mathématiques financières -cours et exerces corrigés

Mohamed DIOURIDocteur Ingnieur

Prsident Fondateur de lIGA

Adil ELMARHOUMDocteur en statistique et informatique applique

Professeur Habilit Universit Mohamed V Agdal

MATHEMATIQUES FINANCIERESCours et exercices avec solutions

Collection Sciences Techniques et Managements des ditions TOUBKALPublications du Centre de Recherche en Gestion (CRG) de lIGA

MATHEMATIQUES FINANCIERESCours et exercices avec solutions

Tous les droits sont rservs

Dpt lgal N 2008/1648I.S.B.N. : 9981 25 587 4

Les livres de la collection Sciences Techniques et Managementsont co-dits par les ditions TOUBKAL et lInstitut suprieur du Gnie Appliqu, IGA.

A la mmoire de Myriam

PREFACE

Trs curieusement les mathmatiques financires ne sont que peu enseignes etne font lobjet que de trs peu douvrages et de manuels alors quellespourraient tre utiles tout le monde.

- peu enseignes : par exemple, les lycens qui, en France et auMaroc, suivent la formation conomique), et a fortiori les autresformations menant aux baccalaurats gnraux, S ou L, (Scientifiqueou Littraire), nont aucun enseignement en ce domaine. Il fautattendre les formations de lenseignement suprieur, et bien souvent,bac+3 voire bac+5, pour que les tudiants aient les mathmatiquesfinancires leur programme et, encore, dans des filiresspcialises telles que conomie, gestion ;

- peu douvrages : alors que dans beaucoup de domaines delconomie, de la gestion ou du management il y a plthore demanuels ,15 ou 20 voire 30 ou plus, pour certaines matires, lesmanuels de mathmatiques financires, en franais, se comptent surles doigts et encore sans doute dune seule main

- Utiles tout le monde : elles permettent de rpondre de multiplesquestions telles que par exemple :

. par rapport au paiement comptant, la proposition qui mest faitede payer en x fois, correspond quel taux dintrt sur le crdit quime serait ainsi fait ?

. Jenvisage dacheter un appartement en vue de le louer, quelloyer mensuel devrais-je fixer pour obtenir un rendement de y % ?

. Quel est le rendement effectif de telle obligation ?

. etc

Dans ce manuel sont traits les principes de base et les aspects essentiels desmathmatiques financires. La premire partie est consacre au court terme :intrt simple et escompte intrt simple. La seconde partie concerne lemoyen et le long termes : intrts composs, annuits, emprunt indivis,emprunts obligataires, rentabilit des investissements. Des exercices, avecleurs solutions, clturent chaque chapitre, permettant ainsi aux tudiants desentraner sils le souhaitent.

Mais si cet ouvrage est en priorit destin aux tudiants, il peut galement treutile toute personne qui veut prendre ses dcisions en toute connaissance decause. En effet, il est clair, pdagogique, dtaill, ltudiant, et plusgnralement le lecteur est ainsi conduit pas pas, de nombreux exemplesillustrant les diffrents points traits. Les dmonstrations plus complexes, voireacadmiques, sont renvoyes en notes de lecture, ce qui est pdagogiquementexcellent, puisque seuls les tudiants suffisamment forms en mathmatiquespeuvent les aborder, les autres sont invits les admettre, ce quils fonthabituellement avec aisance !

Le lecteur, quel quil soit, tudiant ou non, peut faire entire confiance auxauteurs dont les comptences en mathmatiques sont certaines. Adil ElMarhouh, ingnieur dEtat en statistique et informatique, est enseignantchercheur lUniversit Mohamed V Agdal. Mohamed Diouri, docteuringnieur, diplm de luniversit franaise, est professeur et animateur desminaires. Lun et lautre sont auteurs de manuels, notamment dans lesdomaines des statistiques et des probabilits, de llectronique, et, pourMohamed Diouri, du management.

Je flicite les auteurs pour la qualit de cet ouvrage qui, je nen doute pas,sera trs utile aux tudiants et tous les lecteurs qui ont des dcisions prendre en matire financire.

Nicole GautrasProfesseur de Sciences Economiques lUniversit de ToursDoyen Honoraire de la Facult de Droit et Economie de Tours

SOMMAIRE

AVANT PROPOS 9

1ERE PARTIE : MATHEMATIQUES FINANCIERES A COURT TERME 11CH. 1. Lintrt simple 13CH. 2. Lescompte intrts simples 53

2EME PARTIE : MATHEMATIQUES FINANCIERES A MOYEN TERME 89CH. 3. Lintrt compos 91CH. 4. Les annuits 127

3EME PARTIE : MATHEMATIQUES FINANCIERES APPROFONDIES 169CH. 5. Lemprunt indivis 171CH. 6. Lemprunt obligataire 213CH. 7. La rentabilit des investissements 239

TABLES FINANCIERES 267

BIBLIOGRAPHIE 303

LISTE DES OUVRAGES 305

TABLE DES MATIERES 307

Cours de mathmatiques financires

9

AVANT PROPOS

Le prsent livre est un cours magistral de mathmatiques financires conformeaux programmes denseignement des premires annes des universits et des

coles publiques et prives de lenseignement suprieur.

Chaque chapitre est organis comme suit :

- Des paragraphes consacrs aux diffrents points relatifs aux chapitres avecun ensemble dexemples dapplication qui font office dexercices corrigs ;

- Des exercices dapplication proposs avec indications des rsultats sanspour autant donner les solutions ;

- Des notes de lectures qui compltent les chapitres par des rflexions et desdmonstrations proposes aux tudiants et professeurs qui dsirentapprofondir leurs connaissances en mathmatiques financires.

Cours de mathmatiques financires

10

Nous esprons, par un tel ouvrage, contribuer enrichir le palmarsmarocains des livres de mathmatiques financires, palmars qui est djassez riche et qui ne nous pas dissuader dajouter une autre contribution.

Les auteurs

Mohamed DIOURI Adil ELMARHOUM

Mathmatiques financires

11

PARTIE 1

MATHEAMTIQUES FINANCIERESA COURT TERME

Le court terme, en finance, nedpasse pas lanne. Il se compte, enjours, en mois, en trimestres, etc.Les mathmatiques financires, court terme, se dduisent dune seuleet unique formule.

La formule fondamentale de lintrtsimple :

I = C n t

Mathmatiques financires

12

Mathmatiques financires 1. Lintrt simple

13

CHAPITRE 1LINTERET SIMPLE

1.1. DEFINITIONS.

Le taux dintrt simple est lintrt que rapporte un DH pendant une priode, cest--direen gnral, lanne. Ainsi un taux t = 8% = 0,08 veut dire que 1 DH rapporte (ou produit) unintrt de 0,08 DH pendant une anne.

De cette dfinition simple, dcoule la rgle pour calculer lintrt produit par un capital Cpendant n priodes. En effet il suffit de multiplier le taux dintrt t par C et par n, ce qui donnela Formule fondamentale de lintrt simple :

txnxCI (1)

Avec :

- I : Intrt produit par C pendant n priodes ;

- C : capital prt ;- n : nombre dunits de temps (n annes) ;- t : le taux d'intrt simple, pour une anne.

Remarque 1 : La formule (1) diffre de la formule quon trouve, habituellement, dans certainsouvrages de mathmatiques financires, savoir la formule suivante :

100tnCI (2)

En effet, la diffrence entre les formules (1) et (2) vient du fait que :-dans la formule (1), le taux dintrt est pris pour sa vraie valeur mathmatique,

savoir, par exemple, si t = 7% on prendra t = 0, 07 ;-dans la formule (2), le taux dintrt nest pas pris pour sa vraie valeur

mathmatique, cest--dire que par exemple, pour t = 7% on prendra la valeur t = 7, tantdonn que le produit n x C x t est dj divis par 100.


14

Nous avons, pour notre part, privilgi, lexpression (1), celle de la notation qui noussemble mathmatiquement parlant, la plus relle.

Toutes les formules que nous manipulerons, dans les chapitres de cette 1 partie, serontdes formules dduites de la formule fondamentale (1) de lintrt simple. Ainsi, toute cette 1partie est base sur une seule formule, la formule (1).

La formule (1) donne lintrt I que lemprunteur doit dbourser, au bout de n annes :tnCI . Le calcul des intrts simples nintervient, en principe, que pour le court terme,

cest--dire, pour des priodes infrieures une anne (quelques jours ou quelques mois) car,comme nous le verrons, dans la 2 partie, pour des priodes qui dpassent lanne, on calcule,habituellement, des intrts composs. Dans ces conditions, et pour des dures de court terme,comptes en mois, quinzaines, jours, etc., nous utilisons des formules qui sont dduites de laformule (1) :

Priodes dcomptes en mois : Si la dure est exprime en mois, n mois, parexemple, comme n mois quivalent (n/12) annes, la formule fondamentale (1) devient :

12tnCt

12nCI (3)

Priodes dcomptes en quinzaines : Si la dure est exprime en quinzaines, nquinzaines, par exemple, comme n quinzaines quivalent (n/24) annes, la formulefondamentale (1) devient :

24tnCt

24nCI (4)

Priodes dcomptes en jours : Si la dure est exprime en jours, n jours, parexemple, comme n jours quivalent (n/360) annes (lanne commerciale tant de 360 jours),la formule fondamentale (1) devient :

360tnCt

360nCI (5)

Les formules des intrts simples (1), (3), (4) et (5) sont des relations entre les 4paramtres, I (intrt simple), C (capital prt), n (nombres dunits de temps) et t (tauxd'intrt simple) ; elles permettent, par consquent, de rsoudre quatre problmes diffrents :dterminer un paramtre, connaissant les trois autres.


15

Pour ce faire, et dans le cas de dures comptes par exemple en jours, on a recours lunedes 4 expressions suivantes :

360tnCI (6)

tnIx360C (7)

nCIx360

t (8) tCIx360

n (9)

Exemple 1 : Calculer lintrt simple que produit un capital de 50 000,00 DH plac intrt simple, au taux annuel de 7%, du 5 avril au 16 octobre de la mme anne :

On commence par dterminer, dabord, la dure de placement en nombre de jours :

Mois Nombre de jours de placementAvrilMaiJuinJuilletAotSeptembreOctobre

30 5 = 25 jours (on exclue la date initiale)31 jours30 jours31 jours31 jours30 jours16 jours (on inclue la date finale)

TOTAL 194 jours

On utilise la formule (6) donnant la valeur de lintrt I en fonction des autres paramtres :

11,8861360

07,019450000360

t.n.CI DH

Exemple 2 : Quel capital faut-il placer, au taux dintrt simple de 5% lan, pendant 25jours pour avoir un intrt de 350,00 DH ?

On utilise la formule (7) donnant la valeur du capital C en fonction des autres paramtres :

DH00,80010005,025

360x350t.nI.360C

Exemple 3 : Quel taux dintrt simple t faut-il appliquer pour quun capital dun montantgal 15 000,00 DH prt pendant 80 jours produise un intrt de 300,00 DH ?


16

On utilise la formule (8) donnant la valeur du taux dintrt t en fonction des autresparamtres :

%909,0800001500,300x360

n.CI.360

t

Exemple 4 : Au bout de combien de temps un capital de 10 000,00 DH plac au tauxdintrt simple de 6,5%, par an, produira un intrt de 325,00 DH ?

On utilise la formule (9) donnant la dure n de placement en fonction des autresparamtres :

jours180065,010000

325360t.C

I.360n

1.2. VALEUR ACQUISE ET VALEUR ACTUELLE.

1.2.1. Dfinition de la valeur acquise.

La valeur acquise CA ou Cn, par un capital plac un taux dintrt simple, pendant npriodes est gale au capital plac C augment de lintrt produit I.

La valeur acquise est donne, par dfinition, par les formules suivantes :

t.n.CCICCCAn

Soit : )t1(CCA (10)

Avec toujours : - CA ou Cn : Valeur acquise ;- I : Intrt produit pendant n priodes ;- C : Capital plac ou prt ;- n : nombre de priodes de placement ;- t : le taux d'intrt simple, pour une priode.

Cette dernire formule (10) devient, dans le cas de priodes comptes, respectivement, enmois ou en jours :

Priodes dcomptes en mois :

12tnCCC

n

= )12nt(1C (11)

Priodes dcomptes en jours :

360tnCCC

n

= )360nt(1C (12)


17

De mme que pour les formules de lintrt simple (3), (4) et (5), les formules (11) et (12)de la valeur acquise, intrt simple, sont des relations qui lient les 4 paramtres C, Cn, t et n ;elles permettent, par consquent, de rsoudre quatre problmes diffrents : Dterminer unparamtre connaissant les 3 autres ; pour ce faire, on a recours aux sries des 4 formulessuivantes :


12tnCCC

n

(13)tn12

C12C n (14)

CnC)(C12t n

(15)tC

C)(C12n n

(16)


360tnCCC

n

(17)tn360

C360C n (18)

CnC)(C360

t n (19)

tCC)(C360

n n (20)

Exemple 5 : Quelle est la valeur acquise par un capital de 20 000,00 DH prt, pendant 35jours, au taux dintrt annuel simple de 7% ?

On utilise la formule (17) donnant la valeur acquise Cn en fonction des autres paramtres :DH11,13620

36007,0350002000020)

360tn1(CIC

nC

Exemple 6 : Quel taux dintrt simple faut-il appliquer pour quun capital de 15 000 DHprt pendant 74 jours ait une valeur acquise, la fin du prt, gale 15 231 DH ?

On utilise la formule (19) donnant le taux dintrt t en fonction des autres paramtres :

%5,71500074

00,231360Cn

)Cn

C(360t

Exemple 7 : Quel capital faut-il placer au taux dintrt simple de 5% pendant 7 mois pouravoir une valeur acquise de 25 367 DH ?

On utilise la formule (14) donnant le capital C en fonction des autres paramtres :

DH10,6482405,0712

2536712tn12

nC12

C


18

Exemple 8 : Au bout de combien de temps un capital de 10 500 DH plac au taux dintrtsimple de 6,5% aura acquis une valeur de 10 949,00 DH ?

On utilise la formule (20) donnant la priode n en fonction des autres paramtres :

jours237065,000,50010

)00,5001000,94910(360tC

)Cn

C(360n

1.2.1. Dfinition de la valeur actuelle.

De mme que nous lavons fait pour la valeur acquise, nous pouvons dfinir la valeuractuelle Ca, dun capital qui atteint la valeur C aprs un placement, un taux dintrt simple t,pendant n priodes, par la formule simple :

tn1CCa (21)

Dans cette relation, C joue le rle dune valeur acquise et Ca celui du capital plac ou prtpuisquon est parti de la relation fondamentale de lintrt simple : C = Ca (1 + n t) pour tablircette dernire relation.

Avec toujours : - Ca : Valeur actuelle ;- C : Valeur du capital aprs n priodes de placement ;- n : nombre de priodes de placement ;- t : le taux d'intrt simple, pour une priode.

Cette formule de la valeur actuelle dun capital devient, dans le cas de priodes donnes,respectivement, en mois ou en jours :

Priodes dcomptes en mois :tn12

C12Ca (22)

Priodes dcomptes en jours :tn360

C360Ca (23)

De mme que pour la formule de la valeur acquise, la formule de la valeur actuelle, intrtsimple, est une relation qui lie les 4 paramtres C, Ca, t et n ; elle permet, par consquent, dersoudre quatre problmes diffrents : Dterminer un paramtre connaissant les 3 autres.


19


tn12C12Ca

(24)12

t)n(12CC a (25)

a

n

Cn)C(C12t

(26)a

n

Ct)C(C12

n (27)


tn360C360Ca

(28)360

t)n(360CC a (29)

a

n

Cn)C(C360t

(30)a

n

Ct)C(C360

n (31)

Exemple 9 : Un capital plac, pendant 5 mois, un taux dintrt simple de 6%, atteint unevaleur de 15 000,00 DH, quelle est sa valeur actuelle ?

On utilise la formule (24) donnant la valeur actuelle Ca en fonction des autres paramtres :

DH15,6341406,051200,0001512

tn12C12Ca

Exemple 10 : Quel taux dintrt simple faut-il appliquer pour quun capital de 20 000 DHprt pendant 60 jours ait une valeur actuelle, au dbut du prt, gale 18 181,82 DH ?

On utilise la formule (30) donnant le taux dintrt t en fonction des autres paramtres :

%698,1980160

)98,1980120000(360Cn

)CC(360t

a

n


20

1.3. INTERET PRODUIT PAR PLUSIEURS CAPITAUX.

1.3.1. Mthode des nombres et du diviseur fixe.

Cette mthode est applique dans le cas de plusieurs capitaux C1, C2, , Ck placs aumme taux dintrt t pendant des dures diffrentes respectives n1, n2,..nk.

Lintrt total produit par les k capitaux si la dure est exprime en jours est :

I tot = I1 + I2 ++Ik.

En remplaant chaque Ik par son expression :

360

tknkC

360

t2n2C

360

t1n1CTotI

t

360

k

1i iCin

TotI (32)

Si lon pose le nombre : iCiniN et t360D

On appelle D : diviseur fixe

Lexpression (3) devient une expression qui rend les calculs trs simples :

D

NI

k

1ii

Tot

(33)

Exemple 11 : Soit calculer lintrt produit par les trois capitaux suivants, placs intrtsimple, au taux annuel de 6%.

1 capital : 35 000 DH plac du 1er Avril au 15 Juillet de la mme anne ;2 capital : 40 000 DH plac du 1er Avril au 25 Aot de la mme anne ;3 capital : 50 000 DH plac du 1er avril au 2 octobre de la mme anne.

Capital : Ci Dure : ni Le nombre Ni = ni Ci35 00040 00050 000

105146184

3 675 0005 840 0009 200 000

- - - Total 18 715 000


21

Le diviseur fixe D = 360/0,06 = 6000.

Lintrt total produit par les trois capitaux :

17,31196000

18715000D

NI

3

1ii

tot DH

Remarque 2 : La mthode du diviseur fixe tait trs utile lorsquon ne disposait pas, dans letemps, de petites calculettes puissantes. Nous la donnons, cependant pour lhistoire, car denos jours, les calculs peuvent tre faits aisment et trs rapidement par des machines(calculettes gnrales, calculettes financires, ordinateurs, etc.)

1.3.2. Taux moyen dune srie de placements effectus simultanment.

Soit k capitaux C1, C2, .., Ck placs simultanment intrt simple aux taux respectifs t1,t2,,tk et pendant les dures respectives n1 , n2 ,..nk, lintrt total produit par les kcapitaux est gal la somme des intrts simples produits par chaque capital.

ITot = C1.n1.t1 + C2.n2.t2 + . . . + Ck.nk.tk

Par dfinition, le taux moyen de plusieurs placements est le taux unique qui, appliqu auxcapitaux respectifs et pour leurs dures respectives donnerait le mme intrt total. Nous avonsdonc par dfinition :

C1.n1.tmoy + C2.n2.tmoy + . . . + Ck.nk.tmoy = C1.n1.t1 + C2.n2.t2 + . . . + Ck.nk.tk

(C1.n1 + C2.n2 + . . . + Ck.nk) .tmoy = C1.n1.t1 + C2.n2.t2 + . . . + Ck.nk.tk

Ce qui donne pour tmoy :

k1i

ii

k

1iiii

moy

nC

tnCt (33)

Le taux moyen de plusieurs placements est donc la moyenne arithmtique des diffrentstaux pondrs par les produits niCi. Ceci est tout fait vident du fait que lintrt est, commeil ressort de la formule fondamentale (1), proportionnel n et C.

Si lon avait utilis la formule donnant I avec le temps compt en jours ou en mois, nousaurions abouti la mme formule (33) qui donne le taux dintrt moyen, en effet, on aurasuccessivement :


22

Pour des dures comptes en jours :

360

k

1i iniC

moyt360moytknkC

360moyt2n2C

360moyt1n1C

360

k

1i itiniC

360

k

1i iniC

moyt360

k

1i itiniC

Ce qui donne, aprs simplification par 360, la mme formule (33) pour tmoy.

Pour des dures comptes en jours :

12

k

1i iniC

moyt12

k

1i itiniC

TotI

Ce qui donne, aprs simplification par 12, la mme formule (33) pour tmoy.

De mme que pour la formule fondamentale de lintrt simple et celle de la valeur acquise,la formule du taux dintrt moyen de plusieurs capitaux placs, pendant des priodesdiffrentes des taux dintrt diffrents, est une relation qui lie plusieurs ensembles deparamtres qui sont : , tmoy, les diffrents Ci, les diffrents ti et les diffrents ni ; elle permet,par consquent, de rsoudre plusieurs types de problmes diffrents : Dterminer un paramtreconnaissant tous les autres.

Puisque les capitaux Ci jouent des rles symtriques, nous proposons dtudier les 4 caspossibles suivants :

1 cas : Calcul du taux dintrt moyen tmoy partir de la connaissance de tous les autresparamtres.

Exemple 12 : Trois capitaux de montants respectifs 10 000,00 DH, 20 000,00 DH et40 000,00 DH ont t placs intrt simple aux taux respectifs : 8%, 6%, et 10% pendant lesdures respectives de 8 mois, 9 mois et 6 mois.

Calculer le taux moyen de placement de ces trois capitaux.

Le taux moyen de ces trois placements est donn par la formule (33) :

%24,8640000920000810000

10,064000006,092000008,08100003

1inC

3

1itnC

moyt

ii

iii


23

2 cas : Calcul du taux dintrt de placement dun des capitaux partir de la connaissancede tous les autres paramtres.

Exemple 13 : Trois capitaux de montants respectifs 15 000,00 DH, 31 500,00 DH et5 000,00 DH ont t placs, intrt simple, pendant les dures respectives de 30 jours, 50jours et 45 jours. Les taux dintrt annuels auxquels ont t placs les deux premiers capitauxsont respectivement 7% et 5%. Quel doit tre le taux dintrt de placement du 3 capital pourque le taux moyen de placement annuel des 3 capitaux soit 6% ?

Pour rsoudre un tel problme, revenons la dfinition du taux dintrt moyen :

360tnC

360tnC

360tnC

360tnC

360tnC

360tnC

333222111moy33moy22moy11

Cette formule devient aprs simplification par 360 :

tmoy(C1n1 + C2n2 + C3n3) = (C1n1t1 + C2n2t2 + C3n3t3)

On cherche calculer t3, pour ce faire, on isole le terme contenant t3 et on calcule aprs t3.

C3n3t3 = tmoy(C1n1 + C2n2 + C3n3) - (C1n1t1 + C2n2t2)

33

2221113322113

nCtnCtnC)nCnCnCt

t)(-(

moy

45x5000)05,0503150007,03015000()45500050315003015000(06,0

t 3

Ce qui donne bien t3 = 11%.

3 cas : Calcul du montant dun des capitaux partir de la connaissance de tous les autresparamtres.

Exemple 14 : Trois capitaux de montants respectifs 7 000,00 DH, 20 000,00 DH et C3 ontt placs aux taux dintrt simple annuels respectifs 9%, 5% et 10%, pendant les duresrespectives de 100 jours, 55 jours et 36 jours. Quel est le montant du 3 capital pour que le tauxmoyen de placement annuel des 3 capitaux soit 7% ?


360tnC

360tnC

360tnC

360tnC

360tnC

360tnC

333222111moy33moy22moy11


24



On cherche calculer C3, pour ce faire, on isole les termes contenant C3 :

C3.(n3.t3 n3.tmoy) = tmoy(C1n1 + C2n2 ) - (C1n1t1 + C2n2t2)

)tnt(n)tnCtn) - (Cn Cn(Ct

Cmoy333

2221112211moy3

)07,010,0(36)05,0552000009,01007000()55000201000007(07,0C 3

Ce qui donne bien C3 = 7 407,41 DH.

4 cas : Calcul du montant de la dure de placement dun des capitaux partir de laconnaissance de tous les autres paramtres.

Exemple 15 : Trois capitaux de montants respectifs 6 000,00 DH, 9 000,00 DH et 4 000,00ont t placs aux taux dintrt simple annuels respectifs 5%, 9% et 8%, pendant les duresrespectives de 4 mois, 3 mois et n3 mois, pour le 3 capital. Quelle est la dure n3 de placementdu 3 capital pour que le taux moyen annuel des 3 capitaux soit 7,5% ?


12tnC

12tnC

12tnC

12tnC

12tnC

12tnC 333222111moy33moy22moy11



On cherche calculer n3, pour ce faire, on isole les termes contenant n3 :

C3.n3.(t3 tmoy) = tmoy(C1n1 + C2n2 ) - (C1n1t1 + C2n2t2)

)tCt(C)tnCtn) - (Cn Cn(Ct

nmoy333

2221112211moy3

)075,008,0(x00,0004)09,03900005,046000()3900046000(075,0

n 3

Ce qui donne n3 = 9,75 mois soit 9 mois et 23 jours.


25

1.4. DIFFERENTS TAUX DINTERET.

1.4.1. Taux effectif pour intrt prcompt.

Le taux dintrt simple quon a dfini, jusqu maintenant, suppose un paiement desintrts, la fin de la priode de prt ; dans le cas contraire o lon exige de lemprunteur depayer les intrts, au dbut de la priode de prt, cest--dire au moment du versement par leprteur du capital prt, le prt est dit, prt intrt prcompt la date de la souscription.

Dans le cas dun prt prcompt, lemprunteur ne paie pas un intrt calcul au tauxdintrt annonc mais, en ralit, il paie un intrt calcul un taux plus lev appel tauxeffectif. Cest le cas notamment des bons du Trsor public qui paie les intrts au moment deleur souscription.

Exemple 16 : Kamal prte une somme de 10 000,00 DH Said, aux conditions suivantes : Dure : 6 mois ; Taux dintrt simple : t = 10% lan ; Lintrt est vers lors de la signature du contrat.

Lintrt I engendr par ce prt est :

DH00,50012

1,0600,10000I Kamal qui prte 10 000,00 DH, reoit immdiatement 500,00 DH. Donc tout se passe

comme si Kamal na prt que 9 500,00 DH et reoit, en fin de prt, la somme de 10 000 DH.Le problme se pose alors de la faon suivante :

Quel est le taux dintrt dun capital de 9 500,00 DH qui, au bout de 6 mois, produit unintrt de 500,00 DH ? Ce taux sappelle le taux effectif ou teff.

Cest l une question laquelle nous savons rpondre facilement en utilisant la formule (8)donnant le taux dintrt en fonction de C, n et I :

%53,109500650012

nCI12

teff

Said qui a emprunt, va donc payer un taux effectif de 10,53% suprieur au taux affich quiest de 10%.

Cas gnral : Soit un capital C prt intrt prcompt au taux annonc ta pendant unedure n exprime en jours.

Lintrt engendr par ce prt est :360

tnCI a


26

Pour lemprunteur, du moment que lintrt est prcompt, cest--dire quil est pay,davance, le capital effectivement emprunt est :

C = C I = C 360

tnCa

=

360tn360

C a

Le taux effectif pay par lemprunteur est donc :

360tn360

nC

360tnC

360

'CnI360

ta

a

eff

On dduit lexpression donnant le taux effectif teff en fonction du taux annonc ta :

a

a

eff tn360t360

t (34)

Si la dure est exprime en mois, cette formule devient :

a

a

eff tn12t12

t (35)

On remarque que le taux effectif ne dpend pas du capital C, ce qui est normal. Il ne doitdpendre que du taux affich et de la dure de lemprunt.

Exemple 17 : Le taux effectif correspondant un taux dintrt prcompt de 10% pendantune dure de placement de 6 mois est :

%53,101,0612

1,012tn12

t12t

a

a

eff

Il sagit purement et simplement du mme exemple 15 pour lequel on trouve videmment lemme rsultat.

Exemple 18 : Calculer le taux annonc ta dun prt intrt prcompt, octroy pendant150 jours, dont le taux effectif est de 8% :

A partir de la formule donnant le taux effectif, on peut calculer le taux annonc :

%74,708,0150360

08,0360tn360

t360t

eff

effa


27

1.4.2. Taux dintrt rel.

Gnralement, la banque facture, lors de loctroi dun prt, certains frais, (frais douverturede dossier, etc.), dans ces conditions, lemprunteur paie un taux dintrt rel suprieur au tauxannonc, en effet, si le capital prt, pendant n jours est C, que le taux dintrt annonc est taet que les frais facturs, par la banque sont f, le taux rel tr, dans le cas o les intrts ne sontpas prcompts, se calcule comme suit :

Intrt :360

t.n.CI a

Capital accord comme prt : C = C f

Taux dintrt rel : tr =n'CI360

Ce qui donne aprs remplacement de C par (C f) et I par360

t.n.Ca pour tr :

tr fC.tC

a

(36)

Remarquons que le taux dintrt rel tr est bien suprieur au taux annonc ta et quil nedpend pas de la dure du prt.

Exemple 19 : Quel est le taux dintrt rel dun prt de 10 000,00 DH, accord pendant 75jours, au taux annonc de 7% si les frais de dossier retenus par la banque slvent 150,00DH

On reprend la formule (36) du taux dintrt rel quon vient dtablir :

tr = 1500001007,0x00010

fCa

t.C7,11%

Exemple 20 : Quel sont les frais que facture la banque si lors de loctroi dun prt de25 000,00 DH, le taux annonc et le taux rel sont gaux respectivement 7% et 7,05% ?

En reprenant la formule donnant le taux rel tr en fonction du taux annonc ta, nouspouvons calculer les frais f facturs par la banque :

tr = fCt.C

a

=> (C f ).tr = C.ta => f =r

ar

t)tt(C

DH30,1770705,0

)07,00705,0(00,00025f


28

1.5. EQUIVALENCE DE CAPITAUX.

La notion dquivalence de 2 capitaux intervient lorsquon dsire remplacer un capitalplac ou prt par un autre capital de faon quil ny ait aucun avantage pour le prteur oulemprunteur. Pour ce faire et comme un capital plac ou prt produit un intrt, en fin depriode, les 2 capitaux doivent avoir la mme date dchance et la mme valeur acquise cette date.

La dfinition de lquivalence de 2 capitaux se dduit facilement de ce qui vient dtre dit :

1.5.1. Equivalence de deux capitaux placs le mme jour et ayant la mme chance.

On considre 2 capitaux ayant les caractristiques suivantes :

- C1 : plac aujourdhui pour n jours : au taux dintrt simple t1 ;- C2 : plac aujourdhui pour n jours : au taux dintrt simple t2.

Les 2 capitaux C1 et C2 sont quivalents, cest--dire que lun peut remplac lautre, si leurvaleur acquise sont gales, leur date commune dquivalence.

Par dfinition, on a donc :

C1 + nC1t1 = C2 + nC2t2 (37)

Dans le cas o les priodes sont comptes en jours ou en mois, lexpression (37) devient :


12tCnC

12tCnC 222111 (38)


360tCnC

360tCnC 222111 (39)

Les relations (37), (38) et (39) lient 5 paramtres relatifs au capital C1 et au capital C2, ellespeuvent donc tre utilises pour rsoudre 3 types diffrents de problmes : dterminer un desparamtres connaissant tous les autres.

Exemple 21 : Quelle est la valeur dun capital qui plac, aujourdhui 5 mai pour unechance au 25 juin de la mme anne, au taux dintrt simple de 7% est quivalent au capitalde 25 000,00 DH plac, aujourdhui 5 mai pour une chance jusquau 25 juin de la mmeanne au taux dintrt simple de 4% ?


29

Remarquons que la dure de placement qui stend du 5 mai au 25 juin, dure 51 jours.

La relation dquivalence des 2 capitaux donne :

360tCnC

360tCnC 222111

Soit aprs multiplication des 2 membres par 360

222111 tCnC360tCnC360

Pour calculer C2, on isole les terme contenant C2 :

)tn360(C)tn360(C 1122

DH79,8942407,051360

00025)04,051360(tn360

C)tn360(C2

112

Exemple 22 : Quelle est le taux dintrt simple dun capital de 21 500,00 DH qui plac,aujourdhui 15 avril est quivalent, la date dchance le 7 juin, au capital de 21 650,00 DHplac, au taux dintrt simple de 4,25%, aujourdhui 15 avril pour une chance le 7 juin de lamme anne ?

Remarquons que la dure de placement qui stend du 15 avril au 7 juin, dure 53 jours.

La relation dquivalence des 2 capitaux donne :

360tCnC

360tCnC 222111

Soit aprs multiplication des 2 membres par 360 :

222111 tCnC360tCnC360

Pour calculer t2, on isole les terme contenant t2 :

%02,95002153

0425,06502153)5002121650(360Cn

tCn)CC(360t

2

11212

Pour introduire la notion dquivalence de 2 capitaux, nous avons pris les exemples decapitaux placs le mme jour et ayant la mme chance. Pour justifier notre dmarche,


30

prenons le cas gnral de 2 capitaux C1 et C2 placs respectivement les jours j1 et j2, pendant n1et n2 jours aux taux dintrt simple t1 et t2. La relation dquivalence de ces 2 capitaux est :

360tCnC

360tCnC 22221111

Cette relation veut dire qu la date J1 = j1 + n1, le capital C1 a une valeur acquise gale celle quatteint le capital C2, la date J2 = j2 + n2, or du moment que les dates J1 et J2 sontgnralement diffrentes, cette galit des valeurs acquises par les 2 capitaux ne prsente aucunintrt et donc aucun sens du fait que lquivalence doit permettre de remplacer un capital parun autre, le mme jour.

Voil pourquoi lorsque nous avons parl dquivalence de 2 capitaux, nous avons pris 2capitaux placs le mme jour et ayant la mme chance pour que les 2 valeurs acquises soientgales le mme jour et que le remplacement dun capital par un autre soit possible, ce jour.Mais pour que lchance soit la mme, il nest pas ncessaire que les jours de placementssoient identiques, en effet :

1.5.2. Equivalence de deux capitaux ayant la mme chance.

On considre 2 capitaux ayant les caractristiques suivantes:

- C1 : plac le jour j1 pour n1 jours : au taux dintrt simple t1 ;- C2 : plac le jour j2 pour n2 jours : au taux dintrt simple t2.

Les 2 capitaux C1 et C2 sont quivalents, le jour j de leur chance commune, cest--direque lun peut remplacer lautre, si leur valeur acquise sont gales, ce jour l.


C1 + n1C1t1 = C2 + n2C2t2 (40) avec j = j1 + n1 = j2 + n2 (41)

La dfinition de lquivalence de deux capitaux implique donc deux conditions :- quils aient la mme chance ;- quils aient la mme valeur acquise, cette date dchance commune.

Dans le cas o les priodes sont comptes en jours ou en mois, les expressions (40) et (41)deviennent :


31


360tCnC

360tCnC 22221111 (42) avec j = j1 + n1 = j2 + n2


12tCnC

12tCnC 22221111 (43) avec j = j1 + n1 = j2 + n2

Les relations (42) et (43) lient 6 paramtres, 3 relatifs au capital C1 et les 3 autres relatifs aucapital C2, elles peuvent, par consquent, tre utilises pour rsoudre 3 types deproblmes diffrents : dterminer un des 3 paramtres de lun des capitaux connaissant les 2autres et ceux de lautre capital.

Exemple 23 : Quelle est la valeur dun capital qui plac, le 15 mai pour une chance au 25juin de la mme anne, au taux dintrt simple de 7% est quivalent au capital de 7 000,00 DHplac, le 28 avril pour une chance 25 juin de la mme anne, au taux dintrt simple de8,5% ?

Remarquons que les dures des placements qui stendent comme suit :- du 15 mai au 25 juin, dure 41 jours ;- du 28 avril au 25 juin, dure 58 jours.

La relation dquivalence des 2 capitaux, le 25 juin, donne :

360tCnC

360tCnC 22221111

En multipliant les 2 membres de cette galit par 360 on trouve :

22221111 tCnC360tCnC360


)tn360(C)tn360(C 111222


DH74,039707,041360

0007)085,058360(tn360

C)tn360(C22

1112


32

Exemple 24 : Quel est le taux dintrt simple dun capital de 10 000,00 DH qui plac, le 2mars pour une chance le 31 mai de la mme anne est quivalent au capital de 10 250,00 DHplac, le 15 avril pour une chance le 31 mai de la mme anne au taux dintrt simple de10% ?

Remarquons que les dures des placements qui stendent comme suit :- du 15 avril au 31 mai, dure 46 jours ;- du 2 mars au 31 mai, dure 90 jours.

La relation dquivalence des 2 capitaux, le 31 mai, donne :

360tCnC

360tCnC 22221111


22221111 tCnC360tCnC360

Pour calculer t2, on isole les termes contenant t2 :

%24,150001090

10,01025046)0001010250(360Cn

tCn)CC(360t

22

111212

Exemple 25 : Quelle est la date de placement simple dun capital de 36 650,00 DH quiplac au taux dintrt simple de 9%, a pour une chance le 25 novembre est quivalent aucapital de 37 000,00 DH plac, le 7 Octobre a pour une chance le 25 novembre de la mmeanne au taux dintrt simple de 8% ?

Remarquons que la dure de placement du 1 capital qui stend du 7 octobre au 25novembre, dure 49 jours.

La relation dquivalence des 2 capitaux, le 25 novembre, donne :

360tCnC

360tCnC 22221111


22221111 tCnC360tCnC360


33

Pour calculer n2, on isole les terme contenant n2 :

jours17,826503609,0

08,00003749)6503600037(360Ct

tCn)CC(360n

22

111212

soit le83 jours.

Ce qui donne pour j2, jour de placement du capital C2, j2 = j n2 soit 83 jours avant le 25novembre, cest--dire le 3 septembre de la mme anne.

1.5.3. Equivalence dun capital avec plusieurs capitaux.

Dans le cas dun crdit d'un montant C que la banque accorde son client, en fonction desrevenus de ce dernier, et pour une dure donne, le remboursement du crdit s'effectue sousforme de traites mensuelles constantes. Si le montant du crdit nest pas assez important et si ladure de lemprunt nest pas assez longue (quelques mois), le calcul du montant de la traites'effectue comme suit :

Si lon dsigne par :- C : somme d'argent emprunte ;- T : montant de la traite mensuelle, paye en fin de mois ;- t : taux d'intrt simple ;- n : le nombre de traites constantes ;- 1, 2, 3, . . . n : les n chances mensuelles respectives des diffrentes traites.


34

Mois Valeur de la traite Valeur acquise de la traite

1 T12

Tt)1n(T

2 T12

Tt)2n(T

3 T12

Tt)3n(T .

.

.

.

.

.

k T12

Tt)kn(T .

.

.

.

.

.

.

.

.

(n-1) T12TtT

n T T

Si nous faisons la somme des valeurs acquises par les diffrentes traites en commenant parles valeurs du bas du tableau, on trouve, sachant que cette somme doit tre gale la valeuracquise du capital prt :

)12

t)1n(1(T...)12kt1(T...)

12t21(T)

12t1(TT)

12tn1(C

12

)ktn12(Tk

12tTTn)

12tn1(C

1n

0k1n

0k


1n

0k

ktn12(T)tn12(C

Or nous savons que :2

n)1n(k1nk0k


35

Nous pouvons dduire la valeur de lchance T :

1))(ntn(242nt)(24CT

(44)

Le taux dintrt peut tre calcul, si nous connaissons la valeur de T :

241)T(n2nC

CnTt (45)

En pratique, la banque retient des frais de crdit ; l'emprunteur paie un taux d'intrt relsuprieur au taux d'intrt annonc t. En effet, la somme d'argent effectivement emprunte est :(C f) (f correspond au montant des frais de crdit).

Le montant de la traite et taux d'intrt rel tr vrifient l'quation d'quivalence suivante :

)12

Tt)1n(T(...)

12kTt

T(...)12Tt2

T()12Tt

T(T)12

tn1)(fC( rrrrr

)k12t

n(T)12

tn1)(fC( 1n

0k

rr

Or sachant que :2

)1n(nk1n0k

))fC(n2)1n(nT(24t

2)1n(n

12tT

12tn)fC(Tn)fC( rrr

On trouve pour le taux rel tr :

24f)2n(C1)n(nT

Tnf)(Ct

r

(46)

Exemple 26 : Jamal souhaite avoir un crdit la consommation de 25 000,00 DH rembourser en 9 mensualits constantes. Le taux d'intrt est de 7 %, les frais de crdit sont de350,00 DH, et la premire traite doit tre paye 1 mois aprs la date d'octroi du crdit.

Quel est le montant de la traite et quel est le taux dintrt rel du crdit ?


36

Le montant de la traite T est daprs la formule (44) :

)807,024(9)07,09224(25000

))1n(t24(n)nt224(CT

= 2 856,95 DH

Le taux rel tr est daprs la formule (46) :

%71,1024)00,35000,00025(928995,856295,85629)00,35000,00025(24)fC(n2)1n(Tn

Tn)fC(t

r

Pour rembourser ce crdit, Jamal doit payer 2 856,95 DH par mois pendant 9 mois, ce quicorrespond un taux d'intrt rel de 10,71 % qui est suprieur au taux d'intrt annonc 7 %.

1.5.4. Equivalence de deux ensembles de capitaux.

On considre maintenant 2 ensembles de capitaux ayant les caractristiques suivantes :

1 ensemble : p capitaux Ci avec i allant de 1 p- Ci : plac le jour ji pour ni jours : au taux dintrt simple ti ;

2 ensemble : q capitaux Cj avec j allant de 1 q- Cj : plac le jour jj pour nj jours : au taux dintrt simple tj.

Les 2 ensembles de capitaux Ci et Ci sont quivalents, le jour j, cest--dire que lon peutremplacer un ensemble de capitaux par lautre, si :

- tous les capitaux constituant les 2 ensembles ont la mme date dchance ;- les sommes des valeurs acquises de chacun des deux ensembles de capitaux, sont gales,

ce jour l.


)t'C'n'(C)tCn(Cqj

1jjjj

'

j

pi

1iiiii

(47) avec j = ji + ni = jj + nj

Dans le cas o les priodes sont comptes en jours ou en mois, lexpression devient :


)12

tCn(C)12

tCn(Cqj

1j

'

j'

j'

j'j

pi

1i

iiii



37


)360

tCn(C)360

tCn(Cqj

1j

'

j'

j'

j'j

pi

1i

iiii


Remarque 3 : Pour que lquivalence des 2 ensembles de capitaux ait un intrt et donc unsens, et conformment ce qui a t dit, dans le paragraphe 1.5.2, nous avons d supposerque le jour dquivalence soit justement la date dchance de tous les capitaux : j = ji + ni =jj + nj et ce quel que soit i allant de 1 p pour les paramtres du 1 ensemble de capitaux etde 1 q pour les paramtres du 2 ensemble de capitaux.

Ces relations (47), (48) et (49) lient 6 ensembles de paramtres, 3 ensembles paramtresrelatifs aux capitaux Ci (qui sont Ci, ni et ti) et les 3 autres ensembles de paramtres relatifs auxcapitaux Cj (qui sont Cj, nj et tj) ; elles peuvent donc tre utilises pour rsoudre 3 typesdiffrents de problmes : dterminer un des paramtres de lensemble des capitaux Ciconnaissant tous les autres paramtres du mme ensemble de capitaux et tous les paramtres delensemble des capitaux Ci.

Les exemples quon pourrait donner de ces types de problmes ne diffrent pas beaucoupdes 3 derniers exemples quon vient dtudier, on se contentera den donner un seul.

Exemple 27 : On considre 2 ensembles de capitaux ayant les caractristiques suivantes :

1 ensemble : 2 capitaux C1 et C2 tel que :- C1 = 7 500 DH : plac le 2 fvrier pour 57 jours : au taux 5% ;- C2 = 6 500 DH : plac le 6 mars pour 25 jours : au taux 7% ;

2 ensemble : 3 capitaux C1, C2 et C3 tel que :- C1 = 4 300 DH : plac le 8 fvrier pour 51 jours : au taux 9% ;- C2 = 3 600 DH : plac le 15 mars pour 16 jours : au taux 7% ;- C3 = ? : plac le 21 mars pour 10 jours : au taux 8%.

Calculer la valeur du capital C3 afin que lensemble des capitaux C1 et C2 soientquivalents lensemble des capitaux C1 , C2 et C3 :

Daprs les jours de placement et le nombre de jours de placement des 5 capitaux, leur datecommune dchance est le 31 mars. Pour que les 2 ensembles de capitaux soient quivalents,il faut que les sommes des valeurs acquises constituant les 2 ensembles de capitaux, soientgales, justement ce 31 mars.

La relation dquivalence des 2 ensembles de capitaux est :


38

360't'n'C

'C360

't'n'C'C

360tnCC

360tnCC

360tnCC 33332222

'

1'

1'

1'1

2222

1111

En multipliant les 2 membres de lgalit par 360 on trouve :

33332222'

1'

1'

1'

122221111 't'n'C'C360't'n'C'C360tnCC360tnCC360tnCC360

Pour calculer C3, on isole les termes en C3 et on trouve :

)'t'n360('C)tn360(C)tn360(C)tn360(C)'t'n360('C 222'1'1'122211133

'

3'

3

'

2'

2'

2'

1'

1'

1222111'3 tn360

)tn360(C)tn360(C)tn360(C)tn360(CC

08,010360)07,016360(3600)09,051360(4300)07,025360(6500)05,057360(7500C '3

= 6 111,37 DH.

Arriv ce niveau, nous conseillons aux lecteurs de lire la note de lecture 1, donne la findu prsent chapitre.

1.6. LES COMPTES COURANTS ET D'INTERETS.

1.6.1. Dfinitions.

Le compte courant est un compte vue, c'est dire dont la dure est non dtermine,cest un compte non rmunr qui permet une libert totale son titulaire d'effectuer desversements, des retraits ou des transferts. Son solde doit toujours tre crditeur.

Le compte courant et d'intrt est un compte vue rmunr. C'est un comptecourant sur lequel les sommes d'argent produisent des intrts crditeurs ou dbiteurs selon lesens des soldes, partir d'une date dite date de valeur.

La date de valeur est la date laquelle l'opration est prise en compte. La date devaleur diffre le plus souvent de la date de l'opration. En gnral :

Pour les retraits, la date de valeur est antrieure d'un ou de plusieurs jours celle de l'opration ;

Pour les versements, la date de valeur est postrieure d'un ou de plusieursjours la date du dpt.


39

La date de valeur correspond toujours un jour o la banque travaille, elle tient compte dessamedis, dimanches, des jours fris et des dlais de transfert de compte compte.

Exemple 28 : Donnons un exemple dun compte sur lequel on a effectu plusieursoprations :

Date de l'opration Sens del'oprationDate devaleur Remarques

Me 16 janvierMe 16 janvierLu 16 janvierVe 16 janvierMe 12 janvierMe 10 janvierMa 12 janvierJe 10 janvier

RetraitDptRetraitDptRetraitDptRetraitDpt

Ma 15 janvierJe 17 janvierVe 13 janvierLu 19 janvierLu 10 janvierVe 12 janvierVe 8 janvierLu 14 janvier

Un dimanche et un samediUn dimanche et un samediLe 11 janvier est friLe 11 janvier est friSamedi, dimanche et jour friSamedi, dimanche et jour fri

Dans ce cas on a suppos que la banque paie :

- Plus 1 jour pour tout versement.- Moins 1 jour pour tout retrait.

1.6.2. Tenu dun compte courant.

A la fin de chaque mois, le solde du compte courant est arrt.

A chaque opration est associe une date de valeur qui est gale la date d'oprationmajore ou minore d'un ou de plusieurs jours de banque suivant que l'opration est crditriceou dbitrice.

Les oprations sont ensuite classes par dates de valeur croissantes.

Exemple 29 : Une personne dispose, dans une banque d'un compte courant. Le solde de cecompte, au 28 fvrier, est crditeur de 10 827,54 DH.

Au cours du mois de mars de la mme anne, le titulaire de ce compte a effectu lesoprations suivantes :

Mardi 7 mars : retrait de 1000,00 DH ; Mercredi 8 mars : versement de 1948,90 DH ; Jeudi 9 mars : retrait de 8413,01 DH ; Lundi 13 mars : retrait de 1000,00 DH ; Lundi 20 mars : versement de 4000,00 DH ; Lundi 27 mars : versement de 4673,40 DH ; Mardi 28 mars : versement de 3000,00 DH ; Mercredi 29 mars : retrait de 2146,64 DH ;


40

Vendredi 31 mars : retrait de 5000,00 DH.

Le relev bancaire du mois de mars se prsente sous forme du tableau suivant si lonsuppose que la date de valeur est :

- Plus 1 jour pour un versement.- Moins 1 jour pour un retrait.

Date Sens del'opration

CapitauxOpration Valeur Dbit Crdit

07/0309/0308/0313/0320/0327/0329/0328/0331/03

28/0206/0308/0309/0310/0321/0328/0328/0329/0330/03

Solde prcdentRetraitRetrait

VersementRetrait

VersementVersement

RetraitVersement

Retrait

1000,008413,01

1000,00

2146,64

5000,00

10827,54

1948,90

4000,004673,40

3000,00

- - -

Total des mouvements

Nouveau solde au 31/03

17559,65 13622,30

6890,19

1.6.3. Tenu du compte courant et d'intrt.

Le compte courant et d'intrt est tenu de la mme manire que le compte courant, ladiffrence vient, du fait que pour ce compte, on calcule des intrts :

- si les soldes sont dbiteurs, les intrts sont calculs laide dun taux dintrtsimple dbiteur ;

- si les soldes sont crditeurs, les intrts sont calculs laide dun taux dintrtsimple crditeur.

Gnralement, le taux dbiteur est suprieur au taux crditeur. Si les deux taux sont gauxon parle de taux rciproques.

A la fin de chaque mois, le solde du compte courant et d'intrt est arrt.

A chaque opration est associe une date de valeur qui est gale la date d'oprationmajore ou minore d'un ou de plusieurs jours de banque suivant que l'opration est crditriceou dbitrice.

Les oprations sont en suite classes par dates de valeur croissantes.

Chaque fois qu'une opration est effectue, un nouveau solde est calcul.


41

L'intrt I est calcul, pour une dure de placement du solde S, gale au nombre de jours Jsparant deux dates de valeurs de deux oprations successives en appliquant la formulefondamentale des intrts simples un taux d'intrt t.

360tJSI

Exemple 30 : Calculer les intrts pays et/ou encaisss par le compte courant et dintrtdune personne. Le solde de ce compte, au 28 fvrier, est crditeur de 5827,54 DH.

Au cours du mois de mars de la mme anne, le titulaire de ce compte a effectu lesoprations suivantes :

Mardi 7 mars : retrait de 1000,00 DH ; Mercredi 8 mars : versement de 1948,90 DH ; Jeudi 9 mars : retrait de 8413,01 DH ; Lundi 13 mars : retrait de 1000,00 DH ; Lundi 20 mars : versement de 4000,00 DH ; Lundi 27 mars : versement de 4673,40 DH ; Mardi 28 mars : versement de 3000,00 DH ; Mercredi 29 mars : retrait de 2146,64 DH ; Vendredi 31 mars : retrait de 5000,00 DH.

Le taux d'intrt crditeur est de 6% et le taux d'intrt dbiteur est de 11%.

Le relev bancaire du mois de mars se prsente sous la forme d'un tableau :

Dates sensopration

Capitaux Soldes J(1)

IntrtsOpra Valeur Dbit Crdit Dbit Crdit Dbit Crdit

07/0309/0308/0313/0320/0327/0329/0328/0331/03

28/0206/0308/0309/0310/0321/0328/0328/0329/0330/03

SoldeRetraitRetrait

VersementRetrait

VersementVersement

RetraitVersement

Retrait

1000,008413,01

1000,00

2146,64

5000,00

1948,90

4000,004673,40

3000,00

3585,471636,572636,57

5827,544827,54

1363,436036,833890,196890,191890,19

6211

1170111

1,100,508,86

5,831,61

1,590,000,651,150,32

Total des intrts 10,46 11,1531/03 Solde 1890,19Nouveau solde crditeur au 31/03 1890,88

(1) : J : Nombre de jours.


42

1.6.4. Compte sur carnet.

Le compte sur carnet est un compte vue rmunr. Des intrts crditeurs s'ajoutent lafin de chaque trimestre au crdit du compte. Les intrts crditeurs sont calculs sur despriodes exprimes en nombre de quinzaines civiles.

Les dates de valeur sont imposes le 1 ou le 16 du mois :

Pour un dpt, la date de valeur est le premier ou le 16 du mois qui suit la datede l'opration ;

Pour un retrait, la date de valeur est la fin ou le 15 du mois qui prcde la datede l'opration.

Exemple 31 : Donnons un exemple dun compte sur carnet avec quelques oprationspossibles :

Date opration Opration Date valeur11/06/199811/06/199820/06/199820/06/199815/07/199816/07/1998

RetraitDptRetraitDptRetraitDpt

31/05/199816/06/199815/06/199801/07/199830/06/199801/08/1998

L'intrt I est calcul pour une dure de placement du solde S gale au nombre dequinzaines entires civiles q, sparant les dates de valeurs de deux oprations successives enappliquant la formule fondamentale des intrts simples un taux d'intrt t (dure exprimeen quinzaines).

24tqSI

Une taxe libratoire de 30 % des intrts crditeurs est retenue par la banque au titre de laretenue la source.

Exemple 32 : Une personne a ouvert un compte sur carnet le 03 janvier 2007, avec unversement de 10 000 DH. Au cours de l'anne, le titulaire de ce compte a effectu lesoprations suivantes :

Le 20 janvier : versement de 8000 DH ; Le 13 fvrier : retrait de 5000 DH ; Le 19 fvrier : retrait de 3000 DH ; Le 10 mars : versement de 7500 DH ; Le 25 avril : versement de 10000 DH ; Le 17 mai : retrait de 3000 DH ; Le 6 juin : versement de 5000 DH ;


43

Le 18 juin : versement de 4000 DH ; Le 20 juillet : retrait de 2000 DH ; Le 5 aot : versement de 3000 DH ; Le 25 aot : versement de 2000 DH ; Le 10 septembre : retrait de 2500 DH ; Le 17 septembre : retrait de 1000 DH ; Le 19 octobre : versement de 1500 DH ; Le 10 novembre : versement de 2000 DH ; Le 12 dcembre : retrait de 3000 DH.

Le taux d'intrt est de 6,5 % et limpt libratoire sur les produits financiers est de 30 %des intrts.

Les intrts sont calculs et s'ajoutent la fin de chaque trimestre civil au crdit du compte.

L'volution de ce compte au cours de l'anne 2007 peut se prsenter sous forme du tableausuivant :


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Date Opration Capitaux Solde Q(1) IntrtsOpr Valeur Dbit Crdit03/0120/0113/0219/0210/03

16/0101/0201/0215/0216/0331/0331/03

VersementVersement

RetraitRetrait

versementIntrtsTaxe

5000,003000,00

49,16

10000,008000,00

7500,00163,86

10000,0018000,0013000,0010000,0017500,0017663,8617614,70

10121

27,080,00

35,2154,1747,40

25/0417/0506/06

01/0401/0515/0516/0630/0630/06

SoldeVersement

RetraitVersement

IntrtsTaxe

3000

115,12

10000

5000383,74

17614,7027614,7024614,7029614,7024998,4424883,32

2121

95,4174,79

133,3380,21

18/0620/0705/0825/0810/0917/09

01/0701/0715/0716/0801/0901/0915/0930/0930/09

SoldeVersement

RetraitVersementVersement

RetraitRetraitIntrtsTaxe

2000

25001000

138,37

4000

30002000

461,23

24883,3228883,3226883,3229883,3231883,3229383,3228383,3228844,5428706,18

0121011

0,0078,23

145,6280,93

0,0079,5876,87

19/1010/1112/12

01/1001/1116/1101/1231/1231/12

SoldeVersementVersement

RetraitIntrtsTaxe

3000

144,82

15002000

482,73

28706,1830206,1832206,1829206,1829688,9129544,09

2112

155,4981,8187,23

158,20

Solde au 31/12/2005 29544,08

(1) : Q : quinzaine.


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1.7. EXERCICES DAPPLICATION.

1.7.1. Exercice.

a) Calculer l'intrt produit par le placement de 50 000,00 DH, au taux d'intrt simple de12% lan, du 25 avril au 12 septembre de la mme anne.

b) Calculer le capital qui, plac 9% du 10 mars au 15 juin, de la mme anne, a acquis unevaleur de 10 242,50 DH.

c) A quel taux d'intrt simple un capital de 25 000,00 DH, plac du 16 avril au 15septembre de la mme anne, produit un intrt de 844,44 DH ?

d) Un capital de 8000,00 DH prt au taux de 15% a t rembours, le 10 juin, par lepaiement d'une somme de 8 200,00 DH. A quelle date ce capital a t prt?

Rponses : a) 2 333,33 DH ; b) 10 000,00 DH ; c) 8% ; d) le 11 avril.

1.7.2. Exercice.

a) Calculer le capital qui plac, pendant 5 mois, produit un intrt simple de 256,37 DH,sachant que le taux dintrt est 7,5%.

b) Calculer la dure, en mois, dun capital de 12 341,50 DH pour quil atteigne un montantde 13 000,00 DH si le taux dintrt simple est de 8%.

c) Calculer le taux dintrt simple dun capital de 7 850,00 DH qui, plac, pendant 7 mois,produit des intrts de 297,65 DH.

d) Calculer le taux dintrt simple dun capital de 9 325,00 DH qui, plac, pendant 3 mois,atteigne le montant de 9 490,52 DH.

Rponses : a) 8 203,84 DH ; b) 8 mois ; c) 6,5% ; d) 7,1%.

1.7.3. Exercice.

On considre les 4 capitaux suivants placs comme suit : 52 000,00 DH placs du 15 avril au 23 juillet de la mme anne, 6% ; 20 000,00 DH placs du 10 mai au 25 aot de la mme anne, 7% ; 18 500,00 DH placs du 5 juin au 10 septembre de la mme anne, 6,5% ; 36 000,00 DH placs du 20 juillet au 12 aot de la mme anne, 9%.

a) Calculer l'intrt global.b) Calculer le taux moyen de placement des 4 capitaux.

Rponses : a) 1805,12 DH ; b) 6,56%


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1.7.4. Exercice.

On considre les 3 capitaux suivants placs comme suit : 6 500,00 DH placs du 7 mars au 30 juin de la mme anne au taux de 7% ; 3 800,00 DH placs du 15 avril 10 juillet de la mme anne au taux de 10% ; 8 000,00 DH placs du 20 avril au 15 octobre de la mme anne au taux de 12%.

a) Calculer l'intrt global.b) Calculer le taux moyen de placement des 3 capitaux.c) A quel taux devrait-on placer un 4 capital de 7 500,00 DH pour que ce taux moyen

devienne gal 10% si la dure de placement de ce capital est de 25 jours ?Rponses : a) 710,79 DH ; b) 10,24% ; c) 6,77%

1.7.5. Exercice.

On considre les 3 capitaux : C1 = 5 265,00 DH, plac du 24 mai au 30 juin, 7% ; C2 = 6 326,00 DH, plac du 15 juin au 23 juillet, 8% ; C3 = 6 000,00 DH, plac du 11 juin au 13 aot, 6,5%.

a) Quel est le taux moyen de placement de ces 3 capitaux ?b) Quel est le taux rel de placement de chaque capital si la banque facture, pour chaque

capital, des frais de dossier de 120,00 DH ?c) Quel est, dans ces conditions, le taux rel moyen ?

Rponses : a) 7,06% ; b) 7,16% ; 8,15% et 6,63% ; c) 7,21%

1.7.6. Exercice.

Un capital a t plac, intrt prcompt, du 10 mars au 30 juillet de la mme anne,calculer le taux effectif de cette opration si le taux affich est de :

a) 8% ; b) 12% ; c) 16%.Un capital a t plac, intrt prcompt, du 15 fvrier au 30 mai de la mme anne,

calculer le taux annonc de cette opration si le taux effectif est de :d) 7% ; e) 5% ; f) 8,25%.

Rponses : a) 8,26% ; b) 12,60% ; c) 17,08% ; d) 6,86% ; e) 4,93% ; f) 8,06%

1.7.7. Exercice.

Un capital a t plac pendant 100 jours au taux de 11%. Entre l'intrt commercial (anne 360 jours) et l'intrt civil (anne 365 jours) il y une diffrence de 8,37 DH.

a) Calculer le montant du capital qui produirait cette diffrence.b) Calculer lintrt produit par ce capital.c) Que devient le taux si lon comptait une anne de 365 jours ?

Rponses : a) 19 996,69 DH, b) 611,01 DH c) 11,15%


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1.7.8. Exercice.

a) Un capital de 24 500,00 DH est plac, un taux dintrt simple de 7,5% entre le 14fvrier et le 16 avril de la mme anne. Quelle est la valeur acquise par ce capital ?

b) Un capital de 4 850,00 DH acquiert, au bout de 11 mois, la valeur de 5 325,00 DH. Quelest son taux dintrt de placement ?

c) Un capital plac, un taux dintrt simple de 6%, acquiert une valeur de 12 550,00 DH,au bout de 5 mois. Quelle est la valeur de ce capital ?

d) Un capital de 5 000,00 DH plac un taux dintrt de 7,5% acquiert une valeur de5 250,00 DH ; quelle est la dure de son placement ?

Rponses : a) 24 811,35 DH ; b) 10,68% ; c) 12 243,90 DH ; d) 240 jours.

1.7.9. Exercice.

Pour s'acquitter entirement de sa dette, un dbiteur effectue la fin du 1 et du 2 trimestredune seule anne, 2 versements dont les montants sont successivement :

8 000,00 DH la fin du 1 trimestre ; 9 000,00 DH la fin du 2 trimestre ;

Ce dbiteur paie la fin de chaque trimestre des intrts trimestriels calculs sur la detterestante.

a) Quel est le montant de sa dette si le taux dintrt simple est de 8% lan ?b) Quel est le montant de sa dette si le taux dintrt simple est de 12% lan ?

Rponses : a) 16 500,00 DH, b) 16 264,15 DH

1.7.10. Exercice.

Deux personnes placent chacune 5 000,00 DH, le premier juin. A partir de fin juin de lamme anne :

- la premire personne effectue des versements mensuels, la fin de chaque mois, de500,00 DH et ce jusqu fin octobre compris ;- la deuxime personne effectue des versements mensuels, la fin de chaque mois, de600,00 DH et ce jusqu fin novembre compris.

Tous les versements portent intrt simple de 6% l'an.a) Quelle sera la valeur acquise le 31 dcembre de la mme anne, pour chaque personne ?b) Mme question si les versements mensuels des deux personnes taient constants et gaux

1 000,00 DH.

Rponses : a) 7 725,00 DH et 8 838,00 DH ; b) 10 275,00 DH et 11 280,00 DH.


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1.7.11. Exercice.

Le trsor affiche, pour tout achat, dun bon du trsor, sur 6 mois, un intrt simple annuelde 6,5%.

a) Quel est le taux effectif si lintrt est prcompt ?b) Quelle est la valeur de cession du bon, par le trsor, si sa valeur, aprs 6 mois est de

10 000,00 DH ?c) Retrouver le rsultat de la question a) en considrant la valeur de cession lachat et

celle la vente, aprs 6 mois.

Rponses : a) 6,72%, b) 9 675,00 DH, c) 6,72%.

1.7.12. Exercice.

On considre le placement de 3 capitaux : 10 000,00 DH placs pour 25 jours 6,75% lan ; 12 500,00 DH placs pour 65 jours 5,65% lan ; 54 325,00 DH placs pour 12 jours 7,15% lan.

a) Quel est lintrt global produit par un tel placement ?b) Quel est le taux moyen de placement des 3 capitaux ?c) Que deviendrait ce taux moyen si les 3 capitaux taient placs pendant 25 jours ?d) Que deviendrait ce taux moyen si les 3 capitaux taient tous placs 7% ?

Rponses : a) 303,87 DH ; b) 6,38% ; c) 6,85% ; d) 7%.

1.7.13. Exercice.

a) Un compte courant et dintrt a, pour solde dbiteur, le 31 dcembre 2005, la somme de- 12 345,87 DH. Quel est son solde, au 31 mai 2006, si lon suppose que le taux dintrtsimple dbiteur est de 9,75% et que les intrts pour solde dbiteur sont enregistrs, la fin dechaque mois, sur le solde du compte ?

b) Un compte sur carnet a, pour solde, le 31 mars 2005, 23 567,89 DH. Quel est son solde,au 30 juin 2006, si lon suppose que le taux dintrt simple est de 4,25%, que la retenue lasource pour produits financiers est de 30% et que les intrts sont enregistrs, la fin dechaque trimestre, sur le solde du carnet ?

Rponses : a) 12 960,09 DH ; b) 23 743,18 DH.


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1.7.14. Exercice.

Au cours du mois de janvier, le titulaire d'un compte courant et d'intrt a effectu lesoprations suivantes:

Le 31 dcembre le solde tait crditeur de 4650,12 DH. Le 3 janvier : il a retir 3 000 DH. Le 5 janvier : il a retir 2 470 DH. Le 13 janvier : il a retir 2 000 DH. Le 19 janvier : il a retir 1 500 DH. Le 21 janvier : il a vers 7 000 DH. Le 23 janvier : il a vers 3 000 DH. Le 29 janvier : il a retir 1 000 DH.

En supposant, pour simplifier, que le date de valeur soit la mme que la date dopration, enappliquant des taux dintrts rciproques de 7% et une commission de 1% sur le total desoprations dbitrices, donner le solde de compte la fin du mois de janvier, si les intrtsgagns par le dtenteur du compte sont soumis une retenue la source de 30%.

Rponses : 4 681,85 DH

1.7.15. Exercice.

Le solde dun compte courant et dintrt le 2 fvrier est crditeur de 323,11 DH. Au coursdu mois de fvrier les oprations suivantes ont t effectues :

09 fvrier : retrait de 1950 DH. 11 fvrier : versement de 6926 DH. 13 fvrier : versement de 1162 DH. 16 fvrier : retrait de 860 DH. 23 fvrier : retrait de 7500 DH. 24 fvrier : versement de 3000 DH. 25 fvrier : retrait de 2000 DH.

Quel est le solde du compte bancaire la fin du mois de fvrier 98 sachant que le tauxd'intrt dbiteur est de 9% alors que le taux d'intrt crditeur est de 4,5% ? On suppose queles intrts gagns par le dtenteur du compte soient soumis une retenue la source de 30%et, pour simplifier, que les dates de valeur concident avec les dates dopration.

Rponses : solde dbiteur de 894,50 DH.


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Cours de mathmatiques financires 1. Lintrt simple

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Note de lecture 1

NOTION DINTERETNOTION DEQUIVALENCE DE CAPITAUX

On a souvent tendance, pour expliquer le principe de lintrt, utiliser des histoires deprts, de consommations reportes, dinflation, etc. Dans chaque cas, cest un ct duproblme qui est privilgi.

Histoire dun prt et dune consommation reporte.

Ali dispose de 100,00 DH pour acheter un article qui cote 100,00 DH. Afin daider sonami Rachid, Ali a prt les 100,00 DH Rachid pendant une priode dtermine et il a retardlachat de l'article jusquau jour du remboursement.

Le jour du remboursement, le prix de l'article a augment de 20 DH. Si Rachid rembourse100,00 DH, Ali doit ajouter 20,00 DH pour acheter l'article, dans ce cas, Ali qui a renduservice Rachid, sera perdant. Pour quAli ne soit ni gagnant ni perdant, les 20,00 DHdoivent tre supports par Rachid qui doit donc rembourser 120,00 DH : 100,00 DH quicorrespond la somme prte et 20,00 DH qui permet de compenser la perte du pouvoirdachat du prteur.

Le service rendu par Ali Rachid suppose donc une rmunration au bnfice de Ali diteintrt.

Lintrt reprsente la rmunration ou le cot rsultant de larbitrage entre laconsommation prsente et la consommation future selon que lon privilgie celle-ci ou celle-la.

Lintrt est la rmunration quun emprunteur verse un prteur pour disposer duncertain montant de capital pendant une priode donne.

Le taux dintrt t est un cas particulier des indices spcifiques un bien qui est lamonnaie. Il permet de relier la valeur dune unit montaire aujourdhui sa valeur future oupasse.

Le mme montant dargent C peut valoir, des priodes diffrentes, tps = 0 et tps = 1 :

C1 / C0 = (1 + t)

Do il ressort que le capital C0 au tps = 0 vaut C1, une priode plus tard : C1 = C0 (1 + t)

Cours de mathmatiques financires 1. Lintrt simple

52

Rciproquement, le C1au tps = 1 valait C0, une priode avant : C0 =C1 (1 + t) 1.

Il sagit dune premire approche de lquivalence de capitaux selon la priode laquelleon les considre. Les valeurs C0 et C1 sont deux expressions diffrentes du mme capital, deux poques diffrentes. Elles peuvent tre considrs comme deux capitaux quivalentspuisquil sagit du mme capital considr deux priodes diffrentes.

Nous aurons loccasion de revenir, rgulirement, tout au long du prsent ouvrage, surcette notion dquivalence de capitaux qui est une notion essentielle en mathmatiquesfinancires.

Remarquons, pour le moment, que le facteur qui permet de passer dune valeur C0 uneautre valeur C1 du mme capital des instants diffrents, est la quantit (1 + t) ou (1 + t)-1dans laquelle t reprsente le taux dintrt pour une priode donne.

Signalons que le taux dintrt varie essentiellement selon :

- Linflation : linflation fait augmenter le taux dintrt car les prteurs exigent des tauxdintrt leur permettant de compenser la perte de leur pouvoir dachat ;

- La loi de loffre et de la demande : Lorsque loffre de capitaux est leve alors que lademande est faible, le taux dintrt tendra baisser. Il aura tendance augmenter dans le casinverse.

Cours de mathmatiques financires 2. Lescompte intrt simple

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CHAPITRE 2LESCOMPTE A INTERET SIMPLE

2.1. DEFINITION DE LEFFET DE COMMERCE.

Pour dfinir ce quest un effet de commerce, nous exposons la situation classique danslaquelle intervient un tel document : Lorsquun fournisseur vend un client des marchandisespour un montant M et que le rglement doit intervenir n jours aprs la date dachat, lefournisseur, dsign par le crancier, doit donc attendre la date convenue, dite chance, pourencaisser son argent, dsign par crance.

Si le fournisseur a besoin dargent, avant la date dchance, il peut demander sa banqueune avance garantie par la crance quil possde. Pour cela il doit justifier, par un documentcrit, lexistence de cette crance. Cette preuve crite est appele effet de commerce. Il peutprendre 2 formes :

- Le client, dsign par le dbiteur, rdige un papier dans lequel il promet de payer son fournisseur le montant M, la date dchance. On parle dans ce cas debillet ordre ;

- Le dbiteur peut uniquement apposer sa signature sur un papier rdig par lecrancier reconnaissant lexistence de la dette. On parle dans ce cas de lettre dechange ou traite.

On doit donc noter, sur un effet de commerce, les mentions suivantes :

- Le nom du crancier ;- Le nom du dbiteur ;- Le montant de la dette appel valeur nominale de leffet ;- La date convenue pour le paiement appele chance.

Le crancier peut donc disposer de largent, avant lchance, en vendant leffet decommerce sa banque ; on dit quil ngocie son effet de commerce ou quil le remet lescompte.

Leffet de commerce est donc un document par lequel un dbiteur reconnat vis--vis duncrancier, une dette exigible une date donne.


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2.2. ESCOMPTE COMMERCIAL.

Le service rendu par la banque, son client, en lui accordant une avance sur la base deleffet de commerce a un prix. Ce prix est appel escompte commercial.

Lescompte commercial est lintrt produit par la valeur nominale de leffet, un tauxd'intrt simple, appel taux descompte, pendant la dure qui spare la date de remise l'escompte et la date dchance.

De cette dfinition simple, dcoule la rgle pour calculer lescompte produit par un effet decommerce. En effet il suffit dappliquer la Formule fondamentale des intrts simples :

E = VN . n . t (1)

Avec - E : Escompte commercial produit par leffet de commerce ;- VN : valeur nominale de leffet de commerce ;- n : dure descompte ;- t : taux d'escompte.

Remarque 1 : Notre premire remarque faite au premier chapitre 1 est valable aussi pour laformule de calcul de lescompte commercial. En effet la formule (2) que nous allonsutiliser diffre de la formule quon a lhabitude de trouver, dans les ouvrages demathmatiques financires, et qui est :

E =00036

t.VN.n (2)

En effet, nous avons relev que la diffrence entre les formules (2) et (3) vient du fait que :

- dans la formule (1), le taux dintrt est pris pour sa vraie valeur, savoir, parexemple, si t = 7% on prendra t = 0, 07 ;

- dans la formule (2), le taux dintrt nest pas pris pour sa vraie valeur, cest--dire que par exemple, pour t = 7% on prendra la valeur t = 7 seulement, tant donnque le produit (VN . n . t) est dj divis par 100.

Nous avions prcis, au chapitre 1, que nous avons, pour notre part, privilgi,lexpression (1), celle de la notation qui nous semble mathmatiquement parlant, la plusrelle.


55

Lopration descompte est une opration court terme, la dure est exprime en nombrede jours qui spare la date de remise l'escompte de leffet de la date dchance, si n est lenombre de jours (il y a 360 jours dans une anne commerciale) la formule de calcul delescompte commercial devient :

E =360

t.VN.n (3)

Lopration descompte est une opration commerciale et non une opration de crdit, ainsion applique la mme formule de calcul de lintrt simple mais on parle descompte et de tauxdescompte au lieu dintrt et de taux dintrt.

La formule (3) est une relation entre les 4 variables : E (lescompte), VN (la valeurnominale), n (la dure descompte en jours) et t (le taux descompte) ; elle permet de rsoudre4 problmes diffrents : calculer une de ces variables connaissant les 3 autres. Pour ce faire onutilise les relations suivantes :

E =360

tVNn (4) VN =tnE036

(5)

n =tVNE036

(6) t =

nVNE036

(7)

Exemple 1 : Calculer lescompte produit par un effet de commerce dune valeur nominalede 40 000,00 DH dont lchance est le 30 novembre, sil est remis lescompte le 5 octobrede la mme anne au taux descompte de 12%.

La dure descompte est le nombre de jours qui spare le 5 octobre du 30 novembre soit 56jours.

Lescompte commercial produit par cet effet de commerce est daprs la formule (3) :

E =360

12,04000056 = 746,67 DH

Le crancier doit attendre la date du 30 novembre pour disposer du montant de 40 000,00DH, par contre sil veut disposer de son argent le 5 octobre il doit payer la banque 746,67 DHet ne recevoir que :

40 000,00 746,67 = 39 253,33 DH


56

Exemple 2 : Calculer la valeur nominale dun effet de commerce qui, escompt 9%, pourune dure de 65 jours, cote un escompte de 345,25 DH.

La valeur nominale de leffet de commerce est donne par la formule (5) :

VN = DH15,2462109,065

25,345360tnE036

Exemple 3 : Calculer la dure dchance dun effet de commerce de valeur nominale dunmontant de 5 000,00 DH, qui escompt 9%, produit un escompte de 75,00 DH.

La dure de lescompte est donne par la formule (6) :

n = jours6009,0500000,75360

tVNE036

Exemple 4 : Calculer le taux descompte dun effet de commerce de valeur nominale15 000,00 DH, qui escompt pendant une dure de 60 jours, produit un escompte de 250 DH.

Le taux descompte est donne par la formule (7) :

t = 10%6015000

250360nVNE036

2.3. VALEUR ACTUELLE COMMERCIALE.

La valeur nominale correspond la valeur de leffet sa date dchance, mais la datedescompte leffet vaut moins. En effet lescompte est retenu immdiatement par la banque quiremet au client la diffrence entre la valeur nominale de leffet et lescompte, cette diffrenceest appele valeur actuelle commerciale (note VA) de leffet de commerce.

VA = VN E (8)

Si lon reprend les formules (1) et (4), on pourra crire :

VA = VN - VN x n x t = VN (1 - n x t)

Dans le cas o la dure de lescompte est compte en jour, cette relation devient :

VA = VN -360

t.VN.n= VN (1 - )

360txn (9)


57

La formule (9) est une relation entre les 4 variables : VA (la valeur actuelle), VN (la valeurnominale), n (la dure descompte en jour) et t (le taux descompte) ; elle permet de rsoudre 4problmes diffrents : calculer une de ces variables connaissant les 3 autres. Pour ce faire onutilise les relations suivantes :

VA = VN (1 - )360

txn (10) VN = =tn360

VA360 (11)

n =VNxt

VA)(VN360 (12) t =VNxn

VA)(VN360 (13)

Exemple 5 : calculer la valeur actuelle dun effet de commerce de valeur nominale 15 000DH, dchance le 15 juin sil est remis lescompte le 13 avril de la mme anne au tauxdescompte de 9%.

Il y a 63 jours entre le 13 avril, date de remise de leffet lescompte et le 15 juin, date deson chance.

La valeur actuelle de leffet de commerce est donne par la formule (10) :

VA = VN (1 - DH75,76314)360

09,0631(00015)360

txn

Le crancier doit attendre la date du 15 juin pour disposer des 15 000,00 DH, par contre silveut disposer de son argent le 13 avril, il ne recevra de la banque que 14 763,75 DH.

Exemple 6 : Calculer la valeur nominale dun effet de commerce dont la dure descompteest 35 jours, le taux descompte 8% et la valeur la date de la remise lescompte est de25 000 DH.

La formule (11) donne la valeur nominale en fonction de la valeur actuelle, du tauxdescompte et de la dure compte en nombre de jours :

VN = DH97,1952508,03536000,00025360

tn360VA360


58

Exemple 7 : Calculer lchance dun effet de commerce dont la valeur nominale est12 500,00 DH, la valeur actuelle est 12 000,00 DH si le taux descompte est de 7,5%.

La formule (12) donne la dure de lescompte en nombre de jours en fonction de la valeurnominale, de la valeur actuelle et du taux descompte :

n = jours192075,050012

)0001250012(360VNxt

)VAVN(360

Exemple 8 : Calculer le taux descompte dun effet de commerce de valeur nominale26 000,00 DH, de valeur actuelle 25 650,00 DH est de dure descompte 45 jours.

La formule (13) donne le taux descompte en nombre de jours en fonction de la valeurnominale, de la valeur actuelle et de la dure de lescompte en nombre de jours :

t = %77,102600045

)2565026000(360VNn

)VAVN(360

2.4. VALEUR NETTE COMMERCIALE.

Lopration commerciale descompte comprend dautres frais financiers en plus delescompte. Ces frais sont composs essentiellement de commissions, qui peuvent tre dediffrents types (commission de courrier, jours de banque, .etc.), et de la Taxe sur la ValeurAjoute (TVA).

La somme de lescompte et des commissions donne ce quon appelle les Agios, hors taxeauquel on applique un taux de TVA pour avoir les Agios TTC.

Les AGIOS TTC peuvent tre calculs directement partir des AGIOS HT, sachant que :

AGIOS TTC = (AGIOS HT) x (1 + Taux de TVA)

AGIOS HT = Escompte + Commissions

AGIOS TTC = (Escompte + Commissions) (1 + taux TVA)

Les AGIOS sont retenus immdiatement par la banque qui remet au client la diffrenceentre la valeur nominale de leffet et les AGIOS TTC, cette diffrence est appele valeur NetteCommerciale de leffet de commerce.

Valeur Nette = VN AGIOS TTC (14)


59

Exemple 9 : Calculer la valeur nette commerciale de leffet de commerce de valeurnominale de 40 000,00 DH, dchance le 30 novembre et de date de remise lescompte le 5octobre de la mme anne aux conditions suivantes :

- Taux descompte : 12 % ;- Commission de courrier : 10,00 DH ;- Jours de valeur jours dopration = 1 ;- Taux de TVA : 10 %.

La dure relle de lescompte est le nombre de jours qui spare le 5 octobre du 30novembre soit 56 jours. Pour le calcul de lescompte on considre les 56 jours plus un jour debanque soit 57 jours.

E =360

12,000,0004057 = 760,00 DH

AGIOS HT = 760,00 + 10,00 = 770,00 DH

TVA = 770,00 x 0,10 = 77,00 DH

AGIOS TTC = 770,00 + 77,00 = 847,00 DH

Valeur Nette = 40 000,00 847,00 = 39 153,00 DH

Le crancier doit attendre la date du 30 novembre pour disposer du montant de40 000,00 DH, par contre sil veut disposer de son argent le 5 octobre il recevra rellement lasomme de 39 153,00 DH.

Dans le cas o lentreprise remet lescompte plusieurs effets dchances diffrentes, labanque labore un bordereau descompte dans lequel elle traite tous les effets.

Exemple 10 : Quelle est la valeur nette commerciale de 4 effets quune entreprise remet l'escompte le 10 mars, avec les informations suivantes :

- 15 000,00 DH chance le 15 mai de la mme anne ;- 16 000,00 DH chance le 20 juin de la mme anne ;- 10 000,00 DH chance le 12 juillet de la mme anne ;- 22 000,00 DH chance le 24 septembre de la 1me anne.

Les conditions d'escompte sont :- Taux descompte = 14 % ;- Commission de service = 10 DH par effet ;- Compter 1 jour de banque supplmentaire ;- Taux de TVA = 10 %.


60

Le bordereau d'escompte se prsente comme suit :

Valeur nominale Dure descompte Escompte15 000,00 DH16 000,00 DH10 000,00 DH22 000,00 DH

67 jours103 jours125 jours199 jours

390,83 DH640,89 DH486,11 DH

1702,55 DH63 000,00 DH Total Escompte 3220,38 DH

Total commissions (4 effets)AGIOS HTTVA (10%)

40,00 DH3260,38 DH

326,04 DHAGIOS TTC 3586,42 DH

Valeur Nette Commerciale59 413,58 DH

2.5. DIFFERENTS TAUX RELATIFS A LESCOMPTE.

2.5.1. Escompte rationnel.

La banque, en prlevant immdiatement lescompte fait un prt prcompt. L'intrt quidevrait tre rellement pay est lintrt calcul sur la somme effectivement prte et nonlintrt calcul sur la valeur nominale de leffet.

Lintrt ainsi calcul est appel escompte rationnel Er et la valeur actuelle correspondanteest appele Valeur Actuelle Rationnelle Var.

Lescompte rationnel Er reprsente lintrt rel que la banque devrait, en principe, retenirde la valeur nominale de leffet de commerce pour rmunrer la valeur actuelle de leffet.Lescompte rationnel Er est donc lintrt calcul sur la valeur actuelle rationnelle Var pendantune dure descompte de n jours un taux descompte t.

En appliquant la formule fondamentale des intrts simples on a :

Er = 360t..n Va

r donc Var =t.n

.360 Er

La valeur nominale VN reprsente une valeur acquise :

VN = Var + Er => VN = )tn360(tnt.n

.360 r

r

rEEE


61

Ce qui donne pour lescompte rationnel Er :

Er = t.n360t.n.VN

(15)

La valeur actuelle rationnelle Var est gale Var = VN Er

Var = VN t.n360

t.n.VN => Var = t.n360

t.n.VN)t.n360(.VN

Ce qui donne pour la valeur actuelle rationnelle Var :

Var = t.n360VN360

(16)

Lescompte rationnel est infrieur lescompte commercial, ce qui signifie que la banqueprlve plus quil ne faut pour une opration descompte.

Ceci fait que la valeur actuelle rationnelle est suprieure la valeur actuelle commerciale,ce qui signifie quau jour de remise lescompte, la banque donne moins que ce quil fautdonner.

Exemple 11 : Calculer lescompte rationnel et la valeur actuelle rationnelle dun effet decommerce de valeur nominale 23 250,00 DH, de taux descompte 6% et de dure descompte45 jours, entre le 2 avril, jour de remise lescompte et le 17 mai, date de lchance de leffet.

Comparer les rsultats avec lescompte commercial et la valeur actuelle commerciale.

La dure de lescompte est le nombre de jours qui spare le 2 avril du 12 mai soit 45 jours.

Er = DH08,17306,04536006,04500,23250

t.n360 t.n.VN

E = DH38,174360

06,04523250360

tnVN

Var = DH92,0762306,04536000,23250360

t.n360VN360

VA = VN - E = 23 250,00 - 174,38 = 23 075,63 DH


62

On remarque bien que :

- la valeur actuelle rationnelle est suprieure la valeur actuelle commerciale, eneffet, le 2 avril, jour de remise lescompte, la banque considre que leffet decommerce vaut 23 075,63 DH alors quen ralit il vaut 23 076,92 DH.

- Lescompte rationnel est infrieur lescompte commercial. La banque prlve174,38 DH pour cette opration descompte alors quelle devrait, en principe, neretenir que 173,08 DH.

Exemple 12 : Calculer lescompte rationnel et la valeur actuelle rationnelle dun effet decommerce de valeur Nominale gale 50 000,00 DH et dchance le 31 dcembre, remis lescompte le 20 juillet de la mme anne au taux de 12%.

Comparer les rsultats lescompte commercial et la valeur actuelle commerciale.

La dure de lescompte est le nombre de jours qui spare le 20 juillet du 31 dcembre soit164 jours.

Lescompte commercial : E =360

120,50000164 = 2 733,33 DH

La Valeur actuelle commerciale : VA = VN E

VA = 50 000 2 733,33 = 47 266,67 DH.

Lescompte rationnel : Er =tn360

tnVN

=

0,121643600,1216450000

= 2 591,66 DH

La valeur actuelle rationnelle : Var = VN Er

Var = 50 000 2591,66 = 47 408,34 DH.

On remarque bien que :

- la valeur actuelle rationnelle est suprieure la valeur actuelle commerciale, eneffet, le 20 juillet, jour de remise lescompte, la banque considre que leffet decommerce vaut 47 266,67 DH alors quen ralit il vaut 47408,34 DH.

- Lescompte rationnel est infrieur lescompte commercial. La banque prlve2733,33 DH pour cette opration descompte alors quelle devrait, en principe, neretenir que 2 591,66 DH.


63

Par la dfinition que nous avons donne lescompte rationnel Er et la valeur actuelle

rationnelle Var savoir que Er = 360t.V.n

ar , nous avons considr quon ne peut nommer de

taux rationnel puisquil se confond avec le taux descompte t affich.

Toutes ces considrations nous amnent introduire un certain nombre de taux descompte,selon quon se place du cot de la banque ou de celui du client :

2.5.2. Taux descompte effectif.

Comme nous lavons signal, dans le paragraphe prcdent,, lescompte est prlev par labanque la date de remise lescompte, cest dire en dbut de priode, ce qui correspond ce quon a appel prt intrt prcompt.

Dans le cas dune opration descompte, le crancier ne paie pas un escompte calcul autaux descompte annonc ta mais, en ralit, il paie un escompte calcul un taux plus levappel taux effectif teff. Ce taux effectif doit tre calcul sur la base du capital rellementavanc, par la banque, savoir, la valeur actuelle VA :

n)360

tnVNVN(

360tnVN

360

n)EVN(E360

nVAE360

ta

a

eff

Ce qui donne pour le taux effectif :

a

a

eff tn360t360

t (17)

Cette relation permet de calculer le taux affich ta en fonction du taux effectif teff :

eff

effa tn360

t360t

(18)

Remarquons que, dans la formule (17) (respectivement (18)), le taux effectif(respectivement le taux annonc) ne dpend que du taux annonc (respectivement le tauxeffectif) et de la dure descompte.

Exemple 13 : Calculer le taux descompte effectif dun effet de commerce dont la duredescompte est 56 jours et le taux descompte est de 12%.

teff = 12,0.5636012,0.360

= 12,23 %.


64

Exemple 14 : A quel taux doit escompter une banque les effets de commerce quon luiprsente si elle dsire que son taux effectif soit 9% pour une dure descompte de 90 jours ?

Daprs la formule donnant le taux effectif, nous pouvons calculer le taux annonc :

a

a

eff tn360t360

t => %8,8

09,09036009,0360

tn360t360

teff

effa

.

Exemple 15 : Calculer la dure descompte dun effet dont les taux descompte affich et letaux effectif sont respectivement 9,85% et 10,15% ?

La formule liant taux affich et taux effectif permet de dterminer la dure descompte enfonction de ces deux paramtres :

a

a

eff tn360t360

t => jours108

0985,01015,0)0985,01015,0(360

tt

)tt(360n

aeff

aeff

On trouve un rsultat presque gal 108 jours.

2.5.3. Le taux descompte rel.

En considrant lensemble de ce qui est retenu par la banque (AGIOS TTC) comme intrtde la valeur nominale VN de leffet de commerce, pendant la dure relle descompte n, onobtient le taux rel descompte tr donn par la formule :

tr =n.VN

TTC)(AGIOS.360 (19)

Ce taux est suprieur au taux descompte annonc t.

Exemple 16 : Considrons un effet de commerce dune Valeur Nominale de 40 000,00 DH,dchance le 30 novembre et remis lescompte le 5 octobre de la mme anne aux conditionssuivantes :

- Taux descompte : 12%.- Commission : 10 DH.- Tenir compte dun jour de banque.- Taux de TVA : 10 %.

La dure de lescompte est le nombre de jours qui spare le 5 octobre du 30 novembre, soit56 jours. Pour le calcul de lescompte on considre les 56 jours plus un jour de banque soit 57jours.


65

E =360

12,000,4000057 = 760 DH.

AGIOS HT = 760,00 + 10,00 = 770,00 DH.

TVA = 770,00 x 0,10 = 77,00 DH.

AGIOS TTC = 770,00 + 77,00 = 847,00 DH.

Vnette = 40 000,00 847,00 = 39 153,00 DH.

Le taux rel descompte tr est :

tr =nVN

TTCAGIOS360

=

5600,00040847,00360

= 13,61 %

On constate que le taux rel descompte est suprieur au taux annonc qui est de 12 %.

2.

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