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Alonso Ramírez Manzanares Métodos Numéricos 31.08.2015

Métodos para matrices especiales.Descomposición de CholeskyMAT-251

Dr. Alonso Ramírez ManzanaresCIMAT A.C.e-mail: [email protected]: http://www.cimat.mx/~alram/met_num/

Dr. Joaquín Peña AcevedoCIMAT A.C.e-mail: [email protected]

Monday, August 31, 15

mailto:[email protected]


http://www.cimat.mx/~cesteves/mat151









Ventajas computacionales de las factorizaciones ... en segundos




• ¿donde se usan factorizaciones en la vida real? ....





• Si hacemos una descomposición ( O(n3)), de tal forma que resolvemos el sistema Axi=bi para diferentes vectores bi.






• Entonces la solución estará dada por el orden O(n2) en lugar de O(n3).







• Para sistemas de tamaño, digamos de 1000x1000







• Para sistemas de tamaño, digamos de 1000x1000

• 10002 = 1,000,000 = 0.001 * 1,000,000,000 = 0.001 * 1,0003



Matrices con diagonal estrictamente-dominante

2




• La definición de una matriz cuadrada estrictamente diagonal-dominante es la siguiente:

2





• Nótese que dada una matriz estrictamente diagonal-dominante, su transpuesta no tiene por que serlo.

2





• Nótese que dada una matriz estrictamente diagonal-dominante, su transpuesta no tiene por que serlo.

• Una matriz estrictamente diagonal-dominante tiene inversa. Se puede aplicar eliminación Gaussiana sin necesidad de hacer intercambio de renglones, y los cálculos serán estables con respecto a los errores de redondeo.

2



Una matriz estrictamente diagonal-dominante tiene inversa, demostración:

• Prueba por contradicción: consideremos que es singular, entonces consideremos Ax=0, con solución x = (xi) que no es cero. Sea k un índice para el cual 0 < |xk| = max 1≤j≤n |xj|.



Matrices definidas positivas• Aquí trabajaremos con aquellas matrices cuadradas y simétricas tales que

xTA x > 0 para todo vector x diferente de 0. Es decir que la matriz de tamaño 1x1 (escalar) resultante de la operación es positiva.



Matrices definidas positivas

• Aquí trabajaremos con aquellas matrices cuadradas y simétricas tales que xTA x > 0 para todo vector x diferente de 0.

• Ejemplo, una matriz positiva:




• Aquí trabajaremos con aquellas matrices cuadradas y simétricas tales que xTA x > 0 para todo vector x diferente de 0.

• Ejemplo, una matriz positiva:

A esta forma se le llama forma cuadrática asociada a la matriz.




• Una matriz no positiva pero que es definida positiva




• Una matriz no positiva pero que es definida positiva

La expresión solo puede ser cero cuando todos los xi son cero.




• Las matrices positivas definidas aparecen mucho en problemas de CNyE, por ejemplo en las matrices de covarianza.



Matrices definida positiva



Matrices definida positiva• Propiedades de estas matrices:




• A es no singular.





• Demostración por contradicción: Suponemos singularidad: Ax=0, para x diferente cero, entonces xTAx =0, lo cual contradice que A es definida positiva.






• aii > 0 para toda i=1,...,n, por lo tanto la traza es no negativa.







• Demostración: Para una i cualquiera, definamos x = (xk) por xi = 1 y xj = 0, si j ≠ i. Entonces x ≠ 0, por lo que 0 < xTAx = aii.








• max i ≤ k,j ≤n |akj| ≤ max 1≤i≤n |aii|









• Demostración: Tarea.










• aij2 < aiiajj para cada i ≠ j



Matrices definida positiva

• Propiedades de estas matrices (2):

• Se puede aplicar eliminación Gaussiana si necesidad de intercambio de renglones.

• Se puede factorizar en la forma L LT , donde L es una matriz triangular inferior con entradas positivas en la diagonal.

• Se puede factorizar en la forma LDLT, donde L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y D es una matriz diagonal con entradas positivas.



Descomposición (factorización) de Cholesky

• André-Louis Cholesky (15 de Octubre de 1875 - 31 de Agosto de 1918).

• Se factoriza A = L LT , donde L es una matriz triangular inferior con entradas positivas en la diagonal.

• La descomposición es única,




• Algoritmo

... es simétrica...=





Es positivo


• De tal manera, que procedemos al cálculo columna por columna, y las entradas de L quedan como:




Es positivo


• De tal manera, que procedemos al cálculo columna por columna, y las entradas de L quedan como:




para i > j

Es positivo



Una forma alternativa que evita calcular raices cuadradas




• De tal manera que L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y D es una matriz diagonal con entradas positivas.

• multiplicando las matrices tenemos




• De tal manera que L es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y D es una matriz diagonal con entradas positivas.

• multiplicando las matrices tenemos

... es simétrica...




• Quedando las entradas definidas como:




• Quedando las entradas definidas como:

De tal forma que, de nuevo, hacemos el cálculo columna por columna.



Relación entre las 2 factorizaciones

• Las 2 factorizaciones LLT y LDLT (nótese que son diferentes L’s) se relacionan así:



Solución del SEL dada la factorización LLT



Solución del SEL dada la factorización LLT

• Si tenemos Ax=b entonces usamos LLTx=b,

• primero hacemos y = LTx y solucionamos Ly=b con sustitución hacia adelante, con:

• Luego solucionamos para x el sistema LTx = y con sustitución hacia atrás.



Solución del SEL dada la factorización LDLT




• Si tenemos el sistema A x=b como LDLT x = b haciendo y = DLT x, y resolviendo para y el SEL Ly=b con sustitución hacia adelante.





• Luego usamos z = LTx de tal forma que resolvemos para z el SEL Dz=y. Pero D es diagonal, por lo que esto es muy fácil:





• Luego usamos z = LTx de tal forma que resolvemos para z el SEL Dz=y. Pero D es diagonal, por lo que esto es muy fácil:

• Finalmente resolvemos LTx = z para x con sustitución hacia atrás y TERMINAMOS.



Matrices bandadas

• Una matriz de tamaño n x n se dice que es bandada si existen los numeros p y q enteros 1 < p , q < n, tal que aij = 0 para todo p ≤ j- i ó q ≤ i - j

• p denota el número de diagonales arriba de la diagonal principal, incluyéndola.

• q denota el número de diagonales abajo de la diagonal principal, incluyéndola.

• Ejemplo con p = 3 y q = 2.

• El numero de diagonales es p+q-1.



Matrices tridiagonales

• Un grupo muy famoso son las tridiagonales, es decir con p=q=2

•


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