HOMEWORK 4 Solution Due Date: 02.04.2015 at 17:00

Prepared by

M.Uğur DİLBEROĞLU (B-183)

You should submit your homework on its due time. No extension will be given afterward.

Problem 1: In the petroleum industry, oil wells with jack pumps are the most commonly used systems for 

the extraction of the fossil oil and gasoline. The 3‐D model of an oil well system is illustrated 

below in Figure 1: 

 

Figure 1: Oil well system with its Jack pump 

MIDDLE EAST TECHNICAL UNIVERSITY

MECHANICAL ENGINEERING DEPARTMENT ME 304 CONTROL SYSTEMS

SPRING 2015

In order to simplify the Jack pump system, some basic mechanical components are modelled 

as ideal elements and a 2‐D schematic drawing of the system is shown in Figure 2: 

 

Figure 2: Simplified Sketch of the Jack Pump System 

 

In the oil well pumping system, the input is taken to be the displacement of the push rod  , 

which is triggered by the cranking mechanism seen in Figure 1. The push rod is considered as 

a massless elastic component of stiffness  . The geometry of the walking beam is described 

by the lengths   and  . For convenience, its inertia is represented by two balls of masses   

and   attached to its both ends. The pair of flexible steel ropes is modelled as a spring of 

stiffness   and attached to  the hanging piston of mass  . The displacement   of  the 

hanging piston is taken as the output of the system. Note that   and   are measured 

from  the  stationary  reference  position  of  the  system,  in which  0  and  the 

walking beam is horizontal. To simplify the problem, assume that the displacements are small 

and  the  resistance encountered by  the hanging piston  is modeled as viscous  friction with 

coefficient  . Also, assume that the hanging piston is so heavy that the steel ropes remain 

always in tension.  

 

       a) Draw all the necessary free body diagrams.  

       b) Write down all the elemental equations together with the connectivity equations, if any 

needed.    

       c)  Identify  the  unknown  variables  in  the  system.  Check whether  the  number  of  the 

unknown variables is equal to the number of the equations. 

      d)  The  relationship  between  the  input‐output  pairs  can  be  written  as  the  following 

expression  . Determine the transfer functions   

and  . 

 

 

SOLUTION: 

        a) The necessary free body diagrams are drawn as shown below: 

 Figure 1: Free body diagram of the push rod 

   

 

Figure 2: Free body diagram of the second mass 

 

 

Figure 3: Free body diagram of the walking beam    

 

Figure 4: Free body diagram of the first mass 

 Figure 5: Free body diagram of the steel rope  

 

 Figure 6: Free body diagram of the mass 

  

b) All the elemental equations and the connectivity equations are written as follows: 

Elemental equation for the hanging piston:  

1  

, ,

Elemental equation for the viscous friction acting on the hanging piston:  

2  

Elemental equation for the pair of flexible steel ropes: 

3  

Two companion elemental equations for the idealized lever: 

(2‐port transmission element) 

4  

5  

Elemental equation for the first mass separated from the lever: 

6  

Elemental equation for the second mass separated from the lever: 

7  

Elemental equation for the push rod as an elastic element: 

8  

 

 c) The unknown variables are listed in the following table:  

1  2  3  4  5  6  7  8 

         

TABLE 1: Unknown variables of the system  

d) To obtain the required transfer functions, one should first of all take the Laplace Transforms 

of all the seven equations as follows: 

/ 1 ′ 

2 ′ 

3 ′ 

4 ′ 

5 ′ 

/ 6 ′ 

/ 7 ′ 

8 ′ 

 

Substitute eqn. (2)’ and (3)' into eqn. (1)' as follows: 

/ 9  

For the ease of the derivations, let's define the following polynomial:  

 

Substitute eqn. (3)' into eqn.(6)' so that: 

/ 10  

Let us define another polynomial as follows:  

 

Substitute eqn. (4)’, (5)' and (8)’ into eqn. (7)’ to get: 

/ 11  

Define the polynomial as follows: 

 

Put the eqn. (10) into eqn. (11) to get: 

/ 12  

Finally, substitute eqn. (9) into eqn.(12): 

/ 13  

where 

 

 

 

Hence, one can obtain the following detailed form of the transfer function   and   

as follows:  

14  

15  

 

In equations (14) and (15), relevant coefficients are written as  

 

 

 

 

 

 

 

 

Problem 2:

Figure  3  illustrates  an  example  of  a  mechanical  system  that  consists  of  rotational  and 

translational subsystems connected through a rack and pinion transmission.  

 

 

Figure 3: A Mechanical System 

 

 

Consider  the  system  illustrated  in  Figure 1. All  the elements of  the  system  are  ideal. The 

horizontal bar representing the rack has a mass  , but it is lumped as a separate mass block 

to  its  end  in  order  to  convert  it  into  an  ideal  transmission  element.  The  lumped mass  is 

connected  to  the wall with  a  spring  of  stiffness    and  also  subject  to  viscous  friction  of 

coefficient  . The radius of the pinion is   but its moment of inertia is negligible. The motion 

of the pinion is conducted to a rotor with moment of inertia   through an elastic shaft with 

stiffness  . The viscous friction coefficient of the lubricant in the bearing of the rotor is  .  

The input to the system is the driving torque   applied on the rotor as shown in the figure. 

All the displacements are zero in the initial stationary position of the system. 

a) Draw all the necessary free body diagrams. 

b) Write down all the elemental equations together with the connectivity equations. 

c)  Identify  the unknown variables  in  the  system and check whether  the number of  the   

unknown variables is equal to the number of the equations. 

d)  In  order  to  express  the  input‐output  relationship  for  the  selected  output  , 

determine the transfer function    between   and the input  . 

e) Draw a detailed operational block diagram of the system that shows all the elements 

and all the variables. Indicate the variables on the relevant branches. 

 

 

SOLUTION: 

        a) The necessary free body diagrams are drawn as follows: 

 

Figure 1: Free body diagram of the translational mass  

 Figure 2: Free body diagram of the translational spring 

0

 

Figure 3: Free body diagram of the rack‐and‐pinion 

(as an ideal transmission element) 

  

  

Figure 4: Free body diagram of the torsional spring  

 Figure 5: Free body diagram of the rotor 

 

b) All the elemental equations and the connectivity equations can be written as follows. 

Elemental equation of the translational mass: 

1  

Elemental equation for the translational spring:  

0 2  

Elemental equation of the damping due to the floor friction: 

3  

Elemental equations for the rack‐and‐pinion as a 2‐port ideal transmission element: 

a) Kinematic equation: 

4  

b) Kinetic equation: 

1 5  

Elemental equation for the torsional spring:  

6  

Connectivity equation between the pinion and the spring:  

7  

Elemental equation of the rotor:  

8  

Elemental equation for the viscous bearing friction: 

9  

 c) The input is the applied torque  . The unknown variables are listed in the following table:  

1  2  3  4  5  6  7  8  9 

               

 TABLE 1: Unknown variables of the system 

 Note that the number of equations is the same as the number of unknown variables. 

 

d) To obtain the required transfer functions, one should first of all take the Laplace Transforms 

of all the nine equations as follows: 

1 ′ 

2 ′ 

3 ′ 

4 ′ 

1 5 ′ 

6 ′ 

7 ′ 

8 ′ 

9 ′ 

 

Substitute equations (2)' and (3)' into eqn. (1)' to get: 

10  

For the ease of the derivations, let's define the following polynomial:  

 

Combine equations (5)', (6)', and (7)' as follows: 

11  

Substitute eqn's (4)' and (10) into eqn. (11) as follows: 

12  

Substitute eqn's (6)' and (9)' into eqn. (8)' to get: 

13  

For the ease of the derivations, let's define the following polynomial:  

 

Finally, substitute eqn's (4)' and (12) into eqn. (13) as follows: 

 

14  

 

 

Therefore, one can state that the transfer function   between the input‐output pair is 

15  

The transfer function can be worked out to the following more detailed expressions.  

16  

In equation (16), the resultant coefficients can be written as follows: 

 

 

 

 

 

 

e) The detailed block diagram of  the  system  is  illustrated at  the next page. Note  that  the 

detailed block diagram  is  separated  into  the  rotational  and  translational  subsystems.  The 

interaction between the two subsystems is accomplished by the rack‐and‐pinion mechanism, 

which acts as a 2‐port transmission element. Note also that, in the block diagram, the 2‐port 

transmission element appears  in  the  form of  two blocks with  the  transfer  functions  (1/R), 

which represent the  force‐torque conversion together with the translational displacement‐

angular displacement conversion. 

 

1

1

1

 

1

1

1

1

1

Rotational Mechanical Subsystem

Translational Mechanical Subsystem

Torque-Force Conversion at the rack-and-pinion

Translational-Rotational Displacement Conversion at the rack-and-pinion