Mecanica Cuantica: Notas de Clase

Rodolfo Alexander Diaz SanchezUniversidad Nacional de Colombia

Departamento de FsicaBogota, Colombia

23 de agosto de 2015

Indice general

1. Linear or vector spaces 14

1.1. Definition of a linear vector space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2. Algebraic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Vector subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4. Dimension and bases in vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5. Mappings and transformations in vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6. Linear transformations of a vector space into itself . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.1. Projection operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7. Normed vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.7.1. Convergent sequences, cauchy sequences and completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7.2. The importance of completeness in quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7.3. The concept of continuity and its importance in Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.8. Banach Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.1. Continuous linear transformations of a Banach space into scalars . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.8.2. Continuous linear transformations of a Banach space into itself . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.9. Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.9.1. Orthonormal sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.9.2. The conjugate space H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.9.3. The conjugate and the adjoint of an operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.10. Normal operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.11. Self-Adjoint operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.12. Unitary operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.13. Projections on Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.14. Theory of representations in finite-dimensional vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.14.1. Representation of vectors and operators in a given basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.14.2. Change of coordinates of vectors under a change of basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.14.3. Change of the matrix representative of linear transformations under a change of basis . . . 41

1.15. Active and passive transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.16. Theory of representations on finite dimensional Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.16.1. Linear operators in finite dimensional Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.17. Determinants and traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.18. Rectangular matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.19. The eigenvalue problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.19.1. Matrix representative of the eigenvalue problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.19.2. Eigenvectors and the canonical problem of matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.20. Normal operators and the spectral theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.20.1. A qualitative discussion of the spectral theorem in infinite dimensional Hilbert spaces . . . 55

1.21. The concept of hyperbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2

INDICE GENERAL 3

1.22. Definition of an observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.23. Complete sets of commuting observables (C.S.C.O.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

1.24. Some terminology concerning quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.25. The Hilbert Space L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.25.1. The wave function space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.26. Discrete orthonormal basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.26.1. Funcion delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.27. Closure relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.28. Introduction of hyperbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.29. Closure relation with hyperbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.30. Inner product and norm in terms of a hyperbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.31. Some specific continuous bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1.31.1. Plane waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1.31.2. Delta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.32. Tensor products of vector spaces, definition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.32.1. Scalar products in tensor product spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.32.2. Tensor product of operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.32.3. The eigenvalue problem in tensor product spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.32.4. Complete sets of commuting observables in tensor product spaces . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.33. Restrictions of an operator to a subspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.34. Functions of operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

1.34.1. Some commutators involving functions of operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761.35. Differentiation of operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

1.35.1. Some useful formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

1.36. State space and Dirac notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

1.37. Dirac notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.37.1. Elements of the dual or conjugate space Er . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.37.2. The correspondence between bras and kets with hyperbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1.38. The action of linear operators in Dirac notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

1.38.1. Projectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831.39. Hermitian conjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

1.39.1. The adjoint operator A in Dirac notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851.39.2. Mathematical objects and hermitian conjugation in Dirac notation . . . . . . . . . . . . . . 86

1.40. Theory of representations of E in Dirac notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881.40.1. Orthonormalization and closure relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1.40.2. Representation of operators in Dirac notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.41. Change of representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1.41.1. Transformation of the coordinates of a ket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941.41.2. Transformation of the coordinates of a bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

1.41.3. Transformation of the matrix elements of an operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1.42. Representation of the eigenvalue problem in Dirac notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1.42.1. C.S.C.O. in Dirac notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951.43. The continuous bases |r and |p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1.43.1. Orthonormalization and closure relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

1.43.2. Coordinates of kets and bras in {|r} and {|p} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 971.43.3. Changing from the {|r} representation to {|p} representation and vice versa . . . . . . . . 981.43.4. The R and P operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1.43.5. The eigenvalue problem for R and P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

1.43.6. Some properties of Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4 INDICE GENERAL

1.44. General properties of two conjugate observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1.44.1. The eigenvalue problem of Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1.44.2. The action of Q,P and S () in the {|q} basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051.44.3. Representation in the {|p} basis and the symmetrical role of P and Q . . . . . . . . . . . . 106

1.45. Diagonalization of a 2 2 hermitian matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071.45.1. Formulation of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

1.45.2. Eigenvalues and eigenvectors of K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

1.45.3. Eigenvalues and eigenvectors of H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2. Construccion fenomenologica de los postulados 111

2.1. La radiacion del cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.2. El efecto fotoelectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.3. El efecto compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.4. Espectroscopa, estabilidad del atomo y teora de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

2.4.1. La teora de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

2.4.2. Predicciones de la teora de Bohr para atomos con un electron . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.5. Las reglas de cuantizacion de Wilson y Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.5.1. El atomo de Bohr bajo las reglas de Wilson y Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

2.5.2. Cuantizacion de Planck con las reglas de Wilson y Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.5.3. La teora relativista de Sommerfeld y la estructura fina del atomo de Hidrogeno . . . . . . . 121

2.6. Los postulados de De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

2.6.1. Propiedades de las ondas piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

2.6.2. Corroboracion experimental de los postulados de De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2.6.3. Las reglas de cuantizacion de Bohr a la luz de los postulados de De Broglie . . . . . . . . . 125

2.7. Sntesis de los resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

2.8. El experimento de Young de la doble rendija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

2.8.1. Interpretacion mecano-cuantica de la dualidad onda partcula . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

2.9. Medicion y preparacion de un sistema: Descomposicion espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

2.10. Dualidad onda partcula para la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

2.11. Aspectos ondulatorios de una partcula material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.11.1. Estados cuanticos arbitrarios como superposicion de ondas planas . . . . . . . . . . . . . . 138

2.11.2. Perfil instantaneo del paquete de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

2.11.3. El principio de incertidumbre de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

2.12. El principio de complementariedad para la dualidad onda partcula y su relacion con el principiode incertidumbre de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2.13. Evolucion temporal de paquetes de ondas libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2.14. Caracterizacion de paquetes de onda gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2.14.1. Integrales basicas para paquetes gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2.14.2. Perfiles de paquetes de onda gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

2.14.3. Relaciones de incertidumbre para paquetes gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2.15. Evolucion temporal de paquetes de onda gaussianos (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2.15.1. Dispersion del paquete de onda gaussiano (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

3. Ecuacion de Schrodinger y sus propiedades 155

3.1. Plausibilidad de la ecuacion de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

3.2. Ecuacion de Schrodinger con potencial escalar independiente del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.3. Propiedades generales de la ecuacion de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.3.1. Determinismo en las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3.3.2. Principio de superposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

INDICE GENERAL 5

3.3.3. Conservacion de la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.3.4. La ecuacion de continuidad para la probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.3.5. Expresion polar de la corriente de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

3.4. Aplicacion de la ecuacion de Schrodinger a potenciales discontnuos . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.5. Potenciales rectangulares, analogo optico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.5.1. Estrategia de solucion para potenciales acotados con discontinuidades de salto . . . . . . . 167

3.5.2. Expresion para la corriente en regiones de potencial constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

3.6. El potencial escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3.6.1. E > V0, reflexion parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3.6.2. E < V0; reflexion total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

3.7. Barrera de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

3.7.1. E > V0, resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

3.7.2. Caso E < V0: Efecto tunel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

3.8. Pozo de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

3.8.1. Partcula con energa V0 < E < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1833.8.2. Partcula con energa E > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

4. Enunciado matematico de los postulados 192

4.1. Los fenomenos clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

4.2. Los fenomenos cuanticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

4.3. Establecimiento de los postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.3.1. Descripcion de los estados y las cantidades fsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

4.3.2. El proceso de medicion y la distribucion de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

4.3.3. Relevancia fsica de las fases en mecanica cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

4.3.4. El proceso de medida y la reduccion del paquete de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4.3.5. Evolucion fsica de los sistemas cuanticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

4.3.6. Reglas de cuantizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

5. Consecuencias fenomenologicas de los postulados 205

5.1. Consideraciones estadsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

5.1.1. Valor medio de un observable para un sistema en un estado dado . . . . . . . . . . . . . . . 206

5.1.2. Valor esperado para los observables X,P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.1.3. Valor esperado para el commutador de dos observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5.1.4. La desviacion media cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

5.2. Observables compatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5.3. Observables no compatibles e incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

5.4. Desviacion media cuadratica y principio de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.4.1. Paquetes de mnima incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

5.5. Preparacion de un estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

5.6. Propiedades adicionales de la ecuacion de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

5.6.1. Aspectos adicionales sobre la conservacion de la probabilidad (opcional) . . . . . . . . . . . 220

5.7. Evolucion temporal del valor esperado de un observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

5.7.1. Evolucion temporal de los valores esperados de R, P: Teorema de Ehrenfest . . . . . . . . 222

5.8. Ecuacion de Schrodinger para sistemas conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

5.8.1. Estados estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

5.8.2. Constantes de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

5.8.3. Frecuencias de Bohr de un sistema y reglas de seleccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

5.8.4. Relacion de incertidumbre entre tiempo y energa para sistemas conservativos . . . . . . . . 229

5.8.5. Cuarta relacion de incertidumbre para un paquete de onda unidimensional . . . . . . . . . 231

6 INDICE GENERAL

5.9. Consecuencias fsicas del principio de superposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

5.9.1. Diferencia entre superposicion lineal y mezcla estadstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

5.9.2. Efectos de interferencia en fotones polarizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

5.9.3. Suma sobre los estados intermedios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

5.10. Principio de superposicion con varios estados asociados a una medida . . . . . . . . . . . . . . . . 237

5.10.1. El principio de superposicion para valores propios degenerados . . . . . . . . . . . . . . . . 237

5.10.2. Aparatos insuficientemente selectivos en la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

5.11. Discusion general sobre el fenomeno de interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

5.12. Medicion insuficiente de espectros contnuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

5.13. Reduccion del paquete de onda para espectro continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

6. Aplicacion de los postulados con informacion parcial 244

6.1. Aplicacion de los postulados al medir sobre un subsistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

6.1.1. Interpretacion fsica de los estados que son productos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.1.2. Significado fsico de estados que no son productos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.2. Operador densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

6.2.1. El concepto de mezcla estadstica de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

6.2.2. Estados puros y operador densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.2.3. Mezcla estadstica de estados: estados no puros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

6.2.4. Propiedades generales del operador densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

6.2.5. Populaciones y coherencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

6.3. Aplicaciones del operador densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6.3.1. Sistema en equilibrio termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

6.3.2. Descripcion de subsistemas con base en observables globales de un sistema: el concepto detraza parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

6.3.3. Traza parcial y operador densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

7. Formulaciones alternativas de la mecanica cuantica 260

7.1. Operador evolucion temporal: definicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

7.1.1. Operador evolucion temporal para sistemas conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

7.1.2. Observaciones adicionales sobre el operador evolucion temporal (opcional) . . . . . . . . . . 262

7.2. Bras, kets y observables equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7.2.1. La transformada de un operador y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

7.3. La imagen de Schrodinger y la imagen de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

7.3.1. Algunos sistemas simples en la imagen de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266

7.4. La imagen de interaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

8. El oscilador armonico cuantico 270

8.1. Propiedades generales del oscilador armonico cuantico unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . 270

8.2. El problema de valores propios del Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

8.3. Determinacion del espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

8.3.1. Interpretacion de los operadores a, a y N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2758.3.2. Estudio de la degeneracion del espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

8.4. Estados propios del Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

8.4.1. Construccion de los kets propios con base en el ket del estado base . . . . . . . . . . . . . . 277

8.4.2. Ortonormalidad de los kets propios (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

8.4.3. Accion de los operadores creacion y destruccion sobre los autoestados del Hamiltoniano . . 280

8.5. Funciones propias asociadas a los estados estacionarios en la base {|x} . . . . . . . . . . . . . . . 2818.6. Valores esperados y dispersion en un estado estacionario del oscilador . . . . . . . . . . . . . . . . 283

INDICE GENERAL 7

8.7. Propiedades del estado base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

8.8. Evolucion temporal de los observables del oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

8.9. Oscilador armonico cargado en un campo electrico uniforme (Opcional) . . . . . . . . . . . . . . . 289

8.9.1. Solucion utilizando el operador traslacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

9. Estados cuasi-clasicos del oscilador armonico 293

9.1. Parametrizacion del oscilador clasico con parametros cuanticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

9.2. Construccion de los estados coherentes o cuasi-clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

9.3. Propiedades de los estados | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2979.3.1. Valores permitidos de la energa para un estado coherente | . . . . . . . . . . . . . . . . . 2989.3.2. Calculo de los observables X,P en el estado | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

9.4. Generador y funcion de onda de los estados coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

9.5. Los estados coherentes son completos pero no ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

9.6. Evolucion temporal de los estados coherentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

9.7. Tratamiento mecano-cuantico de un oscilador armonico macroscopico . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

10.Teora general del momento angular en mecanica cuantica 308

10.1. Definicion de momento angular por sus propiedades de conmutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

10.1.1. Cuantizacion del momento angular orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

10.1.2. Definicion de momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

10.2. Propiedades algebraicas del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

10.2.1. Algebra de los operadores J2, J3, J+, J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31110.3. Estructura de valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

10.3.1. Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

10.3.2. Caractersticas generales de los valores propios de J2 y J3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

10.3.3. Determinacion de los valores propios de J2 y J3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

10.4. Propiedades de los vectores propios de J2 y J3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

10.4.1. Generacion de autoestados por medio de los operadores J+ y J . . . . . . . . . . . . . . . 31710.5. Construccion de una base estandar con base en un C.S.C.O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

10.5.1. Descomposicion de E en subespacios del tipo E (j, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32010.6. Representaciones matriciales de los operadores momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

10.6.1. Representaciones matriciales del tipo (Ji)(j) en la base estandar para j arbitrario . . . . . . 322

10.6.2. Representaciones matriciales en la base estandar para j = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

10.6.3. Representaciones matriciales en la base estandar para j = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

10.6.4. Representaciones matriciales en la base estandar para j = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

11.Propiedades de los momentos angulares orbitales 326

11.1. Momentos angulares orbitales como operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

11.2. Valores permitidos de l y m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

11.3. Propiedades fundamentales de los armonicos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

11.3.1. Ortonormalidad y completez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

11.3.2. Propiedades de paridad y conjugacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

11.3.3. Armonicos esfericos de la forma Yl,0 () y polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . 333

11.3.4. Teorema de adicion de los armonicos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

11.4. Bases estandar de una funcion de onda sin espn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

11.5. Valores esperados y dispersion para sistemas en un estado |l,m, k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33511.6. Probabilidades asociadas a la medida de L2 y L3 en un estado arbitrario . . . . . . . . . . . . . . . 337

11.7. Ejemplos de calculos de probabilidad para L2 y L3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

11.7.1. Funcion de onda parcialmente separable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

8 INDICE GENERAL

11.7.2. Funcion de onda totalmente separable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34111.7.3. Comportamiento de la probabilidad con y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

12.Interacciones centrales en mecanica cuantica 34312.1. El problema de dos cuerpos en Mecanica clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34312.2. Reduccion del problema de dos cuerpos en mecanica cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

12.2.1. Autovalores y autofunciones del Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

12.3. El problema clasico de una partcula sometida a una fuerza central . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34812.4. Hamiltoniano cuantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35012.5. Solucion general del problema de valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

12.5.1. La ecuacion radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35112.5.2. Comportamiento de la solucion radial en el origen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

12.6. Estados estacionarios de una partcula en un potencial central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35312.6.1. Degeneracion de los niveles de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

13.Atomos hidrogenoides 356

13.1. El atomo de Hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35613.2. Problema de valores propios del atomo de Hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35713.3. Solucion de la ecuacion radial por series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

13.3.1. Serie de potencias radial y relaciones de recurrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35913.3.2. Condicion asintotica y truncamiento de la serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36113.3.3. Coeficientes del polinomio radial en terminos de c0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36213.3.4. Calculo de c0 y de la funcion radial para l = 0, k = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36313.3.5. Calculo de c0 y de la funcion radial para l = 0, k = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36413.3.6. Calculo de c0 y de la funcion radial para l = k = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

13.3.7. Estructura de los niveles de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36613.4. Parametros atomicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36613.5. Resumen de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36713.6. Discusion de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

13.6.1. Dependencia angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

14.Corrientes de probabilidad y acoples magneticos en atomos 37214.1. Corrientes de probabilidad para el atomo de Hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

14.1.1. Efecto sobre la corriente debido a la introduccion de un campo magnetico . . . . . . . . . . 373

14.2. Atomo de hidrogeno en un campo magnetico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37514.2.1. Hamiltoniano del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37514.2.2. Estimacion numerica de las contribuciones H0, H1 y H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37714.2.3. Termino diamagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37814.2.4. Termino paramagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

14.3. Efecto Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38014.3.1. Corrimiento de los niveles atomicos con la correccion paramagnetica . . . . . . . . . . . . . 38014.3.2. Oscilaciones dipolares electricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38114.3.3. Frecuencia y polarizacion de la radiacion emitida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

15.Momento angular intrnseco 38415.1. Comportamiento clasico de atomos paramagneticos inmersos en un campo magnetico . . . . . . . . 38415.2. Experimento de Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38515.3. Resultados del experimento y el momento angular intrnseco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

15.4. Evidencia experimental del momento angular intrnseco del electron . . . . . . . . . . . . . . . . . 38815.4.1. Estructura fina de las lneas espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

INDICE GENERAL 9

15.4.2. Efecto Zeeman anomalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

15.5. Momento angular intrnseco en la cuantica no-relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

15.6. Propiedades de un momento angular 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

15.6.1. Resumen de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

15.6.2. Representacion matricial de los observables de espn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

15.7. Descripcion no-relativista de partculas con espn 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

15.7.1. Construccion de los estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

15.7.2. Construccion de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

15.8. Representacion en la base |p, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40115.9. Calculos de probabilidad para estados de espn 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

16.Adicion de momentos angulares 404

16.1. El problema clasico de la adicion del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

16.2. Momento angular total en mecanica cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

16.2.1. Dos partculas sin espn bajo una interaccion central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

16.2.2. Una partcula con espn bajo una interaccion central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

16.2.3. Analisis general de dos momentos angulares asociados a una fuerza central . . . . . . . . . 407

16.3. La adicion de dos momentos angulares es otro momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

16.4. Adicion de dos momentos angulares con j(1) = j(2) = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

16.4.1. Autovalores de J3 y su degeneracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

16.4.2. Diagonalizacion de J2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

16.4.3. Autoestados de J2 y J3: singlete y triplete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

16.5. Metodo general de adicion de dos momentos angulares arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

16.5.1. Formacion del sistema a partir de dos subsistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

16.5.2. Momento angular total y sus relaciones de conmutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

16.5.3. Cambio de base a realizar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

16.5.4. Autovalores de J2 y J3 : Caso de dos espines j1 = j2 = 1/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

16.5.5. Autovalores de J3 y su degeneracion: Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

16.5.6. Autovalores de J2 : caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

16.6. Autovectores comunes de J2 y J3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

16.6.1. Caso especial j1 = j2 = 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

16.7. Autovectores de J2 y J3 : Caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

16.7.1. Determinacion de los vectores |JM del subespacio E (j1 + j2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 42316.7.2. Determinacion de los vectores |JM en los otros subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

16.8. Transformacion de la base desacoplada a la base acoplada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

17.Propiedades generales de los sistemas de dos estados 428

17.1. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

17.2. Efecto del acople sobre la energa y los estados estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

17.2.1. Efecto del acople sobre los estados estacionarios del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

17.2.2. Efecto de un acople debil sobre los niveles de energa y estados estacionarios . . . . . . . . 431

17.2.3. Efecto de un acople fuerte sobre los niveles de energa y estados estacionarios . . . . . . . . 432

17.3. Evolucion del vector de estado: oscilacion entre dos estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

18.Teora cuantica de la dispersion 436

18.1. Teora clasica de la dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

18.2. Diferentes tipos de colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

18.3. Ejemplos de dispersion en mecanica clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

18.3.1. Dispersion elastica por esfera rgida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

10 INDICE GENERAL

18.3.2. Dispersion de Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441

18.4. Teora cuantica de la dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442

18.5. Estados estacionarios de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

18.5.1. Condiciones fsicas sobre el paquete de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

18.6. Calculo de la seccion eficaz usando corrientes de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

18.7. Ecuacion integral de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

18.7.1. Ecuacion integral y funcion de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

18.7.2. Determinacion de la funcion de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

18.7.3. Solucion de la ecuacion integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

18.8. Aproximacion de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

18.8.1. Rango de validez de la aproximacion de Born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

18.8.2. Aproximacion de Born para el potencial de Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

19.Teora cuantica de la dispersion II: Ondas parciales 461

19.1. Estados estacionarios de partcula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

19.2. Estados estacionarios de partcula libre con momento bien definido: Ondas planas . . . . . . . . . . 462

19.3. Estados estacionarios de partcula libre con momento angular bien definido: Ondas esfericas libres. 463

19.4. Caracterizacion de las ondas esfericas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

19.4.1. Algebra de generadores de ondas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

19.4.2. Relaciones de recurrencia para las ondas esfericas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

19.4.3. Solucion de la ecuacion radial para l = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

19.4.4. Generacion de ondas esfericas libres con l 6= 0, a traves de P+ y L . . . . . . . . . . . . . . 46819.4.5. Ondas esfericas libres normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

19.4.6. Ortonormalidad de las funciones esfericas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

19.4.7. Comportamiento asintotico de las ondas esfericas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

19.4.8. Relacion entre las ondas esfericas libres y las planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476

19.4.9. Interpretacion fsica de las ondas esferica libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479

19.5. Ondas parciales en el potencial V (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481

19.5.1. Ondas parciales en potenciales de rango finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

19.5.2. Seccion eficaz en terminos de los corrimientos de fase l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

19.5.3. Dispersion por esfera rgida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487

19.6. Colisiones con absorcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

19.6.1. Seccion eficaz en procesos absortivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

19.6.2. Teorema optico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

20.Teora estacionaria de perturbaciones 495

20.1. Descripcion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

20.2. Solucion aproximada para los valores propios de H () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

20.3. Perturbacion de un nivel no degenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

20.3.1. Correccion de primer orden para la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

20.3.2. Correccion de primer orden para el autovector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

20.3.3. Correccion de segundo orden para la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

20.3.4. Correccion de segundo orden para el estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

20.3.5. Cota superior para 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

20.4. Perturbacion de un nivel degenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

20.4.1. Comportamiento de subniveles degenerados a mas alto orden en perturbaciones . . . . . . . 505

20.5. Consideraciones generales sobre teora estacionaria de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

20.6. Perturbaciones estacionarias sobre el oscilador armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

20.6.1. Orden de magnitud de los observables no perturbados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

INDICE GENERAL 11

20.6.2. Parametrizacion de la perturbacion al oscilador con potencial lineal adicional . . . . . . . . 508

20.6.3. Perturbacion al oscilador armonico con potencial cuadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

20.6.4. Perturbacion del oscilador armonico por un potencial cubico . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

21.Metodo variacional 515

21.1. Descripcion del metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

21.2. Implementacion del metodo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

21.3. Funciones de prueba restringidas a un subespacio de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51821.4. Espectro del oscilador armonico por metodos variacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

21.4.1. Estimacion del estado base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519

21.4.2. Estimacion del primer estado excitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520

21.5. Espectro del oscilador armonico con otras funciones de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

22.Teora de perturbaciones dependiente del tiempo 522

22.1. Solucion perturbativa de la ecuacion de Schrodinger dependiente del tiempo . . . . . . . . . . . . . 523

22.1.1. Estado del sistema a primer orden en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525

22.1.2. Probabilidad de transicion a segundo orden en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526

22.2. Perturbaciones sinusoidales y constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527

22.3. Perturbacion senoidal entre dos estados discretos: resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

22.3.1. Ancho de resonancia e incertidumbre energa tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

22.3.2. Condiciones para la validez del metodo perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

22.4. Acoplamientos con estados del espectro contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533

22.4.1. El caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

22.4.2. Regla de oro de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534

22.4.3. Probabilidad de transicion hacia el contnuo para perturbacion senoidal . . . . . . . . . . . 536

22.4.4. Dispersion y regla de oro de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

23.Estructura fina e hiperfina del atomo de Hidrogeno 538

23.1. El Hamiltoniano de estructura fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

23.1.1. Orden de Magnitud de H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

23.1.2. Termino de correccion cinetica Wmv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

23.1.3. Acoplamiento espn-orbita WSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

23.1.4. Termino de Darwin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541

23.2. Estructura hiperfina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

23.2.1. Interpretacion de los terminos en la estructura hiperfina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

23.3. Estructura fina del nivel n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544

23.4. Representacion matricial de la estructura fina para el nivel n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545

23.5. Calculo de los terminos cinetico y de Darwin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

23.5.1. Calculo de 1/R ,1/R2

y1/R3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548

23.5.2. Calculo de Wmv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55023.5.3. El valor medio WD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

23.6. Calculo del termino de espn-orbita WSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

23.6.1. Calculo del termino espn-angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

23.6.2. Calculo del termino radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

23.6.3. Contribucion espn-orbita completa para la subcapa 2p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553

23.7. Sntesis de resultados sobre la estructura fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554

23.8. La estructura fina para n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

23.9. Estructura hiperfina para n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556

23.9.1. Calculo del factor orbital R para Whf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

12 INDICE GENERAL

23.9.2. Calculo del factor de espn para Whf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558

23.9.3. Espectro hiperfino del nivel 1s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

24.Campos externos sobre el atomo de Hidrogeno 561

24.1. Efecto Zeeman de la estructura hiperfina del estado base 1s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561

24.1.1. Efecto Zeeman de campo debil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562

24.1.2. El efecto Zeeman para campo fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566

24.1.3. El efecto Zeeman para campo intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

24.2. Efecto Stark para el atomo de Hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

24.2.1. El efecto Stark sobre el nivel n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572

24.2.2. Efecto Stark sobre el nivel n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574

25.Moleculas diatomicas 576

25.1. Estados de momento angular cero (l = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578

25.2. Estados de momento angular no nulo (l 6= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57925.3. Espectro de moleculas diatomicas heteropolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

25.3.1. Espectro puramente rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582

25.3.2. Espectro vibracional-rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

25.4. Correcciones a la estructura espectral (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584

25.4.1. Correccion a las funciones de onda y los niveles de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

25.4.2. Distorsion centrfuga de la molecula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

25.4.3. Acople vibracional-rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

25.5. Espectro de moleculas diatomicas homopolares: efecto Raman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589

26.Sistemas cuanticos de partculas identicas 590

26.1. Partculas identicas en mecanica clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590

26.2. Partculas identicas en mecanica cuantica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

26.3. Degeneracion de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592

26.3.1. Degeneracion de intercambio para un sistema de dos partculas de espn 1/2 . . . . . . . . . 593

26.3.2. Degeneracion de intercambio para un sistema arbitrario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

26.4. Operadores de permutacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

26.4.1. Permutaciones en sistemas de dos partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595

26.4.2. Simetrizadores y antisimetrizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596

26.4.3. Transformacion de los observables por medio de las permutaciones . . . . . . . . . . . . . . 597

26.4.4. Permutacion de un conjunto arbitrario de partculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598

26.5. Postulado de simetrizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601

26.5.1. Aplicacion del postulado a partculas compuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

26.5.2. Solucion de la degeneracion de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602

26.6. Aplicacion del postulado de simetrizacion para N = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

26.7. Postulado de simetrizacion para N arbitrario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604

26.7.1. Postulado de simetrizacion para bosones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604

26.7.2. Postulado de simetrizacion para fermiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605

26.8. Construccion de una base de estados fsicos de partculas identicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

26.8.1. Propiedades de los kets de ocupacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

26.9. Consistencia del postulado de simetrizacion con los otros postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . 609

26.9.1. Postulado de simetrizacion y el proceso de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609

26.9.2. Postulado de simetrizacion y evolucion temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

26.10.Consecuencias fenomenologicas del postulado de simetrizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

26.10.1.Diferencias entre fermiones y bosones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611

INDICE GENERAL 13

26.10.2.Estado base de un sistema de partculas identicas independientes . . . . . . . . . . . . . . . 61126.11.Predicciones fsicas del postulado de simetrizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613

26.11.1.Predicciones sobre partculas aparentemente identicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61526.11.2.Colision elastica de dos partculas identicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616

26.12.Situaciones en las cuales se puede ignorar el postulado de simetrizacion . . . . . . . . . . . . . . . 61726.12.1.Partculas identicas ubicadas en regiones espaciales distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61726.12.2.Identificacion de partculas por su direccion de espn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

27.Atomos de muchos electrones y aproximacion de campo central 62027.1. Aproximacion de campo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62127.2. Configuraciones electronicas de los atomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

28.El atomo de Helio 62628.1. Configuraciones del atomo de Helio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626

28.1.1. Degeneracion de las configuraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62728.2. Efecto de la repulsion electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

28.2.1. Base de E (n, l;n, l) adaptada a las simetras de W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62928.2.2. Restricciones impuestas por el postulado de simetrizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63128.2.3. Terminos espectrales generados por la repulsion electrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

28.3. Terminos espectrales que surgen de la configuracion 1s, 2s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63428.3.1. La integral de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63628.3.2. Analisis del papel del postulado de simetrizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63728.3.3. Hamiltoniano efectivo dependiente del espn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638

28.4. Terminos espectrales que surgen de otras configuraciones excitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64028.5. Validez del tratamiento perturbativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64028.6. Estructura fina del atomo de helio y multipletes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641

29.Metodo de Hartree-Fock 64429.1. Producto interno entre determinantes de Slater y un operador simetrico . . . . . . . . . . . . . . . 646

29.1.1. Ejemplo de aplicacion para N = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64829.2. Valor esperado de la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649

29.2.1. Valor esperado de H(0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65029.2.2. Valor esperado de H(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65129.2.3. Valor esperado de H = H(0) +H(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65329.2.4. Interpretacion fsica de los terminos directo y de intercambio . . . . . . . . . . . . . . . . . 653

29.3. Metodo de Hartree-Fock para una capa cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65429.3.1. Minimizacion de E [D] con ligaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65529.3.2. Calculo de F [,] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656

29.4. Operadores de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65829.5. Interpretacion de la ecuacion de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65929.6. Solucion por iteracion de la ecuacion de HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65929.7. Determinacion del valor Fsico de la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660

Captulo 1

Linear or vector spaces

We shall describe the most important properties of linear or vector spaces. This treatment is not rigorous at all,and only some simple proofs are shown. Our aim limits to provide a framework for our subsequent developments.

1.1. Definition of a linear vector space

Any non-empty set of objects V = {xi} form a linear space (or a vector space) if there is a sum operationdefined between the elements, and a multiplication by scalars (i.e. the system of real or complex numbers) suchthat

1. If xi V , and is a scalar, then xi V

2. If xi,xj V , then xi + xj V

3. xi + xj = xj + xi, xi,xj V

4. xi + (xj + xk) = (xi + xj) + xk, xi,xj ,xk V

5. (+ )xi = xi + xi ; xi V

6. (xi + xj) = xi + xj , xi,xj V

7. ()xi = (xi) ; xi V

8. 1xi = xi ; xi V

9. an element 0 V such that xi + 0 = xi, xi V

10. xi V , an element in V denoted by xi such that xi + (xi) = 0

The element 0 is usually called the null vector or the origin. The element x is called the additive inverse of x.We should distinguish the symbols 0 (scalar) and 0 (vector). The two operations defined here (sum and productby scalars) are called linear operations. A linear space is real (complex) if we consider the scalars as the set of real(complex) numbers.

Let us see some simple examples

Example 1.1 The set of all real (complex) numbers with ordinary addition and multiplication taken as the linearoperations. This is a real (complex) linear space.

14

1.2. ALGEBRAIC PROPERTIES 15

Example 1.2 The set Rn (Cn) of all n-tuples of real (complex) numbers is a real (complex) linear space underthe following linear operations

x (x1, x2, . . . , xn) ; y (y1, y2, . . . , yn)x (x1, x2, , xn) ; x+ y (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)

Example 1.3 The set of all bounded continuous real functions defined on a given interval [a, b] of the real line,with the linear operations defined pointwise as

(f + g) (x) = f (x) + g (x) ; (f) (x) = f (x) ; x [a, b]

We can see that a linear or vector space forms an abelian group whose elements are the vectors, and withaddition as the law of combination. However, the vector space introduce an additional structure by consideringmultiplication by scalars which is not a group property.

Some very important kinds of vector spaces are the ones containing certain sets of functions with some specificproperties. We can consider for example, the set of functions defined on certain interval with some condition ofcontinuity integrability etc. For instance, in quantum mechanics we use a vector space of functions.

1.2. Algebraic properties

Some algebraic properties arise from the axioms:The origin or identity 0 must be unique. Assuming another identity 0 we have that x + 0 = 0 + x = x for

all x V. Then 0 = 0 + 0 = 0. Hence 0 = 0.The additive inverse of any vector x is unique. Assume that x is another inverse of x then

x = x + 0 = x + (x+(x)) =(x + x

)+(x) = 0+ (x) = x

x = x

xi + xk = xj + xk xi = xj to see it, we simply add xk on both sides. This property is usually called therearrangement lemma.

0 = 0 we see it from 0+ x = (0+ x) = x = 0+ x and applying the rearrangement lemma.0 x = 0 it proceeds from 0 x+ x = (0 + )x = x = 0+ x and using the rearrangement lemma.(1)x = x we see it from x+(1)x = 1 x + (1)x = (1 + (1))x = 0x = 0 = x+(x) and the

rearrangement lemma.x = 0 then = 0 or x = 0; for if 6= 0 we can multiply both sides of the equation by 1 to give

1 (x) = 10 (1

)x = 0 1x = 0 x = 0. If x 6= 0 we prove that = 0 by assuming 6= 0 and

finding a contradiction. This is inmediate from the above procedure that shows that starting with 6= 0 we arriveto x = 0.

It is customary to simplify the notation in x+(y) and write it as xy. The operation is called substraction.

1.3. Vector subspaces

Definition 1.1 A non-empty subset M of V is a vector subspace of V if M is a vector space on its own rightwith respect to the linear operations defined in V .

This is equivalent to the condition that M contains all sums, negatives and scalar multiples. The other pro-perties are derived directly from the superset V . Further, since x = (1)x it reduces to say that M must beclosed under addition and scalar multiplication.

When M is a proper subset of V it is called a proper subspace of V . The zero space {0} and the full space Vitself are trivial subspaces of V .

The following concept is useful to study the structure of vector subspaces of a given vector space,

16 CAPITULO 1. LINEAR OR VECTOR SPACES

Definition 1.2 Let S = {x1, ..,xn} be a non-empty finite subset of V , then the vector

x = 1x1 + 2x2 + . . .+ nxn (1.1)

is called a linear combination of the vectors in S.

We can redefine a vector subspace by saying that a non-empty subsetM of V is a linear subspace if it is closedunder the formation of linear combinations. If S is a subset of V we can see that the set of all linear combinationsof vectors in S is a vector subspace of V , we denote this subspace as [S] and call it the vector subspace spanned byS. It is clear that [S] is the smallest subspace of V that contains S. Similarly, for a given subspaceM a non-emptysubset S of M is said to span M if [S] = M . Note that the closure of a vector space under an arbitrary linearcombination can be proved by induction from the closure property of vector spaces under linear operations. Noticeadditionally, that the proof of induction only guarantees the closure under any finite sum of terms, if we have aninfinite sum of terms (e.g. a series) we cannot ensure that the result is an element of the space, this is the reasonto define linear combinations as finite sums. If we want a property of closure under some infinite sums additionalstructure should be added as we shall see later.

Suppose now that M and N are subspaces of V . Consider the set M +N of all sums of the form x+ y withx M and y N . SinceM and N are subspaces, this sum is the subspace spanned by the union of both subspacesM +N = [M N ]. It could happen that M +N = V in this case we say that V is the sum of M and N . In turnit means that every vector in V is expressible as a sum of a vector in M plus a vector in N . Further, in some casesany element z of V is expressible in a unique way as such a sum, in this case we say that V is the direct sum ofM and N and it is denoted by

V =M Nwe shall establish the conditions for a sum to become a direct sum

Theorem 1.1 Let a vector space V be the sum of two of its subspaces V =M+N . Then V =MN M N ={0}

Proof: Assume first that V = M N , we shall suppose that z 6= 0 with z M N , and deduce acontradiction from it. We can express z in two different ways z = z+ 0 with z M and 0 N or z = 0+ z with0 M and z N . This contradicts the definition of a direct sum.

Now assume M N = {0}, by hypothesis V = M + N so that any z V can be expressed by z = x1 + y1with x1 M and y1 N . Suppose that there is another decomposition z = x2 + y2 with x2 M and y2 N .Hence x1+y1 = x2+y2 x1x2 = y1y2; but x1x2 M and y1y2 N . Since they are equal, then bothbelong to the intersection so x1 x2 = y1 y2 = 0 then x1 = x2 and y1 = y2 showing that the decompositionmust be unique. QED.

When two vector subspaces of a given space have only the zero vector in common, it is customary to call themdisjoint subspaces. It is understood that it does not correspond to disjointness in the set-theoretical sense, after alltwo subspaces of a given space cannot be disjoint as sets, since any subspace must contain 0. Thus no confusionarises from this practice.

The concept of direct sum can be generalized when more subspaces are involved. We say that V is the directsum of a collection of subspaces {M1, ..,Mn} and denote it as

V =M1 M2 . . .Mnwhen each z V can be expressed uniquely in the form

z = x1 + x2 + . . .+ xn ; xi MiIn this case if V =M1+ ..+Mn, this sum becomes a direct sum if and only if each Mi is disjoint from the subspacespanned by the others. To see it, it is enough to realize that

V =M1 +M2 + ..+Mn =M1 + [M2 + ..+Mn] =M1 + [ni=2Mi]

1.4. DIMENSION AND BASES IN VECTOR SPACES 17

then V = M1 [M2 + ..+Mn] if and only if M1 [ni=2Mi] = {0}, proceeding similarly for the other M is wearrive at the condition above. Note that this condition is stronger than the condition that any given Mi is disjointfrom each of the others.

The previous facts can be illustrated by a simple example. The most general non-zero proper subspaces of R3

are lines or planes that passes through the origin. Thus let us define

M1 = {(x1, 0, 0)} , M2 = {(0, x2, 0)} , M3 = {(0, 0, x3)}M4 = {(0, x2, x3)} , M5 = {(x1, 0, x3)} , M6 = {(x1, x2, 0)}

M1,M2,M3 are the coordinate axes of R3 andM4,M5,M6 are its coordinate planes. R

3 can be expressed by directsums of these spaces in several ways

R3 =M1 M2 M3 =M1 M4 =M2 M5 =M3 M6

for the case of R3 =M1M2M3 we see that the subspace spanned byM2 andM3 i.e.M2+M3 = [M2 M3] =M4is disjoint fromM1. SimilarlyM2 [M1 M3] = {0} =M3 [M1 M2]. It is because of this, that we have a directsum.

Now let us take M3, M6 and M defined as a line on the plane M4 that passes through the origin making an

angle with the axis x3 such that 0 < < /2, since R3 =M3 +M6 it is clear that

R3 =M3 +M6 +M ; M3 M6 =M3 M =M6 M = {0} (1.2)

however this is not a direct sum because M3 +M6 = R3 so that M (M3 +M6) 6= {0}. Despite each subspace

is disjoint from each other, there is at least one subspace that is not disjoint from the subspace spanned by theothers. Let us show that there are many decompositions for a given vector z R3 when we use the sum in (1.2).Since R3 =M3+M6 a possible decomposition is z = x+y+0 with x M3, y M6, 0 M . Now let us take anarbitrary non-zero element w ofM ; clearlyM3+M6 = R3 contains M so that w = x+ywith x M3, y M6.Now we write z = x+ y = (x x) + (y y) + x + y then z = (x x) + (y y) +w. We see that (x x) isin M3 and (y y) is in M6. Now, since w M and w 6= 0 this is clearly a different decomposition with respectto the original one. An infinite number of different decompositions are possible since w is arbitrary.

Finally, it can be proved that for any given subspaceM in V it is always possible to find another subspace N inV such that V =M N . Nevertheless, for a given M the subspace N is not neccesarily unique. A simple exampleis the following, in R2 any line crossing the origin is a subspace M and we can define N as any line crossing theorigin as long as it is not collinear with M ; for any N accomplishing this condition we have V =M N .

1.4. Dimension and bases in vector spaces

Definition 1.3 Let V be a vector space and S = {x1, ..,xn} a finite non-empty subset of V . S is defined aslinearly dependent if there is a set of scalars {1, .., n} not all of them zero such that

1x1 + 2x2 + ..+ nxn = 0 (1.3)

if S is not linearly dependent we say that it is linearly independent, this means that in Eq. (1.3) all coefficients imust be zero. Thus linear independence of S means that the only solution for Eq. (1.3) is the trivial one. Whennon-trivial solutions exists the set is linearly dependent.

What is the utility of the concept of linear independence of a given set S? to see it, let us examine a givenvector x in [S], each of these vectors arise from linear combinations of vectors in S

x = 1x1 + 2x2 + ..+ nxn ; xi S (1.4)

18 CAPITULO 1. LINEAR OR VECTOR SPACES

we shall see that for the ordered set S = {x1, ..,xn} the corresponding ordered set {1, .., n} associated with xby Eq. (1.4) is unique. Suppose there is another decomposition of x as a linear combination of elements of S

x = 1x1 + 2x2 + ..+ nxn ; xi S (1.5)

substracting (1.4) and (1.5) we have

0 = (1 1)x1 + (2 2)x2 + ..+ (n n)xn

but linear independence require that only the trivial solution exists, thus i = i and the ordered set of coefficientsis unique. This is very important for the theory of representations of vector spaces. The discussion above permitsto define linearly independence for an arbitrary (not necessarily finite) non-empty set S

Definition 1.4 An arbitrary non-empty subset S V is linearly independent if every finite non-empty subset ofS is linearly independent in the sense previously established.

As before, an arbitrary non-empty set S is linearly independent if and only if any vector x [S] can be writtenin a unique way as a linear combination of vectors in S.

The most important linearly independent sets are those that span the whole space i.e. [S] = V this linearlyindependent sets are called bases. It can be checked that S is a basis if and only if it is a maximal linearlyindependent set, in the sense that any proper superset of S must be linearly dependent. We shall establishwithout proof a very important theorem concerning bases of vector spaces

Theorem 1.2 If S is a linearly independent set of vectors in a vector space V , there exists a basis B in V suchthat S B.

In words, given a linearly independent set, it is always possible to add some elements to S for it to becomea basis. A linearly independent set is non-empty by definition and cannot contain the null vector. Hence, we seethat if V = {0} it does not contain any basis, but if V 6= {0} and we can take a non-zero element x of V , the set{x} is linearly independent and the previous theorem guarantees that V has a basis that contains {x}, it meansthat

Theorem 1.3 Every non-zero vector space has a basis

Now, since any set consisting of a single non-zero vector can be enlarged to become a basis it is clear that anynon-zero vector space contains an infinite number of bases. It worths looking for general features shared by allbases of a given linear space. Tne first theorem in such a direction is the following

Theorem 1.4 Let S = {x1, x2, .., xn} be a finite, odered, non-empty subset of the linear space V . If n = 1 thenS is linearly dependent x1 = 0. If n > 1 and x1 6= 0 then S is linearly dependent if and only if some one of thevectors x2, ..., xn is a linear combination of the vectors in the ordered set S that precede it.

Proof: The first assertion is trivial. Then we settle n > 1 and x1 6= 0. Assuming that one of the vectors xi inthe set x2, ..., xn is a linear combination of the preceding ones we have

xi = 1x1 + ...+ i1xi1 1x1 + ...+ i1xi1 1 xi = 0

since the coefficient of xi is 1, this is a non-trivial linear combination of elements of S that equals zero. Thus S islinearly dependent. We now assume that S is linearly dependent hence the equation

1x1 + ...+ nxn = 0

1.4. DIMENSION AND BASES IN VECTOR SPACES 19

has a solution with at least one non-zero coefficcient. Let us define i as the last non zero coefficient, since x1 6= 0then i > 1 then we have

1x1 + ...+ ixi + 0 xi+1 + ...+ 0 xn = 0 xi =(1i

)x1 + ...+

(i1

i

)xi1

and xi is written as a linear combination of the vectors that precede it in the ordered set S. QED

The next theorem provides an important structural feature of the set of bases in certain linear spaces

Theorem 1.5 If a given non-zero linear space V has a finite basis B1 = {e1, ..., en} with n elements, then anyother basis B2 = {fi} of V must be finite and also with n elements.

The following theorem (that we give without proof) gives a complete structure to this part of the theory ofvector spaces

Theorem 1.6 Let V be a non-zero vector space. If B1 = {ei} and B2 = {uj} are two bases of the vector space,then B1 and B2 are sets with the same cardinality.

These theorem is valid even for sets with infinite cardinality. This result says that the cardinality of a basis isa universal attribute of the vector space since it does not depend on the particular basis used. Hence the followingare natural definitions

Definition 1.5 The dimension of a non-zero vector space is the cadinality of any of its basis. If V = {0} thedimension is defined to be zero.

Definition 1.6 A vector space is finite-dimensional if its dimension is a non negative integer. Otherwise, it isinfinite-dimensional.

As any abstract algebraic system, vector spaces requires a theory of representations in which the most abstractset is replaced by another set with more tangible objects. However, for the representation to preserve the abstractproperties of the vector space, set equivalence and linear operations must be preserved. This induces the followingdefinition

Definition 1.7 Let V and V two vector spaces with the same system of scalars. An isomorphism of V onto V

is a one-to-one mapping f of V onto V such that f (x+ y) = f (x) + f (y) and f (x) = f (x)

Definition 1.8 Two vector spaces with the same system of scalars are called isomorphic if there exists an iso-morphism of one onto the other.

To say that two vector spaces are isomorphic means that they are abstractly identical with respect to theirstructure as vector spaces.

Now let V be a non zero finite dimensional space. If n is its dimension, there exists a basis B = {e1, .., en}whose elements are written in a definite order. Each vector x in V can be written uniquely in the form

x = 1e1 + ..+ nen

so the ntuple (1, .., n) is uniquely determined by x. If we define a mapping f by f (x) = (1, .., n) we seethat this is an isomorphism of V onto Rn or Cn depending on the system of scalars defined for V .

Theorem 1.7 Any real (complex) non-zero finite dimensional vector space of dimension n is isomorphic to Rn

(Cn).

20 CAPITULO 1. LINEAR OR VECTOR SPACES

Indeed, this theorem can be extended to vector spaces of arbitrary dimensions, we shall not discuss this topichere. By now, it suffices to realize that the isomorphism establishes here is not unique for it depends on the basischosen and even on the order of vectors in a given basis. It can be shown also that two vector spaces V and V

are isomorphic if and only if they have the same scalars and the same dimension.From the results above, we could then be tempted to say that the abstract concept of vector space is no

useful anymore. However, this is not true because on one hand the isomorphism depends on the basis chosen andmost results are desirable to be written in a basis independent way. But even more important, almost all vectorspaces studied in Mathematics and Physics posses some additional structure (topological or algebraic) that arenot neccesarily preserve by the previous isomorphisms.

1.5. Mappings and transformations in vector spaces

For two vector spaces V and V with the same system of scalars we can define a mapping T of V into V thatpreserves linear properties

T (x+ y) = T (x) + T (y) ; T (x) = T (x)

T is called a linear transformation. We can say that linear transformations are isomorphisms of V into V sincelinear operations are preserved. T also preserves the origin and negatives

T (0) = T (0 0) = 0 T (0) = 0 ; T (x) = T ((1)x) = (1)T (x) = T (x)

we shall see later that the states of our physical systems are vectors of a given vector space. Hence, the transfor-mations of these vectors are also important in Physics because they will represent transformations in the statesof our system. We shall see later that the set of all linear transformations are in turn vector spaces with their owninternal organization.

Let us now define some basic operations with linear transformations, a natural definition of the sum of twolinear transformations is of the form

(T + U) (x) T (x) + U (x) (1.6)and a natural definition of multiplication by scalars is

(T ) (x) T (x) (1.7)

finally the zero and negative linear transformations are defined as

0 (x) 0 ; (T ) (x) T (x) (1.8)

with these definitions it is inmediate to establish the following

Theorem 1.8 Let V and V be two vector spaces with the same system of scalars. The set of all linear transfor-mations of V into V with the linear operations defined by Eqs. (1.6, 1.7, 1.8) is itself a vector space.

The most interesting cases are the linear transformations of V into itself and the linear transformations of Vinto the vector space of scalars (real or complex). We shall study now the first case.

1.6. Linear transformations of a vector space into itself

In this case we usually speak of linear transformations on V . The first inmediate consequence is the capabilityof defining the composition of operators (or product of operators)

(TU) (x) T (U (x)) (1.9)

1.6. LINEAR TRANSFORMATIONS OF A VECTOR SPACE INTO ITSELF 21

associativity and distributivity properties can easily be derived

T (UV ) = (TU)V ; T (U + V ) = TU + TV

(T + U)V = TV + UV ; (TU) = (T )U = T (U)

we prove for instance

[(T + U)V ] (x) = (T + U) (V (x)) = T (V (x)) + U (V (x))

= (TV ) (x) + (UV ) (x) = (TV + UV ) (x)

commutativity does not hold in general. It is also possible for the product of two non-zero linear transformationsto be zero. An example of non commutativity is the following: we define on the space P of polynomials p (x) thelinear operators M and D

M (p) xp ; D (p) = dpdx

(MD) (p) =M (D (p)) = xD (p) = xdpdx

(DM) (p) = D (M (p)) = D (xp) = xdp

dx+ p

and MD 6= DM. Suppose now the linear transformations on R2 given by

Ta ((x1, x2)) = (x1, 0) ; Tb ((x1, x2)) = (0, x2) TaTb = TbTa = 0

thus Ta 6= 0 and Tb 6= 0 but TaTb = TbTa = 0.Another natural definition is the identity operator I

I (x) x

we see that I 6= 0 V 6= {0}. FurtherIT = TI = T

for every linear operator T on V . For any scalar the operator I is called scalar multiplication since

(I) (x) = I (x) = x

it is well known that for a mapping of V into V to admit an inverse of V into V requires to be one-to-one andonto. In this context this induces the definition

Definition 1.9 A linear transformation T on V is non-singular if it is one-to-one and onto, and singular other-wise.

When T is non-singular its inverse can be defined so that

TT1 = T1T = I

it can be shown that when T is non-singular T1 is also a non-singular linear transformation.For future purposes the following theorem is highly relevant

Theorem 1.9 If T is a linear transformation on V , then T is non-singular T (B) is a basis for V whenever Bis.

22 CAPITULO 1. LINEAR OR VECTOR SPACES

1.6.1. Projection operators

We shall discuss some very important types of linear transformations. Let V be the direct sum of two subspacesV =M N it means that any vector z in V can be written in a unique way as z = x+y with x M and y N .Since x is uniquely determined by z this decomposition induces a natural mapping of V onto M in the form

P (z) = x

it is easy to show that this transformation is linear and is called the projection onM along N . The most importantproperty of these transformations is that they are idempotent i.e. P 2 = P we can see it taking into account thatthe unique decomposition of x is x = x+ 0 so that

P 2 (z) = P (P (z)) = P (x) = x = P (z)

The opposite is also true i.e. a given linear idempotent linear transformation induces a decomposition of the spaceV in a direct sum of two subspaces

Theorem 1.10 If P is a linear transformation on a vector space V , P is idempotentthere exists subspaces Mand N in V such that V =M N and P is the projection on M along N .

Proof : We already showed that decomposition in a direct sum induces a projection, to prove the opposite letdefine M and N in the form

M {P (z) : z V } ; N = {z : P (z) = 0}M and N are vector subspaces and correspond to the range and the null space (or kernel) of the transformationP respectively. We show first that M +N = V , this follows from the identity

z = P (z) + (I P ) (z) (1.10)

P (z) belongs to M by definition, now

P ((I P ) (z)) = (P (I P )) (z) =(P P 2

)(z) = (P P ) (z) = 0 (z) = 0

thus (I P ) (z) belongs to the null space N so M +N = V . To prove that this is a direct sum we must show thatM and N are disjoint (theorem 1.1). For this, assume that we have a given element P (z) in M that is also in Nthen

P (P (z)) = 0 P 2 (z) = P (z) = 0thus the common element P (z) must be the zero element. Hence, M and N are disjoint and V =M N . Further,from (1.10) P is the projection on M along N .

Of course in z = x+ y with x M , y N we can define a projection P (z) = y on N along M . In this caseV =M N = N M but now M is the null space and N is the range. It is easy to see that P = I P .

On the other hand, we have seen that for a given subspace M in V we can always find another subspace Nsuch that V = M N so for a given M we can find a projector with range M and null space N . However, N isnot unique so that different projections can be defined on M .

Finally, it is easy to see that the range of a projector P corresponds to the set of points fixed under P i.e.M = {P (z) : z V } = {z : P (z) = z}.

1.7. Normed vector spaces

Inspired in the vectors of Rn in which we define their lengths in a natural way, we can define lengths of vectorsin abstract vector spaces by assuming an additional structure

1.7. NORMED VECTOR SPACES 23

Definition 1.10 A normed vector space N is a vector space in which to each vector x there corresponds a realnumber denoted by x with the following properties: (1) x 0 and x = 0 x = 0.(2) x+ y x+ y(3) x = || x

As well as allowing to define a length for vectors, the norm permits to define a distance between two vectorsx and y in the following way

d (x,y) x yit is easy to verify that this definition accomplishes the properties of a metric

d (x,y) 0 and d (x,y) = 0 x = yd (x,y) = d (y,x) ; d (x, z) d (x,y) + d (y, z)

in turn, the introduction of a metric permits to define two crucial concepts: (a) convergence of sequences, (b)continuity of functions of N into itself (or into any metric space).

We shall examine both concepts briefly

1.7.1. Convergent sequences, cauchy sequences and completeness

If X is a metric space with metric d a given sequence in X

{xn} = {x1, .., xn, ...}

is convergent if there exists a point x in X such that for each > 0, there exists a positive integer n0 such thatd (xn, x) < for all n n0. x is called the limit of the sequence. A very important fact in metric spaces is thatany convergent sequence has a unique limit.

Further, assume that x is the limit of a convergent sequence, it is clear that for each > 0 there exists n0 suchthat m,n n0 d (x, xm) < /2 and d (x, xn) < /2 using the properties of the metric we have

m,n n0 d (xm, xn) d (xm, x) + d (x, xn) 0 suchthat d1 (x, x0) < d2 (f (x) , f (x0)) < . This mapping is said to be continuous if it is continuous for each pointin its domain.

Continuity is also an essential property in Physics since for most of physical observables or states we requiresome kind of smoothness or well behavior. Continuity is perhaps the weakest condition of well behavior usuallyrequired in Physics.

We have previously defined isomorphisms as mappings that preserve all structure concerning a general vectorspace. It is then natural to characterize mappings that preserve the structure of a set as a metric space

Definition 1.11 If X,Y are two metric spaces with metrics d1 and d2 a mapping f of X into Y is an isometryif d1 (x,x

) = d2 (f (x) , f (x)) x,x X. If there exists an isom