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MÉTODO DE DECOMPOSIÇÃO DE BENDERSAPLICADO A LOCALIZAÇÃO DE CONCENTRADORES

EM REDES DO TIPO EIXO-RAIO COM ALOCAÇÃOSIMPLES

Raphael [email protected]

Ricardo Saraiva de [email protected]

Gilberto de Miranda Jú[email protected]

Departamento de Engenharia de ProduçãoUniversidade Federal de Minas Gerais

Belo Horizonte – MG – Brasil

RESUMO

Neste trabalho, três implementações do método de decomposição de Benders são apresentadas paraa resolução do problema de localização de concentradores com alocação simples. Esse problemaconsiste em determinar quantos concentradores instalar e como alocar os clientes aos mesmos deforma a minimizar o custo total. Uma das implementações se mostrou bastante competitiva frenteao software de otimização CPLEX.PALAVRAS CHAVE. Redes Eixo-Raio. Método de Decomposição de Benders. ProgramaçãoMatemática.

ABSTRACT

In this paper, three variants of the Benders decomposition method are presented to solve the singleallocation hub location problem. This problem consists in determining the optimal number of hubsto be installed and how the clients are allocated to these installed hubs in order to minimize the totalcost. One of the variants has demostrated to be very effective when compared to the optimizationsoftware CPLEX.KEYWORDS. Hub-and-spoke networks. Benders Decomposition Method. Mathematical Pro-gramming.

XLI SBPO 2009 - Pesquisa Operacional na Gestão do Conhecimento Pág. 1168

1. Introdução

Redes logísticas do tipo eixo-raio ou, em inglês, hub-and-spoke networks, tornaram-se,nas últimas décadas, um importante campo de pesquisa da área de localização. A relevância é emgrande parte explicada pela sua ampla utilização no transporte de cargas e de passageiros e em redesde telecomunicações (Alumur e Kara, 2008; Campbell et al., 2002).

Nesses tipos de redes, ao invés de servir cada demanda entre pontos de origem e de destinocom uma conexão direta, fluxos oriundos de diversas origens são consolidados a partir de pontosde transbordo ou concentradores (hubs). Os fluxos são então enviados através de uma rede deconcentradores, para serem entregues aos seus respectivos destinos. Ao se transportar os fluxosconsolidados entre os concentradores, tem-se um rateio maior dos custos de transporte, permitindoassim que economias de escala sejam obtidas (O’Kelly, 1998). Em termos gerais, o desenho deredes logísticas do tipo eixo-raio envolve a localização dos concentradores e a alocação dos pontosde demanda a estes, de forma a permitir o tráfego entre os diversos pares de origem-destino.

Redes do tipo eixo-raio são muito utilizadas em sistemas logísticos de transporte. Nestasredes, transportadoras de cargas podem, por exemplo, recolher cargas em caminhões menores etransportar até os concentradores. Nestes pontos, cargas chegando de diferentes regiões são conso-lidadas por semelhança de destino e transportadas até outros concentradores ou até aos seus respec-tivos destinos. Normalmente, o transporte entre concentradores é feito por caminhões maiores oupor outros meios de transporte como ferroviário e aéreo.

As vantagens da utilização destes tipos de redes são, principalmente, a redução dos cus-tos de transporte em função da economia de escala obtida, diminuição dos custos de instalação;aumento da eficiência logística e do desempenho do sistema (Kara e Tansel, 2003a).

Existem duas configurações básicas de alocação dos pontos de origem e de destino aosconcentradores instalados. Estas configurações se diferenciam na quantidade de concentradoresconectados a um nó. No primeiro caso, chamado de sistema de Alocação Simples ou Single Alloca-tion, cada ponto de origem ou de destino é conectado a apenas um concentrador. No segundo caso,chamado de Alocação Múltipla ou Multiple Allocation, cada ponto de origem ou de destino podeser conectado a mais de um concentrador.

Neste artigo, o problema de localização de concentradores não capacitados com alocaçãosimples (PLCNCAS) é abordado. Na seção 2, um exame da literatura é apresentado. Na seção 4,três algoritmos especializados baseados no método de decomposição de Benders (Benders, 1962),usando as definições e a formulação da seção 3, são aplicado na resolução de problemas testespadrão. Os resultados computacionais obtidos e os comentários finais são mostrados nas seções 5 e6, respectivamente.

2. Exame da literaturaNa literatura, existem diversos e importantes trabalhos de redes do tipo eixo-raio publi-

cados que tiveram uma grande expansão em números de publicações a partir de 2001 (Alumur eKara, 2008). Esta área de pesquisa possui quatro macro campos: problemas do tipo p-hub median,problemas do tipo p-hub center, problemas do tipo hub covering e problemas de alocação de con-centradores com custos fixos. Em cada macro grupo, metodologias e conceitos são diferenciadosem relação ao tipo de alocação (simples ou múltipla) dos pontos de demandas aos concentradores.Neste trabalho, foca-se no exame da literatura de sistemas de alocação simples.

Os problemas do tipo p-hub median com alocação simples são utilizados para minimizaro custo total de transporte de forma a atender os pontos de demanda, localizando exatamente pconcentradores. Campbell (1994) é um dos primeiros autores a formular esse problema propondouma formulação de programação matemática com n4 variáveis contínuas e n2 binárias. Formula-ções semelhantes também foram propostas por Skorin-Kapov et al. (1996) e O’Kelly et al. (1996).Ernst e Krishnamoorthy (1996) ainda propuseram uma formulação linear inteira possuindo uma


quantidade menor de variáveis e restrições. Os autores trataram o problema de forma interessante.Através de restrições de balanceamento de fluxos, eles hierarquizaram o desenho da rede em trêsníveis: coleta, transporte e distribuição. Ernst e Krishnamoorthy (1998) ainda usaram esta formula-ção em um algoritmo baseado em branch-and-bound obtendo bons resultados. Outra formulação,específica para a localização de dois ou três concentradores, foi feita por Ebery (2001) possuindotempos computacionais de resolução, em pacotes de otimização, menores do que a formulação deErnst e Krishnamoorthy (1996).

As duas primeiras heurísticas utilizadas para resolver problemas do tipo p-hub median comalocação simples foram propostas por O’Kelly (1987). O’Kelly propôs um procedimento para alo-car os pontos de demanda ao concentrador mais próximo. Klincewicz (1991, 1992) desenvolveuheurísticas baseadas no método de busca tabu e GRASP (Greeyd Randomized Search Procedure)obtendo resultados melhores dos que os conseguidos por O’Kelly (1987). Skorin-Kapov e Skorin-Kapov (1994) também usaram o mesmo método de busca tabu de Klincewicz, porém com umdesempenho melhor. Ernst e Krishnamoorthy (1996) obtiveram resultados comparáveis aos deSkorin-Kapov e Skorin-Kapov (1994) usando simulated annealing. Campbell (1996), por sua vez,propôs heurísticas baseadas na resolução do problema de p-hub median de alocação múltipla conse-guindo bons resultados. Entretanto, a heurística mais eficiente, baseada em relaxação lagrangeana,foi proposta por Pirkul e Schilling (1998).

Os problemas do tipo p-hub center são mais aplicados quando o tempo de deslocamento éum fator crítico, como no caso de transporte de produtos perecíveis (Campbell, 1994). Kara e Tansel(2000), Campbell et al. (2007) e Ernst et al. (2009) apresentaram formulações para o problema dealocação simples tanto para os casos de problemas capacitados quanto não-capacitados.

Os problemas do tipo hub covering definem que a demanda de um ponto é coberta (aten-dida), se o ponto estiver a menos de uma distância especificada de um concentrador que possui acapacidade para servi-lo. Campbell (1994) foi o primeiro a desenvolver formulações nessa áreaminimizando o custo de se instalar um concentrador e maximizando as demandas atendidas peloconcentrador. Kara e Tansel (2003b) apresentaram modelos com um número maior de variáveis,porém com tempos computacionais melhores.

Os problemas de localização de concentradores considerando o custo de instalação deter-minam o número de concentradores a serem instalados a partir da matriz de custos. O’Kelly (1992)é um dos primeiros a considerar o custo fixo em sua formulação. Entre os algoritmos desenvol-vidos, destacam-se as heurísticas híbridas. Abdinnour-Helm (1998) propôs uma heurística híbridabaseada em algoritmos genéticos e em busca tabu. O algoritmo genético é utilizado para determi-nar a quantidade e localização dos concentradores, enquanto a busca tabu efetua a melhor alocaçãodos pontos de demanda. Chen (2007) também usou uma heurística híbrida baseando-se em simu-lated annealing, busca tabu e procedimentos de melhoria, obtendo um desempenho melhor. Cunhae Silva (2007, 2008) combinaram algoritmos genéticos e simulated annealing, propondo tambémuma heurística híbrida que superaram os resultados de Abdinnour-Helm. Outro trabalho que sedestaca é o algoritmo genético proposto por Topcuoglu et al. (2005) que obtêm resultados em umtempo computacional competitivo. Há também trabalhos que consideram restrições de capacidadenos concentradores a serem instalados, como os de Aykin (1994), de Ernst e Krishnamoorthy (1999)e de Labbé et al. (2005). Entretanto, são poucos os métodos exatos que abordam o PLCNCAS econseguem resolver problemas testes padrão de tamanho médio. O presente trabalho vem contribuirneste sentido.

3. Definições e formulaçãoA formulação usanda para o PLCNCAS é baseada na formulação Skorin-Kapov et al.

(1996) e usa as seguintes definições: sejam N o conjunto de pontos de demanda e K o conjuntode pontos candidatos a se instalar um concentrador, tal que K ⊆ N . Normalmente, K ⊂ N , masvai-se considerar aqui que todos os pontos de origem e de destino são candidatos potenciais a se


instalar um concentrador, em outras palavras, tem-se K ≡ N . Para qualquer par de pontos i e j(i, j ∈ N : i 6= j), têm-se wij > 0 a demanda do ponto i para o ponto j a ser roteada através deum ou dois concentradores instalados. Normalmente, têm-se wij 6= wji. Sejam também fk o custode instalação de um concentrador no ponto k ∈ K e cijkm o custo unitário de se transportar umaunidade de fluxo desde a origem i até o destino j usando a rota i− k −m− j e os concentradoresinstalados em k e m (i, j ∈ N e k,m ∈ K). Se apenas um concentrador é utilizado, então k = me a rota usada é i− k − k − j.

O custo unitário de transporte da rota ligando os pontos i e j, através dos concentradoresem k e m, nesta ordem, é a composição dos custos dos segmentos ou cijkm = cik + α ckm +cmj . As parcelas cik e cmj são, respectivamente, os custos unitário de transporte do ponto i atéo concentrador em k e do concentrador em m até o ponto j. Têm-se ainda que ckk = 0, quandom = k. A economia de escala nas conexões entre concentradores é representada por um fatorde desconto α (0 ≤ α ≤ 1), sendo αckm o custo unitário de transporte com desconto entre osconcentradores instalados em k e m.

Como o problema abordado só permite que cada ponto de origem ou de destino seja conec-tado a apenas um concentrador instalado, define-se então a variável zik ∈ {0, 1} que é igual a 1 seo ponto i ∈ N é alocado ao concentrador instalado em k ∈ K e 0, caso contrário. Quando i = ke zkk = 1, significa que há um concentrador instalado em k. A fração do fluxo total da demandaentre a origem i e o destino j que é transportada via os concentradores instalados nos pontos k e m,isto é, a fração de fluxo que usa a rota i− k −m− j, é definida como xijkm ≥ 0.

Ao longo do texto, os índices i e j (i, j ∈ N ) indicam os pontos de origem e de destino,respectivamente, enquanto os índices k e m (k, m ∈ K) representam os pontos candidatos a se ins-talar os concentradores. De forma a simplificar a notação, o domínio destes índices será suprimidosem prejuízo da compreensão. O PLCNCAS pode ser então formulado como:

min∑

k

fk zkk +∑

i

∑

j 6=i

∑

k

∑m

wij cijkm xijkm (1)

s. a: ∑

k

zik = 1 ∀ i (2)

∑m

xijkm = zik ∀ i, j, k : i 6= j (3)

∑m

xijmk = zjk ∀ i, j, k : i 6= j (4)

zik ≤ zkk ∀ i, k : k 6= i (5)

xijkm ≥ 0 ∀ i, j, k,m : i 6= j (6)

zik ∈ {0, 1} ∀ i, k (7)

A função objetivo (1) minimiza os custos de instalação de concentradores e de transportedas demandas. As restrições (2) asseguram que todo nó i ∈ N é alocado a apenas um concentrador.As restrições (3) garantem que as rotas originando em i ∈ N e passando primeiramente peloconcentrador instalado em k ∈ K existirão apenas se o ponto i ∈ N estiver alocado ao concentradorinstalado em k ∈ K. De forma semelhante, as rotas que terminam em j ∈ N passando por últimopelo concentrador instalado em k ∈ K só existirão se o destino j ∈ N for alocado ao concentradorinstalado em k ∈ K, restrições (4). As restrições (5) garantem que um ponto i ∈ N só poderá seralocado a um concentrador em k ∈ K se o mesmo estiver instalado. As restrições (6) e (7) são denão negatividade e de integralidade das variáveis, respectivamente.

A função objetivo pode ser reformulada de forma a auxiliar o método de decomposiçãode Benders (seção 4) na alocação dos pontos de demanda aos concentradores instalados. Para tal


definem-se Oi =∑

j wij e Di =∑

j wji, ∀ i ∈ N , como a demanda total que tem como origem edestino i ∈ N , respectivamente. A função objetivo pode ser assim escrita:

min∑

k

fk zkk +∑

i

∑

k 6=i

(Oi + Di) cik zik +∑

i

∑

j 6=i

∑

k

∑

m6=k

wij α ckm xijkm (8)

Apesar do número elevado de variáveis e de restrições (Ernst e Krishnamoorthy, 1999), aformulação (2)-(8) possui uma relaxação linear justa (Skorin-Kapov et al., 1996) e uma caracte-rística interessante. Ao se fixar o vetor de variáveis inteiras z, de forma que uma solução viávelpossa ser obtida para a formulação original, pode-se decompor o problema resultante em problemasde atribuição, um para cada par de origem-destino i − j. Essas duas características contribuempara o bom desempenho do método de decomposição de Benders Benders (1962) para resolver oPLCNCAS, assunto da próxima seção 4.

4. Método de decomposição de BendersO método de decomposição de Benders (Benders, 1962) é um procedimento utilizado na

resolução de problemas de programação linear inteira mista e não linear. Na abordagem, o pro-blema original é decomposto em dois mais simples: (i) o problema mestre, uma versão relaxada doproblema original possuindo o conjunto de variáveis inteiras juntamente com suas respectivas res-trições e uma variável contínua adicional; e (ii) o subproblema, o problema original com os valoresdas variáveis inteiras temporariamente fixadas pelo problema mestre.

O algoritmo proposto por Benders resolve cada um dos dois problemas mais simples deforma iterativa. A cada ciclo, uma nova restrição, conhecida como corte de Benders, é adicionadaao problema mestre. Essa nova restrição, originada a partir da resolução do dual do subproblema,permite estimar limites inferiores para o problema original. O algoritmo cicla até que as funçõesobjetivo do problema mestre e do subproblema sejam iguais. Ao final do processo, tem-se a soluçãoótima do problema linear inteiro misto original.

A eficiência computacional da decomposição de Benders na resolução de alguns problemasde larga escala pode ser verificada no trabalho pioneiro de Geoffrion e Graves (1974), na resolu-ção de problemas estocásticos de transporte e localização de França e Luna (1982), no problemade sequenciamento aéreo integrado de Papadakos (2009) e, mais recentemente, na resolução deproblemas de localização de concentradores em redes do tipo eixo-raio com alocação múltipla deCamargo et al. (2008, 2009).

Ao se aplicar o método no PLCNCAS, obtém-se o subproblema primal de Benders atravésda fixação de um z = zh viável, em um dado ciclo h do procedimento. Ao se fazer isso, o seguinteproblema linear é obtido:

min∑

i

∑

j 6=i

∑

k

∑

m6=k

wij α ckm xijkm + sh (9)

s. a: ∑m

xijkm = zhik ∀ i, j, k : i 6= j (10)

∑m

xijmk = zhjk ∀ i, j, k : i 6= j (11)

xijkm ≥ 0 ∀ i, j, k,m : i 6= j (12)

onde sh é soma dos custos de instalação dos concentradores e de transporte desde os pontos deorigem e de destino até os concentradores associados ao vetor z.

Através da função objetivo do dual do subproblema primal (9)-(12), pode-se construir umarestrição conhecida como corte de Benders que é adicionada ao problema mestre a cada ciclo do


procedimento. Então, associando as variáveis duais uijk e vijk às restrições (3) e (4), respectiva-mente, tem-se o seguinte problema linear dual para cada par de origem-destino i − j (i 6= j) paraum dado ciclo h:

max∑

k

uijk zhik +

∑

k

vijk zhjk (13)

s.a :uijk + vijm ≤ wij α ckm ∀ k, m : k 6= m (14)

uijk + vijk ≤ 0 ∀ k (15)

uijk ∈ IR ∀ k (16)

vijk ∈ IR ∀ k (17)

A partir da função objetivo (13) pode-se construir, com o auxílio da variável contínua η, aseguinte restrição (18), conhecida como corte de Benders, a ser adicionada ao problema mestre. Avariável η subestima o custo de transporte a cada ciclo.

η ≥∑

i

∑

j 6=i

∑

k

uhijk zik +

∑

i

∑

j 6=i

∑

k

vhijk zjk (18)

onde uhijk e vh

ijk são os valores ótimos das variáveis duais de um dado ciclo h. O problema mestrepode ser assim formulado:

min η +∑

k

fk zkk +∑

i

∑

k 6=i

(Oi + Di) cik zik (19)

s.a :

η ≥∑

i

∑

j 6=i

∑

k

uhijk zik +

∑

i

∑

j 6=i

∑

k

vhijk zjk ∀ h = 1, . . . , H (20)

∑

k

zik = 1 ∀ i (21)

zik ≤ zkk ∀ i, k : k 6= i (22)

η ≥ 0 (23)

zik ∈ {0, 1} ∀ i, k (24)

onde H é o número máximo de ciclos. Utilizando o subproblema dual (13)-(17) e o problemamestre (19)-(24), pode-se formalizar o algoritmo do método clássico de decomposição de Bendersda seguinte forma:

Algoritmo 1: Método clássico de decomposição de BendersPASSO 1 Faça LS = +∞, LI = −∞.PASSO 2 Se LS = LI , então PARE. A solução ótima do problema original (2)-(8) foi obtida.PASSO 3 Resolva o problema mestre (19)-(24)

Obtenha z∗PM e os valores ótimos das variáveis inteiras z.PASSO 4 Faça LI = z∗PM e atualize os valores de z no subproblema dual (13)-(17).PASSO 5 Resolva o subproblema dual (13)-(17)

Obtenha z∗SP e os valores ótimos das variáveis duais uh e vh.PASSO 6 Adicione o novo corte de Benders ao problema mestre (19)-(24) usando (18)PASSO 7 Se z∗SP +

∑k fk zkk +

∑i

∑k 6=i(Oi + Di) cik zik < LS, então

Faça LS = z∗SP +∑

k fk zkk +∑

i

∑k 6=i(Oi + Di) cik zik.

PASSO 7 Vá para o PASSO 2

onde LS e LI são os limites superiores e inferiores, e z∗SP e z∗PM são as soluções ótimas obtidasresolvendo-se o problema mestre e o subproblema correntes, respectivamente.


A eficiência computacional do algoritmo acima depende principalmente de três questões:(i) o número de ciclo necessários para convergência global; (ii) o tempo gasto na resolução dosubproblema em cada iteração; (iii) o tempo e o esforço computacional demandados para resoluçãodo problema mestre.

Uma maneira de abordar a questão (i) é adicionar mais de um corte de Benders por ciclo.Isso pode ser feito quando o subproblema dual possui múltiplas soluções ótimas e se consegue gerarcortes que não são dominados por nenhum outro corte presente no problema mestre (Magnanti et al.,1986) e quando se consegue reformular o corte de Benders, decompondo-o (Birge e Louveaux,1988). Enquanto a primeira opção é uma tarefa difícil de ser realizada, envolvendo a solução de umprograma linear adicional por ciclo, a segunda pode ser aplicada quando o subproblema dual poderser desagregado em função de seus índices.

Observando as restrições (18), pode-se decompô-las ou por cada par i− j, restrições (25),ou por cada i, restrições (26), permitindo assim a adição de mais de um corte por ciclo h. Estaestratégia é conhecida como multi-corte (Birge e Louveaux, 1988). Então, ao invés de se usar arestrição (18) no PASSO 6 do algoritmo clássico do método de decomposição de Benders, pode-seescolher entre as restrições (25) e (26).

ηij ≥∑

k

uhijk zik +

∑

k

vhijk zjk ∀ i, j : i 6= j (25)

ηi ≥∑

j 6=i

∑

k

uhijk zik +

∑

j 6=i

∑

k

vhijk zjk ∀ i (26)

Na próxima seção 5, os desempenhos computacionais das variantes dos algoritmos do mé-todo de decomposição de Benders (clássico e multicorte) são comparados com a resolução da for-mulação (2)-(8) usando o CPLEX.

5. Resultados ComputacionaisOs testes computacionais foram realizados usando dois conjuntos padrões de problemas tes-

tes da literatura: (a) CAB do Conselho de Aviação Civil dos Estados Unidos da América (O’Kelly,1987) e (b) AP do serviço Postal Australiano (Ernst e Krishnamoorthy, 1996, 1999). Os problemastestes CAB possuem tamanho com 10, 15, 20 e 25 pontos de demanda, enquanto que testes de 10até 200 pontos de demanda podem ser gerados a partir do conjunto AP.

Muitos estudos da literatura (O’Kelly e Bryan, 1998; Elhedhli e Hu, 2005; Ebery et al.,2000; Boland et al., 2004) usam esses problemas testes para medir o desempenho dos métodos deresolução. Entretanto, enquanto o conjunto CAB não possui os custos de instalação dos concentra-dores; o conjunto AP possui apenas os cinqüenta primeiros custos de instalação.

Em função dessa limitação, custos fixos foram gerados para todos os problemas testesatravés de uma distribuição normal com média igual a fo e coeficiente de variação igual a 40%desse valor. Isso foi feito para representar a variação dos custos de instalação em problemas reais.O valor fo foi calculado como sugerido por Ebery et al. (2000) e representa a diferença normalizadaentre um cenário que possui apenas um concentrador imaginário localizado no centro de massa dasdemandas e outro tendo todos os pontos de demanda como concentradores.

Ainda como sugerido por Ebery et al. (2000), todos os maiores custos de instalação geradosforam atribuídos aos pontos de maior demanda. Em geral, essa atribuição dificulta a seleção dospontos de demanda nos quais se instalará um concentrador. Além disso, como as matrizes dedemanda do conjunto de dados AP são fracionárias, elas foram normalizadas para se manter acoerência com os dados do conjunto CAB. Os testes padrões foram nomeados como cabn.α eapn.α indicando a origem dos dados, o número de pontos de demanda, n e o desconto usado, α. Osímbolo α pode assumir valores 2, 4, 6 e 8 significando 20%, 40%, 60% e 80%, respectivamente.


Os algoritmos desenvolvidos e comparados foram: o método de decomposição de Bendersclássico (BD1); o multicorte decomposto para cada ponto de demanda i (BD2); o multicorte de-composto para cada par de origem-destino i − j (BD3). Todos os testes foram realizados em umcomputador Core 2 Duo com 2.5 GHz e com 8 GB de memória usando o sistema operacional Li-nux. Os problemas mestres e os subproblemas foram resolvidos através do pacote de otimizaçãoCPLEX 9.1.

A tabela 1 apresenta os resultados computacionais obtidos. Os nomes dos problemas testessão mostrados na primeira coluna, os tempos computacionais gastos na resolução da formulação(2)-(8) usando o CPLEX estão na segunda coluna. A coluna # hubs apresenta o número de con-centradores instalados na solução ótima. Para cada versão do método de decomposição de Bendersregistrou-se: o número de ciclos gastos, coluna Ciclos; o tempo total de computação em segundos,coluna T (s); e a porcentagem da diferença entre o limite superior e o inferior dividido pelo limitesuperior (100×(LS−LI)/LS), mostrados entre parênteses na coluna do tempo total, caso o limitemáximo de tempo de 18.000 segundos tenha sido alcançado.

A figura 1 apresenta um comparativo dos tempos de processamento dos métodos na re-solução dos problemas testes CAB e AP. Cada barra do gráfico relata, para a instância testada, aporcentagem de tempo de processamento gasto para os quatro métodos testados. No primeiro caso,instâncias CAB, verifica-se que o método de Benders clássico possui, em linhas gerais, tempos deprocessamentos maiores. À medida que se modifica o método, através da adição de n-cortes (BD2)e n2-cortes (BD3), um esforço computacional menor é exigido. No segundo caso, instâncias AP,tem-se uma situação adversa, uma vez que o método CPLEX destaca-se por tempos de processa-mento maiores. Ainda assim, os métodos de n-cortes e n2-cortes configuram-se com resultadossatisfatórios.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

cab10.2

cab10.4

cab10.6

cab10.8

cab15.2

cab15.4

cab15.6

cab15.8

cab20.2

cab20.4

cab20.6

cab20.8

cab25.2

cab25.4

cab25.6

cab25.8

ap10.2

ap10.4

ap10.6

ap10.8

ap20.2

ap20.4

ap20.6

ap20.8

ap30.2

ap30.4

ap30.6

ap30.8

ap40.2

ap40.4

ap40.6

ap40.8

ap50.2

ap50.4

ap50.6

ap50.8

ap60.2

ap60.4

ap60.6

ap60.8

CPLEX BD1 BD2 BD3

Figura 1: Porcentagem do tempo para as instâncias CAB e AP.

A figura 2 mostra a evolução da convergência do limite inferior dos métodos de decompo-sição de Benders na resolução do problema teste CAB20.4. Curiosamente, os métodos apresentamuma convergência semelhante nos 3 primeiros ciclos, isto é, a menos de 5% do ótimo, a evoluçãodos métodos é a mesma. A partir desta referência, uma convergência mais acentuada da implemen-tação BD3 é observada em relação BD1 e BD2. Essa análise mostra que com a reestruturação do


Tabela 1: Desempenho Computacional dos algoritmosInstância CPLEX # BD1 BD2 BD3

T (s) Hubs Ciclos T (s) Ciclos T (s) Ciclos T (s)cab10.2 0,06 6 14 0,25 16 0,57 4 0.12cab10.4 0,05 3 12 0,24 4 0,08 3 0,05cab10.6 0,03 5 17 0,50 6 0,19 5 0,16cab10.8 0,05 7 15 0,27 11 0,37 5 0,15cab15.2 0,17 3 5 0,21 4 0,24 3 0.15cab15.4 0,28 3 9 0,56 4 0,28 4 0,34cab15.6 0,29 9 24 1,29 5 0,29 5 0,64cab15.8 0,38 6 199 156,72 8 2,00 6 1,40cab20.2 0,65 4 7 0,70 4 0,44 4 0,55cab20.4 1,56 5 42 10,00 8 2,54 5 1,62cab20.6 2,43 4 48 20,44 6 2,69 4 1,72cab20.8 3,10 7 429 18049,32 11 34,96 7 7,95

(0,32)cab25.2 2,17 3 6 1,28 4 0,97 3 0,75cab25.4 6,85 7 155 183,15 6 4,74 6 4,07cab25.6 13,24 4 96 81,61 8 7,88 6 6,70cab25.8 14,03 5 445 18056,11 5 44,24 7 13,39

(0,28)ap10.2 0,15 3 6 0,10 4 0,08 4 0,08ap10.4 0,04 2 9 0,18 4 0,09 3 0,06ap10.6 0,04 1 4 0,07 3 0,05 3 0,05ap10.8 0,03 1 3 0,03 2 0,03 2 0,04ap20.2 1,77 5 1 0,12 1 0,13 1 0,13ap20.4 1,75 5 1 0,10 1 0,11 1 0,10ap20.6 1,79 5 1 0,10 1 0,12 1 0,15ap20.8 1,76 5 1 0,15 1 0,09 1 0,12ap30.2 40,36 5 19 10,22 7 6,55 6 7,77ap30.4 93,26 3 99 236,78 8 21,79 7 25,52ap30.6 92,80 2 43 67,08 6 13,69 6 17,07ap30.8 104,5 2 43 85,91 6 13,05 6 13,54ap40.2 257,78 5 39 100,87 8 51,69 6 185,67ap40.4 514,94 4 112 823,24 7 73,56 6 58,09ap40.6 1040,36 3 295 18005,17 9 298,97 9 757,72

(0,07)ap40.8 1368,09 3 200 18123,92 9 549,03 9 475,04

(0,65)ap50.2 604,17 6 33 201,49 6 39,66 6 63,02ap50.4 1766,29 6 69 614,80 8 125,50 6 156,45ap50.6 6373,66 6 56 771,27 13 4246,48 9 2746,4ap50.8 9368,42 2 152 18211,39 11 10383,64 9 3407,31

(3,02)ap60.2 590,65 7 16 102,82 5 45,07 4 46,76ap60.4 1883,96 7 60 633,18 5 62,52 6 127,79ap60.6 3771,25 6 106 2751,59 6 177,69 6 236,99ap60.8 9554,88 4 141 18124,34 7 653,49 7 1275,94

(0,52)

corte de Benders, o método torna-se consideravelmente mais eficaz, reduzindo o esforço computa-cional e diminuindo o tempo de processamento.

Uma forma de analisar o desempenho das implementações BD1, BD2 e BD3 é observar aquantidade de ciclos usados para se alcançar a solução ótima. Na figura 3, observa-se que a imple-mentação BD1 requer uma quantidade maior de ciclos em todas as instâncias. Já as implementaçõesBD2 e BD3 requerem um número pequeno de ciclos independente da instância, configurando umcomportamento ligeiramente estável.

Observando apenas o tempo computacional e o número de instâncias nos quais cada mé-todo foi mais rápido, pode-se ver que, para as instâncias CAB, o CPLEX teve o maior número detestes com menor tempo de processamento (62% dos testes). Além disso, a implementação BD1foi incapaz de realizar algum teste no menor tempo de processamento. Já a implementação BD3obteve em 5 instâncias (31% dos testes) o menor tempo de processamento. Para as instâncias AP,


Instância cab20.4

-100,00

-95,00

-90,00

-85,00

-80,00

-75,00

-70,00

-65,00

-60,00

-55,00

-50,00

-45,00

-40,00

-35,00

-30,00

-25,00

-20,00

-15,00

-10,00

-5,00

0,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

Ciclos

LB

(%

)

BD1 BD2 BD3

Figura 2: Convergência dos métodos implementados.

Quantidade de Ciclos

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

cab10.2

cab10.4

cab10.6

cab10.8

cab15.2

cab15.4

cab15.6

cab15.8

cab20.2

cab20.4

cab20.6

cab20.8

cab25.2

cab25.4

cab25.6

cab25.8

ap10.2

ap10.4

ap10.6

ap10.8

ap20.2

ap20.4

ap20.6

ap20.8

ap30.2

ap30.4

ap30.6

ap30.8

ap40.2

ap40.4

ap40.6

ap40.8

ap50.2

ap50.4

ap50.6

ap50.8

ap60.2

ap60.4

ap60.6

ap60.8

BD1 BD2 BD3

Figura 3: Número de concentradores (hubs) instalados.

a implementação BD2 conseguiu em 14 testes o menor tempo de processamento (58% dos tes-tes). O método de Benders com algumas modificações apenas na estrutura de seus cortes torna-seconsideravelmente mais eficiente.6. Conclusão

No presente trabalho, três variantes do método de decomposição de Benders foram apresen-tados como estratégias de resolução do problema de localização de concentradores com alocaçãosimples. A variante BD2 se mostrou competitiva quando comparada com o desempenho do softwarede otimização CPLEX. Há possibilidades de se melhorar ainda mais o desempenho da decompo-sição de Benders utilizando as abordagens feitas por McDaniel e Devine (1977) e por Papadakos(2009). Espera-se, desta forma, resolver problemas testes maiores ainda.

AgradecimentosOs autores gostariam de agradecer a CNPq (processo 480757/2008− 9) e a Fapemig pelo

suporte financeiro.

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