math in natural
DESCRIPTION
math in natureTRANSCRIPT
⌫
จากความหมายทจะอธบายถงสงทเกดตามธรรมชาตในรปของคณตศาสตร นกคณตศาสตรพยายามคนสตร รปแบบ จำนวน ซงอาจจะชวยในการบอกถงสงทเกดขนตามธรรมชาต ตามทเรารกนอยธรรมชาตไมไดเกดขนเปนคณตศาสตรเสมอแตคณตศาสตรจะเกดอยเสมอตามธรรมชาต เชน เรองของ Triple Functionซงเปนจดพเศษทเกดขนตามธรรมชาต จดทเสนมาตดกน 3 เสนเกดมมตรงฐานทตดกนนนเปน 120 องศา พอด
รปแบบทเหนเปน Triple Function จะมในกลวย สบปะรด ขาวโพด รงผง แมแตในลายของ ยราฟปลา และ ขนนกกระจอกเทศ
รปขาวโพด
⌫
รงผง
กลวยหอม
ปลา
⌫
ถาศกษาในสงทอยในธรรมชาต จะเหนวามสงเลก ๆ ทแปลกประหลาดอยในใบไมและในตนไมมากมายสงทแปลก กคอ สงทแตกแยกเปนรองรอยมลกษณะเปนเรขาคณตทมสมมาตร (Symmetry) เจรญออกไปเปนแบบรป (Pattern) เชนทกงกานตนไม ซงแตกแยกเปนแบบรปไมมทสนสด แบบรปจะอยในฟอรมเดยวกนแตจะเลกลง ลองพจารณาด การเจรญของเฟรน
จากทกลาวมาแลวเรามองเหนความสมพนธตาง ๆ เหลานไดอกในธรรมชาตซงแตกแยกและสมมาตรกน เชนการเจรญเตบโตของตนไมมลกษณะเปน โครงสรางภายในธรรมชาตมการเรมตน ของ แนวทางเรขาคณตทไมมท สนสด
เฟรน
โครงสรางตนไม
⌫
ในธรรมชาตทวไปลกษณะการสมมาตรจะมอยในตวของมนเองเปนเอกลกษณ ไมไดเปนรปงดงาม ถาสงเกตแลวการสมมาตรจะมอย ในพช ในสตว ในหนแรธาตตาง ๆ และการสะทอนของนำกมรปทรงทสมมาตรกน
ผเสอ
รปหนาสตว
แมลงเตาทอง
⌫
ในงานทเปนการประดษฐ เชน ในกระดาษตดฝาผนงจะมลกษณะเปนการสมมาตร เชนกน
กระดาษตดฝาผนง
รปแรธาต รปการสะทอน
⌫
การสมมาตรสามารถมองเหนไดในสงตาง ๆ สมมาตรทเปนทรงกลมหมายถง ทกสงเทากนในทกทศทาง ไมมรปแบบทแตกตางกน สงทอยในสวนบนของทรงกลมจะไหลไปในทศทางเดยวกนโดยมลกษณะทเทากน
รปสมมาตรในทรงกลม
⌫
ลำดบฟโบนกซในธรรมชาตเชน รปดอกไมตาง ๆ จะมลกษณะตามรป จำนวนของกลบดอกไมจะเปน 3 , 5 , 8 ,...
ซงเปนจำนวนในลำดบในฟโบนกซ
ดอกลำดวน
ดอกกลวยไม ดอกจำป
ดอกชบา
⌫
รปฟโปนกช
2351113
ผลบวกของสองจำนวนในลำดบฟโปนกชจะเปนฟโปนกช ดงตวอยางตอไปน
จำนวน ผลบวก 1 + 1
1 + 2 2 + 3 5 + 6 8 + 5
ฟโปนกช
ลโอนาโด ฟโบนกซ (Leonado Fibonacci) อยในประเทศอตาลชวง ค.ศ. 1170 – 1240 เปนผคดคนลำดบฟโปนกช ซงเปนลำดบทกำหนดใหเทอมท 1 คอ a1 = 1 เทอมท 2 คอ a2 = 1 เทอมท 3คอ a3 = 2 เทอมท n = an โดยท an = an + an n จะเปนจำนวนนบและ n ³ 3 จะไดลำดบ 1 ,1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 ,…
- 2 - 1
⌫
A
ฟโปนกชและอตราสวนทองอตราสวนทอง
ถา c แบงสวนของเสนตรง AB เปนสองสวนคอ AC และ BC
ทำใหเกด
เรยก อตราสวน วาอตราสวนทองคำ
นยาม ถา a , b เปนจำนวนจรง จะเปนอตราสวนทองคำกตอเมอ
ทฤษฏบท ให เปนอตราสวนทองคำกตอเมอ
B C
A C
A C
A B =
ab
ab
a + b= aab
พสจน จะเปนอตราสวนทองคำab
C B...618.1
2
51
B C
A C
A C
A B =+==
จรงbเปนจานวนและababa
ba
ba
babababa
aba
ba
,,2
512
411
01
0
2
2
22
22
+=
++=
=−−
=−−
+=
+=
251+
=ba
⌫
การสรางเสนตรงใหมอตราสวนทองคำ
1. จาก AB สรางสเหลยมจตรส ABCD2. ลากเสนทะแยงมมบนสเหลยมจตรส3. ตรงจดตดของเสนทะแยงมมจะแบงครง AB ทจด E4. ลาก CF5. กางวงเวยนรศมเทากบ CE ตด AB ทตอไปทจด F
F
C
A B
D
1
C
A B
D
E
จะได ...618.1251 === +
ABAF
BFAB
⌫
พสจน ใหสเหลยมจตรส ABCD มความยาวดานละ 1 หนวย
จากรป
AF = AE + EF
=
จะได AF =
AB = 1
=
และ BF = - =
=
=
=
=
=
12
5+ 21 + 5
2
AFAB
1 + 521 = 1 + 5
212
52
5 - 12
ABBF 5 - 1
2
1
5 - 12
2 ( 5 + 1)5 - 12
2 ( 5 + 1) 4
5 + 1 2
1
2
⌫
เรารวา 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21,… เปนลำดบฟโปนกช ถาทำจำนวนทตดกนใหเปนอตราสวนอยางตำ โดยใชจำนวนนอยเปนตวหารจะเหนวาอตราสวนอยางตำทอยตดกนในลำดบฟโปนกชจะมคาประมาณ 1 : 1.6 ถาเปนสวนของจำนวนทอยหลง 3 แลวจะมคาใกลเคยงกบ 2 คอ ประมาณ 1:1618…
อตราสวน1:1.6666661:1.6000001:1.6250001:1.61538461:1.61904761:1.617647 . . .
อตราสวนของจำนวนทอยตดกน 5 : 3 8 : 513 : 821 : 1334 : 2155 : 34 . . .
⌫
สเหลยมทองคำ (Golden Rectangular)
ในการสรางรปสเหลยมผนผาแลวหารความยาวดวยความกวางจะไดอตราสวนทองคำ ดงรป
ตามรปสเหลยมผนผาซงมลกษณะเปนสเหลยมทองคำจะมคณสมบตทวา y / x = 1.618...หรอดานยาวหารดวย ดานกวาง = 1.618... รป a จะเปนสเหลยมจตรสทอยในสเหลยมผนผาดวยอตราสวน x / x และสวนทเปนรป b จะเปนรปสเหลยมทองคำอกรปดวยอตราสวน x / (y – x ) หรอจะพดอกอยางวาอตราสวนของ ดานยาวของรป b กบความสงซงเปนดานอกดานหนงของรปสเหลยมจะเปนอตราสวนทองคำ นนคอบนดานทมอตราสวนทองคำถาสรางรปสเหลยมจตรสดานยาวดานทเหลอจะเปนรปสเหลยมผนผาซงมอตราสวน เทากบรปเดม
ฟโปนกชและเกลยวทองคำ (Fibonacci and Spiral Golden)ถาหาอตราสวนของสองจำนวนในลำดบฟโปบกชโดยหารแตละเทอมดวยจำนวนทมากอนดวยจำนวนนนเสมอแลวเขยนกราฟแสดงอตราสวน ดงน
111 = , 21
2 = , 123= , ...66.1
35= , 6.15
8 = , 62.1813 = , 615.123
21 =
⌫
อตราสวนของเทอมของฟโปนกชทอยตดกน
อตราสวนทไดเขาใกลอตราสวนทองคำคอประมาณ 1.6 นนคอ ถาให เทอมท n ของลำดบฟโปนกชทเขาใกล infinity จะได
เราสามารถสรางรปทแสดงจำนวนในลำดบฟโปนกช (1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 ,… )โดยเรมทจำนวนสองจำนวนทมขนาด 1 และจำนวนตอไปจะสรางสเหลยมรปจตรสทมพนท 2(1 + 1) ดงรป
รปเกลยวจากลำดบฟโบนกซ
0
0.51
1.5
2
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
จำนวนฟโบนกซ
อตราสวน
lim = = 1.618033988749…n ∞ Fn
Fn+1
⌫
สรางรปสเหลยมจตรสใหมใหสวนทแตะกบขอบของทง 2 รปสเหลยมมคาเปน 3 หนวยและอกรปหนงจะแตะกบดานทง 2 ทมคาเทากบ 5 หนวย เราสามารถสรางรปสเหลยมไปรอบ ๆ รปโดยทดานของรปสเหลยมใหมมความยาวเทากบดานของรปสเหลยมเกา 2 รปบวกกน จะเหนวาสเหลยมผนผาทไดซงมดาน 2 ดานเปนจำนวนในลำดบฟโปนกช 2 จำนวนตดกน ซงเราอาจจะเรยกวาสเหลยมผนผาของฟโปนกช
จะเหนวาสเหลยมผนผาในรปเปนสเหลยมทองคำ เราสรางเกลยวไดโดยนำหนงในสของวงกลมมาตอกบสวนหนงจะเปนรปของสเหลยมจตรส รปเกลยวทองคำนเรยกอกอยางหนงวา Fibonacci Spiralจะมสวนของโคงทเหมอน ๆ กนทเกดในธรรมชาต เชนในรปของหอยทะเล ไดแก หอย ChamberedNautillus , หอย Ammouite
Chambered NautillusAmmouite
⌫
จำนวนฟโบนกซธรรมชาต
ถาดจากการจดการของเมลดทอยในดอกไม จะเหนจำนวนฟโบนกซในเมลด เชน ดอกทานตะวนมการจดการแบบเกลยวทองคำ
ดจากกลบดอกตามรป ถานบเกลยวทเกดขนทงทางซายและทางขวา จะเหนวาถานบตามเขมนาฬกาม 55กลบถานบทวนเขมนาฬกาจะม 34 กลบ จำนวนทงคจะเปนฟโบนกซทอยตดกน
⌫
ทำนองเดยวกน ลกสน (Pine Cone) ทแสดงเซตของเกลยว ฟโบนกซ มเซตของเกลยวเปนสองสวนสวนหนงทมทดทางทหมนตามเขมนาฬกา และอกสวนหนงจะหมนทางตรงขาม ถานบตามเกลยวทงสองเราจะพบวาจำนวนทไดจะเปนจำนวนฟโบนกซทตดกน
รปเซตของเกลยวแสดง 2 ทศทาง
⌫
ลองมองดทมอของเรา จะเหนวาเราม 2 มอ
แตละมอม 5 นว แตละนวม 3 สวน แตละสวนม 2 ขอ แตละขอมกระดก 1 ชน
เรานยมนำอตราสวนทองคำไปใชในเรองทวไปเพราะทำใหมสดสวนสวยงาม เชนการทำไวโอลน การทำเฟอรนเจอรตางๆ เชนการทำ เตยง โตะทำงาน เกาอ หรอแมแตเตยงสำหรบนวดตว
จำนวนฟโบนกซกบสดสวนของรางกาย
ถาเราวดระยะของกระดกในนวมอ จะเหนวา อตราสวนความยาวระหวางกระดกสวนทยาวทสดกบสวนทมขนาดกลางจะมคา 1.618... อตราสวนความยาวระหวางกระดกสวนทมขนาดกลางกบสวนทสนทสดจะมคา 1.618...ดวย
ถาดตามสดสวนของรางกายธรรมชาตจะใหมาเปนอตราสวนทองคำเชน อตราสวนของความสงจากระดบเอวถงเทา กบ หวถงเอว เปนอตราสวนทองคำ อตราสวนของระยะ ศอกถงปลายนว กบระยะ ตนแขนถงศอก กเปนอตราสวนทองคำ
⌫
จำนวนฟโบนกซในรปสามเหลยมปาสคาล
จำนวนในธรรมชาตเรมตนจากการนบจำนวนตางๆ การหาความยาวและ การหาพนทของสงตางๆจาก จำนวนนทางคณตศาสตรไดสรางหลกเกณฑทางคณตศาสตรมากมาย เชน การบวก การลบ การคณการหาร หรอลำดบของเลขคณต ลองมาดจำนวนทไดจากสมประสทธของพจนตางๆ ทไดจากการกระจาย(a – b)n แลวนำมา เขยนแสดงในรปสามเหลยม เรยกวา สามเหลยมปาสคาล (Pascal’s Triangle)
ปาสคาล (Blaise Pascal) อยในระหวาง ค.ศ. 1623 - 1662 เปนชาวฝรงเศสเปนนกคณตศาสตรทม ชอเสยง และเปนผคดคนสามเหลยมปาสคาล (Pascal’s Triangle) ดงรป
รปสามเหลยมปาสคาล (Pascal’s Triangle)
ปาสคาล (Blaise Pascal)
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
⌫
ลองพจารณาดผลบวกของจำนวนทอยบนสามเหลยมปาสคาล จะเหนวาสามเหลยมปาสคาลมขอบสองขางประกอบดวย 1 และแตจำนวนของสามเหลยมเกดจากการบวกของจำนวนทอยเหนอขนไป ดงรป
จำนวนในแถวแสดงถงสมประสทธของพจนตางๆ ทไดจากการกระจาย (a – b)n ตามรป เมอn เปนจำนวนนบจากบนลงลาง n = 0, 1, 2, 3,... ถาไมนบแถว 0 (a + b)3 เปนแถวท 3 จะใหสมประสทธของ (a + b)3 = a3+ 3 , ab2 + 3ab + b3 สมประสทธของพจนตางๆ ทไดจากการกระจายคอ 1 3 3 1
ดงนนในแถวท 4 ท 5 และตอมาจะมสมประสทธอยางไร(a + b)0 1(a + b)1 1 1(a + b)2 1 2 1(a + b)3 1 3 3 1(a + b)4 1 4 6 4 1(a + b)5 1 5 10 10 5 1
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
⌫
ดรปสามเหลยมปาสคาล ถาเปนบวกตามแนวทะแยง (ตามแนวลกศร) จะไดผลลพธเปน 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... ซงเปนลำดบฟโบนกซดวย
ลำด บฟ โ บน ก ซ
ลองหาจำนวนทเปนลำดบฟโบนกซตวตอไปอก 3 ตว
⌫
รปสเหลยมทองคำกบงานศลปะเราทราบแลววารปสเหลยมทองคำจะไดจากดานยาว ( L ) หารดวยดานกวาง ( W )
เมอ จะไดรปสเหลยมทองคำ LW = 1.618
รปสเหลยมทองคำมอตราสวนของดานเปนทชนชอบมาก นำมาใชในงานศลปะตงแตสมยกรก และโรมนในสมยศตวรรษท 20 เชน โครงสรางวหารพาทนอน ภาพคนชรา และ ภาพโมนา ลซา ของลโอนาโดดาวนซ ซง สรางใหมสวนตางๆในใบหนาทเปนอตราสวนทองคำ ดงรป
W
L
L/W = 1.618...
ภาพคนชราของ ลโอนาโด ดาวนซวหารพาทนอน
⌫
การสรางรปหาเหลยมถารปหาเหลยมทวไปถกวาดโดยลากเสนทะแยงมมจากมมหนงไปอกมมหนงโดยดานของหาเหลยมมระยะเทากบ 1 หนวย อตราสวนระหวางดานทะแยงและดานจะมคา 1.618…
ภาพโมนา ลซา ของ ลโอนาโด ดาวนซ
⌫
เราจะพบวารปหาเหลยมทมอตราสวนทองคำในสตวทะเลเชนใน ปลาดาว หรอ Starfish บางทเราเรยกวา Golden Starfish
หรอ ตามรป สรางรปหนาเหลยมดานเทา จะไดอตราสวนทองคำเมอ |AC| / |AB| = |AB| / |BC|
⌫
การสรางรปสามเหลยมทองคำนอกจากนเราสรางรปสามเหลยมทองคำได โดยสรางสามเหลยมหนาจวทมมมทฐานเทากบ 72o
และมมยอดเทากบ 36o ถาแบงฐานสามเหลยมเปนสองสวนจะใหสามเหลยมใหม 2 รป ขบวนการนเปนไปตอเนองกน ขนอยกบขาของรปสามเหลยม อตราสวนทองคำทนบจำนวนไมไดจะปรากฏ เมอไมไดพบรปสามเหลยมและจะไดรปทเปนอตราสวนทองคำดวยโดย |||||AB||||| / |||||BC||||| = 1.618...
ตามการสรางรปน แสดงใหเหนวา สามเหลยมซงสรางสวนโคงใหแตะรปสามเหลยมทมมทำใหเกดเกลยว
⌫
จากการสรางรปสามเหลยมทองคำ 1 รป จะสามารถสรางตอไปภายในอยางไมมทสนสดและเราสามารถสรางรปหาเหลยมไดอกโดยไมมทสนสดเชนกน ดตามรป จดทง 5 ของรปหาเหลยมจะเปนสามเหลยมทองคำดวย
⌫