Measure theoryFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 Absolute continuity 11.1 Absolute continuity of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.5 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.6 Properties of these generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Absolute continuity of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.3 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.4 Singular measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Relation between the two notions of absolute continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Abstract Wiener space 72.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Example: Classical Wiener space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 AlmgrenPitts min-max theory 93.1 Description and basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Original references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Almost everywhere 11

i

ii CONTENTS

4.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Denition using ultralters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Approximate tangent space 145.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.1.1 Denition for sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.1.2 Multiplicities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.1.3 Denition for measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.2 Relation to rectiable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6 Atom (measure theory) 166.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.3 Non-atomic measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7 AubinLions lemma 187.1 Statement of the lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

8 ba space 208.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

8.1.1 Dual of B() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208.1.2 Dual of L() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

8.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

9 Baire set 229.1 Basic denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

9.1.1 First denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.1.2 Second denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229.1.3 Third denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

9.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.2.1 The dierent denitions of Baire sets are not equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.2.2 A Borel set that is not a Baire set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

9.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

10 BanachTarski paradox 25

CONTENTS iii

10.1 Banach and Tarski publication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2510.2 Formal treatment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2610.3 Connection with earlier work and the role of the axiom of choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2710.4 A sketch of the proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

10.4.1 Step 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.4.2 Step 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2810.4.3 Step 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.4.4 Step 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.4.5 Some details, eshed out . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

10.5 Obtaining innitely many balls from one . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110.6 The von Neumann paradox in the Euclidean plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

10.6.1 Recent progress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3210.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3210.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3310.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3310.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

11 Bochner measurable function 3511.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

12 Borel isomorphism 3712.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3712.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

13 Bounded variation 3813.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3813.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

13.2.1 BV functions of one variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3913.2.2 BV functions of several variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3913.2.3 Locally BV functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4013.2.4 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

13.3 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4113.3.1 BV functions have only jump-type or removable discontinuities . . . . . . . . . . . . . . . 4113.3.2 V(, ) is lower semi-continuous on BV() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4213.3.3 BV() is a Banach space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4213.3.4 BV() is not separable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4213.3.5 Chain rule for BV functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4313.3.6 BV() is a Banach algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

13.4 Generalizations and extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4413.4.1 Weighted BV functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

iv CONTENTS

13.4.2 SBV functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4413.4.3 bv sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4513.4.4 Measures of bounded variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

13.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4513.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

13.6.1 Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4813.6.2 Physics and engineering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

13.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4913.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4913.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

13.9.1 Research works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5013.9.2 Historical references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

13.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5213.10.1 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5213.10.2 Other . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

14 Caccioppoli set 5314.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5314.2 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

14.2.1 Caccioppoli denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5414.2.2 De Giorgi denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

14.3 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5514.4 Notions of boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

14.4.1 The topological boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5514.4.2 The reduced boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5614.4.3 De Giorgis theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

14.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5714.5.1 A GaussGreen formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

14.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5714.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5714.8 Historical references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5814.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5914.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

15 Cantor function 6015.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6115.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6215.3 Alternative denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

15.3.1 Iterative construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6215.3.2 Fractal volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

15.4 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6315.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

CONTENTS v

15.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6415.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

16 Cantor set 6616.1 Construction and formula of the ternary set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6616.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6716.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

16.3.1 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6716.3.2 Self-similarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6816.3.3 Topological and analytical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6816.3.4 Measure and probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

16.4 Variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.4.1 SmithVolterraCantor set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.4.2 Cantor dust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

16.5 Historical remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7016.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7116.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

17 Carathodorys criterion 7217.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

18 Clarksons inequalities 7318.1 Statement of the inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7318.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7318.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

19 Coarea formula 7519.1 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7519.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7619.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

20 Computable measure theory 7720.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

21 Concentration of measure 7821.1 The general setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7821.2 Concentration on the sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7921.3 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7921.4 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7921.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

22 Content (measure theory) 80

vi CONTENTS

22.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8022.2 Integration of bounded functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8022.3 Duals of spaces of bounded functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8122.4 Construction of a measure from a content . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

22.4.1 Denition on open sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8122.4.2 Denition on all sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8122.4.3 Construction of a measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

22.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

23 Continuity set 8323.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

24 Conull set 8424.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

25 Convergence in measure 8525.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8525.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8525.3 Counterexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8625.4 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8625.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

26 Portmanteau theorem 8826.1 Informal descriptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8826.2 Total variation convergence of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8926.3 Strong convergence of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8926.4 Weak convergence of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

26.4.1 Weak convergence of random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9126.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9126.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

27 Crofton formula 9227.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9227.2 Proof sketch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9227.3 Other forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9227.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9327.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9327.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9327.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

28 Curvature of a measure 9428.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9428.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9528.3 Relationship to the Cauchy kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

CONTENTS vii

28.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

29 Cylindrical -algebra 9629.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9629.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

30 Decomposable measure 9730.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9730.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

31 Delta-ring 9831.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9831.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

32 Dierentiation of integrals 9932.1 Theorems on the dierentiation of integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

32.1.1 Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9932.1.2 Borel measures on Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9932.1.3 Gaussian measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

32.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10132.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

33 Dirac delta function 10233.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10333.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10333.3 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

33.3.1 As a measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10433.3.2 As a distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10533.3.3 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

33.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10733.4.1 Scaling and symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10733.4.2 Algebraic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10733.4.3 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10733.4.4 Composition with a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10833.4.5 Properties in n dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

33.5 Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10933.6 Distributional derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

33.6.1 Higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11133.7 Representations of the delta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

33.7.1 Approximations to the identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11233.7.2 Probabilistic considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11333.7.3 Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11333.7.4 Oscillatory integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

viii CONTENTS

33.7.5 Plane wave decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11533.7.6 Fourier kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11633.7.7 Hilbert space theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11733.7.8 Innitesimal delta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

33.8 Dirac comb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11933.9 SokhotskiPlemelj theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12033.10Relationship to the Kronecker delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12033.11Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

33.11.1 Probability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12133.11.2 Quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12133.11.3 Structural mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

33.12See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12333.13Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12333.14References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12533.15External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

34 Direct integral 13034.1 Direct integrals of Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

34.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13134.2 Decomposable operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

34.2.1 Decomposition of Abelian von Neumann algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13334.3 Direct integrals of von Neumann algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13334.4 Central decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13434.5 Measurable families of representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13534.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

35 Discrepancy theory 13635.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13635.2 Classic theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13635.3 Major open problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13635.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13735.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13735.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13735.7 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

36 Distortion (mathematics) 13836.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13936.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

37 Eective dimension 14037.1 Rigorous denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

37.1.1 Martingales and other gales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14037.1.2 Kolmogorov complexity denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

CONTENTS ix

37.2 Comparison to classical dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14237.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

38 Equivalence (measure theory) 14338.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14338.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14338.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

39 Essential range 14439.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14439.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14439.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14539.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14539.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

40 Essential supremum and essential inmum 14640.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14640.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14740.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14740.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14740.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14740.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

41 Euler calculus 14841.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14841.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14841.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

42 Factorization lemma 14942.1 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14942.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

42.2.1 f is a step function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14942.2.2 f takes only positive values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14942.2.3 General case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14942.2.4 f takes nite values only . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15042.2.5 Importance of the measure space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

42.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

43 Falconers conjecture 15143.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

44 Filtration (mathematics) 15344.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

44.1.1 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

x CONTENTS

44.1.2 Measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15444.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15544.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

45 Finite-dimensional distribution 15645.1 Finite-dimensional distributions of a measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15645.2 Finite-dimensional distributions of a stochastic process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15645.3 Relation to tightness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15645.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

46 Fuzzy measure theory 15846.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15846.2 Properties of fuzzy measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15846.3 Mbius representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15946.4 Simplication assumptions for fuzzy measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

46.4.1 Sugeno -measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15946.4.2 k-additive fuzzy measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

46.5 Shapley and interaction indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16046.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16046.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16046.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

47 G-measure 16147.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16147.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16147.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

48 Geometric measure theory 16248.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16248.2 Important Notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16248.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16348.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16348.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16348.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

49 H-derivative 16449.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16449.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16449.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

50 Hamburger moment problem 16550.1 Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

50.1.1 Uniqueness of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16650.2 Further results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

CONTENTS xi

50.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

51 Hanners inequalities 16851.1 Statement of the inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16851.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

52 Hausdor density 16952.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16952.2 Marstrands theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16952.3 Preiss theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16952.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17052.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

53 Hausdor paradox 17153.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17153.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17153.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

54 Homological integration 17254.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

55 Indicator function 17355.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17355.2 Remark on notation and terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17455.3 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17455.4 Mean, variance and covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17555.5 Characteristic function in recursion theory, Gdels and Kleenes representing function . . . . . . . 17555.6 Characteristic function in fuzzy set theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17555.7 Derivatives of the indicator function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17655.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17655.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17755.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

56 Innite-dimensional Lebesgue measure 17856.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17856.2 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17856.3 Proof of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17856.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

57 Information theory and measure theory 18057.1 Measures in information theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18057.2 Entropy as a measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18157.3 Multivariate mutual information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18357.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

xii CONTENTS

57.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

58 Integral representation theorem for classical Wiener space 18558.1 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18558.2 Corollary: integral representation for an arbitrary probability space . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18558.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

59 Integration by parts operator 18759.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18759.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18759.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

60 Jaccard index 18960.1 Similarity of asymmetric binary attributes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19060.2 Generalized Jaccard similarity and distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19060.3 Tanimoto similarity and distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

60.3.1 Tanimotos denitions of similarity and distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19160.3.2 Other denitions of Tanimoto distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

60.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19260.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19260.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19260.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

61 Join (sigma algebra) 19461.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

62 Klees measure problem 19562.1 History and algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19562.2 Known bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19662.3 References and further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

62.3.1 Important papers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19662.3.2 Secondary literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

63 KrylovBogolyubov theorem 19763.1 Formulation of the theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

63.1.1 Invariant measures for a single map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19763.1.2 Invariant measures for a Markov process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

63.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19863.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

64 Kmuras theorem 19964.1 Statement of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19964.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

CONTENTS xiii

65 Laplacian of the indicator 20065.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20065.2 Dirac surface delta prime function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20165.3 Dirac surface delta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20265.4 Approximations by bump functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20365.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

65.5.1 Quantum mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20365.5.2 Fluid dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20365.5.3 Surface reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

65.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20465.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

66 Lebesgue integration 20666.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

66.1.1 Intuitive interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20766.1.2 Towards a formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

66.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20966.2.1 Measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20966.2.2 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21066.2.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21266.2.4 Domain of integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

66.3 Limitations of the Riemann integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21266.4 Basic theorems of the Lebesgue integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21366.5 Proof techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21466.6 Alternative formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21666.7 Limitations of Lebesgue integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21766.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21766.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21766.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

67 Lifting theory 22067.1 Existence of liftings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22067.2 Strong liftings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22167.3 Application: disintegration of a measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22167.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

68 Littlewoods three principles of real analysis 22368.1 The principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22368.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22368.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

69 Locally integrable function 22569.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

xiv CONTENTS

69.1.1 Standard denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22569.1.2 An alternative denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22569.1.3 Generalization: locally p-integrable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22669.1.4 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

69.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22669.2.1 Lp, is a complete metric space for all p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22669.2.2 Lp is a subspace of L, for all p 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22769.2.3 L, is the space of densities of absolutely continuous measures . . . . . . . . . . . . . . . 227

69.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22869.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22869.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22969.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22969.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23069.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

70 Loeb space 23270.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23270.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23270.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

71 Lp space 23371.1 The p-norm in nite dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

71.1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23371.1.2 When 0 < p < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23471.1.3 When p = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

71.2 The p-norm in countably innite dimensions and p spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23571.3 Lp spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

71.3.1 Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23771.4 Properties of Lp spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

71.4.1 Dual spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23871.4.2 Embeddings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23871.4.3 Dense subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

71.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24071.5.1 HausdorYoung inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24071.5.2 Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24071.5.3 Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

71.6 Lp (0 < p < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24071.6.1 L0, the space of measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

71.7 Weak Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24171.8 Weighted Lp spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24271.9 Lp spaces on manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24371.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

CONTENTS xv

71.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24371.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24371.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

72 Luzin N property 24872.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24872.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24872.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

73 Lvy metric 24973.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24973.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24973.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

74 LvyProkhorov metric 25074.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25074.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25074.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25174.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

75 Malliavins absolute continuity lemma 25275.1 Statement of the lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25275.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

76 Measurable function 25376.1 Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25376.2 Caveat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25476.3 Special measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25476.4 Properties of measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25476.5 Non-measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25476.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25576.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25576.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

77 Measure (mathematics) 25677.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25677.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25777.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

77.3.1 Monotonicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25877.3.2 Measures of innite unions of measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25877.3.3 Measures of innite intersections of measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

77.4 Sigma-nite measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25877.5 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25977.6 Additivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

xvi CONTENTS

77.7 Non-measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25977.8 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25977.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26077.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26077.11Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26177.12External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

78 Measure algebra 26478.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26478.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

79 Minkowski inequality 26579.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26579.2 Minkowskis integral inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26679.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26779.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

80 MinkowskiSteiner formula 26880.1 Statement of the Minkowski-Steiner formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26880.2 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

80.2.1 Surface measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26880.2.2 Convex sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

80.3 Example: volume and surface area of a ball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26980.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

81 Naimarks dilation theorem 27081.1 Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27081.2 Spelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27081.3 Some preliminary notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27081.4 Naimarks theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

81.4.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27281.5 Finite-dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27281.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

82 Nikodym set 27382.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

83 Non-measurable set 27483.1 Historical constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27483.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27483.3 Consistent denitions of measure and probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27583.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27583.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

83.5.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

CONTENTS xvii

83.5.2 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

84 Null set 27684.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27684.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27684.3 Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27684.4 Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

84.4.1 A subset of the Cantor set which is not Borel measurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27784.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

85 Overlap coecient 27885.1 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

86 Parthasarathys theorem 27986.1 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27986.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

87 Weakly measurable function 28087.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28087.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28087.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28087.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

88 Pi system 28288.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28288.2 Relationship to -Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

88.2.1 The - Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28388.3 -Systems in Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

88.3.1 Equality in Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28488.3.2 Independent Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

88.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28588.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28588.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

89 Planar lamina 286

90 Pointwise convergence 28890.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28890.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28890.3 Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28990.4 Almost everywhere convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28990.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28990.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

xviii CONTENTS

91 Portmanteau theorem 29091.1 Informal descriptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29091.2 Total variation convergence of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29191.3 Strong convergence of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29191.4 Weak convergence of measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

91.4.1 Weak convergence of random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29391.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29391.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

92 Positive and negative sets 29492.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29492.2 Hahn decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

93 Positive real numbers 29593.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29593.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29593.3 Logarithmic measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29593.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29693.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

94 Prevalent and shy sets 29794.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

94.1.1 Prevalence and shyness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29794.1.2 Local prevalence and shyness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

94.2 Theorems involving prevalence and shyness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29794.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

95 Progressively measurable process 29995.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29995.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29995.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

96 Radon space 30196.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

97 Radonifying function 30297.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30297.2 Push forward of a CSM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30297.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

98 Real-valued function 30498.1 In general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30498.2 Measurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30598.3 Continuous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

CONTENTS xix

98.4 Smooth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30598.5 Appearances in measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30598.6 Other appearances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30698.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30698.8 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30698.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

99 Rectiable set 30799.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

99.1.1 Rectiable sets in metric spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30799.2 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30899.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30899.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

100Regular conditional probability 309100.1Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309100.2Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309100.3Alternate denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310100.4Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310100.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310100.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310100.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

101Ruziewicz problem 312101.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

102Separable sigma algebra 313

103Set-theoretic limit 314103.1Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

103.1.1 The two denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314103.1.2 Monotone sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

103.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315103.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316103.4Probability uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

103.4.1 BorelCantelli lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317103.4.2 Almost sure convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

103.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

104Sierpiski set 319104.1Example of a Sierpiski set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319104.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

105Sigma additivity 320

xx CONTENTS

105.1Additive (or nitely additive) set functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320105.2-additive set functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320105.3-additive set functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320105.4Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

105.4.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321105.5Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

105.5.1 An additive function which is not -additive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321105.6Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321105.7See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322105.8References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

106Sigma-algebra 323106.1Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

106.1.1 Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323106.1.2 Limits of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324106.1.3 Sub -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

106.2Denition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325106.2.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325106.2.2 Dynkins - theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325106.2.3 Combining -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325106.2.4 -algebras for subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326106.2.5 Relation to -ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326106.2.6 Typographic note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

106.3Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327106.3.1 Simple set-based examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327106.3.2 Stopping time sigma-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

106.4-algebras generated by families of sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327106.4.1 -algebra generated by an arbitrary family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327106.4.2 -algebra generated by a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327106.4.3 Borel and Lebesgue -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328106.4.4 Product -algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328106.4.5 -algebra generated by cylinder sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328106.4.6 -algebra generated by random variable or vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329106.4.7 -algebra generated by a stochastic process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

106.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329106.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330106.7External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

107Sigma-ideal 331107.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

108Sigma-ring 332

CONTENTS xxi

108.1Formal denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332108.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332108.3Similar concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332108.4Uses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332108.5See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333108.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

109Simple function 334109.1Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334109.2Properties of simple functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334109.3Integration of simple functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334109.4Relation to Lebesgue integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335109.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

110Simple matching coecient 336110.1See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336110.2Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

111SmithVolterraCantor set 337111.1Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337111.2Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338111.3Other fat Cantor sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338111.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338111.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338111.6External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

112Solovay model 339112.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339112.2Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339112.3Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339112.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

113Standard probability space 341113.1Short history . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341113.2Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

113.2.1 Isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341113.2.2 Isomorphism modulo zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342113.2.3 Standard probability space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

113.3Examples of non-standard probability spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342113.3.1 A naive white noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342113.3.2 A perforated interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342113.3.3 A superuous measurable set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

113.4A criterion of standardness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

xxii CONTENTS

113.4.1 A single random variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343113.4.2 A random vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344113.4.3 A random sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344113.4.4 A sequence of events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344113.4.5 Additional remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

113.5Equivalent denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344113.5.1 Via absolute measurability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344113.5.2 Via perfectness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345113.5.3 Via topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

113.6Verifying the standardness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345113.7Using the standardness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

113.7.1 Regular conditional probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345113.7.2 Measure preserving transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

113.8Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346113.9References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

114Strong measure zero set 348114.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

115Sugeno integral 350115.1References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

116Support (measure theory) 351116.1Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351116.2Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352116.3Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352116.4Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

116.4.1 Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352116.4.2 Dirac measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353116.4.3 A uniform distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353116.4.4 A nontrivial measure whose support is empty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353116.4.5 A nontrivial measure whose support has measure zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

116.5Signed and complex measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353116.6References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

117SrensenDice coecient 355117.1Name . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355117.2Quantitative version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355117.3Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355117.4Dierence from Jaccard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356117.5Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357117.6See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357117.7References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

CONTENTS xxiii

117.8External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

118Talagrands concentration inequality 359118.1Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359118.2Explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359118.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

119Tightness of measures 361119.1Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361119.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

119.2.1 Compact spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361119.2.2 Polish spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361119.2.3 A collection of point masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362119.2.4 A collection of Gaussian measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

119.3Tightness and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362119.4Exponential tightness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362119.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

120Transportation theory (mathematics) 364120.1Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

120.1.1 Mines and factories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364120.1.2 Moving books: the importance of the cost function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

120.2Abstract formulation of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365120.2.1 Monge and Kantorovich formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365120.2.2 Duality formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

120.3Solution of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366120.3.1 Optimal transportation on the real line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366120.3.2 Separable Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

120.4See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366120.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367120.6Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

121Trigonometric moment problem 368121.1Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

121.1.1 Parametrization of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369121.2References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

122Tversky index 370122.1Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

123Universally measurable set 371123.1Finiteness condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371123.2Example contrasting with Lebesgue measurability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371123.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

xxiv CONTENTS

124Valuation (measure theory) 373124.1Domain/Measure theory denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

124.1.1 Continuous valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373124.1.2 Simple valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373124.1.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

124.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374124.2.1 Dirac valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

124.3References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374124.4External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

125Varifold 375125.1Historical note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375125.2Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375125.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376125.4Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376125.5References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

126Vitali covering lemma 378126.1Vitali covering lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

126.1.1 Statement of the lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378126.1.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379126.1.3 Applications and method of use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

126.2Vitali covering theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380126.2.1 Vitalis covering theorem for the Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381126.2.2 Vitalis covering theorem for the Hausdor measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381126.2.3 From the covering lemma to the covering theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382126.2.4 Innite-dimensional spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

126.3See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383126.4References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .