o p e r -t i e s , e . g . , p r e s c r i b e d l i n k i n g n u m b e r s o f b o u n d a r y e l e m e n t s w i t h d i f f e r e n tp r e a s s i g n e d c y c l e s l i n k e d w i t h h o m o l o g y c l a s s e s o n M. T h e s o l u t i o n o fp r o b l e m s t h u s s p e c i f i e d d e p e n d s o n s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s i n t h e f o r m o fi n e q u a l i t i e s s i m i l a r t o t h o s e known f r o m t h e P l a t e a u - D o u g l a s p r o b l e m ;a n d , i n a d d i t i o n , i n e q u a l i t i e s r e f e r r i n g t o t h e t o p o l o g i c a l s t r u c t u r e o f t h em i n i m a l s u r f a c e r e l a t i v e t o t h e m a n i f o l d M. Th e r e s u l t i n a l l c a s e s i s a sf o l l o w s : A s o l u t i o n o f a p r e s c r i b e d t o p o l o g i c a l t y p e w i t h p r e s c r i b e d l i n k -i n g n u m b e r s e x i s t s i f t h e l o w e r b o u n d f o r t h e a r e a s u n d e r t h e s e c o n d i -t i o n s i s s t r i c t l y s m a l l e r t h a n f o r o t h e r ( n o t n e c e s s a r i l y l o w e r ) l i n k i n g num-b e r s a n d f o r l o w e r t o p o l o g i c a l t y p e o f s u r f a c e s . 7

1 C o u r a n t , " T h e E x i s t e n c e o f a M i n i m a l S u r f a c e o f L e a s t A r e a Bounded b y P r e -s c r i b e d J o r d a n A r c s a n d P r e s c r i b e d S u r f a c e s , " t h e s e P R O C E E D I N G S , 2 4 , 9 7 ( 1 9 3 8 ) -h e r e a f t e r r e f e r r e d t o a s I .2 C o u r a n t , " T h e E x i s t e n c e o f M i n i m a l S u r f a c e s o f G i v e n T o p o l o g i c a l S t r u c t u r e u n d e r

1 9 8


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MATHEMAT I C S : G . FUBINIP r e s c r i b e d B o u n d a r y C o n d i t i o n s , " p r i n t e d i n A c t a M a t h . a n d s o o n t o a p p e a r . T h i sp a p e r w i l l b e r e f e r r e d t o a s I I .

Tw o s i m p l e c l o s e d c u r v e s C 1 , C 2 i n t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l s p a c e a r e s a i d t o b e " l i n k e d "i f t h e a l g e b r a i c sum o f t h e i n t e r s e c t i o n s o f C 2 w i t h a n o r i e n t a b l e s u r f a c e s p a n n i n g C ,( o r , v i c e v e r s a , C 1 w i t h a s u r f a c e s p a n n i n g C 2 ) i s d i f f e r e n t f r o m z e r o . ( S e e A l e x a n d r o f f -H o p f , T o p o l o g i e , p p . 4 1 3 - 4 2 6 . )4 T h i s i s d e f i n e d a s f o l l o w s : I f X ( u , v ) i s r e p r e s e n t e d p a r a m e t r i c a l l y i n a d o m a i n Do f t h e u , v - p l a n e h a v i n g t h e b o u n d a r y C , t h e n t h e b o u n d a r y v a l u e s o f X a r e s a i d t o b e o nM i f , f o r e v e r y s e q u e n c e ( u 3 , v j ) w h i c h t e n d s t o C , t h e d i s t a n c e o f T ( u " , v . ) f r o m Mt e n d s t o z e r o .6 Th e p r o o f w i l l b e g i v e n e l s e w h e r e .6 S e e I I .

7 A d e t a i l e d p a p e r b y N . D a v i d s o n t h e s e q u e s t i o n s w i l l b e p u b l i s h e d l a t e r .

ON CA UCHY'S INTEGRAL THEOREMAND ON THE LAWOF THEMEAN FOR NON-DERIVABLE FUNCTIONS

BY G u I D o F U B I N II N S T I T U T E FO R ADVANCED STUDYC o m m u n i c a t e d F e b r u a r y 1 0 , 1 9 4 0

I n a r e c e n t v e r y i n t e r e s t i n g p a p e r , p r i n t e d i n t h e s e P R O C E E D I N G S , 2 5 , 6 2 1( 1 9 3 9 ) , P r o f e s s o r M e n g e r s t u d i e s a f u n d a m e n t a l q u e s t i o n . I n a r e c t a n g l eR l e t p ( x , y ) a n d q ( x , y ) b e t w o c o n t i n u o u s f u n c t i o n s ; we a s s o c i a t e w i t he a c h r e c t i f i a b l e c u r v e C t h e n u m b e r J ( C ) = f ( p d x + q d y ) . U n d e rw h i c h c o n d i t i o n i s J t h e s a m e f o r a n y c o t e r m i n a l c u r v e s i n R ? ( I n o t h e rw o r d s , u n d e r w h i c h c o n d i t i o n i s p d x + q d y a n e x a c t d i f f e r e n t i a l ? ) I t i ss u f f i c i e n t t o s t u d y h e r e t h e b r o k e n l i n e s C , t h e s i d e s o f w h i c h a r e p a r a l l e l t ot h e x - a x i s o r t o t h e y - a x i s . T h e r e f o r e we w i l l o n l y s t u d y u n d e r w h i c h c o n -d i t i o n t h e p r e c e d i n g i n t e g r a l i s e q u a l t o z e r o , w h e n t h e p a t h o f i n t e g r a t i o ni s a r e c t a n g l e , w h o s e s i d e s a r e p a r a l l e l t o t h e a x e s , f o r i n s t a n c e , when t h ep a t h o f i n t e g r a t i o n i s t h e b o u n d a r y o f R .I f i n d h e r e a new s i m p l e c o n d i t i o n , w h i c h i s b o t h n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t ,a n d a d d s o m e o t h e r s i m p l e r e m a r k s .1 . W i t h M e n g e r ' s n o t a t i o n s we s u p p o s e t h a t R i s t h e r e c t a n g l e a < x

minimal surfaces spanning closed manifolds rcourant

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