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MECANIQUE MECANIQUE

ANALYTIQUE ANALYTIQUE

SMP5SMP5

Professeur de l’enseignement supérieurBureau 37 département de physiqueFaculté des sciencesAgadiremail: [email protected]

Rachid MESRARRachid MESRAR

CHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIENCHAPITRE 5 : FORMALISME HAMILTONIEN

« Le formalisme hamiltonien transforme le système des n équations du second ordre de Lagrange en un système de 2n équations du premier ordre qui nécessite la connaissance des conditions initiales permettant de déterminer les 2n constantes arbitraires issues de leur intégration »

R. Hamilton

(1805-1865)

Préambule

Objectifs pObjectifs péédagogiquesdagogiques

�� Introduire le Introduire le HamiltonienHamiltonien dd’’un systun systèèmeme

�� Etablir les Etablir les ééquations canoniques de Hamiltonquations canoniques de Hamilton

�� Comprendre les transformations canoniquesComprendre les transformations canoniques

�� Introduire la notion de crochets de PoissonIntroduire la notion de crochets de Poisson

�� Comprendre le formalisme de Comprendre le formalisme de HamiltonjHamiltonj--JacobiJacobi


Notions abordNotions abordééeses

�� Impulsion gImpulsion géénnééralisralisééee

�� Espace des phasesEspace des phases

�� Fonction de Hamilton ou Fonction de Hamilton ou HamiltonienHamiltonien

�� Equations canoniquesEquations canoniques

�� Crochets de PoissonCrochets de Poisson--Structure symplectiqueStructure symplectique

�� IdentitIdentitéé de Jacobide Jacobi


Notions abordNotions abordéées es -- suitesuite

�� Transformations canoniquesTransformations canoniques

�� Fonctions gFonctions géénnéératricesratrices

�� IntIntéégrale premigrale premièère du mouvementre du mouvement

�� Equation de HamiltonEquation de Hamilton--Jacobi (EHJ)Jacobi (EHJ)

�� Equation caractEquation caractééristiqueristique


PLAN DU CHAPITRE 5PLAN DU CHAPITRE 5

11-- IntroductionIntroduction

22-- Formalisme de HamiltonFormalisme de Hamilton

33-- Crochets de PoissonCrochets de Poisson

44-- Transformations canoniquesTransformations canoniques

55-- Formalisme de HamiltonFormalisme de Hamilton--JacobiJacobi


Formalisme Hamiltonien

Equations canoniques

§-1-

Introduction

Le formalisme hamiltonien n’introduit rien de nouveau dans

les concepts de la physique ; il ne simplifie pas énormément

la résolution des équations de Lagrange qui décrivent les

phénomènes de la mécanique, mais il a permis des avancées

considérables dans la résolution des problèmes en mécanique

classique avec la théorie de Hamilton-Jacobi et les calculs

des perturbations.

C’est de plus le langage par excellence de la mécanique

statistique et de la mécanique quantique.

William R.Hamilton (1805-1865)

Formalisme canonique de Hamilton

Décrire le système par les variables , au lieu),( ii pq ),( ii qq &

Exprimer en fonction des ii qetpiq&

Philosophie générale

Hypothèses :

Les paramètres de configuration sont indépendants

Liaisons parfaites

Existence d’un potentiel

Possibilité d’indépendance du temps

��

��

��

��


Définition 1: impulsion généraliséeOn appelle impulsions généralisées, moments généralisés ou encore

moments conjugués, les quantités définies par :

iii q

T

q

Lp

&& ∂∂=

∂∂=

Définition 2: espace des phasesOn appelle espace des phases du système l’espace (qi, pi) à 2n

dimensions. L’état dynamique du système à un instant t est entièrement

caractérisé par un point de cet espace. Lorsque le temps varie, le point

représentatif du système décrit une courbe dans l’espace des phases,

appelée hypertrajectoire.

Toute hypertrajectoire correspond à des conditions initiales déterminées.

��


Définition 3 : HamiltonienLa fonction de Hamilton ou Hamiltonien H est défini comme la

transformée de Legendre du Lagrangien L en : iq&

∑ −=i

ii LqpH &

où les sont remplacées en fonction de leurs expressions

),,( tpqfq iii =&iq&

H est en définitive une fonction des qi et des pi :

),,( tpqHH ii=

��



∑∑

∑∑∑∑

∂∂−

∂∂−=

∂∂−−

∂∂−+=

ii

iiii

dL

iii

ii

i

qpd

iii

iii

dtt

Ldq

q

Ldpq

dtt

Lqdpdq

q

LqdpdpqdH

ii

&

44444 344444 21

&

444 3444 21

&&

& )(

dtt

Hdp

p

Hdq

q

HdH

ii

iii

i ∂∂+

∂∂+

∂∂= ∑∑


t

L

t

H

équationsnqp

H

équationsnq

L

q

H

ii

ii

∂∂−=

∂∂

→=∂∂

→∂∂−=

∂∂

&

D’où :

Si H ne dépend pas explicitement du temps, .0t

H =∂

∂

On sait que la trajectoire physique obéit à l’équation

d’Euler-Lagrange:

iiii

ppdt

d

q

L

dt

d

q

L&

&==

∂∂=

∂∂

Ce qui donne

=∂∂−=

=∂∂=

n1iq

Hp

n1ip

Hq

ii

ii

,...,

,...,

&

&��


La dynamique du système est régie par 2n équations

différentielles du premier ordre. Ces 2n équations remplacent

les n équations d’Euler-Lagrange.

Remarque

L’apparition du signe (-) entre les équations pour les qi et cellespour les moments conjugués, s’appelle symétrie symplectique.

t

Hp

p

Hq

q

H

dt

dH

ii

iii

i ∂∂+

∂∂+

∂∂= ∑∑ &&

t

L

t

H

dt

dH

∂∂−=

∂∂=

Les moments conjugués des variables cycliques sont des

intégrales premières, ce qui donne:

Si le hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, alors

il y a conservation de l’énergie mécanique totale du système:

CteVTH =+=

Remarque 1

t

Hp

p

Hq

q

H

dt

dH

ii

iii

i ∂∂+

∂∂+

∂∂= ∑∑ &&

t

Hpqqp

t

Hp

p

Hq

q

H

dt

dH

iii

iii

ii

iii

i

∂∂+++−=

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∑∑

∑∑

&&&&

&&

Sur une trajectoire qui obéit aux équations canoniques, on a:

Remarque 2

t

L

t

H

dt

dH

∂∂−=

∂∂=

D’où:

Equations canoniques à partir du principe de moindre action

Fiche de synthèse 1

Ce qu’il faut absolument savoir��

ii q

Lp

&∂∂=

∑ −=i

ii LqpH &

ii

ii

p

Hq

q

Hp

∂∂=

∂∂−=

&

&

Impulsion généralisée

Hamiltonien


Méthodologie à suivre pour résoudre un

problème en utilisant le formalisme

hamiltonien (voir TD4)

1- Calculer H

2- Calculer pi3- Exprimer en fonction de pi4- Reporter le résultat dans H et l’exprimer en

fonction de

5- Ecrire les équations canoniques

iq&

),,( tpq ii

Voir applications pédagogiques��

Mise en œuvre

∑ −=i

ii LqpH &

ii

ii

p

Hq

q

Hp

∂∂=

∂∂−=

&

&

Hamiltonien


ii q

Lp

&∂∂=

Moments conjuguésTD4

Application pédagogique n° 1

On considère une particule de masse m placé dans

un potentiel de la forme :

r

erV

2

−=)(

Hamiltonien en coordonnées polaires

1- Ecrire le lagrangien puis le hamiltonien du système

en coordonnées polaires r et

2- Exprimer le hamiltonien H en fonction de

3- Pourquoi H = E = Cte, pourquoi est une constante

du mouvement.

4- Ecrire les équations canoniques et exprimer

en fonction de

.θ

.θPetPr

θP

.rPetPθret &&θ

1-

r

errm

2

1VTH

r

errm

2

1VTL

2222

2222

−+=+=

++=−=

)(

)(

θ

θ

&&

&&

22

rr

mr

Pmr

LP

m

Prrm

r

LP

θθ θθθ

=⇒=∂∂=

=⇒=∂∂=

&&&

&&&

2-

r

e

mr2

P

m2

PrH

2

2

22r −+= θθ ),(

0t

H =∂

∂

CteP =θ

3- H = E = Cte car

car θ est une variable cyclique.

4- Equations canoniques

=∂∂=

=∂∂=

2

r

r

mr

P

P

Hm

P

P

Hr

θ

θ

θ&

&

−=∂∂−=

=∂∂−=

2

2

3

2

r r

e

mr

P

r

HP

0H

P

θ

θ θ&

&

Hamiltonien en coordonnées sphériques

1-

θϕθϕθ

ϕθθ

222

222222

r

h

r

grfrV

rrrm2

1T

sin

)()()(),,(

)sin(

++=

++= &&&

θϕθ

ϕθθ

222

222222

r

h

r

grf

rrrm2

1VTH

sin

)()()(

)sin(

+++

++=+= &&&

=⇒=∂∂=

=⇒=∂∂=

=⇒=∂∂=

θϕϕθ

ϕ

θθθ

ϕϕ

θθ

2222

22

rr

mr

Pmr

HP

mr

Pmr

HP

m

Prrm

r

HP

sinsin &&

&

&&&

&&&

Impulsion généralisée et moments conjugués

θϕθ

θϕθ

222

22

2

2

22

r

r

h

r

grf

r

P

r

PP

m2

1H

sin

)()()(

sin

+++

++=

Hamiltonien

=∂∂=

=∂∂=

=∂∂=

θϕ

θ

ϕ

ϕ

θ

θ

22

2

r

r

mr

P

P

Hmr

P

P

Hm

P

P

Hr

sin&

&

&

2- Equations canoniques

ii p

Hq

∂∂=&

′−=

∂∂−=

−′−=∂∂−=

++′−

+=

∂∂−=

θϕ

ϕ

θθϕθ

θθ

θ

θϕθ

θ

ϕ

ϕθ

ϕθ

22

322

32

232

22

3r

r

hHP

h2g

r

1P

mr

HP

hg

r

2rf

PP

mr

1

r

HP

sin

)(sin

cos)()(

sin

cos

sin

)()()(

sin

&

&

&

ii q

Hp

∂∂−=&

Et maintenant, c’est à vous de jouer.

A vos dossiers pédagogiques.

Crochets de poisson

§-2-

Crochets de Poisson

« On introduit la notion de crochets de Poisson pour leur

analogie avec les commutateurs de la mécanique quantique »

Denis Poisson (1781-1840)

C’est un pont vers la mécanique quantique��

Il est intéressant de reformuler les équations

canoniques a l’aide des crochets de Poisson. Ce

formalisme s’avère en particulier très utile pour

comprendre le passage de la dynamique classique à

la dynamique quantique, que le système possède un

nombre fini de degrés de liberté, comme c’est le

cas dans ce chapitre, ou qu’il possède un nombre

infini de degrés de liberté.

Par ailleurs, la dissymétrie apparente entre les

deux jeux d’équation de Hamilton peut être cachée

pudiquement en introduisant les crochets de

Poisson.

i

i

i

i

q

H

dt

dpet

p

H

dt

dq

∂∂−=

∂∂=

On appelle crochets de poisson entre deux fonctions

),,(),,( tpqfettpqf iiii définies dans l’espace des

phases l’expression suivante :

Cette notation permet d’écrire pour toute fonction des

ii petq et éventuellement le temps, la relation bien

plus générale :

{ }iiii i q

g

p

f

p

g

q

fgf

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂=∑,

t

f

dt

dp

p

f

dt

dq

q

f

dt

df i

i

i

i i ∂∂+

∂∂+

∂∂=∑

i

i

i

i

q

H

dt

dpet

p

H

dt

dq

∂∂−=

∂∂=

or

{ }t

fHf

t

f

q

H

p

f

p

H

q

f

dt

df

iiii i ∂∂+=

∂∂+

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂=∑ ,

(équations

canoniques)

Si f ne dépend pas explicitement du temps :

0t

f =∂∂

Pour qu’elle soit une intégrale première, il suffit que :

{ } 0Hf =,

Ceci permet de mettre les équations canoniques de Hamilton

sous forme plus symétrique :

En effet :

{ }{ { i

0

i

i

i

1

i

ii q

H

p

q

p

H

q

qHq

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂=

==

,

{ }{ { i

1

i

i

i

0

i

ii q

H

p

p

p

H

q

pHp

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂=

==

, variablesindépendantes

{ } { }Hpdt

dpetHq

dt

dqi

ii

i ,, ==

On en déduit que le hamiltonien lui-même vérifie :

Ce qui établit que le hamiltonien garde une valeur constante

(l’énergie) si il ne dépend pas explicitement du temps.

Plus généralement, on appellera « constante du mouvement »

tout opérateur ne dépendant pas explicitement du temps et

dont le crochet de Poisson avec H est nul.

{ }t

HHH

dt

dH

0∂

∂+==321

,

Le crochet de poisson est un élément central de

l’approche hamiltonienne, qui met sur un pied

d’égalité les 2n variables dynamiques. Du point de

vue mathématique, il s’agit d’un produit bilinéaire

antisymétrique qui dote l’espace des phases d’une

structure algébrique dite structure «symplectique ».

Structure symplectique et transformations canoniques

On constate que dans le cas particulier où

et on obtient les crochets de Poisson entre les

variables conjugués :

{ } { } { } 0ppet0qqetpq jijiijji === ,,, δ

{ }{

∑∑ ==

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂=

=

kijjkik

k k

j

0

k

i

k

j

k

iji q

p

p

q

q

p

q

qpq δδδ,

kk pgetqf == on a:

Propriétés des crochets de Poisson

Propriété n° 1

Propriétés des crochets de Poisson

��

��

∑=

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

n

1i iiii q

A

p

B

p

A

q

B

Propriété n° 2

��

Propriété n° 3

��

{ }CBA .,

Propriété n° 4

��

Pour n = 1

Or

d’où :

C’est l’identité de Jacobi��


Mise en œuvre

Transformations canoniques

§-3-

Transformations canoniques (TC)

De même que dans un espace vectoriel euclidien,

on peut s’intéresser à des « isométries », c’est-à-

dire à des transformations qui conservent la

structure euclidienne. Dans l’espace des phases,

on peut considérer des transformations qui

conservent le crochet de Poisson et qui sont alors

appelées « transformations canoniques ».

Translation, rotation, homothétie,…etc.

),(),( iiii PQpq →

Changement de variables dans l’espace des phases :

Principe de base

Transformations canoniques (TC)

Soit le système canonique associé à l’hamiltonien H(qi, pi, t)

=∂∂−=

=∂∂=

n1iq

Hp

n1ip

Hq

ii

ii

,...,

,...,

&

&

Effectuons la transformation suivante:

==

),,...,,,...,(

),,...,,,...,(

tppqqPP

tppqqQQ

n1n1jj

n1n1jj

Définition

Une transformation canonique est une transformation inversible des

2n variables (qi, pi) en 2n variables (Qi, Pi), tel que les équations du

mouvement soient encore canoniques. C’est-à-dire qu’il existe une

fonction K(Qi, Pi, t) telle que:

=∂∂−=

=∂∂=

n1iQ

HP

n1iP

HQ

ii

ii

,...,

,...,

&

&

« Le hamiltonien change mais pas les équations canoniques »

Condition suffisante pour qu’une transformation soit canonique

Soit F(qi, Qi) une fonction quelconque, et considérons la

transformation:

n1iQ

FP

q

Fp

ii

ii ,...,;; =∂

∂−=∂∂=

C’est une transformation des variables (qi, pi) en les variables

(Qi, Pi).

Pour qu’une telle transformation soit canonique, il

suffit que l’expression suivante :

dFdQPdqp iiii =−

soit une différentielle exacte à t constant.

Voir démonstration

��

En effet :

),( ii QqF

{ {iiiii

P

ii

p

i

dQPdqpdQQ

Fdq

q

FdF

ii

−=∂∂+

∂∂=

−

Fonction génératrice :

La fonction est appelée fonction génératrice de la

transformation canonique.

),( ii QqF

Le choix de la fonction F conduit à des équations implicites très

simples pour la transformation canonique.

On exprime cette fonction au moyen des variables (qi, Qi, t) et on

note cette fonction F1(qi, Qi, t) qui est également une fonction

génératrice.

De façon analogue, on peut introduire les différentes fonctions

suivantes:

Remarque importante

Les transformations F1(qi, Qi, t), F2(qi, Pi, t) etc., ne génèrent

pas de transformations différentes mais simplement des

façons différentes de générer une transformation donnée.

Evidemment, deux fonctions F1 différentes par exemple vont en

général générer des transformations différentes.

Dans la pratique, il suffit de se donner une fonction Fi(i=1,…,4)

de deux groupes de variables. Les deux premières équations

expriment les nouvelles variables en fonction des anciennes,

et la troisième donne le nouveau hamiltonien en fonction des

nouvelles variables.

Si une transformation est engendrée par une fonction Fi, on dit

que Fi est une fonction génératrice de cette transformation.

Crochets de poisson et transformations canoniques

Lorsqu’on opère sur un système une transformation canonique:

iiii PpetQq →→

Que deviennent les crochets de Poisson entre les nouvelles

variables?

Théorème

Les crochets de Poisson sont indépendants du jeu de variables

canoniques dans lequel ils sont exprimés, ainsi:

{ } { } PQpq gfgf ,, ,, =

Remarque importante

Les crochets de Poisson peuvent être utilisés pour vérifier le

caractère canonique d’une transformation. En effet:

Une transformation est canonique si les crochets de Poisson

sont invariants par rapport à cette transformation:

{ } { } PQpq gfgf ,, ,, =��

Variables

indépendantes

Fonction

génératrice Equations de transformation

t

FHK

Q

FP

q

Fp

ii

ii ∂

∂+=∂∂−=

∂∂= 111 ;;

t

FHK

P

FQ

q

Fp

ii

ii ∂

∂+=∂∂=

∂∂= 222 ;;

t

FHK

Q

FP

p

Fq

ii

ii ∂

∂+=∂∂−=

∂∂−= 333 ;;

t

FHK

P

FQ

p

Fq

ii

ii ∂

∂+=∂∂=

∂∂−= 434 ;;

),( ii Qq

),( ii Pp

),( ii Qp

),( ii Pq

),(1 ii QqF

),(2 ii PqF

),(3 ii QpF

),(4 ii PpF


Mise en œuvre

dFdQPdqp iiii =− { } { } PQpq gfgf ,, ,, =

t

FHK

∂∂+=

Condition suffisante

Nouvel Hamiltonien

(Kamiltonien)

Condition nécessaire

Application pédagogique

Soit la transformation :

=

+=

p

qAQ

qp2

1P 22

tan

)(

Montrer que cette transformation est canonique de

deux manières différentes. En déduire la fonction

génératrice correspondante.

),()(

)(

qpdFpq2

1dqdppdq

2

1

qp

qdppdqqp

2

1pdqPdQpdq

2222

=

=+=

+−+−=−

pq2

1qpF =),(

d’où :

F est la fonction génératrice correspondante.

- Première méthode

- Deuxième méthode

[ ] 1p

P

q

P

p

Q

q

QPQ =

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂= ..,

En effet:

=∂∂

=∂∂

+−=

∂∂

+=

∂∂

pp

P

qq

Pqp

q

p

Qqp

p

q

Q

22

22

Formalisme de Hamilton-Jacobi

§-4-


0=+∂∂

Ht

S

EHJ

Une transformation canonique très Spéciale

Préambule

« Il s’agit d’une méthode d’intégration d’un système

canonique. Jacobi avait remarqué qu’un système

canonique est le système différentiel associé à une

certaine équation aux dérivées partielle du premier ordre

(système appelé système caractéristique) ».


Soit la transformation canonique : ),(),( iiii PQpq →

t

FHK

∂∂+=

),( ii PQ

Et soit le nouvel hamiltonien :

Principe : opérer une T.C. tel que les soient

précisément 2n constantes du mouvement.

Dans ce cas on a :

==⇔=∂∂−=

==⇔=∂∂=

CtePQ

KP

CteQP

KQ

iii

i

iii

i

α

β

)2(0

)1(0

&

&

d’où :

====

),,(),,(

),,(),,(

tptPQpp

tqtPQqq

jjijjii

jjijjii

αβαβ


Pour y arriver nous cherchons la fonction génératrice, ici choisie de typedonc du type que nous noterons de façon standard tel que:),,(2 tqF ii α

),,(2 tpqF ii),,( tqS ii α

0),,(),,( =∂∂+=

t

StpqHtPQK iiii

De cette façon K = 0 nous assure que les équations (1) et (2) seront satisfaites. La T.C. est de type F2 et donc :

ii q

Sp

∂∂=

Le but recherché est , ce sera notre équation fondamentale après remplacement des pi dans H.

0=+∂∂

Ht

S


0),,(),,( =

∂∂+

∂∂

tpq

SH

t

tqSi

i

ii α

iα

C’est l’équation de Hamilton-Jacobi, une équation différentielle pour S. CetteÉquation différentielle du premier ordre en n variables nécessitera n constantes d’intégration qui sont précisément les constantes .Une fois solutionnée, c.à.d. une fois que l’on connaît S, il ne reste qu’à opérer les T.C.

==∂

∂=

∂∂==

=∂

∂=

ijji

i

jj

iii

jjii

jji

tqQ

tqS

P

SQ

tqpq

tqSp

βααα

β

αα

),,(

),,(

),,(),,(


Ces n équations peuvent s’inverser en ).,,( tqq jjii βα=

.0=∂

∂t

H

),(),,( 1 iiii qWttqS ααα +−=

Une simplification apparaît lorsqueDans ce cas, par séparations de variables, on peut écrire:

Où on identifie l’un des , ici comme valeur numérique (constante) de H: iα 1α

1α=HComme

ii

ii q

Wp

q

Sp

∂∂=⇒

∂∂=


L’équation de Hamilton-Jacobi se ramène à :

ii

i q

WqH α=

∂∂

),(

C’est l’équation caractéristique de H.J pour la fonction

),( iiqW α


0=+∂∂

Ht

S

0=∂

∂t

HSi

),(),,( 1 iiii qWttqS ααα +−=

ii

i q

WqH α=

∂∂

),(


Mise en œuvre

0=+∂∂

Ht

S

EHJ

MERCI DE VOTRE MERCI DE VOTRE

ATTENTIONATTENTION

FIN DU CHAPITRE 5FIN DU CHAPITRE 5

Rachid MESRARRachid MESRARProfesseur de l’enseignement supérieurBureau 37 Département de physiqueFaculté des sciencesAgadir

email: [email protected]

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