mechanical vibrations -...

01/08/60

1

Mechanical Vibrations

2

Week 1 Introduction to mechanical vibrations

Week 2 Free vibration SDOF

Undamped system

Damped system

Week 3 Free vibration SDOF

Logarithmic decrement

MATLAB&Simulink application

Force vibration SDOF

Undamped system

Week 4 Force vibration SDOF

Damped system

Base exciatation

Rotating unbalance

Week 5 Force vibration SDOF

General force response

Spectrum analysis

Frequency responses

Week 6 Free vibration MDOF

Undamped system

Exercises

2-Sep-15 Midterm examination 9.00-11.00

3

Week 7 Free vibration MDOF

Modal analysis

Damped system

Week 8 Force vibration MDOF

Undamped system

Damped system

Stability analysis

Week 9 Continuous systems

Transverse vibration of a string

Longitudinal vibration of a rod

Torional vibration of a rod

Lateral vibration of a beam

Week 10 Vibration measurement

Critical speed

Static balance

Week 11 Isolator design

Absorber design

Exercises

16/10/2015 Final examination 13.00-16.00 4

4

• A 80-100• B+ 75-79• B 70-74• C+ 60-69• C 50-59• D+ 45-49• D 40-44• F 0-39

First Exam: 40 %

Second Exam: 40 %

Home work, Quiz , Check: 25 %

mailto:MATLAB@Simulink application

01/08/60

2

55

Recommended reading : Singiresu S.Rao : Mechanical Vibration(Fourth Edition),

Prentice Hall 2004. SI Edition Daniel J.Inman:Engineering Vibration,Third Edition,Pearson Education,2008 Leonard Meirovitch : Fundamentals of Vibrations , Mc-Graw Hill 2001. Kelly S. Graham : Fundamentals of Mechanical Vibrations,

Mc-Graw Hill 2000.

เอกสารค าสอน: Mechanical Vibrations, Srisertpol, 2014

The Spring-Mass-Damper model

Degree of Freedom (DOF)

Relationship between Displacement, Velocity and Acceleration

Representations of harmonic motion

Classification of mechanical vibration

7School of Mechanical Engineering 7 8School of Mechanical Engineering 8

01/08/60

3

9 10

11 12

01/08/60

4

13 14

15

รถงคณลกษณะตางๆของการสนทางวศวกรรม เขาใจถงพฤตกรรมการสนของระบบ หรอโครงสราง ซงน าไปสความเสยหาย

ใชเปนแนวทางในการออกแบบการควบคมการสน และการทดสอบการสน การแกปญหาการสนทเกดขนกบโครงสราง หรอระบบ

16

ล ำดบขนควำมเปนอสระ (Degree of Freedom, DOF) - จ ำนวนพกด(Coordinate) ทนอยทสดทไมขนตอกนซงจ ำเปนตองใชอธบำยต ำแหนงตำงๆของทกสวนในระบบทขณะเวลำหนง

01/08/60

5

17

Single degree of freedom system

18

19 20

01/08/60

6

21

Discrete System (Lumped System)-ระบบทสามารถก าหนดการเคลอนไหวไดดวยล าดบขนความอสระทจ ากดคาาหน ง

Continuous System (Distributed System)- ระบบทมล าดบขนความเปนอสระไมาจ ากด

22

การสนแบบอสระ (Free Vibration) การสนแบบบงคบ (Forced Vibration) การสนแบบไมามความหนาวง (Undamped Vibration) การสนแบบมความหนาวง (Damped Vibration) การสนแบบเชงเสน (Linear Vibration) การสนแบบไมาเชงเสน (Nonlinear Vibration) การสนแบบก าหนดได (Deterministic Vibration) การสนแบบสาม (Random Vibration)

23

คอการสนของระบบในลกษณะทหลงจากมการรบกวนระบบทหยดนงอยาทจดสมดลครงแรกเพอท าใหเกดการสนข นแลว การสนนนด าเนนตาอไปโดยไมามแรงจากภายนอกมากระท ากบระบบอกเลย

การรบกวนระบบอาจจะเปนการท าใหเกดการขจด หรอท าใหเกดความเรวเรมตนหรอทงสองแบบรวมกน

24

คอการสนของระบบภายใตแรงกระท าจากภายนอก ซ งแรงกระท าจากภายนอกนอาจจะเปนแรงในลกษณะซ าหรอไมาซ าตวเองกได

การสนในลกษณะน เชาน การสนเนองจากความไมาสมดลของเครองจกรทเกดการหมน

ถาความถในลกษณะแบบนไปพองกบความถธรรมชาตของระบบ การสนนจะมลกษณะทมชาวงกวาง (amplitude) การสนทสงมาก เราเรยกการสนลกษณะนวาาการสนพอง (Resonance)

01/08/60

7

25

หมายถ งการสนทไมามการสญเสยพลงงานใหกบสงแวดลอมของระบบไมาวาาจะอยาในรปแรงเสยดทาน หรอแรงตานอนใด

เมอระบบเคลอนทแบบไมามความหนาวงจะท าใหพลงงานรวมของระบบในระหวาางการเคลอนทนมคาาคงท

การสนทไมามความหนาวงของระบบจรงจะเกดข นไดในอวกาศเทาานน การสนแบบไมามความหนาวงและการสนแบบอสระความถของระบบจะ

เรยกวาา ความถธรรมชาต (Natural Frequency)

26

หมายถ งการสนทมการสญเสยพลงงานในระหวาางเกดการเคลอนทของระบบ ไมาวาาดวยสาเหตใดกตาม

โดยทวไปแลวการสนตามสภาพความเปนจรงนนจะเปนการสนแบบมความหนาวงแทบทงสน

27

ระบบของการสนซ งประกอบดวย มวล สปรง และตวหนาวง มพฤตกรรมเปลยนแปลงคาาของแรงกระท าไปอยาางเชงเสนกบระยะทางหรอความเรวของพกดทใช

การสนแบบเชงเสนเราสามารถใช หลกของการรวมต าแหนาง(Principle of Superposition)

28

ระบบของการสนซ งประกอบดวย มวล สปรง และตวหนาวง มพฤตกรรมเปลยนแปลงคาาของแรงกระท าไปอยาางไมาเปนเชงเสนกบระยะทางหรอความเรวของพกดทใช

01/08/60

8

29

ระบบทเกดการสนอยาภายใตแรงกระท ำจำกภำยนอกลกษณะใดกตาม ถาแรงทกระท าอยานนสามารถก าหนดขนาดของแรงไดหรอทราบคาาความสมพนธของแรง ซ งเปนฟงกช นของเวลาทแรงนนกระท า

30

ระบบทเกดการสนอยาภายใตแรงกระท าจากภายนอกลกษณะใดกตาม ถาแรงทกระท าตาอระบบไมาสามารถก าหนดขนาดของแรงได

31

Springs Elements Damping Elements Mass or Inertia Elements

32

Stiffness (N/m)

Young’s modulus (N/m²)

Density (kg/m³)

Shear modulus G(N/m²)

Springs in series

Springs in parallel

01/08/60

9

33

Potential energy Spring force

kxF

stiffness springor contant springk

tion)nt(deformadisplacemex

2

2

1 :spring in theenergy Potential kxU

34

35 36

where

equation mEquilibriu

21

21

kkk

kW

kkW

eq

steq

stst

neq

eq

kkkkk

k

321

parallelin constant spring Equivalent

01/08/60

10

37

21 system theof Static 1. stst

22

11

equation mEquilibriu 2.

kW

kW

steqeq kWk deflection static same for the .3

neq

eq

kkkkk

k

11111

seriesin constant spring Equivalent

321

, or

2

2

1

1

2211

k

k

k

k

kkk

steqsteq

steq

21

111 is, that

kkkeq

38

cm 2ddiameter wire

cm 20Ddiameter coilmean

mN 1080G modulusshear 29

The stiffness of helical spring is given by

mN 000,4052.08

108002.0

83

94

3

4

nD

Gdk

The equivalent spring constant of the suspension system is given by

mN 120,000 000,4033 kkeq

39 40

ตวหนวงเนองจากความหนด (Viscous Damping) ตวหนวงเนองจากแรงเสยดทานระหวางของแขงกบของแขง (Dry

Friction or Coulomb Damping) ตวหนวงเนองจากความไมยดหยนของวสด (Hysteretic Damping or

Structural Damping)

01/08/60

11

41 42

All real systems dissipate energy when they vibrate. To account for this we must consider damping. The most simple

form of damping (from a mathematical point of view) is called

viscous damping. A viscous damper (or dashpot) produces a force that is proportional to velocity.

Damper (c)

( ) ( )cf cv t cx t x

fc

Mostly a mathematically motivated form, allowing

a solution to the resulting equations of motion that predicts

reasonable (observed) amounts of energy dissipation.

43

neq

eq

cccc

c

1111

seriesin constant damping Equivalent

21

321

parallelin constant damping Equivalent

cccc

c

eq

eq

44

DamperDamping coefficientCritical damping coefficientDamping ratio

01/08/60

12

45

Underdamped MotionOverdamped MotionCritically Damped Motion

46

47

dampers theallon acting forces , springs theallon acting forces

dampers on the acting forces , springs on the acting forces , mass ofcenter

ds

disi

FF

FFG

4,3,2,1 ;

4,3,2,1 ;

ixcF

ixkF

idi

isi

4321

4321

ddddd

sssss

FFFFF

FFFFF

force verticaltotal where WFF ds

48

xcF

xkF

eqd

eqs

4321

4321

ccccc

kkkkk

eq

eq

01/08/60

13

49

มวลเทยบเทำของลอมวลเทยบเทำของสปรง

50

51 52

01/08/60

14

53

ตวอยำงท e1-10 พจารณารปท e1-15(a) มมวลจ านวน 3 มวลวางไวบนคานทระยะตาางๆกนทมจดหมน o ซ งเราสามารถพจารณาแทนมวลทงสามดวยมวลเทยบเทาา

54

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร (Mathematical Modeling)

การหาสมการการเคลอนท (Derivation of Governing Equations)

การหาผลเฉลยสมการการเคลอนท (Solution of Governing Equations)

การวเคราะหผลทได (Interpretation of the Results)

55

การสรางสมมตฐานเบองตนของระบบทเกดการสน โดยแทนสงทมจรงดวยแบบจ าลองทางกายภาพ เชาน

แทนแหลางสะสมพลงงานศกยทกแบบในระบบดวยสปรง(spring )

แทนสงทท าใหเกดการสญเสยพลงงานดวยตวหนาวง(damped) แทนสงทเปนแหลางสะสมพลงงานจลน ดวย มวล(mass) , ความเฉอย

56

แทนสมการการเคลอนทของระบบเขากบแบบจ าลองทสรางข นมาซ งอาจจะไดมาหลายวธ เชาน

กฎการเคลอนทของนวตน (Newton’s laws) กฎการอนรกษพลงงาน (Conservation of energy principle) สมการลากรานส (Lagrange’s equations) D’Alembert’s principle

01/08/60

15

57

การแกสมการอนพนธ การเปลยนรปของลาปลาซ (Laplace’s transform) วธเชงตวเลข (Numerical method)

Dynamic System Modeling and Analysis, Hung V Vu and Ramin S. Esfandiari,

McGraw-Hill 1998

58

สามารถอธบายและสรปผลลพธทได • ขนาดของแรงทกระท า, ความถ• ลกษณะการเคลอนท• ความเรว, ความเราง และระยะกระจด

59 60

Simple model• Single-degree of freedom model as shown in b.

stiffness. equivalent,, srteq kkkk

constant. damping equivalent, rseq ccc

mass equivalent,, wvreq mmmm

wheels, body, vehicle, struts tires,,rider wvstr

01/08/60

16

61


62


63


การเคลอนทแบบฮารโมนกสอยาางงาาย(Simple harmonic motion)

รปแบบของฟงกชนฮารโมนกส (Forms of harmonicfunctions)

การสนทมขนาดแบบเอกโปแนนเชยล (Oscillations with exponential amplitude)

64

01/08/60

17

65 66

2 2

Displacement: ( ) sin

Velocity: ( ) cos sin2

Acceleration: ( ) sin sin

y t A t

y t A t A t

y t A t A t

670 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Time,(sec)

Displacement

Velocity

Acceleration

68

01/08/60

18

69

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t/T, sec

T=1 sec

T= 0.5 sec

T= 2 sec

700 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

X: 1

Y: 0.03663

Time, (sec)

71

0 2 4 6 8 10 12 14

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Time, (sec)

y(t

)

0 2 4 6 8 10 12 14-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

Time, (sec)

y(t

)

72

mechanical vibrations -...

Documents