mei xue finding hamilton cycles in cubic graphs (under the

37

Upload: others

Post on 17-Feb-2022

2 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

������������� ����� ���������������� "!$#&%'��(*)+�� ,!.-�/���%1032���4�5�)687 ���('2+�95�(;:<��2=(*%'�9��� >�@?�A;B�CD�FE&GIHKJ�A1BLCM�ONPQB�NR

ST5���)+��5�(*)9��)+(VUW4�����29(*)X2��@ ���� ����Y'(*�Z������� 29����5���)$?[� 2T\] ����� ����^���_�����9� `%'#&%'��(*)^�� "%*-�/���%� 29��4�5�)'a

b ?O�9(*2c����d&�� ��e)9� ��(f/]��)9��%g��(V\] ��������� �)*h�i.(g����)=%*-�)=)j�� k����� � 2=����5�� ?[� 2c��(* �('2��@�9�� ��2��@ ���� �mlonp2=(*� -�����2q� 29��4�5�)'arST5���)T��)T-�)9('�Z?[� 2q�9(*)s���� ���a�ST5�(* "�pi$����4�4�29�t�@%u5�(*)+?[� 2.\] ����� �����@�_�������� v%'#&%*��(*)w�� x2��� ���� � %'-�/���%j� 29��4�5�)w��2=(j4�29(')9(* t�9(*�yh_�z29�� ������ 4D('29�{-W�u�@�9��� ��('��5��W�|�� ��}��~���29�@�Qd|%u5]���� v�_(V��5��&�ya���� �������# h�i$(�%*���_4]�@29(���5�(�4F(*2s?[� 29�_�� �%'(��@?��5�(*)9(^�pi.���@4�4�29� ��%u5�(*)q�� ��`��(')9%'29��/F(<�1/]��%u�t��29��%u���� ����@��� � 2=���95���?[� 2�%u5�(*%u���� ��{��5�(^5]��������n���� ���%'���p#���?q�Z��2���4�5Ma`ST5�(����@�9�9(*23%*�� c/F(��@4�4�����(*�����Z� 2��@4�5�);��?q���W��(*)=�;)=��Y*(�?[� 23i+5���%u5��5�(;29�� ������_��Y*(*�Z����� � 2=����5��_)$%��� " ����+\] ��,�����@�_�������� `%'#&%*��(�a

�uN�L�����_BLE��LP�� ���@�_�������� "!$#&%*��(@h��L('2=?[(*%V�3~��@��%u5��� ���h��X�� ������_��Y*(*� b ��� ��29���95��Zh!.-�/���%10�29��4�5yh�~���29�@�Qd�!.5����� yh�������������� ����� >032��@4�5

Page 2: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

�+�ON����ON�e�����<�O�*GyB�Ne�����y����P�ON��3��CD�O�¡ _Ey��¢�£P

/t#

�����r�_��

¤�a¦¥Ta�h]ST)9�� �� 5�-]� 7 ���d (*2=)9���p# h�§©¨ ¨�ª

b ST5�(')9��)^«W-�/��_���9�9(*�>������5�(¬032��@��-]�@�9(�F�@%*-����p#��?LST5�( 7 ���d ('29)9���p#"��?­0�('� 29� ���¬�� Z�L��2=�9�®����]-���\]�����_(' t�

�@?L�95�(�+(*¯�-���2=(*��(* t��)T?[� 2q�95�(;:<(*� 2=(*(

�g��P©G���EjB�°c±M�y�O��N��M�

² Gy£���NP�³� _��B�ED�­�®�

´@µ µ §

Page 3: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

%¶ ´�µ µ §~�('��·<-�(

b �����X��� 5t��)+�+(*)=(*2=d�(*�

Page 4: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

�+�ON����ON�e�����<�O�*GyB�Ne�����y����P�ON��3��CD�O�¡ _Ey��¢�£P

/t#

�����r�_��

b 4�4�29�©d ('�y¸

~,�Q¹=� 2X��29�@?[(*)9)=� 2*¸ �X� /F(*2s�Tº}a��X��/��� �)=�

!.� ���_���9��('(�¸ �X�&�� �(V#Z!q�� �\]('���:3�� ���('�y¥­d ('29(V�9�

¥���('%'��2=� ���%<»r(*29)=��� b 4�4�29�©d�(*�y¸

03� 29��5��� Z¼ra��L�@��('�:<(��@ Z�@?L�95�(10�29����-]�@�9(1«W%u5��&� �ST5�( 7 ���d ('29)9���p#>��?­0�('� 29���®�~,��# ´�µ�µ §

Page 5: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

² �y½�NBy�>�����L���<��NGyP

¾�i$� -����c������(����Z��5]�@ ����¬#�%*���_�����=��(*(���(*�{/F(*2=)*hL:<2*a"!q�@ �\](*������ ���:<2*a`¥�d�(*2=('�9�*h�?[� 2��5�(*��2+�@)9)9��)=���� �%*(;�� ���� -����]�� �%*(3?[� 2T�¬#�� 2�����-]�@��(�)s��-���#�a

ST5���)i$� 29��%*��-����; �����5]��d ($/D('(* {%'� ��4���(V��(*��i+���95�� -���95�($5�(*��41��?��1#����Q¹=��2�4�29��?[(')9)=� 2*h:<2*a¬�X��/��� �)=� ya{¾+i$� -�����������(1���"(VUW4�2=(*)9);�¬#,� 29(*�@��(')=�;� 2��o�����9-���(¬�9�"5����K?[� 2<5���)3%���2=�� ���� ��>4��@����(* �%'(�a­º�� 29���� ��¬i+���95>5����¿��).�{4���(*��)��@ ��q(VUW4D('29��(* �%'(�h� ��©ie¾r�& ��Qie5��©iz ���%'(3�� ��5��©iÀ5]��29�Ái$� 2=�&�� ��"�`4F(*29)=� �%*� -����Á/F(�a1Â^�>�_�@�9�9(*2^5��©i�/�-�)=#�5�(¬��)*hM5�(�����i.��#&)<���@��(*)5����_)=(*��?L��d@��������/���(^����5�('��4ya­º�����5"5����m¾.5��©d�(���(��@29 �('�� ��@�+� ���#�5��©i|�9�����_2=(*)9(*��29%u5�/�-������)9�`5��©ix���`/F(��� ���%*({4F(*2=)9� �i+5��"�@��i.�©#&)3%*��29(')�?[� 2<���95�(*2=)*a;�^(���)^�9(���%u5��� ��>��({�_��29(/t#>5���)^�@%'����� `��5��� �/t#")=4D(*������ ���a

ST5]�� ���)����;�¬#�5�-�)9/��� ��yh�Ã�-� yht?[� 2r5���)r(' �����(')9)����©d (@h�(* �%'� -�2��@� (��@ ���)=-�4�4F� 2=�*a��^(X5]��)(VUW4���� 29('�Á�¬#Z4F����(' ��9�®����)^¾qi$� -����, �(Vd ('2329(��@����Y'(��¬#&)9(*��?Äa^¾qi$� -���������)9�������@(;�9����5]�@ ��"�¬#4]��2=(* t��)+?[� 2q�95�(*��2T-� �%*�� ������9��� ����M���Qd�(���-�29�� �����5�(3#�(���2=)^��?L�¬#�����?[(@a

��d

Page 6: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

Å ��CM����BL°��3B�N�G���N�G�P

����� (² �M½�NBy�>�����L�­���FN�G�PÆJ�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J ��d

Ç.�OP©GfB�°w�+�O�­�E���PkJ_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J d&���

Ç.�OP©GfB�° Å ��CM����P J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J ��U

��£���¢]G���E

È �uN�G�EMBL�L��MGy�OB�N J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J §È J È É ��PQ�O�jÊ���°��ON�®G��OBLN�P J�J�J_J�J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J §È J�Ë Ì���G����ON��cB�°�G�£� Å £���PQ�OP�J_J�J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J ´

Ë  _��N�FEy��G��ON�eA{��N�LBL�ÎÍWÏuE����­�����E� _Ey��¢F£P J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J ÐËMJ È ² ���­BLE��®G�£�ÎÊ_��Po�ME��O¢�Gy�OB�NmJ�J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J ÐËMJ�Ë Ñ^�L¢F��E��O�<��N�G&�L��A���Po��*GyP{J_J�J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J ª

Í A{��N�LBL�mÒ<��E��<��G&��G��OB�Ng���]G�£B��¡°�B�EÓ�X�ON���ON�e�����<�O�*G�BLNe�����y����P ¨Í�J È ² ���­BLE��®G�£�ÎÊ_��Po�ME��O¢�Gy�OB�NmJ�J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J ¨Í�J�Ë ² N����V��PQ�OP���N�¡Ñ^�L¢F��E��O�<��N�GfA���Po��*GyP J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J § µ

Ô �g��E�½ByÕ|��£����ON ² ¢�¢FEDB����y£g°�BLEg�+�ON�L�ON�z�����<�O�'G�B�Ne�^�­�M�&��P J�J §QÖÔ J È ² ���­BLE��®G�£�ÎÊ_��Po�ME��O¢�Gy�OB�NmJ�J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J §QÖÔ J�Ë ×���<CD��EgB�°w��ByÕL��P��g������G�B�G�£�jÌ�E��O���ON�����g��G��y£�ON�

G�B��X�ON� ² NBLG�£��Ef�g��G��y£�ON� J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J §©ØÔ J�Í ×���<CD��EÓBL° Å E��®�L��P`N�����L���gGyB¡�X�ON���¡�����<�O�*GyB�Ne�����y��� §©Ø

d

Page 7: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

d&�Ô J Ô Ò<B�PQPQ�OCM��� �u�<¢�EMByÕL�F���FN�G �>�®G�£ Ê����t�W���F� �����<�O�'G�B�N

�����y���f��£���y½L�ON�� J_J�J�J_J�J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J ´�µ

Ù ��BLN�y����PQ�OBLN J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J ´ ´Ù J È ��B���¢���E��OPoBLN¡B�° Å �_B ² ¢�¢FEDB����y£��P J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J ´ ´Ù J�Ë É ���M½LG�Ey���M½��ON�k�<�]G�£B��xG�B��������<�ON���O°g�x�&�O½L���V�ÚNBLNyÏ

£���<�O�'G�B�N�®��N¡�­Ey��¢�£��OP_���DG����L���V��£���<�O�'G�B�N�®��N J�J�J_J�J ´ ´Ù J�Í ��B�N�y���PQ�OB�N���N�¡°���G��E��c�O��¢FEDByÕ����<��N�G�PeJ_J�J�J_J�J�J_J�J ´ Ð

É �OCM���OB��­Ey��¢�£M� J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J�J_J�J ´ ª

Page 8: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

Ç.�OP©GfB�°w�+�O�­�E���P

´ a�§ !.-�/���%;��2���4�5ZÛ�aja1a�a;a1a;a1a;a;a1a;a1a;a�a1a;a;a1a;a1a;a;a1a;a�a1a;a1a;a;a Ö´ a ´ ST5�(;���o¹9��%'(* �%V#")=�929-�%V��-�2=(1��?�Û�a�a1a;a1a;a�a1a;a;a1a;a1a;a;a1a;a�a1a;a1a;a;a Ö´ aÜl ST5�(�� 29��� �� ����D5�����?®nÝ(*��� (')*a�a;a1a;a;a1a;a1a;a�a1a;a;a1a;a1a;a;a1a;a�a1a;a1a;a;a Ø´ aÞÐ b ?O�9(*2T2��@ ���� �ß4F(*2=�{-����@����� ya�a;a;a1a;a1a;a�a1a;a;a1a;a1a;a;a1a;a�a1a;a1a;a;a Ø´ a¦Ö b Z-� �)=-�%*%'(*)9)s?[-���4]����2=�� ���ava1a;a;a1a;a1a;a�a1a;a;a1a;a1a;a;a1a;a�a1a;a1a;a;a Ø´ aܪ b )9-�%'%*(')9)=?[-���2��@ ���� �Î4D('29�{-����@����� Z�� ��"4]����29�� ���a`a;a1a;a;a1a;a�a1a;a1a;a;a Ø

l�a�§ 0<nÄ~à��)T ����X���^���_�����9� `%'#&%'��(�aáa1a;a1a;a�a1a;a;a1a;a1a;a;a1a;a�a1a;a1a;a;a ¨l�a ´ b d�(*2��@� (¬ �-��{/F(*2^��?�4F(*2=�{-��u�o������ �)^ �(*(*��(*�Á����\] ����_������������� "%V#W%'��(1��

�129�� ���� �Ú%'-�/���%^� 29��4�5`-�)9�� ��¬2��@ ���� �Ú4F(*2=�{-��u�o������ _��('�95��W� 6 ��d�(*2��@� (<��?§ µ µ µ 2=-� �)X4D('2T�]�@����4F� �� t�uRVa a;a1a;a1a;a�a1a;a;a1a;a1a;a;a1a;a�a1a;a1a;a;a⧩l

l�aÜl Â^-��¬/D('2T��?� �� �5]����������� ��®�� `��2���4�5�)T�� �§ µ µ µ�µ %'-�/���%3� 2���4�5�)*aXa�a1a;a1a;a;aâ§�Ð

Ð�a�§ b 4D('2=?[(*%V�.�_�@�9%u5��� ��;��?y�;%'-�/���%X� 29��4�5���2��@ �)=?[� 2=�_('�_�� t���1�� ����95�(*2�4D('2=?[('%'����o��%u5��� ���� ���%'-�/���%;��2���4�5"��?�ª{d ('2=����%*(')*aáa;a;a1a;a1a;a;a1a;a�a1a;a1a;a;aâ§Qã

Ð�a ´ b �� �5����_�����9� ��®�@ �%*-�/���%�� 29��4�5"i+����5Z��4F(*2=?[('%'�X�_�@��%u5��� ���a�a;a�a1a;a1a;a;a⧩ØÐ�aÜl b d�(*2��@� ({ �-��{/F(*2^��?r�_�©d�(*)< �('(*��('�Á���`2=(���%u5��@ �����5�(*2�4F(*2s?[(*%V�<�_�@��%u5��� ��

?[29� �m��4D('2=?[(*%V�X���@�9%u5��� ���a>a1a;a;a1a;a1a;a�a1a;a;a1a;a1a;a;a1a;a�a1a;a1a;a;a⧩¨Ð�aÞÐ b d�(*2��@� ({ �-��{/F(*2^��?���2=�®����)X �(*(*��(*������\� ����`�^���_�����9� "%'#&%*��({�� ,��%*-�/���%

� 2��@4�5"-�)9�� ��_~,��29�@�©d"%u5]���� Z��('��5��W�yaÚa;a�a1a;a;a1a;a1a;a;a1a;a�a1a;a1a;a;a⧩¨Ð�a¦Ö �X-� � ��� ��������_(���?q��(*���©#�(*�I%u5�('%u���� ��Ád&)*a"i+���95�� -��1��('�®��# ('�I%u5�(*%u���� ��Á?[� 2

������������� �%'#&%*��(*)*a�a1a�a;a1a;a1a;a;a1a;a1a;a�a1a;a;a1a;a1a;a;a1a;a�a1a;a1a;a;a ´�µ

ÖWa�§ �X-� � ��� ����9����(<%*���_4]�@29��)=� >��?��pi.����4�4�2=�t��%u5�(')*aLa1a;a1a;a;a1a;a�a1a;a1a;a;a ´ l

d&���

Page 9: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

d&�����ÖWa ´ �X-� � ��� ����9����(<��?L���©¹=� 2.?[-� �%V����� �)*aÓa1a;a�a1a;a;a1a;a1a;a;a1a;a�a1a;a1a;a;a ´ Ö

Page 10: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

Ç$�OP©GgBL° Å �LCD���FP

´ a�§ b d�(*2��@� (� &-��{/D('2+��?L�929������).�9��� (* �('2��@�9(¬��%'-�/���%�� 29��4�5 6 �©d�(*2;§ µ µ µ 2=-� �)uRäa ã

l�a�§ b d�(*2��@� (3 �-��{/F(*2T��?��2=�®����)$�9�{\] ��Z��������������� �%'#&%*��(�-�)9�� ���2��� ���� �m4F(*2Än�{-����@����� >�_(V��5��&�ya�a�a;a1a;a1a;a;a1a;a1a;a�a1a;a;a1a;a1a;a;a1a;a�a1a;a1a;a;a⧠´

Ð�a�§ b d�(*2��@� (+ &-��{/D('2���?���2=�®����)L���3\] ��_���^���_�����9� ¬%V#W%'��(+-�)=�� ��;~,�@29���©d�%u5����� �_(V��5��&�ya¡a;a1a;a;a1a�a;a1a;a1a;a;a1a;a1a;a�a1a;a;a1a;a1a;a;a1a;a�a1a;a1a;a;a ´ §

ÖWa�§ Â^-��¬/D('2X�@?­������('��#` �� �5]����������� ��®�� `��2���4�5�)^�� �§ µ�µ µ µ µ %*-�/���%�� 29��4�5�)^�� �� �-��{/F(*2r��?F5]����������� ����� ¬��2���4�5�)$�@�_� ��<��5�(+������('��#1 �� �5]�@�_�������� ��®�� 1� 2��@4�5�)*a ´ Ð

��U

Page 11: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

�3£��¢]G���E È

�uNGyEMB�����MG��OBLN

È J È É ��PQ�O�jÊ���°��ON�®G��OBLN�P

bæåWç@è�éFê Û ë 68ìríFî R�%'� �)9��)=�9)���?��w)9(V� ì �@?<d ('2=����%*(')>�� ��g�c)9(V� î ��?3(*��� (*)'aeST5�(� 29��4�5�).i+5���%u5"��2=(<� /&¹=('%'��)T�@?)=��-���#`�� ���5���)$�95�(*)=��)T��2=(<-� �����29('%'�9(*�Z�� ��`)=����4���( 6 ������&� 4�)� 21�{-����9��4���(�(*����(*)uRäaÁ¾p �� 2=��(*2;���Á��(* �('2��@�9(`)9���_4���(�� 2���4�5�)1i$(`�_�©#w(' �%*� -� ��9(*2�� (' �(*29���� 29��4�5�)'h@i+5���%u5���29($-� �����29('%'��('�{/�-�������#�%'� t�u���� ¬���&� 4�)��� ��{�{-�������4���(�(*��� (*)'a�]� 2��^)9���_4���(� 29��4�5Á��5�(�(*��� (�)=('� î %*�� �)9��)=��)3�@?$-� �� 29��(*29('��4�����2=)<��?�����)s���� �%'�<d�(*2s����%'(*)'a{ST5�(,ïoð=ñ&òVð^�@?Û���)+�95�(� �-��{/F(*2+��?�d (*2s����%*(*)�ó ì óôh��@?O��(* Z��(' �����('��/t#"õLa

ºc(�)9��#���d ('2=��(äU�öw��) è�÷pø�è�ù'ú õFû^�9�"��d (*2s��(äUwü���? 6 ö í d�R���)<�� �(*����(���?$Û�h�� ���(*��� (6 ö í üWRq��)^ýþõ ù ý ÷&ú õFû+ÿ�ý û ê d�(*2s����%'(*)<ö��@ ��,ü�aXST5�( ÷�ú*å&ç�ú©ú ��?r�_d�(*2=�9(VU,ü>��)+��5�(1 �-��{/F(*2��@?(*��� (*)1�� �%'����(' ���i+����5c����a b ��2���4�5cÛæë 6þì�íFî R<��) ç n ç@ú*å ö � ètç ��?q('d�(*2s#wd�(*2s��(VUc�� �Û 5]��)��('� 29('( ç a b lQn ç@ú*å ö � ètçXå&ç@è�éFê ht����)=�3�� ��©i+ ���) ù ö��uý ù$å&ç@è©é�ê h���)r�<29('� -�����2­� 29��4�5���?F��(*��29(*(l�a

0���d (' c�� �-� �����2=(*%'�9(*�w� 2��@4�5yh��� è û ù*ê ýþõ å ��)��>)=-�/�)9(V�¬�@?.('��� (*)�� � î )=-�%u5��95]�@�?[� 2T�@���Dd�(*2s����%'(*)+ü ì�í �@�q�_� )s�+� �(3('��� (3��?�� ��)T�� �%*����(* t�q����üZa­ºc(3)9��#>ü���)�� è û ù*ê]ú©÷��?^)9���_(>('��� (Z��? � ��)��� �%*����(* t��i+���95füga b � è�� ý��>ö�� � è û ù'ê ýþõ å ��)��w�_�@�9%u5��� ����@?�_�oUW���{-�� %*��29���� ]�������p#�hL��5��@�{��){�,�_�@��%u5��� ���� )=-�%u5I��5]�o�¬?[� 2¬�� t#c�_�@��%u5��� ������Th­i.(5]��d (�ó��¿ó�� ó����þó¦a bæé]ú�ç��Mú©ù û�� è û ù'ê ýþõ å ��)"�j���o��%u5��� ��I�� ¡i+5���%u5e(Vd (*2s#¡d ('2=��(äUz��)�_�@��%u5�('�ya

bmé�è û ê ?[2=� � �cd (*2s��(äU�ö¡���j�cd ('2=�9(VU¡üf�� ���� 2���4�5�Û ë 6þì�íFî R_��)`��)9('¯�-�(* �%'(� ü�� í ü�� í! " " �í ü�#%$ ��?1d�(*2s����%'(*)�)9-�%u5z��5]�@�Zö ë ü��©h<ü}ë ü�#w�� �� 6 ü�&(')� í ü�&[R* î ?[� 2

§

Page 12: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

´ý�ë § í ´ í! " ( �í�+ a b 4]�@�95 � ü�� í ü,� í! " ( �í ü-#.$ß?[��29��)_� ù0/Wù � ú ��?�ü-��ëÆü�#��� ��Ó�95�(Z4]�@��5%*�� ������� �)T�@�T��(���)s�T� �(3('��� (�a b 4��@��5 � ü�� í ü,� í! " ( �í ü-# $z��)T�21�ý3� é � ú1ù4/�ù � ú ��?���q��)q�{%V#&%*��(�� ���ü,� í ü-5 í6 " ( �í ü�#^�@29(T����)=���� �%'�*a b�7Áè �>ý � û98Qõ ù4/Wù � ú ��?y�@ �-� �����2=(*%V��(*�_� 2��@4�5�Û}ë 6þì�íFî R��)��+)9���_4���(­%'#&%'��(r��5]�@��%'� t�u���� �)(���%u5¬d�(*2s��(VU1�� ì a b ��2���4�5���5��@��%*� t�u�@�� �)L�X5����_�����9� ��®�@ %'#&%'��(���)+� ê]è �>ý � û98oõDý è õ å&ç@è�éFê;: ����5�(*2=i+��)9(@h]���+��)+��õ<8oõ ê�è �>ý � û98QõMý è õ å&ç�è�éFê a

Â^���9(���5]�o�I29('�_�©d&�� ��}� �^���������9� �%V#&%*��(�?[2=� � �v%*-�/���%�� 29��4�5¿��(*�©d�(*)j�v4F(*2s?[(*%'��_�@��%u5��� ���a+«&�`�_5����_�����9� ��®�@ >%*-�/���%1��2���4�5,����i.��#&)�%*�� ������� �)���4D('2=?[(*%V�<�_�@��%u5��� ���a.¾Ý?­i.(�u�@��(;��4D('2=?[(*%V�X���@�9%u5��� ���� -��+��?���%*-�/���%�� 2���4�5yh���5�(;('��� (')X��('?O�+����� 5t�q?[��29�ß���^���_�����9� %'#&%'��(�h��� ,i+5���%u5w%*��)9(��95�({� 29��4�5���)�5]���������9� ����� ya�ST5�(*29(���2=({)9���_({%'-�/���%�� 2���4�5�)�i+5���%u5%*�� ������� "4F(*2s?[(*%'�X�_�@��%u5��� �� )T/�-��^��29(� �� �5]���������9� ����� : �����-�29(<Ð�a ´ � ��d�(*)X�� "(VUW4]�@�_4���(�a

È J�Ë Ì���G����ON��cB�°�G�£� Å £���PQ�OP

ST5���)��95�(*)=��)3(äU�4���� 2=(*)�2��� ���� ����Y*('�w����� ��29���95���)X?[� 2<\� ����� ����^���������9� Á%V#W%'��(');�� �2��� ���� �%*-�/���%"� 29��4�5�)'ag¾Ý����){i$(*���X�� ��©i+ f��5]�@���95�(�4�29� /���(*� �@?���(V��('29���� ��� ���5]���������9� ���%*���p#��@?%*-�/���%�� 29��4�5�)���);Â^�­nÝ%*� ��4���('��(>= ª-?8h)9�, ��Z4F� ��#W �� �_�����L�9����({��(V��(*2=�_�� ���)s����%������ ��29���95��æ��)�� ��©i+ �� 2�(äUW4D('%'��('�ya3�X(* �%'({2��� ���� ����Y*('�Á����� � 2=����5��_)+��2=(¬��?­�� t��('29(*)s��aXºc(15]��d ({(äU�4F(*2=��n��(* t��('�,i+���95��pi$�>��4�4�2=�t��%u5�(')�����\] ����� ��`�^���������9� "%'#&%*��(*)'hDi+5���%u5,i.(1%���������5�(12��� ���� �4F(*29�¬-��u�@�9��� ��_(V��5��&�"�� ��>��5�(;~,��29�@�©d>%u5]���� ��@4�4�29� ��%u5yar¾p "� (* �('2����D��(*2=�_)$��5�(1~,��2=���©d%u5]���� >����� � 29����5��ki.��).?[��-� ��`���¬/D(��95�(�? ��)s��('2q��?���5�(��pi.��h��� ��`�9�{� ��d (��95�(<%*��2929('%'�T2=(*)=-������ "��� )=�+%*��)9(')*a

ST5�(;/D�&��#`�@?���5�(��95�(*)=��)+%*�� �)9��)=��)+��?LÐ�)9('%'����� �)'aST5�(<\]2=)=�T)=(*%'�9��� >����d (')T�{��(')9%*2=��4��9��� ���?5��©i�i.(3� (' �(*29�@��(<�{%*-�/���%<� 29��4�5`29�� ���� ����#�a

º�(^-�)=(<�� �������� 29����5��xi+5���%u5��u���@(*) ú 5 4D('29�{-����@����� �)r��?A@ µ í § íB " ( �í l�õDCw§FE<�� ���d ('2�����(^���� (' �(*29�@��(��>%*-�/���%�� 29��4�5ya1ST5���)<����� ��29���95��æ��)<-�)9(*�����"� (' �(*29�@��(�%'-�/���%�� 2���4�5�)3� Ái+5���%u5��5�(1�@��� � 2=���95��_)�?[� 2q\] ����� ������@�_�������� `%'#&%*��(*)^��29(<�9(*)s��(*�Ma

Page 13: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

l¾p e�95�(�)9(*%'� ��e)9(*%V����� yh�i$(�(äUW4��®���� z�j29�� ������ 4D('29�{-W�u�@�9��� ���('��5��W�¡?[� 2`\] ����� ��

���@�_�������� �%'#&%*��(*).�� ��;%*-�/���%X� 2���4�5�i+5���%u5`29('¯�-���2=(*)HG 6JI õyRr4F(*2=�{-��u�o������ �)r�� ��_� )s��%���)=(*)*a���29)=�$i.(3\] ����{�_�oUW���¬-��¿���@�9%u5��� ��¬?[� 2.�95�(<%*-�/���%3� 29��4�5yaLK�?�%*��-�29)=(�h���?��95�(<�_�oUW���{-���_�@��%u5��� ��I��)� ����"4F(*2=?[('%'�"��5�(* ¡��5�('29(���)� ��j4D('2=?[(*%V�Z���@�9%u5��� ��I�� �����5�(���2���4�5���)` ����5]����������� ��®�� ya�ST5�(* _i$(X29(*���©d (T��5�(X4F(*2s?[(*%V�.�_�@��%u5��� ��<?[2=� �À�95�(^%'-�/���%T� 2���4�5yh&�� ���%u5�(*%u�����)=(*(���?��5�(;('��� (')^2=(*�_���� ��� ��1?[��29� �����@�_�������� �%'#&%'��(�ar¾Ý?L ����*h]4D('29�{-��9(<��5�(�� 29��4�5Z�� ����2s#"���t�@�� : i.(�%��@���D�95���)+�{�929�®�@�þa b ?O��('2MG 6JI õR$�929������)�i+����5�� -��T\] ����� ������������������ _%'#&%*��(�hi$(1%'� �)9����(*2q�95�(�%*-�/���%�� 2��@4�5>����/D(�������('��#_ �� �5����_�����9� ��®�@ yaLST5�(129�� ���� �Î4D('29�{-W�u�@�9��� ��('��5��W�j�u���@(*)������_(ON 6 õ 5 RVh�)9�� �%*(��w29�� ���� �á4D('29�{-����@����� j��?X��5�("i+5�� ��(Z��2���4�5j�u�@��(*)�����_( G 6 õ�RT�� ��>\] ����� ��_�����QU����{-�� ���o��%u5��� ��{�u���@(*)PN 6 õ I õyR$�����_(Q= ¨-?8a

ST5�(�~,�@29���©d�%u5]���� `29(')9-�����)�/t# b ����)s�u����2�«W�� �%*�®�@��2R= § ´ ?D�_�@����d@�@�9(*��� -�2�)9('%*� ����_(V��5��&�yh�� 1i+5���%u5��<)=(*29��(*)���?�)=���@����%u5]�� ���(*)���29(.������($���<�95�(q�_�@��%u5��� ��<�� �)=�9(����¬��?F4D('29�{-��9�� ��^��5�(i+5�� ��(q� 29��4�5yaLST5���)­��)�����)9%'-�)9)=(*���� ¬�95���2=�{)9('%'����� yar«��u��2s���� ��^i+���95���4F(*2=?[('%'�r�_�@��%u5��� ���hoi.(29('�_�©d�(<�� ��`������)=� ��(�(*��� (*)����¬�95�(�� 2=��� �� ]�����_�@�9%u5��� ��;-� t�����F�� ����95�(*2$4D('2=?[(*%V�q�_�@��%u5��� ����)�� (' �(*29�@��('�ya­ºc(+��5�(* `%u5�('%u�_�9�¬)9('(���?M��5�(^('��� (*).29(*�_���� ��� ��;�@?O�9(*2r29('�_�©d&�� ��1��5�(^4F(*2s?[(*%'��_�@��%u5��� ��"?[� 29� �Z������������� �%V#&%*��(@a"¾p ���5���)3iq��#wi.(���4�4���#Á��5�(�4�2=� � 2��@� ?[� 2�\] ����� ��,��_�oUW���{-������o��%u5��� ����� ���#��� �%*(@aOK<-�21(äUW4D('29����(* t�����r29(*)=-����9)1)=5��©iÚ��5]�o�;�95���)1��4�4�29�t��%u5�u�@��(*)X�{-�%u5Z��(')9)T�����_(^��5]�� "��5�(;4�29('d&��� -�)+� �(@a

¾p ���5�(��®�@)=��)9('%'����� �i$(�%'� �_4���29(+��5�(^4D('2=?[� 2=���@ �%*(+��?y�95�(^�pi$������� � 2=����5��_)­?[� 2�\] ����� �����@�_�������� �%'#&%*��(*)"�� �%'-�/���%���2���4�5�)*akº�(��@��)9�j��(')9%'29��/F(w�I/]��%u�t��29��%u���� ��Ó������� 29����5�� ���(VU������� �(3��?���5�(;������(*��#� �� �5]����������� ��®�� `��2���4�5�)^�@29(;��%'�9-]������#` �� �5]����������� ��®�� yaLST5�(* Zi.(4�2=(*)9(' t��(äU�('%*-��9��� �4�29�@\]��(')+?[��2q��5�(1~,��2=���©d"%u5]���� ���('�95��&���@ �����2���iv)=� �_(�%'� �%*��-�)9��� �)��/F� -��+����29('%'����� �)q?[� 2q?[-W��-�2=(�i$� 2=�Fa

Page 14: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

�3£��¢]G���E¡Ë

 _��N��Ey��G��ON��A{�LN��B��ÎÍWÏäE����­��t�LE� _Ey��¢�£�P

¾p ��95���)�%u5]��4��9(*2'h�i.(^��(*)=%*2=��/F(3�1��('�95��W�_��?�29�� ���� ����#{� (* �('2��@�9�� ��¬lonp2=(*� -��®��2r� 29��4�5�)�i+����5 ��Á���W��4�)¬� 21�{-�������4���(�(*����(*)*a b � 8�8 é �� I�,��2���4�5c��){�@ I(*��� (_i+5���%u5�¹=� �� �){�Zd (*2s��(äU�������9)9('��?Äa b �>ö � ûÄý é � ú^ú©÷ åWú �W%'%*-�2=)­i+5�(* ��95�(*2=(T��)­��� 29(���5]�@ ��� �(q(*��� (L¹=� �� ��� ��X�pi.�����"SM('29(* t�d ('2=�9��%*(')*a

ËMJ È ² ���­BLE��®G�£�mÊ_�FPQ�yE��O¢]G��OBLN

]� 2X��lonÝ29('� -��®�@2T� 2���4�5yh]��5�('29({�@29(;l_('��� (*)^�� �%'����(' t�X�9��(Vd (*2s#�d�(*2s��(VUDaTº�(1%*�� Á��)=)9�&%*���@��(��d�(*2=�9(VU�i+���95Il,5]����?®np('��� (*)'hL�95�(* I29�� ���� ����#Á4]����2���5�� )9(`5�����?®nÝ(*��� (')1�9�,� /������� c�,%*-�/���%� 29��4�5ya$]� 2+��%'-�/���%;��2���4�5Z��?�õ�d�(*2s����%'(*) 6 i+5�('29(;õ���)T('d�(* �RähF�95�(*2=(¬��2=(;l�õBT ´ (*��� (*)'aq]� 2��� 2��@4�5"��?�õ�d�(*2=�9��%'(*)*h]�95�(*2=(�i+�����D/D(;l�õ;T ´ 4]����2=)*h�i+����5"(��@%u5�4]�@��2q2=(*4�2=(*)9(' t���� ��`�� "(*��� (�a«W�� �%*({�95�({4]����29�� ��`��)�2��� ���� ��hM���<������5���%*� t������ ����W� 4�)�� 2<�¬-����9��4���(1('��� (*)'a¬º�(�5]��d ({����_����(<)=-�29(^��5]�@�$��5�(�� 2���4�5�i.(3��(* �('2��@�9(<���&(*)q ��@�q%*�� ������� `�� t#����W� 4�).� 2$�{-����9��4���(+(*��� (')*a

ºc(1-�)9(¬l�ý�hFl�ý<Ue§¬�� ���l�ýVU ´ ���_29(*4�29(*)=(* t�<�95�(¬5]�@��?®np('��� (')���)=)9�&%*���@��('��i+���95�d�(*2=�9(VUý9h]i+5�('29(1ýrë µ í § í! " " �í õ>C¡§�hF�� ��,�� ����o¹9��%'(* �%V#��_�@�929��U>��?­)=��Y*(;õXW�l��9��29('4�29(')9(' �����5�(� 29��4�5yhi+���95���5�(�l�õf(* t�929��(')¬�� w�95�(��@�o¹9��%*(' �%'#w�_�@��2=��U�2=(*4�2=(*)=(* t���� ����95�(�4]�@��29�� �� )'a`]� 2(VU�����4���(�h�?[� 2q�95�(�%*-�/���%�� 2��@4�5ZÛk��?­L��� -�2=( ´ a�§;i$(�5]��d (

Û}ë 68ìríFî R.i+5�('29( ì ëY@ µ í § í ´ í l í Ð í ÖZE¬�� ��î ë[@ 6 µ í §QR í�6 µ í ´ R í�6 µ í ltR í�6 § í ´ R í�6 § í Ð�R í�6 ´ í Ö�R í�6 l í Ð�R í�6 l í Ö R í�6 Ð í Ö R\E�aST5�(;%*� 2=29(*)=4D�� ����� ��_�@�o¹9��%*(' �%'#")s��2=-�%'�9-�29(;��)T)=5��©i+ ,�� Z���� -�2=( ´ a ´ a

Ð

Page 15: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

Ö

0

21

3

4 5

���� -�2=( ´ a�§ ¸�!.-�/���%;��2���4�5ZÛ�a

0

1

3

1

5

3 4

4

5

2

2 3

0 2 4

0 1

0 4 5

1 3 5

2

L��� -�2=( ´ a ´ ¸�ST5�(;���o¹9��%'(* �%V#")=�929-�%V��-�2=(1��?�Û�a

K<-�2$���_4���(*��(* t���@����� �)=�9� 29('�`(���%u5�� 2���4�5`��).�� `��2=2���#���?�@�o¹9��%*(' �%'#�����)=�9)$29�@��5�(*2r��5]�� �� 1õMW+l+���@�929��UMaST5�($29(*��)9� ;?[� 2���5]�o����)L�@ 1õPW+l���2=2���#�29('¯&-���29(')­�������&%��@�9��� ���?�%'� t������-�� -�))94���%*(¬?[��2<l�õ�(*��('�_(' t��)��� ,�_���� Z��(*��� 2=#�a�]� 2X�®��2=� (;õ�hD�95���)^�_('�_��2=#Z�������&%��@�9��� >? ������(*�MaST5�(X��2=2���#���?M���o¹9��%'(* �%V#�����)=�9)*ht/F(*�� ��3�_� 2=(�]](VUW��/���(@h i.� 2=��('�_?[� 2�����29� ('2�d@����-�(*)���?Dõ"/D(V?[� 29(��(*��� 2=#`�������W%*�@����� _? ������('�yaK<-�2��@��� � 2=���95��e?[� 2� (' �(*29�@���� ��^�^2��@ ���� � %'-�/���%�� 29��4�5�i+����51 1d�(*2=�9��%'(*)���))9-������@29��Y'(*��� ")s��(*4�)1§'nÄÖ¬/D('���©i�¸

§ a^!.��(���2��95�(+���o¹9�@%*(* �%'#{�_�@�929��U¬�� ���2��� ���� �_��#;4D('29�{-��9(^@ µ h�§ h]a�a�a.h�l�õRC"§FE^�9�3� /������� 5]�@��?®np('��� (')Tý��;h]ý9��h�a�a�aTh��� ��Zý�_J`�')�äa

Page 16: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

ª´ aX¥­d ('2=#"���95�(*2T�pi$�_%'� �)=(*%*-W����d�(¬5]�@��?®np('��� (')+��29(34]�@��29('�")=�u�@2=���� ���i+���95 6 ý�� í ýa�=RVal�a+¾Ý?+��5�(>4]����2=�� ��,('d ('2�?[� 29��){�����&� 4���2{�{-�������4���(�(*��� (@h���5���){��29��������){%'� �)9����(*2=(*�I���

5]��d�(;? ������('�"�� ��>��5�(�4�2=�W%'(*��-�29(;)=�u�@2=��)+�©d ('2��@�t���� `i+����5")=�9(*4w§ a

Ð�a+¾Ý?F��4�����2����&(*)� �����?[� 2=�x�����&� 4¬��2L�{-�������4���(r('��� (�h@��5�(q%'� 292=(*)=4D� ����� ���(*��� (.��)L������('��9���95�(;���o¹9��%'(* �%V#"���o��29��UDa

ÖWa b %'-�/���%T��2���4�5���)�29(V��-�2= �(*����)�)=�W� ���)­�95�(+���o¹9�@%*(* �%'#��_�@��2=��U1%*�� ������� �)rl�õBT ´ 4�����2=)*a���� -�29(') ´ a¦l_�9� ´ aܪ_������-�)=��29�@��(3�95���)������ ��29���95��Î?[��2<ª�d�(*2s����%'(*)'a<ST5�({� 29��4�5Á%'� 292=(*)=4D� ����� �������95�(�)9-�%'%*(*)=)=?[-��L4D('29�{-W�u�@�9��� "�� ��Z4�����2=�� �����?����� -�29( ´ a¦ª���)T)=5��©i+ ,�� �L��� -�2=(3l�a�§ a

!.��(*��29��#g��5�(wd�(*2=�9(VU|��)=)9�&%*�®�o��(*��i+���95�ý���)"ýbT�l�h^i+5�����(XTj5�('29(���(' �����(')��95�(��� t��('� (*2¯�-����9��(* t�1?[-� �%'�9��� Ma,S��Á%u5�(*%u��?[� 2;�95�(`(äU���)=�9(* �%'(`��?X�,���W� 4���);)9���_4���(�a�]� 2¬�@ �#�ýdc��� ��ýdcfeV�3i+���95 ø ('d�(* �h���?TýdcgT�l,ë ýhcieV�fT@l í �95�(* cýdc��� ���ýhcieV�;��2=(`��)=)9�&%*���@��('��i+���95c��5�(�)��@�_(d ('2=�9(VUDhL)=�"����?[��29��)3�>���&� 4ya�SL�"%u5�('%u�Ái+5�('�95�(*2;�`4]�@��2�?[� 2=�_)<�`�{-����9��4���(1('��� (@hi$(�%��� )9('(1��?d (*2s��(äUZýdcgT�l���)+����29(��@��#>���Q¹9��%*(' ��+�9��ýhcieV�fT@l�/t#>2=(������� �����5�(;%'-�292=(* t�����o¹9��%'(* �%V#>����)=�?[� 2qd�(*2=�9(VUZýhcjT�l{�9��)=(*(;��?LýdcfeV�fT�l�5]��)X����29(��@��#`/F(*(' �(' ��9(*2=(*�ya

ËMJ�Ë Ñ^�L¢F��E��O�<��N�G&�L�,A��FPQ��*G�P

¤.(' ���(*2��@ ��w!q�� �\]('����5]��d (�)=5��©i+ ��� *= §j?��95]�@�<�95�(�4�29��/]��/��������p#>�95]�@���`29�� �������4]�@��29�� ��4�2=�W��-�%*(*){�,� 2��@4�5ci+���95c ��,���&� 4�);� 2¬�{-�������4���(�('��� ('){��) úVkmlonqpr ?[� 21�� ç np2=(*� -�����2�� 2��@4�5yaST5�-�)�?[� 2 ç ë lÁ��5�("4�2=� /]��/��������p#c�@?<� /������� ��� �����%*-�/���%"� 29��4�5f��) ú 'Z5 aIº�5]�@�_¤.(' ���(*2�� ��f!q�@ �\](*���f��%'�9-]������#�)95��©im�� �= §j?q��)¬��5��@�¬�95�(> �-��{/F(*2{��?X���W� 4�){�� ����95�(> �-��{/F(*2{�@?�{-�������4���(�(*����(*)���2=(>/D���95j��)=#&��4����@����%*������#w�L� ��)9)=� I����)s��2=��/�-��9(*��i+����5I��(��� ¡§ h��� ��j��29(��)s#W��4��9������%�������#��� ���(*4F(* ���(* t��ar]� 2$�1d@��2=�®��/���(RsKi+���95���(��� �t`�95�(3��� ��)=)9� `����)=�929��/�-������ � ��d (*)u 6 sKë + Rrë v0w#gx y�z ?[��2 + ë µ í § í ´ í! " "

Page 17: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

ã

SL��/���( ´ a�§ ¸ b d ('2���� (; �-��{/F(*2+��?���2=�®����).����� (' �(*29�@��(;��%*-�/���%3� 2��@4�5 6 �©d (*2�§ µ�µ µ 29-� �)�RVa

Â^-��¬/D('2T��?Ld�(*2s����%'(*) § µ § µ µ § µ µ�µ § µ µ�µ µ § µ µ µ µ µb d&��ar �-��{/F(*2+��?���2=�®����) ãWaÜltã ãWa¦Ö ã ª�a¦¨ Ö ãWa ´ ã ã&aÜÐ�§

¾p Á��5�(1%���)=(���?rlonÝ29('� -��®�@2^� 29��4�5�)'hBtÁ뿧���)s#W��4��9������%�������#`i+5�(' �sá��)+��5�({ �-��{/F(*2��@?���&� 4�)'h�)9�¬�95�(�4�2=� /]��/��������p#{��?��1���&� 4���(*)=)�%'� �\]��-�2��@�9��� _��)$��)=#&��4����@����%*������# ú ')� a�ST5�(�)��@�_(��){�929-�(>?[� 2{�95�(> �-��{/F(*2���?^�{-�������4���(�('��� (')*h.)=��/t#��95�(Z��)=#&��4����@����%��� ���('4D(' ���(' �%*(Z��5�(4�2=� /]��/��������p#���?���%*-�/���%�� 2��@4�5Z��4�4�2=�t��%u5�(') 6 ú ')� R 6 ú ')� R�ë ú 'Z5 ?[��2T�®��2=� (3� 29��(*2*a

ST5�(*2=('?[� 2=(�hMi$({ �('(*� ú 5 �929������)X��)s#W��4��9������%�������#>� ,��d (*29��� (¬�9�`� /������� ,�_%'-�/���%1� 2��@4�5yaST5�({(äUW4D('%'��('�Á�����_(���)+��5�-�)����� �(���2+�� �õ�hF/�-����� ��95�(1i$� 2=)=�<%*��)9(@hM��?�('d�(*2=#Z��2=�®�����(Vd ('��� 4�)�����&� 4>� 2X���{-�������4���(�('��� (@h���5�(3�����_(���)+-� �/D��-� ���('�yaK<-�2�(äU�4F(*2=����(* t�u�@���]�@��� 6 � ��d�(* ��� �S��@/���( ´ a�§©RX)95��Qi+)^��5]�@�^��5�(¬(VUW4D('%'�9(*�� �-��{/F(*2��@?��2=�®����)q �('(*��('������� (' �(*29�@��(;��%*-�/���%3� 29��4�5Z��)+��/F� -��^ã l�§�Ð�h�d ('2=#"%*��� )9(<�9� ú 5 ëvã l Ø ¨`a

ºc(_-�)9(���5�(�?[� �����©i+�� ��")s�u�� �����29�c����� ��29���95����9�,4�2=�W��-�%*(���2��@ ���� � 4F(*2=�{-��u�o������ w�@?�� Z��2=2���#�{}��?Lõw('��('�_(' ��9)*¸

|~}��;�����~�6}�� �^�� ���� �_�L(*2=�{-��9( 6 b h]��R� ��} ý+¸ôë µ �9�2��C�§ �6�ç ¸¦ëx29�� �� 6 ý í ��C�§QR«&i.��4 6 b = �"?þh b = 29?OR

�B�ST5���)q%�������)$�{����/�2���2s#�?[-� �%V������ `2��� �� 6 UDhW#�R�i+5���%u5"29(V��-�2= �)T�{2��@ ���� �¿�� t�9(*� ('2q�� ��95�(<29�� �� (� " / a�º�(��� �������������Y*(~{�= ý3?¸¦ëeý�?[� 2 µ�� ý � l�õ�C¬§�ho)=�X�95]�@���X�� ���������(*29�¬-���( 6 b hÜl� �RM2=('�9-�29 �)��2��� ���� �ß4F(*2=�{-��u�o������ >��?�@ µ í § í! " ( �í l�õ�C�§FE1�� >��5�(;��2=2���# b a�K</�d&��� -�)9��# h]4F(*2=�{-����� ���l�õ(*��(*��(* t��)T������(')X�9����(�G 6 õ�Räa

Page 18: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

Ø

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

vertex 0 vertex 1 vertex 2 vertex 3 vertex 4 vertex 5

���� -�2=( ´ a¦lW¸�ST5�(1��29������ ]���F5]����?®np('��� (*)'a

0 7 1 8 3 4 10 16 11 17 13 5 9 14 6 122 15

���� -�29( ´ aÞÐ�¸ b ?O�9(*2T29�� ���� �m4D('29�{-����@����� ya

0 7 1 8 3 4 10 16 11 17 13 5 9 14 6 122 15

multiple edge

loop

�����-�29( ´ a¦ÖW¸ b �-� �)9-�%'%*(*)=)=?[-��L4]����29�� ���a

1 6 9 2 7 4 5 13 15 8 10 12 17 11 14 160 3

���� -�29( ´ a¦ªW¸ b )=-�%*%'(*)=)=?[-���2��� ���� �ß4F(*2=�{-��u�o������ "�� ��Z4]����2=�� ���a

Page 19: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

�3£��¢]G���EgÍ

A{��N�LBL�mÒ<��E��<��G&��G��OB�Ng���]G�£B��¡°�B�EÓ�X�ON���ON�e�����<�O�*G�BLNe�����y����P

Í�J È ² ���­BLE��®G�£�mÊ_�FPQ�yE��O¢]G��OBLN

º�5�(' gi.(Z�u���@(Á�w4D('2=?[(*%V�`�_�@��%u5��� ��w� -��_��?��w%*-�/���%���2���4�5Mhq��?^��5�(�(*��� (')���('?O��?[� 29� ����@�_�������� �%V#W%'��(@hM��5�(' Á��5���)�%'-�/���%¬� 2���4�5Á��)3��������������� ����� "� 2��@4�5ya�º�({-�)=({��5���)^? ��%V�����\] ����^���_�����9� ¬%V#W%'��(')��� �%*-�/���%T� 2��@4�5�)*a­�^�©i.(Vd ('2*h&��?���5�(T2=(*�_���� ��� ��^(*��� (')r���3 �����?[� 2=������@�_�������� �%V#&%*��(@h����$���&(*)$ ����q��(��@ ���5]�o�.��5�(�� 29��4�5`��)$ ��� �5]����������� ����� yaL]� 2$(äU����_4���(�h&��?i$(^�u�@��(+��5�(X4D('2=?[('%'�$���@�9%u5��� ���� ë[@ 6 µ í ltR í�6 § í Ð�R í�6 ´ í Ö R\E<� -�����?yÛ �� _���� -�29( ´ a�§ h���5�(29('���@�� ��� ���(*����(*)X���� ����+?[� 29�ß���^���������9� >%'#&%'��( 6 ��)+�� �L��� -�2=(�l�a�§QRVa�¤.-��+�95���)+� 29��4�5"��)��%V��-]������#`��5]�@�_�������� ��®�� _� 2��@4�5yh]?[� 2T���+5���)������@�_�������� `%'#&%*��( � µ í l í Ö í Ð í § í ´ í µ $�a.¾p ��5���)�%���)=(^i$(�5]��d (X���14D('29�{-��9(^�95�(^��2���4�5��� ���\] ��>�;���@�9%u5��� ��1��?y���$���t���� �-� t�����]i$(^\] ���>���@�_�������� ,%'#&%'��(�a¬¾Ý?�i$(�)=�9������%��@ w ����3\] ��w�>���@�_�������� ,%'#&%'��(��@?O�9(*2��`%*('2=������ � �-��{/F(*2��?4F(*2=�{-��u�o������ �) 6 i+5���%u5>i+��������(*4F(* ��Z� `õ�RVh�i$(3%*� �)9����(*2.�95�(<�� �4�-��T� 29��4�5��9��/D(������@(*��# �� �5]���������9� ����� ya

0

21

3

4 5Unmatched edges

Matching edges

���� -�29(<l�a�§�¸�0<nÄ~ ��)T ����^��������������� �%'#&%*��(�a

�^('29(;��)q��5�(1�@��� � 2=���95��¿�� "� -��9���� �(�?[� 29�Z¸�^�@ ���� �_�L('29�{-����@����� L�� ����� ��t��! 6 0�h� �R

¨

Page 20: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

§ µ§ aX��� ��Z�����oUW���{-�� ���@�9%u5��� ���~�a]¾Ý?r~ ��)T ��@�+4D('2=?[(*%V��h�29(V��-�2= ��s ����+5]����������� ��®�� ���a´ a^!.5�('%u�>����)9('(;��?�0�ns~à��)+���^���������9� `%V#W%'��(@a�¾Ý?�)9��h]2=('�9-�29 ��=5]����������� ��®�� ���al�a b 4�4���#`��29�� ������m4F(*29�¬-��u�@�9��� >�9���95�(3d ('2=����%*(')^��?­0x�9����/��u���� �02��aÐ�aX��� ��Z�����oUW���{-�� ���@�9%u5��� ���~��]��?r0���aÖWa+��?­0�� ns~�����)X���^���������9� `%V#W%'��(@h]29('�9-�29 ��=5]�@�_�������� ��®�� ���aª�aX�+(*4F(��@��lonsÖ�-�4��9��§ µ µ I õ`�����_(') : ��?D ���������������� 1%'#&%*��(T��)�?[� -� ��yht29(V��-�2= ��=4�29��/]��/���#

��@�+5]���������9� ����� ���a¾p �� -�2X����4���('�_(' t�u�@�9��� yh�i$({-�)=(1�95�({(VUW��)=���� ���4�29� � 29��� ?[� 2+\] ����� ��`��29�� ������K�_�oU�n

���¬-�� �_�@��%u5��� ���/t#g��(*%'¯&-�(*-�2>�@ ����3(*%'(*%'��� � ��- 6 )9('(.= ¨-?®RVagº�5�(' ¡�L('%*¯�-�('-�2j�Þ)`%*�&��(Z��)-�)=(*��?[� 2r\] ����� ��;��5�(^���oUW���{-��k�_�@��%u5��� �� )������ ��d (').���"SM('29(* t�$���o��%u5��� �� )*h��� �� (' �(*29���þht?[� 2���"SM('29(* t��4F(*2=�{-���('�wd�(*2=)9���� �)���?qÛ�a{ST5�(V#�����#, �����/F(�%*� ��4���(V��('��#�2��� ���� � �_�oUW���{-���_�@��%u5��� �� )'h�/�-��.��5�(<(äUW4D('29����(* t�����M2=(*)9-�����)q��29(^%*� �)=��)s��(* t�Ti+����5`��5�(<2��� ���� � 5�#&4F����5�(*)9��)*a

Í�J�Ë ² N����V��PQ�OP���N�¡Ñ^�L¢F��E��O�<��N�GfA���Po��*GyP

Í�J�ËMJ È ² ÕL��Ey���­�Ó×�����CM��EeBL°IÒ<��E��<��GW��G��OB�NPÁ×������L���eGyBx�+�ON�|� �����<�O�*GyB�N�^�­�M�&�

¾Ý�+iq�@)^4�2=�©d (*�,/�#Z�+� /��� �)9�� ,�� ��Zº�� 29�_�����>�� �=�§ µ ?���5]�o�X?[��2^�@����� )=�+�@���y%'-�/���%;� 29��4�5�)XÛ� "õ�d ('2=����%*(') 6 õw(Vd (' �RVh]��5�(;(äUW4D('%'��('�, �-��{/F(*2+��?����@�_�������� `%'#&%*��(*)X�� ZÛ���)

7 6 Û1R�� ë�� Ð l��R� p ú�� �´ õ�� `o¡¢&¤£�_ 6 §�U¦¥4&[R9§-¨  ª©

¡ ú ' v ¨(«¬¨ 6 l�a�§QR

i+5�('29(Q­�& 6 Û1RX��)���5�({ �-��{/F(*2<��?rýfC^%V#&%*��(')��� �Û�hBt�&�ë 5 ¨5J& h;¥0&�ë  ')�3¡ ¨ ')�5 ¨ h��� ���� 6 õyR^� �&(*)

������ �\] ����p#�d ('2=#")=���©i+��#�a�X��/��� �)=� `�@ ���º�� 29�_����������)9�;4�29�©d�(*�>�� ®=�§�§g?F��5]�@����5�(^ �-��{/F(*2$��?��_�@��%u5��� �� )��� _Û ��)

� 6 Û¬R � ë � Ð l � � p I ´ ú �3¯�° �� `o¡¢&¤£�_ 6 §LU²±f& Rf§�¨  ª©

¡ ÷ ' v ¨¤³d¨ 6 l�a ´ R

Page 21: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

§ §i+5�(*2=(D±9&yë  

')�3¡ ¨5 ¨ aST5�(,����)=�929��/�-������ I��? ­�& 6 Û1R{?[��2�\WU�('��ý;��)���)=#&��4����@����%*������#���� ��)=)9� fi+���95Ó��(��� �t�&Ýh

��)Á)=5��©i+ }�� ´= §©l-?{�� ��µ= §�ÐF?8aàST5�(')9(j29(V?[(*2=(* �%'(*)�����)9��)=5��©iâ�95]�@�,�95�(�����)=�929��/�-������ e�@?­�_ 6 Û1R í ­�° 6 Û1R íB " ( *í ­�6 Û1R3��29(���)s#&�_4��9������%�������#Z�� ���(*4F(* ���(* t�1?[��2��� t#Á\�UW(*�¶�¬� 2<?[� 2��1ë

� 6 õyR�i+5���%u5���)�)9-�·_%'��(' ��9��#g)9���©i+��#Ó��29�©i+�� ���a ST5�(* ¡��5�(Á4�29��/]��/��������p#j�@?�­¸_ 6 Û¬R,ë ù _�h­�° 6 Û1Rrë ù °Qhya�a�a+h�­

�6 Û1R�ë ù

���)

uA¹¬ºf» ¹ r »�¼�¼�¼ ¹¬½ � ë �¢&¤£V� t¹ ¨&ù &�¾ ú ' v ¨ 6 l�aÜltR

¼�('� 7 ëÀ¿ °_ÂÁ � p ú�à Ä5J` h��� �� 7 ¹ º »�¼�¼�¼ ¹ ½ ë 7YÅ �� `o¡&¤£�_ 6 §�U¦¥4&[R §�¨  ª©

¡ ú ' v ¨(«¬¨ a¼�('� � ë ¿ ° _ Á � p I ´ ú �3¯�° h��� ��Æ��¹¬ºf»�¼�¼�¼�» ¹¬½�ë � Å �� 

`!¡&¤£�_ 6 §LU¦±f& R §-¨  Ç©¡ ÷ ' v ¨¤³d¨ arST5�(*

î � � � 7 � � ë ȹ º » ¹ r »�¼�¼�¼�» ¹ ½3É � uA¹ º »�¼�¼�¼ ¹ ½�X¹qºi»�¼�¼�¼�» ¹

�7 ¹¬ºf»�¼�¼�¼�» ¹¬½ 6 l�aÞÐ�R

�^('29({��5�(���)=#&��4����@����%1����)s��2=��/�-��9��� �)X?[� 2 7 �� ��X� �@29(1?[��23������� )s���@����%*-�/���%{� 29��4�5�)��)Xõ®Ê Ë|h��� �� î �D��(* ��@��(*)��� Z(VUW4D('%'���@����� ,�©d ('2���)9-����u�@/���(�)9-�/�)9(V�<%*�� ������� ��� ��������_� )s������M%*-�/���%�� 29��4�5�)'a

¼�('�XýLë ´ + UÓl�a b )+õÆÊ Ë 6 l�aÞÐ�R./F(*%*���_(')

î � ¿-Ì Í Á � ë Ì Í (VUW4PÎ & É � 6 t�& 6=6 §�U¦¥4&[RfT 6 §�U¦±9&[RÏC¡§ÐC*¥0&�C*±f&OR9R� ë Ì Í (VUW4 ¿ Î # É � � 5b#\e�_a¡ �

 5 p wJÑ º 'Z5a¡ Á

6 l�a¦Ö R

ST5�(T)9���_4�����%*�@����� 3?[� 2 6 l�a¦Ö R?[� �����©i+)?[29� �} ����9�� ��^��5]�@� 6 §�U�¥0&®RiT 6 §�U�±f&[R�C>§�C2¥0&4C2±f&yë µi+5�(' �('d�(*2rýy��)L('d�(* ya­ST5�(T(VUW4D�� �(* t��������(Vd@����-]�o��(*)����3�@/D� -W�q§ a µ ªtÖ ã µ aLST5�(* 6 l�a¦Ö R�/D('%*� ��(*)

î � � � 7 � �ë ´ ú 'Z_a¯�° I õ�W�§ µ ªtÖ ã µ � ë µ Ö@ª Ø µt´ ª I õ

«W�>�@?O�9(*2 µ Ö�ª Ø µt´ ª I õc4F(*29�¬-��u�@�9��� �)X�� ���d (*29��� (;i.(1)95�� -����,\] ������^���_�����9� >%'#&%*��(�aK<-�2T(VUW4F(*2=����(* t�u���D29(')9-�����)T)95��Qie��5]�o�T��5�(���d ('2�����(3 &-��{/D('2 6 �©d ('23§ µ µ µ 2=-� �)uR.�@?�4F(*2=�{-Wn�u�o������ �)< �('(*��('�c/t#��X�� ���� �_�L('29�{-W�u�@�9��� ��� ����� ��t��!e?[� 2<\] ����� ��Z�>���@�_�������� Á%'#&%*��(���)��/F� -�� µ Ö µ l@Ð I õ 6 )9(*(�SL��/���(1lWa�§;�� ������� -�29(<l�a ´ R�a

Page 22: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

§ ´

SL��/���(;l�a�§ ¸ b d�(*2��@� (1 �-��¬/D('2^��?L��2=�®����)q����\] ��Á�����@�_�������� >%'#&%*��(1-�)=�� ���2��@ ���� � 4F(*2=�{-Wn�u�o������ >�_(V��5��&�ya

� 29��(*2+õ ��d&��a� ���ar��?���2=�®����) �©d&��ar ���a���?L�929������)FW�õ ')�3¯J5§ µ § aܪ ´ µ a¦ÖW§ ´´�µ ´ aÜl ª µ a¦Ö ´ ãl µ ´ aÜØ�§ µ a¦ÖW§©lÐ µ l�a ´�µ µ a¦Ö µ ÖÖ µ l�a¦Ö�¨ µ a¦Ö µ 㪠µ l�aܨ ´ µ a¦Ö µ ªã µ Ð�a ´ ã µ a¦ÖW§ µØ µ Ð�aܪ�§ µ a¦ÖW§QÖ¨ µ Ð�a¦ã�¨ µ a¦Ö µ Ч µ µ ÖWa�§ ´ µ a¦ÖW§ ´´@µ µ ãWa µ ã µ aÞÐt¨ ¨Ð µ µ § µ aÜl ¨ µ a¦ÖW§©¨Ö µ µ § § a¦ã�ª µ a¦Ö ´ Öª µ µ § ´ aÞÐ�Ö µ a¦Ö µ Øã µ µ §©l�a�§ µ µ aÞÐt¨tÖØ µ µ §©ª�a µ Ø µ a¦Ö�ª ب µ µ §QãWaÞÐ�ã µ a¦Ö�Ø ´§ µ�µ µ §QãWa¦ã�¨ µ a¦Ö�ª ´´�µ�µ µ ´ ´ aÞÐ µ µ a¦Ö µ µl µ�µ µ ´ ª�a µ ª µ aÞÐ�ã ÖÐ µ�µ µ l�§ aÜØ µ µ a¦Ö µt´Ö µ�µ µ l ¨�aÞÐ Ð µ a¦Ö Ö ãª µ�µ µ Ð µ aܨ Ø µ a¦Ö ´ ¨ã µ�µ µ Ð ´ aÞÐtl µ a¦Ö µ ãØ µ�µ µ Ðtl�a ´ ¨ µ aÞÐtØ l¨ µ�µ µ Ð Ð�aÞÐ�§ µ aÞÐtª ا µ µ�µ µ Ð�ãWaÜØ ´ µ aÞÐ�ã�Ø´�µ µ�µ µ ª�Ð�a ´�µ µ aÞÐ�Ö�ll µ µ�µ µ Ø ´ a¦Ö µ µ aÞÐ�ã�ªÐ µ µ�µ µ ¨�Ð�a¦Ö µ µ aÞÐ�ã ´Ö µ µ�µ µ § µ Ð�aÞÐ�§ µ aÞÐtª ª

Page 23: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

§©l

0

20

40

60

80

100

120

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000

Avg

. N

um

be

r o

f P

erm

uta

tion

Number of Vertices

���� -�29(¬l�a ´ ¸ b d (*29��� (� �-��{/F(*23��?�4F(*2=�{-��u�o������ �)� �('(*��('�w�9�>\] ��w�>������������� Z%'#&%'��(��� ��2��@ ���� �à%'-�/���%�� 2���4�5�-�)=�� ��"29�� ���� � 4D('29�{-����@����� ���('��5��W� 6 ��d�(*2��@� (_�@?�§ µ�µ µ 29-� �)14F(*2�]�@����4D� �� t�äRVa

Í�J�ËMJ®Ë ² ÕL��Ey���­��A1�NN�ON� Å �O�<��°�B�EÓÑ����y£ÓA{�LN��B��ÎÒ<��E��<��GW��Gy�OB�N

b ?O�9(*2+29('�_�©d&�� �����4D('2=?[('%'�^���@�9%u5��� ���?[2=� �m�95�(1%'-�/���%;��2���4�5MhF��?L�95�(;29(*�_���� ��� ���('��� (')^��� ����;?[� 2=� �,���@�_�������� �%'#&%*��(�h�i$(�5]��d�(�����4D('29�{-��9(��95�(���2���4�5c�� ��w\] ��I�� �����5�('21�_�oU�n���¬-����_�@�9%u5��� ���� Á��5�(�4F(*2=�{-��9(*��� 2��@4�5ya{¤$('?[� 2=({4D('29�{-W���� ���hMi$(�� (* �('2��@�9(��`2��� ���� �4F(*29�¬-��u�@�9��� ��@?M��5�(Xõ" �-��{/F(*2=)R@ µ í § í! " ( �í õ CÁ§FE�a�ST5�(' _i$(T�u���@(X�pi$�¬)s��(*4�)��9�;29�� ������_��#4F(*29�¬-���(��95�(`� 29��4�5ya�L��29)s��h��95�(`4F(*2=�{-��u�o������ c��)¬��4�4�����('�c���,�95�(`�� �����d&����-]���r(* t�929��(')��� ��5�(����Q¹9��%*(' �%'#�����)=�9)*a­ST5�(* _�95�(X4D('29�{-����@����� �)r��)r�@4�4�����(*�����;%*2=(��@�9(��� �('i�����4�4��� ��3?[2=� �d ('2=�9��%*(')X�9�����o¹9��%'(* �%V#"����)s��) 6 -�)9�� ��_�� �('i �@292���#>�@?�õ�(*��(*��(* t��)�RVa

b )$����)=%*-�)=)9(*�>�� >!.5]�@4���('2 ´ h�2��@ ���� ����#�4F(*2=�{-��9�� ��;õ,('��(*��(* t�9)�������(')ÐG 6 õ�R­�����_(@ht��5�(\]2=)=�T)s��(*4"�� `4D('29�{-W���� ����¬� 29��4�5`�u�@��(*)q�9����(^G 6 õ�R.�� ��`��5�(<)=(*%'� ��")=�9(*4"����)9�¬������(')q������(G 6 õyRVa�«W����5�(3�9���u���D������(�������(' �����4F(*2=�{-���(;��� 29��4�5"��?Lõ�d�(*2s����%'(*)X��)RG 6 õyRVa

�L('%*¯�-�(*-�2;����d (')^�95�({29-� � ��� ��_�����_(�?[� 2+\] ����� ��>���_�oUW���¬-��ß�_�@��%u5��� ��`�@)^N 6 � I õyR íi+5�('29(2�â��)���5�(� &-��{/D('23��?�(*����(*)*a{���2<%*-�/���%�� 29��4�5�)<�95���)<��)�N 6 õ I õ�RVh�)=�� �%'(��Æë _5 õ�a

Page 24: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

§�Ð!.� ��4]��2=(*��������5]�@�*hq��5�(�������(�������(' ����I4F(*2=�{-���(,��� 2��@4�5���)_29('�®�@�9��d ('��#f)9�_�����þazST5���)� /�)=(*2sd��o������ Z)=-�� � (')=�9)��{i.�©#>�9������4�29�©d (�� -�2+����� ��29���95��Zh���)T����)9%'-�)9)=(*�Á�� Z!.5]��4��9(*2XÐ�a

Í�J�ËMJ�Í �$B�E,��Ç��LED�­�`×���<CM��E�B�°�Ó���E&G��O�y��P�³ ² ���<B�P©G ² ���_�3��CD�O�� _Ey��¢�£P^��E�������<�O�*G�BLN�®�LN

S��1\] �����5�(X4�2=� /]��/��������p#¬��?M5]����������� ���%*���p#¬�� �%'-�/���%^� 29��4�5�)'h&i$(�29�� ���5�(^�^�@ ���� �Ú4F(*2=�{-Wn�u�o������ ���('��5��W�`4�29� � 29��� � `%*-�/���%<��2���4�5�)q2��� ���� ����#�� (* �(*2��o��(*�>-�)9�� ��{��5�(<4�29�&%*(*��-�29(<�@?!.5]��4W��(*2 ´ a��X��/��� �)=� ��� ��,ºc��29�_������4�29�©d ('���� *= § §j?���5]�o��������� )s���@��� ç nÝ29(*��-��®��2X� 29��4�5�)��2=(�5]���������9� ����� Z?[��23�� t#,\�UW('� ç �Àl�?[� 2<)9-�·_%'��(' ��9��#,�®��2=� ({õ�a;ºc(�5��©d�(�29-� ��95���)34�2=�@n� 29���æ§ µ µ µ µ �����_(')�?[� 2$�¬29�� �� (^��?�d@����-�(').��?yõ�h��@ �����5�(<(VUW4F(*29���_(' t�u���F29(')9-�����)T��2=(�)=5��©i+ �� ����� -�29(�l�aÜl�a`ST5�(`��%V��-]����d@����-�(*);��?qõj?[� 2�i+5���%u5w��5�(��]�@���Zi$(*2=(�� (' �(*29�@��('�I��29(_ª�hLØ�h§ µ h�a�a�a�h ´@µ h ´ Ð�htl µ h�l�Ð�htl�ª�htÐ µ h�Ö µ h�a�a�a�h�§ µ µ h]§ ´�µ h�a�a�a�h ´�µ µ a�Â^���9��%*($��5]�@��?[��2­(���%u5�d@����-�(qõ�$v§�Ð µ��(')=�9(*�yh��95�(� �-��¬/D('2q��?������('��#� �� �5]���������9� ����� �� 2��@4�5�).?[� -� ���i$(*29( µ � -��.��?r§ µ µ µ�µ %*-�/���%� 29��4�5�)+� (' �(*29�@��('�ya

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Num

ber

of n

on-H

amilt

onia

n G

raph

s ou

t of 1

0000

cub

ic g

raph

Ô

Number of Vertices

���� -�29(3l�aÜl�¸rÂX-��{/F(*2+��?L �� �5]�@�_�������� ��®�� _� 2��@4�5�)+�� �§ µ µ�µ µ %*-�/���%�� 2��@4�5�)*a

Page 25: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

�3£��¢]G���E Ô

�g��E�½B�Õe��£����ON ² ¢F¢�EDB�y�y£g°�B�EÓ�+�ON����ON�e�����<�O�*GyB�Ne�����y����P

b %'%*� 2=���� ����9�`�L('%*¯�-�('-�22= ¨-?����T�u�@��(*)MN 6 õ I õyRT�9����(<����\] ��Á���_�oUW���{-��m���@�9%u5��� ����� ,�%*-�/���%q��2���4�5�� �õ_d (*2s����%*(*)'hti+5�����(.��5�(q�9����(. �('(*��('��?[� 2­4F(*29�¬-����� �����5�(T� 2���4�5���)¸G 6 õyRVa­¾p ��5�(;29�� ������ß4D('29�{-W�u�@�9��� "��('��5��W�yhW\] ����� ������_�oUW���{-��Î�_�@��%u5��� ����� ��Z4F(*29�¬-����� �����5�(� 29��4�5�5��©d�(����¬/D(X%�������('��G 6 I õ�R­������(*)'a­ST5�('29(�i$� -�����)9('(*�¿���{/F(�2=�W���k���¬���_4�29�©d (X� -�2����� � 29����5���/t#32=(*��-�%'�� ��T�95�(�������(�)=4D(' t��� 3\] ����� ��+�T�_�oUW���{-��e�_�@��%u5��� ��+�� ��;4F(*2=�{-��9�� ����5�(+i+5�� ��(T� 29��4�5yaLST5�(X�� ]����#&)9��)��� >=ÜÖÂ?�)9-�� ��(*)=�9)��� ���4�4�2=�t��%u5�/]��)9('�_�� _�329��4�������#1�_��U��� ��~,��2=���©dÁ%u5����� yhFi+5���%u5,� (* �('2��@�9(*)3 �(*��29��#Z-� ���?[��29� 4F(*2=?[('%'�3�_�@�9%u5��� ���)�)=����2=�9�� ���i+���95Á� -�2� 2=��� �� ]����4F(*2s?[(*%V�¬�_�@��%u5��� ��"/t#����@�&�� ��")9� ��(�%u5]�� ���(*)����Z����a�¾p ���5���);��('�95��&�w�95�(�������(29('¯�-���2=(*�c?[� 23\] ����� ��,���_�oUW���{-��à���o��%u5��� ���/F(*%'� ��(*)1��� �(änÝ�9����(�%'� )=�*a"ST5���);5]��);��5�(4F����(' ��9�®���r����2=(*��-�%*(`��5�(>(VUW4D('%'�9(*�j������(�4D('2=?[� 2=���� �%*(�?[� 2{������� )=�¬�����$%'-�/���%�� 2���4�5�)¬���N 6 õ I õRVaQK<-�23(äUW4D('29����(* t�9)1)=-�4�4F� 2=�3�95�(�5�#&4F����5�(*)9��);�95]�@�3�95�(_~,��29�@�©d�%u5]���� w��('��5��W���%u5���('d�(*)+��5���)T� �t���8a

Ô J È ² ���­BLE��®G�£�mÊ_�FPQ�yE��O¢]G��OBLN

���29)=�r\] ��`��2��� ���� �Ú���QU����{-��À���@�9%u5��� ��1��?D��5�(X�� �4�-���%*-�/���%X� 2���4�5_-�)=�� �����5�(^4�2=� � 29���/t#���(*%*¯�-�('-�2M=Þ¨Â?þa­¾Ý?��95�(q�_�oUW���{-��}�_�@��%u5��� ��<��)���4F(*2s?[(*%'�r�_�@�9%u5��� ���h@�u�@��(q��5���)­�_�@��%u5��� ��� -��L��?��95�(�%*-�/���%.� 29��4�5ya�¾Ý?]��5�($2=(*�_���� ��� ��+(*����(*)L?[��29�}���^���������9� �%'#&%*��(�ho��5�(' ¬��5���)L��2���4�5��)�5]����������� ��®�� yaM¾Ý?]��5�($���@�9%u5��� ��^��)L ��@���^4F(*2s?[(*%V�­�_�@��%u5��� ���hQ��5�(' {��5�($� 2��@4�5¬��)L��(V\] �����(*��# ����15]����������� ��®�� ya�«&��? ��23��5���);��)3��5�(�)��@�_(_��);�� ���5�(�4�29(Vd&��� -�)¬��4�4�2=�t��%u5ya`Â^�©i¿��?$��5�((*��� (*)T2=(*�_���� ��� ��1�@?O��('2q29('�_�©d&�� ��;��5�(34F(*2s?[(*%V�T���o��%u5��� ��¬���� ����.?[� 2=�m�¬������������� �%'#&%*��(�h

§QÖ

Page 26: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

§©ªi$("�92��� �)=?[� 2=�Æ�95�(>4D('2=?[('%'���_�@��%u5��� ��,�9���@ �����5�(*2{� �(>/�#c29('�_�©d&�� ����@ ��j�������� ���)9���_((*��� (*)3���`�95�(�� 2=��� �� ]�������@�9%u5��� ���hM��5�(* �%u5�(*%u�Á�9�>)9('(���?ri.(�5]��d (�� �@���>������������� �%'#&%*��(�a¾Ý?­ ��_�^���������9� `%V#W%'��(�5]��)+/F(*(' �?[� -� ����o?O��(*2^Ö µ I õ�4F(*2=?[('%'�X�_�@��%u5��� �� )'h���5�(��� �4�-��+%*-�/���%� 29��4�5"��)q�95�(* �%*� �)=����('29('�Z�9��/F(�������(*��#` ��� �5]����������� ����� ya

¾p %=Üã�?T«W�� �%*�®�@��2;��('\] �(*�¦��# 6 Û¬R�����/F(`��5�(`)=('����?X�_�@��%u5��� �� )1��?X)9��Y*( + �� jÛ �� ��j�~,��2=���©dI%u5]�@�� ²�ÖÕ�×\Ø 6 Û1R;i+���95I)=�u�o��(>)94���%*(>s ëÙ�X` 6 Û1R¸ÚÛ�X`-')� 6 Û¬Räa�ÂX����(��95]�@�2s�� �%*��-���(*)1��-WUW�����®��2s#Á)s�u�@�9(*)¬�� ��95�(`~���29�@�Qd�%u5]���� yh� ����_('��#� �(���2=��#tnp4F(*2s?[(*%'�1�_�@��%u5��� �� );�� Û�a­SL29�� �)=������� �)��� ���5�(^%u5]���� `��29(@¸­�� _�� t#�)s�u�@�9( � Üs í %u5��&� )9(<�� �('��� ( ú ë 6 ö í üWRH î-� ���?[� 29����#_�@�X29�� ���� �Zh��@ ��Z�95�(*

§ a+��?�� ��X` 6 Û1RT�� �� ú ��xhF���©d (3����)s�u�@�9(D� � ë%� C ú

´ a+��?�� ��X`�')� 6 Û1RT�� ��"öh]ü`��2=(3-� ��_�@��%u5�('�,�� >�Àh��_�©d (3�9�����]ë%� U ú

l�a+��?A� ���`-')� 6 Û1RVhWö���).�_�@��%u5�(*�>����ÿe�� O�Àh��@ ��>ü_��).-� ����@�9%u5�(*�"�� >�Àh����Qd�(��������ë 6 � U ú RÏC 6 ö í üWR

�a+�� ��@���M�@��5�('2X%*��)9(')*h����� ����95��� ��

º�(X���&����?O#���5�(^�@��� � 2=���95��}/�#�«W�� �%'�®����2L?[� 2�(0·�%*��(' �%'#�hW��/��u���� ��� �����5�(T?[� �����©i+�� ��<����� � 29����5��?[� 2q�92��� �)s?[� 29���� �����4F(*2s?[(*%V�^�_�@�9%u5��� ����� ��9���� ����95�(*2+� �(�¸Ý }Â�B���Z�~�~}Â�ÜÞ�}�ß�àAá � ��}�â Ý �Z} � �Z�FãÂäåß�ão�-æ~ç3à6èAé4êÜëAäíì

§ a^!.5��&� )=(1�{d�(*2=�9(VU � �@?­Ûk�o�^29�� �������a�¼�(V�^ü{ë � h 6 ü í öDR�Ü�ÀhF�� ��Æ����ëî�Àa

´ aX¼�('�� � ëï� � C[@ 6 ö í üWR4E�ag¾Ý?<(* t��('29�� ��w?[2=� � )=�9(*4¡l�h$)=i.��4g�95�(,2=� ��(')��@? � �� ��üIi+���95�4�2=� /]��/��������p# µ ÖWav¼�('� è í �ñðë üj/F(Á���Q¹9��%*(' �������öa|¾Ý? è � 2���ë � h+��('�����ëÖ����Ú�@ 6 ö í � R4E¬�� ��"2=('��-�29 Æ���Oh�i+5���%u5� ��©i|��)T4F(*2=?[('%'�*a

l�a^«W('��('%'��ÿïµ@ è í �!EÁ�@��29�� ���� �Zh$�� �� / )9-�%u5f��5]�o� 6 ÿ í / Rò���Oh$�95�(* f��(V����Xë���FÚX@ 6 ö í ÿ3R\E�a­¼�('�Xü�ëzÿ}�� ��Zö>ë / �� ��Z� ������)=�9(*4 ´ a

Page 27: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

§Qã¾p Z�95���)+4�2=�W%'(*��-�29(�hFÛ���)X��%'-�/���%;��2���4�5��� ��ó� ��)+��4D('2=?[(*%V�X���@�9%u5��� ����@?­Û�a����� -�29(

Ð�a�§�)=5��©i+)�5��©i¿� �(�4F(*2s?[(*%V�����o��%u5��� �����)1�92��� �)s?[� 29��(*���� t���,�� ����95�(*2'a�¾p 6 �tR � ëKÖ"��)%u5�� )=(* ��@��2��� ���� � ��)_�95�(,)s�u��2s���� ��c4F� �� t�*ae¾p 6 /�R��_�@�9%u5��� ��w(*��� ( 6 Ö í ´ R���)�29(*���©d ('���%'%*� 2=���� ��Z���Á)s��('4 ´ aZ¾p 6 %�R µ ��)1%u5���)9(* f�@�12��@ ���� � ?[29��� @ µ í §FE>�@ �� 6 µ í ´ R3��)1������('���%'%*� 2=���� �������)=�9(*4�l�a+¾p 6 ��RT���o��%u5��� ��_('��� ( 6 µ í l RT��)^2=(*���©d (*� 6 )=�9(*4 ´ RVh��� 6 (©R 6 l í Ö Rq��)������(*� 6 )=��('4"ltRVh&�� �i+5���%u5�4D� �� t�$�95�(�%'-�292=(* t�T�_�@��%u5��� ��;��)�29('�9-�29 �(*�"��%'%*� 2=���� ��;���{)s��('4 ´ a

0

1 2

3

4 5

0

1 2

3

4 5

0

1 2

3

4 5

0

1 2

3

4 5

0

1 2

3

4 5

(a) The original perfect matching

(d) Remove (0,3) from M(c) Add (0,2) to M

(e) Add (3,5) to M

(b) Remove (2,5) from M

���� -�29(�Ð�a�§ ¸ b 4D('2=?[(*%V�¬�_�@�9%u5��� ��"��?q�Z%'-�/���%_� 29��4�5���29�� �)=?[��29��(*�w�� t������ ����95�(*2�4F(*2s?[(*%'��_�@��%u5��� ���� ���%*-�/���%�� 2���4�5Z�@?­ª�d ('2=����%*(')*a

]� 2;�Z� 29��4�5�i+5���%u5w5]��)1�"4D('2=?[(*%V�¬�_�@�9%u5��� ��"/�-W�1��)� ����;5]����������� ����� 6 �� w(VU�����4���(��)1)95��©i+ j�� ����� -�29(�Ð�a ´ RVh­��5�(`SL29�� �)s?[� 29�_�L('2=?[(*%V�ä~,�o��%u5��� ���4�29�&%*('��-�2=(`i+�����r �(Vd ('2�5]�����*a«W��i$(;���&����?O#���5�(;4�29�&%*(*��-�29(3����5]�@���+�� ��Z2=('�9-�29 ¦�=������('��#_ �� �5����_�����9� ��®�@ ��¬�o?O��(*2XÖ µ I õ4F(*2=?[('%'�X�_�@��%u5��� ���5]��d (;/D('(* "��(')=��('�Á�� ��Z ����^���_�����9� `%'#&%'��(3?[� -� ��Ma

Page 28: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

§©Ø

ôÏõhö�÷�øiù ú�ûÇüZý�þYÿ���ÿ�������õ������ÿ�õ�-ÿ��j÷� �õ���ö�ø�������Ðõ��������ùjø��¬ù���������������õ(ÿ�ö�û����ù! �õ#"<ùgøiùjÿ��jù! �ù��$��ùjùjÿ����õ�%�������ø�&�����'�Fÿ� (���ù!)*�Fÿ� ��&�,+Aùgø��÷-�����iõ���ÿ�������ø�&������õ�%

�������.��ù/�Føiù0����1�õhÿ�ö2%�������3���4�Fÿ�ö�ù�%.��2����ù!��ùjø��¬ù����5���������õhÿ�öDõhÿ�%�� ù6�� ����7�Vùgø��÷-� õhÿ�ö2����ùö�ø�����8�-ÿ� �9)ÿ� �õhÿ�ö������;:�õ���÷��<���;������õ(ÿ�ö��-ö=�Fõhÿ>��ÿ>����ù?�Vùgø��÷��iù� óö�ø������;û�@bÿ=� ÷�õ#� õ�AFù��#B&C����õ�%7%���F÷��� D%��6A�ùE%�&�QùF� õ���ù-û7G�ùF�Ðõ����& �õ�%H�j÷�%H%I���ù¸ùJ:-�Vùgøiõ���ùgÿK�������#B0�& �%iùjø�A�ù� 2�VùgøH�L��øH���-ÿ��jùõhÿ����ù�ÿ�ùJ:M�*���4�����iùjøgûNPO�Q RTS7U0VXWZY []\_^`[bacWZd<^fe]gPW_h7[ h7i7W j�YlknmcknopeIqr^se�hltpi7knoPm h7[ u5kno7g

v o7[7h7i7W3Ys^se�h7tbiPkno7m

@bÿw%H�iù��¶ü����x�Aø�Fÿ�%��L��ø��+AùgøH�¬ù��J�Jy��;������õ(ÿ�ö�Cl�Hù����zAFùT{}|~�� �Fÿ� ����ù���ø�M�jù� �÷�øfù2�Ðõ����7� ùgø���Qõhÿ4���iùDõ#��{>��ø �?~�� û�@���ù�AFùjøHB8%H� ù���õ�%^ø��-ÿ� ��&�>Cb����ù����4�Fÿ��gùT���E�iùjø�Qõhÿ���� õ���ÿÆõ�%��� ûDG¶ù�6�����P��%H�iù��������~ø��-ÿ�%H�L��øH��+~ùjø��¬ù�����y��������õhÿ�ö'�T���zAFùFûD�M���Hù�ù�:-�Vù����0�������1-ù � � ���zA�ù�%����øiù��������Fÿ������ùjø5��ùjøH�¬ù����*����������õ(ÿ�ö�û

� ÷�ø ùJ:-��ùjøiõ���ùgÿ=������øfù�%f÷����%��qôÏõ(ö�÷�øiùDú�û��=�*%���z�����4����õ#�0����1Fù�%D�� 3��÷��!�����=�;�}���zAFù�%0���9)ÿ� ��Fÿ�������ùgø*��ùjø��¬ù��J�����������õhÿ�ö�ûNPO#� RTS7U0VXWZY�[]\w�?Ylk�e]qKd(o7WZWZgIWZgshl[�u5kno7g�e��2eIU0knq�hl[]o ��¡ctpqKW

G�ù!�6�����X����ùD��ø�M�jù�%H%5���P���4�Fÿ�ö�õ(ÿ�ö¢���VùgøH�¬ù����5����������õ(ÿ�ö�õhÿ=��¢�Fÿ������ùjø���ùjø��¬ù����*����������õhÿ�ö��� øfõ���3û!��õhÿ��gù�����ù?� ø��-ÿ�%iõ#� õ��Fÿ�%��-øiùDø�Fÿ� �����C3�Hù2����ÿ�%fõ� �ùgø�����ù��VùgøH�¬ù��J�!����������õ(ÿ�ö��� ����Fõ(ÿ�ù� ���n�iùjø�����ù*9)ø%�����ÿ�ù����? VùRù�%H%iùgÿK�iõ������B2ø�Fÿ� ��&�>û�þ�%E%H���z�Ðÿ�õhÿ(£E�4�����iùjø.�-CM���ùMù�:���ù��J�����iõ���ÿ���x����ùQø��;� õ������E���ù�ÿ�÷��� VùgøD���.��ùjøH�¬ù����D����������õ(ÿ�ö&%0��>���ù2ÿZ÷��2 Vùgø/����¤�����õ������ÿ8��BM���hù�%õ�%����¥���&¦&�,ü��M§ �¨�L��ø��������&%��*�����l�g÷� �õ��Dö�ø������%gû*@��c��÷�ø*�VùgøH�¬ù��J�0����������õhÿ�ö&%��Føfù?���&�����hù��iù��#B

Page 29: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

§©¨

0

100

200

300

400

500

600

700

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Avg.

Num

ber o

f Tra

nsitio

ns

Number of Vertices

���� -�29("Ð�aÜl�¸ b d ('2�����(, �-��{/F(*2_��?3���Qd�(*)_ �(*('��(*�g�9�c2=(���%u5¡�@ �����5�(*2�4D('2=?[(*%V�`�_�@��%u5��� ��?[29���ß��4D('2=?[(*%V�X���@�9%u5��� ���a

2��@ ���� � �� ����� ���('4D(' ���(' ��q��?�(��@%u5>����5�('2*h���5�(' `i.(Xi.��-����` �(*(*�>�� `��d ('2���� ( µ Ö@ª Ø µt´ ª I õ��2=�®����)����1\� ��>�{�^���_�����9� �%'#&%*��(��� �������� )s�.�@���]2��@ ���� �¿%*-�/���%^� 2���4�5�).� _õ�d�(*2=�9��%'(*)*a�K<-�2(VUW4F(*2=����(* t�u���$�]�@��� 6 )9('("�����-�29(_Ð�aÜÐ��@ ��IS��@/���(`Ð�a�§QR�)95��©i+)���5��@�{��5�(>��d (*29��� (" �-��{/F(*26 �©d�(*2;§ µ µ µ 2=-� �)uRq��?L��2=�®����)$?[� 2q\] ����� ��_��������������� �%'#&%*��(;��)+��/F� -�� µ Ö Ö�Ø ª I õLa

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000

Num

ber o

f Tria

ls

Number of Vertices

���� -�29(�Ð�aÜÐ�¸ b d ('2�����(Z �-��¬/D('2��@?^�929�®�@��){ �('(*��('�Ó�9��\� ��g���^���_�����9� c%V#W%'��("�� f��%*-�/���%� 29��4�5"-�)9�� ���~,��29�@�©d"%u5]���� "��('�95��W�Ma

Page 30: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

´�µÔ J Ô Ò<B�PQPQ�OCM���c�u��¢FEDByÕ����<��N�GI�>�®G�£gÊ����t�W���F�¡�����<�O�*GyB�Ne�����y���I��£���y½��ON�

ST5�(T4F(*2s?[� 29�_�� �%'(q��?]��5���)���4�4�29�t�@%u5���)­�{-�%u5�/F('�=��('2���5]�@ {��5�(q4�29('d&��� -�)�� �(@a��^�©i$('d�(*2�i.((VUW4���� 29('���95�(+4D��)9)9��/��������p#;��?D����4�29�©d&�� ��3���­?[-�2s��5�('2r/�#{��(*���©#&�� ��3��5�(+%u5�('%u�&�� ��¬�@?y�^���_�����9� %'#&%'��(*)'a

¾p ���5�(�� 2=��� �� ]���]����� � 2=����5���h�i$(<%u5�('%u����?M��5�(�29('���@�� ��� ���(*��� (').?[� 2=�¿�{������������� �%V#&%*��(�@?O�9(*2>('d�(*2s#¡��29�����þaÀ¾Ý�"�_��� 5t�>5]��d (�i.��)=�9(*�|)=� ��(Á������(Á�� z%u5�(*%u���� ��j���&�j)9�&� yh^/D(V?[� 29(��5�(_4F(*2s?[(*%'�¬���o��%u5��� �����)12=(�������#,�� ���('4D(' ���(' ��{��?.�95�(�4�2=('d&����-�)1�� �(�aZ«W�� �%*(���5�(`��d ('2���� ( �-��{/F(*2`�@?3��29������)���) µ ªtÖ@õ�hTi$(Á��2=��(*�g��(*���©#&�� ��c��5�(�������������� f%'#&%'��(Á%u5�('%u���� ��j-� t�������%*('2=������ " �-��{/F(*2T��?�929�®�@��)*hW)���# ù õ 6 ù � µ ª Ö RVhW5]���Z/D('(* "%*� ��4���('��('�")9�� �%*(<��5�(3�®��)s�+%u5�(*%u�a

¾p j� -�2¬(äUW4D('29����(* t�9){i.(`�9(*)=�9(*�j)9(Vd ('2����.d@����-�(*)¬��? ù a�ST5�(�29(*)=-����9){?[� 2 ù ë µ l��� ��ù ë µ ª�h i+5���%u5_��29(T�p#&4���%*���þh ��29(+)95��Qi+ ��� ����� -�2=(qÐ�a¦ÖWa b ������?F��5�(*���9�W� �1�_��29(q�����_($��5]�� ��5�({����� � 29����5��Îi+����5� ��`��('�®��#"�� �%u5�(*%u���� ���a<ST5���)���)^/F(*%*��-�)9(¬%u5�(*%u���� ��"������������� "%'#&%'��(*)���&(*)� �����������(��"�����3�@?.�����_({�� ���i.(��_��� 5t�35]��d (�����)9)=(*�w)9� ��(�%��@)9(*)1�� �i+5���%u5�� ���#��?[('ie��29�� �)9������� �)qi$(*29(��_����(@a

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

Run

ning

Tim

e (s

ec.)

©

Number of Vertices

w/o delayed checkingdelay 0.3*sqrt(n)delay 0.6*sqrt(n)

���� -�29(�Ð�a¦ÖW¸��+-� � ��� ��������_(���?;��(*����# (*�z%u5�('%u�&�� ��Id&)*aÀi+����5���-��>��('�®��# ('�e%u5�('%u���� ��I?[� 2���@�_�������� `%'#&%*��(*)'a

Page 31: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

´ §

SL��/���(�Ð�a�§ ¸ b d ('2���� (� &-��{/D('21�@?q��2=�®����)��9�Z\� ��I�,�^���������9� �%'#&%*��(�-�)=�� ��,~,��2=���©d�%u5]���� ��('��5��W�ya

� 2=��(*2Tõ �©d&��ar ���a���?��929�®�@��) ��dW��a� ���ar��?���29������)�W�õ ')�3¯J5§ µ µ Ð�aܨ�ÐtØ µ aÞÐt¨�ÐÖ µ µ § § aÜl ´�µ µ a¦Ö µ ª§ µ µ µ §©ª�a¦ã ´ ´ µ a¦Ö ´ Ø´@µ µ µ ´ Ð�aܪtã�l µ a¦Ö ÖW§l µ µ µ l µ a ´ ã Ö µ a¦Ö Ö ´Ð µ µ µ l l�aÜl µ l µ a¦Ö ´ ªÖ µ µ µ Ð�§ a�§ ´ § µ a¦Ö�Ø�§ª µ µ µ Ð�ÖWa¦ãW§©Ø µ a¦Ö�¨ µã µ µ µ Ð�ÖWa�§©¨�§ µ a¦Ö@Ð µØ µ µ µ ÖW§ a�§Qã@Ð µ a¦Ö ã ´¨ µ µ µ Ö�l�a µ ¨ ¨ µ a¦Ö Ö�¨§ µ�µ µ µ Ö�¨�a µ ª ´ µ a¦Ö�¨ µ´�µ�µ µ µ Ø µ a¦ã µ § µ a¦Ö ã µl µ�µ µ µ Ø Ø�aÜl ª µ µ a¦ÖW§ µÐ µ�µ µ µ § §QãWa¦ã�ª µ µ a¦Ö�Ø ØÖ µ�µ µ µ § §©¨�a�§©Ø µ µ a¦Ö�l lª µ�µ µ µ §�ÐtØ�aܨ l µ µ aܪ µ Øã µ�µ µ µ §QÖ ÖWa µ Ð µ µ a¦Ö�Ø ªØ µ�µ µ µ §�Ðt¨�a µ ª µ µ a¦Ö ´ 㨠µ�µ µ µ §©Ø l�aܨ µ µ µ aܪ�§©l§ µ µ�µ µ µ §©Ø ¨�a�§ µ µ µ a¦Ö�¨ Ø

Page 32: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

�3£��¢]G���E Ù

�3B�N�y���Po�OBLN

Ù J È ��B���¢���E��OPoBLN¡B�° Å �_B ² ¢F¢�EDB�y�y£�FP

b )�i$(���(* t����� �('�f(*��29����('2*h���5�(Z���"SM('29(* �%*("/D(V�pi.('(* g�95�(*)=(��pi$�c�@4�4�29� ��%u5�(*)_��){�95]�@��i.(4F(*29�¬-���("��5�("i+5�� ��(���2���4�5Ó�� ��f\] ��g���_�oUW���{-��â���o��%u5��� ����� Ó�����@�t���� j�� f�95�(Z\�29)=���4�4�29�t��%u5Mh]�� ��`�_���@(<%u5]�� ���(*)q���1��5�(3� 2=��� �� ]���]4F(*2s?[(*%'�q���@�9%u5��� ��¬���{��('�+�� �����5�('2.4F(*2s?[(*%'��_�@��%u5��� ����� I��5�(Z)=(*%'� ����@4�4�29� ��%u5yaÓ¤$#I-�)=�� �����5�(�~,�@29���©dj%u5]�@�� Ó��4�4�2=�t��%u5yh�i.(Z%��������5�(�?[-� �%V������ c?[� 21\� ����� ����,���QU����{-�� �_�@��%u5��� ��Á�� ���#w� �%'(�h�i+5�����(�-�)9�� ��Á��5�(�2��� ���� �4F(*29�¬-��u�@�9��� ���('�95��&�{i.(+(VUW4F(*%V�$�9�;%*�����&��5�(T?[-� �%'����� {?[� 2­\] ����� ����3�_�oUW���{-��À�_�@��%u5��� ��G 6bI õ�RX�9����(*)*a1�^('29({i$(��� t����%'��4]�o��({�`)=��� ���\]%*�� t�34D('2=?[� 2=���@ �%*({���_4�29�©d ('�_(' ���?[29� �K��5�(~,��2=���©d"%u5]���� Z����� ��29���95��ZaLST5�('29(;)95���-����Z����)9��/F(;)=� ��(34D('2=?[� 2=���� �%*(3����4�2=�Qd�(*��(* t�+��-�(�����_������ ���%u5��� �� (')X�9���95�(�� 29��� �� ]�@�D�_�@��%u5��� ����©d ('2^4F(*2=�{-��9�� ��{�95�(3i+5�� ��(�� 29��4�5ya

¾p Á� -�2^(VUW4F(*29���_(' t��)*hF��5�(;�����_(��u���@(* ,?[��2^\] ����� ����_�_�oUW���{-�� �_�@�9%u5��� ����� ,��%*-�/���%� 29��4�5�-�)=�� ��"��(*%*¯�-�('-�2j�Þ)¬%'�W��(¬iq�@);��/�)9('2=d ('�w�9�>/D(��@4�4�29��UW���_�@�9(*��# ù õ �b¼ _ a¬«W�>��5�(¬���������29-� � ��� ��¬�����_(X?[� 2$�95�(32��� ���� � 4D('29�{-����@����� `��('�95��W����)q�@4�4�29��UW���_�@�9(*��# ù õ �b¼ ª a¸K<-�2.�]�@�u�6 L��� -�2=(�ÖWa�§QR<)95��©iÚ��5��@����5�(������_(�-�)=(*��?[��2��95�(�~,��29�@�©d�%u5����� ���4�4�2=�t��%u5���)�� ���#������9����(��� 29(q�95]�� ����� �(���2'a�ST5�(T�9����(q)���d ('�`/t#�-�)=�� ��3��5�(�~���29�@�Qd�%u5����� _��4�4�2=�t��%u5���)r)=��� ���\]%��@ ��*a

Ù J�Ë É ���M½LG�Ey���M½��ON� �<�]G�£BL� GyB �����L���ON�� �O°�� ���O½����V� NB�N£����<�O�*G�BLN��®��N�­Ey��¢F£Ó�OP����MGy������V�z£����<�O�*GyB�N�®��N

º�(^%'� �)9����(*2$��� 2���4�5��9�¬/F(X�����@(*��#{ �� �5]�@�_�������� ��®�� {�@?O��('2$�;%*('2=�u�@�� � &-��{/D('2$�@?M��2=�®����)�5]��)? ������(*�Ma�«W�� �%*(��95�(`��('��5��W��){��29(`29�� ������_��Y*(*�Mh­ ����_�@�9�9(*2¬5��Qi �_�� t#��929������)1��29(�29-� yhr�

´ ´

Page 33: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

´ l

0

50

100

150

200

250

0 100 200 300 400 500 600

Avg

. ru

nn

ing

tim

e o

f 1

00

0 r

un

s (m

s)

Number of Vertices

AS ApproachPermuting Graph

���� -�29(�ÖWa�§ ¸r�+-� � ��� ��������_(<%'� ��4]��29��)9� "��?��pi$����4�4�29�t�@%u5�(*)'a

������('��#� �� �5]���������9� ����� �� 2��@4�5`����� 5t�$)=�������]��-�29 `� -W�.���1/D(�5]���������9� ����� yaST5]�@�.��)$i+5t#�i.(%��@���&��� 29��4�5�«­¬�®tòJ«­¯!°Mï;°�±�²�³�¬n«­´pï;°4¬µ²�°<�o?O��(*2��5�(q4�29(')9%'29��/F(*�¬ &-��{/D('2­��?��o�9��('�_4W��)­�o�L\] ����� ���{�^���_�����9� �%'#&%*��(<5]��)�?[� -� ��` �� �(�a­º�(<-�)=(*�"�¬/���%u�t��2��@%u�&�� �����('��5��W�����{��(V��('29���� �(X��?�������('��#_ �� �5]�@�_�������� ��®�� �� 2���4�5Z������5��T��%'�9-]������#�/F(�5]����������� ����� ya

ST5�({����(����@?���5�(1/]��%u�t��29��%u���� ��>��('�95��W��?[� 2�)=(���2=%u5��� ��_?[� 2<�`�^���������9� "%'#&%*��({��)+d ('2=#)9���_4���(�a$«&����2=�9�� ���?[2=� � ��d (*2s��(äU,ü��©h�i$(¬��2=/����92���2=����#�%u5��&� )=(¬�� Z(*��� ( 6 ü-� í üÂ&[RT��)+��5�(�\�29)=�(*��� (��� I��5�(Z4]�@�95g�� ��Ó2=(*%*��29�Ó�95�(Z%*-�2=29(* t�_4]�@�95yh$�95�(���(* ��@��5j��?��95�(Z4]�@��5Ó�� ��ji+5���%u5d ('2=�9��%*(')^5��©d�(�/D('(* ��92���%u�@(*�ya�ST5�(' ,��2=/����92���2=����#_%u5��W� )=(;��d�(*2s��(VU�ügc^?[29���Î��5�(�d�(*2s����%'(*)T���i+5���%u5,üÂ&���)X%'� � �('%'�9(*���� ���üjc2ðë|ü��©hF�����,ügc�������5�(1%'-�292=(* t�<4]�o��5Á�@ ��,-�4F�]�@�9(;�95�(;4]�@��5�� W?[� 29�_�@����� ���%*%'� 29���� �� ��# ar«��u��2s���� ��1i+���95`ügcQhW(���%u5`�9����(Xi$(<%u5��&� )=(3�1d ('2=�9(VU>ü�#��9�1i+5���%u5ügc<��)X%*� � �(*%'�9(*���@ ��,ü�#ðë|üÂ&L�9�`������������5�(1%'-�292=(* t�<4]�o��5,��?­������ ���)9��i+�����M ����^29-� ��� t�����)9����-]�@�9��� >�� `i+5���%u5"i$(15]��d�(��9��� ��/]��%u���9�_�{d�(*2=�9(VUZi+5���%u5Z��)+����2=(����W#`�� >�95�(�4]�@��5Ma�¾Ý?�@�+��%'(*2=������ >4F� �� ��*hWi$(�5]��d (� ���%u5�� ��%*(3/�-��+��� �� ��¬/]��%u���9���¬d (*2s��(äU"i+5���%u5"��)q����2=(�����#��� ��5�(�4]�@�95yhW�95�(* _i.(</���%u�_-�4`� �(^)=��('4>�� ���5�(^)9(��@29%u5Z�� �����2=#��� ��@��5�('2.4F� )9)=��/���(^/�29�� �%u5`�@?��5�(;)=(���2=%u5,��2=(*(@a$¾Ý?L��5�(�4]�@�95���(* ��@��5"��)+õw�� ��"��5�(�����)=�+d ('2=�9(VUZ�� >�95�(14��@��5Z��)T%'� � �('%'��('�

Page 34: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

´ Ð/]��%u���9��ü���hL�95�(* w��5�('29(���);�Z������������� �%V#W%'��(@a`¾Ý?qi$(_5]��d�(�(VUW4���� 29('��������4D��)9)9��/���(�4��@��5�))=����2=�9�� ���?[2=� �mü��Xi+����5" ���)9-�%'%*(')9)*h���5�(* "��5�(�� 29��4�5Z��)T �� �5]���������9� ����� ya

ºc(�5]��d�(_ ��@��(*�w��5]�o����(*%'������ ��>��5�(�(VUW��)=��(' �%*(���?q�Z�^���������9� Á%V#W%'��(��� w�� ���2=/����92���2s#%*-�/���%<��2���4�5���)T�� sÆu<np%*���_4���('�9(�4�2=� /���('��a�K< "�¬�®��2=� (� �-��¬/D('2q��?�d ('2=�9��%*(')*h��95�(<4F(*2=?[��2sn�_�� �%*(3�@?L�95�(�/]��%u�t��29��%u���� ��_)9(��@29%u5������ ��29���95�� ��)qd ('2=#"/]�@�yar¤.-��+��5�(;���W�&�> �('i+)X��)q�95]�@�?[� 2��®�@29� (�õI��5�(_)9(*��29%u5c?[��21�Z���@�_�������� �%'#&%*��(_��);¯�-�����(�������(*��#,�9�,/F(_)=-�%*%'(*)9)s?[-��þa>¾p �� -�2(VUW4F(*2=����(* t��)'h�i.(;�����" ��@�+5]��d (�����%������M��5�(;/���%u�t��2��@%u�&�� ���4�29� � 29���ß�o�X�����y�� Z����29��(3õ�a

¾p c� -�2;(äUW4D('29����(* t��i$(_�����w\� ���)=� ��(�5����_�����9� ��®�@ Á� 2��@4�5�);����� ��>��5�(�������('��#, �� Wn5]����������� ��®�� f� 2��@4�5�)*a}SL��/���(�ÖWa�§�� ��d�(*)��95�(� �-��{/F(*2>5]����������� ��®�� j� 29��4�5�)"����� �����5�(������('��#_ �� �5]�@�_�������� ��®�� �� 2���4�5�)T�� �§ µ µ�µ µ %*-�/���%3� 2��@4�5�)T��(')=��('�ya

SL��/���(�ÖWa�§�¸cÂX-��{/F(*2>��?�������('��#f �� �5]���������9� ����� Ó��2���4�5�)>�� v§ µ�µ µ µ µ %'-�/���%Á� 2��@4�5�)"�� �� �-��{/F(*2+��?L5]����������� ����� ���2���4�5�)^�@�_� ��{��5�(�������('��#` �� �5]����������� ��®�� _� 2���4�5�)*a

�-��{/F(*2+��?L������('��#` �� �5]����������� ��®�� �-��{/F(*2+5]�@�_�������� ��®�� _� 2��@4�5�)X����� ��� 29��('2+õ � 2��@4�5�)+�� �§ µ µ�µ µ µ %*-�/���%�� 29��4�5�) ��5�(�������('��#_ �� �5����_�����9� ��®�@ �� 29��4�5�)

ª µ µØ §�ªtÖ ÐtÖ§ µ §©l�¨tã ¨§ ´ §©ª�l Ø §§�Ð §©l ã ´ µ§©ª § §©Ö ´ µ§©Ø Ø�¨tã µ´�µ ãoÐtª µ

Ù J�Í ��B�N�y���PQ�OB�N���N�¡°���G��E��c�O��¢FEDByÕ����<��N�G�P

¾p I��5���){��5�(')9��)*hri.("��(')9%*2=��/F(*�Ó���_(V��5��&�I?[� 2{2��@ ���� ����#�� (* �(*2��o���� ��w%'-�/���%>� 2���4�5yh���5�(' �pi$���_(V��5��&��).?[� 2�\] ����� ����^���_�����9� _%V#&%*��(')+�� ��>5��©i���5�(<)9('%*� ��"��('�95��W�>��)./F('�=��(*2$��5]�� ��5�(�\]2=)=�1� �(�?[� 2�2��� ���� � %*-�/���%�� 2��@4�5�)*a`��� ]�@����#,�� �(VUW5]��-�)s����d (�)=(���2=%u5I����� � 29����5��æ?[� 2��(V��(*2=�_�� ��� ��{��5�(�5]����������� ���%*���p#���?�����2���4�5"i.��)+����)=%*-�)=)9(*�Ma

Page 35: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

´ Ö¾p ���29��('2��9��)=(*(�i+5���%u5w4]��2s��)���?���5�(�4�2=� � 29��� �u�@��(���5�(���� )=�3�9����(�hyi$(��9����(*��(��@%u5

��?��5�(3���Q¹=��2$?[-� �%V����� �)*a�ST5�(;2=(*)=-���� 6 �����-�29(<ÖWa ´ R$)95��©i+)T��5��@�T��5�(^������(^������(' ��� `��2��@ �)sn?[� 2=�_�� ��^�95�(q4F(*2=?[('%'�r�_�@��%u5��� ��^��)��95�(q���� �� (*)s��h��95�(* {\� ����� ����<���oUW���{-�� �_�@��%u5��� ���ho��5�(' � (' �(*29�@���� ��3��29�� ���� �x%*-�/���%q��2���4�5Ma�!.5�('%u�&�� ��3?[� 2­�^���������9� ;%'#&%*��(*)­�u�@��(*)­�95�(q��(���)s�������_(@a¾Ý����)�����)9�;)9(*(' _�95]�@��i+5�����(T� (* �('2��@�9�� ��1��%*-�/���%+� 2���4�5`�� ���\] ����� ��1�;�_�oUW���¬-����_�@��%u5��� ����2=(��� ���#�%*������(*��� �%'(�h��5�(���29�� �)s?[� 29���� ��>�@?T�"���@�9%u5��� ����@ ��c%u5�('%u���� ��Z?[� 2;���^���_�����9� %'#&%'��(;5]��d (;/D('(* ,%*������(*�Z���@ �#�������(*)'a$ST5�-�)X��?���5�(1���@��('2T%*� -�����/F(;����4�29�©d ('�,�������9�9��(�h&i.(i$� -����Z(VUW4F(*%V�^�9��)9��d ({�������+��?�������(�a�«&���� ]�@�9-�2��@������2=(*%'�9��� >?[� 2q?[-W��-�2=(�i$� 2=�`i.� -����Z/D(�������_4�2=�©d (<��5�(;�_�@�9%u5��� ����92��� �)s?[� 29�_�@�9��� >�@ ��,�^���������9� `%V#W%'��(�%u5�('%u�&�� ���2=� -��9�� �(')*a

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

To

tal R

un

nin

g T

ime

of

50

0 R

un

s (m

s)

Number of Vertices

GeneratingMatching

TransitionChecking

���� -�29(3ÖWa ´ ¸r�X-� � ��� ����9����(3��?��_�Q¹=� 2$?[-� �%'�9��� �)*a

Page 36: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

É �OCM���OB��­Ey��¢�£M�

= §j?1¤.(* ���(*2'hL¥Ta b a�� ���!q�� �\]('���yh�¥Ta��a�h�ST5�(���)s#&�_4��9������%� �-��{/F(*2���?$�®��/F(*��(*��� 29��4�5�)i+���95Z����d (' ")9(*��29(*(;)9('¯�-�(* �%'(*)'hI·�¸.¹$ï;³Tº�¬n°3¸*»p±]òuïoð�¯�¼yòVð�¸b½¿¾4Àh ´ ¨�ªonÄl µ ãWh 6 §©¨tã ã Räa

= ´ ?1¤.� ����� /5Á�@)*hW¤�a�h b 4�29� /]�@/�������)=�9��%^4�29�&��?L��?L�� ,�@)=#&�_4W�����9��%�?[� 2=�{-����¬?[� 2q��5�(� �-��{/F(*2T�@?�®��/F(*����('�`29('� -��®�@2T� 2���4�5�)*hXÂEÃ&ð�ï�Ä]ò²�°8·�¸.¹$ï;³Tº�¬n°3¸lÅ]h�l�§ §VnÄl�§©ªWh 6 §©¨ Ø µ Räa

= l-?1¤.� ����� /5Á�@)*hD¤�ay�� ���~�%!����# h¤^ay:{a�hyST5�(�ÂX-��{/F(*2<��?��_�@��%u5��� �� )^�� Á29�� �������2=(*� -�����2� 2��@4�5�)+�� ��Z/���4]��2=�9���9(<� 2��@4�5�)*hp·�¸.¹$ï;³Tº�¬n°3¸*»p±]òuïoð�¯�¼yòVð�¸PÆsÀIÅ]h]Ø µ nĨ�§�h 6 §©¨�Ø ªtRVa

= ÐF?¬!.� 29�_�� yhXS3aT�;a�h�¼('��)=(*29)=� yh<!�a+¥+aq�� ��e�X��d (*)s��h��;aT¼�a�h�s¾p ��929�&��-�%V������ ��9� b �����@n29����5���)i��h�~�¾pSv��2=(*)9)'hy!q�@�{/�29����� (@h�~ b h�§�¨ ¨ µ a

=ÞÖ�?1]29��('Y*(@h b a�h�Ã�(*2=29-��Zh�~�a��;a�h­~Z� �����Q#�hL~�aL«DaAK�a�hL�X� /��� �)=� yh��;ayº}a��� ���º�� 29�_�����MhÂ1aM!�a�h�0�(' �(*29�@���� ��>�� ��,%*� -� t�9�� ��>�^���������9� Z%'#&%*��(*)3�� �2��� ���� �K29(*��-��®��2X� 29��4�5�)'h]·�¸½�«ÈÇ&ïoð�¬n´L±M³�É.¾lÅ]h�§Qã�ªon�§©¨ Ø�h 6 §©¨ ¨�ªtRVa

= ª-?¬0;�@29('#�h&~�a&�;a�hWÃ�� 5� �)=� yhW:{a�«Da��� ���SL��2[¹9�� Mh��;a�¥Ta�hWST5�(X4����� ]��2�5]�@�_�������� ��®�� 1%*��29%*-����4�29��/���('�m��)+Â^��ns!.� ��4���(V��(@hb¼-ʽ�ËÌ·�¸.¹$ï;³�Ä3ÃM´�¸3ÍyhFã µ Ð@nÄãW§�Ð�h 6 §©¨ ã�ªtRVa

=Þã�?1�^� 2=�©i+����Y@h�¥+a�hT«W��5� ��8h.«Far�� ��Ó�^�Q¹9�@)9(*�o��29�� yh.«Da�h���!.���_4�-W��(*2 b ��� ��29���95���)i��h�!.� ��n4�-��9(*2^«W%*��(* �%'(;�r2=(*)=)*hFÂ^(ViÏÎ�� 29��h�§©¨�¨ Ø�a

= Ø-?¬~�%��X-�� 5yhFÃ�a b a�h¸� b ��� � 2=����5��_��%�032��@4�5"ST5�(*� 2s#Z��h���29(* t�9��%*(;�^�����8h�¥r��� ��('i$�W�&�Z!.���"SM)'hÂ<Ã�hy§�¨ ¨ µ a

´ ª

Page 37: MEi XuE Finding Hamilton Cycles in Cubic Graphs (Under the

´ ã= ¨-?1�L('%*¯�-�(*-�2*h b a�Ã�a�� b {¥�UW4F(*29���_(' t�u���&«&�9-���#���?�¥����_�� ���)j� b ��� � 2=���95��e?[� 2L~,�QU����{-���n

!q��29���� ]�������p#�~,�@�9%u5��� �� )+�� �0�(' �(*29����032���4�5�)i��hF~�a¦«Da��95�(*)=��)*h 7 ���d�(*2=)9���p#"�@?�03(*� 2=� �®�Wh§©¨ ¨ ØWa

= § µ ?1�X��/��� �)=� yht��a@º}a �� ��{º�� 29�_�����Mh Â1at!�a�h b ����� )=�­�����W%*-�/���%q� 29��4�5�)r��2=(q5]����������� ��®�� yhÐ.²�°Fñ&ï;³,¼Z´ ðJÃ4ÑJ´µÃWð�ò�É2²�°Fñ2½�«ÈÇ&ïoð�¬n´L±M³�É�Òyh�§ §QãQn�§ ´ ÖWh 6 §©¨�¨ ´ RVa

= § §j?1�X��/��� �)=� yhD�;a�º}aD�� ��Áº�� 29�_�����MhDÂ;ay!�a�h b ����� )=�^������2=(*� -��®��2^� 2���4�5�)<��2=(¬5]�@�_�������on ��®�@ yh3Ð.²�°Fñ&ï;³Ó¼Z´ ð�ÃZÑJ´µÃWð�ò�É2²�°Fñ2½�«ÈÇ&ïoð�¬n´n±M³�É5Íyh�l ª lQnÄltã@Ð�h 6 §�¨ ¨�Ð�Räa

= § ´ ?¬«W�� �%*�®�@��2*h b a�h;� b ��� � 2=����5��_)y?[� 2L�X�� ���� �x03(* �(*2��o������ �Ô�!.� -� ��9�� ���¸ b ~,��2=���©d¬!.5]���� b 4�4�29�t��%u5���h�¤.��2=��5]��-�)=(*2*h�¤$� )=�9� yh�§©¨ ¨�l�a

= §©l-?�ºc��29�_�����yhWÂ1a]!�a]ST5�(;��)=#&��4������9��%<����)=�929��/�-������ `��?L)95�� 2=�+%V#W%'��(')X�� "2��� ���� �m2=(*� -�����2� 2��@4�5�)*hX·�¸.¹$ï;³Tº�¬n°3¸5»p±]òuïoðJ¯�¼yòVð�¸PÆ`ÒlÅ�h�§�ª Øonu§�Ø ´ h 6 §©¨ ØW§QRVa

= §�ÐF?�ºc��29�_�����yhWÂ1aF!�a�hF03(* �('2��@�9�� ���29�� ���� �m29(*��-��®��2.� 2���4�5�)*hp·�¸l½�«ÈÇ&ïoð�¬n´L±M³�É.Íyh ´ Ð�ã©n ´ Ø µ h6 §©¨�Ø�Ð�RVa