matrices y determinantes

ÁLGEBRA SUPERIORMATRICES Y DETERMINANTES

ELABORADO Y REVISADO POR LOS PROFESORES DE LA MATERIA EN EL 2007• Martha G. Canales LeyvaRocío Patricia Rivas Llanas• Leticia Lizette Espinosa Fahl• Joaquín Gilberto Treviño Dávila• José Santos García• Claudio Hiram Carmona Jurado• Abraham Leonel López León• Carlos Alfonso Gameros Morales• Kluis Roberto Fernández Guillén• Arturo Córdova González

1

MATRICES Y DETERMINANTES Antecedentes de conocimientos, actitudes o habilidades

Lectura comprensiva Operaciones con quebrados Cálculo de determinante de matrices de 2do y 3er orden Números Complejos Cálculo de permutaciones

2

MATRICES Y DETERMINANTES 5.1. Generalidades

Definición:Es un arreglo de elementos

dispuestos en “m” filas y “n” columnas.

El nombre de la matriz se escribe con letra mayúscula entre paréntesis rectangulares (corchetes).

La cantidad de las filas y de columnasde una matriz, se indican como subíndice despúes del nombre de la matriz. El primer índice corresponde a las filas y el segundo a las columnas.

Ejemplo:

[B] m,n

Los elementos de una matriz también se presentan entre paréntesis rectangulares (corchetes).

67

48

01

070

985[B] 4,3=

3


Orden de una matriz

Es la cantidad de filas y columnas de la matriz.

Se lee: matriz de orden m por n

Ejemplo:

[B] m,n

Matriz de 4 por 3

67

48

01

070

985

[B] 4,3=

4


Matriz Cuadrada

Es aquella matriz cuyo número de filas es igual al número de columnas.

Ejemplo [B] 3,3

1 -4 5

-2 4 0

4 5 2

Se lee matriz de tercer orden

5


Matriz Rectangular

Es aquella matriz cuyo número de filas es diferente al número de columnas.

Ejemplo [B]3,4

1 -4 5 3 -2 4 0 -2 4 5 2 6

6


Diagonal Principal

Es la línea en que quedan ubicados los elementos a11, a22,a33,a44 ... (número de columna = número de la fila) de la matriz.

La Diagonal principal.Ejemplos:

Elementos de la diagonal principal: 5, -7 y 7

7810

070

985

7


Diagonal Secundaria

Cualquier diagonal de una matriz, que no sea la Diagonal Principal.

Ejemplo:

Elementos de la diagonal secundaria indicada: 0, 8, -4

67

48

01

070

985

8


Traza

De una matriz cuadrada, es la suma algebraica de los valores de los elementos de la diagonal principal.

Ejemplo:

La traza de la matriz es traza = 5 –7 +7 = 5

7513

070

985

9

MATRICES Y DETERMINANTES 5.2. Operaciones con Matrices

Suma de dos matrices

Sean dos matrices conformables para la suma (mismo orden), se define la suma como:

[C] m,n = [A] m,n + [B] m,n

La matriz [C] tendrá el mismo orden de [A] ó [B].

Cada elemento de C es la suma del correspondiente elemento de [A] y [B]

ci,j = ai,j + bi,j

Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n

+ =

97

23

57

48

140

25

10


Resta de dos matrices

Sean dos matrices conformables para la resta (mismo orden), se define la resta como:

[C] m,n= [A] m,n - [B] m,n

La matriz [C] tendrá el mismo orden de [A] ó [B].

Cada elemento de C es la resta algebraica de los correspondientes elementos de [A] y [B]

ci,j = ai,j - bi,j

Para i = 1,2 .....m y j = 1,2 ......n

Ejemplo

- =

97

23

57

48

414

611

11


Propiedades de la Suma y Resta Matricial

Sean tres matrices conformables para la suma y k un escalar [A]m,n , [B]m,n , [C]m,n

[A] + [B] = [B] + [A] Ley Conmutativa

[A] +( [B] + [C] ) = ( [A] + [B] )+ [C] Ley Asociativa

k ( [A] + [B] ) = k [A] + k [B] = ( [A] + [B] )k Ley Distributiva de un escalar por la izquierda o derecha en la suma

Existe una matriz [C] tal que [A] + [C] = [B] 12

MATRICES Y DETERMINANTES5.2. Operaciones con Matrices

Producto de una matriz por un escalar

Sea k un escalar y la matriz [A]m,n, se define la muliplicación de una matriz por un escalar como

[C]m,n = k [A]m,n

En donde ci,j = k ai,j (i=1,2,3....m; j=1,2,3...n)

Ejemplo

[C] = 3 [A]

3 =

97

23

2721

69

13


Producto de dos matrices

Dos matrices se dice ser conformables para la multiplicación si:

[A]ma,na [B]mb,nb

El número de columnas de [A] es igual al número de filas de [B]

El producto de dos matrices es

[C]ma,nb= [A]ma,n x [B]mb,nb

Con

ci,j= k=1 ai,k x bk,j

(i=1,2,3....ma; j=1,2,3...na)=

na

14


x =

Ejemplo

[C]ma,nb= [A]ma,na x [B]mb,nb

Son conformables para la multiplicación ya que na = mb

132

201

0

1

1

2

25

03

14

15


Leyes de la suma y la Multiplicación

Sean tres matrices [A] [B] [C] conformables para la suma y multiplicación

Primera Ley Distributiva[A]( [B] + [C] ) = [A] [B] + [A] [C]

Segunda Ley Distributiva([A] + [B]) [C] = [A] [C] +[B] [C] Ley Asociativa[A] ( [B] [C] ) = ( [A] [B] ) [C]

En general1) [A] [B] [B] [A] 2) [A] [B] = [0] No necesariamente

[A] = [0] o [B] = [0] 3) [A] [B] = [A] [C] No necesariamente

[B] = [C]

16


Matriz Transpuesta

Sea la matriz [A]ma,na , la matriz transpuesta se define como:

[A]mb,nb en donde ai, j = aj, i Para i = 1,2 .....ma j = 1,2 ......namb = na y nb = ma

También se denotar como [A]’

[A] = [A] =

T

TT

5

471

32

57

3

412

17


Propiedades de la Matriz Transpuesta

Sean las matrices [A] [B] con sus respectivas transpuestas [A]’ [B]’ y k un escalar

i) [A’]’= [A] ii) (k [A])’ = k [A]’

La transpuesta de la suma de dos matrices es la suma de sus transpuestas

( [A]+ [B] )’ = [A]’ + [B]’ La transpuesta del producto de dos matrices es el producto en orden

inverso de sus transpuestas.( [A] [B] )’ = [B]’ [A]’

18

MATRICES Y DETERMINANTES5.3. Matrices especiales

Matriz Identidad [ ] o Unidad

Es una matriz cuadrada cuyo valor de los elementos de la diagonal principal es uno y valor cero en todos los demás elementos.

[] =

100

010

001

19

MATRICES Y DETERMINANTES 5.3. Matrices especiales

Matriz Cero o Nula

Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos es cero.

Ejemplo

000

000

000

[ 0 ] =

[ 0 ] =

20


Matriz Opuesta o Negativa.

- [A]

Se obtiene de la matriz [A] multiplicando cada elemento por el escalar -1

128

954

421

Ejemplo Sea la matriz

[A] =

-1 [A] =

128

954

421

21


Matrices Iguales

Son aquellas que tienen el mismo orden y cada elemento de una es igual al correspondiente elemento de la otra.

[A] = [B] ai,j = bi,j para i =1,2,3.... m j =1, 2,3... nEjemplo

075

876

243

075

876

243=

22


Matrices Conmutativas

Son aquellas matrices para las cuales se cumple :Sean [A] y [B] matrices cuadradas tales que

[A] x [B] = [B] x [A]

=

14

41

14

41

36

63

36

63

23


Matriz Diagonal

Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos son cero excepto en la diagonal.

[ F ] =

2100

0100

004

B

24


Matriz Escalar

Es una matriz cuadrada en la cual el valor de todos los elementos son cero excepto en la diagonal principal, que tienen el mismo valor.

a11 =a22 =a33 =a44 = k donde k es un escalar

400

040

004B=

B

B = -4 [ I ]25


Matriz Triangular Superior

Es una matriz cuadrada cuyos elementos en la parte superior de la diagonal principal y en ella, el valor es diferente de cero.

El valor de los elementos abajo de la diagonal principal es cero

ai j = 0 para i > j

Ejemplo

200

470

642

26


Ejemplo

Matriz Triangular Inferior

Es una matriz cuadrada cuyos elementos en la parte inferior de la diagonal principal y en ella, el valor es diferente de cero.

El valor de los elementos arriba de la diagonal principal es cero.

ai j = 0 para i < j

276

041

002

27


Matrices simétricas

Aquellas que cumplen con:

[A]’ = [A].

Propiedad

Si [A] es una matriz cuadrada

[A] + [A]’ es simétrica

Ejemplo:

la matriz [A] es simétrica ya que:

258

514

843

258

514

843[A]’ =

[A] =

28


Matriz Antisimétrica o Hemisimétrica

Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta (o negativa) de su transpuesta.

Necesariamente los elementos de la diagonal principal tienen el valor de cero.

[A] = - 1 [A]’

Ejemplo La matriz [A] es antisimétrica ya que:

058

504

840

058

504

840

-1 [A]’ =

[A] =

29


Matriz Periódica

Aquella matriz [A] para la cual [A]k+1= [A]

Donde k es un entero positivo

Se dice que la matriz es de un periodo k

321

431

422

[A]x [A] = [A]

[A] =

Ejemplo:

[A] es periódica, con periodo 1

30


Matriz Idempotente

Es una matriz Periódica con período 1Ejemplo

321

431

422

[A]x [A] = [A]

[A] =

31

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinante

Conceptos generales

Las matrices cuadradas tienen un valor asociado denominado determinante.

Se denota por |A| ó

El valor del determinante se puede calcular por medio de varios métodos.

32


Permutación de n elementos P= n!

Permutaciones de los elementos 1 y 2 P = 2! = 2 y son 12, 21

Permutaciones de los elementos 1, 2 y 3 P = 3!= 6 y son 123 132 213 231 312 321

Permutaciones de los elementos 1,2,3 y 4P= 4! = 24 considerar las siguientes 1234 2134 3124 4123

1324 2314 3214 4213

33


InversiónEn una disposición cualquier cantidad de dígitos, es una

inversión cuando un dígito se encuentra a la izquierda de otro dígito menor.

Inversion par, es cuando la cantidad de las inversiones es un número par, de otra forma de llama inversión impar.

Ejemplo: De la siguiente disposición de dígitos se tiene que hay 6 inversiones

4 3 1 6 2El 4 es mayor que 3 1 y 2El 3 es mayor que 1 y 2El 6 es mayor que el 2 34


Definición de determinante usando las inversiones de una permutación

|A | = r j1 j2 ...... Jn a 1 j1 a 2 j2 ..... a n jn

Es la suma de las Permutaciones r= n! j1 j2 ...... Jn de los enteros 1,2,3 .... N

j1 j2 ...... Jn = +1 o bien –1 según la permutación tenga inversion par o impar

a 1 j1 a 2 j2 ..... a n jn es un producto de n de los elementos elegidos de manera que solo exista un elemento de cada fila y de cada columna

35


Definición de determinante de segundo orden usando las inversiones de una permutación

|A| = 12 a11 a22 + 21 a12 a21 21 permutacion impar 12 permutacion par

= a11 a22 - a12 a21 a11 a12

a21 a22

36


Definición de determinante de tercer orden usando las inversiones de una permutación.....

|A| = 123 a11 a22a33 + 132 a11 a23a32 +213 a12a21a33+231 a12a23a31 +312

a13a21a32+321 a13a22a31

Permutaciones par 123 231 312

Permutaciones impares 132 213 321

Re acomodando queda

|A| =a11 a22 a33 + a21 a32a13 + a31 a12a23 -( a13 a22 a31 + a23 a32a11 +a33 a12 a21)

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

37


Definición de determinante de tercer orden usando las inversiones de una permutación

Y también queda: |A| = a11 (a22 a33 - a23 a32) - a12 (a21 a33 - a23 a31) + a13 (a21 a32 - a22 a31)

= a11 - a12 +a13

a a

a a

3332

2322

a a

a a

3331

2321

a a

a a

3231

2221

38


Menor

De un elemento de una Matriz de orden n, es el valor del determinante de orden n-1 formado al

suprimir la fila y la columna de ese elemento.Se representa por | Mi j |

Ejemplo: Sea la matriz

El menor del elemento a11

|M11 | = = - 9 +8 =-1

321

431

422

32

43

39

MATRICES Y DETERMINANTES5.4.Determinante

Matriz de MenoresEs la matriz cuadrada cuyos elementos con los menores de cada uno de los elementos.Ejemplo

572

024

331[M]= 57

02

57

33

02

33

52

04

52

31

72

31

04

31

24

31

72

24

[M]=

=

14126

13116

242010

40


Cofactor

Es un valor asociado a cada elemento de una matriz cuadrada y es:

i,j = ( - 1 )i+j |M|i,j

Donde | Mi,j | es el menor del elemento ai,j

Y el signo dependerá de la suma de i +j: será + si la suma es par ó - si la suma es impar

Signos por el lugar que ocupa el elemento + - + - + - . . . . . - + - + - . . . . . + - + - + - . . . . - + - + - . . . . . 41

MATRICES Y DETERMINANTES 5.4. Determinantes

Matriz de Cofactores

Es la matriz cuadrada formada por los cofactores de cada uno de sus elementos.Ejemplo

572

024

331

[A]=

-Con [M] =

14126

13116

242010

Aplicando los signos correspondientes a cada elemento:

14126

13116

242010

Cofactores [A] =

42


Propiedades....

1 Si se intercambian las filas por las columnas en un determinante, el valor del determinante no se modifica.

Por lo anterior se hará la referencia como línea la fila o columna.

43


Propiedades....

2 Si el valor de todos los elementos de una línea son nulos, el determinante vale cero.

44


Propiedades....

3 Si se permutan dos líneas, el valor del determinante cambia de signo.

45


Propiedades....

4 Si un determinante tiene dos líneas iguales, el valor del determinante es cero.

46


Propiedades....

5 Si todos los elementos de una línea se multiplican por un mismo número “q”, el valor del determinante resultará multiplicado por “q”.

47


Propiedades....

6. Si todos los elementos de una línea son la suma de dos (o más) términos el determinante es igual a la suma de dos (o mas) determinantes.

48


Propiedades

7. Si todos los elementos de una línea se suman con los elementos correspondientes de otra línea multiplicados por un numero k, el valor del determinante no varía.

49


Cálculo de determinantes de orden superior, empleando cofactores

Es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea multiplicados cada uno por su respectivo adjunto.

Sea un determinante de orden n:1 Seleccionar una línea2 Multiplicar cada elemento de la línea seleccionada, por su correspondiente cofactor.3 Se realizar las operaciones, y se reduce debido al paso 1, el orden del determinante a n-14 Aplicar repetitivamente los pasos 1 y 2 hasta reducir en un determinante de segundo orden.

50


Cálculo de determinantes de orden superior, empleando cofactores

Ejemplo: Calcular |G| de la matriz [G] =1.- Seleccionar una línea, tercera columna2.- Multiplicar cada elemento de la línea seleccionada, por su

correspondiente cofactor.

= 3 - 0 +5 = 3(-72) –0 + 5(14) = -23.- Se realizar las operaciones, y se reduce debido al paso 1, el orden

del determinante a n-1 |G| = -2

572

024

331

72

24

72

31

24

31

51

MATRICES Y DETERMINANTES5.4. Determinante

100

010

001

Determinante de la matriz Identidad

El valor del determinante de la matriz Idenidad tiene el valor de 1.

Calcular el determinante de:

52


Determinante de la matriz Cero o Nula

El valor del determinante de la matriz Cero o Nula tiene el valor de 0.

|0| =


|0|

000

000

000

53


Determinante de la matriz Diagonal

El valor del determinante de la matriz Diagonal es el valor del producto algebraico de los valores de los elementos de la diagonal principal.

|H| = Hh11 h22 h33 h44......


H]=

|H| =H

500

040

0010

54


Determinante de la matriz Escalar

El valor del determinante de la matriz Escalar es igual a (k)n donde n es el orden de la matriz Escalar y k el valor de la diagonal principal.

Calcular el determinante de:[S] =

|S| = S(2)n = (2)3 = 8

200

020

002

55


Determinante de la matriz Triangular Superior

El valor del determinante de la matriz Triangular Superior es igual al producto algebraico de los valores de los elementos de su diagonal principal.

|K| = Kk11 k22 k33 k44......


[K]=

|K| =k

500

540

7401

56


Determinante de la matriz Triangular Inferior

El valor del determinante de la matriz Triangular Inferior es igual al producto algebraico de los valores de los elementos de su diagonal principal.

|K| = Kk11 k22 k33 k44......


[K]=

|K| =k

569

047

001

57


Rango r de una matriz

Para matrices cuadradas que [A] [0] Es el orden del determinante de valor diferente de cero, el orden de

ese determinante debe ser el de mayor orden de la matriz A]La matriz cero [0] tiene r = 0Ejemplo

141324

121120

6610[A] =

r= 3 ya que |A| 0

58


Rango r de una matriz

Ejemplo: Calcular el rango de

El rango r no es 3 (orden de [A]) ya que |A| = 0

Entonces se procede a revisar si por lo menos uno de los 9 determiantes de segundo orden tiene valor diferente a cero.

Y el menor de a11 = = -32 y el orden es 2

Por lo tanto el rango de A]es r =2

42424

22020

61010

[A] =

424

220

59


Matriz Singular Es una matriz de orden n en la cual se cumple que: r < n

Ejemplo: De la matriz Determinar si la matriz es singular

Como |A| = 0 y a21 = y el orden es 2

Entonces r = 2 por lo que 2 < 3La matriz es Singular

141324

662

662

[A]=

1413

66

60


Matriz No Singular

Aquella matriz de orden n en la cual se cumple que:

r = n

El rango de la matriz es igual al orden de la matriz

Ejemplo: De la matriz [A]=

Determinar si la matriz es no singular

Como |A| 0 Entonces r = 3 entonces 3 = 3

La matriz es No Singular

141324

121120

6610

61

MATRICES Y DETERMINANTES 5.5. Matriz Inversa

Matriz Inversa

Si [A] y [B]-1 son matrices cuadradas, conformables para la

multiplicación, la matriz Inversa [B]-1 es aquella que cumple con:

[A] x [B]-1 = [B]-1 [A] = [ ]

A la matriz [B]-1 se le llama matriz Inversa de [A]

Ejemplo de matrices Inversas:

421

331

321

101

011

326x =

100

010

001

62

MATRICES Y DETERMINANTES5.5. Matriz Inversa

Matriz Adjunta

Es aquella matriz que se forma de una matriz cuadrada.La manera de construirla es la siguiente:1. Construir la matriz de cofactores. cofactores[M] 2. Transponer la matriz de cofactores. ( cofactores [M] )T

adj [A] = ( cofactores [M] )T

63


Matriz Adjunta

Ejemplo

Sea una matriz [A])=

Con su correspondiente matriz de cofactores

cofactores [M] =

Entonces adj [A] =

572

024

331

14126

13116

242010

141324

121120

6610

64


Propiedades de la Matriz Adjunta

[A] x adj [A] = (| A |) [ EjemploSea [A]= |A| = - 2 y adj [A] =

Entonces:

x

572

024

331

100

010

001

= ( -2)

141324

121120

6610

572

024

331

141324

121120

6610

65


Propiedades de la Matriz Adjunta

La Matriz Adjunta de un producto matricial es igual al producto de las adjuntas de las matrices

adj ( [A] x [B] ) = adj [B] x adj [A]

66


Matriz Inversa por medio de la Matriz Adjunta

Con base en el concepto de Matriz Adjunta se tiene que

[A] x adj [A] = | A | [ ]Si [A] es no singular entonces | A |=0 despejando:

[A] = []

Entonces [A] –1 =

||][

AAadj

||][

AAadj

67

MATRICES Y DETERMINANTES 5.5.2. Matriz Inversa

Ejemplo

Calcular la Matriz inversa por medio de la matriz adjunta

Sea [A] = y la Adj [A] = y |A| = - 2

Entonces [A] –1 =(-1/2)

572

024

331

141324

121120

6610

141324

121120

6610

68


Transformaciones elementales en una matriz....

Al realizarse las transformaciones elementales en una matriz, no se cambia el valor del orden ni del rango de la matriz.

Se k un escalar diferente a 0

1. El intercambio de filas. Ejemplo intercambiar los elementos de la fila uno por los elementos de la fila tres.

2. El intercambio de columnas. Mismo concepto de las filas.

3. La multiplicación de cada elemento de una fila por un escalar k .

69


Transformaciones elementales en una matriz

4. La multiplicación de cada elemento de una columna por un escalar k.

5. La suma a los elementos de una fila de k veces los correspondientes elementos de otra fila.

6. La suma a los elementos de una columna de k veces los correspondientes elementos de otra columna.

70


Matrices Equivalentes

Dos matrices [A] y [B] son equivalentes, si una puede ser obtenida de la otra por una secuencia de transformaciones elementales.

Se denotan como [A] [B]

Ambas matrices tienen el mismo orden y el mismo rango

71


Matriz Inversa por medio de Transformaciones elementales

Pasos:

1. A la matriz [A] cuadrada, de orden m se le agrega en la parte derecha la matriz identidad, de orden m .

[ [ A ] [ ] ] quedando una matriz aumentada

2. Por medio de transformaciones elementales, se obtiene la matriz identidad [] en el lugar en que estaba la matriz [A].Y en el lugar en que estaba la matriz [ ] queda la matriz inversa[ [ ] [ A ]-1 ]

72


Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales….

Sea [A] =1. Se forma la matriz aumentada [ [ A ] [ ] ] =2 Se realizan las transformaciones elementales para obtener [] Se intercambian los renglones 1 y 2

2da fila = 2da fila + 3 1era fila

10

01

45

13

01

10

54

31

31

10

74

01

41

53

73


Ejemplo Matriz Inversa por Transformaciones Elementales….

2da fila = (-1/7) 2da fila

1a fila = 1a fila –4 2da fila

[ A ]-1=

7/37/1

7/57/4

7/31

7/10

14

01

7/37/5

7/17/4

10

01

74

MATRICES Y DETERMINANTES Bibliografía

75

matrices y determinantes

Education

matrices y determinantes5

y b c i

matrices suma

matrices producto

n matriz

matrices resta

ejemplo b

j b i