mech.math.msu.sumech.math.msu.su/~konkov/conspectus.pdf · ÓÐÀÂÍÅÍÈß...
TRANSCRIPT
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ
ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ
Âñþäó íèæå, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ïîä Ω ìû áóäåì ïîäðàçóìåâàòüíåïóñòîå îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Rn, n ≥ 1. ×åðåç C∞(Ω) îáîçíà÷àåì ïðî-ñòðàíñòâî ôóíêöèé, áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ â Ω, à ÷åðåç C∞(Ω) ñóæåíèÿ íà Ω ôóíêöèé èç C∞(Rn). Ïðè ýòîì ïîä C∞
0 (Ω) ìû áóäåì ïîäðàçó-ìåâàòü ìíîæåñòâî ôóíêöèé èç C∞(Rn) ñ êîìïàêòíûìè íîñèòåëÿìè1, ïðèíàä-ëåæàùèìè Ω. Âìåñòî C∞
0 (Ω) ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå D(Ω).Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ êëàññû Cs(Ω), Cs(Ω), Cs
0(Ω) ôóíêöèé, èìåþùèõíåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûìè ïîðÿäêà s.Ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ ôóíêöèé íà èçìåðèìîì ïî Ëåáåãó ìíîæåñòâå E ⊂
Rn, äëÿ êîòîðûõ
∥f∥Lp(E) =
(∫E
|f |p dx) 1
p
<∞, p ≥ 1,
áóäåì îáîçíà÷àòü Lp(E).  ñâîþ î÷åðåäü, ïîä Lp,loc(Ω) ìû áóäåì ïîíèìàòüïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, ñóììèðóåìûõ ñî ñòåïåíüþ p íà âñÿêîì êîìïàêòå, ïðè-íàäëåæàùåì îòêðûòîìó ìíîæåñòâó Ω.Êàê ýòî ïðèíÿòî, ïîëàãàåì |α| = α1 + α2 + . . . + αn, α! = α1!α2! . . . αn! è
∂α = (∂/∂x1)α1(∂/∂x2)
α2 . . . (∂/∂xn)αn , ãäå α = (α1, α2, . . . , αn) ìóëüòèèíäåêñ.
Ïîä Bxr ìû ïîäðàçóìåâàåì îòêðûòûé øàð Bx
r = y : |y − x| < r ðàäèóñàr > 0 ñ öåíòðîì â òî÷êå x ∈ Rn, à ïîä Sxr ñôåðó Sxr = y : |y − x| = r. Åñëèx = 0, òî âìåñòî B0
r è S0r ïèøåì äëÿ êðàòêîñòè Br è Sr.
2. Îáîáùåííûå ôóíêöèè. Ïðîñòðàíñòâî D′(Ω)
Îïðåäåëåíèå 2.1. Ãîâîðèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé φi ∈ D(Ω), i =1, 2, . . ., ñõîäèòñÿ ê φ ∈ D(Ω), åñëè íàéäåòñÿ êîìïàêò K ⊂ Ω òàêîé, ÷òî, âî-ïåðâûõ, suppφi ⊂ K, i = 1, 2, . . ., à, âî-âòîðûõ, ∥φi − φ∥Cs(Ω) → 0 ïðè i → ∞äëÿ âñÿêîãî öåëîãî íåîòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà s, ãäå
∥ψ∥Cs(Ω) =∑|α|≤s
supΩ
|∂αψ|, ψ ∈ Cs(Ω).
 D(Ω) ìîæíî ââåñòè òîïîëîãèþ, ñõîäèìîñòü â êîòîðîé áóäåò ñîâïàäàòü ñîïðåäåëåííîì âûøå [2, ðàçäåë 6.2]. Òàêèì îáðàçîì, D(Ω) íàäåëÿåòñÿ ñòðóêòó-ðîé òîïîëîãè÷åñêîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ìíîæåñòâî D(Ω) áóäåì òàêæåíàçûâàòü ïðîñòðàíñòâîì îñíîâíûõ (èëè ïðîáíûõ) ôóíêöèé.
1Íàïîìèíàåì, ÷òî íîñèòåëåì íåïðåðûâíîé ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ çàìûêàíèå ìíîæåñòâàòî÷åê, â êîòîðûõ ýòà ôóíêöèÿ îòëè÷íà îò íóëÿ.
1
2 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Îïðåäåëåíèå 2.2. Ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë f : D(Ω) → C áóäåì íàçûâàòü(ñåêâåíöèàëüíî) íåïðåðûâíûì, åñëè äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè φi ∈ D(Ω),i = 1, 2, . . ., ñõîäÿùåéñÿ ê ôóíêöèè φ ∈ D(Ω),
limi→∞
f(φi) = f(φ).
Ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèîíàëîâ íà D(Ω), î÷åâèäíî, îáðàçó-åò ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàä C. Ýòî ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîìîáîáùåííûõ ôóíêöèé íà Ω è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç D′(Ω).
Çàìåòèì, ÷òî â óïîìÿíóòîé âûøå òîïîëîãèè âD(Ω) ëþáàÿ îáîáùåííàÿ ôóíê-öèÿ ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â îáû÷íîì ñìûñëå, ò.å. ïðîîáðàç âñÿêîãî îòêðû-òîãî ìíîæåñòâà â C îòêðûò â D(Ω).
Ãîâîðèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèîíàëîâ fi : D(Ω) → C, i = 1, 2, . . . ,ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèîíàëó f : D(Ω) → C, åñëè
limi→∞
fi(φ) = f(φ)
äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Ω).
Ïðîñòðàíñòâî D′(Ω) çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè, à èìåííî,ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 2.1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü fi ∈ D′(Ω), i = 1, 2, . . .,ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèîíàëó f : D(Ω) → C, òîãäà f ∈ D′(Ω).
Ìû ïðèâîäèì òåîðåìó 2.1 áåç äîêàçàòåëüñòâà, æåëàþùèå ìîãóò íàéòè åãî âìîíîãðàôèè [4, ãëàâà 2, 9].
Äåéñòâèå ôóíêöèîíàëà f ∈ D′(Ω) íà îñíîâíóþ ôóíêöèþ φ ∈ D(Ω) ïðèíÿòîîáîçíà÷àòü (f, φ).
Ïðîñòðàíñòâî Lloc(Ω) åñòåñòâåííûì îáðàçîì âêëàäûâàåòñÿ â D′(Ω), åñëè âñÿ-êóþ ôóíêöèþ f ∈ Lloc(Ω) îòîæäåñòâèòü ñ ôóíêöèîíàëîì, äåéñòâóþùèé ïîïðàâèëó
(f, φ) =
∫Ω
fφ dx, φ ∈ D(Ω). (2.1)
 ÷àñòíîñòè, D′(Ω) ñîäåðæèò â ñåáå C∞(Ω), ïîñêîëüêó C∞(Ω) ⊂ Lloc(Ω). Ôóíê-öèè èç Lloc(Ω), ïîíèìàåìûå êàê îáîáùåííûå, áóäåì íàçûâàòü ðåãóëÿðíûìè.Î÷åâèäíî, D′(Ω) íå èñ÷åðïûâàåòñÿ îäíèìè ðåãóëÿðíûìè ôóíêöèÿìè.  êà÷å-ñòâå ïðèìåðà, ïîäòâåðæäàþùåãî ýòî, äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü òàê íàçûâàåìóþäåëüòà-ôóíêöèþ Äèðàêà
(δ, φ) = φ(0), φ ∈ D(Ω).
Óïðàæíåíèå 2.1. Ïîêàæèòå, ÷òî ðàçëè÷íûì ôóíêöèÿì èç Lloc(Ω) ñîîòâåòñòâó-þò ðàçëè÷íûå ôóíêöèîíàëû èç D′(Ω).
Ïóñòü f ∈ C∞(Ω). Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé îáîáùåííûå ôóíêöèè, îòîæ-äåñòâëÿåìûå ñ f è ïðîèçâîäíîé ∂f/∂xi? Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, èìååì(
∂f
∂xi, φ
)=
∫Ω
∂f
∂xiφdx = −
∫Ω
f∂φ
∂xidx = −
(f,∂φ
∂xi
), φ ∈ D(Ω).
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 3
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà íàâîäèò íà ìûñëü äëÿ âñÿêîãî f ∈ D′(Ω) îïðåäåëèòü∂f/∂xi ∈ D′(Ω) ðàâåíñòâîì(
∂f
∂xi, φ
)= −
(f,∂φ
∂xi
), φ ∈ D(Ω). (2.2)
Ñîãëàñíî (2.2) ëþáàÿ ôóíêöèÿ f ∈ D′(Ω) â îáîáùåííîì ñìûñëå äèôôåðåí-öèðóåìà áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç, ïðè÷åì
(∂αf, φ) = (−1)|α|(f, ∂αφ), φ ∈ D(Ω).
äëÿ âñÿêîãî ìóëüòèèíäåêñà α.
Óïðàæíåíèå 2.2. Íàéäèòå ïðîèçâîäíóþ îò θ-ôóíêöèè Õåâèñàéäà
θ(x) =
0, x < 0,1, x ≥ 0.
Îòâåò: θ′(x) = δ(x).
Îáîáùåííûå ôóíêöèè ìîæíî óìíîæàòü íà áåñêîíå÷íî ãëàäêèå, åñëè äëÿëþáûõ f ∈ D′(Ω) è ψ ∈ C∞(Ω) ïîëîæèòü
(ψf, φ) = (fψ, φ) = (f, ψφ), φ ∈ D(Ω).
Óïðàæíåíèå 2.3. Ïîêàæèòå, ÷òî ïðèâåäåííîå âûøå îïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ åñòå-ñòâåííûì. Èìåííî, ïóñòü ι : Lloc(Ω) → D′(Ω) âëîæåíèå ïðîñòðàíñòâà Lloc(Ω)â D′(Ω), çàäàííîå ñîîòíîøåíèåì (2.1). Òîãäà ι(ψf) = ψι(f) äëÿ ëþáûõ f ∈D′(Ω) è ψ ∈ C∞(Ω).
Óïðàæíåíèå 2.4. Äîêàæèòå, ÷òî
∂(ψf)
∂xi=∂ψ
∂xif + ψ
∂f
∂xi(2.3)
äëÿ âñåõ f ∈ D′(Ω) è ψ ∈ C∞(Ω).
Ðåøåíèå. Äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Ω) ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé îò îáîá-ùåííîé ôóíêöèè èìååì (
∂(ψf)
∂xi, φ
)= −
(ψf,
∂φ
∂xi
).
Ïðè ýòîì (ψf,
∂φ
∂xi
)=
(f, ψ
∂φ
∂xi
)ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ óìíîæåíèÿ îáîáùåííîé ôóíêöèè íà áåñêîíå÷íî ãëàä-êóþ. Òàêèì îáðàçîì, (
∂(ψf)
∂xi, φ
)= −
(f, ψ
∂φ
∂xi
). (2.4)
Àíàëîãè÷íî, ïîëó÷èì (∂ψ
∂xif, φ
)=
(f,∂ψ
∂xiφ
)è (
ψ∂f
∂xi, φ
)= −
(f,∂(ψφ)
∂xi
).
4 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Ñêëàäûâàÿ äâà ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâà, áóäåì èìåòü(∂ψ
∂xif + ψ
∂f
∂xi, φ
)=
(f,∂ψ
∂xiφ− ∂(ψφ)
∂xi
)= −
(f, ψ
∂φ
∂xi
),
îòêóäà ââèäó (2.4) íåìåäëåííî ñëåäóåò (2.3).
Äàëåå ìû õîòèì âûÿñíèòü, êàêèì îáðàçîì ó îáîáùåííûõ ôóíêöèé îñóùåñòâ-ëÿåòñÿ çàìåíà ïåðåìåííîé. Ïóñòü èìååòñÿ äèôôåîìîðôèçì îòêðûòîãî ìíîæå-ñòâà G ⊂ Rn íà Ω, ðåàëèçóþùèé çàìåíó ïåðåìåííîé x = x(y), y ∈ G. Îáðàòíóþçàìåíó áóäåì îáîçíà÷àòü y = y(x), x ∈ Ω.Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî f ∈ C∞(Ω). Ðàññìàòðèâàÿ ñóïåðïîçèöèþ f(x(y))
êàê îáîáùåííóþ ôóíêöèþ, î÷åâèäíî, ïîëó÷èì
(f(x(y)), φ(y)) =
∫G
f(x(y))φ(y) dy
=
∫Ω
f(x)φ(y(x)) |det ∥∂y/∂x∥| dx
= (f(x), φ(y(x)) |det ∥∂y/∂x∥|) , φ ∈ D(G),
ãäå ∥∂y/∂x∥ ìàòðèöà ßêîáè.Ïóñòü òåïåðü f(x) ∈ D′(Ω), îïðåäåëèì ôóíêöèþ f(x(y)) ∈ D′(G), ïîëàãàÿ
(f(x(y)), φ(y)) = (f(x), φ(y(x)) |det ∥∂y/∂x∥|) , φ ∈ D(G).
Óïðàæíåíèå 2.5. Äîêàæèòå ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñóïåðïîçèöèè
∂f(x(y))
∂yi=
n∑j=1
∂f(x)
∂xj
∣∣∣∣x=x(y)
∂xj(y)
∂yi,
ãäå f(x) ∈ D′(Ω).
Òåîðåìà 2.2 (î ïåðâîîáðàçíîé îò îáîáùåííîé ôóíêöèè). Äëÿ ëþáîãî f ∈D′(R) íàéäåòñÿ F ∈ D′(R) òàêîå, ÷òî F ′ = f .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü f ∈ D′(R). Îïðåäåëèì F ∈ D′(R) ñîîòíîøåíèåì
(F (x), φ(x)) = −(f(t),
∫ t
−∞φ(x) dx− η(t)
∫ ∞
−∞φ(x) dx
), (2.5)
ãäå η ∈ C∞(R) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî η|[1,∞) = 1 è η|(−∞,0] = 0.Èìååì, î÷åâèäíî,
(F ′(x), φ(x)) = −(F (x), φ′(x)) =
(f(t),
∫ t
−∞φ′(x) dx− η(t)
∫ ∞
−∞φ′(x) dx
)= (f(t), φ(t))
äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(R) èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, F ′ = f .Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
Óïðàæíåíèå 2.6. Ïîêàæèòå, ÷òî (2.5) îïðåäåëÿåò îáîáùåííóþ ôóíêöèþ.
Òåîðåìà 2.3. Ïóñòü f ∈ D′(R) è ïðè ýòîì f ′ = 0, òîãäà f ïîñòîÿííàÿ
ôóíêöèÿ.
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 5
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé îò îáîáùåííîé ôóíê-öèè
(f, ψ′) = 0 (2.6)
äëÿ ëþáîãî ψ ∈ D(R). Ïîëîæèì
ψ(t) =
∫ t
−∞φ(x) dx− η(t)
∫ ∞
−∞φ(x) dx,
ãäå φ ∈ D(R), à ôóíêöèÿ η òàêàÿ æå, êàê â òåîðåìå 2.2. Èç ñîîòíîøåíèÿ (2.6)íåìåäëåííî ïîëó÷èì
(f, φ) =
∫ ∞
−∞Cφ(x) dx = (C,φ),
ãäåC = (f, η′)
íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, ÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
3. Íîñèòåëü îáîáùåííûõ ôóíêöèé
Îãðàíè÷åíèåì f |ω îáîáùåííîé ôóíêöèè f ∈ D′(Ω) íà îòêðûòîå ìíîæåñòâîω ⊂ Ω áóäåì íàçûâàòü îãðàíè÷åíèå ôóíêöèîíàëà f : D(Ω) → C íà ïðîñòðàí-ñòâî D(ω). Òåì ñàìûì,
(f |ω , φ) = (f, φ), φ ∈ D(ω).
 ÷àñòíîñòè, f |ω = 0, åñëè (f, φ) = 0 äëÿ âñåõ φ ∈ D(ω).
Ëåììà 3.1. Ïóñòü f ∈ D′(Ω) è ïðè ýòîì f |ω1= 0 è f |ω2
= 0 äëÿ íåêîòîðûõîòêðûòûõ ìíîæåñòâ ω1, ω2 ⊂ Ω, òîãäà f |ω1∪ω2
= 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî φ ∈ D(ω1 ∪ ω2). Òàêèì îáðàçîì, suppφÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì, ïðèíàäëåæàùèì ω1∪ω2. Êàê ýòî ïðèíÿòî,÷åðåç suppφ ìû îáîçíà÷àåì íîñèòåëü ôóíêöèè φ, ò.å. çàìûêàíèå ìíîæåñòâàòî÷åê â êîòîðûõ ýòà ôóíêöèÿ îòëè÷íà îò íóëÿ.Ïîñêîëüêó suppφ \ ω2 êîìïàêò, ïðèíàäëåæàùèé ω1, íàéäåòñÿ îòêðûòîå
ìíîæåñòâî V1 ñ êîìïàêòíûì çàìûêàíèåì, ïðèíàäëåæàùèì ω1, òàêîå, ÷òî
suppφ \ ω2 ⊂ V1,
îòêóäà, â ñâîþ î÷åðåäü, áóäåì èìåòü
suppφ ⊂ V1 ∪ ω2.
Ïîâòîðÿÿ ïðåäûäóùåå ðàññóæäåíèå â îòíîøåíèè ðàçíîñòè suppφ\V1, ïîëó÷èì,÷òî ñóùåñòâóåò îòêðûòîå ìíîæåñòâî V2 ñ êîìïàêòíûì çàìûêàíèåì, ïðèíàäëå-æàùèì ω2, òàêîå, ÷òî
suppφ ⊂ V1 ∪ V2.Âîçüìåì, äàëåå, íåîòðèöàòåëüíûå ôóíêöèè ψ1 ∈ D(ω1) è ψ2 ∈ D(ω2), ðàâíûå,ñîîòâåòñòâåííî, åäèíèöå íà V1 è V2. Îáîçíà÷èì
φi(x) =
ψi(x)φ(x)ψ1(x)+ψ2(x)
, x ∈ V1 ∪ V2,0, x ∈ Rn \ (V1 ∪ V2),
i = 1, 2.
Ïîëó÷èì, î÷åâèäíî, φ(x) = φ1(x) + φ2(x) äëÿ âñåõ x ∈ ω1 ∪ ω2, ïðè÷åì φ1 ∈D(ω1) è φ2 ∈ D(ω2). Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî
(f, φ) = (f, φ1) + (f, φ2) = 0.
6 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Ñëåäñòâèå 3.1. Ïóñòü f |ωi
= 0, i = 1, 2, . . . , k, ãäå f ∈ D′(Ω), ωi îòêðûòûå
ïîäìíîæåñòâà Ω, à k ≥ 2 íåêîòîðîå öåëîå ÷èñëî, òîãäà f |∪ki=1ωi
= 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ èíäóêöèåé ïî öåëîìó ÷èñëó k.  ñëó-÷àå k = 2, íàøå óòâåðæäåíèå íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç ëåììû 3.1. Ïðåä-ïîëîæèì, ÷òî k > 2 è ïðè ýòîì äëÿ k − 1 óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Îáîçíà÷èìω1 = ∪k−1
i=1 è ω2 = ωk. Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî ω1∪ω2 = ∪ki=1ωi. Ñîãëàñíî ïðåäïî-ëîæåíèþ èíäóêöèè ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî f |ω1
= 0. Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíÿÿëåììó 3.1, ïîëó÷èì f |ω1∪ω2
= 0.Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.
Òåîðåìà 3.1. Ïóñòü f ∈ D′(Ω) è ïðè ýòîì
ωmax =∪f |ω=0
ω, (3.1)
òîãäà f |ωmax= 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî φ ∈ D(ωmax). Ìíîæåñòâà ω â ïðàâîé ÷à-ñòè (3.1) îáðàçóþò îòêðûòîå ïîêðûòèå íîñèòåëÿ ôóíêöèè φ. Ïîñêîëüêó íîñè-òåëü φ ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòîì, èç ýòîãî ïîêðûòèÿ ìîæíî âûäåëèòü êîíå÷íîå ïîä-ïîêðûòèå, êîòîðîå áóäåì îáîçíà÷àòü ω1, ω2, . . . , ωk.  ÷àñòíîñòè, φ ∈ D(∪ki=1ωi).Ââèäó ñëåäñòâèÿ 3.1, èìååì f |∪k
i=1ωi= 0, ïîýòîìó (f, φ) = 0.
Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Îïðåäåëåíèå 3.1. Íîñèòåëåì îáîáùåííîé ôóíêöèè f ∈ D′(Ω) íàçûâàåòñÿìíîæåñòâî
supp f = Ω \ ωmax,ãäå ωmax îïðåäåëåíî ñ ïîìîùüþ (3.1).
Çàìåòèì, ÷òî supp f çàìêíóò â òîïîëîãèè Ω, èíäóöèðîâàííîé èç Rn, ïî-ñêîëüêó ωmax ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ìíîæåñòâîì. Ïðè ýòîì ωmax ìîæåò áûòü èïóñòûì, íàïðèìåð, åñëè f = const = 0.  ýòîì ñëó÷àå íîñèòåëü f , î÷åâèäíî,ñîâïàäàåò ñ Ω.
Ïðèìåð 3.1. Íîñèòåëåì δ-ôóíêöèè Äèðàêà δ(x) ∈ D′(R) ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîñîñòîÿùåå èç îäíîãî íóëÿ: supp δ(x) = 0.
Óïðàæíåíèå 3.1. Íàéäèòå íîñèòåëü îáîáùåííîé ôóíêöèè, òîæäåñòâåííî ðàâ-íîé íóëþ (ôóíêöèîíàëà, ïåðåâîäÿùåãî ïðîñòðàíñòâî îñíîâíûõ ôóíêöèé D(Ω)â íóëü). Ïîêàæèòå, ÷òî íîñèòåëü íåïðåðûâíîé ôóíêöèè, åñëè åå ïîíèìàòü êàêîáîáùåííóþ, ñîâïàäàåò ñ çàìûêàíèåì ìíîæåñòâà òî÷åê, â êîòîðûõ ýòà íåïðå-ðûâíàÿ ôóíêöèÿ îòëè÷íà îò íóëÿ.
Ñâîéñòâà íîñèòåëÿ îáîáùåííûõ ôóíêöèé:
supp(f + g) ⊂ supp f ∪ sup g, (3.2)
supp(ψf) ⊂ suppψ ∩ supp f, (3.3)
supp∂f
∂xi⊂ supp f, (3.4)
ãäå f, g ∈ D′(Ω), ψ ∈ C∞(Ω), Ω îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Rn.
Óïðàæíåíèå 3.2. Äîêàæèòå ñîîòíîøåíèÿ (3.2)(3.4).
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 7
Ïðåäëîæåíèå 3.1. Ïóñòü f ∈ D′(Ω), òîãäà ψf = f äëÿ ëþáîãî ψ ∈ C∞(Ω)òàêîãî, ÷òî ψ = 1 â îêðåñòíîñòè supp f .
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Ω) èìååì (ψ − 1)φ ∈∈ D(Ω \ supp f),ïîýòîìó
((ψ − 1)f, φ) = (f, (ψ − 1)φ) = 0,
îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî
(ψf, φ) = (f, φ) + ((ψ − 1)f, φ) = (f, φ).
Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.
Óïðàæíåíèå 3.3. Îñòàíåòñÿ ëè ïðåäëîæåíèå 3.1 â ñèëå, åñëè â åãî óñëîâèÿõ ïî-òðåáîâàòü, ÷òîáû ôóíêöèÿ ψ áûëà ðàâíà åäèíèöå íà supp f , à íå â îêðåñòíîñòèýòîãî ìíîæåñòâà?
Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ f ∈ D′(Ω) èìååò êîìïàêòíûé
íîñèòåëü, òîãäà íàéäóòñÿ ïîñòîÿííàÿ A > 0 è öåëîå ÷èñëî m ≥ 0 òàêèå,
÷òî
|(f, φ)| ≤ A∥φ∥Cm(Ω)
äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Ω).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññóæäàÿ îò ïðîòèâíîãî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèåòåîðåìû íå âåðíî. Òîãäà äëÿ âñÿêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âåùåñòâåííûõ ÷èñåëAm > 0 íàéäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé φm ∈ D(Ω), m = 1, 2, . . ., óäî-âëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ
|(f, φm)| > Am∥φm∥Cm(Ω). (3.5)
Âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Am > 0, m = 1, 2, . . ., òàêóþ, ÷òî
limm→∞
Am = ∞.
Îáîçíà÷èì
ψm =ηφm
Am∥φm∥Cm(Ω)
,
ãäå η ∈ D(Ω) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ åäèíèöå â îêðåñòíîñòè supp f .Î÷åâèäíî,
(f, ψm) =(f, ηφm)
Am∥φm∥Cm(Ω)
,
îòêóäà ââèäó (3.5) è òîãî îáñòîÿòåëüñòâà, ÷òî
(f, ηφm) = (ηf, φm) = (f, φm),
âûòåêàåò íåðàâåíñòâî
|(f, ψm)| > 1, m = 1, 2, . . . . (3.6)
Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî suppψm ⊂ supp η äëÿ âñåõ m = 1, 2, . . .. Â òî æåâðåìÿ,
limm→∞
∥ψm∥Ck(Ω) = 0 (3.7)
äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà k ≥ 0.  ñàìîì äåëå, èìååì
∥ηφm∥Ck(Ω) ≤ Bk∥η∥Ck(Ω)∥φm∥Ck(Ω),
8 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
ãäå ïîñòîÿííàÿ Bk > 0 çàâèñèò òîëüêî îò k. Òàêèì îáðàçîì,
∥ψm∥Ck(Ω) =∥ηφm∥Ck(Ω)
Am∥φm∥Cm(Ω)
≤Bk∥η∥Ck(Ω)
Am
äëÿ âñåõ m ≥ k, îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò (3.7). ñèëó ñêàçàííîãî ìû ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî ψm → 0 â D(Ω) ïðè m→ ∞,
ïîýòîìó
limm→∞
(f, ψm) = 0,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò (3.6).Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
Îáîáùåííóþ ôóíêöèþ f ∈ D′(Ω) ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì ìîæíî ïðîäîë-æèòü íà ìíîæåñòâî C∞(Rn). Â ñàìîì äåëå, âîçüìåì η ∈ D(Ω) òàêîå, ÷òî η = 1â îêðåñòíîñòè supp f . Ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþ
(f, ψ) = (f, ηψ)
äëÿ âñåõ ψ ∈ C∞(Rn). Ïîñêîëüêó ηf = f , íà ìíîæåñòâå D(Ω) îáîáùåííàÿôóíêöèÿ f îñòàåòñÿ áåç èçìåíåíèé. Íåñëîæíî òàêæå óâèäåòü, ÷òî îïðåäåëåííîåâûøå ïðîäîëæåíèå íå çàâèñèò îò âûáîðà η. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè η1, η2 ∈ D(Ω) äâå ôóíêöèè, ðàâíûå åäèíèöå â îêðåñòíîñòè supp f , òî supp(η1 − η2)ψ ∈D(Ω \ supp f) äëÿ ëþáîãî ψ ∈ C∞(Rn), ïîýòîìó
(f, η1ψ)− (f, η2ψ) = (f, (η1 − η2)ψ) = 0.
4. Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå îáîáùåííûõ ôóíêöèé
 ýòîì ðàçäåëå ìû áóäåì ïî óìîë÷àíèþ ïðåäïîëàãàòü, ÷òîX ⊂ Rn è Y ⊂ Rm
íåïóñòûå îòêðûòûå ìíîæåñòâà, ãäå n ≥ 1 è m ≥ 1 öåëûå ÷èñëà.
Òåîðåìà 4.1. Ïóñòü g(y) ∈ D′(Y ), òîãäà (g(y), φ(·, y)) ∈ D(X) äëÿ ëþáîãî
φ ∈ D(X × Y ), ïðè÷åì
∂
∂xi(g(y), φ(x1, . . . , xi, . . . , xn, y)) =
(g(y),
∂
∂xiφ(x1, . . . , xi, . . . , xn, y)
), (4.1)
ãäå i = 1, 2, . . . , n.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì
(g(y), φ(x1, . . . , xi + h, . . . , xn, y))− (g(y), φ(x1, . . . , xi, . . . , xn, y))
h
=
(g(y),
φ(x1, . . . , xi + h, . . . , xn, y)− φ(x1, . . . , xi, . . . , xn, y)
h
)äëÿ ëþáîãî äîñòàòî÷íî ìàëîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëà h = 0.Ñ÷èòàÿ x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ X è y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Y ôèêñèðîâàííûìè,
îáîçíà÷èì
ψ(h) = ∂αy φ(x1, . . . , xi + h, . . . , xn, y),
ãäå
∂αy =∂|α|
∂yα11 ∂yα2
2 . . . ∂yαnn
,
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 9
α = (α1, α2, . . . , αn) íåêîòîðûé ìóëüòèèíäåêñ, à |α| = α1 + α2 + . . . + αn.Èíòåãðèðóþ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì
ψ(h)− ψ(0) =
∫ 1
0
dψ(th)
dtdt =
dψ(ht)
dt
∣∣∣∣t=0
+
∫ 1
0
(1− t)d2ψ(th)
dt2dt
= hψ′(0) + h2∫ 1
0
(1− t)ψ′′(th) dt,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
ψ(h)− ψ(0)
h− ψ′(0) = h
∫ 1
0
(1− t)ψ′′(th) dt
èëè, äðóãèìè ñëîâàìè,
∂αy φ(x1, . . . , xi + h, . . . , xn, y)− ∂αy φ(x1, . . . , xi, . . . , xn, y)
h− ∂xi∂
αy φ(x1, . . . , xi, . . . , xn, y)
= h
∫ 1
0
(1− t) ∂2ξ∂αy φ(x1, . . . , xi−1, ξ, xi+1, . . . , xn, y)
∣∣ξ=xi+th
dt. (4.2)
Äîïóñòèì, äàëåå, ÷òî hk > 0, k = 1, 2, . . ., íåêîòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,ñõîäÿùàÿñÿ ê íóëþ. Ïîëîæèì
λk(y) =φ(x1, . . . , xi + hk, . . . , xn, y)− φ(x1, . . . , xi, . . . , xn, y)
hk− ∂xiφ(x1, . . . , xi, . . . , xn, y).
Ñîãëàñíî (4.2) áóäåì èìåòü
∥∂αλk∥C(Y ) ≤ hk∥φ∥C|α|+2(X×Y ), k = 1, 2, . . . ,
îòêóäà ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè α ñëåäóåò, ÷òî
∥λk∥Cs(Y ) → 0 ïðè k → ∞
äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà s ≥ 0. Íåñëîæíî òàêæå óâèäåòü, ÷òî äëÿ âñåõ äîñòà-òî÷íî áîëüøèõ k íîñèòåëè ôóíêöèé λk ïðèíàäëåæàò íåêîòîðîìó êîìïàêòíîìóïîäìíîæåñòâó Y . Òåì ñàìûì, λk → 0 â D(Y ) ïðè k → ∞, ïîýòîìó
limk→∞
(g(y), λk(y)) = 0
â ñèëó íåïðåðûâíîñòè îáîáùåííîé ôóíêöèè g(y). Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå âëå-÷åò çà ñîáîé (4.1). Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî supp(g(y), φ(·, y)) ÿâëÿåòñÿ êîìïàêò-íûì ìíîæåñòâîì, ïîñêîëüêó ïðèíàäëåæèò ïðîåêöèè suppφ íà X. Òåì ñàìûì,(g(y), φ(·, y)) ∈ D(X).Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.
Ïóñòü f ∈ C∞(X) è g ∈ C∞(Y ). Ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì f è g ïðèíÿòîíàçûâàòü îòîáðàæåíèå, äåéñòâóþùåå ïî ïðàâèëó
(x, y) 7→ f(x)g(y), (x, y) ∈ X × Y.
Ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå áåñêîíå÷íî ãëàäêèõ ôóíêöèé, î÷åâèäíî, òàêæå ÿâëÿåòñÿáåñêîíå÷íî ãëàäêîé ôóíêöèåé. Äëÿ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ f è g ïðèíÿòû ñëå-äóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: f · g, f ⊗ g, f(x)g(y). Ìû â îñíîâíîì áóäåì ïîëüçîâàòüñÿïîñëåäíèì.
10 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Ïîïûòàåìñÿ âûÿñíèòü, êàê äåéñòâóåò íà îñíîâíóþ ôóíêöèþ φ ∈ D(X × Y )ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå áåñêîíå÷íî ãëàäêèõ ôóíêöèé f(x)g(y), åñëè åãî ïîíèìàòüêàê îáîáùåííóþ ôóíêöèþ. Èìååì
(f(x)g(y), φ(x, y)) =
∫X×Y
f(x)g(y)φ(x, y) dx dy
=
∫X
f(x)
∫Y
g(y)φ(x, y) dy dx = (f(x), (g(y), φ(x, y))).
Ïðèâåäåííîå âûøå ñîîòíîøåíèå ïîçâîëÿåò ââåñòè ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå îáîá-ùåííûõ ôóíêöèé f(x) ∈ D′(X) è g(y) ∈ D′(Y ).
Îïðåäåëåíèå 4.1. Ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì f(x) ∈ D′(X) è g(y) ∈ D′(Y ) íà-çûâàåòñÿ îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ f(x)g(y) ∈ D′(X×Y ), äåéñòâóþùàÿ ïî ïðàâèëó
(f(x)g(y), φ(x, y)) = (f(x), (g(y), φ(x, y))), φ ∈ D(X × Y ). (4.3)
Èç òåîðåìå 4.1 âûòåêàåò, ÷òî (g(y), φ(·, y)) ∈ D(X). Òàêèì îáðàçîì, ïðàâàÿ÷àñòü (4.3) êîððåêòíà. Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî îòîáðàæåíèå, îïðåäåëåííîå ñïîìîùüþ (4.1), ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ôóíêöèîíàëîì íà D(X ×Y ). Äîêàæåì åãîíåïðåðûâíîñòü. Èìåííî, ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü φi ∈ D(X×Y ), i = 1, 2, . . .,ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå D(X × Y ) ê ôóíêöèè φ ∈ D(X × Y ). Ïîêàæåì, ÷òî
limi→∞
(f(x), (g(y), φi(x, y))) = (f(x), (g(y), φ(x, y))). (4.4)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî H ⊂ X × Y êîìïàêò, êîòîðîìó ïðèíàäëåæàò íîñèòåëèôóíêöèé φi, i = 1, 2, . . ., à HX è HY åãî ïðîåêöèè íà ìíîæåñòâà X è Y ,ñîîòâåòñòâåííî. Îáîçíà÷èì
λi(x) = (g(y), φi(x, y)− φ(x, y)).
Íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà óáåäèòüñÿ, ÷òî
suppλi ⊂ HX , i = 1, 2, . . . .
 òî æå âðåìÿ, ñîãëàñíî òåîðåìå 4.1 áóäåì èìåòü
∂αλi(x) = (g(y), ∂αx (φi(x, y)− φ(x, y))), i = 1, 2, . . . , (4.5)
äëÿ ëþáîãî ìóëüòèèíäåêñà α = (α1, α2, . . . , αn).Âîçüìåì ôóíêöèþ η ∈ D(Y ), ðàâíóþ åäèíèöå â îêðåñòíîñòè HY . Òàê êàê
η(y)φ(x, y) = φ(x, y) è η(y)φi(x, y) = φi(x, y) äëÿ âñåõ (x, y) ∈ X×Y , i = 1, 2, . . .,ôîðìóëà (4.5) ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî
∂αλi(x) = (η(y)g(y), ∂αx (φi(x, y)− φ(x, y))), i = 1, 2, . . . ,
îòêóäà ââèäó òåîðåìû 3.2 âûòåêàåò îöåíêà
∥∂αλi∥C(X) ≤ A∥φi − φ∥Ck(X×Y )
äëÿ ëþáîãî ìóëüòèèíäåêñà α = (α1, α2, . . . , αn), ãäå ïîñòîÿííàÿ A > 0 è öåëîå÷èñëî k ≥ 0 íå çàâèñÿò îò i. Òàêèì îáðàçîì,
limi→∞
∥λi∥Ck(X) = 0
äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà k ≥ 0 è ìû ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî λi → 0 âïðîñòðàíñòâå D(X) ïðè i → ∞.  ñèëó íåïðåðûâíîñòè îáîáùåííîé ôóíêöèèf ïîëó÷èì
limi→∞
(f, λi) = 0,
îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò (4.4).
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 11
Òåîðåìà 4.2. Ïóñòü f(x) ∈ D′(X) è g(y) ∈ D′(Y ), òîãäà
(f(x), (g(y), φ(x, y))) = (g(y), (f(x), φ(x, y)))
äëÿ âñåõ φ ∈ D(X × Y ).
Äîêàçàòåëüñòâî îïèðàåòñÿ íà ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 4.1. Ëþáàÿ ôóíêöèÿ φ ∈ D(X × Y ) ïðåäñòàâèìà â âèäå ðÿäà
φ(x, y) =∞∑p=1
φp(x)ψp(y), (4.6)
ñõîäÿùåãîñÿ â D(X × Y ), ãäå φp ∈ D(X) è ψp ∈ D(X), p = 1, 2, . . ..
Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû ìîæåì ñ÷èòàòü áåç îãðàíè÷åíèÿ, ÷òî suppφ ïðèíàäëå-æèò îòêðûòîìó êóáó (−π, π)n+m â Rn+m ñ öåíòðîì â íóëå è äëèíîé ðåáðà 2π. ïðîòèâíîì ñëó÷àå âîñïîëüçóåìñÿ çàìåíîé êîîðäèíàò. Ðàñêëàäûâàÿ φ â ðÿäÔóðüå, ïîëó÷èì
φ(x, y) =∑
k∈Zn,l∈Zm
ck,lei(kx+ly), (4.7)
ãäå i =√−1, à
ck,l =1
(2π)n+m
∫(−π,π)n+m
e−i(kx+ly)φ(x, y) dxdy.
Ïîñêîëüêó φ ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíà íà âñå ìíîæåñòâî Rn+m äî áåñêîíå÷íîãëàäêîé ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè ñ ïåðèîäîì 2π, ðÿä (4.7) ñõîäèòñÿ â íîðìåïðîñòðàíñòâà Cs((−π, π)n+m) äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà s ≥ 0.Âîçüìåì η ∈ D((−π, π)n) è σ ∈ D((−π, π)m) ðàâíûå åäèíèöå â îêðåñòíîñòÿõ
ïðîåêöèé suppφ íà ìíîæåñòâà (−π, π)n è (−π, π)m, ñîîòâåòñòâåííî. Íåñëîæíîóáåäèòüñÿ, ÷òî
η(x)σ(y)φ(x, y) = φ(x, y), (x, y) ∈ (−π, π)n+m,ïîýòîìó, äîìíîæàÿ (4.7) íà η(x)σ(y), áóäåì èìåòü
φ(x, y) =∑
k∈Zn,l∈Zm
ck,lη(x)σ(y)ei(kx+ly). (4.8)
Ïðè ýòîì (4.8) ñõîäèòñÿ â ïðîñòðàíñòâå D(X × Y ).Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà çàíóìåðóåì ìíîæåñòâî Zn+m íàòóðàëüíûìè
÷èñëàìè. Ïîñëåäíåå, î÷åâèäíî, ìîæíî ñäåëàòü, ò.ê. Zn+m ñ÷åòíî. Îáîçíà÷èìφp(x) = ck,lη(x)e
ikx è ψp(y) = σ(y)eily, ãäå (k, l) ýëåìåíò ìíîæåñòâà Zn+m,ñîîòâåòñòâóþùèé íàòóðàëüíîìó ÷èñëó p. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.2. Ñîãëàñíî ëåììå 4.1 ôóíêöèþ φ ∈ D(X × Y )ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäà (4.6), ñõîäÿùåãîñÿ â ïðîñòðàíñòâå D(X × Y ). ñèëó íåïðåðûâíîñòè ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ f(x)g(y) èìååì
(f(x), (g(y), φ(x, y))) =∞∑p=1
(f(x), (g(y), φp(x)ψp(y))).
Àíàëîãè÷íî,
(g(y), (f(x), φ(x, y))) =∞∑p=1
(g(y), (f(x), φp(x)ψp(y))).
12 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Òåì ñàìûì, îñòàëîñü ëèøü çàìåòèòü, ÷òî
(f(x), (g(y), φp(x)ψp(y)))
= (f(x), φp(x))(g(y), ψp(y))
= (g(y), (f(x), φp(x)ψp(y))), p = 1, 2, . . . .
Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Óïðàæíåíèå 4.1. Ïóñòü f ∈ D′(X) è g ∈ D′(Y ). Ïîêàæèòå, ÷òî
∂(f(x)g(y))
∂xi=∂f(x)
∂xig(y), i = 1, 2, . . . , n, (4.9)
è∂(f(x)g(y))
∂yj= f(x)
∂g(y)
∂yjj = 1, 2, . . . ,m.
Çäåñü, êàê è âûøå, x = (x1, x2, . . . , xn) è y = (y1, y2, . . . , ym).
5. Ñâåðòêà îáîáùåííûõ ôóíêöèé
Íàïîìíèì êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå. Ïóñòü f, g ∈ L1(Rn). Ñâåðòêîé f ñ gíàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ
f ∗ g(x) =∫Rn
f(x− y)g(y) dy. (5.1)
Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî èíòåãðàë ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâàîïðåäåëåí äëÿ ïî÷òè âñåõ x ∈ Rn è ïðè ýòîì ñâåðêà f ∗ g òàêæå ïðèíàäëåæèòïðîñòðàíñòâó L1(Rn).  ñàìîì äåëå,∫
Rn
|f ∗ g(x)| dx =
∫Rn
∣∣∣∣∫Rn
f(x− y)g(y) dy
∣∣∣∣ dx ≤∫Rn
∫Rn
|f(x− y)||g(y)| dy dx.
Ïîìåíÿâ ìåñòàìè èíòåãðàëû â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâå, ïîëó÷èì∫Rn
∫Rn
|f(x− y)||g(y)| dx dy =
∫Rn
|g(y)| dy∫Rn
|f(x)| dx.
Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà Ôóáèíè ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî∫Rn
|f ∗ g(x)| dx ≤∫Rn
|g(y)| dy∫Rn
|f(x)| dx <∞.
Ïîïðîáóåì òåïåðü âûÿñíèòü, êàê äåéñòâóåò ñâåðòêà äâóõ ôóíêöèé èç L1(Rn)íà φ ∈ D(Rn), åñëè åå ïîíèìàòü êàê îáîáùåííóþ ôóíêöèþ. Èìååì∫
Rn
f ∗ g(x)φ(x) dx =
∫Rn
∫Rn
f(x− y)g(y)φ(x) dy dx
=
∫Rn
∫Rn
f(ξ)g(y)φ(ξ + y) dy dξ. (5.2)
Ôîðìóëó (5.2) ìîæíî áûëî áû çàïèñàòü â âèäå
(f ∗ g(x), φ(x)) = (f(x) ∗ g(ξ), φ(ξ + y)),
åñëè áû íîñèòåëü ôóíêöèè
(ξ, y) 7→ φ(ξ + y), (ξ, y) ∈ R2n,
áûë êîìïàêòíûì ìíîæåñòâîì. Ê ñîæàëåíèþ, ýòî íå òàê, ïîýòîìó äëÿ òîãî, ÷òî-áû ââåñòè îïðåäåëåíèå ñâåðêè îáîáùåííûõ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâà D(Rn),íàì ïîòðåáóþòñÿ äîïîëíèòåëüíûå ðàññóæäåíèÿ.
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 13
Îïðåäåëåíèå 5.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ηk ∈ D(Rm), k = 1, 2, . . ., íàçûâàåò-ñÿ êîìïàêòíûì èñ÷åðïàíèåì åäèíèöû â Rm, ãäå m íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå÷èñëî, åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà H ⊂ Rm ñóùåñòâóåò k0 òàêîå, ÷òî
ηk|H = 1
äëÿ âñåõ k ≥ k0;
2) äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà s ≥ 0 ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ A > 0 òàêàÿ, ÷òî
∥ηk∥Cs(Rm) ≤ A
äëÿ âñåõ k ≥ 1.
Ïðèìåð 5.1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî η ∈ D(B1) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ åäè-íèöå íà øàðå B1/2.  êà÷åñòâå êîìïàêòíîãî ðàçáèåíèÿ åäèíèöû äîñòàòî÷íîâçÿòü
ηk(x) = η(xk
), k = 1, 2, . . . .
Îïðåäåëåíèå 5.2. Ãîâîðèì, ÷òî îáîáùåííûå ôóíêöèè f, g ∈ D′(Rn) äîïóñêà-þò ñâåðòêó f ∗g, åñëè äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Rn) è ëþáîãî êîìïàêòíîãî èñ÷åðïàíèÿåäèíèöû ηk ∈ D(R2n), k = 1, 2, . . ., ñóùåñòâóåò ïðåäåë
(f ∗ g, φ) = limk→∞
(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)). (5.3)
Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî ïðåäåë â (5.3) íå çàâèñèò îò âûáîðà êîìïàêòíîãîèñ÷åðïàíèÿ åäèíèöû.  ñàìîì äåëå, ïóñòü ηk è λk, k = 1, 2, . . ., äâà êîìïàêò-íûõ èñ÷åðïàíèÿ åäèíèöû. Ïîñòðîèì òðåòüå êîìïàêòíîå èñ÷åðïàíèå åäèíèöû,ïîëàãàÿ
σk(x, y) =
ηk(x, y), k íå÷åòíî,λk(x, y), k ÷åòíî,
k = 1, 2, . . . .
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (5.2) äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Rn) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(f(x)g(y), σk(x, y)φ(x+ y)), k = 1, 2, . . . ,
èìååò ïðåäåë, ñîâïàäàþùèé, î÷åâèäíî, ñ ïðåäåëîì âñÿêîé åå ïîäïîñëåäîâà-òåëüíîñòè.  ÷àñòíîñòè,
limk→∞
(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)) = limk→∞
(f(x)g(y), λk(x, y)φ(x+ y)).
Ïîíÿòíî òàêæå, ÷òî (5.3) îïðåäåëÿåò ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë íàD(Rn), íåïðå-ðûâíîñòü êîòîðîãî ñëåäóåò èç òåîðåìû 2.1, ïîñêîëüêó êàæäûé èç ôóíêöèîíà-ëîâ
φ 7→ (f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)), φ ∈ D(Rn), k = 1, 2, . . . , (5.4)
ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì.
Óïðàæíåíèå 5.1. Ïðèâåäèòå ïîäðîáíîå äîêàçàòåëüñòâî íåïðåðûâíîñòè ôóíê-öèîíàëîâ (5.4).
Ïðèìåð 5.2. Ïóñòü f, g ∈ L1(Rn), φ ∈ D(Rn) è ηk ∈ (R2n), k = 1, 2, . . ., êîìïàêòíîå ðàçáèåíèå åäèíèöû. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Ëåáåãà îá îãðàíè÷åííîéñõîäèìîñòè, ïîëó÷èì
(f ∗ g, φ) = limk→∞
∫Rn
∫Rn
f(x)g(y)ηk(x, y)φ(x+ y) dx dy
=
∫Rn
∫Rn
f(x)g(y)φ(x+ y) dx dy,
14 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
÷òî ïîëíîñòüþ ñîãëàñóåòñÿ ñ (5.2).
Óïðàæíåíèå 5.2. Ïîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ ôóíêöèé f, g ∈ L1,loc(Rm) ñóùå-ñòâîâàíèå ñâåðòêè f ∗ g ∈ L1,loc(Rm) â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå (5.1) âëå÷åò çàñîáîé ñóùåñòâîâàíèå ñâåðêè â îáîáùåííîì ñìûñëå (5.3), ïðè÷åì îáå ýòè ñâåðò-êè ñîâïàäàþò.
Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò êëàññè÷åñêàÿ ñâåðêà f ∗g ∈ L1,loc(Rm),è ïóñòü φ ∈ D(Rn). Ïî òåîðåìå Ôóáèíè φ(x)f(x− y)g(y) ∈ L1(R2m) è ïðè ýòîì
(f ∗ g, φ) =∫Rm
φ(x) dx
∫Rm
f(x− y)g(y) dy =
∫R2m
φ(x)f(x− y)g(y) dxdy.
Ñîâåðøàÿ â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå çàìåíó ïåðåìåííûõ x x− y, áóäåì èìåòü
(f ∗ g, φ) =∫R2m
φ(x+ y)f(x)g(y) dxdy.
 ÷àñòíîñòè, φ(x+ y)f(x)g(y) ∈ L1(R2m) è, ïðèìåíÿÿ òåîðåìó Ëåáåãà îá îãðà-íè÷åííîé ñõîäèìîñòè, ìû ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî
limk→∞
(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)) = limk→∞
∫R2m
φ(x+ y)f(x)g(y)ηk(x, y) dxdy
=
∫R2m
φ(x+ y)f(x)g(y) dxdy
äëÿ ëþáîãî êîìïàêòíîãî èñ÷åðïàíèÿ åäèíèöû ηk ∈ D(R2m). Ïîñëåäíåå, î÷å-âèäíî, äîêàçûâàåò ñóùåñòâîâàíèå ñâåðêè â îáîáùåííîì ñìûñëå è ñîâïàäåíèååå ñ êëàññè÷åñêîé.
Óïðàæíåíèå 5.3. Ïóñòü f1, f2, g ∈ D′(Rn) òàêèå, ÷òî ñóùåñòâóþò ñâåðòêè f1 ∗ gè f2 ∗ g. Ïîêàæèòå, ÷òî
(λ1f1 + λ2f2) ∗ g = λ1f1 ∗ g + λ2f2 ∗ gäëÿ âñåõ λ1, λ2 ∈ C, ïðè÷åì ñâåðòêà â ëåâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà òàêæåñóùåñòâóåò. Àíàëîãè÷íî,
g ∗ (λ1f1 + λ2f2) = λ1g ∗ f1 + λ2g ∗ f2äëÿ âñåõ λ1, λ2 ∈ C.
Òåîðåìà 5.1 (î êîììóòàòèâíîñòè ñâåðòêè). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò
ñâåðêà f ∗ g, ãäå f, g ∈ D′(Rn). Òîãäà ñóùåñòâóåò ñâåðòêà g ∗ f è ïðè ýòîì
f ∗ g = g ∗ f .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî îïðåäåëåíèþ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ, èìååì
(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)) = (f(x), (g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)))
è
(g(x)f(y), ηk(y, x)φ(y + x)) = (g(x), (f(y), ηk(y, x)φ(y + x))).
 òî æå âðåìÿ, èç òåîðåìû 4.2 âûòåêàåò, ÷òî
(f(x), (g(y), ηk(x, y)φ(x+ y))) = (g(x), (f(y), ηk(y, x)φ(y + x))),
ïîýòîìó
limk→∞
(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)) = limk→∞
(g(x)f(y), ηk(y, x)φ(y + x)) (5.5)
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 15
äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè φ ∈ D(Rn) è êîìïàêòíîãî èñ÷åðïàíèÿ åäèíèöûηk ∈ D(R2n), k = 1, 2, . . .. Ïðè÷åì ñóùåñòâîâàíèå îäíîãî èç ïðåäåëîâ â ôîðìó-ëå (5.5) âëå÷åò çà ñîáîé ñóùåñòâîâàíèå âòîðîãî.Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
Òåîðåìà 5.2. Ïóñòü f, g ∈ D′(Rn). Òîãäà åñëè íîñèòåëü õîòÿ áû îäíîé èç
ýòèõ äâóõ ôóíêöèé êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî, òî ñâåðêà f ∗ g ñóùåñòâóåòè ïðè ýòîì
(f ∗ g, φ) = (f(x), (g(y), φ(x+ y))) (5.6)
äëÿ âñåõ φ ∈ D(Rn).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè ôîð-ìóëû (5.6) êîððåêòíî îïðåäåëåíî. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè supp f êîìïàêò, òîf ìîæíî ïðîäîëæèòü íà âñå ïðîñòðàíñòâî C∞(Rn) (ñì. ñ. 8), â êîòîðîì ââèäóòåîðåìû 4.1 ñîäåðæèòñÿ ôóíêöèÿ
x 7→ (g(y), φ(x+ y)), x ∈ Rn, (5.7)
 ñâîþ î÷åðåäü, åñëè êîìïàêòîì ÿâëÿåòñÿ supp g, òî ôóíêöèÿ (5.7) ÿâëÿåòñÿýëåìåíòîì D(Rn).  ñàìîì äåëå, âçÿâ τ ∈ D(Rn), ðàâíîå åäèíèöå â îêðåñòíîñòèsupp g, ïîëó÷èì τg = g. Òåì ñàìûì,
(g(y), φ(x+ y)) = (τ(y)g(y), φ(x+ y)) = (g(y), τ(y)φ(x+ y)) = 0
äëÿ âñåõ x, íå ïðèíàäëåæàùèõ ïðîåêöèè íîñèòåëÿ ôóíêöèè
(x, y) 7→ τ(y)φ(x+ y), (x, y) ∈ R2n, (5.8)
íà ïåðâûå n êîîðäèíàò.Äîêàæåì ôîðìóëó (5.6) â ñëó÷àå, êîãäà supp g êîìïàêò. Äëÿ ëþáîãî φ ∈
D(Rn) è êîìïàêòíîãî èñ÷åðïàíèÿ åäèíèöû ηk ∈ D(R2n), k = 1, 2, . . ., èìååì
ηk(x, y)τ(y)φ(x+ y) = τ(y)φ(x+ y), (x, y) ∈ R2n,
äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k, ò.ê. íîñèòåëü (5.8) êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî.Òàêèì îáðàçîì,
(f ∗ g, φ) = limk→∞
(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y))
= limk→∞
(f(x), (g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)))
= limk→∞
(f(x), (g(y), ηk(x, y)τ(y)φ(x+ y)))
= (f(x), (g(y), τ(y)φ(x+ y))) = (f(x), (g(y), φ(x+ y))).
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî êîìïàêòîì ÿâëÿåòñÿ supp f . Âîçüìåì σ ∈ D(Rm),ðàâíîå åäèíèöå â îêðåñòíîñòè supp f . Êàê è âûøå, äëÿ ëþáîé ôóíêöèè φ ∈D(Rn) è êîìïàêòíîãî èñ÷åðïàíèÿ åäèíèöû ηk ∈ D(R2n), k = 1, 2, . . ., ïîëó÷èì
ηk(x, y)σ(x)φ(x+ y) = σ(x)φ(x+ y), (x, y) ∈ R2n,
äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k, ïîýòîìó
(f ∗ g, φ) = limk→∞
(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y))
= limk→∞
(f(x), (g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)))
= limk→∞
(f(x), (g(y), ηk(x, y)σ(x)φ(x+ y)))
= (f(x), (g(y), σ(x)φ(x+ y))) = (f(x), (g(y), φ(x+ y)))
16 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
è ìû ñíîâà ïðèõîäèì ê (5.6).Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.
Óïðàæíåíèå 5.4. Ïîêàæèòå, ÷òî
f ∗ δ = f
äëÿ ëþáîé îáîáùåííîé ôóíêöèè f ∈ D′(Rn), ãäå δ äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà.
Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 5.2, íàõîäèì
(f ∗ δ, φ) = (f(x), (δ(y), φ(x+ y))) = (f(x), φ(x))
äëÿ âñåõ φ ∈ D(Rn).
Òåîðåìà 5.3. Ïóñòü f, g ∈ D′(Rn) òàêèå, ÷òî ñóùåñòâóåò ñâåðòêà f ∗ g,òîãäà ñóùåñòâóþò ñâåðòêè (∂f/∂xi) ∗ g, f ∗ (∂g/∂xi) è ïðè ýòîì
∂(f ∗ g)∂xi
=∂f
∂xi∗ g = f ∗ ∂g
∂xi, i = 1, 2, . . . , n. (5.9)
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü ïåðâîãî ðàâåíñòâà âôîðìóëå (5.9), âòîðîå áóäåò ñëåäîâàòü èç íåãî â ñèëó êîììóòàòèâíîñòè ñâåðòêè.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî φ ∈ D(Rn) è ηk ∈ D(Rn), k = 1, 2, . . ., íåêîòîðîå ðàçáèåíèååäèíèöû. Èìååì(
∂(f ∗ g)∂xi
, φ
)= −
(f ∗ g, ∂φ
∂xi
)= − lim
k→∞
(f(x)g(y), ηk(x, y)
∂φ(x+ y)
∂xi
).
(5.10)Äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë(
∂f
∂xi∗ g, φ
)=
(∂f(x)
∂xig(y), φ
)= lim
k→∞
(∂f(x)
∂xig(y), ηk(x, y)φ(x+ y)
)è ýòîò ïðåäåë ðàâåí ïðàâîé ÷àñòè (5.10). Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (4.9), ïîëó÷èì(
∂f(x)
∂xig(y), ηk(x, y)φ(x+ y)
)= −
(f(x)g(y),
∂(ηk(x, y)φ(x+ y))
∂xi
)= −
(f(x)g(y),
∂ηk(x, y)
∂xiφ(x+ y)
)−(f(x)g(y), ηk(x, y)
∂φ(x+ y)
∂xi
).
Òàêèì îáðàçîì, íóæíî äîêàçàòü, ÷òî
limk→∞
(f(x)g(y),
∂ηk(x, y)
∂xiφ(x+ y)
)= 0, i = 1, 2, . . . , n. (5.11)
Ðàññìîòðèì êîìïàêòíîå ðàçáèåíèå åäèíèöû
λk = ηk +∂ηk∂xi
, k = 1, 2, . . . .
Ïîñêîëüêó ïðåäåë â îïðåäåëåíèè ñâåðòêè íå çàâèñèò îò âûáîðà êîìïàêòíîãîèñ÷åðïàíèÿ åäèíèöû, áóäåì èìåòü
limk→∞
(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)) = limk→∞
(f(x)g(y), λk(x, y)φ(x+ y))
èëè, äðóãèìè ñëîâàìè,
limk→∞
(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)) = limk→∞
(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y))
+ limk→∞
(f(x)g(y),
∂ηk(x, y)
∂xiφ(x+ y)
),
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 17
îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò (5.11).Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
6. Òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ Lu = f(x) â D′(Rn)
 ýòîì ðàçäåëå ïîä L ìû áóäåì ïîäðàçóìåâàòü ëèíåéíûé äèôôåðåíöèàëü-íûé îïåðàòîð ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè
L =∑|α|≤m
cα∂α, cα ∈ C, |α| ≤ m.
Îïðåäåëåíèå 6.1. Ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðà-òîðà L íàçûâàåòñÿ îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ E ∈ D′(Rn) òàêàÿ, ÷òî
LE(x) = δ(x),
ãäå δ ∈ D′(Rn) äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà.
Ïðèìåð 6.1. Ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãîîïåðàòîðà
L =d
dx
ÿâëÿåòñÿ θ-ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà (ñì. óïðàæíåíèå 2.2).
Óïðàæíåíèå 6.1. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå äèô-ôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà åäèíñòâåííî?
Òåîðåìà 6.1 (î ñóùåñòâîâàíèè ðåøåíèÿ). Ïóñòü f ∈ D′(Rn) íåêîòîðàÿ
îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò ñâåðòêà
u = f ∗ E , (6.1)
ãäå E ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà L, òîãäà
Lu = f. (6.2)
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî
Lu = f ∗ (LE) = f ∗ δ = f.
Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
Òåîðåìà 6.2 (î åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ). Ïóñòü u ∈ D′(Rn) óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ (6.2) è ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò ñâåðòêà u∗E, ãäå E ôóíäàìåíòàëü-
íîå ðåøåíèå îïåðàòîðà L, òîãäà äëÿ ôóíêöèè u ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (6.1).
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì, î÷åâèäíî,
L(u ∗ E) = u ∗ (LE) = u ∗ δ = u
è
L(u ∗ E) = (Lu) ∗ E = f ∗ E ,÷òî íåìåäëåííî äîêàçûâàåò òåîðåìó.
18 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
7. Çàäà÷à Êîøè äëÿ ëèíåéíîãî îáûêíîâåííîãîäèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
 ýòîì ðàçäåëå ïîä L ìû áóäåì ïîíèìàòü îáûêíîâåííûé äèôôåðåíöèàëüíûéîïåðàòîð ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè
L =
(d
dx
)m+ am−1
(d
dx
)m−1
+ . . .+ a1d
dx+ a0, as ∈ C, s = 1, 2, . . . ,m− 1.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f ∈ C∞(R) è wp ∈ C, p = 0, 1, . . . ,m − 1. Èçâåñòíî, ÷òîçàäà÷à Êîøè
Lw = f(x), w(p)(0) = wp, p = 0, 1, . . . ,m− 1, (7.1)
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, îïðåäåëåííîå íà âñåé âåùåñòâåííîé ïðÿìîé [3].
Ëåììà 7.1. Ïóñòü w ðåøåíèå çàäà÷è (7.1). Îáîçíà÷èì
w(x) = θ(x)w(x) (7.2)
è
f(x) = θ(x)f(x). (7.3)
Òîãäà
Lw =m∑s=1
s−1∑p=0
aswpδ(s−p−1)(x) + f(x). (7.4)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìàòðèâàÿ w êàê îáîáùåííóþ ôóíêöèþ èç D′(R), ïîëó-÷èì
(Lw, φ) = (w,L∗φ) (7.5)
äëÿ âñåõ φ ∈ D(R), ãäå
L∗ = (−1)m(d
dx
)m+ (−1)m−1am−1
(d
dx
)m−1
+ . . .+ a2
(d
dx
)2
− a1d
dx+ a0
äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, ôîðìàëüíî ñîïðÿæåííûé ê L. Ââèäó òîãî,÷òî w ∈ L1,loc(R), ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
(w,L∗φ) =
∫RwL∗φdx,
îòêóäà, ïîëàãàÿ am = 1, áóäåì èìåòü
(w,L∗φ) =m∑s=0
(−1)sas
∫ ∞
0
wφ(s) dx. (7.6)
Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî∫ ∞
0
wφ(s) dx =s−1∑p=0
(−1)p+1w(p)(0)φ(s−p−1)(0) + (−1)s∫ ∞
0
w(s)φdx, s = 1, 2, . . . .
Òàêèì îáðàçîì, (7.6) âëå÷åò çà ñîáîé ðàâåíñòâî
(w,L∗φ) =m∑s=1
s−1∑p=0
(−1)s+p+1asw(p)(0)φ(s−p−1)(0) +
∫ ∞
0
Lwφdx,
îáúåäèíÿÿ êîòîðîå ñ (7.1) è (7.5), çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî.
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 19
Òåîðåìà 7.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ W ∈ C∞(R) óäîâëåòâîðÿåò çàäà÷å Êîøè
LW = 0, W(p)(0) = 0, p = 0, 1, . . . ,m− 2, W(m−1)(0) = 1, (7.7)
òîãäà E(x) = θ(x)W(x) ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà L.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî ëåììå 7.1, èìååì
LE(x) = δ(x).
Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Ëåììà 7.2. Ìíîæåñòâî A = f ∈ D′(R) : supp f ∈ [0,∞) ÿâëÿåòñÿ êîììó-òàòèâíîé àëãåáðîé ñ åäèíèöåé îòíîñèòåëüíî îïåðàöèé ñâåðòêè, ñëîæåíèÿ è
óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ f, g ∈ A ñóùåñòâóåòñâåðòêà f ∗ g è ýòà ñâåðêà ñîäåðæèòñÿ â A. Âîçüìåì íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå÷èñëî ε > 0 è ôóíêöèþ τ ∈ C∞(R), óäîâëåòâîðÿþùóþ óñëîâèÿì τ |(−∞,−1] = 0
è τ |[−1/2,∞) = 1. Îáîçíà÷èì
τε(x) = τ(xε
), x ∈ R.
Ïóñòü òàêæå f, g ∈ A, φ ∈ D(R) è ηk ∈ D(R), k = 1, 2, . . ., êîìïàêòíîåèñ÷åðïàíèå åäèíèöû. Ïîñêîëüêó τεf = f è τεg = g, ïîëó÷èì
(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+y)) = (f(x)g(y), ηk(x, y)τε(x)τε(y)φ(x+y)), k = 1, 2, . . . ,
îòêóäà ââèäó òîãî, ÷òî íîñèòåëü ôóíêöèè
(x, y) 7→ τε(x)τε(y)φ(x+ y), (x, y) ∈ R2,
êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî, áóäåì èìåòü
(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)) = (f(x)g(y), τε(x)τε(y)φ(x+ y))
äëÿ âñåõ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k. Òàêèì îáðàçîì, ñâåðêà f∗g ñóùåñòâóåò, ïðè÷åì
(f ∗ g, φ) = limk→∞
(f(x)g(y), ηk(x, y)φ(x+ y)) = (f(x)g(y), τε(x)τε(y)φ(x+ y)).
Íåñëîæíî óâèäåòü, supp f ∗ g ⊂ [0,∞).  ñàìîì äåëå, äëÿ ëþáîé ôóíêöèèφ ∈ D(R) ñ íîñèòåëåì, ïðèíàäëåæàùèì ïðîìåæóòêó (−∞, 0), íàéäåòñÿ ε > 0òàêîå, ÷òî τε(x)τε(y)φ(x+ y) = 0 äëÿ âñåõ (x, y) ∈ R2, ÷òî, î÷åâèäíî, âëå÷åò çàñîáîé ðàâåíñòâî (f ∗ g, φ) = 0.Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî åäèíèöåé â A ÿâëÿ-
åòñÿ δ-ôóíêöèÿ Äèðàêà. Óïðàæíåíèå 7.1. Äîêàæèòå, ÷òî A àññîöèàòèâíàÿ àëãåáðà, ò.å.
(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)
äëÿ ëþáûõ f, g, h ∈ A.
Òåîðåìà 7.2. Ïóñòü w ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (7.1), òîãäà
w(x) =m∑s=1
s−1∑p=0
aswpW(s−p−1)(x) +
∫ x
0
W(x− ξ)f(ξ) dξ, (7.8)
ãäå W ðåøåíèå çàäà÷è (7.7).
20 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ëåììó 7.1 è òåîðåìó 6.2, ïîëó÷èì
w(x) =m∑s=1
s−1∑p=0
aswpδ(s−p−1) ∗ E(x) + f ∗ E(x), (7.9)
ãäå E(x) = θ(x)W(x) ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà L, à ôóíêöèè wè f îïðåäåëåíû ñ ïîìîùüþ (7.2) è (7.3), ñîîòâåòñòâåííî. Ñîãëàñíî òåîðåìå 5.3
δ(s−p−1) ∗ E(x) = δ ∗ E (s−p−1)(x),
îòêóäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî
E (s−p−1)(x) = θ(x)W(s−p−1)(x), 1 ≤ s ≤ m, 0 ≤ p ≤ s− 1,
áóäåì èìåòü
m∑s=1
s−1∑p=0
aswpδ(s−p−1) ∗ E(x) = θ(x)
m∑s=1
s−1∑p=0
aswpW(s−p−1)(x).
Òàê êàê f , E ∈ L1,loc(R), äëÿ âòîðîãî ñëàãàåìîãî â ïðàâîé ÷àñòè (7.9) ñïðàâåä-ëèâî ðàâåíñòâî
f ∗ E(x) = θ(x)
∫ x
0
W(x− ξ)f(ξ) dξ
(ñì. óïðàæíåíèå 5.2). Òåì ñàìûì, (7.9) ïðèíèìàåò âèä
w(x) = θ(x)m∑s=1
s−1∑p=0
aswpW(s−p−1)(x) + θ(x)
∫ x
0
W(x− ξ)f(ξ) dξ,
è ìû äîêàçàëè ôîðìóëó (7.8) äëÿ âñåõ x > 0. Ïîêàæåì, ÷òî ôîðìóëà (7.8)òàêæå ñïðàâåäëèâà è äëÿ âñåõ x < 0. Ñïðàâåäëèâîñòü (7.8) â òî÷êå x = 0,î÷åâèäíî, ñëåäóåò èç íåïðåðûâíîñòè ïðàâîé ÷àñòè ýòîé ôîðìóëû.Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî ôóíêöèÿ
v(x) = (−1)mw(−x)
óäîâëåòâîðÿåò çàäà÷å Êîøè
(−1)mL∗v = f(−x), v(p)(0) = (−1)p+mwp, p = 0, 1, . . . ,m− 1,
ãäå L∗ äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð, ôîðìàëüíî ñîïðÿæåííûé ê L (ñì.ñ. 18). Ïîëàãàÿ, äàëåå,
V(x) = (−1)m−1W(−x),ïîëó÷èì ââèäó òåîðåìû 7.1, ÷òî θ(x)V(x) ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïå-ðàòîðà (−1)mL∗. Òåì ñàìûì, çàìåíÿÿ â ðàññóæäåíèÿõ, ïðèâåäåííûõ âûøå,ôóíêöèþ w íà v(x) = θ(x)v(x), áóäåì èìåòü
v(x) = θ(x)m∑s=1
s−1∑p=0
(−1)s+paswpV(s−p−1)(x) + θ(x)
∫ x
0
V(x− ξ)f(−ξ) dξ,
îòêóäà, â ñâîþ î÷åðåäü, ñëåäóåò ñïðàâåäëèâîñòü (7.8) äëÿ âñåõ x < 0.Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 21
8. Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà
Íàì áóäóò ïîëåçíû ñëåäóþùèå äâà óòâåðæäåíèÿ.
Òåîðåìà 8.1. Ïóñòü Ω ⊂ Rn, n ≥ 1, îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ êóñî÷íî
ãëàäêîé ãðàíèöåé è h ∈ C1(Ω) ∩ C(Ω), òîãäà∫Ω
∂h
∂xidx =
∫∂Ω
h cos(xi, ν) dS, i = 1, 2, . . . , n, (8.1)
ãäå cos(xi, ν) êîñèíóñ óãëà ìåæäó i-ûì êîîðäèíàòíûì îðòîì è âåêòîðîì
âíåøíåé íîðìàëè ν ê ãðàíèöå îáëàñòè Ω, à dS ýëåìåíò (n − 1)-ìåðíîãîîáúåìà ∂Ω.
Äîêàçàòåëüñòâî. Â îáùåé ôîðìóëå Ñòîêñà1∫∂ω
ω =
∫Ω
dω
âîçüìåì ω = (−1)i−1h(x) dx1 ∧ . . . ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ . . . ∧ dxn [1].
Òåîðåìà 8.2. Ïóñòü Ω ⊂ Rn, n ≥ 1, îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ êóñî÷íî
ãëàäêîé ãðàíèöåé è ïðè ýòîì f, g ∈ C1(Ω) ∩ C(Ω), òîãäà∫Ω
∂f
∂xig dx =
∫∂Ω
fg cos(xi, ν) dS −∫Ω
f∂g
∂xidx, i = 1, 2, . . . , n, (8.2)
ãäå cos(xi, ν) êîñèíóñ óãëà ìåæäó i-ûì êîîðäèíàòíûì îðòîì è âåêòîðîì
âíåøíåé íîðìàëè ν ê ãðàíèöå îáëàñòè Ω, à dS ýëåìåíò (n − 1)-ìåðíîãîîáúåìà ∂Ω.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëàãàåì h = fg â òåîðåìå 8.1.
Ôîðìóëà (8.1) ÿâëÿåòñÿ ìíîãîìåðíûì àíàëîãîì õîðîøî èçâåñòíîé ôîðìó-ëû Íüþòîíà-Ëåéáíèöà, â òî âðåìÿ êàê (8.2) ïðåäñòàâëÿåò èç ñåáÿ ïðàâèëîèíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Âûðàæåíèÿ (8.1) è (8.2) ïðèíÿòî òàêæå íàçûâàòüôîðìóëàìè Ãðèíà.
Òåîðåìà 8.3. Ïóñòü
En(x) =
1
2πln |x|, n = 2,
− 1
(n− 2)|S1||x|2−n, n ≥ 3,
(8.3)
ãäå |S1| (n− 1)-ìåðíûé îáúåì åäèíè÷íîé ñôåðû â Rn, òîãäà
∆En = δ(x)
èëè, äðóãèìè ñëîâàìè, En ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûé ðåøåíèåì îïåðàòîðà
Ëàïëàñà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Rn) ïîëó÷èì
(∆En, φ) =∫Rn
En∆φdx = limr→+0
∫BR\Br
En∆φdx, (8.4)
1Ñ÷èòàåì, ÷òî îðèåíòàöèÿ ∂Ω ñîãëàñîâàíà ñ íîðìàëüþ ν, âíåøíåé ïî îòíîøåíèþ ê Ω.
22 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
ãäå R > 0 íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî òàêîå, ÷òî suppφ ⊂ BR. Ïðè ýòîì,èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, áóäåì, î÷åâèäíî, èìåòü∫
BR\Br
En∆φdx =
∫∂(BR\Br)
Enn∑i=1
∂φ
∂xicos(xi, ν) dS −
∫BR\Br
n∑i=1
∂En∂xi
∂φ
∂xidx,
ãäå ν = (cos(x1, ν), cos(x2, ν), . . . , cos(xn, ν)) âåêòîð åäèíè÷íîé íîðìàëè ê∂(BR \Br), âíåøíåé ïî îòíîøåíèþ ê îáëàñòè BR \Br, îòêóäà ââèäó òîãî, ÷òî
∂φ
∂ν=
n∑i=1
∂φ
∂xicos(xi, ν),
ñëåäóåò ðàâåíñòâî∫BR\Br
En∆φdx =
∫∂(BR\Br)
En∂φ
∂νdS −
∫BR\Br
n∑i=1
∂En∂xi
∂φ
∂xidx.
Àíàëîãè÷íî, èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, íàõîäèì∫BR\Br
n∑i=1
∂En∂xi
∂φ
∂xidx =
∫∂(BR\Br)
∂En∂ν
φ dS −∫BR\Br
∆Enφdx.
Òàêèì îáðàçîì, îáúåäèíÿÿ ïîñëåäíèå äâå ôîðìóëû, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî∫BR\Br
En∆φdx =
∫∂(BR\Br)
En∂φ
∂νdS −
∫∂(BR\Br)
∂En∂ν
φ dS
+
∫BR\Br
∆Enφdx. (8.5)
Èìååì ∣∣∣∣∫∂(BR\Br)
En∂φ
∂νdS
∣∣∣∣ ≤ ∫Sr
En∣∣∣∣∂φ∂ν
∣∣∣∣ dS ≤ const rn−1 En|Sr,
ãäå const > 0 íå çàâèñèò îò r. Òàêèì îáðàçîì, ïåðâûé èíòåãðàë â ïðàâîé÷àñòè (8.5) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè r → ∞.Äàëåå, èç îïðåäåëåíèÿ En ñëåäóåò, ÷òî
∂En∂ν
∣∣∣∣Sr
= − 1
|Sr|,
ãäå |Sr| (n− 1)-ìåðíûé îáúåì ñôåðû ðàäèóñà r â Rn, ïîýòîìó∫∂(BR\Br)
∂En∂ν
φ dS =
∫Sr
∂En∂ν
φ dS = − 1
|Sr|
∫Sr
φdS.
Èìååì òàêæå
1
|Sr|
∫Sr
φdS = φ(0) +1
|Sr|
∫Sr
(φ(x)− φ(0)) dS,
ãäå ∣∣∣∣ 1
|Sr|
∫Sr
(φ(x)− φ(0)) dS
∣∣∣∣ ≤ supx∈Sr
|φ(x)− φ(0)| → 0 ïðè r → +0.
Òåì ñàìûì, äëÿ âòîðîãî èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè (8.5) ñïðàâåäëèâî ñîîòíî-øåíèå
limr→+0
∫∂(BR\Br)
∂En∂ν
φ dS = −φ(0).
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 23
Íàêîíåö, òðåòèé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (8.5) ðàâåí íóëþ.  ñàìîì äåëå,ïåðåõîäÿ ê ìíîãîìåðíûì ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì (r, ϑ1, ϑ2, . . . , ϑn−1), ïîëó÷èì
∆ =∂2
∂r2+n− 1
r
∂
∂r+
1
r2∆S1 ,
ãäå ∆S1 îïåðàòîð Ëàïëàñà-Áåëüòðàìè íà åäèíè÷íîé ñôåðå, çàâèñÿùèé òîëü-êî îò óãëîâûõ ïåðåìåííûõ ϑ1, ϑ2, . . . , ϑn−1, ïîýòîìó
∆En = E ′′n +
n− 1
rE ′n = 0, r = |x| > 0,
ãäå
En(r) =
1
2πln r, n = 2,
− 1
(n− 2)|S1|r2−n, n ≥ 3.
Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (8.5) ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî
limr→+0
∫BR\Br
En∆φdx = φ(0).
Îáúåäèíÿÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî è (8.4), çàâåðøàåì äîêàçàòåëüñòâî.
9. Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà òåïëîïðîâîäíîñòè
Òåîðåìà 9.1. Ôóíêöèÿ
En(x, t) =θ(t)
(2a√πt)n
e−|x|2
4a2t , (x, t) ∈ Rn+1, a > 0, (9.1)
ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì îïåðàòîðà òåïëîïðîâîäíîñòè ∂t−a2∆,ò.å.
∂tEn − a2∆En = δ(x, t).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî φ ∈ D(Rn) è ïðè ýòîì R > 0 íåêîòîðîåâåùåñòâåííîå ÷èñëî òàêîå, ÷òî suppφ ⊂ BR × R. Ïîñêîëüêó En ∈ L1,loc(Rn+1),ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
(En, φ) = −∫ ∞
0
∫Rn
En(φt + a2∆φ) dx dt
= − limε→+0
limr→+0
∫ ∞
ε
∫BR\Br
En(φt + a2∆φ) dx dt. (9.2)
Äëÿ ïåðâîãî ñëàãàåìîãî â ïðàâîé ÷àñòè î÷åâèäíîãî ðàâåíñòâà∫ ∞
ε
∫BR\Br
En(φt + a2∆φ) dx dt =
∫ ∞
ε
∫BR\Br
Enφt dx dt
+ a2∫ ∞
ε
∫BR\Br
En∆φdx dt (9.3)
áóäåì èìåòü∫ ∞
ε
∫BR\Br
Enφt dx dt =∫BR\Br
∫ ∞
ε
Enφt dt dx
= −∫BR\Br
En(x, ε)φ(x, ε) dx−∫BR\Br
∫ ∞
ε
∂tEnφdt dx.
24 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
 ñâîþ î÷åðåäü, äëÿ âòîðîãî ñëàãàåìîãî, èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì∫ ∞
ε
∫BR\Br
En∆φdx =
∫ ∞
ε
∫∂(BR\Br)
En∂φ
∂νdS −
∫ ∞
ε
∫∂(BR\Br)
∂En∂ν
φ dS
+
∫ ∞
ε
∫BR\Br
∆Enφdx,
ãäå ν âåêòîð åäèíè÷íîé íîðìàëè ê ãðàíèöå øàðîâîãî ñëîÿ BR \Br, âíåøíåéïî îòíîøåíèþ ê ýòîìó ñëîþ1.Òåì ñàìûì, (9.3) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå∫ ∞
ε
∫BR\Br
En(φt + a2∆φ) dx dt =−∫BR\Br
En(x, ε)φ(x, ε) dx
+ a2∫ ∞
ε
∫∂(BR\Br)
En∂φ
∂νdS
− a2∫ ∞
ε
∫∂(BR\Br)
∂En∂ν
φ dS
−∫ ∞
ε
∫BR\Br
(∂tEn − a2∆En)φdx dt. (9.4)
Ïîñëåäíèé èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (9.4) ðàâåí íóëþ, ò.ê.
∂tEn − a2∆En = 0 â Rn × (0,∞). (9.5)
Ââèäó òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ En è åå ïðîèçâîäíûå ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû íà ìíî-æåñòâå Rn × (ε,∞), áóäåì òàêæå èìåòü
limr→+0
∫ ∞
ε
∫∂(BR\Br)
En∂φ
∂νdS = lim
r→+0
∫ ∞
ε
∫Sr
En∂φ
∂νdS = 0
è
limr→+0
∫ ∞
ε
∫∂(BR\Br)
∂En∂ν
φ dS = limr→+0
∫ ∞
ε
∫Sr
∂En∂ν
φ dS = 0.
Òàêèì îáðàçîì, (9.4) âëå÷åò çà ñîáîé ñîîòíîøåíèå
limr→+0
∫ ∞
ε
∫BR\Br
En(φt + a2∆φ) dx dt = −∫BR
En(x, ε)φ(x, ε) dx
= −∫Rn
En(x, ε)φ(x, ε) dx. (9.6)
Ïåðåõîäÿ â ïðàâîé ÷àñòè (9.6) ê íîâûì ïåðåìåííûì ξ = x/(2a√ε), ïîëó÷èì∫
Rn
En(x, ε)φ(x, ε) dx =1
πn/2
∫Rn
e−|ξ|2φ(2a√εξ, ε) dξ,
îòêóäà ñîãëàñíî òåîðåìå Ëåáåãà îá îãðàíè÷åííîé ñõîäèìîñòè ñëåäóåò, ÷òî
limε→+0
∫Rn
En(x, ε)φ(x, ε) dx =1
πn/2
∫Rn
e−|ξ|2φ(0) dξ = φ(0).
Òåì ñàìûì, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
limε→+0
limr→+0
∫ ∞
ε
∫BR\Br
En(φt + a2∆φ) dx dt = −φ(0),
îáúåäèíÿÿ êîòîðîå ñ (9.2), çàâåðøàåì äîêàçàòåëüñòâî. 1Ñðàâíèòå ñ ôîðìóëîé (8.5), c. 22.
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 25
10. Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îäíîìåðíîãî âîëíîâîãî îïåðàòîðà
Òåîðåìà 10.1. Ôóíêöèÿ
E1(x, t) =1
2aθ(at− |x|), (x, t) ∈ R2, a > 0, (10.1)
ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì âîëíîâîãî îïåðàòîðà a = ∂2t − a2∂2x,ò.å.
aE1 = δ(x, t). (10.2)
Äîêàçàòåëüñòâî. Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî
a = (∂t + a∂x)(∂t − a∂x).
Ñîâåðøàÿ, äàëåå, çàìåíó ïåðåìåííûõx = aξ − aη,
t = ξ + η,
áóäåì èìåòü ∂ξ = ∂t + a∂x,
∂η = ∂t − a∂x.
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (10.2) ìîæåò áûòü ïðåîáðàçîâàíî ê âèäó
∂ξ∂ηE1 = δ(ξ, η), (10.3)
ãäåE1(ξ, η) = E1(aξ − aη, ξ + η)
èδ(ξ, η) = δ(aξ − aη, ξ + η).
Èç îïðåäåëåíèÿ çàìåíû ïåðåìåííûõ ó îáîáùåííûõ ôóíêöèé ñëåäóåò, ÷òî
δ(ξ, η) =1
2aδ(ξ)δ(η), (10.4)
ïîýòîìó ôóíêöèÿ
E1(ξ, η) =1
2aθ(ξ)θ(η)
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (10.3). Âîçâðàùàÿñü â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè êïåðåìåííûì x è t, ïîëó÷èì
E1(x, t) =1
2aθ
(at+ x
2a
)θ
(at− x
2a
)=
1
2aθ(at− |x|).
Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Óïðàæíåíèå 10.1. Ïðèâåäèòå äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû (10.4).
Ðåøåíèå. Äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(R2) èç îïðåäåëåíèÿ çàìåíû ïåðåìåííîé ó îáîá-ùåííûõ ôóíêöèé, ñ. 4, íàõîäèì
(δ(ξ, η), φ(ξ, η)) =
(δ(x, t), φ
(at+ x
2a,at− x
2a
) ∣∣∣∣det∥∥∥∥∂(ξ, η)∂(x, t)
∥∥∥∥∣∣∣∣) =1
2aφ(0, 0).
Òåì ñàìûì, îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî(1
2aδ(ξ)δ(η), φ(ξ, η)
)=
1
2a(δ(ξ), ((δ(η), φ(ξ, η)))) =
1
2a(δ(ξ), φ(ξ, 0)) =
1
2aφ(0, 0)
ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ.
26 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Ôóíäàìåíòàëüíûìè ðåøåíèÿìè âîëíîâîãî îïåðàòîðà â ìíîãîìåðíîì ñëó÷àåÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ôóíêöèè:
E2(x, t) =θ(at− |x|)
2πa√a2t2 − |x|2
, n = 2, (10.5)
è
E3(x, t) =θ(t)
4πa2tδSat(x), n = 3. (10.6)
11. Çàäà÷à Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè
Çàäà÷åé Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè íàçûâàåòñÿ çàäà÷à î íàõîæ-äåíèè ôóíêöèè u, óäîâëåòâîðÿþùåé ñîîòíîøåíèÿì
ut = ∆u+ f(x, t), x ∈ Rn, t > 0,
u(x, 0) = u0(x).(11.1)
Ìû áóäåì ãîâîðèòü îá îáîáùåííîé è êëàññè÷åñêîé ïîñòàíîâêàõ ýòîé çàäà÷è.
Îïðåäåëåíèå 11.1. Êëàññè÷åñêèì ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿòåïëîïðîâîäíîñòè íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ u ∈ C(Rn × [0,∞)) òàêàÿ, ÷òî u(·, t) ∈C2(Rn) äëÿ âñåõ t ∈ (0,∞), u(x, ·) ∈ C1(0,∞) äëÿ âñåõ x ∈ Rn è ïðè ýòîìâûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ (11.1).
Èç ñóùåñòâîâàíèÿ êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ (11.1), â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òîôóíêöèè f è u0 äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì f ∈ C(Rn × (0,∞)) è u0 ∈C(Rn). Îäíàêî, êàê áóäåò ïîêàçàíî â òåîðåìå 11.2 ýòè óñëîâèÿ ïðèäåòñÿ çíà-÷èòåëüíî óñèëèòü.
Ëåììà 11.1. Ïóñòü u ∈ C(Rn × [0,∞)) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî
u(·, t) ∈ C2(Rn) äëÿ âñåõ t ∈ (0,∞), u(x, ·) ∈ C1(0,∞) äëÿ âñåõ x ∈ Rn è ïðè
ýòîì ut −∆u ∈ L1,loc(Rn × [0,∞)). Îáîçíà÷èì
u(x, t) =
u(x, t), t ≥ 0,
0, t < 0,(11.2)
è
f(x, t) =
ut −∆u, t > 0,
0, t ≤ 0.
Òîãäà
ut = ∆u+ f(x, t) + u(x, 0)δ(t)
â ñìûñëå îáîáùåííûõ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâà D′(Rn+1).
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ âñÿêîãî φ ∈ D(Rn+1) èìååì
(ut −∆u, φ) = (u,−φt −∆φ) = −∫ ∞
0
∫Rn
uφt dtdx−∫ ∞
0
∫Rn
u∆φdxdt. (11.3)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ε > 0 íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Èíòåãðèðóÿ ïî÷àñòÿì, íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî∫ ∞
ε
u(x, t)φt(x, t) dt = −u(x, ε)φ(x, ε)−∫ ∞
ε
ut(x, t)φ(x, t) dt, x ∈ Rn,
è ∫Rn
u(x, t)∆φ(x, t) dx =
∫Rn
∆u(x, t)φ(x, t) dx, t ∈ (ε,∞). (11.4)
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 27
Òàêèì îáðàçîì,∫ ∞
ε
∫Rn
uφt dtdx+
∫ ∞
ε
∫Rn
u∆φdxdt
=
∫ ∞
ε
∫Rn
(∆u− ut)φdxdt−∫Rn
u(x, ε)φ(x, ε) dx,
îòêóäà, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ε→ +0, ïîëó÷èì∫ ∞
0
∫Rn
uφt dtdx+
∫ ∞
0
∫Rn
u∆φdxdt
=
∫ ∞
0
∫Rn
(∆u− ut)φdxdt−∫Rn
u(x, 0)φ(x, 0) dx.
Îáúåäèíÿÿ ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ñ ôîðìóëîé (11.3), áóäåì èìåòü
(ut −∆u, φ) =
∫ ∞
0
∫Rn
(ut −∆u)φdxdt+
∫Rn
u(x, 0)φ(x, 0) dx
èëè, äðóãèìè ñëîâàìè,
(ut −∆u, φ) = (f(x, t) + u(x, 0)δ(t), φ).
Ëåììà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
Îïðåäåëåíèå 11.2. ÏîäM áóäåì ïîíèìàòü ìíîæåñòâî èçìåðèìûõ ôóíêöèé,ðàâíûõ íóëþ ï.â. íà Rn× (−∞, 0) è ïðèíàäëåæàùèõ L∞(Rn× (0, T )) äëÿ âñåõâåùåñòâåííûõ ÷èñåë T > 0.
Ëåììà 11.2. Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f ∈ M ñóùåñòâóåò ñâåðòêà En∗f ∈ M, ãäå
En ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà òåïëîïðîâîäíîñòè, îïðåäåëåííîå
ðàâåíñòâîì (9.1).
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ìû ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ñâåðêà En∗f ∈ M â êëàñ-ñè÷åñêîì ñìûñëå, òî áóäåò ñóùåñòâîâàòü è îáîáùåííàÿ ñâåðêà è îáå ñâåðêèáóäóò ñîâïàäàòü (ñì. óïðàæíåíèå 5.2).Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ êëàññè÷åñêîé ñâåðêè
En ∗ f (x, t) =
∫Rn+1
En(x− y, t− τ)f(y, τ) dydτ
= θ(t)
∫ t
0
∫Rn
e− |x−y|2
4a2(t−τ)
(2a√π(t− τ))n
f(y, τ) dydτ, (x, t) ∈ Rn+1. (11.5)
Ñîâåðøàÿ â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå çàìåíó ïåðåìåííîé ξ = (x − y)/(2a√t− τ),
ïîëó÷èì
En ∗ f (x, t) =θ(t)
πn/2
∫ t
0
∫Rn
e−|ξ|2f(x− 2aξ√t− τ , τ) dξdτ, (x, t) ∈ Rn+1,
îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî
|En ∗ f (x, t)| ≤ ∥f∥L∞(Rn×(0,t))θ(t)t
πn/2
∫Rn
e−|ξ|2 dξ
= θ(t)t∥f∥L∞(Rn×(0,t)), (x, t) ∈ Rn+1.
Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.
28 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Îïðåäåëåíèå 11.3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f ∈ M è u0 ∈ L∞(Rn). Îáîáùåííûìðåøåíèåì çàäà÷è Êîøè (11.1) äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè íàçûâàåòñÿôóíêöèÿ u ∈ M òàêàÿ, ÷òî
ut = ∆u+ f(x, t) + u0(x)δ(t), (11.6)
ãäå äèôôåðåíöèðîâàíèå ïîíèìàåòñÿ â îáîáùåííîì ñìûñëå êàê îò ôóíêöèè èçïðîñòðàíñòâà D′(Rn+1).
Òåîðåìà 11.1. Îáîáùåííîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (11.1) äëÿ óðàâíåíèÿ òåï-ëîïðîâîäíîñòè, ãäå f ∈ M è u0 ∈ L∞(Rn), ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è îïðå-
äåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Ïóàññîíà
u(x, t) = θ(t)
∫ t
0
∫Rn
e− |x−y|2
4a2(t−τ)
(2a√π(t− τ))n
f(y, τ) dydτ
+θ(t)
(2a√πt)n
∫Rn
e−|x−y|2
4a2t u0(y) dy, (x, t) ∈ Rn+1. (11.7)
Äîêàçàòåëüñòâî. Åäèíñòâåííîñòü ñëåäóåò èç òåîðåìû 6.2 è ëåììû 11.2. Äëÿäîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ñîãëàñíî òåîðåìå 6.1 äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òîó ïðàâîé ÷àñòè (11.6) ñóùåñòâóåò ñâåðêà ñ ôóíäàìåíòàëüíûì ðåøåíèåì îïåðà-òîðà òåïëîïðîâîäíîñòè (9.1). Ââèäó ëåììû 11.2 ó ïåðâîãî ñëàãàåìîãî â ïðàâîé÷àñòè (11.6) òàêàÿ ñâåðêà ñóùåñòâóåò è äëÿ íåå ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (11.5).Ìîæíî òàêæå óâèäåòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (11.5) ñîâïàäàåò ñ ïåðâûì ñëàãàåìûìâ ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû Ïóàññîíà (11.7).Ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò ñâåðòêà En(x, t) ∗ (u0(x)δ(t)) ∈ M, ïðè÷åì
En(x, t) ∗ (u0(x)δ(t)) =θ(t)
(2a√πt)n
∫Rn
e−|x−y|2
4a2t u0(y) dy, (x, t) ∈ Rn+1. (11.8)
 ñàìîì äåëå, ïóñòü ηk ∈ D(R2n+2), k = 1, 2, . . ., êîìïàêòíîå èñ÷åðïàíèååäèíèöû. Äëÿ âñÿêîãî φ ∈ D(Rn+1) èìååì
limk→∞
(En(ξ, t)u0(y)δ(τ), ηk(ξ, t, y, τ)φ(ξ + y, t+ τ))
= limk→∞
(En(ξ, t), (u0(y), (δ(τ), ηk(ξ, t, y, τ)φ(ξ + y, t+ τ))))
= limk→∞
(En(ξ, t), (u0(y), ηk(ξ, t, y, 0)φ(ξ + y, t)))
=
∫ ∞
−∞
∫Rn
∫Rn
θ(t)
(2a√πt)n
e−|ξ|2
4a2tu0(y)ηk(ξ, t, y, 0)φ(ξ + y, t) dydξdt.
Ñîâåðøàÿ, äàëåå, çàìåíó ïåðåìåííûõ x = ξ + y, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî
limk→∞
(En(ξ, t)u0(y)δ(τ), ηk(ξ, t, y, τ)φ(ξ + y, t+ τ))
=
∫ ∞
−∞
∫Rn
∫Rn
θ(t)
(2a√πt)n
e−|x−y|2
4a2t u0(y)ηk(x− y, t, y, 0)φ(x, t) dydxdt
=
∫ ∞
−∞
∫Rn
φ(x, t)
∫Rn
θ(t)
(2a√πt)n
e−|x−y|2
4a2t u0(y)ηk(x− y, t, y, 0) dydxdt.
Ñîãëàñíî òåîðåìå Ëåáåãà îá îãðàíè÷åííîé ñõîäèìîñòè∫Rn
θ(t)
(2a√πt)n
e−|x−y|2
4a2t u0(y)ηk(x− y, t, y, 0) dy →∫Rn
θ(t)
(2a√πt)n
e−|x−y|2
4a2t u0(y) dy
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 29
ïðè k → ∞ äëÿ ï.â. (x, t) ∈ Rn+1. Íåñëîæíî òàêæå óâèäåòü, ÷òî∣∣∣∣∫Rn
θ(t)
(2a√πt)n
e−|x−y|2
4a2t u0(y)ηk(x− y, t, y, 0) dy
∣∣∣∣≤ ∥ηk∥C(R2n+2)∥u0∥L∞(Rn)
∫Rn
θ(t)
(2a√πt)n
e−|x−y|2
4a2t dy
= θ(t)∥ηk∥C(R2n+2)∥u0∥L∞(Rn).
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ êîìïàêòíîãî èñ÷åðïàíèÿ åäèíèöû íîðìà ∥ηk∥C(R2n+2)
îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó íåêîòîðîé êîíñòàíòîé, íå çàâèñÿùåé îò k. Òàêèì îáðàçîì,ïðèìåíÿÿ åùå ðàç òåîðåìó Ëåáåãà îá îãðàíè÷åííîé ñõîäèìîñòè, ïîëó÷èì∫ ∞
−∞
∫Rn
φ(x, t)
∫Rn
θ(t)
(2a√πt)n
e−|x−y|2
4a2t u0(y)ηk(x− y, t, y, 0) dydxdt
→∫ ∞
−∞
∫Rn
φ(x, t)
∫Rn
θ(t)
(2a√πt)n
e−|x−y|2
4a2t u0(y) dydxdt
ïðè k → ∞, îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî
limk→∞
(En(ξ, t)u0(y)δ(τ), ηk(ξ, t, y, τ)φ(ξ + y, t+ τ))
=
∫ ∞
−∞
∫Rn
φ(x, t)
∫Rn
θ(t)
(2a√πt)n
e−|x−y|2
4a2t u0(y) dydxdt
=
(θ(t)
(2a√πt)n
∫Rn
e−|x−y|2
4a2t u0(y) dy, φ(x, t)
).
Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå, î÷åâèäíî, ðàâíîñèëüíî ôîðìóëå (11.8). Èìååì òàêæå∣∣∣∣ θ(t)
(2a√πt)n
∫Rn
e−|x−y|2
4a2t u0(y) dy
∣∣∣∣≤ ∥u0∥L∞(Rn)
θ(t)
(2a√πt)n
∫Rn
e−|x−y|2
4a2t dy = θ(t)∥u0∥L∞(Rn)
äëÿ âñåõ (x, t) ∈ Rn+1, ïîýòîìó En(x, t) ∗ (u0(x)δ(t)) ∈ M.Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü (11.8)
ñîâïàäàåò ñî âòîðûì ñëàãàåìûì â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû Ïóàññîíà (11.7). Íàì ïîòðåáóåòñÿ îäíî óòâåðæäåíèå, ïðåäñòàâëÿþùåå èç ñåáÿ ïðàâèëî äèô-
ôåðåíöèðîâàíèÿ èíòåãðàëà ïî ïàðàìåòðó.
Ëåììà 11.3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî a < λ0 < b âåùåñòâåííûå ÷èñëà, M
ìíîæåñòâî ñ ìåðîé Ëåáåãà µ, à f : (a, b) × M → R íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ
òàêàÿ, ÷òî ∫M
|f(λ0, y)| dµ(y) <∞,
f(·, y) àáñîëþòíî íåïðåðûâíà íà (a, b) ïî÷òè äëÿ âñåõ y ∈M , è∫(a,b)×M
∣∣∣∣∂f(λ, y)∂λ
∣∣∣∣ dλ dµ(y) <∞.
Òîãäà èíòåãðàë
φ(λ) =
∫M
f(λ, y) dµ(y)
30 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
ñõîäèòñÿ äëÿ ëþáîãî λ ∈ (a, b), ôóíêöèÿ φ àáñîëþòíî íåïðåðûâíà íà èíòåð-
âàëå (a, b) è ïðè ýòîì
dφ(λ)
dλ=
∫M
∂f(λ, y)
∂λdµ(y) (11.9)
äëÿ ïî÷òè âñåõ λ ∈ (a, b).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ôîðìóëå Íüþòîíà-Ëåéáíèöà
f(λ, y) = f(λ0, y) +
∫ λ
λ0
∂f(θ, y)
∂θdθ
äëÿ âñåõ λ ∈ (a, b) è ïî÷òè âñåõ y ∈ M , îòêóäà ñîãëàñíî òåîðåìå Ôóáèíèíàõîäèì
φ(λ) = φ(λ0) +
∫ λ
λ0
dθ
∫M
∂f(θ, y)
∂θdµ(y)
äëÿ âñåõ λ ∈ (a, b).Ëåììà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
Çàìå÷àíèå 11.1. Åñëè â óñëîâèÿõ ëåììû 11.3 ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû∫M
∂f(λ, y)
∂λdµ(y) ∈ C(a, b)
êàê ôóíêöèÿ àðãóìåíòà λ, òî áóäåì, î÷åâèäíî, èìåòü φ ∈ C1(a, b) è ôîðìó-ëà (11.9) áóäåò âûïîëíåíà äëÿ âñåõ λ ∈ (a, b).Íè÷òî òàêæå íå ìåøàåò ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû λ0 ñîâïàäàëî ñ îäíèì èç êîíöîâ
èíòåðâàëà (a, b), íàïðèìåð, λ0 = a. Òîãäà åñëè∫M
∂f(λ, y)
∂λdµ(y) ∈ C([a, b))
êàê ôóíêöèÿ àðãóìåíòà λ, òî φ ∈ C1([a, b)) è ôîðìóëà (11.9) áóäåò âûïîë-íåíà äëÿ âñåõ λ ∈ [a, b). Ïðè ýòîì â òî÷êå a ïîäðàçóìåâàåòñÿ îäíîñòîðîííÿÿïðîèçâîäíàÿ.
Òåîðåìà 11.2. Ïóñòü u0 ∈ C(Rn)∩L∞(Rn), f(·, t) ∈ C2(Rn) äëÿ âñåõ t ∈ (0,∞)è ïðè ýòîì ∂αx f ∈ M ∩ C(Rn × (0,∞)) äëÿ âñåõ α = (α1, . . . , αn) òàêèõ, ÷òî|α| ≤ 2. Òîãäà êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (11.1) äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëî-ïðîâîäíîñòè ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Ïóàññîíà
u(x, t) =
∫ t
0
∫Rn
e− |x−y|2
4a2(t−τ)
(2a√π(t− τ))n
f(y, τ) dydτ
+1
(2a√πt)n
∫Rn
e−|x−y|2
4a2t u0(y) dy, (x, t) ∈ Rn × (0,∞).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî òåîðåìå 11.1 ñóùåñòâóåò îáîáùåííîå ðåøåíèå çà-äà÷è (11.1), äëÿ êîòîðîãî ñïðàâåäëèâî (11.7). Îáîçíà÷èì
J1(x, t) =
∫ t
0
∫Rn
e− |x−y|2
4a2(t−τ)
(2a√π(t− τ))n
f(y, τ) dydτ (11.10)
è
J2(x, t) =1
(2a√πt)n
∫Rn
e−|x−y|2
4a2t u0(y) dy. (11.11)
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 31
Âûïîëíèâ çàìåíó ïåðåìåííûõ ξ = (x− y)/(2a√t− τ) ïîëó÷èì
J1(x, t) =1
πn/2
∫ t
0
∫Rn
e−|ξ|2f(x− 2aξ√t− τ , τ) dξdτ
äëÿ âñåõ (x, t) ∈ Rn × (0,∞).Ïîêàæåì, ÷òî â êàæäîé òî÷êå (x, t) ∈ Rn × (0,∞) ñóùåñòâóþò ïðîèçâîäíûå
∂αxJ1(x, t) =1
πn/2
∫ t
0
∫Rn
e−|ξ|2∂αx f(x− 2aξ√t− τ , τ) dξdτ, |α| ≤ 2,
è
∂tJ1(x, t) =1
πn/2
∫ t
0
∫Rn
e−|ξ|2∂tf(x− 2aξ√t− τ , τ) dξdz
+1
πn/2
∫Rn
e−|ξ|2f(x, t) dξ,
íåïðåðûâíûå â îáëàñòè Rn× (0,∞). Äåéñòâèòåëüíî, ïî óñëîâèÿì òåîðåìû äëÿâñåõ (x, t) ∈ Rn × (0,∞) èìååì
1
πn/2
∫ t
0
∫Rn
e−|ξ|2|∂αx f(x− 2aξ√t− τ , τ)| dξdτ
≤ t∥∂αx f∥L∞(Rn×(0,t))1
πn/2
∫Rn
e−|ξ|2 dξ
= t∥∂αx f∥L∞(Rn×(0,t)) <∞, |α| ≤ 2, (11.12)
1
πn/2
∫ t
t0
∫Rn
e−|ξ|2|∂tf(x− 2aξ√t− τ , τ)| dξdτ
≤ ∥∇f∥L∞(Rn×(0,t))a
πn/2
∫ t
t0
dτ√t− τ
∫Rn
|ξ|e−|ξ|2 dξ
= ∥∇f∥L∞(Rn×(0,t))2a
√t− t0
πn/2
∫Rn
|ξ|e−|ξ|2 dξ <∞, 0 ≤ t0 < t, (11.13)
è
1
πn/2
∫Rn
e−|ξ|2|f(x, t)| dξ ≤ ∥f∥L∞(Rn×(0,t))1
πn/2
∫Rn
e−|ξ|2 dξ = ∥f∥L∞(Rn×(0,t)) <∞.
Òàêèì îáðàçîì, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ëåììó 11.3 è çàìå÷àíèå 11.1, äîñòàòî÷-íî óñòàíîâèòü íåïðåðûâíîñòü â Rn × (0,∞) ôóíêöèé
Fα(x, t) =
∫ t
0
∫Rn
e−|ξ|2∂αx f(x− 2aξ√t− τ , τ) dξdτ, |α| ≤ 2,
G(x, t) =
∫ t
0
∫Rn
e−|ξ|2∂tf(x− 2aξ√t− τ , τ) dξdτ
è
H(x, t) =
∫Rn
e−|ξ|2f(x, t) dξ.
Ïóñòü K ⊂ Rn × (0,∞) íåêîòîðûé êîìïàêò. Âîçüìåì âåùåñòâåííîå ÷èñëîM > 0 òàêîå, ÷òî K ⊂ Rn × (0,M). Åñëè ìû ïîêàæåì, ÷òî
∥Fα − Fα,m∥C(K) → 0 ïðè m→ ∞, (11.14)
∥G−Gm∥C(K) → 0 ïðè m→ ∞ (11.15)
32 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
è
∥H −Hm∥C(K) → 0 ïðè m→ ∞, (11.16)
ãäå
Fα,m(x, t) =
∫ t
1/m
∫Bm
e−|ξ|2∂αx f(x− 2aξ√t− τ , τ) dξdτ, |α| ≤ 2,
Gm(x, t) =
∫ t−1/m
1/m
∫Bm
e−|ξ|2∂tf(x− 2aξ√t− τ , τ) dξdτ
è
Hm(x, t) =
∫Bm
e−|ξ|2f(x, t) dξ,
òî ââèäó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé Fα,m, Gm è Hm íà ìíîæåñòâå K (ñì. óïðàæ-íåíèå 11.1), ìû ïîëó÷èì, ÷òî Fα, G è H òàêæå íåïðåðûâíû íà K.Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî
∥Fα − Fα,m∥C(K) ≤∫ 1/m
0
∫Rn
e−|ξ|2 |∂αx f(x− 2aξ√t− τ , τ)| dξdτ
+
∫ M
0
∫Rn\Bm
e−|ξ|2|∂αx f(x− 2aξ√t− τ , τ)| dξdτ.
Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñòðåìèòñÿ ê íóëþïðè m→ ∞ ñîãëàñíî îöåíêå (11.12). Äëÿ âòîðîãî ñëàãàåìîãî èìååì∫ M
0
∫Rn\Bm
e−|ξ|2|∂αx f(x− 2aξ√t− τ , τ)| dξdτ
≤M∥∂αx f∥L∞(Rn×(0,M))
∫Rn\Bm
e−|ξ|2 dξ → 0 ïðè m→ ∞.
Òåì ñàìûì, ìû äîêàçàëè (11.14).Àíàëîãè÷íî,
∥G−Gm∥C(K) ≤∫ t
t−1/m
∫Rn
e−|ξ|2|∂tf(x− 2aξ√t− τ , τ)| dξdτ
+
∫ 1/m
0
∫Rn
e−|ξ|2|∂tf(x− 2aξ√t− τ , τ)| dξdτ
+
∫ M
0
∫Rn\Bm
e−|ξ|2 |∂tf(x− 2aξ√t− τ , τ)| dξdτ,
ãäå äâà ïåðâûõ ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðè m → ∞ââèäó (11.13), à äëÿ òðåòüåãî ñïðàâåäëèâà îöåíêà∫ M
0
∫Rn\Bm
e−|ξ|2|∂tf(x− 2aξ√t− τ , τ)| dξdτ
≤ a∥∇f∥L∞(Rn×(0,M))
∫ T
0
dτ√t− τ
∫Rn\Bm
|ξ|e−|ξ|2 dξ
= 2a√T∥∇f∥L∞(Rn×(0,M))
∫Rn\Bm
|ξ|e−|ξ|2 dξ → 0 ïðè m→ ∞.
Òàêèì îáðàçîì, ìû óñòàíîâèëè ñïðàâåäëèâîñòü (11.15).
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 33
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà (11.16) îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî
∥H −Hm∥C(K) ≤∫Rn\Bm
e−|ξ|2|f(x, t)| dξ
≤ ∥f∥L∞(Rn×(0,M))
∫Rn\Bm
e−|ξ|2 dξ → 0 ïðè m→ ∞.
Ìîæíî òàêæå óâèäåòü, ÷òî J2 ∈ C∞(Rn × (0,∞)), ïðè÷åì
∂βJ2(x, t) =
∫Rn
∂β(
1
(2a√πt)n
e−|x−y|2
4a2t
)u0(y) dy
äëÿ ëþáîãî ìóëüòèèíäåêñà β = (β1, . . . , βn, βn+1). Äëÿ ýòîãî ñîãëàñíî ëåì-ìå 11.3 è çàìå÷àíèþ 11.1 äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü íåïðåðûâíîñòü â Rn × (0,∞)ôóíêöèé
Iβ(x, t) =
∫Rn
∂β(
1
(2a√πt)n
e−|x−y|2
4a2t
)u0(y) dy.
Ïóñòü K ⊂ Rn × (0,∞) íåêîòîðûé êîìïàêò. Ïîêàæåì, ÷òî
∥Iβ(x, t)− Iβ,m(x, t)∥C(K) → 0 ïðè m→ ∞ (11.17)
äëÿ ëþáîãî ìóëüòèèíäåêñà β = (β1, . . . , βn, βn+1), ãäå
Iβ,m(x, t) =
∫Bm
∂β(
1
(2a√πt)n
e−|x−y|2
4a2t
)u0(y) dy, m = 1, 2, . . . .
Òàê êàê Iβ,m ∈ C(K) äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë m, îòñþäà áóäåò ñëåäîâàòü,÷òî Iβ ∈ C(K). Äëÿ ëþáîãî ìóëüòèèíäåêñà β = (β1, . . . , βn, βn+1) èìååì
∂β(
1
(2a√πt)n
e−|x−y|2
4a2t
)= Aβ(x, t)e
− |x−y|2
4a2t ,
ãäå Aβ ∈ C(K), ïîýòîìó
∥Iβ(x, t)− Iβ,m(x, t)∥C(K) ≤∫Rn\Bm
∣∣∣∣Aβ(x, t)e− |x−y|2
4a2t u0(y)
∣∣∣∣ dy≤ ∥Aβ∥C(K)∥u0∥L∞(Rn)
∫Rn\Bm
e−(|y|−l)2
4a2ε dy,
ãäå
l = sup(x,t)∈K
|x| <∞
è
ε = inf(x,t)∈K
t > 0,
÷òî íåìåäëåííî âëå÷åò çà ñîáîé (11.17).Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ôóíêöèè J1 è J2, à çíà÷èò è ïðàâóþ ÷àñòü (11.7) ìîæíî
íåïðåðûâíûì îáðàçîì ïðîäîëæèòü íà ìíîæåñòâî Rn× [0,∞)1. Äåéñòâèòåëüíî,âçÿâ α = 0 â (11.12), ïîëó÷èì, ÷òî J1(x, t) → 0 ïðè t → +0 ðàâíîìåðíî ïî
1Çàìåòèì, ÷òî ôîðìàëüíî J1 è J2 íå îïðåäåëåíû ïðè t = 0.  ñëó÷àå ðåøåíèÿ (11.7)îáîáùåííîé çàäà÷è Êîøè ýòî, î÷åâèäíî, íå ÿâëÿåòñÿ ïðèíöèïèàëüíûì, ò.ê. ôóíêöèþ èçL1,loc(Rn+1) äîñòàòî÷íî çàäàòü íà ìíîæåñòâå ïîëíîé ìåðû, ò.å. íà äîïîëíåíèè ìíîæåñòâàìåðû íóëü.
34 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
x ∈ Rn, ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî J1(x, 0) = 0.  ñâîþ î÷åðåäü, âûïîëíèââ (11.11) çàìåíó ïåðåìåííûõ ξ = (x− y)/(2a
√t), áóäåì èìåòü
J2(x, t) =1
πn/2
∫Rn
e−|ξ|2u0(x− 2aξ√t) dξ.
 îòëè÷èå îò (11.11) ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ îïðåäåëåíà íà âñåììíîæåñòâå Rn× [0,∞), â òîì ÷èñëå è ïðè t = 0. Ïîêàæåì, ÷òî îíà íåïðåðûâíàíà Rn × [0,∞). Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ, ÷òî
∥J2 − J2,m∥C(Rn×[0,∞)) → 0 ïðè m→ ∞, (11.18)
ãäå
J2,m(x, t) =1
πn/2
∫Bm
e−|ξ|2u0(x− 2aξ√t) dξ,
ò.ê. ôóíêöèè J2,m íåïðåðûâíû íà Rn × [0,∞). Èìååì
∥J2 − J2,m∥C(Rn×[0,∞)) ≤1
πn/2
∫Rn\Bm
e−|ξ|2u0(x− 2aξ√t) dξ
≤ ∥u0∥L∞(Rn)1
πn/2
∫Rn\Bm
e−|ξ|2 dξ,
îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò (11.18).Òåì ñàìûì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â íàøåì ñëó÷àå ðåøåíèå (11.7) îáîáùåííîé
çàäà÷è Êîøè óäîâëåòâîðÿåò òåì æå óñëîâèÿì ãëàäêîñòè, ÷òî è êëàññè÷åñêîåðåøåíèå (ñì. îïðåäåëåíèå 11.1). Ïðè ýòîì (11.6) ïîçâîëÿåò, î÷åâèäíî, óòâåð-æäàòü, ÷òî íà ìíîæåñòâå Rn × (0,∞) óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè
ut = ∆u+ f(x, t)
ñïðàâåäëèâî â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå, ò.å. â êàæäîé òî÷êå ýòîãî ìíîæåñòâà.×òîáû äîêàçàòü ðàâåíñòâî
u(x, 0) = u0(x), (11.19)
çàìåòèì, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ëåììîé 11.1
ut = ∆u+ f(x, t) + u(x, 0)δ(t).
Âû÷èòàÿ ïîñëåäíåå óðàâíåíèå èç (11.6), ïîëó÷èì
(u0(x)− u(x, 0))δ(t) = 0,
îòêóäà, â ñâîþ î÷åðåäü, âûòåêàåò (11.19) (ñì. óïðàæíåíèå 11.2).Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî åäèíñòâåííîñòü êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ñëåäóåò èç
åäèíñòâåííîñòè îáîáùåííîãî, ò.ê. ïî ëåììå 11.1 êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå, ïðî-äîëæåííîå íóëåì ïðè t < 0, ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííûì.Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.
Óïðàæíåíèå 11.1. Ïóñòü f ∈ C(X × Y ), ãäå X ⊂ Rk è Y ⊂ Rl, k, l ≥ 1, êîìïàêòíûå ìíîæåñòâà. Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ
F (x) =
∫Y
f(x, y) dy
íåïðåðûâíà íà X.
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 35
Ðåøåíèå. Ìîæíî, î÷åâèäíî, óòâåðæäàòü, ÷òî f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íàêîìïàêòå X × Y , ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ κ > 0 òàêîå, ÷òî|f(x1, y)− f(x2, y)| < ε äëÿ âñåõ x1, x2 ∈ X è y ∈ Y , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ|x1 − x2| < κ. Òàêèì îáðàçîì,
|F (x1)− F (x2)| ≤∫Y
|f(x1, y)− f(x2, y)| dy ≤ εmesY
äëÿ âñåõ x1, x2 ∈ X òàêèõ, ÷òî |x1 − x2| < κ.
Óïðàæíåíèå 11.2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òîm∑k=0
uk(x)δ(k)(t) = 0,
ãäå uk ∈ D′(Rn). Äîêàæèòå, ÷òî uk = 0, k = 0, 1, . . . ,m.
Ðåøåíèå. Ïóñòü φ ∈ D(Rn) è l ∈ 0, . . . ,m è ïóñòü η ∈ D(R) íåêîòîðàÿôóíêöèÿ, ðàâíàÿ åäèíèöå â îêðåñòíîñòè íóëÿ. Èìååì(
m∑k=0
uk(x)δ(k)(t), φ(x)tlη(t)
)=
m∑k=0
(uk(x), φ(x))(δ(k)(t), tlη(t))
= (−1)ll!(ul(x), φ(x)) = 0.
12. Çàäà÷à Êîøè äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ
Çàäà÷åé Êîøè äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ çàäà÷à î íàõîæäåíèèôóíêöèè u, óäîâëåòâîðÿþùåé ñîîòíîøåíèÿì
utt = ∆u+ f(x, t), x ∈ Rn, t > 0,
u(x, 0) = u0(x).
ut(x, 0) = u1(x).
(12.1)
Êàê è â ñëó÷àå çàäà÷è Êîøè äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè, ìû áóäåì ãî-âîðèòü îá îáîáùåííîé è êëàññè÷åñêîé ïîñòàíîâêàõ çàäà÷è (12.1).
Îïðåäåëåíèå 12.1. Ðåøåíèåì êëàññè÷åñêîé çàäà÷è Êîøè (12.1) äëÿ âîëíî-âîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ u ∈ C1(Rn × [0,∞)) ∩ C2(Rn × (0,∞)),óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñîîòíîøåíèÿì (12.1).
Ëåììà 12.1. Ïóñòü u ∈ C1(Rn× [0,∞))∩C2(Rn× (0,∞)) íåêîòîðàÿ ôóíê-
öèÿ òàêàÿ, ÷òî utt −∆u ∈ L1,loc(Rn × [0,∞)). Òîãäà
utt = ∆u+ f(x, t) + u(x, 0)δ′(t) + ut(x, 0)δ(t) (12.2)
â ñìûñëå îáîáùåííûõ ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâà D′(Rn+1), ãäå u çàäàíî ñ ïî-
ìîùüþ (11.2), à
f(x, t) =
utt −∆u, t > 0,
0, t ≤ 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé îò îáîáùåííîé ôóíê-öèè äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Rn+1)
(utt −∆u, φ) = (u, φtt −∆φ) =
∫ ∞
0
∫Rn
uφtt dtdx−∫ ∞
0
∫Rn
u∆φdxdt. (12.3)
36 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Ïóñòü ε > 0 íåêîòîðîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî. Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì∫ ∞
ε
u(x, t)φtt(x, t) dt =− u(x, ε)φt(x, ε) + ut(x, ε)φ(x, ε)
+
∫ ∞
ε
utt(x, t)φ(x, t) dt, x ∈ Rn.
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà è (11.4) ïîçâîëÿþò óòâåðæäàòü, ÷òî∫ ∞
ε
∫Rn
uφtt dtdx−∫ ∞
ε
∫Rn
u∆φdxdt
=
∫ ∞
ε
∫Rn
(utt −∆u)φdxdt−∫Rn
u(x, ε)φt(x, ε) dx+
∫Rn
ut(x, ε)φ(x, ε) dx.
Ïåðåõîäÿ â ýòîì âûðàæåíèè ê ïðåäåëó ïðè ε→ +0, áóäåì èìåòü∫ ∞
0
∫Rn
uφtt dtdx−∫ ∞
0
∫Rn
u∆φdxdt
=
∫ ∞
0
∫Rn
(utt −∆u)φdxdt−∫Rn
u(x, 0)φt(x, 0) dx+
∫Rn
ut(x, 0)φ(x, 0) dx,
îòêóäà ââèäó (12.3) ñëåäóåò, ÷òî
(ut −∆u, φ) =
∫ ∞
0
∫Rn
(utt −∆u)φdxdt−∫Rn
u(x, 0)φt(x, 0) dx
+
∫Rn
ut(x, 0)φ(x, 0) dx
èëè, äðóãèìè ñëîâàìè,
(ut −∆u, φ) = (f(x, t) + u(x, 0)δ′(t) + ut(x, 0)δ(t), φ).
Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî. Îïðåäåëåíèå 12.2. Ïóñòü u0, u1 ∈ D′(Rn), f ∈ D′(Rn+1) è ïðè ýòîì supp f ⊂Rn × [0,∞). Ðåøåíèåì îáîáùåííîé çàäà÷è Êîøè (12.1) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿu ∈ D′(Rn+1) òàêàÿ, ÷òî suppu ⊂ Rn × [0,∞) è
utt = ∆u+ f(x, t) + u0(x)δ′(t) + u1(x)δ(t). (12.4)
Ëåììà 12.2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî E è f îáîáùåííûå ôóíêöèè èç D′(Rn+1)òàêèå, ÷òî supp E ⊂ Ka è supp f ⊂ Rn × [0,∞), ãäå Ka = (x, t) : |x| ≤ at
êîíóñ â Rn+1. Òîãäà ñâåðòêà E ∗ f ñóùåñòâóåò, supp E ∗ f ⊂ Rn × [0,∞) è
(E ∗ f, φ) = (E(x, t)f(ξ, τ), η(t)η(τ)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t+ τ)) (12.5)
äëÿ âñåõ φ ∈ D′(Rn+1), ãäå η ëþáàÿ ôóíêöèÿ èç C∞(R), ðàâíàÿ åäèíèöå â
îêðåñòíîñòè çàìêíóòîãî ïðîìåæóòêà [0,∞) è íóëþ â îêðåñòíîñòè −∞.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü λk ∈ D(R2n+2), k = 1, 2, . . ., êîìïàêòíîå èñ÷åðïàíèååäèíèöû. Äëÿ ëþáîãî φ ∈ D′(Rn+1) èìååì
(E ∗ f, φ) = limk→∞
(E(x, t)f(ξ, τ), λk(x, t, ξ, τ)φ(x+ ξ, t+ τ)).
Ôóíêöèÿ η(t)η(a2t2 − |x|2) ðàâíà åäèíèöå â îêðåñòíîñòè supp E , ïîýòîìóη(t)η(a2t2 − |x|2)E(x, t) = E(x, t).
Àíàëîãè÷íî,η(τ)f(ξ, τ) = f(ξ, τ).
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 37
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì
(E ∗ f, φ) = limk→∞
(η(t)η(a2t2 − |x|2)E(x, t)η(τ)f(ξ, τ), λk(x, t, ξ, τ)φ(x+ ξ, t+ τ))
= limk→∞
(E(x, t)f(ξ, τ), η(t)η(τ)η(a2t2 − |x|2)λk(x, t, ξ, τ)φ(x+ ξ, t+ τ)),
îòêóäà ñëåäóåò (12.5), ïîñêîëüêó íîñèòåëü η(t)η(τ)η(a2t2−|x|2)φ(x+ ξ, t+ τ) êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî.Ðàâåíñòâî (12.5), â ñâîþ î÷åðåäü, ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî supp E ∗ f ⊂
Rn × [0,∞). Â ñàìîì äåëå, ïóñòü supφ ⊂ Rn × (−∞, 0). Âîçüìåì ôóíêöèþη ∈ C∞(R), óäîâëåòâîðÿþùóþ ñîîòíîøåíèÿì
η|(−∞,−ε/2] = 0 è η|[−ε/4,∞) = 1,
ãäå ε > 0 âåùåñòâåííîå ÷èñëî òàêîå, ÷òî supφ ⊂ Rn × (−∞,−ε). Íåñëîæíîóâèäåòü, ÷òî η(t)η(τ)φ(x+ ξ, t+ τ) = 0 äëÿ âñåõ (x, t, ξ, τ) ∈ R2n+2, ïîýòîìó
(E ∗ f, φ) = (E(x, t)f(ξ, τ), η(t)η(τ)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t+ τ)) = 0.
Ëåììà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
Òåîðåìà 12.1. Ïóñòü u0, u1 ∈ D′(Rn), f ∈ D′(Rn+1) è ïðè ýòîì supp f ⊂ Rn×[0,∞). Òîãäà ðåøåíèå îáîáùåííîé çàäà÷è Êîøè (12.1) äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìàìè 6.1, 6.2 è ëåììîé 12.2.
Òåîðåìà 12.2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f ∈ C1(R × [0,∞)), u0 ∈ C2(R) è u1 ∈C1(R). Òîãäà ðåøåíèå êëàññè÷åñêîé çàäà÷è Êîøè (12.1) äëÿ îäíîìåðíîãî âîë-íîâîãî óðàâíåíèÿ (n = 1) ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéÄàëàìáåðà
u(x, t) =1
2(u0(x+ at) + u0(x− at)) +
1
2a
∫ x+at
x−atu1(ξ) dξ
+1
2a
∫ t
0
∫ x+a(t−τ)
x−a(t−τ)f(ξ, τ)dξdτ. (12.6)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîäîëæèì f íóëåì íà ìíîæåñòâî R × (−∞, 0). Ïî òåîðå-ìå 12.1 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
u(x, t) = E1(x, t) ∗ (f(x, t) + u0(x)δ′(t) + u1(x)δ(t)) (12.7)
îáîáùåííîé çàäà÷è Êîøè (12.1), ãäå E1 ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îäíîìåð-íîãî âîëíîâîãî îïåðàòîðà, çàäàííîå ñ ïîìîùüþ (10.1). Âû÷èñëèì ñâåðêó, ñòî-ÿùóþ â ïðàâîé ÷àñòè (12.7). Ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò êëàññè÷åñêàÿ ñâåðòêàE1∗f ∈ L1,loc(R2), êîòîðàÿ, î÷åâèäíî, áóäåò è îáîáùåííîé (ñì. óïðàæíåíèå 5.2).Èìååì
E1 ∗ f (x, t) =1
2a
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞E1(x− ξ, t− τ)f(ξ, τ) dξdτ
=θ(t)
2a
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞θ(a(t− τ)− |x− ξ|)f(ξ, τ) dξdτ
=θ(t)
2a
∫ t
0
∫ x+a(t−τ)
x−a(t−τ)f(ξ, τ)dξdτ.
38 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî ïðè t ≥ 0 âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåä-íåãî ðàâåíñòâà ñîâïàäàåò ñ òðåòüèì ñëàãàåìûì ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû Äà-ëàìáåðà (12.6). Íåïîñðåäñòâåííî äèôôåðåíöèðóÿ ýòî âûðàæåíèå ìîæíî òàêæåóáåäèòüñÿ, ÷òî E1 ∗ f ∈ C2(R× [0,∞)).Íàéäåì òåïåðü ñâåðòêó E1(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)). Ïóñòü ôóíêöèÿ η òàêàÿ æå, êàê
â ëåììå 12.2. Äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(R2), ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (12.5), ïîëó÷èì
(E1(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)), φ(x, t))= (E1(x, t)u1(ξ)δ(τ), η(t)η(τ)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t+ τ))
= (E1(x, t), (u1(ξ), (δ(τ), η(t)η(τ)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t+ τ))))
= (E1(x, t), (u1(ξ), η(t)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t)))
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞E1(x, t)u1(ξ)η(t)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t) dξdxdt.
Ñîâåðøàÿ çàìåíó x x+ ξ, áóäåì èìåòü∫ ∞
−∞E1(x, t)u1(ξ)η(t)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t) dx
=
∫ ∞
−∞E1(x− ξ, t)u1(ξ)η(t)η(a
2t2 − |x− ξ|2)φ(x, t) dx
äëÿ âñåõ ξ, t ∈ R. Òàêèì îáðàçîì,
(E1(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)), φ(x, t))
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞E1(x− ξ, t)u1(ξ)η(t)η(a
2t2 − |x− ξ|2)φ(x, t) dξdxdt
=1
2a
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞θ(at− |x− ξ|)u1(ξ)η(t)η(a2t2 − |x− ξ|2)φ(x, t) dξdxdt
=θ(t)
2a
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
∫ x+at
x−atu1(ξ)φ(x, t) dξdxdt =
(θ(t)
2a
∫ x+at
x−atu1(ξ) dξ, φ(x, t)
)èëè, äðóãèìè ñëîâàìè,
E1(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)) =θ(t)
2a
∫ x+at
x−atu1(ξ) dξ.
Ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ïðè t ≥ 0 ñîâïàäàåò ñî âòîðûì ñëàãàå-ìûì â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû Äàëàìáåðà (12.6). Ìîæíî òàêæå óáåäèòüñÿ, ÷òîE1(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)) ∈ C2(R× [0,∞)).Àíàëîãè÷íî, ïîëó÷èì
E1(x, t) ∗ (u0(x)δ′(t)) =∂
∂t(E1(x, t) ∗ (u0(x)δ(t)))
=∂
∂t
(θ(t)
2a
∫ x+at
x−atu0(ξ) dξ
)=
1
2(u0(x+ at) + u0(x− at)),
ãäå âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñîâïàäàåò ñ ïåðâûì ñëàãà-åìûì â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû Äàëàìáåðà (12.6). Ïðè ýòîì, î÷åâèäíî, E1(x, t)∗(u0(x)δ
′(t)) ∈ C2(R× [0,∞)).Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ðåøåíèå îáîáùåííîé çàäà÷è Êîøè (12.1) ïðèíàäëåæèò
C2(R× [0,∞)). Òåì ñàìûì, ââèäó (12.4) óðàâíåíèå
utt = ∆u+ f(x, t), x ∈ R, t > 0,
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 39
èìååò ìåñòî â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå, ò.å. â êàæäîé òî÷êå ìíîæåñòâà R× (0,∞).Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ òàêæå âûïîëíåíû â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå. ×òîáû â ýòîìóáåäèòüñÿ, äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî ñîãëàñíî ëåììå 12.1 ñïðàâåäëèâî óðàâíå-íèå (12.2), âû÷èòàÿ êîòîðîå èç (12.4), íàõîäèì
(u0(x)− u(x, 0))δ′(t) + (u1(x)− ut(x, 0))δ(t) = 0, (12.8)
îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî
u(x, 0) = u0(x) è ut(x, 0) = u1(x) (12.9)
(ñì. óïðàæíåíèå 11.2).Íàêîíåö, åäèíñòâåííîñòü êëàññè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ñëåäóåò èç åäèíñòâåííîñòè
îáîáùåííîãî, ò.ê. ïî ëåììå 12.1 ðåøåíèå êëàññè÷åñêîé çàäà÷è Êîøè (12.1), ïðî-äîëæåííîå íóëåì ïðè t < 0, ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåé îáîáùåííîéçàäà÷è.Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.
Óïðàæíåíèå 12.1. Ïîëó÷èòå (12.9) íåïîñðåäñòâåííî èç (12.6).
Òåîðåìà 12.3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî f ∈ C2(R2 × [0,∞)), u0 ∈ C3(R2) è u1 ∈C2(R2). Òîãäà ðåøåíèå êëàññè÷åñêîé çàäà÷è Êîøè (12.1) äëÿ äâóìåðíîãî âîë-
íîâîãî óðàâíåíèÿ (n = 2) ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéÏóàññîíà
u(x, t) =1
2πa
∂
∂t
∫Bx
at
u0(ξ) dξ√a2t2 − |x− ξ|2
+1
2πa
∫Bx
at
u1(ξ) dξ√a2t2 − |x− ξ|2
+1
2πa
∫ t
0
∫Bx
a(t−τ)
f(ξ, τ) dξdτ√a2(t− τ)2 − |x− ξ|2
. (12.10)
Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê è â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 12.2, ïðîäîëæèì f íóëåìíà ìíîæåñòâî R× (−∞, 0). Ïî òåîðåìå 12.1 ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
u(x, t) = E2(x, t) ∗ (f(x, t) + u0(x)δ′(t) + u1(x)δ(t)) (12.11)
îáîáùåííîé çàäà÷è Êîøè (12.1), ãäå E2 ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå äâóìåð-íîãî âîëíîâîãî îïåðàòîðà, çàäàííîå ñ ïîìîùüþ (10.5). Ïîêàæåì, ÷òî ïðàâàÿ÷àñòü (12.11) ïðèíàäëåæèò C2(R2 × [0,∞)). Èìååì
E2(x, t) ∗ f(x, t) =1
2πa
∫ ∞
−∞
∫R2
θ(a(t− τ)− |x− ξ|)f(ξ, τ) dξdτ√a2(t− τ)2 − |x− ξ|2
=θ(t)
2πa
∫ t
0
∫Bx
a(t−τ)
f(ξ, τ) dξdτ√a2(t− τ)2 − |x− ξ|2
(ñì. óïðàæíåíèå 5.2). Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè òðåòüå ñëàãàåìîå â ïðàâîé÷àñòè ôîðìóëû Ïóàññîíà (12.10). Íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòîñëàãàåìîå ïðèíàäëåæèò êëàññó C2(R2 × [0,∞)).  ñàìîì äåëå, çàìåíîé ïåðå-ìåííûõ ξ = a(t− τ)y + x ìîæíî óâèäåòü, ÷òî∫ t
0
∫Bx
a(t−τ)
f(ξ, τ) dξdτ√a2(t− τ)2 − |x− ξ|2
=
∫ t
0
∫B1
(t− τ)f(a(t− τ)y + x, τ)√1− |y|2
dydτ.
40 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Íàéäåì ñâåðòêó E2(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)). Ñîãëàñíî ôîðìóëå (12.5) ëåììû 12.2áóäåì èìåòü
(E2(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)), φ(x, t))= (E2(x, t)u1(ξ)δ(τ), η(t)η(τ)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t+ τ))
= (E2(x, t), (u1(ξ), (δ(τ), η(t)η(τ)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t+ τ))))
= (E2(x, t), (u1(ξ), η(t)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t)))
=
∫ ∞
−∞
∫R2
∫R2
E2(x, t)u1(ξ)η(t)η(a2t2 − |x|2)φ(x+ ξ, t) dξdxdt
ëþáîãî φ ∈ D(R2), ãäå η ∈ C∞(R) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ åäèíè-öå â îêðåñòíîñòè ïðîìåæóòêà [0,∞) è íóëþ â îêðåñòíîñòè −∞. Òåì ñàìûì,ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (10.5), ïîëó÷èì
(E2(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)), φ(x, t))
=1
2πa
∫ ∞
−∞
∫R2
∫R2
θ(at− |x|)u1(ξ)φ(x+ ξ, t)√a2t2 − |x|2
dξdxdt,
îòêóäà çàìåíîé x x+ ξ íàõîäèì
(E2(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)), φ(x, t))
=1
2πa
∫ ∞
−∞
∫R2
∫R2
θ(at− |x− ξ|)u1(ξ)φ(x, t)√a2t2 − |x− ξ|2
dξdxdt
=1
2πa
∫ ∞
0
∫R2
∫Bx
at
u1(ξ)φ(x, t)√a2t2 − |x− ξ|2
dξdxdt
=
(θ(t)
2πa
∫Bx
at
u1(ξ) dξ√a2t2 − |x− ξ|2
, φ(x, t)
).
Òàêèì îáðàçîì,
E2(x, t) ∗ (u1(x)δ(t)) =θ(t)
2πa
∫Bx
at
u1(ξ) dξ√a2t2 − |x− ξ|2
(12.12)
è ìû ïîëó÷èëè âòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû Ïóàññîíà. Íåñëîæíîóâèäåòü, ÷òî ýòî ñëàãàåìîå ïðèíàäëåæèò êëàññó C2(R2× [0,∞)). Äåéñòâèòåëü-íî, âûïîëíÿÿ â ïðàâîé ÷àñòè (12.12) çàìåíó ïåðåìåííûõ y = (x−ξ)/(at), áóäåìèìåòü ∫
Bxat
u1(ξ) dξ√a2t2 − |x− ξ|2
= at
∫B1
u1(x− aty) dy√1− |y|2
.
Íàéäåì òåïåðü ñâåðêó E2(x, t) ∗ (u0(x)δ′(t)). Ñîãäàñíî ïðàâèëó äèôôåðåíöèðî-âàíèÿ ñâåðêè
E2(x, t) ∗ (u0(x)δ′(t)) =∂
∂t(E2(x, t) ∗ (u0(x)δ(t))).
 òî æå âðåìÿ, ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ áûëà ïîëó÷åíàôîðìóëà (12.12), áóäåì èìåòü
E2(x, t) ∗ (u0(x)δ(t)) =θ(t)
2πa
∫Bx
at
u0(ξ) dξ√a2t2 − |x− ξ|2
,
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 41
îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî
E2(x, t) ∗ (u0(x)δ′(t)) =1
2πa
∂
∂t
∫Bx
at
u0(ξ) dξ√a2t2 − |x− ξ|2
.
Òåì ñàìûì, ìû ïîëó÷èëè ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû Ïóàñ-ñîíà (12.10). ×òîáû ïîêàçàòü, ÷òî ýòî ñëàãàåìîå òàêæå ïðèíàäëåæèò êëàññóC2(R2 × [0,∞)) äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî∫
Bxat
u0(ξ) dξ√a2t2 − |x− ξ|2
= at
∫B1
u0(x− aty) dy√1− |y|2
.
Âñå ñêàçàííîå âûøå, ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî u ∈ C2(R2× [0,∞)). Òàê êàêêëàññè÷åñêèå ïðîèçâîäíûå, êîëü ñêîðî îíè ñóùåñòâóþò, îáÿçàíû ñîâïàäàòü ñîáîáùåííûìè, òî ââèäó ñîîòíîøåíèÿ
utt = ∆u+ f(x, t) + u0(x)δ′(t) + u1(x)δ(t) (12.13)
ìû ïîëó÷èì, ÷òî ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòå-ìû (12.1) â êëàññè÷åñêîì ñìûñëå.Âû÷èòàÿ, äàëåå, èç (12.13) ñîîòíîøåíèå
utt = ∆u+ f(x, t) + u(x, 0)δ′(t) + ut(x, 0)δ(t),
êîòîðîå ñëåäóåò èç ëåììû 12.1, áóäåì èìåòü (12.8), îòêóäà, â ñâîþ î÷åðåäü,ñëåäóåò (12.9).Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîêàçàëè, ÷òî ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ðåøå-
íèå çàäà÷è Êîøè (12.1). Åäèíñòâåííîñòü ýòîãî ðåøåíèÿ, î÷åâèäíî, âûòåêàåòèç åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îáîáùåííîé çàäà÷è.Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
13. Ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè
Îïðåäåëåíèå 13.1. Îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ u ∈ D′(Ω) íàçûâàåòñÿ ãàðìîíè÷å-ñêîé â Ω, åñëè
∆u = 0 â Ω.
Òåîðåìà 13.1. Ëþáàÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ â Ω ⊂ Rn ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî
ãëàäêîé.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 13.1 íàì ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ëåììà 13.1. u ∈ D′(Ω) è K ∈ C∞0 (Ω× Ω). Òîãäà(
u(x),
∫Ω
K(x, y) dy
)=
∫Ω
(u(x), K(x, y)) dy
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà N ðàññìîòðèì ðàçáèåíèåîáëàñòè Ω íà ïîäîáëàñòè Ω1,Ω2, . . . ,ΩN . Ïîçàáîòèìñÿ ïðè ýòîì ÷òîáû äèàìåòððàçáèåíèÿ
λN = max1≤i≤N
diamΩi
ñòðåìèëñÿ ê íóëþ ïðè N → ∞. Âîçüìåì òàêæå yi ∈ Ωi, i = 1, 2, . . . , N .
42 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Äëÿ ëþáîãî x ∈ Ω è ìóëüòèèíäåêñà è α = (α1, . . . , αn), î÷åâèäíî, èìååì
∂α∫Ω
K(x, y) dy =N∑i=1
∫Ωi
∂αxK(x, y) dy
=N∑i=1
∂αxK(x, yi)|Ωi|+N∑i=1
∫Ωi
(∂αxK(x, y)− ∂αxK(x, yi)) dy,
ãäå |Ωi| ìåðà ìíîæåñòâà Ωi. Ïîñêîëüêó âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íàêîìïàêòå, ÿâëÿåòñÿ íà ýòîì êîìïàêòå ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíîé, ïîëó÷èì
N∑i=1
∫Ωi
|∂αxK(x, y)− ∂αxK(x, yi)| dy
≤N∑i=1
|Ωi| supx∈Ω, y∈Ωi
|∂αxK(x, y)− ∂αxK(x, yi)|
≤ |Ω| max1≤i≤N
supx∈Ω, y∈Ωi
|∂αxK(x, y)− ∂αxK(x, yi)| → 0 ïðè N → ∞.
Òàêèì îáðàçîì,
N∑i=1
K(·, yi)|Ωi| →∫Ω
K(·, y) dy ïðè N → ∞
â ïðîñòðàíñòâå D(Ω). Ïîñëåäíåå ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî
N∑i=1
(u(x), K(x, yi))|Ωi| →(u(x),
∫Ω
K(x, y) dy
)ïðè N → ∞.
Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî
N∑i=1
(u(x), K(x, yi))|Ωi| →∫Ω
(u(x), K(x, y)) dy ïðè N → ∞,
ò.ê. (u(x), K(x, ·)) ∈ C∞(Ω).
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 13.1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî z ∈ Ω. Âîçüìåì ε > 0 òà-êîå, ÷òî øàð Bz
ε ðàäèóñà ε ñ öåíòðîì â òî÷êå z öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â Ω. Ïóñòüòàêæå η ∈ C∞
0 (Bzε ) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî η ≡ 1 â îêðåñòíîñòè Bz
ε/2.Ïðîäîëæàÿ ôóíêöèþ v = uη íóëåì çà ïðåäåëû øàðà Bz
ε , èìååì
∆v = f â Rn,
ãäå f = 2∇u∇η+u∇η, îòêóäà ââèäó òîãî, ÷òî supp f êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî,ïîëó÷èì
v = En ∗ f, (13.1)
ãäå En ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà, îïðåäåëåííîå ñ ïîìî-ùüþ (8.3).Ïîêàæåì, ÷òî v áåñêîíå÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ.  ñàìîì äåëå, ïóñòü φ ∈
C∞0 (Bz
ε/2). Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ñâåðòêè è òîãî îáñòîÿòåëüñòâà, ÷òî
supp f ⊂ Bzε \Bz
ε/2,
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 43
èìååì
(En ∗ f, φ) = (f(x)En(y), φ(x+ y)) = (f(x), (En(y), φ(x+ y)))
=
(f(x),
∫Rn
En(y)φ(x+ y) dy
)=
(f(x),
∫Rn
En(ξ − x)φ(ξ) dξ
)=
(λ(x)f(x),
∫Rn
σ(ξ)En(ξ − x)φ(ξ) dξ
)=
(f(x),
∫Rn
λ(x)σ(ξ)En(ξ − x)φ(ξ) dξ
), (13.2)
ãäå λ, σ ∈ C∞0 (Bz
ε ) íåêîòîðûå ôóíêöèè òàêèå, ÷òî λ ≡ 1 â îêðåñòíîñòè supp f ,σ ≡ 1 â îêðåñòíîñòè Bz
ε/2 è ïðè ýòîì dist(suppλ, suppσ) > 0.
Ïîñêîëüêó λ(x)σ(ξ)En(ξ − x)φ(ξ), êàê ôóíêöèÿ àðãóìåíòîâ x è ξ, ïðèíàäëå-æèò ïðîñòðàíñòâó C∞
0 (Bzε ×Bz
ε ), ïðèìåíÿÿ ëåììó 13.1, ïîëó÷èì(f(x),
∫Rn
λ(x)σ(ξ)En(ξ − x)φ(ξ) dξ
)=
∫Rn
(f(x), λ(x)σ(ξ)En(ξ − x)φ(ξ)) dξ
=
∫Rn
(f(x), λ(x)σ(ξ)En(ξ − x))φ(ξ) dξ.
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (13.1) è (13.2), ìîæíî, î÷åâèäíî, óòâåðæäàòü, ÷òî
v(x) = (f(x), λ(x)σ(ξ)En(ξ − x)).
Òàêèì îáðàçîì, v ∈ C∞0 (Bz
ε ) è äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íîçàìåòèòü, ÷òî ôóíêöèÿ u ñîâïàäàåò ñ v íà ìíîæåñòâå Bz
ε/2.
Òåîðåìà 13.2 (î ñðåäíåì ïî ñôåðå). Ïóñòü ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷å-
ñêîé â îòêðûòîì øàðå Bzr è íåïðåðûâíîé â çàìûêàíèè ýòîãî øàðà. Òîãäà
u(z) =1
|Sr|
∫Szr
u dS,
ãäå |Sr| (n− 1)-ìåðíûé îáúåì ñôåðû Sr, à dS ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè Szr .
Äîêàçàòåëüñòâî. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî z = 0.  ïðî-òèâíîì ñëó÷àå ñäâèíåì íà÷àëî êîîðäèíàò. Äëÿ ëþáûõ 0 < ε < ρ < r ñîãëàñíîïðàâèëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì (ôîðìóëå Ãðèíà) èìååì
0 =
∫Bρ\Bε
u∆En dx
=
∫∂(Bρ\Bε)
u∂En∂ν
dS −∫Bρ\Bε
∇u∇En dx
=
∫∂(Bρ\Bε)
u∂En∂ν
dS −∫∂(Bρ\Bε)
∂u
∂νEn dS +
∫Bρ\Bε
∆uEn dx,
ãäå ν âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê ∂(Bρ \ Bε), à En ôóíäàìåíòàëüíîå ðå-øåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà, îïðåäåëåííîå ñ ïîìîùüþ (8.3), îòêóäà íåìåäëåííîïîëó÷èì
0 =
∫Sρ
u∂En∂ν
dS +
∫Sε
u∂En∂ν
dS −∫Sρ
∂u
∂νEn dS −
∫Sε
∂u
∂νEn dS. (13.3)
44 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Çàìåòèì, ÷òî En ÿâëÿåòñÿ ñôåðè÷åñêè ñèììåòðè÷íîé ôóíêöèåé, äëÿ êîòîðîéñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
∂En∂ν
∣∣∣∣Sρ
=1
|Sρ|,
∂En∂ν
∣∣∣∣Sε
= − 1
|Sε|.
Òàêèì îáðàçîì, (13.3) âëå÷åò çà ñîáîé ñîîòíîøåíèå
0 =1
|Sρ|
∫Sρ
u dS − 1
|Sε|
∫Sε
u dS − En|Sρ
∫Sρ
∂u
∂νdS − En|Sε
∫Sε
∂u
∂νdS. (13.4)
Èìååì ∣∣∣∣ 1
|Sε|
∫Sε
u dS − u(0)
∣∣∣∣ ≤ 1
|Sε|
∫Sε
|u(x)− u(0)| dS
≤ supx∈Sε
|u(x)− u(0)| → 0 ïðè ε→ +0,
ïîýòîìó1
|Sε|
∫Sε
u dS → u(0) ïðè ε→ +0.
 òî æå âðåìÿ, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì∫Sρ
∂u
∂νdS =
∫Bρ
∆u dx = 0
è ∫Sε
∂u
∂νdS = −
∫Bε
∆u dx = 0.
Òåì ñàìûì, ïåðåõîäÿ â (13.4) ê ïðåäåëó ïðè ε→ +0, áóäåì èìåòü
u(0) =1
|Sρ|
∫Sρ
u dS,
îòêóäà, ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ρ→ r − 0, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîëó÷èì
u(0) =1
|Sr|
∫Sr
u dS.
Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
Óïðàæíåíèå 13.1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ u ∈ C2(Bzr ) ∩ C(Bz
r ) ÿâëÿåòñÿðåøåíèåì íåðàâåíñòâà
∆u ≥ 0 â Bzr . (13.5)
Äîêàæèòå, ÷òî
u(z) ≤ 1
|Sr|
∫Szr
u dS.
Òåîðåìà 13.3. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 13.2 è ïóñòü η : (0, r) → R èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ òàêàÿ, ÷òî∫
Br
η(|x|) dx = 1. (13.6)
Òîãäà
u(z) =
∫Bz
r
η(|x− z|)u(x) dx.
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 45
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî òåîðåìå 13.2 èìååì
u(z) =1
|Sρ|
∫Szρ
u dS
äëÿ âñåõ 0 < ρ < r. Óìíîæàÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà |Sρ|η(ρ) è èíòåãðèðóÿ ïîρ îò íóëÿ äî r, ïîëó÷èì
u(z)
∫ ρ
0
|Sρ|η(ρ) dρ =∫ ρ
0
∫Szρ
η(ρ)u dS dρ.
Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî∫ ρ
0
|Sρ|η(ρ) dρ =∫Br
η(|x|) dx = 1
è ∫ ρ
0
∫Szρ
η(ρ)u dS dρ =
∫Szr
η(|x− z|)u(x) dx.
Óïðàæíåíèå 13.2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ u ∈ C2(Bz
r ) ∩ C(Bzr ) ÿâëÿåòñÿ
ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà (13.5). Äîêàæèòå, ÷òî
u(z) ≤∫Bz
r
η(|x− z|)u(x) dx
äëÿ ëþáîé èçìåðèìîé ôóíêöèè η : (0, r) → [0,∞), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëî-âèþ (13.6).
Òåîðåìà 13.4 (î ñðåäíåì ïî øàðó). Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 13.2,òîãäà
u(z) =1
|Br|
∫Bz
r
u dx, (13.7)
ãäå |Br| îáúåì øàðà ðàäèóñà r â Rn.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì η ≡ 1/|Br| â òåîðåìå 13.3. Óïðàæíåíèå 13.3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî u ∈ C2(Bz
r )∩C(Bzr ) ðåøåíèå íåðàâåí-
ñòâà (13.5). Äîêàæèòå, ÷òî
u(z) ≤ 1
|Br|
∫Bz
r
u dx.
Òåîðåìà 13.5. Ïóñòü ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â îáëàñòè Ω è ïðè
ýòîì
u(x0) = supΩu
äëÿ íåêîòîðîãî x0 ∈ Ω. Òîãäà u ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ω = z ∈ Ω : u(z) = u(x0).  ñèëó íåïðåðûâ-íîñòè ôóíêöèè u ìíîæåñòâî ω çàìêíóòî â òîïîëîãèè, èíäóöèðîâàííîé èç Ω.Ïîêàæåì, ÷òî ω òàêæå ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì ìíîæåñòâîì.  ñàìîì äåëå, äëÿ ëþ-áîãî z ∈ ω íàéäåòñÿ r > 0 òàêîå, ÷òî Bz
r ∈ Ω. Ïðè ýòîì ïî òåîðåìå î ñðåäíåìáóäåò, î÷åâèäíî, âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèå (13.7) èëè, äðóãèìè ñëîâàìè,
u(x0) =1
|Br|
∫Bz
r
u dx. (13.8)
46 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Ïðåäïîëîæèì îò ïðîòèâíîãî, ÷òî u(y0) < u(x0) äëÿ íåêîòîðîãî y0 ∈ Bzr . Òîãäà
ñóùåñòâóåò λ < u(x0) òàêîå, ÷òî mesωλ > 0, ãäå ωλ = y ∈ Bzr : u(y) < λ,
ïîýòîìó ∫Bz
r
u dx =
∫ωλ
u dx+
∫Bz
r\ωλ
u dx
≤ λmesωλ + u(x0)(mesBr −mesωλ) < u(x0)mesBr,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñîîòíîøåíèþ (13.8). Òàêèì îáðàçîì, Bzr ⊂ ω.
Ââèäó ñâÿçíîñòè Ω ëþáîå åãî ïîäìíîæåñòâî, ÿâëÿþùååñÿ îäíîâðåìåííî îò-êðûòûì è ñâÿçíûì, äîëæíî áûòü ïóñòûì èëè ñîâïàäàòü ñ Ω. Ìíîæåñòâî ω íåïóñòîå, ò.ê. x0 ∈ ω. Òåì ñàìûì, ω = Ω.Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
Óïðàæíåíèå 13.4. Äîêàæèòå, ÷òî òåîðåìà 13.5 îñòàåòñÿ â ñèëå äëÿ âñåõ ôóíê-öèé u ∈ C2(Ω), óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó
∆u ≥ 0 â Ω. (13.9)
Ñëåäñòâèå 13.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ãàðìîíè÷åñêîé â îáëàñòè Ω è
ïðè ýòîì
u(x0) = infΩu
äëÿ íåêîòîðîãî x0 ∈ Ω. Òîãäà u ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíÿåì òåîðåìó 13.5 ê ôóíêöèè −u. Òåîðåìà 13.6 (ïðèíöèï ìàêñèìóìà). Ïóñòü u ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â
îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω, íåïðåðûâíàÿ â çàìûêàíèè ýòîé îáëàñòè, òîãäà
sup∂Ω
u = supΩ
u. (13.10)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó Ω êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî, íàéäåòñÿ x0 ∈ Ωòàêîå, ÷òî
u(x0) = supΩ
u.
Åñëè x0 ∈ ∂Ω, òî ñîîòíîøåíèå (13.10) î÷åâèäíî.  ñâîþ î÷åðåäü, åñëè x0 ∈ Ω,òî ïî òåîðåìå 13.5 ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé íà ìíîæåñòâå Ω è ââèäóòîãî, ÷òî u ∈ C(Ω), ìû ñíîâà èìååì (13.10). Óïðàæíåíèå 13.5. Äîêàæèòå, ÷òî òåîðåìà 13.6 îñòàåòñÿ â ñèëå äëÿ âñåõ ôóíê-öèé u ∈ C2(Ω), óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó (13.9).
Ñëåäñòâèå 13.2 (ïðèíöèï ìèíèìóìà). Ïóñòü u ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â
îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω, íåïðåðûâíàÿ â çàìûêàíèè ýòîé îáëàñòè, òîãäà
inf∂Ωu = inf
Ωu.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðèìåíÿåì òåîðåìó 13.6 ê ôóíêöèè −u. Çàìå÷àíèå 13.1. Òåîðåìó 13.5 òàêæå ïðèíÿòî íàçûâàòü ñòðîãèì ïðèíöèïîììàêñèìóìà, à ñëåäñòâèå 13.1 ñòðîãèì ïðèíöèïîì ìèíèìóìà.
Òåîðåìà 13.7 (íåðàâåíñòâî Õàðíàêà). Ïóñòü u íåîòðèöàòåëüíàÿ ãàðìî-
íè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â îòêðûòîì øàðå Bxr ðàäèóñà r > 0 ñ öåíòðîì â òî÷êå x,
òîãäà
infBx
λr
u ≥ C supBx
λr
u (13.11)
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 47
äëÿ ëþáîãî âåùåñòâåííîãî ÷èñëà 0 < λ < 1, ãäå ïîñòîÿííàÿ C > 0 çàâèñèò
òîëüêî îò λ è îò ðàçìåðíîñòè îñíîâíîãî ïðîñòðàíñòâà n.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà äîêàæåì íåðàâåíñòâî (13.11) â ñëó÷àå λ = 1/4. Äëÿëþáûõ äâóõ òî÷åê y, z ∈ Br/4, ñîãëàñíî òåîðåìå î ñðåäíåì èìååì
u(y) =1
|Br/4|
∫By
r/4
u dξ
è
u(z) =1
|B3r/4|
∫Bz
3r/4
u dξ.
Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî Byr/4 ⊂ Bz
3r/4 è ïðè ýòîì |B3r/4| = 3n|Br/4|. Òàêèì îáðà-çîì, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå íåîòðèöàòåëüíîñòü ôóíêöèè u íà ìíîæåñòâå Bz
3r/4,ïîëó÷èì
1
|B3r/4|
∫Bz
3r/4
u dξ ≥ 1
|B3r/4|
∫By
r/4
u dξ =1
3n|Br/4|
∫By
r/4
u dξ,
îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî
u(z) ≥ 1
3nu(y).
Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà y, z ∈ Br/4 ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî, î÷åâèäíî,âëå÷åò çà ñîáîé îöåíêó
infBx
r/4
u ≥ 1
3nsupBx
r/4
u.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî λ ïðîèçâîëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî èç èíòåð-âàëà (0, 1). Äëÿ ëþáûõ äâóõ òî÷åê y, z ∈ Bx
λr íàéäåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
øàðîâ Bxi(1−λ)r, i = 1, . . . , k, òàêàÿ, ÷òî y ∈ Bx1
(1−λ)r/4, z ∈ Bxk(1−λ)r/4 è ïðè ýòîì
Bxi(1−λ)r/4 ∩ B
xi+1
(1−λ)r/4 = ∅, i = 1, . . . , k − 1. Î÷åâèäíî, ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òî2
k ≤[
4λ
1− λ
]+ 1.
Äëÿ ýòîãî öåíòðû øàðîâ íàäî ðàçìåñòèòü íà îòðåçêå, ñîåäèíÿþùèì òî÷êè y èz, íà ïîäõîäÿùåì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà. Êàê áûëî ïîêàçàíî âûøå,
infB
xi(1−λ)r/4
u ≥ 1
3nsup
Bxi(1−λ)r/4
u, i = 1, . . . , k.
Òåì ñàìûì, ïîëó÷èì
u(z) ≥ 1
3knu(y),
îòêóäà ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà y, z ∈ Bxλr ñëåäóåò (13.11).
Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà. Òåîðåìà 13.8 (òåîðåìà Ëèóâèëëÿ). Ïóñòü u ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â Rn
òàêàÿ, ÷òî
infRnu > −∞, (13.12)
òîãäà u ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ.
2Êàê ýòî ïðèíÿòî, êâàäðàòíûìè ñêîáêàìè ìû îáîçíà÷àåì öåëóþ ÷àñòü âåùåñòâåííîãî÷èñëà.
48 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèìv = u− inf
Rnu.
Ïîñêîëüêó v ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîé ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèåé â øàðå B2r
äëÿ ëþáîãî r > 0, ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Õàðíàêà áóäåì èìåòü
infBr
v ≥ C supBr
v,
ãäå ïîñòîÿííàÿ C > 0 çàâèñèò òîëüêî îò n. Òàêèì îáðàçîì, óñòðåìëÿÿ r êáåñêîíå÷íîñòè, ïîëó÷èì
infRnv ≥ C sup
Rn
v,
îòêóäà ââèäó î÷åâèäíîãî ðàâåíñòâà
infRnv = 0
íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî v ≡ 0.Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.
14. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè
Ïóñòü Ω îáëàñòü â Rn+1, n ≥ 1. Ïîä C2,1(Ω) ìû áóäåì ïîäðàçóìåâàòüìíîæåñòâî ôóíêöèé u : Ω → R, êîòîðûå â ëþáîé òî÷êå (x1, . . . , xn, t) ∈ Ωíåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìû ïî t è äâàæäû íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûïî êàæäîé èç ïåðåìåííûõ xi, i = 1, . . . , n.Äàëåå äëÿ êðàòêîñòè ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî x = (x1, . . . , xn). Îáîçíà÷èì
òàêæå Qt1,t2x,r = (ξ, t) ∈ Rn+1 : |ξ − x| < r, t1 < t < t2, x ∈ Rn, r > 0, t1 < t2.
Îïðåäåëåíèå 14.1. Ãîâîðèì, ÷òî òî÷êà (x, t) ∈ ∂Ω ïðèíàäëåæèò âåðõíåéêðûøêå ìíîæåñòâà Ω, åñëè íàéäóòñÿ âåùåñòâåííûå ÷èñëà r > 0 è h > 0 òàêèå,÷òî Qt−h,t
x,r ⊂ Ω è Qt,t+hx,r ⊂ Rn+1 \ Ω.
Ìíîæåñòâî òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ âåðõíåé êðûøêå Ω, áóäåì îáîçíà÷àòü γ.Ïðè ýòîì ìíîæåñòâî Γ = ∂Ω\γ áóäåì íàçûâàòü ïàðàáîëè÷åñêîé (ñîáñòâåííîé)ãðàíèöåé Ω.
Òåîðåìà 14.1 (ïðèíöèï ìàêñèìóìà). Ïóñòü u ∈ C2,1(Ω ∪ γ) ∩ C(Ω) óäîâëå-òâîðÿåò íåðàâåíñòâàì
ut −∆u ≤ 0 â Ω ∪ γ,ãäå Ω îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rn+1, òîãäà
supΓu = sup
Ω
u.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó Γ ⊂ Ω, èìååì
supΓu ≤ sup
Ω
u.
Òàêèì îáðàçîì, îñòàåòñÿ äîêàçàòü íåðàâåíñòâî
supΓu ≥ sup
Ω
u.
Ðàññóæäàÿ îò ïðîòèâíîãî, äîïóñòèì, ÷òî
supΓu < sup
Ω
u.
Òîãäà ïîëàãàÿv(x, t) = u(x, t)− εt,
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 49
ãäå ε > 0 äîñòàòî÷íî ìàëî, ïîëó÷èì
vt −∆v < 0 â Ω ∪ γ (14.1)
è ïðè ýòîì
supΓv < sup
Ω
v. (14.2)
Òàê êàê v ∈ C(Ω), ñóùåñòâóåò òî÷êà (x, t) ∈ Ω, äëÿ êîòîðîé
v(x, t) = supΩ
v, (14.3)
ïðè÷åì ñîãëàñíî (14.2) áóäåì èìåòü (x, t) ∈ Ω∩γ, ïîýòîìó íàéäóòñÿ âåùåñòâåí-íûå ÷èñëà r > 0 è h > 0 òàêèå, ÷òî Qt−h,t
x,r ⊂ Ω.Èç ñîîòíîøåíèÿ (14.1) ñëåäóåò, ÷òî äîëæíî áûòü âûïîëíåíî õîòÿ îäíî èç
äâóõ íåðàâåíñòâ
vt(x, t) < 0 (14.4)
èëè
∆v(x, t) > 0. (14.5)
Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî èìååò ìåñòî (14.4). Âûáðàâ h > 0 äîñòàòî÷íî ìà-ëûì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî vξ(x, ξ) < 0 äëÿ âñåõ ξ ∈ [t− h, t]. Òåì ñàìûì, ïðèìå-íÿÿ ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà, áóäåì èìåòü
v(x, t− h) = v(x, t)−∫ t
t−hvξ(x, ξ) dξ > v(x, t),
÷òî ïðîòèâîðå÷èò ñîîòíîøåíèþ (14.3).Ïóñòü òåïåðü âûïîëíåíî (14.5). Òîãäà íàéäåòñÿ 1 ≤ i ≤ n, äëÿ êîòîðîãî
∂2u(x, t)
∂x2i> 0.
Âûáðàâ r > 0 äîñòàòî÷íî ìàëûì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
∂2u(x1, . . . , xi−1, ξ, xi+1, . . . , xn, t)
∂ξ2> 0
äëÿ âñåõ ξ ∈ (xi, xi + r). Ñîãëàñíî ôîðìóëå Íüþòîíà-Ëåéáíèöà
∂u(x1, . . . , xi−1, ζ, xi+1, . . . , xn, t)
∂ζ=∂u(x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn, t)
∂xi
+
∫ ζ
xi
∂2u(x1, . . . , xi−1, ξ, xi+1, . . . , xn, t)
∂ξ2dξ
äëÿ âñåõ ζ ∈ (xi, xi+r). Ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâàââèäó óñëîâèÿ (14.3) ðàâíî íóëþ, à âòîðîå ñòðîãî ïîëîæèòåëüíî, ïîýòîìó
∂u(x1, . . . , xi−1, ζ, xi+1, . . . , xn, t)
∂ζ> 0
50 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
äëÿ âñåõ ζ ∈ (xi, xi + r), îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò, ÷òî
u(x1, . . . , xi−1, xi + r, xi+1, . . . , xn, t)
= u(x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn, t)
+
∫ xi+r
xi
∂u(x1, . . . , xi−1, ζ, xi+1, . . . , xn, t)
∂ζdξ
> u(x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn, t),
è ìû ñíîâà ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ ñ óñëîâèåì (14.3).Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
15. Ïðîñòðàíñòâà Ñ.Ë. Ñîáîëåâà
Âñþäó â ýòîì ðàçäåëå, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ïîä Ω ìû áóäåì ïîíè-ìàòü íåïóñòîå îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Rn, n ≥ 1.
Îïðåäåëåíèå 15.1. Ìíîæåñòâî îáîáùåííûõ ôóíêöèè èç D′(Ω), ïðèíàäëåæà-ùèõ Lp(Ω) âìåñòå ñî âñåìè ïðîèçâîäíûìè ïîðÿäêà m, íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàí-ñòâîì Ñ.Ë. Ñîáîëåâà Wm
p (Ω).
Ïðîñòðàíñòâî Ñ.Ë. Ñîáîëåâà Wmp (Ω) = f ∈ D′(Ω) : f ∈ Lp(Ω), ∂
αf ∈Lp(Ω), |α| = m åñòåñòâåííûì îáðàçîì íàäåëÿåòñÿ ñòðóêòóðîé áàíàõîâà ïðî-ñòðàíñòâà ñ íîðìîé
∥f∥Wmp (Ω) =
∫Ω
|f |p dx+∑|α|=m
∫Ω
|∂αf |p dx
1/p
.
Îïðåäåëåíèå 15.2. Ïîäo
Wmp (Ω) áóäåì ïîíèìàòü çàìûêàíèå ìíîæåñòâà C∞
0 (Ω)â íîðìå ïðîñòðàíñòâà Wm
p (Ω).
 ñëó÷àå p = 2 ïðîñòðàíñòâà Wm2 (Ω) è
o
W m2 (Ω) ïðèíÿòî òàêæå îáîçíà÷àòü
Hm(Ω) èo
Hm(Ω), ñîîòâåòñòâåííî.  ýòîì ñëó÷àå, íîðìà â ýòèõ ïðîñòðàíñòâàõ,î÷åâèäíî, ïîðîæäàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì
(u, v)m =
∫Ω
uv dx+∑|α|=m
∫Ω
∂αu ∂αv dx.
Òåîðåìà 15.1. Ïðîñòðàíñòâî Wmp (Ω) ïîëíîå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî fi, i = 1, 2, . . ., ôóíäàìåíòàëüíàÿ ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòü â Wm
p (Ω). Òîãäà ôóíêöèè fi è âñå èõ ïðîèçâîäíûå ∂αfi ïî-ðÿäêà |α| = m, i = 1, 2, . . ., îáðàçóþò ôóíäàìåíòàëüíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âLp(Ω). Ïîñêîëüêó ïðîñòðàíñòâî Lp(Ω) ïîëíîå, íàéäóòñÿ ôóíêöèè f ∈ Lp(Ω) èfα ∈ Lp(Ω), |α| = m, òàêèå, ÷òî
∥fi − f∥Lp(Ω) → 0 ïðè i→ ∞
è
∥∂αfi − fα∥Lp(Ω) → 0 ïðè i→ ∞, |α| = m.
Ïîêàæåì, ÷òî f ∈ Wmp (Ω), ïðè÷åì ∂αf = fα, |α| = m.  ñàìîì äåëå, ïóñòü
φ ∈ D(Ω), òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì îáîáùåííîé ïðîèçâîäíîé áóäåì
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 51
èìåòü ∫Ω
∂αfi φdx = (−1)|α|∫Ω
fi ∂αφdx, |α| = m, i = 1, 2, . . . . (15.1)
 òî æå âðåìÿ, ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Ãåëüäåðà, ïîëó÷èì∣∣∣∣∫Ω
(∂αfi − fα)φdx
∣∣∣∣ ≤ (∫Ω
|∂αfi − fα|p dx)1/p(∫
Ω
|φ|p/(p−1) dx
)(p−1)/p
äëÿ âñåõ |α| = m, i = 1, 2, . . .. Ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ, î÷åâèäíî,ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè i→ ∞, Òàêèì îáðàçîì, èìååì∫
Ω
∂αfi φdx→∫Ω
fα φdx ïðè i→ ∞. (15.2)
Àíàëîãè÷íî,∣∣∣∣∫Ω
(fi − f) ∂αφdx
∣∣∣∣ ≤ (∫Ω
|fi − f |p dx)1/p(∫
Ω
|∂αφ|p/(p−1) dx
)(p−1)/p
äëÿ âñåõ i = 1, 2, . . ., îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò ñîîòíîøåíèå∫Ω
fi ∂αφdx→
∫Ω
f ∂αφdx ïðè i→ ∞. (15.3)
Òåì ñàìûì, îáúåäèíÿÿ (15.1), (15.2) è (15.3), ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî∫Ω
fα φdx = (−1)|α|∫Ω
f ∂αφdx, |α| = m.
Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî. Òåîðåìà 15.2. Ïðîñòðàíñòâî Wm
p (Ω) ñåïàðàáåëüíîå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì
W = Lp(Ω)× . . .× Lp(Ω)︸ ︷︷ ︸N+1
,
ãäå N îáùåå êîëè÷åñòâî ìóëüòèèíäåêñîâ α òàêèõ, ÷òî |α| = m. Òàê êàê Lp(Ω) ñåïàðàáåëüíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî, òî W òàêæå áóäåò òàêîâûì, åñëè åãîíàäåëèòü íîðìîé
∥w∥W =
(N+1∑i=1
∥vi∥p)1/p
, w = (w1, . . . , wN+1) ∈ W.
Íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî ïðîñòðàíñòâî Wmp (Ω) èçîìåòðè÷åñêè âêëàäûâàåòñÿ
â W , åñëè êàæäîé ôóíêöèè f ∈ Wmp (Ω) ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå óïîðÿäî÷åí-
íûé íàáîð (f, . . . , ∂αf, . . . ), ãäå íà ïåðâîì ìåñòå ñòîèò ñàìà ôóíêöèÿ f , à íàïîñëåäóþùèõ ìåñòàõ â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîé óïîðÿäî÷åííîñòè âñå åå ïðîèç-âîäíûå ïîðÿäêà m.Îáðàç Wm
p (Ω) ïðè ýòîì âëîæåíèè áóäåò, î÷åâèäíî, ñåïàðàáåëüíûì, ò.ê. ÿâ-ëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ñåïàðàáåëüíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. Òàêèì îá-ðàçîì, ïðîñòðàíñòâî Wm
p (Ω) ÿâëÿåòñÿ ñåïàðàáåëüíûì.Òåîðåìà ïîëíîñòüþ äîêàçàíà.
Óïðàæíåíèå 15.1. Äîêàæèòå, ÷òî âñÿêîå ïîäìíîæåñòâî ñåïàðàáåëüíîãî ìåòðè-÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿåòñÿ ñåïàðàáåëüíûì ìåòðè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì.
52 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Òåîðåìà 15.3 (íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà). Ïóñòü Ω íåïóñòîå îãðàíè÷åííîå
îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî Rn, n ≥ 1. Òîãäà äëÿ ëþáîé ôóíêöèè u ∈o
W 1p(Ω)
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî ∫Ω
|u|p dx ≤ C
∫Ω
|Du|p dx,
ãäå D = (∂/∂x1, . . . , ∂/∂xn) îïåðàòîð ãðàäèåíòà, à C > 0 íåêîòîðàÿ
ïîñòîÿííàÿ, çàâèñÿùàÿ òîëüêî îò p, n.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó Ω îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî, ñóùåñòâóþò âåùå-ñòâåííûå ÷èñëà a < b òàêèå, ÷òî äëÿ âñÿêîé òî÷êè (x′, xn) ∈ Ω èìååì a < xn < b.Çäåñü è íèæå ìû îáîçíà÷àåì x′ = (x1, . . . , xn−1).
Ïóñòü u ∈o
W 1p(Ω). Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé ui ∈ D(Ω), i =
1, 2, . . ., òàêóþ, ÷òî∥ui − u∥W 1
p (Ω) → 0 ïðè i→ ∞. (15.4)
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ôóíêöèè ui ïðîäîëæåíû íóëåì çà ïðåäåëû ìíîæå-ñòâà Ω, òîãäà |ui(x′, ·)|p, i = 1, 2, . . ., áóäóò, î÷åâèäíî, àáñîëþòíî íåïðåðûâíû-ìè ôóíêöèÿìè íà ïðîìåæóòêå [a, b]. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Íüþòîíà-Ëåéáíèöà,ïîëó÷èì
|ui(x′, xn)|p =∫ xn
a
∂|ui(x′, ξ)|p
∂ξdξ =
∫ xn
a
|ui(x′, ξ)|p−1∂|ui(x′, ξ)|∂ξ
dξ, i = 1, 2, . . . ,
äëÿ âñåõ x′ ∈ Rn−1, xn ∈ [a, b], îòêóäà íåìåäëåííî áóäåì èìåòü
|ui(x′, xn)|p ≤∫ b
a
|ui(x′, ξ)|p−1
∣∣∣∣∂ui(x′, ξ)∂ξ
∣∣∣∣ dξ, i = 1, 2, . . . ,
Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ïî xn, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ñïðàâåäëèâûîöåíêè∫ b
a
|ui(x′, xn)|p dxn ≤ (b− a)
∫ b
a
|ui(x′, ξ)|p−1
∣∣∣∣∂ui(x′, ξ)∂ξ
∣∣∣∣ dξ, i = 1, 2, . . . ,
èíòåãðèðóÿ êîòîðûå ïî x′, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîëó÷èì∫Ω
|ui|p dx ≤ (b− a)
∫Ω
|ui|p−1
∣∣∣∣ ∂ui∂xn
∣∣∣∣ dx, i = 1, 2, . . . . (15.5)
 òî æå âðåìÿ, ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Ãåëüäåðà∫Ω
|ui|p−1
∣∣∣∣ ∂ui∂xn
∣∣∣∣ dx ≤(∫
Ω
|ui|p dx)(p−1)/p(∫
Ω
∣∣∣∣ ∂ui∂xn
∣∣∣∣p dx)1/p
, i = 1, 2, . . . ,
ïîýòîìó (15.5) ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî(∫Ω
|ui|p dx)1/p
≤ (b− a)
(∫Ω
∣∣∣∣ ∂ui∂xn
∣∣∣∣p dx)1/p
, i = 1, 2, . . . . (15.6)
Ïî ñâîéñòâó ïîëóíîðìû èìååì∣∣∣∣∣(∫
Ω
|ui|p dx)1/p
−(∫
Ω
|u|p dx)1/p
∣∣∣∣∣ ≤(∫
Ω
|ui − u|p dx)1/p
è ∣∣∣∣∣(∫
Ω
∣∣∣∣ ∂ui∂xn
∣∣∣∣p dx)1/p
−(∫
Ω
∣∣∣∣ ∂u∂xn∣∣∣∣p dx)1/p
∣∣∣∣∣ ≤(∫
Ω
∣∣∣∣∂(ui − u)
∂xn
∣∣∣∣p dx)1/p
ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ 53
äëÿ âñåõ i = 1, 2, . . ., îòêóäà, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå (15.4), íàõîäèì(∫Ω
|ui|p dx)1/p
→(∫
Ω
|u|p dx)1/p
ïðè i→ ∞
è (∫Ω
∣∣∣∣ ∂ui∂xn
∣∣∣∣p dx)1/p
→(∫
Ω
∣∣∣∣ ∂u∂xn∣∣∣∣p dx)1/p
ïðè i→ ∞.
Òåì ñàìûì, îáúåäèíÿÿ äâà ïîñëåäíèõ ñîîòíîøåíèÿ ñ ôîðìóëîé (15.6) çàâåð-øàåì äîêàçàòåëüñòâî. Óïðàæíåíèå 15.2. Ïóñòü V ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ïîëóíîðìîé ∥ · ∥. Äî-êàæèòå, ÷òî |∥v1∥ − ∥v2∥| ≤ ∥v1 − v2∥ äëÿ ëþáûõ v1, v2 ∈ V .
16. Çàäà÷à Äèðèõëå äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà
 ýòîì ðàçäåëå, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, ïîä Ω ìû áóäåì ïîíèìàòüíåïóñòîå îòêðûòîå îãðàíè÷åííîå ïîäìíîæåñòâî Rn, n ≥ 1.
Îïðåäåëåíèå 16.1. Ôóíêöèÿ u ∈ W 12 (Ω) íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûì â ñìûñëå
Ñ.Ë. Ñîáîëåâà ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
∆u = f0 +n∑i=1
∂fi∂xi
â Ω, (16.1)
ãäå fi ∈ L2(Ω), i = 0, 1, . . . , n, åñëè äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Ω) ñïðàâåäëèâî èíòå-ãðàëüíîå òîæäåñòâî
−∫Ω
n∑i=1
∂u
∂xi
∂φ
∂xidx =
∫Ω
f0φdx−∫Ω
n∑i=1
fi∂φ
∂xidx.
Ãîâîðèì òàêæå, ÷òî u ∈ W 12 (Ω) â îáîáùåííîì ñìûñëå óäîâëåòâîðÿåò êðàåâî-
ìó óñëîâèþ Äèðèõëåu|∂Ω = u0, (16.2)
ãäå u0 ∈ W 12 (Ω), åñëè u− u0 ∈
o
W12(Ω).
Óïðàæíåíèå 16.1. Ïóñòü Ω áåñêîíå÷íî ãëàäêàÿ îáëàñòü, f0 ∈ C∞(Ω), u0 ∈C∞(∂Ω) è ïðè ýòîì u ∈ C∞(Ω) êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
∆u = f0 â Ω,
óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ (16.2). Äîêàæèòå, ÷òî ôóíêöèÿ u ÿâëÿåòñÿ îáîá-ùåííûì â ñìûñëå Ñ.Ë. Ñîáîëåâà ðåøåíèåì çàäà÷è (16.1), (16.2), ãäå fi = 0,i = 1, . . . , n.
Òåîðåìà 16.1. Îáîáùåííàÿ çàäà÷à Äèðèõëå (16.1), (16.2) èìååò è ïðèòîì
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëàãàÿ v = u−u0, áóäåì, î÷åâèäíî, èìåòü v ∈o
W12(Ω) è ïðè
ýòîì
−∫Ω
n∑i=1
∂v
∂xi
∂φ
∂xidx =
∫Ω
f0φdx+
∫Ω
n∑i=1
(∂u0∂xi
− fi
)∂φ
∂xidx (16.3)
äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Ω). Òàêèì îáðàçîì, íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò
åäèíñòâåííàÿ ôóíêöèÿ v ∈o
W 12(Ω), óäîâëåòâîðÿþùàÿ äëÿ âñÿêîãî φ ∈ D(Ω)
èíòåãðàëüíîìó òîæäåñòâó (16.3).
54 ËÅÊÒÎÐ À. À. ÊÎÍÜÊÎÂ
Îáîçíà÷èì
[w1, w2] =
∫Ω
n∑i=1
∂w1
∂xi
∂w2
∂xidx, w1, w2 ∈
o
W12(Ω).
Ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Ôðèäðèõñà íàéäåòñÿ ïîñòîÿííàÿ C > 0 òàêàÿ, ÷òî
[w,w] ≥ C∥w∥2W 12 (Ω)
äëÿ ëþáîãî w ∈o
W12(Ω). Òåì ñàìûì, áèëèíåéíàÿ ôîðìà [·, ·] îïðåäåëÿåò ñêàëÿð-
íîå ïðîèçâåäåíèå íà ïðîñòðàíñòâåo
W 12(Ω), ïîðîæäàþùåå íîðìó, ýêâèâàëåíò-
íóþ ñîáîëåâñêîé. Ïðè ýòîì íåñëîæíî óâèäåòü, ÷òî îòîáðàæåíèå
l(φ) = −∫Ω
f0φdx−∫Ω
n∑i=1
(∂u0∂xi
− fi
)∂φ
∂xidx
ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì íåïðåðûâíûì ôóíêöèîíàëîì â ýòîé íîðìå. ñàìîì äåëå, ëèíåéíîñòü l ïðîâåðÿåòñÿ áåç òðóäà â òî âðåìÿ, êàê íåïðåðûâ-
íîñòü ñëåäóåò èç îöåíêè
|l(φ)| ≤∣∣∣∣∫
Ω
f0φdx
∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∫Ω
n∑i=1
(∂u0∂xi
− fi
)∂φ
∂xidx
∣∣∣∣∣≤(∫
Ω
|f0|2 dx)1/2(∫
Ω
|φ|2 dx)1/2
+
(∫Ω
n∑i=1
∣∣∣∣∂u0∂xi− fi
∣∣∣∣2 dx)1/2(∫
Ω
n∑i=1
∣∣∣∣ ∂φ∂xi∣∣∣∣2 dx
)1/2
≤
(∫Ω
|f0|2 dx)1/2
+
(∫Ω
n∑i=1
∣∣∣∣∂u0∂xi− fi
∣∣∣∣2 dx)1/2
∥φ∥W 12 (Ω)
äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Ω).Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî òåîðåìå Ðèññà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ôóíêöèÿ
v ∈o
W12(Ω) òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî φ ∈ D(Ω) èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
[v, φ] = l(φ),
êîòîðîå, î÷åâèäíî, ýêâèâàëåíòíî (16.3).Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] À.Ñ. Ìèùåíêî, À.Ò. Ôîìåíêî Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîé òîïîëîãèè è ãåîìåòðèè. Èçä-âîÌÃÓ, 1980.
[2] Ó. Ðóäèí. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. Ì: Ìèð, 1975.[3] Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèí. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1974.[4] Ã.Å. Øèëîâ. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Âòîðîé ñïåöèàëüíûé êóðñ. Ì.: Íàóêà, 1965.