CORRIGEDEL’EPREUVEDEMATHEMATIQUES

AUBACCALAUREAT

FILIERESCIENTIFIQUE2012

EXERCICE3:(laconstanted’Euler)

PartieA

1)  D’unepartonalim →∞1 +1=0etd’autrepart,enmettantlestermesdeplushaut

degréenfacteuronalim →∞ +1=1.Ducoup,parcontinuitédelafonctionlogarithme

en1,ondéduitquelim →∞ln +1=0puisquelim∞ =0

2)  D’abord, estdérivablesur =1;∞commeproduitdefonctionsdérivablessur .On

peutdoncdériverlafonction :

′  =1 +1′ +ln +1′ =−1 +12+ +1− +12 +1=−1 +12+1 +12 +1 =− + +1 +12=1

+12

Pourtout de , +12>0donc ′  >0donc estcroissantesur

3)  Grâceàlaquestion1)onsaitque tendvers0enl’infinietgrâceà2)onsaitque croît

sur doncpourtout de , <0

PartieB

1)  Si =3alors =0+11+12+13=116

2)  Ilsuffitderecopierl’algorithmeetdechangerladernièreligne«Afficher »en:

Afficher −ln(  )

3)  Ilsembleraitquelasuite(  ) ∈ℕsoit.décroissante

PartieC

1)  Pourtout ∈ℕ∗  , +1− = =1 = +11 −ln +1− =1 = 1 −ln

= =1 = +11 − =1 = +11 +ln −ln +1

=1 +1+ln +1=

OnavuenA)3)quepourtout de , <0doncpourtout ∈ℕ∗  , +1− <0

Etonconclutque(  ) ∈ℕestdécroissante

2)  a)Ona ≤  ≤  +1⇒1 +1≤1 ≤1 carlafonctioninverseestdécroissantesurℝ+∗ 

doncenparticulier,pourtout ∈ ; +1,1 −1 ≥0puis,parpositivitédel’intégraleaux

bornesbienrangéesd’unefonctionpositive,onconclutque +11 −1 ≥0

Deplus,parlinéaritédel’intégrale, +11 − +11 ≥0et

+11 =1 +1 =1 cequinousamèneàl’inégalitédemandée: +11 ≤1

Enfin,lecalculdel’intégrale +11 =ln +1=ln +1−ln ,nouspermetd’affirmerque

ln +1−ln ≤1 quel’onnoteinégalité(1)

b)Ensommantdepartetd’autrelestermesdel’inégalité(1)onobtient:

=1 = ln +1−ln ≤  =1 = 1 pourtout ∈ℕ∗ 

⇒ln +1≤  =1 = 1 carlapremièresommeesttélescopique

Soitl’inégalitédemandée:Pourtout  ∈ℕ∗  ,ln +1≤1+12+…+1

c)Ducoup,comme < +1⇒ln <ln +1parcroissancedelogsurℝ+∗ ,ontirede

l’inégalitéprécédente:0≤  =1 = 1 −ln +1≤  =1 = 1 −ln =

doncPourtout  ∈ℕ∗  , ≥0

 

3)  D’aprèscequiprécèdeonadémontréquelasuite(  ) ∈ℕétaitdécroissanteet

minoréepar0,donc,d’aprèslethéorèmedessuitesmonotone,(  ) ∈ℕconverge

EXERCICE2:(Probabilité)

1)  a)Voicil’arbrepondéré:

b) 1= × 1=0,4×0,7=0,28

c) = ∩ 1∩ 2=0,07 donc,comme =1− ,alorsonconclutque =1−0,07=0,93

2)  a)Onrépète5foisdefaçonindépendanteuneexpériencealéatoireàdeuxissues;

recruté,avecuneprobabilitéde0,07,ounonrecruté,avecuneprobabilitéde0,93.

Cetterépétitiondefaçonindépendanted’uneexpériencedeBernouilliassureà de

suivreuneloibinomialedeparamètres =5et

=0,07.

b)Onadonc = =5  (1− )5− .Donc

=2=520,072×0,933=0,039

3)  Appelons lenombrededossiersrecherchés.

Laprobabilitéd’embaucheraumoinsun

candidatest1−0,93 .Onveutque1−0,93 ≥0,999donconrésoutcetteinégalité:

1−0,93 ≥0,999⇔1−0,999≥0,93

⇔ln0,001≥ ln0,93carlogcroîtsurℝ+∗ etln =

⇔ln0,001ln0,93≤  carln0,93<0

⇔ ≥96

Donclenombrededossiersàtraiterestauminimumde96

EXERCICE1:

1)  Lacourbe représentativede la fonctiondérivée ′ dela fonction est en-dessousde

l’axedesabscissessur−3;−1cequiéquivautàpourtout  ∈−3;−1, ′  ≤0.

2)  Parlemêmeargument,commelacourbeestau-dessusdel’axedesabscissessur−1;2,on

apourtout ∈−1;2, ′  ≥0cequiéquivautà croîtsurl’intervalle−1;2.

3)  Grâceauxraisonnements ci-dessusonpeutdéduireque décroîtsur −3;−1etqu’elle

croîtsur−1;2,deplusona 0=−1doncpourtout de−1;0, ≤−1.

4)  Donnons l’équation de la tangente au point d’abscisse 0 sachant que ′ 0=1 et que

0=−1: =1× −0+−1 soit = −1. Si =1 alors =0 ce qui revient à affirmer que la

tangentepasseparlepointdecoordonnées(1;0)