matrices dodecafónicas

5/25/2018 Matrices Dodecafnicas

1/19

Matrices Dodecafnicas:

Abro un nuevo hilo, aconsejado por Fnix, para que podamos realizarlos trabajos de matrices dodecafnicas y poder colgar aqu los trabajosque saquemos con este proceso:

Pongo el recopilatorio del mtodo para componer msicadodecafnica serial usando el sistema de matrices dodecafnicasestandarizado por Boulez en sus obras "Estructuras para Piano I y II".

1- Debemos disear una serie que contenga las 12 sonidos de laescala en el orden que queramos. Deberemos numerar los sonidos dela serie del 0 al 11, siendo el 0, el Do natural y el 11 el Si natural. Launidad corresponde a un semitono.

Usaremos la siguiente serie como ejemplo

2-A partir de ahora operaremos con los nmeros de nuestra serie yno con sonidos atendiendo a las siguientes reglas:

Para obtener una transposicin o nueva combinacin equivalente deuna serie, es necesario sumar el mismo nmero a todas las notas de

la serie, ese nmero corresponde a semitonos. Como estamos usandoun sistema dodecadecimal, cuando la suma da como resultado unnmero mayor que 11, debemos restarle al resultado 12.

Por ejemplo, mi serie era esta:

2-9-10-5-3-0-11-4-1-6-7-8 Si la transporto 2 semitonos ascendentes
http://www.entre88teclas.es/foro/viewtopic.php?p=8557#p8508http://www.entre88teclas.es/foro/viewtopic.php?p=8557#p8508http://www.entre88teclas.es/foro/viewtopic.php?p=8557#p8508


2/19

quedara as: 2+2= 4, 9+2= 11, 10+2= 12-12= 0, 5+2= 7, 3+2= 5, 0+2=2, 11+2= 13-12= 1, 4+2= 6, 1+2= 3, 6+2= 8, 7+2= 9, 8+2= 10

Conclusin: 4-11-0-7-5-2-1-6-3-8-7-9-10 (Sera una serie queconservara los mismos intervalos pero transportada 2 semitonoshacia arriba).

Si por el contrario, quiero restarle dos semitonos, hara la mismaoperacin, restara el mismo dgito a todos los nmeros de la seriepero ante resultados negativos, hay que sumar 12:

2-2= 0, 9-2= 7, 10-2= 8, 5-2= 3, 3-2= 1, 0-2= -2+12= 10, 11-2= 9, 4-2=2, 1-2= -1+12= 11, 6-2= 4, 7-2= 5, 8-2= 6

0-7-8-3-1-10-9-2-11-4-5-6 (Sera una serie que conservara losmismos intervalos pero transportada 2 semitonos hacia abajo).

3-Creamos la primera matriz, la Matriz Original (O), denominada asporque se construye a partir de nuestra serie original, la que hemoscreado. Organizamos primero una fila y columna con nuestra serieoriginal


3/19

A partir de aqu rellenamos toda la matriz conociendo la proporcin desemitonos que hay entre cada una de las filas, dadas por la columna.

Aplicamos las operaciones de suma y resta que ya hemos visto.

Usamos las proporciones a partir de la serie original (primera fila) perorecordamos que todas las filas y columnas son proporcionales entre s,por lo que podemos tomar como referencia para operar siempre la filao columna que mejor nos convenga. Por ejemplo si estamosrellenando la fila 10 de nuestra matriz y nos damos cuenta que la fila11 es la fila 10 + 1, entonces es mas sencillo hacer esta operacin quemirar la proporcin que tiene con la fila original, que en nuestro caso


4/19

es +5. En cualquier caso, cuando hayamos rellenado todas las casillashabremos obtenido la matriz original, donde todas las filas y columnasson transportes de la serie original.

4- La segunda matriz es la Matriz Retrgrada (R), denominada asporque se construye a partir de la serie retrgrada. La SerieRetrgrada, es nuestra propia serie pero leda de derecha a izquierda,o sea, comenzandola desde el final:

Mi serie original era: 2-9-10-5-3-0-11-4-1-6-7-8

La serie retrgrada quedara: 8-7-6-1-4-11-0-3-5-10-9-2

Para construir la matriz hacemos como la matriz original, ponemos lafila y la columna con la serie retrograda:


5/19

Luego aplicamos de nuevo las operaciones que ya conocemos paraconstruir la matriz completa. Pero si somos un poco espabilados, nosdaremos cuenta que la Matriz Retrograda es una Matriz simtrica a laOriginal en la que se cambian el orden a las filas para que la primeracolumna coincida con la serie retrograda.

5-La Matriz Inversa (I), es la tercera matriz. la Matriz Inversa es laque se construye a partir de la inversin de la serie original. Una serie


6/19

invertida es aquella que se construye con los intervaloscomplementarios de la serie original. Por ejemplo. si entre la primera ysegunda nota de la serie original hay un intervalo de 3 Mayor, en laserie Invertida, entre la primera y segunda nota habr una 6 menor,osea, sumando ambos intervalos obtenemos 5 tonos y 2 semitonos (laescala completa). El resultado final es que la Serie Invertida estotalmente simtrica a la Original:

Serie Original:

Serie Inversa:

Para construir una serie inversa, slo tenemos que coger un numerocualquiera y a dicho nmero restarle nuestra serie. Aplicamosentonces las reglas de operacin que ya hemos visto, si el resultadoes negativo, sumamos 12, si este es mayor que 11, entoncesrestamos 12. Boulez en sus estructuras comienza la serie inversa conla misma nota que su serie original, para ello, el numero al querestaremos nuestra serie ser el doble del primer nmero de la serieoriginal: Me explico

La serie original es: 2-9-10-5-3-0-11-4-1-6-7-8

Para que la serie inversa comience por 2, igual que la original,

debemos al doble de 2 (4), restarle toda la serie:

4-2=2, 4-9= -7 +12=7, 4-10= -6+12= 6, 4-5= -1+12= 11, 4-3= 1, 4-0= 4,4-11= 5, 4-4= 0, 4-1= 3, 4-6= -2+12= 10, 4-7= -3+12= 9, 4-8= -4+12= 4

2-7-6-11-1-4-5-0-3-10-9-8


7/19

Una vez que tenemos la serie inversa, ya solo tenemos que construirla Matriz Inversa como ya hemos aprendido con las otras.

6-La cuarta y ltima matriz es la Matriz Retrgrada Inversa (RI). Seconstruye a partir se la serie retrgrada inversa. Cogemos la serieinversa que construimos en el apartado anterior. Hacemos una serieretrgrada a partir de ella y construimos la matriz.

Hasta aqu nos quedamos, en este hilo desvelaremos los lltimospuntos para crear nuestra composicin musical.

Para ahorrarnos trabajo, hay una web que pongo a continuacindonde, introduciendo nuestra serie original, onbtendremso una Matrizque es combinacin de las 4. Podemos usar la web para ir ms rpido.

En cualquier caso, en los puntos anteriores se explica como realizarlas matrices de forma manual. Aconsejo hacer con el mtodo manualal menos 2 ya que necesitaremos las diagonales puras de las matricespara puntos siguientes, y estas diagonales no aparecen en la matrizde la web:

Anlisis de la Suite para piano op.25, de A. Schoenberg

Estructura de la serie

Para lograr la ruptura con el pasado partiendo de ste, ArnoldSchoenberg articula los doce sonidos de la serie dodecafnica en trestetracordos, enlazados por medio del intervalo de cuarta aumentada(este intervalo ser determinante en la segunda escuela de Viena,

puesto que cuenta con una funcin estructural; no debemos olvidarque es el nico intervalo que se mantiene igual una vez invertido).Adems, entre la ltima y la primera nota de la serie, existe tambin unintervalo de cuarta aumentada. Cabe sealar, que no es una seriesimtrica, tcnica que emplean habitualmente los compositoresdodecafnicos, y muy especialmente los de la Segunda Escuela deViena, pero contiene todos los elementos propios del serialismo
http://quomusic12.brinkster.net/sulponticello/H001ASSP/articulo_dtlle.asp?REVart_ID=46&REVnum_ID=2http://quomusic12.brinkster.net/sulponticello/H001ASSP/articulo_dtlle.asp?REVart_ID=46&REVnum_ID=2


8/19

dodecafnico.

Figura 1

Comenzaremos analizando el ltimo tetracordo. Los cuatro sonidos ennotacin germnica son H, C, A, B, con lo que Schoenberg se ancla ala tradicin, ya que retrogradando la serie aparece el nombre delCantor de Leipzig, B A C H.

Figura 2

Vamos a deducir el posible razonamiento que sigui Schoenberg a lahora de completar esta serie. Es posible que planteara primero sultimo tetracordo (la firma de BACH), y desarrollara el resto de la seriedespus, por tanto, una vez que tenemos el ltimo tetracordo nosquedan ocho notas con las que escribir el resto de la serie. Pareceevidente que la primera nota ser Mi, ya que de esta forma seconsigue un intervalo de tritono entre la ltima y la primera notas de laserie [Sib-Mi], lo cual nos asegura una buena articulacin estructural.La segunda nota ser aquella que forme la mayor disonancia posible

con Mi, es decir Fa, que genera un intervalo de segunda menor. Latercera nota ser aquella que forme el segundo intervalo msdisonante, es decir Sol, que forma una segunda mayor, mientras quela cuarta nota ser aquella que forme el siguiente intervalo msdisonante, en este caso un intervalo de cuarta aumentada-quintadisminuida, o lo que es lo mismo, Reb.


9/19

Figura 3

Una vez analizados los tetracordos primero y ltimo, slo nos quedancuatro notas que secuenciar: Re, Mib, Solb y Lab. Se puede observar

que dos de ellas tienen su posicin determinada de antemano, se tratade Re y Lab, ya que son las nicas que pueden generar un intervalode cuarta aumentada-quinta disminuida y por tanto han de cerrar elsegundo tetracordo, como se cerr el primero con este intervalo. Tanslo queda establecer cul es el orden en que aparecern, yestructuralmente es ms interesante que el orden sea LabRe, ya quede esta forma est a distancia de semitono ascendente en relacin alintervalo de 4A que cerraba el tetracordo anterior (SolReb). Portanto, nicamente nos resta determinar el orden de las notas que nosquedan para acabar la serie, se trata de Solb y Mib. En este caso,parece conveniente no repetir intervalo, por lo que la nota elegida paraenlazar con el primer tetracordo ser Solb, la cual genera un intervalode 4J.

Figura 4


10/19

Anlisis intervlico de la serie

Si analizamos esta serie a nivel intervlico (vase la figura 5),encontramos que el intervalo central (4J), va a funcionar como unpivote entre los nicos intervalos paralelos que existen, los de 2m (el

primero y el ltimo, que se pueden ver sealados en el siguientegrfico con flechas). Ya hemos comentado que es una serieasimtrica, pero si hacemos una suma de intervalos, encontramos unaprogresin que va de 4 a 7 (4-5-6-7-7), desde los extremos endireccin al intervalo central, lo que da una cierta tendencia centrpetaa la serie.

Figura 5

Obsrvese que el mayor porcentaje es para el intervalo msdisonante, 2m y para el de 3m, ambos bsicos para su sistemaconstructivo. Los intervalos de 4 estn equilibrados en nmero, tantoJusta como Aumentada. En la tabla de intervalos, se puede ver elporcentaje de cada uno. Slo se analizan aquellos que van desde la

2m hasta la 4A, ya que a partir de este intervalo, el resto se tomacomo inversiones de los originales (un intervalo de 6m es un 3M, unintervalo de 7M es uno de 2m, etc). Es interesante comprobar como elnico intervalo que no aparece (el de 3M), es en realidad la baseestructural de un ya caduco sistema tonal bimodal.


11/19

Figura 6

La matriz dodecafnica

A la hora de analizar o componer con una serie, es imprescindiblecrear la matriz dodecafnica. Una matriz es una tabla con todas lasposibles series que surgen de tomar la serie original (O), retrogradada(R), invertida (I) e invertida y retrogradada (IR), desde cualquiera delas doce notas [ v. Nota 1 ].

Figura 7
http://quomusic12.brinkster.net/sulponticello/H001ASSP/articulo_pags.asp?REVart_ID=46&ref=3&REVnum_ID=2#nota1http://quomusic12.brinkster.net/sulponticello/H001ASSP/articulo_pags.asp?REVart_ID=46&ref=3&REVnum_ID=2#nota1http://quomusic12.brinkster.net/sulponticello/H001ASSP/articulo_pags.asp?REVart_ID=46&ref=3&REVnum_ID=2#nota1


12/19

En esta pieza Schoenberg slo emplea 4 series de las 48 posiblespermutaciones que ofrece esta matriz. Son las siguientes: O0, O6, I0,I6, que resultan ser las cuatro permutaciones que componen las filas ycolumnas de los extremos (en la matriz, destacadas en negrita y gris).Esto permite que la primera y ltima nota de cada serie sean siempreMi y Sib, es decir, el intervalo de tritono, que junto con los intervalos de


13/19

2m y 3m (los que tienen mayor presencia en esta serie), son la baseestructural del evangelio compositivo schoenbergiano.

A continuacin analizaremos el Preludiode la suite, parte con la quecomienza esta obra para piano de Schoenberg.

Anlisis del Preludio

En los primeros compases de la primera pieza de la Suite, el Preludio,encontramos un ejemplo del uso del tritono desde el punto de vistacontrapuntstico. La mano derecha presenta la serie original (O0),mientras que la mano izquierda realiza un contrapunto a distancia detritono (O6).

Figura 8

La nica opcin para evitar un comienzo a distancia de tritono, seraelegir la serie invertida (I0 que comienza en Mi), pero Schoenberg hatomado solo 4 permutaciones de esta matriz para emplear el tritonocomo el pivote sobre el que estructurar toda la obra.

A lo largo de la obra Schoenberg trabaja la tcnica de concatenacin


14/19

de series, que consiste en emplear la ltima nota de una serie comoprimera de la siguiente. En la figura 9, Mi (ltima nota del comps XX)es la ltima de la permutacin I6 y tambin la primera nota de la I0. Yel Sib del comps XX es la ltima nota de la serie O0 y la primera de laI6.

Figura 9

En el fragmento que acabamos de ver, la secuencia que ha elegidoSchoenberg es la siguiente: I6 I0 O0 I6. Esto le premite hacer lasdos concatenaciones posibles, ya que no es posible concatenar lasseries I0 y O0 por no tener nota de final y comienzo comn. Sinembargo entre estas serie va a tomar una nota comn, ya que el Solben la mano izquierda pertenece a la serie I0 (8) y a la O0 (5).

Figura 10

Durante toda la obra, el tercer tetracordo de la serie original (O0) tieneun tratamiento destacado, ya que el anagrama BACH va a trabajarsesobre variaciones tanto rtmicas como tmbricas. Schoenberg va abuscar algn procedimiento que le permita destacar estas cuatro notasentre las otras voces.


15/19

En los primeros compases del Preludio lo hace por medio de unespecial tratamiento de la dinmica, que le permite diferenciar unostetracordos de otros ya que cada grupo tiene su propia asignacin. Enrealidad est haciendo un crescendo en la mano derecha y undecrescendo en la mano izquierda, por lo que destaca de forma muysencilla el anagrama. En forma grfica quedara de la siguientemanera:

Figura 11

Variaciones sobre el anagrama HCAB

Bsicamente Schoenberg trabaja cuatro tipos de variaciones sobre elanagrama HCAB [ v. Nota 2 ]: En acorde, en bajo, en tiple y a solo,empleando la dinmica en aquellos momentos en que el anagrama nodestaca por s mismo. A continuacin tenemos un ejemplorepresentativo de cada tipo de variacin, si bien cabe sealar que elanagrama en bajo, es el tipo ms frecuente.

Figura 12Anagrama en acorde

Como se puede ver en la figura 12, para destacar el anagrama HCAB,
http://quomusic12.brinkster.net/sulponticello/H001ASSP/articulo_pags.asp?REVart_ID=46&ref=6&REVnum_ID=2#nota2http://quomusic12.brinkster.net/sulponticello/H001ASSP/articulo_pags.asp?REVart_ID=46&ref=6&REVnum_ID=2#nota2http://quomusic12.brinkster.net/sulponticello/H001ASSP/articulo_pags.asp?REVart_ID=46&ref=6&REVnum_ID=2#nota2


16/19

proporciona un mayor nivel dinmico al ltimo tetracordo, que en estecaso est en la mano derecha.

Figura 13Anagrama en el bajo

Se puede observar que la voz del bajo se destaca de forma natural,debido al carcter meldico que tiene (ligado), frente a una serie de

notas que desarrollan un contrapunto rtmico en la mano derecha.

Figura 14Anagrama en el tiple

En el caso del tiple, todas las voces van en la misma dinmica, ya queen aqu no es necesario ningn recurso para destacar una voz tanaguda.

Figura 15Anagrama a solo


17/19

El bajo a solo, asciende por regiones de octava. Adems recupera eltempo, cambia de comps y realiza un brusco cambio de dinmica, locual le hace destacar an ms.

La constatacin de la disolucin de la tonalidad es uno de loslogros evidentes de Arnold Schoenberg que, junto a susdiscpulos Alban Berg y Anton Webern, sentaron las bases de laevolucin de la msica en el siglo XX.Comprender estas propuestas estticas es dar un paso ms enel entendimiento de la modernidad en la msica.

En este curso se tratan aspectos tan fundamentales como elcontexto histrico en el cual se desarrolla la visin esttica deestos creadores, la relacin de la msica con otras artes como lapintura, la literatura o la arquitectura. El grueso del curso secentra en el anlisis de la sistematizacin terica de la rupturatonal: la dodecafona.

Atonalismo / Serialismo / Dodecafonismo

La Msica atonal del Expresionismo lleg a una

situacin catica al haber prescindido de la

funcin ordenada que anteriormente haba


18/19


19/19

matrices dodecafónicas

Documents

serie yno

siguiente serie

serie original primera

matriz original

fila original

primera matriz

semitonos ascendenteshttp

mismo nmero