mg1

26/08/2015

1

Redes de

Jackson

Ing. Alexander Cárdenas R, M.Sc.

[email protected] Simulación

Wednesday, August 26, 2015 Alexander Cárdenas R - Simulación

Motivación(video Televisores HD)


26/08/2015

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Una red de colas es un Sistema compuesto por un Sistema deestaciones interconectadas, cada una con una cola.

Los clientes, una vez han completado el servicio en una estación,pasan a la otra estación para recibir servicio adicional o dejar elsistema de acuerdo a ciertas reglas de ruteo (determinístico oprobabilístico).

Redes de Colas

Definición


Redes de Colas

En muchas aplicaciones, una llegada tiene que pasar

a través de una serie de colas en una estructura de

colas


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Regla de la cola más corta

Ejemplo:

Ruteo determinístico


Red Abierta

Red CerradaN clientes


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Red de clase múltiple


Materia prima

Piezasterminadas

Modelo

Línea de Producción

Almacenamiento 1 Máquina 1


Caso

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Una red abierta de Jackson se caracteriza por:

a) Una clase única de clientes

b) Un proceso de llegada Poisson con tasa l (equivalente a llegadas independientes en cada estación)

c) Un servidor en cada estación

d) Servicio distribuido exponencialmente con tasa mi en la estación i

e) Capacidad no limitada en cada cola

f) Disciplina de servicio FIFO en las colas

g) Ruteo probabilístico

Red Abierta de Jackson

Definición


En esencia, una Red de Jackson es una colección de colas M/M/s conectadas y con parámetros conocidos

Teorema de Jackson

1. Cada nodo es un sistema de colas independiente conentrada de Poisson determinado por la división y launión de sus tasas de arribo y servicio.

2. Cada nodo puede ser analizado de forma separadausando modelos M/M/1 o M/M/s.

3. La media de las demoras en cada nodo pueden seragregadas para determinar la media de demoras delSistema (red)


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Modelo de redes

Considere un modelo con 3 estaciones donde la salida de doscentros de trabajo constituye la entrada del tercero

Estación A

Estación B

Estación C


Estación A

Estación B

Estación C

Propocición1: tasa in = tasa out, esto es, si lA y lB son tasasde entrada para las estaciones A y B, luego la tasa deentrada para la estación C es lA+lB.

Propocición2: arribos exponenciales en A y B proveenarribos exponenciales en la estación C.

Modelo de redes


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Station A

Station B

Station C

exp,

}),{min(

21

)(

212121

osdistribuidXX

eeetXXPttt llll

Modelo de redes


Element of a Queuing Network

División de tráfico

Unión de tráfico

Cola sencilla en serie


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Pki (k≠0 y i≠ 0) : probabilidad de moverse a la estaciónj después del servicio en la estación i.

P0i : Probabilidad de un nuevo cliente que llega a laestación i.

Pi0 : Probabilidad de un cliente que deja el sistemaluego del servicio en la estación i.


Ruteo


li es la tasa de arribos de los clientes en la estación i,

para i = 1, ..., M donde M es el número de estaciones.

El sistema es estable si todas las estaciones estánestables, i.e.

li < mi, "i = 1, ..., M

Considere también ei el número de visitas promedio a laestación i por cada cliente que llega:

ei = li/l


Condición de Estabilidad


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Estas tasas de arribo pueden ser determinadas por el siguiente sistemade ecuaciones de balance, las cuales tienen una única solución:

donde

P0i : Probabilidad de un nuevo cliente que llega a la estación i.

Pki : Probabilidad de moverse a la estación i después del servicio en la estación k.

𝜆𝑖 : Tasa de entrada en la estación i.

𝜆𝑘 : Tasa de entrada en la estación k.

𝜆 : Tasa de entrada en la estación (arribos fuera de la red) i.


Tasa de llegada por estación


𝜆𝑖 = 𝜆𝑃0𝑖 +

𝑘=1

𝑀

𝜆𝑘𝑃𝑘𝑖 𝑖 = 0,… ,𝑀

Jackson Network Estación 1

Estación v

Estación j

1

2

s1

1l

1

2

sv

l

1

2

sj

jl.

.

11 )1( ljP

l)1( jP

11 ljP

ljP

l

Modelo de redes


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El proceso de entrada al

modelo MM1 es Poisson.

Feedbackmantiene memoria.

¿Las llegadas a la estación se distribuyen Poisson?

Poisson

Poisson

Poisson

Poisson

Poisson

No Poisson


Un sistema de manufactura tiene tres estaciones de trabajo enserie: (1) Troquelado, (2) Doblado, y (3) soldadura.

Todas la materia prima entra la proceso de troquelado y debido alos ajustes y pericia del operario sólo el 80% de las piezas continúanal proceso de doblado, las demás son rechazadas (20%).

En el proceso de doblado, sólo el 40% pasa a soldadura.

Los trabajos llegan de forma aleatoria a la estación de troquelado a

una tasa promedio de 10 trabajos/min. Para mantener el equilibrio

del sistema, cada centro de trabajo puede tener diversas máquinastrabajando en paralelo.

Ejemplo

Metalmecánica


Manufactura

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Esquema de Trabajo


Troquelado Doblado Soldadura

1

2

3

s1

1

2

3

s2

1

2

3

s3

⋮ ⋮ ⋮

Data for the Computation CenterSe conoce de datos históricos que el tiempo de servicio para cadauno de las estaciones de trabajo sigue una distribución exponencialcon media como se muestra a continuación:

10 segundos para el troquelado

5 segundos para el doblado

70 segundos para la soldadura

Ninguna de las colas tiene restricción de capacidad.

Objetivo

1) Modelar el sistema como una Red de Jackson.

2) Encontrar el número mínimo de máquinas para cada estación de trabajo.

3) Calcular el tiempo requerido para que una pieza pase por el sistema.

¿Qué conocemos?


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Cálculo de las tasas de arribo

10 0,8 0,4

0,60,2


2,304,000

8008,00

1000010

23

12

1

33322311303

33222211202

33122111101

ll

ll

l

lllll

lllll

lllll

PPPP

PPPP

PPPP

i

i

i

𝜆𝑖 = 𝜆𝑃0𝑖 +

𝑘=1

𝑀

𝜆𝑘𝑃𝑘𝑖

𝑖 = 0,… ,𝑀


Tasas de arribos


10 8 3,2Troquelado Doblado Soldadura

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Tasas de

arribo y servicio por centro de trabajo

6

10

// 1

m

l

sMM

12

8

// 2

m

l

sMM

86,07/6

2.3

// 3

m

l

sMM

10 8 3,2Troquelado Doblado Soldadura

1// MM


Medida del sistema

Tasa externa de arribo, l 10/min 0 0

Tasa total de arribos, li10/min 8/min 3,2/min

Tasa de servicio, mi6/min 12/min 0,857/min

Máquinas mínimas, si2 1 4

Intensidad de tráfico, ri 0,833 0,667 0,933

Resultados para el

proceso de Manufactura

# de máquinas



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Resultados para el

proceso de Manufactura Medida

Troquelado Doblado Soldadura Total

Modelo M/M/2

Lq 3,789 1,33 12,02

Wq 0,379 0,167 3,75

L

W

M/M/1 M/M/4


Desarrolle el siguiente modelo por filas

5,455

0,545

2

0,25

15,7

4,92 5,715

EjemploJob Shop

Suponga un ambiente de manufactura jobshop. Ladistribución de planta cuenta con 6 diferentes centrosde trabajo con múltiples máquinas en algunas de susestaciones.

La información detallada se muestra en la red acontinuación:


Producto Tasa de pedido Flujo

1 30 und/mes ABDF

2 10 und/mes ABEF

3 20 und/mes ACEF

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CT - A

s = 3

m = 25

CT - E

s = 2

m = 23

CT - D

s = 3

m = 11

CT - B

s = 2

m = 22

CT - F

s = 4

m = 20

CT - C

s = 1

m = 29

60AEjemploJob Shop(Continuación)


Determine la tasa de entrada neta para cada Centro de Trabajo

CT A

s = 3 m = 25

CT E

s = 2 m = 23

CT D

s = 3 m = 11

CT B

s = 2 m = 22

CT F

s = 4 m = 20

CT C

s = 1 m = 29

60A

EjemploJob Shop(Continuación)


CT A

s = 3 m = 25

CT E

s = 2 m = 23

CT D

s = 3 m = 11

CT B

s = 2 m = 22

CT F

s = 4 m = 20

CT C

s = 1 m = 29

60A

CT A

s = 3 m = 25

CT E

s = 2 m = 23

CT D

s = 3 m = 11

CT B

s = 2 m = 22

CT F

s = 4 m = 20

CT C

s = 1 m = 29

60A

Producto

1

2

3

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CT A

s = 3 m = 25

CT E

s = 2 m = 23

CT D

s = 3 m = 11

CT B

s = 2 m = 22

CT F

s = 4 m = 20

CT C

s = 1 m = 29

60A

FFFEEFDDFCCFBBFAAFFF

FFEEEEDDECCEBBEAAEEE

FFDEEDDDDCCDBBDAADDD

FFCEECDDCCCCBBCAACCC

FFBEEBDDBCCBBBBAABBB

FFAEEADDACCABBAAAAAA

PPPPPP

PPPPPP

PPPPPP

PPPPPP

PPPPPP

PPPPPP

lllllll

lllllll

lllllll

lllllll

lllllll

lllllll



600)30/30()30/30(0000

30000)20/20()40/10(00

300000)40/30(00

2000000)60/20(0

4000000)60/40(0

6000000060

FEDCBAF

FEDCBAE

FEDCBAD

FEDCBAC

FEDCBAB

FEDCBAA

lllllll

lllllll

lllllll

lllllll

lllllll

lllllll



CT A

s = 3 m = 25

CT E

s = 2 m = 23

CT D

s = 3 m = 11

CT B

s = 2 m = 22

CT F

s = 4 m = 20

CT C

s = 1 m = 29

60A

Product0 Tasa de Pedido Flujo1 30/mes ABDF2 10/mes ABEF3 20/mes ACEF

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91,0)22(2

40

22

40

m

lr

m

l

s

B

¿Las medidas de desempeño para el CT B? MM2

P0?L?



CT A

s = 3 m = 25

CT E

s = 2 m = 23

CT D

s = 3 m = 11

CT B

s = 2 m = 22

CT F

s = 4 m = 20

CT C

s = 1 m = 29

60A

91,0r

04,0o

EjemploJob Shop(Gráficos)


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91,0r

4,10L

EjemploJob Shop(Gráficos)


Replique para todos los centros de mecanizado

Metrics A B C D E F

Model M/M/3 M/M/2 M/M/1 M/M/3 M/M/2 M/M/4

l 60 40 20 30 30 60

m 25 22 29 11 23 20

r 0.800 0.909 0.690 0.909 0.652 0.750

o 0.06 0.04 0.31 0.02 0.21 0.042

Wq 0.043 0.216 0.077 0.278 0.032 0.025

Lq 2.589 8.658 1.533 8.332 0.965 1.528

W 0.083 0.262 0.111 0.369 0.076 0.075

L 4.989 10.476 2.222 11.059 2.27 4.528



CT A

s = 3 m = 25

CT E

s = 2 m = 23

CT D

s = 3 m = 11

CT B

s = 2 m = 22

CT F

s = 4 m = 20

CT C

s = 1 m = 29

60A

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El lead time es el tiempo en el Sistema en el cual el producto complete lasecuencia. Para el producto 1 con la secuencia ABDF se tiene:

W = tiempo total en el sistema = lead time

= WA + WB + WD + WF = 0,789

WIP = Trabajo en proceso = partes por mes x lead time

= 30(0,789) = 23.67

Metrics A B C D E F


l 60 40 20 30 30 60

m 25 22 29 11 23 20

r 0.800 0.909 0.690 0.909 0.652 0.750

o 0.06 0.04 0.31 0.02 0.21 0.042

Wq 0.043 0.216 0.077 0.278 0.032 0.025

Lq 2.589 8.658 1.533 8.332 0.965 1.528

W 0.083 0.262 0.111 0.369 0.076 0.075

L 4.989 10.476 2.222 11.059 2.27 4.528





Replique para todos los centros de mecanizado

CT A

s = 3 m = 25

CT E

s = 2 m = 23

CT D

s = 3 m = 11

CT B

s = 2 m = 22

CT F

s = 4 m = 20

CT C

s = 1 m = 29

60A

Producto Ordenes Flujo Lead Time T Cola WIP

1 30 ABDF 0,789 0,562 23,67

2 10 ABEF 0,496 0,316 4,96

3 20 ACEF 0,345 0,177 6,9

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Recomendaciones

Metrics A B C D E F


l 60 40 20 30 30 60

m 25 22 29 11 23 20

r 0.800 0.909 0.690 0.909 0.652 0.750

o 0.06 0.04 0.31 0.02 0.21 0.042

Wq 0.043 0.216 0.077 0.278 0.032 0.025

Lq 2.589 8.658 1.533 8.332 0.965 1.528

W 0.083 0.262 0.111 0.369 0.076 0.075

L 4.989 10.476 2.222 11.059 2.27 4.528



Modelo

M|G|1

Simulación


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Modelo de colas con 1 servidor


Definición

M | G | 1Entradas Poisson

Tiempo entre arribos exponencial

1 Servidor

Disciplina FIFOCapacidad no finitaPoblación no finita

Tiempos de servicio con media 1 𝜇 y varianza 𝜎2.Si 𝜌 = 𝜆 𝜇 < 1, la cola M|G|1 tiene una distribución deprobabilidad en el estado estable.

Medidas de desempeño para el modelo MG1


𝜌 = 𝜆 𝜇 𝑃0 = 1 − 𝜌 = 1 − 𝜆𝜇

𝐿 = 𝜌 + 𝐿𝑞𝐿𝑞 =𝜆2𝜎2 + 𝜌2

2(1 − 𝜌)

𝑊𝑞 =𝐿𝑞

𝜆𝑊 = 𝑊𝑞 +

1

𝜇

F. Pollaczek-Khintchine

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M|G|1



«Si se toma en cuenta la complejidad que representa el análisis de unmodelo que permite cualquier distribución de tiempos de servicio, esnotable que se haya podido obtener unas fórmulas tan sencillas.

Estas fórmulas es uno de los resultados más importantes en teoría decolas gracias a l facilidad con la que se aplica y al predominio de lossistemas MG1.

Estas ecuaciones reciben su nombre en honor a dos pioneros deldesarrollo de teoría de colas que derivaron la fórmula de maneraindependiente a principios de los años 30.»

Tomado de: Investigación de Operaciones Hillier

M|G|1



Se debe notar que para cualquier tiempo deservicio fijo, los valores enunciados seincrementan cuando aumenta 𝜎2.

Este resultado es de gran importancia porqueindica que la variabilidad del servidor tieneuna alta trascendencia en el desempeño de lainstalación de servicio, no solo la velocidadpromedio.

𝐿𝑞

𝑊𝑞

𝐿

𝑊

1 𝜇

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M|G|1Ejemplo


Hay dos trabajadores compitiendo por un trabajo. Pedro aseguraque su tiempo promedio de servicio es más corto que el de Martha,pero ella asegura que es más consistente incluso siendo más lenta.

Las llegadas ocurren de acuerdo a un proceso poisson a una tasa

𝜆 = 2 por hora (1/30 minutos). Las estadísticas de Pedro muestranun tiempo promedio de servicio de 24 minutos con una desviaciónestándar de 20 minutos. Las estadísticas de Martha muestran untiempo promedio de servicio de 25 minutos con una desviaciónestándar de 2 minutos.

Si la longitud promedio de la cola es el criterio de selección,

¿Qué trabajador contrataría?

M|G|1EjemploContinuación


Pedro Martha

𝜆 =1

30𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝜆 =

1

30𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠𝜇 = 24 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝜇 = 25 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

𝜎2 = 22 = 4𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 2𝜎2 = 202 = 400 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 2

𝜌 = 𝜆 𝜇 = 24 30 = 45 < 1 𝜌 = 𝜆 𝜇 = 25 30 =

56 < 1

𝐿𝑞 =𝜆2𝜎2 + 𝜌2

2(1 − 𝜌)=

130

2

(400) +45

2

2(1 −45)

𝐿𝑞 =𝜆2𝜎2 + 𝜌2

2(1 − 𝜌)=

130

2

(4) +56

2

2(1 −56)

𝐿𝑞 = 2,711 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝐿𝑞 = 2,097 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

Aunque Pedro trabaja más rápido en promedio, su variabilidad en los tiempos de servicio da como resultado una longitud de la cola un 30% mayor a la de Martha

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M|G|1EjemploContinuación


Pedro Martha

𝜆 =1

30𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝜆 =

1

30𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠𝜇 = 24 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝜇 = 25 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

𝜎2 = 22 = 4𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 2𝜎2 = 202 = 400 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 2

𝜌 = 𝜆 𝜇 = 24 30 = 45 < 1 𝜌 = 𝜆 𝜇 = 25 30 =

56 < 1

¿A quién contrataría si la decisión dependiera de la probabilidad de encontrar a Pedro o Martha en disponibilidad?

𝑃0 = 1 − 𝜌 = 1 − 24 30 = 20% 𝑃0 = 1 − 𝜌 = 1 − 25 30 = 16,7%

En un 20% de las veces Pedro estará disponible, mientras Martha solo lo estará en un 16,7% del tiempo.

Ejemplo

TPM


En una planta industrial se desea estudiar la falla mecánica en ciertasmáquinas, se asume que las fallas ocurren de acuerdo a un proceso poisson, auna tasa de 𝜆 = 1,5 por hora. Tras observar el sistema durante muchos mesesse ha encontrado que los tiempos de reparación toman un tiempo promediode 30 minutos (trabajo efectuado por un mecánico), con una desviaciónestándar de 20 minutos.

Como la media de servicio es1

𝜇=1

2ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠, la tasa de servicio es 𝜇 = 2 por hora

y 𝜎2 = 202𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠2 = 1/9ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠2

Calcule la proporción que el mecánico está ocupado.

Calcule el número promedio de máquinas dañadas.

Si la hora de un operario mecánico tiene un costo de $35,000 ¿Cuánto es elcosto de arreglar una máquina?.

mg1

Documents

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estacin ie capacidad

colaf disciplina de

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