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8/18/2019 Mec Manibela

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2.- ANALISIS DE MECANISMOS

LOS NUMEROS COMPLEJOS COMO VECTORES

Hay muchos métodos de representar vectores. Estos se pueden definir en coordenadas polares,

por su magnitud y su ángulo, o en coordenadas cartesianas, mediante las componentes x y y . Unvector de posición cualquiera puede ser representado mediante vectores unitarios o mediantenotación de números complejos.

Forma polar Forma cartesiana

@ ( )

i R r cos i r sen j

R e r cos r sen i

En este caso la componente en la dirección X se denomina parte real, y la componente en la

dirección Y, recibe el poco afortunado termino de parte imaginaria. Sin embargo, este númeroimaginario se usa en un número complejo como un operador y no como un valor. En la figura 2.2se muestra el plano complejo en el que el eje real representa la dirección de la componente X delvector en el plano, y el eje imaginario representa la dirección del componte Y del mismo vector

Figura 2.2 Plano complejo

Advierta en la figura 2.3 que cada multiplicación por el operador i resulta en una rotación en sentido

contraria a las manecillas del reloj del vector, en un ángulo de 900


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Figura 2.3

Comprobación:

Dado el vector

45o

ie

Si multiplicamos por i obtenemos:

45 2 2 2 2(cos(45) (45))2 2 2 2

oi

i e i i sen i i i

Si rotamos el vector 90 0 obtenemos

( 45 90 ) 2 2(cos(45 90) (45 90)) (cos(135) (135))2 2

o oi

e i sen i sen i

Que como vemos coinciden.

La ventaja de utilizar esta notación de números complejos para representar vectores en el planoproviene de la identidad de Euler

cos( ) ( )ie i sen

No hay función más fácil de derivar o integrar, ya que tal función es su propia derivada

( )expi id

e id


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Utilizaremos esta notación de números complejos para los vectores, con el fin de desarrollar ydeducir las ecuaciones para la posición, velocidad y aceleración de eslabonamientos.

2.2 MECANISMO MANIVELA -CORREDERA

Figura 2.4 Mecanismo Biela manivela a) Motor de combustión interna,

b) Agitador de muescas biológicas

Se trata de un mecanismo capaz de transformar el movimiento circular en un movimiento linealalternativo o viceversa. Dicho sistema esta formado por un elemento giratorio denominado manivelaque va conectado con una barra rígida llamada biela, de tal forma que al girar la manivela lacorredera se ve obligada a retroceder y avanzar, produciendo un movimiento alternativo.

Es sin duda uno de los mecanismos más construidos en el mundo, es la base de los motores decombustión interna (figura 2.4 a), bombas de desplazamiento positivo, compresores, troqueladorasy diferente tipo de maquinaria.

a)

b)


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Utilizando la notación en álgebra compleja donde el eje x es el eje real y el eje y es imaginario:

320

1 2 3

i i ir e r e r e

(1.1)

Donde

( ) ( )ie cos i sen

Es la identidad de Euler la cual se obtiene por expansión en serie de Taylor de

ie

Reemplazando en la expresión (1.1) tenemos:

1 2 2 2 3 3 30 0 (( ) ))( ( ) ))( (r cos i sen r cos i sen r cos i sen

igualando la parte real y la parte imaginaria tenemos el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

1 2 2 3 3) )( (r r cos r cos (1.2)

2 2 3 3)0 )( (r sen r sen (1.3)

2 es la variable independiente que varia de 0 a 360 o

1 2

3 2

3

r

sen sen

r

2 2 2

1 2 2 3 2 2cos( ) sen ( )r r r r

2.2.2 GRAFICOS EN MATHCAD

r2 15

r3 50

2 1000 2

60

2 0 .1 2

r1 2 r2 cos 2 r3 1 r2

r3sin 2

2


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20

3 2 asin r2

r3sin 2

En el grafico del desplazamiento del pistón podemos determinar el valor de la carrera restando 650-350 = 300 que como vemos es igual a 2 ( r2 )

2.2.3 ANALISIS SIMPLIFICADO DE DESPLAZAMIENTO

Debido a que este mecanismos es uno de los más conocidos y útiles que existen, se ha buscado

maneras de simplificar el tratamiento matemático con el fin de obtener expresiones más simples queson de mucha ayuda en el análisis vibratorio de motores, ya sea mono o multicilindricos.

En primer lugar establecemos un ligero cambio en la nomenclatura de los eslabones:


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figura 2.7 Circuito vectorial

Es importante indicar que esta simplificación es valida únicamente para eslabonamientos conrelación

1

3

r

l

La expresión ha simplificar es entonces la siguiente:

2

2 2cos( ) 1 ( )r

x r senl

En la cual se va a desarrollar el radical mediante la teoría del binomio

1 2 2 3 3( 1) ( 1) ( 2)

...0! 1! 2! 3!

nn n n na n n n n n n

a b a b a b a b

1 1 22 2 22 2

2 2 2

1 1

1 1 2 21 ( ) ( ) ( ) ...

1 2 2

r r r sen sen sen

l l l

Puesto que el valor r/l es menor que uno puedo omitirse todos los términos menos los dos primeros.

2

12 222

2

2 22

( )

1 ( ) 1 1 ( )2 2

r sen

r r l sen sen

l l


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22

De la identidad trigonométrica

2 2 2

2 2 2 2cos(2 ) cos( ) ( ) 1 2 ( ) sen sen

Obtenemos:

2 22

1 cos(2 )( )

2 sen

12 22

2 221 ( ) 1 1 cos(2 )

4

r r sen

l l

El desplazamiento del pistón es entonces:

2 2

2 2 2 2 22( ) cos( ) 1 1 cos(2 ) 1 cos( ) cos(2 )

4 4 4

r r r x r r

l l l

Puesto que θ2 = ω t, podemos obtener la expresión del desplazamiento en función del tiempo y susrespectivas derivadas

El siguiente es el gráfico del desplazamiento del pistón utilizando los dos métodos

2.2.4 ANALISIS DE VELOCIDAD

x t( ) l r

2

4 l r cos t

r

4 l cos 2 t

v t( ) r sin t r

2 l sin 2 t

a t( ) r sin t r

2 l sin 2 t

r 2

cos t r

lcos 2 t


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Derivando la ecuación vectorial obtenemos:

1 3 2r r r

3 32 20

1 2 2 2 3 3 3

i ii iir e r e r i e r e r i e

(1.4)

2 2 2 2 3 3 3 31 (0) (0) ( (( ) ) ( () ( ) ))cos i sen r i cos i sen r i cos i senr

1 2 2 2 3 3 3)( )(r r sen r sen Igualando la parte real de la expresión

2 2 2 3 3 30 ( ) )(r cos r cos Igualando la parte imaginaria de la expresión

Obtenemos finalmente un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, las incógnitas son

la velocidad angular 3 y la velocidad del pistón r 1* = v (2)

Del siguiente gráfico se puede sacar como conclusión que las velocidades del pistón es cero en lospuntos muertos 0 y 180 grados, debido a que existe un cambio de dirección, que la velocidad delpistón no es uniforme y que es máxima en 75 y 285 grados, dependiendo de las proporciones delmecanismo.

3 2 r2

r32

cos 2

cos 3 2 v 2 r2 2 sin 3 2 2

cos 3 2


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Del siguiente gráfico se puede sacar como conclusión que la velocidad angular de la biela es cerocuando el ángulo de la manivela es de 90 y 270 grados, y que es máxima en 0 y 180 grados siendoel valor de 300 rpm para una velocidad angular de la manivela de 1000 rpm

2.2.5 ANALISIS DE LA ACELERACION

Derivando el circuito vectorial nuevamente:

1 3 2

r r r De la siguiente expresión:

320

1 2 2 3 3

iiir e r i e r i e

(1.5)

Obtenemos :

3 32 20 2 2

1 2 2 2 3 3 3( ) ( )i ii ii

r e r i e i e r i e i e

(1.6)

En el caso de velocidad angular constante en el impulsor, 2 es cero, tomándose solamente encuenta en el caso de que el impulsor se encienda o se detenga. Reconozca los términos deaceleración normal y la aceleración tangencial y reemplazando por la expresión de Euler obtenemos:

2 21 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3(0) (0) ( (( ) ( ) )) ) ( ) ))( ( (r cos i sen r i i cos i sen r i i cos i sen

(1.7)

Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales resultantes obtenemos:

22

2 2 2 3 3 2 3 2

3 2

3 3 2cos

r sen r sen

r

y


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22

2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2cos cosap r r sen r

Donde ap (2) es la aceleración del pistón 1r

Las expresiones de la aceleración se grafican y obtenemos:

Donde se obtiene que las aceleraciones angulares máximas ocurren en 90 y 270 grados.

Observamos que las aceleración máxima del pistón esta en 0 grados y que tiene un valor de 217 G( Gravedades) para 1000 rpm, si la frecuencia angular es de 5000 rpm este valor subirá a 5450 G


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Observando la suavidad de las curvas podremos concluir que mientras mayor sea la relación radiode manivela a longitud de biela (r/l) peor es el comportamiento del mecanismo:

Este mecanismo con un valor de r/l tan alto presenta discontinuidades en la aceleración y funcionaracon impacto y será totalmente inadecuado, para r/l = 0.5 tenemos un funcionamiento más adecuado

Un funcionamiento optimo desde el punto de vista dinámico lo podemos tener con una relación r/l =0.1


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2.2.6 ACELERACIONES DE LOS CENTROS DE GRAVEDAD

Para calcular las aceleraciones de los centros de gravedad se dibujan vectores de posición que seextienden desde un punto fijo a cualquier punto que nos interese en este caso los centros degravedad :

figura 2.8 Diagrama de cuerpo libre para cálculo de aceleraciones

Posición del centro de gravedad del eslabón 3 (biela)

32

2 3

iir e r e

3rCG

.Derivando la expresión indicada se obtiene la velocidad absoluta del centro de gravedad del eslabón3

El vector velocidad del centro de gravedad de 3


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322 2 3 3( ) ii

r i e r i e

3

vCG

Donde las expresiones ( r ) son los valores absolutos de la velocidad tangencial y las

expresiones ( i

i e

)indican que su dirección es perpendicular al eslabón.

El vector aceleración absoluta del centro de gravedad de 3, se obtiene de igual manera derivandola expresión anterior

Donde las expresiones (r 22 ) son las aceleraciones normales y las expresiones ( r ) son las

aceleraciones tangenciales, la expresión i ei2 indica que es perpendicular al radio y la expresión -

ei2 indica que la aceleración normal esta dirigida hacia el centro de rotación.

Finalmente podemos obtener las componentes reales e imaginarias del vector aceleración absoluta

3

22

2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2cos( ) cosCG x pa r r r sen

3

22

2 2 2 2 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2( ) cosCG y pa r sen r sen r

Y la respectiva gráfica en MathCAD

2.2.7 TAREAS PARA EL ALUMNO

1. Graficar en MathCAD posición, velocidad , aceleración, aceleración de los centros degravedad para un mecanismo biela manivela con r = 150, l = 200.8

2. Graficar en MathCAD la posición, velocidad y aceleración del pistón utilizando lasexpresiones simplificadas para un mecanismo biela manivela con r = 150 y l= 450

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