metodos numericosa4

METODOSNUMERICOS

Texto guía de aprendizaje para los estudiantes de Ingeniería

Autor:Washington Medina G *

2013

*Ingeniero Civil*Master en Docencia Universitaria e investigación educativa*Master en Tecnología de la Información y Multimedia Educativa

CAPITULO I. Teoría del error y sistemas de ecuaciones lineales

1. Errores por apreciación........................................................................ 2

2.Errores por obtención de resultados..................................................... 2

3. Solución de sistemas de ecuaciones lineales....................................... 3

4. Método de solución de Gauss............................................................. 5

CAPITULO II. Solución numérica de ecuaciones no lineales.

5. Ecuaciones polinómicas.........................................................................8

6. Métodos de solución de ecuaciones.................................................... 8

6.1. Método de investigación................................................................8

6.2. Método de interpolación...............................................................11

6.3. Método de Newton Raphson.......................................................15

6.4. Método de Birge Vieta.................................................................20

CAPITULO III. Aproximación Polinomial7. Interpolación matemática.....................................................................23

7.1. Interpolación de Newton..............................................................23

7.2. Interpolación de Lagrange...........................................................26

7.4. Interpolación inversa....................................................................27

8. Integración Numérica...........................................................................28

9. Métodos cálculo de integración numérica............................................30

9.1. Fórmula del trapecio....................................................................32

9.2. Fórmula de Simpson del 1/3........................................................32

9.3. Fórmula de Simpson del 3/8........................................................32

CAPITULO IV. Aproximación funcional (ajuste de curvas).....................34

10. Sugerencia de creación del sistema.. ..........................................37

CAPITULO V. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias................................39

11. Solución numérica de una E.D.O.................................................39

12. Métodos de solución de EDO con valores iniciales......................40

12.1. Solución por integración..................................................40

12.2. Solución por serie de Taylor............................................41

12.3. Solución por el método de Runge Kutta...........................42

CAPITULO VI. Ejercicios generales...........................................................45

CAPITULO VII. Diagramas de flujo............................................................49

BIBLIOGRAFÍA............................................................................................60

ANEXOS.......................................................................................................61

Métodos Numèricos 1 Ing. Washington Medina MSc

METODOS NUMERICOS

Introducción.

Las matemáticas, desde las grandes culturas creadoras de los grandes teoremas

aplicados en la actualidad, han estado por lo general sujetas a procesos recursivos con

la demora que su calculo implica y el riesgo de cometer errores en el proceso numérico.

Considerando que los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible

formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones. Aunque

hay muchos tipos de métodos numéricos, todos comparten una característica común:

llevan a cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos. Es por ello que la

computación es una herramienta que nos facilita el uso y desarrollo de ellos.

Los métodos numéricos, al ser material de apoyo en las diferentes profesiones,

específicamente en las carreras técnicas, deben volverse en el estudiante y futuro

profesional una herramienta de uso diario en sus diferentes aplicaciones, y hoy con

mucho más razón, cuando las exigencias buscan soluciones inmediatas a los diversos

problemas.

Ya lo menciona Nakamura: “La importancia de los métodos numéricos ha aumentado de

forma drástica en la enseñanza de la ingeniería y la ciencia, lo cual refleja el uso actual

y sin precedentes de las computadoras. Al aprender los métodos numéricos, nos

volvemos aptos para:

1. Entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de

ingeniería y científicos en una computadora;

2. Deducir esquemas numéricos básicos;

3. Escribir programas y resolverlos en una computadora, y,

4. Usar correctamente el software existente para dichos métodos.

El aprendizaje de los métodos numéricos no solo aumenta nuestra habilidad para el uso

de las computadoras, también amplía la pericia matemática y la comprensión de los

principios científicos básicos.” (Nakamura, 1993)


CAPITULO I

Teoría del error y Sistemas de ecuaciones lineales

Siempre que se desea dar solución a un problema matemático, se utilizan ciertos métodos

o procedimientos que implican obtener datos en procesos iterativos, los mismos que

desde su origen acarrean un error, error que se lo puede clasificar así.

1. Errores por apreciación

2. Errores por obtención de resultados

1. Errores por apreciación

Estos se presentan en la toma de datos o en los cálculos, ya sea por defectos de máquina

o por apreciación de valores, siendo estos

Errores inherentes: Estos se deben a la lectura, mediciones, toma de cifras

significativas que no se las puede evitar, es decir errores de carácter humano o

defectos de equipo.

Errores por redondeo Obedecen a un criterio matemático en el uso de cifras

significativas.

Errores por truncamiento Se presentan especialmente en una serie infinita, la

cual es suspendida o truncada con fines de obtener el resultado, este

truncamiento provoca un error en el resultado final.

2. Errores por obtención de resultados

Se presentan cuando al obtener un resultado, este está muy aproximado a la solución

real, se clasifican en

Errores absolutos Es el valor resultante de restar el valor verdadero con el valor

aproximado.

Ea=|x−x| (2.1)


Error relativo Representa el tanto por uno y se lo obtiene dividiendo el error

absoluto para el valor real o aproximado

Εr= Εax=Εa

x−

(2.2)

3. Solución de sistemas de ecuaciones lineales

La solución de sistemas de ecuaciones se facilita si a estos sistemas los expresamos en

forma matricial y los resolvemos sobre la base del cálculo de matrices equivalentes por

medio del uso de las reglas de transformaciones elementales de fila.

La expresión matricial del sistema es Ax = b

Donde

A es la matriz de coeficientes,

b es el vector de términos independientes, y,

x es el vector solución.

Método de sustitución regresiva

Los métodos directos para la resolución de ecuaciones se basan en la obtención de un

sistema triangular superior, cuya resolución es más sencilla. Decimos que una matriz es

triangular superior cuando aij = 0 siendo i > j.

(3.1)


De la última ecuación del sistema equivalente obtenido, podemos despejar xn siempre que

se cumpla que ann 0. Una vez obtenido xn, podemos sustituirlo en la ecuación

inmediatamente superior para obtener x(n-1) y así sucesivamente hasta resolver el sistema

completo.

Concluyendo, las fórmulas para la sustitución inversa ó sustitución regresiva son:

xn=bn

ann

xk=bk− ∑

i=k+1

n

aki xi

akk (3.3)

para k = n - 1, n - 2,......... , 1

Podemos ver que los sistemas triangulares son fáciles de tratar, por lo que se recomienda

buscar métodos para reducir cualquier sistema a un sistema triangular (superior o

inferior).

Ejemplo 1 Resolver el siguiente sistema triangular superior:

Las matrices de coeficientes y de términos independientes son:

El primer paso es obtener el valor de X3 . Se obtiene directamente de la última fila de la

matriz:


A continuación, comienza el bucle desde la fila k = 2 hasta la fila k = 1 sustituyendo las

demás variables, de lo que se obtiene los resultados: x = 1, y = 1, z = 1.

4. Método de eliminación de Gauss

Se lo conoce también como método de eliminación gaussiana, y consiste en formar la

matriz ampliada con los coeficientes y los términos independientes, transformar luego a

matriz triangular superior de preferencia y por eliminación calculamos las incógnitas,

recomendando tomar en cuenta las siguientes observaciones:

1. El primer coeficiente a11 debe ser diferente de cero.

2. multiplicación de una ecuación por una constante 0.

3. suma de un múltiplo de una ecuación a otra ecuación.

4. intercambio de ecuaciones.

5. Se obtendrá una matriz triangular superior, cuyos elementos de la diagonal deben ser

de preferencia iguales a UNO (1).

La idea general como se explicó anteriormente es hacer cero todos los elementos que se

encuentren debajo de la diagonal principal.

El algoritmo va recorriendo cada una de las filas de la matriz de coeficientes. Para cada

fila k, modifica todas las filas que están por debajo de manera que se obtengan ceros en

la columna k. El resto de los elementos de la fila (del elemento k + 1 hasta el final) se

verán afectados en el proceso de aplicación del siguiente algoritmo:

1. se divide a todos los coeficientes de la primera fila para el coeficiente a11.

2. Se definen como multiplicadores a cada uno de los elementos bajo la diagonal que

serán transformados a ceros utilizando la siguiente fórmula:

aij = aij - D*aij

actual = anterior - multiplicador*referencia

los términos indicados tienen el siguiente significado:

tomando como ejemplo que se va a modificar la segunda fila

actual: nuevos coeficientes de la segunda fila


anterior: coeficientes originales de la segunda fila

multiplicador: primer coeficiente de la segunda fila (en general son los coeficientes bajo

cada número de la diagonal)

referencia: coeficientes de la primera fila (en general, son los coeficientes de la fila

anterior a la que se está analizando).

ejemplo 2

Sea el sistema de ecuaciones indicado, transformarlo a un sistema triangular superior por

el método de eliminación de Gauss y resolver el sistema:

3x + y + 4z = 2 x + 2y + 3z = 62x + y + 5z = 4

1. expresamos el sistema en forma matricial

2. Realizamos las siguientes iteracciones

3 1 4 21 2 3 62 1 5 4

k i J1 1 1

a4

a11=a11

a11

=1 a12=

a12

a11

=13

a13=a13

a11

= 43

a14=a14

a11

= 23

Multiplicador = a21 = 12 1

a

4

a21=a21−a21∗a11=0

a22=a22−a21∗a12=53

a23=a23−a21∗a13=53

a24=a24−a21∗a14=163

Multiplicador = a31 = 23 1

a

4

a31=a31−a31∗a11=0

a32=a32−a31∗a12=13

a33=a33−a31∗a13=73

a34=a34−a31∗a14=83

k i J2 2 2

a4

a22=a22

a22

=1 a23=

a23

a22

=1 a24=a24

a22

= 163

Multiplicador = a32 = 1/33 2

a

4

a32=a32−a32∗a22=0a33=a33−a32∗a23=2

a34=a34−a32∗a24=85

k i J3 3 3

a4

a33=a33

a33

=1 a34=

a34

a33

= 810


Luego de este proceso, la matriz triangular superior será:

1 1/3 4/3 2/30 1 1 16/50 0 1 8/10

Una vez obtenida la matriz triangular superior, se realiza un proceso regresivo para

calcular las soluciones, aplicando las siguientes fórmulas tomando en cuenta que el k de

inicio es: k = n y que la variable b corresponde a los términos independientes:

xn=bn

ann

xk=bk− ∑

i=k+1

n

aki xi

akk

La solución es: x1 = 0.8X2 = 2.4X3 = -1.2

CAPITULO II


SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES NO LINEALES:

Uno de los problemas más conocidos y más utilizados de las matemáticas es la

determinación de las raíces o soluciones de una ecuación no lineal (polinomio)

Su proceso manual es bastante extenso aunque no tan complicado, por lo que es

conveniente acudir al uso de procesos iterativos que permitan su solución, y, a la vez

utilizar las computadoras para facilitar su solución por medio de la automatización de

dichos procesos.

Para aplicar los procesos iterativos es conveniente conocer algunos de los métodos

numéricos conocidos como de iteración sucesiva los mismos que parten de una solución

aproximada.

5. Ecuaciones polinómicas. Una ecuación o función polinómica se la expresa en la

siguiente forma:

a1 xn+a2 xn−1 a3 xn−2+a4 xn−3+. .. .. . ..+an=0

este polinomio puede tener raíces reales e imaginarias o complejas.

Newton dedujo una fórmula que permite encontrar un valor muy aproximado a la solución

de mayor valor que tenga la polinómica, esta fórmula es aplicable siempre y cuando el

polinomio tenga exclusivamente raíces reales.

r max=√(a2

a1)2

−2a3

a1 (5.1)

Divergencia. En el análisis de los métodos nos encontraremos con este término, por lo

que es conveniente entender que la divergencia de un método es la imposibilidad de

encontrar la solución con la aplicación de dicho método.

6. Métodos de solución de ecuaciones no lineales

6.1. Método de investigación

Siendo el polinomio:

a1xn+a2xn−1a3 xn−2+a4 xn−3+. .. .. . ..+an=0 (6.1)


en el desarrollo matemático del análisis, para gráficamente identificar las soluciones de un

polinomio, el método identifica el intervalo donde está la solución, recordando que su

solución es el punto de cruce de la gráfica con el eje x.

FIG. 6.1.1

De lo indicado se anota que: en una tabla de valores X-Y para graficar una función, la

solución del polinomio se encuentra entre loas valores de x cuyos valores respectivos de y

cambien de signo, como lo muestra la siguiente tabla:

X Y1 43 76 -5

Al producirse un cambio de signo entre y = 7 a y = -5, la solución estará en el siguiente

intervalo: 3 x 6.

Una forma fácil de iniciar la construcción de las tablas de valores es contar con un valor

tentativo de x, el cual se lo puede calcular aplicando la fórmula indicada a continuación

que representa el valor máximo al que pueden llegar las soluciones del polinomio,

fórmula que presenta coherencia en los resultados si las raíces del polinomio son

reales..

Para una mejor organización del método, se sugiere el uso de una tabla de datos donde:

K número de iteraciones

x1, x2 valores de la variable x que pertenecen al intervalo

fx1, fx2 valores de la función o polinomio al reemplazar el valor de x

En la tabla se aplica el siguiente criterio: Si la multiplicación de dos valores fx1, fx2 da

como resultado un valor negativo, en el intervalo de sus correspondientes valores

de x se encuentra la solución.

ejemplo 3:

(5.1rmáx=√( a2a1 )

2

−2(a 3a 1)


k X1 X2 F(X1) F(X2) F(X1)*F(X2) = "-"

1 20 19 1 -306 Si hay solución ("-")

2 19 18 -306 -544 No hay solución ("+")

TABLA 6.1.1

Causas de divergencia en el método

1. Cuando el intervalo es muy grande o muy pequeño.

2. Cuando el gráfico no corta el eje “x” (raíces imaginarias).

ejemplo 4: Encontrar los intervalos de solución del polinomio:

1) Decidimos los valores de x con un intervalo de 0.5.

2) Calculamos rmáx para determinar el valor en el que se debe iniciar

K x1 x2 f x1 fx2 fx1*fx21 3,00000 2,50000 1,00000 0,37500 +2 2,50000 2,00000 0,37500 0,25000 +3 2,00000 1,50000 0,25000 0,62500 +4 1,50000 1,00000 0,62500 1,50000 +5 1,00000 0,50000 1,50000 2,87500 +6 0,50000 0,00000 2,87500 4,75000 +7 0,00000 -0,50000 4,75000 7,12500 +8 -0,50000 -1,00000 7,12500 10,00000 +9 -1,00000 -1,50000 10,00000 13,37500 +10 -1,50000 -2,00000 13,37500 17,25000 +

TABLA 6.1.2

En el ejemplo no existe solución alguna puesto que son raíces imaginarias y por ende el

método diverge.

rmáx no es aplicable porque funciona sólo para soluciones reales.

ejemplo 5: resolver

x2−4 .25 x+4. 75=0

rmax

=√(a2a1 )

2

−2(a3a1 )

rmáx=√(−4 .251 )

2

−2(4. 751 )

rmáx=2. 93≃3

x2−3 .75 x−4. 375=0 r max=4 .78=5


k x1 x2 f x1 fx2 fx1*fx21 5,00000 4,50000 1,87500 -1,00000 -2 4,50000 4,00000 -1,00000 -3,37500 +3 4,00000 3,50000 -3,37500 -5,25000 +4 3,50000 3,00000 -5,25000 -6,62500 +5 3,00000 2,50000 -6,62500 -7,50000 +6 2,50000 2,00000 -7,50000 -7,87500 +7 2,00000 1,50000 -7,87500 -7,75000 +8 1,50000 1,00000 -7,75000 -7,12500 +9 1,00000 0,50000 -7,12500 -6,00000 +

10 0,50000 0,00000 -6,00000 -4,37500 +11 0,00000 -0,50000 -4,37500 -2,25000 +12 -0,50000 -1,00000 -2,25000 0,37500 -

TABLA 6.1.3

Las soluciones se encuentran en los intervalos:

4.5 < X < 5 -1 < X < -0.5

6.2 Método de interpolación

Una vez que se han determinado los intervalos donde se encuentran las soluciones de un

polinomio, se analiza cada intervalo por separado y, aplicando el método de interpolación,

se obtiene la solución aproximada. El método de interpolación permite encontrar la

solución de un polinomio bajo las siguientes condiciones:

1. Requiere de un intervalo donde se encuentre la solución, para esto nos ayudamos

del método de investigación.

2. Requiere calcular un valor x3 = + x1 donde se define así:

FIG. 6.2.1


FIG 6.2.2

El valor x3 será el nuevo límite por lo tanto el intervalo ha sido reducido y se acerca a la

respuesta.

Análisis de concavidades.- Se debe considerar además la concavidad de la función en

el intervalo, esto se obtiene analizando el valor de la función Fx3 calculado al reemplazar

x3 en la función; asi, Fx3 nos indicará si es cóncavo hacia abajo o hacia arriba según su

signo:

Si Fx3 es positivo, la función en el intervalo es cóncava hacia abajo

Si Fx3 es negativo, la función en el intervalo es cóncava hacia arriba.

De este análisis se obtienen cuatro posibilidades (fig. 6.2.2) resueltas en el siguiente flujo

grama:

F(X2)

F(x1) F(X2

)

F(x1)

F(X2)

F(x1)

F(X2)

F(x1)

x3 x2x1

E

F (x 1)ε

=F (x 2 )(x 2−x 1)−ε

→ F (x 1) [( x 2−x1 )−ε ]=F( x 2)ε

F (x 1 )(x 2−x1)−F (x 1)ε=F( x 2 )ε → F( x 1 )(x 2−x1 )=F (x 2 )ε+F( x 1 )ε

ε=|F ( x1 )|( x2−x1)|F ( x2 )|+|F ( x1)|

(6 . 1)


FIG. 6.2.3

Para fines de programación podemos aplicar el siguiente criterio:

FIG. 6.2.4

Causas de divergencia del método

1.- En el intervalo escogido no se encuentre la solución.

2. Las soluciones estén muy cercanas entre sí que provoque por la mala selección del

intervalo, el no encontrar la solución.

Control del error.

Asumiendo por parte del calculista un error permisible (como sugerencia puede utilizarse 0.001 que

equivale al 0.1%), el resultado será aceptado si se cumple la siguiente condición:

error asumido

Es recomendable también comparar con los valores absolutos de fx1 y fx2:

|fx1| ó |fx2|

No Si

X1=X1+EX2=X1+E

Fx1*Fx3>0

Si SiNoNo

No Si

X1=X1+EX1=X1+E X2=X1+E X2=X1+E

Fx1>0

F[1]>0

Fx3>0


ejemplo 5.

Encontrar la solución del polinomio anterior en el intervalo: 4.5 < Xso l < 5.

k x x2 fx1 fx2 E

1 4.5000 5.0000 -1.0000 1.8750 0.1739

2 4.6739 5.0000 -0.0567 1.8750 0.0096

3 4.6835 5.0000 -0.0030 1.8750 0.0005

4 4.6840 5.0000 -0.0002 1.8750 0.0000

TABLA 6.2.1

Fx1< 0,001 => sol: x = 4,684

ejemplo 6. Del siguiente polinomio: x3 – 2.71x2 – 5.095x + 8.65 = 0

encontrar sus raíces calculando:

a) rmáx

b) Los intervalos por el método de investigación.

c) Las soluciones por el método de interpolación.

a) Cálculo de r máx.

b) Cálculo de los intervalos por el método de investigación

k x1 x2 fx1 fx2 fx1*fx2

1 4.2000 3.7000 13.5346 3.3516 45.3626

2 3.7000 3.2000 3.3516 -2.6364 -8.8362

3 3.2000 2.7000 -2.6364 -5.1794 13.6550

4 2.7000 2.2000 -5.1794 -5.0274 26.0389

5 2.2000 1.7000 -5.0274 -2.9304 14.7323

6 1.7000 1.2000 -2.9304 0.3616 -1.0596

7 1.2000 0.7000 0.3616 4.0986 1.4821

x2−3.75 x−4 .375=0

rmáx=√(a2a1 )

2

−2(a3a1 )

rmáx=√(−2. 711 )

2

−2(−5. 0951 )

rmáx=4 .187≃4 .2


8 0.7000 0.2000 4.0986 7.5306 30.8649

9 0.2000 -0.3000 7.5306 9.9076 74.6102

10 -0.3000 -0.8000 9.9076 10.4796 103.8277

11 -0.8000 -1.3000 10.4796 8.4966 89.0410

12 -1.3000 -1.8000 8.4966 3.2086 27.2622

13 -1.8000 -2.3000 3.2086 -6.1344 -19.6828

14 -2.3000 -2.8000 -6.1344 -20.2824 124.4204

TABLA 6.2.2.

c)Cálculo de raices por el método de interpolación

k x x2 fx1 fx2 E

1 3.2000 3.7000 -2.6364 3.3516 0.2201

2 3.4201 3.7000 -0.4688 3.3516 0.0343

3 3.4545 3.7000 -0.0663 3.3516 0.0048

4 3.4592 3.7000 -0.0091 3.3516 0.0006

5 3.4599 3.7000 -0.0012 3.3516 0.0001

6 3.4600 3.7000 -0.0002 3.3516 0.0000

k x x2 fx1 fx2 E

1 1.2000 1.7000 0.3616 -2.9304 0.0549

2 1.2000 1.2549 0.3616 -0.0353 0.0500

3 1.2000 1.2500 0.3616 -0.0002 0.0500

k x x2 fx1 fx2 E

1 -2.3000 -1.8000 -6.1344 3.2086 0.3283

2 -2.3000 -1.9717 -6.1344 0.4950 0.3038

3 -2.3000 -1.9962 -6.1344 0.0669 0.3005

4 -2.3000 -1.9995 -6.1344 0.0089 0.3001

5 -2.3000 -1.9999 -6.1344 0.0012 0.3000

6 -2.3000 -2.0000 -6.1344 0.0002 0.3000

Soluciones: X1 = 3.4600

X2 = 1.2500

X3 = -2.0000

6.3. Método de Newton Raphson

El método de NEWTON RAPHSON es uno de los más eficaces para la solución de

polinomios pues permite determinar claramente la solución en pocos pasos. Se basa en la

Se puede chequear el resultado al

mismo tiempo con yf(x1) en la

primera solución y, con con y F(x2) que son los valores que en este ejercicio sufren variaciones


aplicación de la tangente a un punto. Definiendo la tangente del ángulo (en la siguiente

figura), se deduce la fórmula para el cálculo aproximado de una solución del polinomio,

sin necesidad de que se conozca el intervalo de solución proporcionado por el método de

investigación.

f(xo)

x3 x2 x1 xO

FIG. 6.3.1

tgθ=F ( x0 )x0−x1

(6.2)

Como tg es igual a la pendiente, por lo tanto igual a la primera derivada de la función,

reemplazando tg po por la primera derivada:

F '=F (x0 )x0−x1

(6.3)

despejando de la ecuación b la variable x1 tenemos:

x1=x0−F ( x0 )

F ' ( x0 )

(6.4)

generalizando las variables, se concluye que:

xn+1=xn−F ( xn )

F ' ( xn )(6 .5 )

El valor de x aproximado para iniciar el análisis (xn ) puede ser cualquier valor (generalmente se utilizar x = 0.1), pero se recomienda utilizar r màx indicado en la fòrmula 5.1

Fórmula de Newton Raphson para el cálculo de raíces aproximadas de un polinomio.

solución


Causas de divergencia del método

1.- La ecuación planteada tiene soluciones imaginarias.

2. Las soluciones estén muy cercanas entre sí que provoque infinito número de cálculos

sin obtenerse la respuesta deseada.

Control del error:

Al ser el resultado una aproximación, es necesario imponernos un valor de error, que

permita a la vez acercarnos al resultado y delimitar las iteraciones, por lo que se podría

asumir la siguiente relación:

|fx|≤er (6 . 6 )donde er es el error impuesto por el calculista, como recomendación se puede asumir un

error del 0,1% es decir 0,001.

El número de iteraciones se calcularán hasta cuando el valor absoluto de F(x) se acerque

al error establecido.

Para la solución es conveniente construir, por organización, una tabla de valores que nos

permita visualizar con facilidad los cálculos que vamos obteniendo, dicha tabla consta de

las siguientes columnas.

K número de iteraciones

x1 valor de la variable x con el cual se inicia el proceso de cálculo.

fx valor que toma la función o polinomio al reemplazar el valor de x

f´x valor que toma la primera derivada de la función al

reemplazar el valor de x

Xn+1 valor encontrado según el reemplazo en la fórmula

de Newton Raphson, siendo este el nuevo valor de xi

Ejemplo 7.

Del polinomio x4 - 1.3x3 - 10.24x2 + 4.83x + 19.42 , encontrar una de las soluciones

sabiendo que dicha solución está entre el siguiente intervalo: 3.25<x<3.75

Solución:


1. Derivamos la función

f(x) = x4 - 1.3x3 - 10.24x2 + 4.83x + 19.42

f´(x) =4x3 – 3.9x2 –20.48x + 4.83

K Xi Fx F ´x fx/f´x x(i+1)

1 3.75000 22.73172 84.12375 0.27022 3.47978

2 3.47978 4.08030 54.88455 0.07434 3.40544

3 3.40544 0.26479 47.82997 0.00554 3.39990

4 3.39990 0.00141 47.32110 0.00003 3.39987

5 3.39987 0.00000 47.31837 0.00000 3.39987

6 3.39987 0.00000 47.31837 0.00000 3.39987

TABLA 6.3.1

La solución aproximada es 3.39990 ubicada en la cuarta iteración, sin embargo, al tener

más iteraciones, un resultado más aproximado es 3.39987.

Ejemplo8. Resolver el ejercicio anterior iniciando el cálculo con el intervalo menor.

K Xi fx f ´x fx/f´x x(i+1)

1 3.25000 -6.10266 34.38875 -0.17746 3.42746

2 3.42746 1.34056 49.87662 0.02688 3.40058

3 3.40058 0.03362 47.38351 0.00071 3.39987

4 3.39987 0.00002 47.31842 0.00000 3.39987

5 3.39987 0.00000 47.31837 0.00000 3.39987

6 3.39987 0.00000 47.31837 0.00000 3.39987

TABLA 6.3.2

La solución aproximada es 3.39987

Ejemplo 9. Calcular una de las soluciones del siguiente polinomio

x3 - 10.24x2 + 4.83x + 19.42 = 0

1.Encontramos el valor de rmax, aplicando la fórmula

Se puede chequear el resultado al

mismo tiempo con fx/f´x y f(x)


r max=√(a2

a1)2

−2a3

a1

r max=√(10 . 241 )

2

−2(4 . 83 )=9 . 76≃10

En este caso el valor de rmax aproximo a 10,

2. Construimos una tabla de valores para obtener los intervalos de solución (usar el

método de investigación):

k x1 x2 f x1 fx2 fx1*fx21 10,00000 9,50000 43,72000 -1,48000 Solución2 9,50000 9,00000 -1,48000 -37,55000 +3 9,00000 8,50000 -37,55000 -65,24000 +4 8,50000 8,00000 -65,24000 -85,30000 +5 8,00000 7,50000 -85,30000 -98,48000 +6 7,50000 7,00000 -98,48000 -105,53000 +7 7,00000 6,50000 -105,53000 -107,20000 +8 6,50000 6,00000 -107,20000 -104,24000 +9 6,00000 5,50000 -104,24000 -97,40000 +

10 5,50000 5,00000 -97,40000 -87,43000 +11 5,00000 4,50000 -87,43000 -75,08000 +12 4,50000 4,00000 -75,08000 -61,10000 +13 4,00000 3,50000 -61,10000 -46,24000 +14 3,50000 3,00000 -46,24000 -31,25000 +15 3,00000 2,50000 -31,25000 -16,88000 +16 2,50000 2,00000 -16,88000 -3,88000 +17 2,00000 1,50000 -3,88000 7,00000 Solución18 1,50000 1,00000 7,00000 15,01000 +19 1,00000 0,50000 15,01000 19,40000 +20 0,50000 0,00000 19,40000 19,42000 +21 0,00000 -0,50000 19,42000 14,32000 +22 -0,50000 -1,00000 14,32000 3,35000 +23 -1,00000 -1,50000 3,35000 -14,24000 Solución24 -1,50000 -2,00000 -14,24000 -39,20000 +25 -2,00000 -2,50000 -39,20000 -72,28000 +

TABLA 6.3.3

Como podemos observar en la tabla en x1, en la iteración 1 va el valor aproximado de rmax,

se ha aproximado el valor para que sea más sencillo ir restando el valor de 0.5, que ha

sido un valor escogido por conveniencia, no necesariamente tiene que ser este valor,

como tampoco era necesario aproximar el valor de rmax.

En x2 en la iteración 1 se coloca el valor de rmax – 0.5.

En las siguientes iteraciones el valor de x2 pasa a ser el valor de x1, y a la nueva x1 se le

resta 0.5 para colocar este valor en x2.


Este proceso se realiza hasta cuando en el producto F(x1)* F(x2) sea negativo. Cada vez

que aparezca un producto negativo quiere decir que en este intervalo esta una de las

soluciones.

En este caso hemos encontrado tres intervalos para efectos de comprensión del lector,

aunque solo era necesario encontrar un intervalo, puesto que sólo necesitamos una de las

soluciones.

3. Escogemos uno de los intervalos donde está una de las soluciones.

En este caso vamos a elegir el primer intervalo y con estos valores realizamos el mismo

procedimiento descrito en el ejemplo 8.

F(x) =X3 – 10.24x2 + 4.83x + 19.42 = 0

F’(x)=3x2 - 20.48x + 4.83

K x1 f x1 F ‘ x fx/f ' x1 10,00000 43,72000 100,03000 0,437072 9,56293 3,69124 83,33013 0,044303 9,51863 0,03611 81,70157 0,00044

TABLA 6.3.4

Solución: 9.51863 con un error del 3.6 %

6.4 Método de Birge Vieta .

Este método encuentra todas las soluciones reales que tenga un polinomio, es el

resultado de la combinación del método de Newton Raphson y la aplicación de la división

sintética doble (teoría de Ruffini para bajar de grado un polinomio con dos divisiones

continuas).

Recordando que Newton Raspón plantea:

xn+1=xn−F ( xn )

F' ( xn )(6 .5 )

Se sugiere como punto de inicio un valor cercano a rmáx; aunque, para automatización

del método se puede iniciar con cualquier valor.

PD=Q+

RD

P=QD+RP(X )=(X−Xn)Qx+R (X−Xn=deno min ador ) (6 .7 )si X=Xn⇒ P(X )=R

P '(X )=Q(X )+( X−Xn )Q '( X )

si x=xn⇒ Q( X )=R '

P '(X )=Q(X )

P '(X )=R '


Ejemplo 10. Calcular la solución de la siguiente ecuación:

1 -2 5 -7X=7 7 35 200

1 5 40 273X=7 7 84

1 12 124

X=7−273124

x=7−2.202=4.798

1 -2 5 -7X=4.8 4.8 13.44 88.51

1 2.8 18.44 81.51 X=4.8 4.8 36.44

1 7.6 54.92

X=4. 8−81 .5154 . 92

x=4. 8−1. 484=3.316

1 -2 5 -7X=3.32 3.32 4.38 31.15

1 1.32 9.38 24.14 X=3.32 3.32 15.41

1 4.64 24.78Se continua con el mismo proceso hasta lograr la solución, los valores los resumimos en

la siguiente tabla, misma que es factible obtenerla con mayor facilidad por el

método de Newton Rapshon:

K X R R’ R/R’

1 7 273 124 2.20

2 4.8 81.51 54.92 1.48

3 3.32 24.14 24.78 0.97

El valor de x aproximado para iniciar el análisis puede ser cualquier valor (generalmente se utilizar x = 0.1), pero se recomienda utilizar r màx indicado en la fòrmula 5.1

X3−2 X2+5 X−7=0


4 2.35 6.68 12.17 0.55

5 1.8 1.35 7.52 0.18

6 1.62 0.1 6.38 0.016

7 1.6 0.02 6.28 0.003

TABLA 6.4.1

Solución : 1.6 con un margen de error del 2%

Al dividir el polinomio original para (X – 1.6), se obtendrá un nuevo polinomio bajado de grado respecto al original, y se aplicará nuevamente similar procedimiento.

Si se llega a un polinomio de grado 2 , el cual puede tener soluciones imaginarias, éste es factible resolverlo aplicando la fórmula algebraica para resolver polinomios de segundo grado.

Existen muchos métodos más para la solución de polinomios, planteamos al estudiante

consultar los siguientes métodos:

Consulta, investigación:

1. Consultar y analizar los métodos de la Secante

y de VonMises.

2. Consultar el Método LIN para soluciones

imaginarias.

3. Realizar un ejercicio por cada método de

solución numérica de ecuaciones en ecuaciones

que involucren funciones trigonométricas.

CAPITULOIII

APROXIMACIÓN POLINOMIAL

7. Interpolación Matemática

En las aplicaciones en general, es frecuente trabajar con funciones expresadas en forma

tabular, o valores que provienen de un experimento.

Interpolar un valor implica calcular el valor de Y para una valor específico de X, este

problema es factible resolverlo aplicando métodos aproximados que permiten calcular el


valor a interpolarse a la vez definir la ecuación que contiene a todos y cada uno de

los puntos dados.

La interpolación polinomial se puede expresar por series de potencias, por interpolación

de Newton y por interpolación de Lagrange, concentraremos nuestro estudio en los dos

últimos métodos.

La aproximación polinomial tiene gran utilidad cuando los valores reflejados en la tabla

tienen el comportamiento de una función desconocida y que en muchas ocasiones el

encontrar la antiderivada de la misma resulta una imposibilidad matemática.

Xo X1 X2.............Xn

FIG. 7.1

7.1. Interpolación de newton (interpolación con incrementos constantes).

Considerando en el gráfico anterior incrementos constantes los pares ordenados son:

Xi yi

X0

x1 = x0 + hx2 = x0 + 2h

............

xn = x0 + nh

yo

y1

y2

.....yn

TABLA 7.1.1

La interpolación de Newton Se basa en el criterio de las diferencias finitas que pueden ser

de 1er , 2do , 3er , hasta enésimo orden según se especifica en la siguiente tabla.

y0 y1 y2 ..........yn

Y=P(x)

Y=f(x)


Xi yi y 2y 3y

x0

x1 = x0 + h

x2 = x0 + 2h

x3 = x0 + 3h

x4 = x0 + 4h.....

.......

xn = x0 + nh

yo

y1

y2

y3

y4

.....

yn

a0 = y1 – yo

a1 = y2 – y1

a2 = y3 – y2

a3 = y4 – y3

.

.

.

.a(n-1)=y(n) – y(n-1)

b0 = a1 – a0

b1 = a2 - a1

b2 = a3 – a2

.

.

.b(n-2)=a(n-1) - a(n-2)

c0 = b1 – b0

c1 = b2 – b1

.c(n-3)=b(n-2)-b(n-3)

TABLA 7.1.2

Deducción de la fórmula en base a las diferencias finitas indicadas:

a0 = y1 – y0 b0 = a1 –a0

y1 = a0 + y0 (1) a1 = b0 + a0 (3)

y2 = a1 + y1 (2)

(1) y (3) en (2)

y2 = a0 + b0 + a0 + y0 (7.1)

y2 = y0 +2a0 + b0

y3 = a2 – y2

a2 = a1 + b1

b1 = b0 + c4

y3 = a1 + b1 + a2 + y1

y3 = a1 + b1 + (b0 + a0) + a0 + y0

y3 = (a0 + b0) + b0 + c0 + b0 + a0 + a0 + y0

y3 = yo + 3a0 + 3b0 + c0

.......

........

y4 = yo + 4a0 + 6b0 + 4c0 + d0 (7.2)

Podemos observar que las diferencias se ven afectadas por los coeficientes del binomio

de Newton, por lo que puede generalizarse con la siguiente fórmula:


yk= y

0+ka

o+

k (k−1)2

bo+

k ( k−1 )(k−2 )3

co+

k (k−1 )(k−2)(k−3)4

do+ . . . . .

h

x0 xk x1 = x0 + h

xk = x0 +kh k=

xk−xo

h(7 .3)

Recordando que: a0 = yo, b0 = 2yo, c0 = 3yo, ................. , la fórmula de interpolación de

Newton es:

yk= y0+kΔyo+k (k−1 )2

Δ2 yo+k (k−1)(k−2)3

Δ3 y o+

k (k−1)( k−2)( k−3)4

Δ4 y o+. .. (7 . 4 )

El método se aplicará cuando los valores de la última diferencia sean iguales entre si, siendo esta diferencia el grado del polinomio representativo, si no se obtiene una diferencia finita con valores iguales pueden haber errores en los datos tomados (x,y) o pueden faltar datos.

Ejemplo 11.

Dada la función tabular (x,y) , calcular:

- el valor de y para x = 3.2

- la función representativa

X y y 2y 3y

0246810

11381

253577

1101

1268

172324524

56104152200

484848

TABLA 7.1.3

Solución.

observamos que es un polinomio de tercer grado entonces aplicamos las formulas:

xk = 3.2

x0 = 2

h = 2


k = (xk – x0) / h

k = (3.2 - 2) / 2

k = 0.6

yk=13+0 . 6∗68+0 .6∗(0 .6−1 )2

∗104+0 .6∗(0 .6−1 )(0.6−2)6

∗48

yk=44 .008

Para calcular la función representativa de una tabla dada podemos utilizar el mismo método de la forma siguiente

k= x−22

y=13+( x−22

)68+( x−2

2)( x−2

2−1)

2∗104+

( x−22

)( x−22

−1 )( x−22

−2)

6∗48

el polinomio es y=x3+x 2+1

7.2. Interpolación de Lagrange ( interpolación con incrementos variables)

Esto método de interpolación conocido también como interpolación con incrementos

variables, nos permite: dada una función tabular (tabla de valores con incrementos

constantes o variables), interpolar un valor.

Para el cálculo se utiliza la siguiente fórmula

y=∑i=1

n ∏j=1

n

(X−XJ )

∏j=1

n

(X i−X J )

∗y i donde j≠i (7 .5 )


y=( x−x2) (x−x3 ) (x−x4 ) . .. .. .. . .. . ( x−xn)( x1−x2) ( x1−x3) ( x1−x4 ) .. . .. .. . . ( x1−xn)

y1+

(x−x1 )( x−x3) (x−x4 ). . .. .. . .. .. (x−xn )(x2−x1) (x2−x3) (x2−x4 ) .. .. . .. .. (x2−xn)

y2+

(x−x1 )( x−x2) (x−x 4) . .. . .. .. . .. (x−xn )(x3−x1) (x3−x2) (x3−x4 ) .. . .. .. . . (x3−xn )

y3+. .. . .. .+

(x−x1 )( x−x2) (x−x3 ) .. . .. .. .. . . ( x−xn−1)(xn−x1) (xn−x2) ( xn−x3 ) .. .. .. . .. (xn−xn−1 )

yn (7 .6)

La fórmula se sustenta en los incrementos variables, al valor que vamos a encontrar le

restamos sucesivamente los valores de la tabla.

Ejemplo 12: Interpolar x=3.2 para la siguiente tabla

X Y0 22 84 626 2128 50610 992

Solución:

.

y=(3 .2−2 ) (3 .2−4 ) (3.2−6 ) (3 .2−8 ) (3 .2−10 )∗2(0−2 ) (0−4 ) (0−6 ) (0−8 ) (0−10 )

+

(3 .2−0 ) (3 .2−4 ) (3 .2−6 ) (3 .2−8 ) (3 .2−10 )∗8(2−0 ) (2−4 ) (2−6 ) (2−8 ) (2−10 )

+

=(3 .2−0 ) (3 .2−2 ) (3 .2−6 ) (3 .2−8 ) (3.2−10 )∗62(4−0 ) (4−2 ) (4−6 ) (4−8 ) (4−10 )

+

(3 .2−0 ) (3 .2−2 ) (3 .2−4 ) (3 .2−8 ) (3 .2−10 )∗212(6−0 ) (6−2 ) (6−4 ) (6−8 ) (6−10 )

+

(3 .2−0 ) (3 .2−2 ) (3 .2−4 ) (3 .2−6 ) (3 .2−10 )∗506(8−0 ) (8−2 ) (8−4 ) (8−6 ) ( 8−10 )

+

(3 .2−0 ) (3 .2−2 ) (3 .2−4 ) (3 .2−6 ) (3 .2−8 )∗992(10−0 ) (10−2 ) (10−4 ) (10−6 ) (10−8 )

=31 .568

7.4 Interpolación inversa.

En el proceso de la interpolación se buscaba un valor de f(x) dado un valor de la variable

independiente, en la interpolación inversa es lo contrario: dado un valor de f(x) calcular

una valor de la variable independiente. Esta aplicación es útil para resolver un polinomio

Recomendación: para interpolar por èste método, se recomienda que el valor a

interpolar tenga por lo menos tres pares ordenados superiores y tres pares ordenados inferiores a èl , para garantizar el resultado


recordando que las raíces de un polinomio se encuentran en los puntos donde la función

es cero ( f(x) = 0 ).

Ejemplo 13: Calcular una solución de la ecuación x2 + 3x – 5

y X-5 0-3 11.75

1.5

5 213 3

Se sugiere el siguiente procedimiento para la solución:

- La solución está entre 1 < x < 2 por lo que se trabaja en ese intervalo .

-3 1

1.7

5

1.5

5 2

- Se asume Y = 0 como el valor a interpolarse.

- Se aplica la fórmula de Lagrange para el cálculo

x= (0−1 .75 )(0−5 )(−3−1 .75 )(−3−5)∗0+

(0+3 )(0−5)(1 .75+3 )(1 .75−5)

∗1 .5+(0+3 )(0−1 .75 )(5+3 )(5−1 .75 )

∗2=1 .25

El método de interpolación con intervalos constantes permite EXTRAPOLAR puesto que

se puede completar la tabla sin problemas y extenderla hasta el valor requerido para el

ejercicio propuesto.

8.- Integración numérica

Recordando que integración es sinónimo de área, se puede resolver una integral definida

por métodos aproximados,

Cuando se calcula una integral se acude a las fórmulas de integración , la integración

numérica nos permite calcular dicha integral definida, de una función expresada en forma

Y = 0


tabular o en forma algebraica, en los dos casos se debe disponer necesariamente de la

tabla de valores x-y .

ejemplo 14: Calcular la integral indicada

∫1

5

( x2+5)dx

Con la aplicación de las fórmulas de integración se obtiene como resultado:

∫1

8

( x2+5)dx=205. 33

Ahora vamos a ver como de la misma función pero expresada en forma tabular,

calculamos el área aproximada, utilizando rectángulos y trapecios :

1 2 3 4 5

FIG. 8.1

X Y

1 6

2 9

3 14

4 21

5 30


Para conocer el área aproximada bajo la curva , tomamos en cuenta los rectángulos que

se forman entre cada intervalo de par ordenado

Entonces : A = B * h

A = 1( 6 + 9 + 14 + 21 ) = 50

Si a este dato le comparamos con el de la integral de la función .

Tenemos que existe un error no tolerable . 205.33 50

Esto ocurre porque no estamos tomando en cuenta las pequeñas áreas casi triangulares

que se forman entre los rectángulos y la grafica de la función.

Para solucionar este error no tolerable se recomienda deducir fórmulas con el criterio de

trapecios que se acercan más a la gráfica.

La fórmula del área del trapecio nos permite plantear varios métodos para el cálculo de

integrales definidas.

Area = ( Basemayor+ Basemenor ) * h (8.1)

2

9. Métodos de cálculo de integración numérica.

xo x1 x2 x3 x4 x5 x6

FIG. 9.1

Aplicando la fórmula del trapecio, y sumando todos los trapecios indicados en el gráfico se

obtiene:

A = h ( Y0 + Y1 ) / 2 + h ( Y1 + Y2 ) / 2 + h ( Y2 + Y3 ) / 2 + ..........(9.1)

Realizando las operaciones correspondientes no queda :

A=h2( y0+ yn+2∑ resto de ordenadas ) (9 .2 )

Una forma sencilla de definir fórmulas más exactas es considerando que una función es

expresable como una serie (binomio de Newton) con diferencias finitas:


f (x )=y 0+kΔyo+k (k−1)2

Δ2 yo+k (k−1 )(k−2)3

Δ3 yo+

k (k−1)( k−2)( k−3)4

Δ4 y o+. .. (9 . 3 )

Si integramos la función entre xo y xn con los siguientes cambios:

Siendo k=

x−xo

h⇒ x=x0+hk

(9.4)

Si x = xo entonces k = 0

Si x = xn = xo + hk entonces k = n

Si derivamos x con respecto a k dx = hdk

Reemplazando estos nuevos datos:

∫xo

xn

f (x )dx =∫o

n

( yo+kΔyo+

k2−k2

Δ2 yo+

k3−3 k2+2 k6

Δ3 yo+. . . . .)hdk

∫xo

xn

f (x )dx =h[nyo+n2

2Δyo+(

n3

6−n2

4)Δ2 yo+(

n4

24−n3

6+n2

6)Δ3 yo+ . . . . . .] (9. 5)

Según las diferencias finitas, sus áreas se identifican en el siguiente gráfico:

FIG. 9.2

Si se escoge un trapecio la interpolación será de primer orden y por lo tanto se considera

la primera diferencia yo, si se escoge dos trapecios, será de segundo orden, así

sucesivamente.

Con lo indicado, se obtienen las siguientes fórmulas:

1. Considerando un solo trapecio (n = 1):


∫xo

x 1

f ( x )dx =h[nyo+n2

2Δyo] como Δyo=y1−yo

∫xo

x 1

f ( x )dx =h2( yo+ y1 ) (9 . 5)

2. Considerando 2 trapecios (n = 2):

∫xo

x 2

f ( x )dx =h[nyo+n2

2Δyo+(

n3

6−n2

4)Δ2 yo ]

como Δyo=y1−yo Y Δ2 yo=y2−2 y1+ yo

∫xo

x 2

f ( x )dx =h3( yo+4 y1+ y2) (9 .6)

3. Considerando tres trapecios (n = 3)

∫xo

x 3

f (x )dx =h[nyo+n2

2Δyo+(

n3

6−n2

4)Δ2 yo+(

n4

24−n3

6+n2

6)Δ3 yo]

como Δyo=y1−yo Y Δ2 yo=y2−2 y1+ yo Δ3

yo= y3−3 y 2+3 y 1− y o

∫xo

x 3

f (x )dx =38

h( yo+3 y1+3 y2+ y3 ) (9 .7)

Si en cada uno de los análisis se considera los trapecios de cero a n, se definen tres

fórmulas:

9.1 Fórmula del trapecio.

Se considera n cualquier número de divisiones para o impar pues su análisis se lo hizo

con un solo trapecio

A=h2( y0+ yn+2∑ resto de ordenadas ) (9 .8)

9.2 Fórmula de Simpson del 1/3.

Se considera que n debe ser siempre par pues el análisis se lo realizó con dos trapecios.

A=h3( y0+ yn+2∑ ordenadaspares+4∑ orden . impares ) (9 . 9)

9.3 Fórmula de Simpson del 3/8.


Se considera que n debe ser siempre múltiplo de 3 pues el análisis se lo realizó con tres

trapecios. (9.10)

A=38

h( y0+ yn+2∑orden .multiplosde 3+3∑ resto . de .orden) . (9 . 10)

Nota. Para la aplicación de estas fórmulas siempre se contabilizará los pares ordenados desde el par cero.

Ejemplo 15.

Resolver la integral indicada utilizando todas las fórmulas y encontrar el error de cada una

de ellas en relación con la solución exacta.

∫1

8

( x2+5)dx⇒ por int egración directa Sol=205 .33

Solución por la fórmula del trapecio

Sol=12

[6+69+2∗(9+14+21+30+41+54 ) ]=206 .5

TABLA 9.1

Solución por la fórmula de Simpson del 1/3.N debe ser par por lo tanto escogemos n = 6 intervalos, 7/8 = 0.875

Sol=0 .8753

¿ [ 6+69+2∗(12 . 56+25 .25+44 . 06 )+ ¿ ]¿¿

¿¿

¿¿

TABLA 9.2

Solución por la fórmula de Simpson de 3/8.N debe ser múltiplo de 3 por lo tanto escogemos n = 9 intervalos, 7//9 = 0.778

Sol=38∗0 . 778¿ [ 6+69+2∗(16. 16+37 .13 )+3∗(8 . 16+11. 53+21 . 91+ ¿ ]¿

¿¿¿

¿¿

.i X Y0 1 61 2 92 3 143 4 214 5 305 6 416 7 547 8 69

.i X Y0 1 61 1.875 8.5162 2.75 12.563 3.625 18.144 4.5 25.255 5.375 33.896 6.25 44.067 7.125 55.778 8 69

.i X Y0 1 61 1.778 8.162 2.556 11.533 3.334 16.164 4.112 21.915 4.89 28.916 5.668 37.137 6.45 46.68 7.22 57.139 8 69


TABLA 9.3

Conclusión del ejercicio: se puede observar que las dos fórmulas de Simpson presentan

el menor error, en igual forma, el resultado es más cercano al real mientras más intervalos

existan.

Error con el trapecio: 0.6%Error con Simpson 1/3: 0%Error con Simpson 3/8: 0.1%

CAPITULO IV

APROXIMACIÓN FUNCIONAL (AJUSTE DE CURVAS)

Permite encontrar la ecuación de la curva que aunque no pase por todos los puntos de

una tabla de datos, tenga variaciones cercanas.La aproximación se basa en el método de

los mínimos cuadrados. La aproximación puede emplearse en muchos casos prácticos,

como por ejemplo en el tratamiento de resultados de observación, ya que ella compensa

las incorrecciones locales aisladas de la función f(x) (por ejemplo errores producidos en la

observación) y también proporciona una representación lo suficientemente exacta en el

transcurso del proceso correspondiente. la aproximación funcional permite definir una

función que esté cercana a una tabla de datos.

Una de las restricciones está en el hecho de conocer previamente a qué grado se acerca

la tabla de datos; por ello es que utilizamos el método de los mínimos cuadrados para

ajustar la curva y definir los coeficientes de la función

Para definir el grado del polinomio al que se desea ajustar el conjunto de puntos se puede

optar por construir el cuadro de diferencias finitas, pero, es más recomendable graficar los

puntos y observar que tipo de curvatura es para escoger el correspondiente grado,

también es recomendable que en lo posible se relacione a los puntos con una ecuación

de grado tres como máximo (aceptar este criterio como una recomendación, puesto que

con el uso de computadoras al facilitar los cálculos, la ecuación puede relacionarse con

un polinomio de n grado).

N a a x a x a ymm

0 1 22 ....

a x a x a x a xymm

0 12

23 1 .....

a x a x a x a x ynn

02

13

34

12 2 .....

a x a x a x ym mm

m n m0

11

1 1 1 ....


FIG. 9.3

Se trata de obtener los coeficientes de la función:

y=f ( x )=ao+a1 x+a2 x2+a3 x3+.. . .+am xm (9 .11)

Luego del proceso matemático basado en los residuos o faltantes localizado entre el

punto Y conocido y el punto de la función a calcularse, se obtiene el siguiente sistema de

ecuaciones:

...................................... (9.12)

.........................................

Donde n es el número de datos proporcionados en la tabla.

Recomendación: Debido a que la función puede presentarse en

distintas formas, recomendamos disponer de una serie de gráficos

para ver a cual se parece el ejercicio.

Ejemplo 16.

Encontrar la ecuación de la curva que mejor se ajuste a la tabla de valores (ejercicio

tomado de Métodos Numéricos de Luthe. Edit. Limunsa)

N a a x a x yo 1 22

a x a x a x xyo 12 2 3

a x a x a x x y02

13

24 2

7 28 140 5002a a a

28 140 784 2000 1 2a a a

140 784 4676 9460 1 2a a a


FIG. 9.4

Solución:

Para encontrar la función que mejor represente a la tabla de valores dada debemos saber

el grado de la función, para ello procedemos a graficar los valores de la tabla.

Como se puede observar, los datos obtenidos representar a una ecuación de segundo

grado, entonces para encontrar la solución formaremos tres ecuaciones:

(9.13)

Grado de la función: segundo grado

a continuación, procedemos a encontrar los valores de la tabla indicada:

TABLA 9.4

N a a x a x a x yo 1 22

33

a x a x a x a x xyo 12

23

34

a x a x a x a x x y03

14

25

36 3

8 36 204 1296 12680 1 2 3a a a a

36 204 1296 8772 86040 1 2 3a a a a

204 1296 8772 61776 606840 1 2 3a a a a

8772 61776 446964 4394881 3 3a a a 1296ao +


Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos:

ao=−0 .57421 a1=5.14286 a2=−0 .64285

de esta manera, nuestra función que representa en forma aproximada al conjunto de

puntos es:

f(x) = -0.64285x² + 5.14x –0.57

ejemplo 17.

Encontrar la ecuación que mejor se aproxime a la siguiente tabla, asumiendo que se

ajusta a un polinomio de grado tres.

Grado de la ecuación (tercero)

.


Resolviendo el sistema:

a0=0. 944 a1=−0 . 99 a2=0 a3=1

f(x) = 0.944 - 0.99x - 7.27x 10-11x² + x³

aproximadamente se tiene : f(x) = x³ - x + 1

10. Sugerencia para la creación del sistema de ecuaciones en la aproximación

funcional:

Una forma sencilla de optimizar la creación del sistema de ecuaciones es la siguiente:

Disponiendo de la tabla de valores x,y ; se sugiere el siguiente procedimiento:1.organizar la matriz de incógnitas y términos independientes con la siguiente base:

x=[1 x1 x1

2 x13 . . x1

m

1 x2 x22 x2

3 x2m

1 x3 x32 x3

3 x3m

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .1 xn xn

2 xn3 xn

m] y= ¿¿

(10.1)

2. Se calcula la matriz traspuesta de x

3. Se calcula la matriz z=xT∗x

4. Se calculan los coeficientes:w=xt∗y5. se resuelve el sistema z = w

ejemplo 18 resolver el ejemplo 16 con esta metodología

X= Y=

U=XT*X=


Resolvemos el siguiente sistema y los resultados son los mismos que el ejercicio 16 a0 a1 a2

ao=−0 .57421 a1=5.14286 a2=−0 .64285

CAPÌTULO V

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Ecuación diferencial es una ecuación que relaciona dos o más variables en términos de

derivadas o diferenciales.

Ecuación diferencial ordinaria es la que tiene una sola variable independiente.

Una ecuación diferencial esta resuelta cuando se ha obtenido el polinomio solución o

cuando se expresa en forma de integración. Gráficamente la ecuación representa una

familia de curvas, cada una correspondiente al valor respectivo de la constante de

integración.

Dependiendo de cómo se establezcan las condiciones, se presentan dos tipos de

problemas: con condiciones iniciales y con condiciones de frontera.

Un problema de valores iniciales está gobernado por una ecuación diferencial de orden n

y un conjunto de n condiciones independientes (x, y, y’, y’’, y’’, ...) todas ellas válidas para

el mismo punto inicial.

Un problema de valores a la frontera debe establecerse para condiciones iniciales y

finales.

y y F(x,y)=0 G(x,y)

X1 X2 X3 ....... X X=a X=b X

Condiciones iniciales condiciones de frontera FIG. 10.1

En este capitulo nos centraremos en tres métodos para poder resolver las ecuaciones

diferenciales ordinarias, estas son:

V=XT*Y

=


Con Integración.

Con la serie de Taylor.

Método de Runge Kutta.

11. Solución numérica de una ecuación diferencial ordinaria.Básicamente consiste en

sustituir el dominio continuo de soluciones, por un dominio discreto formado por puntos

aislados espaciados igualmente entre sí y muy cercanos unos de otros.

12. Métodos de solución para ecuaciones diferenciales ordinarias con valores

iniciales

Para las ecuaciones diferenciales ordinarias, se debe analizar cada problema en

particular, ya que es muy difícil generalizar. Sin embargo se pueden tener pautas para la

solución.

Este estudio en particular se basará en un mismo ejercicio, con la finalidad de presentar

una mejor comprensión y al final comparar los resultados obtenidos; el problema modelo

es el siguiente :

y’ = ½ ( 1 + x ) y2 ; y(0) = 1

12.1. Solución por integración.-

Sin lugar a duda es el método más conocido y utilizado para la solución de ecuaciones

diferenciales ordinarias, pero su aplicación es válida si el proceso de integración por

fórmulas es factible.

Para resolver utilizando éste método, debemos separar las variables independientes de

las dependientes en la ecuación original.

Luego procedemos a integrar a ambos lados para obtener la solución general, en la cual

remplazaremos los valores iniciales para encontrar el valor de C y así obtener el resultado

general.


ejemplo 19: Resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria, utilizando integración.

Reemplazando x = 0 ; y = 1 en la solución, se obtiene C = -4.

Por tanto la solución particular es:

12.2. Solución con la serie de Taylor

En primer lugar debemos recordar como se resuelve la serie de Taylor, para poder

emplearlo en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Recordemos la serie con un ejemplo:

Se tiene f(x) = ln(x) en potencias de ( x – 1 ); procedemos a realizar derivadas sucesivas a

f(x) y evaluamos en x = 1.

f(x) = ln(x) f(1) = 0

f ‘ (x) = 1/x f ‘ (1) = 1

f ‘’ (x) = -1/x2 f ‘’ (1) = -1

f ‘’’ (x) = 2/x3 f ‘’’ (1) = 2

La serie de Taylor quedaría definida como:

Una vez que nos hemos familiarizado con la serie de Taylor, apliquemos estos criterios a

la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias; con la siguiente formula:

∂ y∂ x

=12( x+1 ) y2

∂ yy2

=12( x+1 )∂ x

∫∂ yy2

=∫12( x+1 )∂ x (12 .1 )

−1y=x2

4+x

2+C

−1y=x2+2 x+C

4

y=−4x2+2 x+C

y= 4

4−2 x−x2

ln (x )=0+1∗( x−1)

1 !+(−1)∗

( x−1)2

2 !+2∗

( x−1)3

3 !+. .. . .. .. . .. .. .

ln (x )=x−1−12( x−1)2+ 1

3( x−1)3+.. . .. .. . .. .

y= y0+( x−x0 )

1!y '0+

( x−x0 )2

2 !y ''0+

(x−x0 )3

3 !y '''0+. .. . .. ..(12 .2 )


Ejemplo 20

Resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria, utilizando la serie de Taylor.

y’ = ½ ( 1 + x ) y2 ; y(0) = 1

x = 0

y = 1

y’ = ½ (1+x)y2 = ½

y’’ = ½ y2 + (1+x)yy’ = 1

y’’’ = yy’ + yy’ + (1+x)(y’)2 + (1+x)yy’’ = 9/4

Por tanto la solución es:

Y = 1 + ½ x + ½ x2 + 3/8 x3

12.3. Solución por el método de Runge Kutta.- El método sugiere que mediante

procesos iteractivos, se encuentre la solución de una ecuación diferencial ordinaria,

expresada en forma tabular. La base teórica del método es el de aproximaciones

sucesivas; y, luego del correspondiente análisis se obtienen las siguientes formulas.

y(0 ) t= y(0 )i+h6(k1+2 k2+2 k3+k 4 )

k 1= f ( x , y )

k 2= f ( x+h2

, y+k1 h

2) (12.3)

k 3= f ( x+h2

, y+k2 h

2)

k 4=f ( x+h , y+k3h )


Se debe tomar en cuenta que este proceso se lo puede hacer varias veces sin considerar

ningún valor límite.

Ejemplo 21.

Resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria, utilizando el método de Runge Kutta.

y’ = ½ ( 1 + x ) y2 ; y(0) = 1

para x=0 y=1k 1=

12(1+0)(1 )2=0 .5

k 2=12 [1+(0+0.1

2)] [1+0.1∗0 .5

2 ]2

=0 .5516

k 3=12 [1+(0+0.1

2)][1+0 .1∗0 .5516

2 ]2

=0 .5544

k 3=12 [1+(0+0 .1)] [1+0.1∗0. 5544 ]2=0 .6127

Para el siguiente proceso, los valores iniciales serán:

x=0.1

y=1+0 .16

[0.5+2∗0 .5516+2∗0.5544+0.6127 ]=1. 05541

Con estos datos se realiza el siguiente proceso:

f (0. 1)=1 . 0554 ⇒ k 1=12(1+0 . 1)(1. 0554 )2=0 .6126

f (0. 15 )=1. 086⇒ k2=12(1+0 .15 )(1. 086)2=0. 6782

f (0. 15 , 1. 0893)⇒ k 3=12(1+0 . 15)(1. 0893 )2=0 . 6823

f (0. 2,1. 1236 )⇒ k 4=12(1+0 .2 )(1 .1236 )2=0 . 7575

y=1. 05541+0 .16

(0 . 6126+2(0 . 6782)+2(0 . 6823)+0.7575 )=1. 12392

Continuando en la misma forma se obtiene la solución mostrada en la siguiente tabla:

x y k1 k2 k3 k40 1,0000 0,5000 0,5516 0,5544 0,6127


0,1 1,0554 0,6126 0,6782 0,6823 0,75750,2 1,1236 0,7575 0,8431 0,8494 0,94940,3 1,2085 0,9492 1,0647 1,0745 1,21210,4 1,3158 1,2119 1,3735 1,3896 1,58720,5 1,4545 1,5868 1,8234 1,8517 2,1509

TABLA 12.3.1

12.4 Tabla comparativa para los tres métodos.

Como se dispone de las funciones por integración y Taylor, dando valores a x obtenemos

el valor de la función, y, comparando los resultados por las tres formas concluimos que el

método numérico propuesto por Runge-Kutta se aproxima a los resultados exactos.

Integración Taylor Runge k.

X Y Y Y0 1,0000 1,0000 1,0000

0,1 1,0554 1,1375 1,05540,2 1,1236 1,2750 1,12360,3 1,2085 1,4125 1,20850,4 1,3158 1,5500 1,31850,5 1,4545 1,6875 1,4545

TABLA 12.3.2

Consultas e investigación:

1. Resolver tres ejercicios de integración cada uno con

los diferentes métodos involucrando en estos

ejercicios funciones trigonométricas, incluir

conclusiones (en caso de existir).

2. Resolver tres ejercicios de ecuaciones diferenciales

por todos los métodos involucrando en estos

ejercicios funciones trigonométricas, incluir

conclusiones (en caso de existir).


CAPITULO VI

Ejercicios Generales

Capítulo 1.

Construir las matrices correspondientes y resolver los siguientes ejercicios:

Realizar 2 ejercicios básicos de suma y resta Multiplicar las siguientes matrices:

A(3*4), B(4*2)A(3*2), B(2*3)

Transformar dos matrices de 4*4 a matriz triangular superior Calcular el determinantes de dos matrices de 4*4 Calcular las inversas de: una matriz de 3*3 y de una matriz de 4*4 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitasSistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas

Capítulo 2. Resolver los siguientes polinomios


13 . x4−5 x3−15 . 23 x2+6 .24 x+24 . 84=0Sol : x1=6. 9806 x2=1 .2814 x3−4=−1. 631±0 . 34 i

14 . x3−14 x2+56 x−64=0Sol : x1=8 x2=4 x3=2

15 . x5−8 x4+17 x3−8 x2−14 x+20=0

Sol : x1=5 x2=2 x2=−1 x4−5=1±i16 . 2x3−41 x2−4 x+2=0

Sol : x1=20. 5947 x2=0 .1779 x3=−0 .272717 . x3−8 x2+15 x−1=0

Sol : x1=5.0937 x2=2 .8370 x3=0 . 069018 . x3−5 x2+4 x+2=0

Sol : x1=3.81 x2=1 . 5293 x3=−0 .342919 . x3−4 x2−5 x+7=0

Sol : x1=4. 74 x2=0.8989 x3=−1. 641920 . x4+2 x3+3 x2+2 x+1=0

Sol : x1−2=−0 .5±1. 732i x3−4= −0 . 5±0 . 866 i21 . x2+2 x+7=0

Sol : x1−2=−1±2. 449 i

22 . x3+3 x2+7 x+5=0

Sol : x1=−1 x2−3=−1±2iCapítulo 3. Resolver los siguientes ejercicios sobre interpolación polinomial y definir la función representativa.

23. Interpolar x = 3.75

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Y -1 3 41 173 483 107

92093 368

16023 932

313809 19733 27371

Sol. Y = 383.316

24. Interpolar x = 9

X 0 2 4 6 8 10 12 14 16Y 5 8 43 158 401 820 1463 2378 3616 Sol. Y = 585.5

25. Interpolar x =5

X 1 3 4 7 10 12Y 1.8 51. 136.2 846.6 2619 4630.6


4 Sol. Y = 287.02

26. Interpolar x =11

X 0 1 4 7 10 13 16Y -1 4 151 622 1579 318

45599

Sol. Y = 2034

27. Interpolar x =3.35, x = 4.45, x = 6.75

X 0 1 2 3 4 5 6 7Y 1 2 5 10 17 26 37 50 Sol. Y = 12.22 Y = 20.803 Y = 46.56

Capítulo 4. Resolver los siguientes ejercicios de integración numérica.

Resolver por métodos aproximados las siguientes integrales aplicando la fórmula de 3/8 de Simpson, tabulando datos para 6 intervalos.

28.

12 ∫

1

2 .67

( x2−2x+1)dx Sol :0 . 7762


29 . ∫−5

10

( x2−3 x+2)dx Sol= 292. 5

30 . ∫0

20

( x3−3 x2+5 x−6 )dx Sol= 32880

31 . 2 π ∫1. 79

2

( 4 x−x2 )√1+( 4−2 x )2 dx Sol=5 . 4088

32 . ∫1

7

cos x √1+sen2 x dx Sol=0 . 1047

Capítulo 5. Ejercicios sobre aproximación funcional

Dados los pares ordenados indicados, encontrar la función que representa aproximadamente a la tabla.

33. X 0 1 2 3 4 5 6 7Y 2 4 3 6 5 7 9 8

Solución: y=−0. 02 x3+0 . 2002x2+0. 4565 x+2 .3787

34. X 0 1 3 4 7 9Y 2 4 6 9 11 14

Solución: y=−0. 0365 x2+1 .6115 x+2 . 1687

35.X 0 1 2 3 4 5 6Y 3 6 9 15 18 21 25

Solución: y=−0. 011 x2+3 . 8214 x+2.5476

36.X 0 1 2 3 4 5Y -1 0 1 20 99 304

Solución: y=x4−3 x3+2 x2+x−1

37.X 1 2 3 4 5 7Y 3 19 53 111 304 323

Solución: y=−6 . 95 x3+84 . 80 x2−229 . 96 x+166 . 98


Capítulo 6. Ejercicios sobre ecuaciones diferenciales ordinarias

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por : Integración Aplicando la serie de Taylor Por Runge Kutta

y comparar los resultados de los tres métodos en una tabla de valores.

38 y '=0 .5(5−x ) y2 x=0 , y=1 , h=0 . 139 y '=( x3−3 x2+5 x−1 ) x=1, y=2, h=140 y '=(3 x2−5 x+1 )∗y x=0 , y=1 , h=0 .541 y '=( x3−3 x2+5 x−1)∗y2 x=0 , y=2, h=0 .242 . y '=(3 x2−5 x+1) y2 x=0 , y=1 , h=0 .1

CAPITULO VIIDiagramas de flujo

Cálculo del determinante de una matriz de N*N

J = 1, N

A[i,J]

i =1,N

M = N

N

inicio


Sistemas de ecuaciones lineales de N*N

DD = 1

b

Imprimir DD

J = i, M

DD = DD*C(i,i)

i= 1,N

J = i, M

A(L,J) = A(L,J) –D*A(i,J)

L=k ,N

D = A(L, i )

k = i + 1

a

El diagrama planteado incluye el análisis para definir si existe o no solución de un sistema de ecuaciones, por lo que se recomienda incluir en un programa final el cálculo del determinante, recordando que cuando el determinante es diferente de cero el sistema tiene solución.

J = 1, M

A[i,J]

I=1,N

M = N+1

N

inicio


El sistema no tiene solución o puede tener infinito número de soluciones

NO SIDD=0

X(N)=A(N,M)/A(N,N)

J = i+1, N

C(J) = X(J)*A(i,J)S(i) = s(i) + c(J)

i= N-1,

S(i) = 0

BB


Método de investigación para el cálculo de intervalos de solución de un polinomio.

X1(L)=X2(L)

Imprimir:K,x1,x2,f1,f2,solución

1si

No hay solución Si hay solución

M(L)<

F1(L)=P; F2(L)=QM(L)=F1(L)*F”(L)

L=1,

Rm(0)=0X1(L)=Rmáx-Rm(L-1)

X2(L)=x1(L)-Rm

Rmáx=√(a2

a1)

2

−2((a3

a1))

Rm=Rmáxk

ó k=0 .5

1

J=N-1

P=P+A(i)*x1(L)J

Q=Q+A(i)*x2(L)J

I =1,N

P=Q=A(N+1); J =N

L=1,k

A[i]

I=1,N+1

N, K

inicio


Método de interpolación. Para calcular una solución conociendo el intervalo por el método de investigación.


Método de Newton Raphson Tomando como valor inicial de x el valor de Rmàx (fòrmula 5.1), o cualquier valor de x, incluyendo el concepto de derivada para su solución.

1

X=√( a2a1 )

2

−2(a 3a 1)

1

P=N-1

Fx=Fx+A[i].x p

I=1,N+1

Fx=0; p=N

Z=1,k

A[i]

I=1,N+1

N,

inicio

n=n-1

Fx1=Fx1+n*A[J]x(n-1)

J=1,

Fx1=0; n=N

fin

Xsol=x

si

x=x - (Fx/Fx1)

F<0.0


BIBLIOGRAFÍA.

GRANVILLE, Smith, Cálculo diferencial e integral, Edit. Hispano América, 1973, México

Rainville, Earl, Ecuaciones diferenciales, Edit. Trillas, 1974, México

Murray, Spiegel, Albebra superior, Edit. McGraw-Hill, Tercera edición, 1989, México.

LUTHE, Olivera, Métodos Numéricos, Edit. Limusa, 1978, México.

Nakamura, Métodos numéricos aplicados con software, Edit. Prentice Hall, 1993, México.

Andrade William, Lógica de programación y lenguaje pascal, Ecuador, 1996.

Medina Washington, Matrices y cálculo diferencial e integral, Ecuador, 2000.

Andrade William, anotaciones de asignatura Programación, FIC UTA 1986


ANEXOS


PROYECTO DE CURSO

1. OBJETIVO: Diseñar un software que permita la solución de ejercicios de conformidad a los

capítulos del presente texto.

2. REQUISITOS: Lenguaje de programación a utilizarse:_______________________

3. GRUPOS DE TRABAJO Y TEMA CORRESPONDIENTE

Grupo 1:

Tema: Determinantes, inversa

Integrantes(2): .........................................................................

.........................................................................

Grupo 2:

Tema: Sumar, resta, multiplicación de matrices, sistemas de ecuaciones lineales

Integrantes(2): .........................................................................

.........................................................................

3.3. Grupo 3:

Tema: Gráfica de un polinomio visualizando la tabla de valores

Integrantes(2): .........................................................................

.........................................................................

3.4.Grupo 4:

Tema: Método de investigación

Integrantes(1): .........................................................................

.........................................................................

3.5. Grupo 5

Tema: Método de interpolación

Integrantes(1): .........................................................................

.........................................................................

3.6. Grupo 6

Tema: Método de Newton Rapshon

Integrantes(1): .........................................................................

.........................................................................

3.7. Grupo 7

Tema: Método de Birge Vieta

Integrantes(2): .........................................................................

.........................................................................


3.8. Grupo 8

Tema: Aproximación Polinomial (Interpolación de Newton y Lagrange)

Integrantes(2): .........................................................................

.........................................................................

3.9. Grupo 9

Tema: Integración

Integrantes(2): .........................................................................

.........................................................................

3.10. Grupo 10Tema: Aproximación funcional

Integrantes(2): .........................................................................

.........................................................................

3.11. Grupo 11Tema: Ecuaciones diferenciales ordinarias (Runge Kutta)

Integrantes(1): .........................................................................

.........................................................................

3.12. Grupo 12Tema: Método Lin (investigación)

Integrantes(3): .........................................................................

.........................................................................


Evaluación 1:Universidad:...............................................................................................................Facultad :....................................................................................................................Nombre:......................................................................................................................Curso:..........................................................................................................................Fecha:..........................................................................................................................

1. Calcular el determinante de la siguiente matriz, utilice dos decimales)

2 3 1 4

1 2 1

3 1 -2

1 1 4 3

2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss, anote en la tabla la matriz triangular superior y los términos independientes

X Y z w X y z w

1 2 4 1 = 3 =1 2 -2 = 5 =2 1 3 = 1 =1 3 1 3 = 4 =

X = Y = Z = W =

3. Realizar el diagrama de flujo o codificar exclusivamente la parte operativa del proceso para

resolver:

3.1. La matriz triangular superior

3.2. la multiplicación de dos matrices

Intercambio de filas de una matriz

La matriz triangular inferior

la multiplicación de una matriz por un escalar

La transpuesta de una matriz



1. Del polinomio indicado calcule un intervalo de solución por el método de investigación, iniciando el cálculo en el valor de Rmáx.

Y =

K X1 X2 Fx1 Fx2 Fx1*fx212345

Del intervalo encontrado en la pregunta 1, encuentre la solución por el método de interpolación

K X1 X2 Fx1 Fx2 E12345

2. Codificar o realizar el diagrama de flujo de:

a. Generación de un tabla de datos X/Y de un polinomio

b. Cálculo de la primera fila de la tabla del método de investigación asumiendo

diagramado o codificado el ingreso del polinomio.

c. Cálculo de la primera fila de la tabla del método de interpolación asumiendo

diagramado o codificado el ingreso del polinomio.

3. Codificar o realizar el diagrama de flujo para :

a. calcular los coeficientes de la segunda derivada de un polinomio.b. Definir la concavidad de del intervalo de un polinomio



1. Del polinomio indicado calcule una solución por el método de VON MISES, iniciando el cálculo en el valor de Rmáx.

Y =

K X Fx F’xo Fx/f’xo12345

2. De la función trigonométrica indicada, calcule una solución utilizando el método de Newton Rapshon.

Y =

K X1 Fx F’x fx/f’x12345


a. Generación de un tabla de datos X/Y de un polinomiob. Cálculo de la primera fila de la tabla del método de investigación asumiendo

diagramado o codificado el ingreso del polinomio.c. Cálculo de la primera fila de la tabla del método de interpolación asumiendo

diagramaddo o codificado el ingreso del polinomio. d. calcular los coeficientes de la segunda derivada de un polinomio.e. Definir la concavidad de del intervalo de un polinomio

4. Codificar o realizar el diagrama de flujo para :

a. La matriz triangular superiorb. la multiplicación de dos matricesc. Intercambio de filas de una matrizd. la multiplicación de una matriz por un escalare. La transpuesta de una matriz



1. Del polinomio indicado calcule todas las soluciones por el método de BIRGE VIETA.

Y =

K X Fx F’xo Fx/f’x12345

Solución: X1=

Polinomio bajado de grado: Y =

K X1 Fx F’x fx/f’x12345

Solución: X2 =

Polinomio bajado de grado: Y =


a. Generación de un tabla de datos X/Y de un polinomiob. Calcular los coeficientes del polinomio bajado de grado c. calcular los coeficientes de la segunda derivada de un polinomio.d. Calcular las soluciones de un polinomio de segundo grado por la fórmula general


Evaluación 5:

Universidad:...............................................................................................................Facultad :....................................................................................................................Nombre:......................................................................................................................Curso:..........................................................................................................................Fecha:..........................................................................................................................

1. Escriba cuatro pares ordenados, interpole un valor ubicado entre el segundo y tercer par , utilizando el método de Lagrange.

2. Del polinomio indicado calcule una solución por el método de interpolación Y =

k X1 X2 Fx1 Fx2 E12345678910

X =

3. Llene los datos en la tabla siguiente aplicando el método de Newton Rapshon para la función indicada indicada.

Y = K X Fx F’x Fx/F’x12345


a. El cuadro de diferencias finitas del método de interpolación de Newtonb. El cálculo del numerador de la fórmula del método de interpolación de Lagrangec. El cálculo del denominador de la fórmula del método de interpolación de Lagrange

Y =

x y



1. Del polinomio indicado calcule todas la integral por el método del trapecio, considere n = 9

Y = x1 = x2 =

K X Y0123456789

2. De la función trigonométrica indicada calcule todas la integral por el método de simpson 3/8, considere n = 9

Y = x1 = x2 =

K X Y0123456789


a. La integración por el método del trapecio b. La integración por el método de simpson 1/3c. La integración por el método de simpson 3/8



1. Escriba cuatro pares ordenados, y, encuentre la función representativa de los pares ordenados, utilice el método de Lagrange.

2. De la función trigonométrica indicada calcule todas la integral por el método de simpson 3/8, considere n = 9

Y = x1 = x2 =

K X Y0123456789


a. La integración por el método del trapecio b. La integración por el método de simpson 1/3c. La integración por el método de simpson 3/8


a. El cuadro de diferencias finitas del método de interpolación de Newtonb. El cálculo del numerador de la fórmula del método de interpolación de Lagrangec. El cálculo del denominador de la fórmula del método de interpolación de Lagrange

Y =

x y



1. De la tabla de datos indicada, Encontrar la función representativa por aproximación funcional, considerando el grado del polinomio igual a 3.

X Y

====

2. Codificar o realizar el diagrama de flujo para:

a. Construir la matriz X del método de aproximación funcional

b. Calcular la matriz u del método de aproximación funcional

c. Calcular la matriz v del método de aproximación funcional



1. Encontrar la solución de la ecuación diferencial indicada, por integración, aplicacndo la serie de Taylortel y la solución numérica aplicando el método de Runge Kutta

Y’ =

Para las siguientes condiciones iniciales

Xo = Yo =

Por integración:

Por la serie de Taylor:

Por el método de Runge Kutta

X Y K1 K2 K3 K4


Evaluación 10:

Nombre: Curso:

Universidad: Fecha:

1. Encontrar la solución numérica de la ecuación diferencial indicada, por el método de Runge Kutta.

Y’ =

Para las siguientes condiciones iniciales

Xo = Yo = .h =

2. Calcular el área bajo la curva de la la siguiente función:.................................... X1 = , X2 = para n = 9 .

X Y

Fórmula de aplicación:

Solución =

3. De la tabla de datos indicada, Encontrar la función representativa por aproximación funcional, considerando el grado del polinomio igual a 3.

X Y

====

Solución:

4. Encontrar las soluciones del siguiente polinomio de grado 3.......................................................

k X R R’ R/R’123456789

Polinomio bajado de grado:

Soluciones: X1 = X2 = X3 =

X Y K1 K2 K3 K4


TALLERES DE APRENDIZAJE

DE MATLAB (V 6.5)

TALLER 1: Aplicación de matlab a cálculos matriciales

>> A =[1 2 3 ; 4 2 1 ; 4 3 1]

A =


1 2 3 4 2 1 4 3 1

>> B = [1 5 2]' % ingreso de una matriz y calculo de su transpuesta

B =

1 5 2

>> B = [1 ; 5 ; 2] % Ingreso de una matriz de 3*1

B =

1 5 2

>> C = det(A) % Calculo del determinante de la matriz A

C =

11

>> C = inv(A) % Calculo de la matriz inversa de A

C =

-0.0909 0.6364 -0.3636 0 -1.0000 1.0000 0.3636 0.4545 -0.5455

>> S = C*B % solucion de un sistema de ecuaciones con aplicacion de la inversa

S =

2.3636 -3.0000 1.5455

Código para el cálculo de un sistema de ecuaciones lineales: ARCHIVO sisecua

% Calculo de un sistema de ecuacionesclcclearn=input('ingrese numero de ecuaciones');for i=1:n


for j=1:n fprintf('A(%d,%d)=',i,j); A(i,j)=input(''); endendAfor i=1:n fprintf('B(%d,%d)=',i,1); B(i,1)=input(''); endendBC=inv(A);D=C*B;for i=1:n fprintf('X(%d)=',i);D(i)end

EJERCICIOS DE PRACTICA:

Codificar el proceso para:

Suma de matricesResta de matrices Multiplicación de matricesTranspuesta de una matrizMultiplicación de una matriz por un escalar

TALLER 2: Aplicación de matlab a la solución de una ecuación de segundo grado con uso de la formula general.

Código para el cálculo de una ecuación de segundo grado por la fórmula general: ARCHIVO ecuacionsegundogrado.m

clccleara=input('Ingrese el coeficiente 1');


b=input('Ingrese el coeficiente 2');c=input('Ingrese el coeficiente 3');delta=b*b - 4*a*c;if delta==0 x1=-b/(2*a); x2=-b/(2*a); fprintf('\n\nLa solucion 1 es: %2.2f\n\n',x1); fprintf('\n\nLa solucion 2 es: %2.2f\n\n',x2); break;else if delta>0 x1=(-b+sqrt(delta))/(2*a); x2=(-b-sqrt(delta))/(2*a); fprintf('\n\nLa solucion 1 es: %2.2f\n\n',x1); fprintf('\n\nLa solucion 2 es: %2.2f\n\n',x2); break; else x1=(-b+sqrt(delta)*(-1))/2*a; x2=(-b-sqrt(delta)*(-1))/2*a;% disp. De las líneas siguientes visualizan la parte imaginaria de la respuesta fprintf('\n\nLa solucion 1 es: %2.2f\n\n'),disp(x1) fprintf('\n\nLa solucion 2 es: %2.2f\n\n'),disp(x2)endend

TALLER 3:

PARTE 1:

Aplicación de matlab para el cálculo de las raices de un polinomio y cálculo del polinomio para un valor de x.

% INGRESO DE UN POLINOMIO>> >> p =[1 3 -4 5 6] % polinomio de 4 grado

p =

1 3 -4 5 6

>> polyval(p,5) % calculo de la funcion f(x) para x = 5


ans =

931

roots(p) % Cálculo de las raices de un polinomio

ans =

-4.1654 0.9235 + 1.1227i 0.9235 - 1.1227i -0.6816

TAREA 2:

Código para el cálculo del valor de un polinomio para un valor de x: ARCHIVO poli

% Evaluacion de un polinomio en puntos dados por el usuarioclcclearn = input ('Grado del polinomio: ');for j=n:-1:0 fprintf(1,'Coeficiente de x^%d : ',j); coef(n-j+1)=input ('');endwhile 1 x = input ('Punto a evaluar: '); if x == -999 break; end fprintf(1,'p(%f) = %f\n',x,polyval(coef,x));endTALLER 4:

PARTE 1: Gráfica de una función

x=-4:0.01:4; y =sin(x); plot(x,y), grid, title ('Funcion seno (x)')


PARTE 2: Preparacion de peliculas o "movies": ARCHIVO: movimiento M =moviein(17); x=[-2*pi:0.1:2*pi]';for j=1:17y=sin(x+j*pi/8);plot(x,y);M(:,j)=getframe;End

PARTE 3: Código para la generación de tabla de datos de pares ordenados de una función y = f(x): ARCHIVO funcionxy.m

clcclearf=input('ingrese la funcion:','s');xo=input('ingrese el valor inicial de x:');h=input('ingrese el intervalo');n=input('ingrese el numero de pares ordenados:');f1=inline(f);


fprintf('\t x\t\t y\n')for k=1:n y=feval(f1,xo); fprintf('\t\t%4.2f\t\t%4.2f\n',xo,y) xo=xo+h; end

PARTE 4: Código para la graficación de un función algebraica ARCHIVO: grafico1x=-5:0.01:5;y=x.^3-5*x.^2+11;plot(x,y)

TALLER 5: Gráfica de un polinomio por medio de la tabla de datos x,y

Código para la gráfica de un polinomio por medio de una tabla de datos x,y ARCHIVO: funcionpolinomio.m

clcclearn=input('ingrese el numero de pares ordenados');for i=1:n fprintf('x(%d)=',i); x(i)=input(''); endfor i=1:n fprintf('y(%d)=',i); y(i)=input(''); end fprintf('\t\t x\t\t\t y\n')for i=1:nfprintf('\t\t%4.2f\t\t%4.2f\n',x(i),y(i))endplot(x,y)end

x y-1.00 6.000.00 5.001.00 3.002.00 7.003.00 1.004.00 2.005.00 3.00

TALLER 6: Método de investigación utilizando ciclos for: ARCHIVO: investigacionFOR.m

clcclearf=input('Ingrese la funcion: ','s');input('el ingreso de los siguientes datos permite el calculo de rmax')a1=input('Ingrese el coeficiente 1: ');a2=input('Ingrese el coeficiente 2: ');a3=input('Ingrese el coeficiente 3: ');delta=input('Ingrese el intervalo de disminucion');


n=input('Ingrese el numero de iteracciones');rmax=sqrt((a2/a1)^2-2*a3/a1);%x=5;x=rmax;x2=x-delta;f1=inline(f);fxl=f1(x);f2=inline(f);fx2=f2(x2);fprintf('\t k\t\t\t x1\t\t\t\t x2\t\t\t\t fx1\t\t\t fx2\t\t fx1*fx2\n')for k=1:n fx1=f1(x); fx2=f2(x2); fxm=fx1*fx2; fprintf('\t%3d\t\t%10.4f\t\t%10.4f\t\t%10.4f\t\t%10.4f\t\t%10.4f\n',k,x,x2,fx1,fx2,fxm) x=x2; x2=x-delta; endend fplot(f,[-15 15],'r') grid

TALLER 7: Método de investigación utilizando ciclos while: ARCHIVO: investigacionwhile.m

clcclearf= input('Ingrese la funcion: ','s');a1=input('Ingrese el coeficiente 1: ');a2=input('Ingrese el coeficiente 2: ');a3=input('Ingrese el coeficiente 3: ');delta=input('Ingrese el intervalo de disminucion');rmax=sqrt((a2/a1)^2-2*a3/a1);x=rmax;x2=x-delta;f1=inline(f);f2=inline(f);n=1;fx1=f1(x);fx2=f2(x2);while fx1*fx2>=0 fprintf('\t\t%10.2f\t\t%10.2f\t\t%10.2f\t\t%10.2f\n',x,x2,fx1,fx2); x=x2; x2=x-delta; if n<50


else fprintf('\n\nno se encuentran intervalos solucion');break end fx1=f1(x); fx2=f2(x2); n=n+1; end fprintf('\t\t%10.2f\t\t%10.2f\t\t%10.2f\t\t%10.2f\n',x,x2,fx1,fx2); fprintf('\n\nel numero de iteracciones fue: %d\n',n); fprintf('hay solucion en el ultimo intervalo');break end

TALLER 8: Método de Interpolación : ARCHIVO: interpolación.mclcclearf= input ('Ingrese funcion: ','s');x1= input ('Ingrese el limite izquierdo ');x2= input ('Ingrese el limite drecho: ');f1=inline(f);fprintf('\t k\t\t x\t\t x2\t\t fx1\t\t fx2\t\t E\n');fx1=f1(x1);fx2=f1(x2);e= (abs(fx1)*(x2-x1))/(abs(fx2)+abs(fx1));x3=x1+e;fx3=f1(x3);fp=fx3*fx1;k=1;j=1;if fp>0 while k<21 e= (abs(fx1)*(x2-x1))/(abs(fx2)+abs(fx1)); fprintf('\t%2d\t\t%4.4f\t\t%4.4f\t\t%4.4f\t\t%4.4f\t\t%4.4f\n',k,x1,x2,fx1,fx2,e) x1=x1+e; fx1= f1(x1); if abs(fx1)<0.0001 fprintf('\n\n la solucion es ');disp(x1);break; end if k==20 fprintf('\n\n en el intervalo escogido no hay solucion ');break; end k=k+1;


end endif fp<0 while k<20 e= (abs(fx1)*(x2-x1))/(abs(fx2)+abs(fx1)); fprintf('\t%2d\t\t%4.4f\t\t%4.4f\t\t%4.4f\t\t%4.4f\t\t%4.4f\n',k,x1,x2,fx1,fx2,e) x2=x1+e; fx2= f1(x2); if abs(fx2)<0.0001 fprintf('\n\n la solucion es ');disp(x2);break; end if k==20 fprintf('\n\n en el intervalo escogido no hay solucion ');break; end k=k+1; end end x=-5:0.01:5;fplot(f1,[-5 5],'b');gridendTALLER 9: Método de Newton Raphson utilizando ciclos for: ARCHIVO: newtonconFOR.m

clcclearf=input('ingrese la funcion : ','s');xo=input('ingrese el valor inicial de x : ');n=input('ingrese las iteracciones : ');f1=inline(f);df=diff(f,'x');fprintf('la derivada de la funcion es');disp(df);df1=inline(df);fprintf('\t\t k\t\t\t x\t\t\t\t fx\t\t\t\t dfx\t\t\t fx/dfx\n')for k=1:n fx=f1(xo); dfx=df1(xo); if dfx==0 fprintf('\n\n\n HAY DIVERGENCIA EN EL METODO PUES LA PRIMERA DERIVADA ES CERO') break; end dfx=df1(xo); w=fx/dfx; fprintf('\t\t%2d\t\t%10.4f\t\t%10.4f\t\t%10.4f\t\t%10.4f\n',k,xo,fx,dfx,w) x1=xo-w; xo=x1;endif dfx>0fprintf('\n\n la solucion x es');disp(xo)fprintf('el valor de la funcion para la solucion es');disp(f1(xo))endif dfx<0fprintf('\n\n la solucion x es');disp(xo)fprintf('el valor de la funcion para la solucion es');disp(f1(xo))endfplot(f1,[-5 5],'b'); hold on plot(xo,0,'*r')


grid

TALLER 10: Método de Newton Raphson utilizando ciclos while: ARCHIVO: newtonconwhile.m

clcclearf=input('ingrese la funcion : ','s');xo=input('ingrese el valor inicial de x : ');er=input('ingrese el error admisible : ');%n=input('ingrese las iteracciones : ');f1=inline(f);df=diff(f,'x');fprintf('la derivada de la funcion es');disp(df)df1=inline(df);fprintf('\t\t k\t\t x\t\t\t fx\t\t dfx\t\t\t fx/dfx\n')fx=f1(xo);k=1;while abs(fx)>er fx=f1(xo); dfx=df1(xo); if dfx==0 xo=xo+0.75 %sugerncia del programador end dfx=df1(xo); w=fx/dfx; fprintf('\t\t%2d\t\t%3.4f\t\t%3.4f\t\t%3.4f\t\t%3.4f\n',k,xo,fx,dfx,w) x1=xo-w; xo=x1; k=k+1; if k>50 fprintf('las soluciones son imaginarias');break endendy=f1(xo); fprintf('la solucion x es');disp(xo) fprintf('el valor de la funcion para la solucion es');disp(y) fplot(f1,[-15 15],'b');grid


TALLER 11: Analice el siguiente programa tomado de Internet ARCHIVO: newtonraphson.m

Para su funcionamiento se requiere crear otro archivo con el nombre de mifuncion:

function y = mifuncion (x)

y = x^3-2.45*x^2-4*x+3.25;

newtonraphson.m:

% Script para aplicar Newton-Raphson a mifuncion

% Lectura de datos% Tengo que leer la cota de error 'cota', el número de iteraciones máximo 'n'% y el valor inicial 'xi'

cota = input ('Cota de error objetivo: ');n = input ('Nº máximo de iteraciones: ');xi = input ('Valor inicial de la x: ');

xanterior = xi;x = xanterior;eanterior = inf;e = eanterior;

i = 1; % contador de iteraciones

% Voy a dibujar las tangentes mientras calculofigure(1)clfhold onfplot('mifuncion(x)',[-2 2],'b');grid

% Debo realizar un procedimiento iterativo mientras el error sea mayor que la cota% y el número de iteración sea menor que n

while (e>cota) & (i<n) y = mifuncion (xanterior); yd = mifuncion_derivada (xanterior); x = xanterior - y/yd; % Para dibujaryant=mifuncion(xanterior); plot ([xanterior x],[yant 0],'r') e = abs (x - xanterior); xanterior = x; eanterior = e; i=i+1;endhold off% Comprobación de por cual de las dos (tres) condiciones salióif (e<cota)


disp ('Se encontró la solución'); disp ('La solución hallada es: ');

xdisp ('La cota de error es: ');edisp ('El número de iteraciones utilizado es: ');idisp ('Y el valor de la función en dicho punto es: ');mifuncion(x)

else disp ('Se superó el número de iteraciones');end

TAREA:

Rectifique el programa con variables que sean más entendibles para ud. Rectifique el programa considerando el ingreso de una función sin acudir a otro archivo. Rectifique el programa para que pueda visualizarse la tabla de valores

TALLER 12: Código para la tabla de diferencias finitas del método de interpolación de Newton ARCHIVO: INTERPOLACIONDENEWTON.m

clcclearn=input('Ingrese numero de datos');for i=1:n fprintf('A(%d,%d)=',i,1); A(i,1)=input(''); end %endfor i=1:n % for j=1:n fprintf('B(%d,%d)=',i,2); A(i,2)=input('');end


k=1;%for i=1:n for j=3:n for i=1:n-k A(i,j)=A(i+1,j-1)-A(i,j-1); end k=k+1;endA %end%for i=1:n % for j=1:n %fprintf('\t%3d\t\t%10.4f\t\t%10.4f\n',i,A,B)% fprintf('\t\t%10.4f\t\t%10.4f\n',A(i,j)) %end %end

TALLER 13: Código para integración numérica por el método del trapecio ARCHIVO: integración1.m

clcclearf=input('ingrese la funcion : ','s');x1=input('ingrese el valor inicial de x : ');x2=input('ingrese el valor final de x : ');n=input('ingrese pares ordenados: ');x11=x1;h=(x2-x1)/n;f1=inline(f);yo=f1(x1);yn=f1(x2);integral=int(f,'x')fprintf('\t\t k\t\t x1\t\t\t fx\t\t \n')area=0;for k=1:n-1


x1=x1+h; fx=f1(x1); area=area+fx;end for k=0:n fx=f1(x11); x11=x11+h; fprintf('\t\t%3d\t\t%4.2f\t\t%4.2f\t\n',k,x11,fx) endx=-5:0.01:5;fplot(f1,[-5 5],'b');gridintegral=(yo+yn+2*area)*h/2;fprintf('el valor de la integral es' ),disp(integral)

TALLER 14: Código para integración numérica por el método de Simpson 1/3 ARCHIVO: integración13.m

clcclearf=input('ingrese la funcion : ','s');x1=input('ingrese el valor inicial de x : ');x2=input('ingrese el valor final de x : ');n=input('ingrese pares ordenados: ');if mod(n,2); n=n+1;endx11=x1;h=(x2-x1)/n;f1=inline(f);integral=int(f,'x')fprintf('\t\t k\t\t x1\t\t\t fx\t\t \n')for k=0:n fx=f1(x11); fprintf('\t\t%3d\t\t%4.2f\t\t%4.2f\t\n',k,x11,fx) x11=x11+h;endyo=f1(x1);


yn=f1(x2);area=0;area1=0;for k=1:n-1 x1=x1+h; fx=f1(x1); if mod(k,2) == 0 area1=area1+fx; else area=area+fx;endend x=-5:0.01:5;fplot(f1,[-5 5],'b');gridintegral=(yo+yn+2*area1+4*area)*h/3;fprintf('el valor de la integral es' ),disp(integral)

TALLER 15: Código para integración numérica por el método de Simpson 3/8 ARCHIVO: integración38.m

clcclearf=input('ingrese la funcion : ','s');x1=input('ingrese el valor inicial de x : ');x2=input('ingrese el valor final de x : ');n=input('ingrese pares ordenados: ');if mod(n,3) fprintf('el valor de n debe ser multiplo de 3, rectifique\n\n') n=input('ingrese pares ordenados: ');else n=n; endx11=x1;h=(x2-x1)/n;f1=inline(f);fprintf('\t\t k\t\t x1\t\t\t fx\t\t \n')for k=0:n fx=f1(x11); fprintf('\t\t%3d\t\t%4.2f\t\t%4.2f\t\n',k,x11,fx) x11=x11+h;endyo=f1(x1);yn=f1(x2);integral=int(f,'x')area=0;area1=0;for k=1:n-1 x1=x1+h; fx=f1(x1); if mod(k,3) == 0 area1=area1+fx; else


area=area+fx;endendx=-5:0.01:5;fplot(f1,[-5 5],'b');gridintegral=(yo+yn+2*area1+3*area)*3*h/8;fprintf('el valor de la integral es' ),disp(integral)

TALLER 16: Código para integración numérica por el método de Simpson 3/8 para funciones trigonométricas ARCHIVO: integración38contrigonometricas.m

clcclearf=input('ingrese la funcion : ','s');x1=input('ingrese el valor inicial de x : ');x2=input('ingrese el valor final de x : ');n=input('ingrese pares ordenados: ');if mod(n,3) fprintf('el valor de n debe ser multiplo de 3, rectifique\n\n') n=input('ingrese pares ordenados: ');else n=n; endx11=x1;h=(x2-x1)/n;f1=inline(f);fprintf('\t\t k\t\t x1\t\t\t fx\t\t \n')for k=0:n fx=f1(x11*pi/180); fprintf('\t\t%3d\t\t%4.4f\t\t%4.4f\t\n',k,x11,fx) x11=x11+h;endyo=f1(x1*pi/180);yn=f1(x2*pi/180);%integral=int(f,'x')

area=0;area1=0;for k=1:n-1 x1=x1+h; fx=f1(x1*pi/180); if mod(k,3) == 0 area1=area1+fx; else area=area+fx;endend x=-10:0.01:10;fplot(f1,[-10 10],'b');gridintegral=(yo+yn+2*area1+3*area)*3*h*(pi/180)/8;fprintf('el valor de la integral es' ),disp(integral)


TALLER 17: Desarrollar un solo programa que permita resolver la integración por cualquiera de los tres métodos estudiados.TALLER 18: Código para aproximación funcional ARCHIVO: APROXIMACIONfuncional.m

clcclearn=input('Ingrese numero de datos: ');for i=1:n fprintf('X(%d)=',i); x(i)=input(''); %A(i,1)=input(''); A(i,1)=x(i); end for i=1:n fprintf('Y(%d)=',i); %A(i,2)=input(''); y(i)=input(''); A(i,2)=y(i);endspline(x,y);plot(x,y)gridg=input('Ingrese grado: ');e=0;for i=1:g+1 for j=1:n if A(j,1)==0 B(j,i)=0; end B(j,i)=A(j,1)^e; end e=e+1;endB

for i=1:n C(i,1)=A(i,2);endC

U=B' * B;V=B' * C;UVS=inv(U)*V;S

TALLER 19: Código para el método de Runge Kutta para una sola función ARCHIVO:rungekuttasimple.m

clcclearf=input('ingrese la funcion : ','s');%g=input('ingrese la funcion : ','s');x1=input('ingrese el valor de x : ');y1=input('ingrese el valor y : ');h=input('ingrese el valor de h : ');


n=input('ingrese pares ordenados: ');f1=inline(f);%g1=inline(g);fprintf('\t\t\t x\t\t\t\t y\t\t\t\t k1\t\t\t\t k2\t\t\t\t k3\t\t\t k4\t\t \n')for k=1:n k1=f1(x1); x2=x1+h/2; y2=y1+k1*h/2; k2=f1(x2); x3=x1+h/2; y3=y1+k2*h/2; k3=f1(x3); x4=x1+h; y4=y1+k3*h; k4=f1(x4); fprintf('\t\t%9.4f\t\t%9.4f\t\t%9.4f\t\t%9.4f\t\t%9.4f\t\t%9.4f\t\n',x1,y1,k1,k2,k3,k4) x1=x1+h; y1=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;end

TALLER 20: Código para el método de Runge Kutta ARCHIVO:rungekutta.m

clcclearf=input('ingrese la funcion : ','s');%g=input('ingrese la funcion : ','s');x1=input('ingrese el valor de x : ');y1=input('ingrese el valor y : ');h=input('ingrese el valor de h : ');n=input('ingrese pares ordenados: ');f1=inline(f);%g1=inline(g);fprintf('\t\t\t x\t\t\t\t y\t\t\t\t k1\t\t\t\t k2\t\t\t\t k3\t\t\t k4\t\t \n')for k=1:n k1=f1(x1,y1); x2=x1+h/2; y2=y1+k1*h/2; k2=f1(x2,y2); x3=x1+h/2; y3=y1+k2*h/2; k3=f1(x3,y3); x4=x1+h;


y4=y1+k3*h; k4=f1(x4,y4); fprintf('\t\t%9.4f\t\t%9.4f\t\t%9.4f\t\t%9.4f\t\t%9.4f\t\t%9.4f\t\n',x1,y1,k1,k2,k3,k4) x1=x1+h; y1=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;end

TALLER 21: Código para el método de Newton Rahpson con funciones trigonométricas. ARCHIVO: newtonconforTRIGONOMETRICAS

clcclearf=input('ingrese la funcion : ','s');xo=input('ingrese el valor inicial de x : ');%xo=xo*pi/180;er=input('ingrese el error admisible : ');n=input('ingrese las iteracciones : ');f1=inline(f);df=diff(f,'x');fprintf('la derivada de la funcion es');disp(df)df1=inline(df);fprintf('\t\t k\t\t\t x\t\t\t\t fx\t\t\t\t dfx\t\t\t fx/dfx\n')for k=1:n fx=f1(xo*pi/180); dfx=df1(xo*pi/180); if dfx==0 xo=xo+0.75; %sugerencia del programador end dfx=df1(xo*pi/180); w=(fx/dfx); if abs(fx)<er,break,end fprintf('\t\t%2d\t\t%10.4f\t\t%10.4f\t\t%10.4f\t\t%10.4f\n',k,xo,fx,dfx,w) x1=xo-w; xo=x1;endy=f1(xo); fprintf('la solucion x es');disp(xo) fprintf('el valor de la funcion para la solucion es');disp(y) fplot(f1,[-5 5],'b');grid

metodos numericosa4

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