math book available at amazon and many outlets

htam pot eht tceles ot desu smelborp daipmylO lacitamehtaM gniwollof eseht rof snoituloSdeltit koob eht ni era snoitan dna dlrow eht ni stneduts

snoitulos rieht dna smelborp daipmylO lacitamehtaM drah ehT

tuA yb dehsilbup neiD cuD oV .a.k.a ,hniD evetS yb .esuoHroh

.setis rehto dna moc.nozamA ta noos tubed lliw koob sihT

:etoN yam redaer eht dna rotide txet siht otni detalsnart eb tonnac slobmys lacitamehtam emoS.gnissim meht dnif

8 dnuoR hcraeS tnelaT lacitamehtaM lanoitanretnI fo 1 melborP

ht taht evorP .stinu 01 dna 7 ,4 shtgnel fo era sedutitla esohw elgnairt on si ere

7002 daipmylO lacitamehtaM naeroK eht fo 2 melborP

dna ,laretalirdauq xevnoc a si DCBA BA ≠ tniop a stsixe ereht taht wohS .DC M taht hcus xetal$ \ xetal$ = $}DC{}BA{carf \ = $}DM{}AM{carf xetal$ \ .$}CM{}BM{carf

2002 daipmylO lacitamehtaM gnoK gnoH fo 1 melborP

gnitcesretni ,nward si enil thgiarts a B tniop eht hguorhT .B dna A stniop ta tcesretni selcric owTtnegnat si MA ot lellarap enil A .M ta elcric dnoces eht dna K ta elcric tsrif eht elcric tsrif eht ot

.R ta niaga elcric dnoces eht stcesretni QA enil ehT .Q ta

.KA ot lellarap si R ta elcric dnoces eht ot tnegnat eht taht evorP )a

.MK htiw tnerrucnoc era stnegnat owt eseht taht evorP )b

102 daipmylO lacitamehtaM hsirI eht fo 2 melborP 0

owt tsixe ereht taht esoppuS .CB edis eht fo tniopdim eht etoned P tel dna elgnairt a eb CBA teL ,|ND|2 = |MD| = |DA| taht hcus ylevitcepser ,CA dna BA sedis eht ot roiretni N dna M stniop

ht wohS .PA dna NM senil eht fo tniop noitcesretni eht si D erehw .|CB| = |CA| ta

fo 2 melborP gnoK gnoH 2002 daipmylO lacitamehtaM

.°98²nis + … + °2²nis + °1²nis fo eulav eht dniF

1002 daipmylO lacitamehtaM nairtsuA eht fo 3 melborP

ot lauqe lla era EDA dna DCA ,DBA ,CBA selgnairt eht fo saera eht ,nogatnep xevnoc a nI eht?ECB elgnairt eht fo aera eht si tahW .F eulav emas

orebI eht fo 3 melborP - 8891 daipmylO lacitamehtaM naciremA

era P tniop nevig a ot secitrev rieht morf secnatsid eht taht hcus selgnairt lla neewteb taht wohSirep tsetaerg eht htiw eno eht ,7 dna 5 ,3 .retnecni sa P sah retem

8991 daipmylO lacitamehtaM naklaB roinuJ fo 2 melborP

teL EDCBA ,1 = DC = EA = BA taht hcus nogatnep xevnoc a eb ∠ = CBA ∠ °09 = AED dna.nogatnep eht fo aera eht etupmoC .1 = ED + CB

0002 daipmylO lacitamehtaM nairtsuA fo 4 melborP

non ,etuca eht nI - eht eb H ,retnecmucric eht eb U tel °06 = C elgna htiw CBA elgnairt selecsosi eht fo noitcesretni eht D dna retnecohtro A fo noitcejorp lanogohtro eht ,si taht( CB dna HA senil

fo rotcesib eht si UH enil reluE eht taht wohS .)CB otno ∠ .DHB

0102 daipmylO lacitamehtaM lanoitanretnI eht fo 4 melborP

ht tcesretni PC dna PB ,PA senil ehT .CBA elgnairt eht edisni tniop a eb P teL fo Г elcricmucric e eht stcesretni C ta Г ot tnegnat ehT .ylevitcepser ,M dna L ,K stniop eht ta niaga CBA elgnairt

.LM = KM taht evorP .PS = CS taht esoppuS .S ta BA enil

9002 daipmylO lacitamehtaM hsitirB eht fo 4 melborP

aer evitisop lla rof ,taht evorP srebmun l x, y (4 ,z dna x + y + z > ³) (72 x²y + y + z² z²x .)


O retnec dna 1 htgnel edis fo DCBA tsaot fo eceip erauqs A lauqe owt mrof ot flah ni tuc siuc eb ot sah CBA elgnairt eht fI .ADC dna CBA seceip dluow eno ,aera lauqe fo strap owt otni t

,dniF .siht gniod fo syaw rehto era ereht ,revewoH .OB yrtemmys fo enil eht gnola tuc yllausu elgnairt eht sedivid hcihw tuc thgiarts tsetrohs eht fo noitacol dna htgnel eht ,noitacifitsuj htiw

o strap owt otni CBA .aera lauqe f


hcuot ,C dna B ta sretnec htiw ,suidar tnereffid fo ,selcric owT nommoc A .A ta yllanretxe A hguorht enil ehT .E ta dnoces eht dna D ta elcric tsrif eht sehcuot ,A hguorht ton ,tnegnat

hcihw = CB taht evorP .F ta teem CB fo rotcesib ralucidneprep eht dna ED ot ralucidneprep si .FA2


thgir ,elgnairt a si CBA - srotcesib lanretni ehT .C ta delgna CB teem CBA dna CAB selgna for ,Q dna P ta AC dna .BA ot Q dna P morf sralucidneprep eht fo teef eht era N dna M .ylevitcepse

.NCM elgna dniF


.CB no seil X tniop eht CBA elgnairt nI

taht esoppuS )a ∠ taht dna ,CB fo tniopdim eht si X taht ,°09 = CAB ∠ XAB fo driht eno si∠ ?XCA elgnairt tuoba evorp dna yas uoy nac tahW .CAB

taht esoppuS )b ∠ stcesib XA taht dna ,C ot B morf yaw eht fo driht eno seil X taht ,°06 = CAB∠ ?XCA elgnairt tuoba evorp dna yas uoy nac tahW .CAB

lO lacitamehtaM hsitirB eht fo 3 melborP 6991 daipmy

si B dna O ,A hguorht elcric ehT .retnecmucric sti eb O tel dna ,elgnairt etuca na eb CBA teL eht taht evorP .ylevitcepser ,Q dna P ta niaga S elcric eht teem BC dna AC senil ehT .S dellac

.ralucidneprep era QP dna OC senil

irB eht fo 5 melborP 6991 daipmylO lacitamehtaM hsit

teL a ,srebmun laer evitisop eb c dna b ,

(4 taht evorP )a a + ³ b )³ ( ≥ a + b ³)

(9 taht evorP )b a + ³ b + ³ c )³ ( ≥ a + b + c ³)

3991 daipmylO lacitamehtaM hsirI eht fo 6 melborP

snoitauqe eht yfsitas y ,x srebmun laer ehT

x ³ – 3 x 5 + ² x – 0 = 71

y ³ – 3 y 5 + ² y 0 = 11 +

dniF x + y.

aipmylO lacitamehtaM hsitirB eht fo 7 melborP 8991 d

sah CBA elgnairt A ∠ > CAB ∠ taht os nward si PA enil A .ACB ∠ = CAP ∠ si P erehw ACB dna ,BA ot lellarap si QP taht os detcurtsnoc si elgnairt eht edistuo Q tniop A .elgnairt eht edisni

ht yb Q morf detarapes( CB no tniop eht si R .CA ot lellarap si QB taht hcus )PA enil e ∠ = QRP∠ .ACB elcricmucric eht sehcuot CBAΔ fo elcricmucric eht taht evorP .RQPΔ fo


noitauqe eht fo snoitulos laer lla enimreteD ||||||| x ² – x – | 1 – | 3 – | 5 – | 7 – | 9 – | 11 – 1 = | 3 x ² – 2x – 84 .


eht ,CBA elgnairt a fo retnecmucric eht ,ylevitcepser ,era taht nevig era Z dna X ,Y stniop eerhTdim - eht tcurtsnocer ot woh wohS .CA no B morf edutitla eht fo toof eht dna ,CB fo tniop elgnairt

.CBA


retnuoc delebal( slaretalirdauq cilcyc ralimis owt eb GFEA dna DCBA teL - eb P teL .)esiwkcolco seil P taht wohS .slaretalirdauq eht fo selcricmucric eht fo noitcesretni fo tniop dnoces eht eht n

.EB enil

7791 daipmylO lacitamehtaM naidanaC eht fo 1 melborP

fI f(x = ) x + ² x 4 noitauqe eht taht evorp , f(a = ) f(b sregetni evitisop ni snoitulos on sah ) a dna b.


i dna CBA elgnairt a nevig era eW suidar dna U tniopdim htiw elcricmucric st r eht eb K teL .2 suidar dna U tniopdim htiw elcric r tel dna , c ot lellarap si taht K ot tnegnat eht eb ’ c dna BA =neewteb seil C taht ytreporp eht sah c dna c stnegnat eht ,ylsuogolanA .’ a dna ’ b denimreted era ’ .

sedis htiw elgnairt gnitluser ehT a ,’ b ,’ c gninioj senil eht taht evorP .’C’B’A elgnairt dellac si ’ nommoc a hguorht ssap ’C’B’A dna CBA selgnairt eht fo sedis gnidnopserroc fo stniopdim eht

.tniop


,dniF ( sregetni fo sriap lla ,foorp htiw x, y noitauqe eht gniyfsitas ) 6991 + 1 x 8991 + y = yx .


dna stigid owt tsrif eht htiw demrof srebmun eht fo mus eht taht ni "railucep“ saw 8791 raey ehTstigid owt tsal eht .79 = 87 + 91 ,.e.i ,stigid owt elddim eht htiw demrof rebmun eht ot lauqe si

?rucco eno txen eht lliw nehw dna ,raey railucep suoiverp tsal eht saw tahW


arap C hguorht enil eht L dna elgnairt a eb CBA teL rotcesib lanretni eht teL .BA edis eht ot lell eht fo rotcesib lanretni eht tel dna ,E ta L enil eht dna D ta CB edis eht teem A ta elgna eht fo

.|CB| = |CA| taht evorp ,|ED| = |FG| fI .G ta L enil eht dna F ta CA edis eht teem B ta elgna

eht fo 5 melborP 0991 daipmylO lacitamehtaM hsirI

thgir a eb CBA teL - thgir htiw elgnairt delgna - ralucidneprep eht fo toof eht eb X teL .A ta elgnaeht Y dna ,CB ot A morf evorP .|DB| = |BA| taht os D ot dednetxe eb BA teL .CX fo tniopdim

.YA ot ralucidneprep si XD taht

orP 0002 daipmylO lacitamehtaM hsitirB eht fo 1 melb

selcric gnitcesretni owT 1C dna 2C sehcuot hcihw tnegnat nommoc a evah 1C dna P ta 2C .Q ta eht steem NP enil ehT .si M naht QP ot reraen si N erehw ,N dna M ta tcesretni selcric owt ehT

elcric 2C R ta niaga .RMP elgna stcesib QM taht evorP .


selcric gnitcesretni owT 1C dna 2C sehcuot hcihw tnegnat nommoc a evah 1C dna P ta 2C .Q tavorP .si M naht QP ot reraen si N erehw ,N dna M ta tcesretni selcric owt ehT selgnairt eht taht e

.saera lauqe evah QNM dna PNM


eht no P stniop lla gnomA .A ta elgna thgir a sah CBA elgnairT eht dnif ,elgnairt eht fo retemireptaht hcus P fo noitisop .deziminim si PC + PB + PA

orP 1002 daipmylO lacitamehtaM hsitirB eht fo 8 melb

sah CBA elgnairt A ∠ > BCA ∠ .CBA fo rotcesib lanretni ehT ∠ .D ta CB steem CAB tniop ehT taht hcus si BA no E ∠ .°09 = BDE taht hcus si CA no F tniop ehT ∠ = DEB ∠ .FED taht wohS

∠ = DAB ∠ .CDF

airtsuA fo 5 melborP 8891 daipmylO lacitamehtaM n

B stniop ta sedis etisoppo eht tcesretni CBA elgnairt fo C dna B selgna fo srotcesib ehT ,′C dna ′B enil eht taht wohS .ylevitcepser .elgnairt eht fo elcricni eht stcesretni ′C′


A ,DC ,CB senil eht morf A fo secnatsid ehT .elcric a ni debircsni si EDCBA nogatnep xevnoc era ED a, b, c .EB enil eht morf A fo ecnatsid eht etupmoC .ylevitcepser ,


a esutbo na htiw ,elgnairt a eb CBA teL tniop a eb Q teL .A ta elgn eht no )C ro B ,A naht rehto( eht fo dne rehto eht eb P tel dna ,A sa CB drohc fo edis emas eht no ,elgnairt eht fo elcricmucric

,BA dna AC otno Q morf sralucidneprep eht fo teef eht eb W dna V teL .Q hguorht retemaid

evitcepser .ralimis era VWA dna CBP selgnairt eht taht evorP .yl eht fo elcricmucric ehT :etoNelgnairt secitrev eht hguorht sessap hcihw elcric eht si CBA dna B ,A .C


A no tniop a eb D tel dna elgnairt a eb CBA teL taht hcus B hT .BA = DA4 flah e - enil nward si ℓ =θ erehw AD htiw θ fo elgna na gnikam dna D morf gnitrats ,C sa BA fo edis emas eht no

∠ flah eht steem CBA fo elcricmucric eht fI .BCA - enil .DP2 = BP taht wohs ,P ta ℓ


ruof a si N -d ruof eht si )N(R dna ,orez ni gnidne ton ,regetni tigi - yb deniatbo regetni tigid.3275 = )5723(R ,elpmaxe rof ;N fo stigid eht gnisrever hcihw rof N sregetni hcus lla enimreteD

.3 + N4 = )N(R

fo 1 melborP s’napaJ otoyK ytisrevinU 0102 maxE ecnartnE

a neviG A .1=CA ,2= BA taht hcus CBAΔ fo rotcesib ∠ ,DB = DA fI .D ta CB stcesretni CAB.CBAΔ fo aera eht dnif neht

0102 daipmylO lacitamehtaM naissuR eht fo 8 melborP

elgnairt etuca a nI ,naidem eht ,CBA edis naht regnol si ,MA tuc nac uoy taht evorP .BAlgnairt e CBA otni eerht .submohr a tcurtsnoc nac uoy hcihw fo tuo strap

0102 daipmylO lacitamehtaM naeporuE elddiM eht fo 3 melborP

tniop a htiw DCBA laretalirdauq cilcyc a nevig era eW E CA lanogaid eht no taht hcus = DAEA dna teL .EC = BC M ht fo retnec eht eb elcricmucric e k ehT .EDB elgnairt eht fo

elcric k enil eht stcesretni CA stniop ta E dna senil eht taht evorP .F CB dna DA ,MF eno ta teem.tniop

orebI eht fo 1 melborP - 9991 daipmylO lacitamehtaM naciremA

hcus 0001 naht ssel sregetni evitisop eht lla dniF fo ebuc eht taht ot lauqe si stigid sti fo mus eht.regetni hcus fo erauqs eht

melborP daipmylO lacitamehtaM elpmaS

fo sretemirep eht taht hcus FC dna EB ,DA edutitla sti dna H retnecohtro sti ,CBA elgnairt neviGmas eht era CHB dna CHA ,BHA selgnairt eht ( .laretaliuqe si CBA elgnairt taht evorP .e sihT

.noititepmoc yna ni desu reven tub desoporp saw melborp )

fo 3 melborP s’napaJ ihsabustotiH ytisrevinU 0102 maxE ecnartnE

eht nI zyx htiw ecaps stniop ekat ,)0 ,0 ,0( O A eht no x- ,sixa B eht no yx dna enalp C eht no z- taht hcus sixa ∠ = CAO ∠ ,q = CBO ∠ eht taht etoN .3 = CO ,q2 = BOA x- fo etanidrooc ,A

eht y- fo etanidrooc B eht dna z- fo etanidrooc C .evitisop lla era

3002 daipmylO lacitamehtaM nainarI eht fo 42 melborP

a F ,E ,D stniop CBA elgnairt etuca na nI morf sedutitla eht fo teef eht er dna B ,A,C hguorht enil A .ylevitcepser D ot lellarap ta CA steem FE Q dna BA ta seniL .R CBdna FE elcricmucric eht taht evorP .P ta tcesretni elgnairt fo RQP tniopdim eht hguorht sessap

fo .CB

fo 5 melborP nawiaT mehtaM 9991 daipmylO lacita

,D ta sedis etisoppo eht teem CBA elgnairt etuca na fo C ,B ,A secitrev eht hguorht sedutitla ehT ot lellarap D hguorht enil eht dna ,P ta CB steem FE enil ehT .CA > BA dna ,ylevitcepser ,F ,E

r ,R dna Q ta BA dna CA senil eht steem FE taht hcus CB enil eht no tniop a si N .ylevitcepse∠ + PQN ∠ .NC > NB taht evorP .º081 < PRN

eht fo 4 melborP gnoK gnoH 9002 daipmylO lacitamehtaM

suidar sah BAO rotces eht ,woleb erugif nI mc4 dna ∠ imes eht teL .elgna thgir a si BOA - elcricretemaid htiw BO imes eht stcesretni JI dna ,AO || JI htiw I ta deretnec eb - aera eht fI .K ta elcric

.T fo eulav eht dnif ,²mc T si noiger dedahs eht fo


eil E dna D stniop ehT .92 = CB dna 12 =CA ,02= BA ,CBA elgnairt a nI tnemges enil eht no elgna eht etaluclaC .9 = CE dna 8 = DB htiw ,CB ∠ .EAD


,F dna E ta CBA fo elcricmucric eht tuc IC dna IB ,retnecni eht si I ,CBA elgnairt a nI.FE fo tniopdim eht si M .ylevitcepser C stuc MI .FE retemaid htiw elcric a si C L stniop owt ta

ht dna K dna xetal$ taht evorP .D ta )A gniniatnoc ton( CBA fo elcricmucric fo CB cra e\ xetal$ = $}LI{}LD{carf \ .}KI{}KD{carf


,BA fo stniopdim ehT .laretalirdauq xevnoc a eb DCBA teL

,S dna R ,Q ,P era AD dna DC ,CB taht neviG .ylevitcepser

eht fo aera eht taht evorp ,1 aera sah SRQP laretalirdauq eht

.2 si DCBA laretalirdauq


nim eht no tniop a eb D teL .CB > CA > BA htiw CBA elgnairt a fo retnecmucric eht eb C teL roBA taht hcus DA no stniop eb F dna E tel dna ,elcricmucric eht fo CB cra ⊥ CA dna EO ⊥ .FO

neht ,OP+ CP = BP fi taht evorP .P ta teem FC dna EB senil ehT ∠ .°03 = CAB

0991 daipmylO lacitamehtaM hsitirB fo 3 melborP

talirdauq xevnoc a fo D ,C ,B ,A selgna ehT noitaler eht yfsitas lare

si ro )diozepart rof hsitirB( muizepart a si DCBA taht evorP .0 = Dsoc + Csoc + Bsoc + Asoc.cilcyc


etuca na nI - selcric owt CBA elgnairt delgna 1k dna 2k a sretemaid esohw nward era sedis eht eredutitla eht fo toof eht eb E teL .CB dna CA bh edutitla eht fo toof eht eb F tel dna CA no ah no

.CB elcric eht htiw EB enil eht fo snoitcesretni eht eb N dna L teL 1k tel dna )EB enil eht no L(tiw FA enil eht fo snoitcesretni eht eb M dna K elcric eht h 2k taht wohS .)FA enil eht no K(

.laretalirdauq cilcyc a si NMLK


elgnairt fo elcricmucric ehT .elgnairt etuca na si PBA taht hcus margolellarap a eb CPBA teL .Q ta niaga PC enil eht steem CBA ,fi ylno dna ,fi CA = QP taht evorP ∠ .°06 = PCA

ehT .secitrev sti hguorht sessap hcihw elcric eht si elgnairt a fo elcricmucric

2991 daipmylO lacitamehtaM esemanteiV eht fo 1 melborP

gniyfsitas nordehartet a eb DCBA teL

)a ∠ + DCA ∠ dna ,°081 = DCB

)b ∠ + CAB ∠ + DAC ∠ = BAD ∠ + CBA ∠ + DBC ∠ = ABD .°081

= BC + CA wonk ew fi )BAD( + )ADC( + )DCB( + )CBA( fo eulav dniF k dna ∠ = BCA.a :etoN )Ω( epahs fo aera eht setoned .Ω


eht edisni tniop a eb M teL .enalp eht ni nevig si CBA elgnairt A elgnairt sti eb ’C ,’B ,’A dna = ’AM×AM hcihw rof M fo sucol eht dniF .ylevitcepser ,BA ,AC ,CB sedis eht no snoitcejorp

.’CM×CM = ’BM×BM

0991 daipmylO lacitamehtaM naidanaC eht fo 3 melborP

anogaid tel dna ,elcric a ni debircsni laretalirdauq xevnoc a eb DCBA teL ta teem DB dna CA sl .ylevitcepser ,'D ,'C ,'B ,'A ta AD ,DC ,CB ,BA sedis eht teem X morf sralucidneprep ehT .X

taht evorP .|'C'B| + |'D'A| = |'D'C| + |'B'A| ).cte ,'B'A tnemges enil fo htgnel eht si |'B'A|(

daipmylO lacitamehtaM hsitirB eht fo 2 melborP 5002

teL x dna y hcus lla dniF .5 naht regral srotcaf emirp on htiw sregetni evitisop eb x dna y hcihwyfsitas x ² – y 2 = ² k non emos rof - .k regetni evitagen


uger eb ton yam hcihw( nogaxeh a eb FEDCBA teL ,si tahT( .S elcric a sebircsmucric hcihw ,)ral rieht ta FE ,DC ,BA sehcuot S elcric ehT ).nogaxeh eht fo sedis xis eht fo hcae ot tnegnat si S

,AF ,ED ,CB htiw S fo tcatnoc fo stniop eht eb Z ,Y ,X teL .ylevitcepser ,R ,Q ,P stniopdim evorP .ylevitcepser .tnerrucnoc era XR dna ZQ ,YP taht


tsael eht dniF k serauqs eht fo mus eht sa desserpxe eb nac 0102 rebmun eht hcihw roffo k .sregetni


esnoc owt fo mus ehT .²5 = ²4 + ²3 ,ecnatsni rof :erauqs a eb nac serauqs evituc

)a sesac eht rof erauqs a eb tonnac serauqs evitucesnoc m fo mus eht taht evorP m .6 ,5 ,4 ,3 =

)b .erauqs a si mus esohw serauqs evitucesnoc nevele fo elpmaxe na dniF

eht fo 8 melborP dnalkcuA 9002 daipmylO lacitamehtaM

regetni evitisop tsellams eht si tahW n sregetni evitisop tsixe ereht taht hcus , a dna b ,htiw b morf deniatbo a taht os ,stigid sti fo tnemegnarraer a yb a – b ( 1…11 = n ?)s’1 fo stigid

t esutbo eht rof meroeht s’tonraC fo foorP elgnair

teL CBA taht evorP .elgnairt esutbo yrartibra na eb

,FD + r + R = HD + GD

erehw r eht D ,ylevitcepser ,CBA elgnairt fo suidarmucric dna suidarni eht era R dna ,CB dna BA ,CA sedis eht ot sedutitla eht HD dna GD ,FD ,CBA elgnairt fo retnecmucric

ser .ylevitcep


taht os ,ylevitcepser ,DCBA submohr eht fo DC ,CB ,BA sedis eht no dekram era Z ,Y ,X stnioP.tnerrucnoc era DB dna YA ,ZX taht evorP .ZA || YX

eht fo 1 melborP gnoK gnoH aipmylO lacitamehtaM 7002 d

enil ehT .DC + CA = DB + BA taht hcus CBA elgnairt fo CB edis eht no tniop a eb D teL fo tniop eht eb E teL .A ot resolc X htiw Y dna X ta CBA elgnairt fo elcricni eht tuc DA tnemges

taht wohS .CB edis eht no CBA elgnairt fo elcricni eht fo tcatnoc

,DA ot ralucidneprep si YE )a

.CB fo tniopdim eht si M dna CBA elgnairt eht fo retnecni eht si I erehw ,MI×2 si DX )b

7002 daipmylO lacitamehtaM nainotsE eht fo 4 melborP

tcepser ,DC dna CB sedis fo roiretni eht ni nesohc era F dna E stniop ,DCBA erauqs nI ehT .ylevi dna EA fo G tniop noitcesretni eht hguorht sessap EA ot ralucidneprep F morf nward enil

dniF .FE = KA taht hcus GF no nesohc si K tniop A .DB lanogaid ∠ .FKE

eht fo 4 melborP gnoK gnoH 9002 tseT noitceleS maeT OM

ta yllanretxe rehto hcae hcuot yeht ,enalp eht ni nevig era iidar tnereffid htiw 2C ,1C selcric owTA stniop yna redisnoC .T ∈ B dna 1C ∈ taht hcus ,T morf tnereffid htob ,2C ∠ .°09 = BTA

ht wohS )a .tnerrucnoc era BA senil hcus lla ta

.BA stnemges hcus lla fo stniopdim fo sucol eht dniF )b

fo 3 melborP oykoT ytisrevinU 6002 maxE ecnartnE

,0(P tniop eht neviG p) eht no y- enil eht dna sixa y :m eht htiw enalp etanidrooc eht no x)qnat( =erehw ,nigiro p < 0 ,1 > q enil eht ,noitamrofsnart cirtemmys eht yb woN .2/p < l a epols htiw sa

O nigiro eht ,yrtemmys fo sixa eht Q tniop eht deppam saw enil eht no gniyl y tsrif eht ni 1 =P tniop eht dna tnardauq eht no y- tniop eht deppam saw sixa R nil eht no gniyl e m tsrif eht ni

.tnardauq nat sserpxE )a q fo smret ni a dna p.

tniop eht tsixe ereht taht evorP )b P fo eulav eht dnif neht ,noitidnoc gniwollof eht gniyfsitas p. :noitidnoC yna roF q < 0( q )2/p < ucidneprep si dna nigiro eht hguorht gnissap enil eht ot ral

enil eht y si l = (nat[ q ])3/ .x

5991 daipmylO lacitamehtaM srednalF muigleB eht fo 3 melborP

stnioP suidar htiw elcric a no era D ,C ,B ,A R ,|CD| neewteb oitar eht elihw ,005 = |BA| = |CA| .dniF .7 ,5 ,1 si |BD| ,|AD| R.

tamehtaM naeroK fo 5 melborP 6002 daipmylO laci

FEDCBA nogaxeh xevnoc a nI selgnairt AFE ,EDC ,CBA eseht no snoitidnoc dniF .ralimis eraECA elgnairt hcihw rednu selgnairt si os fi ylno dna fi laretaliuqe si .FDB

fo 5 melborP nawiaT 5991 daipmylO lacitamehtaM

c eht no tniop a eb P teL oslA .CBAΔ fo retnecohtro eht eb H dna CBAΔ fo elcric debircsmucri ,BA dna AC ,CB ot P morf ralucidneprep eht fo noitcesretni fo stniop eht eb F dna E ,D tel

era F dna E ,D stniop eerht eht taht nwonk si tI .ylevitcepser oc l FED enil eht taht evorP .raenil.HP tnemges enil eht fo tniopdim eht hguorht sessap

eht fo 4 melborP nawiaT 1002 pmaC retniW

tniopdim eht eb M teL .yllanretxe CB edis eht gnihcuot CBAΔ fo elcricxe fo retnec eht eb O teLfi ,PB = BA taht evorP .CB dna OM fo tniop noitcesretni eht P ,CA fo ∠ 2 = CAB ∠ .BCA


3 mrof eht fo srebmun lla redisnoC n + ² n erehw ,1 + n .regetni evitisop a si

?eb rebmun a hcus fo )01 esab ni( stigid eht fo mus eht nac llams woH )a

ti fo mus eht evah rebmun a hcus naC )b ?9991 ot lauqe )01 esab ni( stigid s

fo 6 melborP yaugurU 9002 daipmylO lacitamehtaM

... +3 +2 +1 mus eht sI 8002 + ?7 yb elbisivid

5991 daipmylO lacitamehtaM esenapaJ eht fo 3 melborP

tel ,EDCBA nogatnep xevnoc a nI P ,T ,R ,S o snoitcesretni eht eb Q dna f DA ,EB dna CA dna,EB CA dna EC ,DB dna fo lla fI .ylevitcepser ,DA dna EC ,DB ,TPCΔ ,STBΔ ,RSAΔ

PQDΔ dna QREΔ fo aera eht evah ,1 snogatnep gniwollof eht fo aera eht dnif neht

nogatnep ehT )a .TSRQP nogatnep ehT )b .EDCBA

avolS dna hcezC eht fo 2 melborP 2002 daipmylO lacitamehtaM k

,BA sedis eht no eil M dna L ,K secitrev esohw ,MLK elgnairt laretaliuqe yrartibra na redisnoC sedis eht fo stniopdim eht fo sucol eht dniF .DCBA erauqs nevig a fo ,ylevitcepser ,DC dna CB

.MLK selgnairt hcus lla fo LK

’dnalecI daipmylO lacitamehtaM lanoitanretnI rof melborp s

eht eb N ,M teL .CB ot A morf ralucidneprep eht fo toof eht eb H tel ,CBA elgnairt etuca na roFenifeD .ylevitcepser ,CA ,BA ot H morf ralucidneprep eht fo teef l A hguorht enil eht eb ot A

ot ralucidneprep enifed ylralimis dna NM l dna B l taht wohS .C l ,A l dna B l a hguorht ssap C.O tniop nommoc


roF .x ot lauqe ro naht ssel regetni tsegral eht eb ot ]x[ enifed ,x rebmun laer yrartibra roFdna 2 = ]2[ ,ecnatsni .]001×800.1[ fo eulav eht dniF .3 = ]4.3[


.R fo eulav eht dnif ,7 yb dedivid 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 fo redniamer eht si R fI

daipmylO lacitamehtaM hsirI eht rof melborp elpmaS

evitisop yreve rof ,taht evorP 02 ,5 tigid eht ni sdne hcihw n regetni 51 + 8 + 6 + yb elbisivid si.9002


fI .x naht retaerg ton regetni tsegral eht eb ]x[ teL a = fo eulav eht dnif ,61 + ])([ a.

fo 3 melborP gnoK gnoH ylO lacitamehtaM 7002 daipm

8 = 802802 a 8 + b 8 + c 8 + d 8 + e + f erehw , a, b, c, d, e dna f 0 dna sregetni era ≤ a, b, c, d, e, f ≤fo eulav eht dniF .7 a×b×c + d×e×f.


fo eulav elbissop tsegral eht dnif ,regetni na si k erehw ,6 yb elbisivid si !41 fI k.

fo 8 melborP gnoK gnoH aipmylO lacitamehtaM 7002 d

dna 429999063 ,42999063 ,4299063 ,429063 ,42063 ,4263 srebmun neves eht tsgnomA.n fo eulav eht dniF .83 yb elbisivid era taht meht fo n era ereht ,4299999063


elcricxe eht fo retnec eht eb O teL C emussA .A xetrev etisoppo CBA elgnairt fo C BA sehcuotteL .ylevitcepser ,F dna E ta CA dna eb M teL .ylevitcepser ,Q dna P ta FE tcesretni CO dna BO

eht ot lauqe si CB enil eht dna M neewteb ecnatsid eht taht evorP .QB dna PC fo noitcesretni eht suidarni .CBAΔ fo


CAP elgna taht hcus si CB edis eht no si P tniop eht dna ,°021 si CAB elgna ,CBA elgnairt eht nI.thgir si .BA edis fo htgnel eht etaluclac ,1 = BP = CA taht gniwonK

lacitamehtaM naisuraleB 1 melborP B yrogetaC 4002 daipmylO

tsellams eht dniF .O tniop ta teem FEDCBA nogaxeh xevnoc a fo FC ,EB ,DA slanogaid ehT dna 6 ,4 ot lauqe era FOE ,DOC ,BOA selgnairt eht fo saera eht fi nogaxeh siht fo aera elbissop

.ylevitcepser ,9

eht fo 5 melborP gnoK gnoH taM 7002 daipmylO lacitameh

eht fo teef eht taht evorP .CBA elgnairt etuca na fo sedutitla eht era FC dna ,EB ,DA.enil thgiarts emas eht no eil DA dna EB ,CB ,CA stnemges eht otno F morf sralucidneprep


t owT eb PA teL .B ta T dna A ta S steem hcihw tnegnat nommoc a erahs T dna S selcric gnihcuo.QP = PA taht wohS .Q ta ti hcuot T ot P morf tnegnat eht tel dna S fo retemaid a

4002 tseT noitceleS maeT OM nainotsE fo 2 melborP

uca eht fo retnecmucric eht eb O teL tniop ta tcesretni CB dna OA senil tel dna CBA elgnairt et evorP .CK = MK dna BK = LK taht hcus nesohc era M dna L stniop ,CA dna BA sedis nO .K

.lellarap era CB dna ML stnemges eht taht


8 tsehgih eht si tahW - ?99 fo elpitlum a si dna 9002 ni gnidne rebmun tigid


CBA elgnairt neviG htiw ∠ BA ,°06 = A = CA ,5002 = boB .6002

owt taht os enil thgiarts yna gnola elgnairt eht tuc )tsrif eht si boB( nrut ni lliB dna selgnairt wen desutbo na taht retfA .raeppa 1 ot lauqe ro naht erom aera htiw - owt fo yna ro( elgnairt delgna

thgir - ehT .elgnairt deniamer eht htiw detaeper si erudecorp eht dna deteled si )selgnairt delgnaeD .gnittuc txen eht od tonnac eh fi sesol reyalp eht ni yalp htob fi sniw reyalp hcihw ,enimret

.yaw tseb

hcezC eht fo 4 melborP - hsiloP - 9002 noititepmoC htaM kavolS

elcric a neviG k cra regnol eht edisni tniop yna eb C tel ,retemaid a ton si hcihw BA drohc sti dnafo BA k L dna K yb etoned eW . celfer eht .CA dna CB sexa eht ot tcepser htiw B dna A fo snoitevorP eht fo tnednepedni si KA dna LK stnemges enil eht fo stniopdim eht fo ecnatsid eht taht

.C tniop fo noitacol


01 naht ssel srebmun emirp ruof dniF 3 fo srotcaf era hcihw 0 – .2


srebmun laer evitisop roF a, b, c taht evorp ,

(a + ² b ²)² ( ≥ a + b + c () a + b – c () b + c – a () c + a – b .)


teL n .erauqs tcefrep a si ti neht ,regetni na si 2 + 2 fi ,taht wohS .regetni na eb

5002 daipmylO lacitamehtaM naeroK eht fo 3 melborP

diozepart a nI A DCB htiw sretemaid htiw selcric eht etoned 4O ,3O ,2O ,1O ,CB || DA ,CB ,BA si hcihw diozepart eht edisni retnec htiw elcric a stsixe ereht taht wohS .ylevitcepser ,AD ,DC

selcric ruof eht lla ot tnegnat 4O ,3O ,2O ,1O fi ylno dna fi argolellarap a si DCBA .m

yellaV nociliS melborP weivretnI boJ gnireenignE lacipyT

htiw 2C elcric ni dedulcni ton fo retemaid htiw 1C elcric eht fo retemirep eht dna aera eht dniF.1C fo retemaid eht mrof ot detcennoc era aera siht fo sdne htoB .2 fo retemaid eht

ht fo 1 melborP 7002 daipmylO lacitamehtaM hsitirB e

fo eulav eht dniF ...

4002 noititepmoC lacitamehtaM nacirfA naP fo 2 melborP

?regetni na + 4 sI


uot osla yeht ;K ta yllanretxe rehto hcae hcuot 2S dna 1S selcric owT ta yllanretni S elcric a hc 1S ot tnegnat nommoc eht htiw S fo noitcesretni fo tniop eno eb P teL .ylevitcepser ,2A dna 1A

taht evorP .2B ta niaga 2S steem 2AP dna ,1B ta niaga 1S steem 1AP enil ehT .K ta 2S dna.2S dna 1S ot tnegnat nommoc a si 2B1B

lborP 3991 daipmylO lacitamehtaM hsitirB eht fo 1 me

xis a ,dohtem ruoy gniwohs ,dniF - regetni tigid n eht htiw

)i( :seitreporp gniwollof n stigid eerht tsal eht yb demrof rebmun eht )ii( ,erauqs tcefrep a sifo n yb demrof rebmun eht naht retaerg eno yltcaxe si fo stigid eerht tsrif eht n ( . suhT thgim n

.erauqs a ton si siht hguohtla ,421321 ekil kool )

5991 daipmylO lacitamehtaM nailizarB eht fo 4 melborP

edis sah nordehartet raluger A l dessap eb nac nordehartet eht taht hcus x tsellams eht si tahW .ol a hguorht ?x htgnel fo eciwt fo po

2002 daipmylO lacitamehtaM kavolS dna hcezC eht fo 4 melborP

srebmun laer fo sriap lla dniF a, b srebmun laer eht fo niamod eht ni noitauqe eht hcihw rof x

= x .21 slauqe meht fo mus eht dna snoitulos owt sah

itirB eht fo 1 melborP 1002 daipmylO lacitamehtaM hs

sregetni evitisop lla dniF m, n erehw , n yfsitas taht ,ddo si ... = +

5991 daipmylO lacitamehtaM nailizarB eht fo 1 melborP

ehT .I retnec elcric debircsni na dna O retnec elcricmucric a htiw laretalirdauq a si DCBAi slanogaid .erauqs a eb tsum ti neht ,edicnioc S ,I ,O fo owt fi taht wohS .S ta tcesretn

fo 4 melborP anihC 7991 daipmylO lacitamehtaM

dna P ta tcesretni CD dna BA senil esoppuS .elcric a ni debircsni eb DCBA laretalirdauq teLQ morF .Q ta tcesretni CB dna DA senil elcric eht ot FQ dna EQ stnegnat owt eht tcurtsnoc

.raenilloc era F ,E ,P stniop eerht eht taht evorP .ycnegnat fo stniop eht era F dna E erehw


t fo tesbus tnereffid a setivni dna sdneirf neves sah nosrep A rof thgin yreve rennid ot sdneirf eerh tsael ta detivni era sdneirf lla taht os enod eb siht nac syaw ynam woh nI .)syad 7( keew eno

?ecno


ruof fo riap eht redisnoC - sregetni evitisop tigid 0063( = )N ,M( .)0052 , era N dna M taht ecitoN owt gniniamer eht ni stigid gnireffid dna ,secalp owt ni stigid lauqe htiw ,serauqs tcefrep htob

eht naht retaerg eno yltcaxe si M ni tigid eht ,reffid stigid eht nehw ,revoeroM .secalp.N ni tigid gnidnopserroc ap lla dniF ruof fo sri - eseht htiw )N ,M( sregetni evitisop tigid

.seitreporp

fo 5 melborP suraleB 7991 daipmylO lacitamehtaM

taht sdloh ti DC k BA htiw DCBA diozepart a nI ∠ + BDA ∠ = CB×BA taht evorP .°081 = CBD.CD×DA

fo 1 melborP dnaloP 7991 daipmylO lacitamehtaM

eL DCBA t htiw nordehartet a eb ∠ ,°06 = DAB ∠ ,°04 = CAB ∠ ,°08 = DBA ∠ .°07 = CBADC dna BA senil eht taht evorP .ralucidneprep era

fo 4 melborP dnaloP 6991 daipmylO lacitamehtaM

DCBA htiw nordehartet a si ∠ = CAB ∠ dna ,DCA ∠ = DBA ∠ taht wohS .CDB .DC = BA

elborP 9991 daipmylO lacitamehtaM yragnuH fo 6 m

eht fo emulov mumixam eht si tahW .erehps a no eil nordehartet a fo segde eht fo stniopdim ehT?nordehartet


teL a dna b dna ,enalp eht ni senil owt eb gnisU .woleb erugif eht ni nwohs sa tniop a eb C tel taht os ,CBA elgnairt thgir selecsosi na tcurtsnoc ,egde thgiarts dekramnu na dna ssapmoc a ylno

enil no si A a enil no si B , b .CBA elgnairt fo esunetopyh eht si BA dna ,

citamehtaM nairtsuA fo 2 melborP 4002 daipmylO la

noitauqe eht evloS = ...

non era stoor erauqs eht lla( - )evitagen

fo 3 melborP manteiV 2691 daipmylO lacitamehtaM

teL DCBA morf sralucidneprep eht fo teef eht ’B ,’A yb etoneD .nordehartet a eb ,B dna A.secaf etisoppo eht ot ylevitcepser dna ’AA taht wohS ’BB BA fi ylno dna fi tcesretni si

?DB = CB = DA = CA fi tcesretni yeht oD .DC ot ralucidneprep

fo 8 melborP aigroeG 5002 tseT noitceleS maeT OM

laretalirdauq xevnoc a nI DCBA Q dna P stniop eht sedis eht no nesohc eraCB dna ,DC tcepser taht os ylevi ∠ = PAB ∠ eht hguorht gnissap ,enil eht taht evorP .QAD

selgnairt fo sretnecohtro PBA CA ot ralucidneprep si ,QDA dna selgnairt eht fi ylno dna fiPBA QDA dna .saera emas eht evah

weN eht fo 2 melborP dnalaeZ OM 0102 noitceleS pmaC

rohc a si BA htgnel fo d ni 6 rotces eht ni debircsni si erauqs A .O retnec dna 5 suidar fo elcric a eht fo aera eht dniF .BA ot lellarap sedis owt dna ecnerefmucric eht no secitrev owt htiw BAO

.erauqs

fo 4 melborP gnoK gnoH OM 4991 tseT noitceleS maeT

taht esoppuS zy + xz + yx dna 1 = x, y dna , z taht evorP .0 ≥

x l( – y 1()² – z + )² y l( – z 1()² – x + )² z l( – x 1()² – y )² .4 ≤


si secitrev lla fo selgna fo mus eht taht wonk ew nordehartet a nI ew ,A xetrev rof ,.g.e( .°081 evah ∠ + CAB � + DAC � 81 = BAD ).°0 ruof era nordehartet siht fo secaf eht taht evorP

.selgnairt tneurgnoc

fo 3 melborP avodloM 2002 daipmylO lacitamehtaM

elgna na redisnoC � B stniop dexif eht dna ,FED C dna imes eht no - FE enil elbairav eht dnatniop A fo noitisop eht enimreteD .DE no A DE no mus eht taht hcus CA + BA .muminim si


elgnairt a nI B ta selgna eht fo srotcesib eht ,CBA dna C 1B sedis etisoppo eht teem dna ,1CteL .ylevitcepser T tniopdim eht eb TB seniL 1BA dna 1C1B ta teem E dna

senil BA dna EC LT senil eht taht evorP .L ta teem dna 1C1B .nommoc ni tniop a evah

8002 snwoT fo tnemanruoT 3P melborP

elgnairt etucA 3A2A1A suidar fo elcric a ni debircsni si ,1B stniop esoohc nac eno taht evorP .23B ,2B scra eht no A dna 3A2A ,2A1A eht fo eulav laciremun eht taht hcus ,ylevitcepser ,1A3

3B3A2B2A1B1A nogaxeh eht fo aera eht fo retemirep eht fo eulav laciremun eht ot lauqe sielgnairt .3A2A1A

fo 7 melborP avodloM 3002 tseT noitceleS maeT OM

dna BA sedis ehT CBA elgnairt eht fo CA t era retnec htiw elcricni eht ot tnegna I eht foCBAΔ eht fo srotcesib lanretni ehT .ylevitcepser ,N dna M stniop eht ta CBAΔ nward

morf B dna C NM enil eht tcesretni P stniop eht ta taht esoppuS .ylevitcepser ,Q dna eht si FPC senil eht fo tniop noitcesretni IF taht evorP .QB dna � .CB

fo 02 melborP aisenodnI 9002 tseT noitceleS maeT OM

teL DCBA N ,M teL .laretalirdauq xevnoc a eb fo stniopdim eht eb ,DA ,BA ehT .ylevitcepserM morf ralucidneprep fo toof DC ot N morf ralucidneprep fo toof eht dna ,K si CB ot si .L

wohS NMLK neht ,tnerrucnoc era LN dna KM ,DB ,CA fi taht .laretalirdauq cilcyc a si

P 9002 snwoT fo tnemanruoT 5A melbor

teL ZYX FEDCBA nogaxeh xevnoc ehT .elgnairt a eb DC ,BA taht hcus si dna FE lellarap eradna ZY ,YX ot lauqe dna P .ylevitcepser ,XZ eht ta secitrev htiw elgnairt fo aera eht taht evor

fo stniopdim AF dna ED ,CB .ZYX elgnairt fo aera eht naht ssel on si


DCBA teL N tel dna laretalirdauq xevnoc a eb DA edis no M dna CB edis no cus stniop eb taht hdna MA senil ehT . = NB NC senil eht elihw ,P ta tcesretni MD dna fi taht evorP .Q ta tcesretni

CB || DA rehtie neht ,QPNMS = QDCS + PBAS N ro .AD fo tniopdim eht si

yragnuH fo 3 melborP - 4991 lanoitaniB learsI

uidar emas eht evah selcric nevig eerhT tniop nommoc a hguorht ssap dna s stniop rehto riehT .Priap fo - tnegnat si sedis esohw fo hcae ,’C’B’A elgnairt enifed eW .C ,B ,A era snoitcesretni esiw

aera eht taht evorP .’C’B’A elgnairt ni deniatnoc era selcric eerht ehT .selcric eerht eht fo owt oto ’C’B’A elgnairt f .CBA elgnairt fo aera eht semit enin tsael ta si


taht hcus 1BDA elgnairt eht teL � 1BAD era yllanretxe elgnairt siht fo sedis eht nO .°09 ≠1D1C1BA dna DCBA serauqs eht detcurtsnoc tnec htiw 1O sre dna taht evorP .ylevitcepser ,2O1DAD ,1BAB selgnairt eht fo selcricmucric eht dna 2OA1O a erahs ...

yragnuH fo 2 melborP - 1002 lanoitaniB learsI

enil a no eil D dna C ,B ,A stnioP ,l P stniop fo sucol eht dniF .redro taht ni rof enalp eht nihcihw � = BPA � .DPC


)R ,O(Γ elcric a redisnoC P tniop a dna siht fo roiretni eht ni dnuof a redisnoC .elcricdrohc BA fo Γ ot stnegnat eht taht esoppuS .P hguorht sessap taht Γ stniop eht ta

A dna B .Q ta tcesretni M teL � N dna AQ � BQ MP taht hcus � dna AQ NP � eht taht evorP .BQ.BA drohc eht gnisoohc fo dneped t'nseod + fo eulav

fo 3 melborP ihsabustotiH ytisrevinU 0102 maxE ecnartnE

eht nI zyx A stniop ekat ,)0 ,0 ,0(O htiw ecaps eht no x- B ,sixa eht no yx C dna enalp eht no z- taht hcus sixa � = CAO � = CBO q, � 2 = BOA q eht taht etoN .3 = CO , x ,A fo etanidrooc

eht y B fo etanidrooc eht dna z C fo etanidrooc H etoneD .evitisop lla era edisni si taht tniop ehtCBAΔ eht sserpxE .O ot tseraen eht si dna z H fo etanidrooc ni fo smret q.


teL EDCBA xetrev htiw dimaryp ralugnardauq thgir a eb E thgieh dna tnioP .OE S siht sedividoitar eht ni thgieh = OS:SE m ]SBA[ enalp eht seod oitar hcihw nI . fo aera laretal eht edivid

elgnairt .dimaryp eht fo CDE


BO ,3 = AO taht hcus secaf tneurgnoc ruof htiw nordehartet a neviG yb etoneD .2 = BA , = L a.B dna A ,O stniop eerht sniatnoc hcihw enalp

H teL )a nward ralucidneprep eht fo toof eht eb C tniop eht morf enalp eht ot L rotcev sserpxE .HO dna AO srotcev fo smret ni .BO

rebmun laer a roF )b t < 0 htiw t tel ,1 < tQ ,tP enil eht yllanretni edivid hcihw stniop eht ebBO ,AO stnemges otni t 1 : – t yb etoneD .ylevitcepser , M ep si hcihw enalp a eht ot ralucidnepr

enalp L (S aera lanoitces eht dniF . t) CBAO nordehartet eht fo enalp eht yb tuc M. nehW )c t < 0 fo egnar eht ni sevom t (S fo eulav mumixam eht dnif ,1 < t .)


O htiw enalp etanidrooc eht nI noitcnuf eht redisnoc ,)0 ,0( C: y = x stniop tcnitsid owt dna +(P x, y (P ,) x, y no ) C.

H teL )a )2 ,1 = i( hguorht gnissap enil eht fo stniop noitcesretni eht eb P ot lellarap ,)2 ,1 = i( x-enil eht dna sixa y = x.

fo aera eht taht wohS HPOΔ dna era HPOΔ .lauqe teL )b x x < fo trap eht yb dednuob erugif eht fo aera eht sserpxE . x x < x < rof C enil dna

OP ,OP stnemges fo smret ni y, y .


detoned eb diobuc a fo sedis eht fo shtgnel eht teL a, b dna c etatoR . °09 ni diobuc eht edis ehthtgnel htiw b yb etoneD .diobuc eht fo sixa eht sa V .diobuc eht gnipeews yb detareneg dilos eht

fo emulov eht sserpxE )a V fo smret ni a, b dna c. fo emulov eht fo egnar eht dniF )b V htiw a + b + c .1 =

manteiV eht fo 3 melborP 0991 daipmylO lacitamehtaM ese

lla dna secaf eerht esohw depipelellarap a mrof hcihw senalp eerht yb tuc eb ot si nordehartet A.nordehartet eht fo ecafrus eht no eil secitrev

eht fo tsael ta si depipelellarap eht fo emulov eht taht os enod eb siht naC )a eht fo emulov?nordehartet

eht fo si depipelellarap eht fo emulov eht fi senalp eerht eht fo tniop nommoc eht enimreteD )b.nordehartet eht fo emulov


niop a si P dna ,erauqs a fo secitrev eht era D ,C ,B ,A evorP .elcricmucric sti fo DC cra eht no ttaht ²|AP| – |DP|×|BP| = ²|BP| – .|CP|×|AP|

4991 daipmylO lacitamehtaM niapS fo 3 melborP

o tsiruot A iff xis fo hcae ni raey a ni syad yniar dna ynnus fo srebmun eht gnitagitsevni saw ecap era stluser ehT .snoiger :elbat gniwollof eht ni nwohs yltr

noigeR yniar ro ynnuS issalcnU defi

A 633 92

B 123 44

C 533 03

D 343 22

E 923 63

F 033 53

o na ,atad deliated eht ta gnikooL iff vresbo rec latot eht neht ,dedulcxe si noiger eno fi taht de ni syad ynnus fo rebmun latot eht fo driht eno slauqe snoiger rehto eht ni syad yniar fo rebmun

.dedulcxe si noiger hcihw enimreteD .snoiger eseht


ric owT retuo eht stuc dna P ta elcric renni eht sehcuot enil thgiarts A .M ta yllanretni hcuot selc taht evorP .R dna Q ta elcric � = PMQ � .PMR


etuca eht nI - a ,BA no F htiw ,edutitla na si FC ,CBA elgnairt delgna M htiw ,naidem a si MB dn dna FC = MB taht neviG .AC no � = CBM � .laretaliuqe si CBA elgnairt eht taht evorp ,ACF

0102 gnihcaoC latsoP aidnI fo 62 melborP

M teL CBA elgnairt a fo tniop roiretni na eb taht hcus � ,°051 = BMA � ,Q ,P teL ,°021 = CMBic eht eb R eht fo sretnecmucr )RQP( taht evorP .ylevitcepser ,AMC ,CMB ,BMA selgnairt ≥

.)CBA(


.ylevitcepser ,BA ,AC ,CB fo stniopdim eht eb F ,E ,D dna ,elgnairt a eb CBA teL

taht evorP � = CAD � ,fi ylno dna ,fi EBA � = CFA � .BDA


senil eht dna elcric a no ,redro taht ni ,eil E dna D ,C ,B ,A stnioP

taht evorP .lellarap era DE dna BA � ,fi ylno dna ,fi °09 = CBA

.²EC + ²DB = ²CA

fo 1 melborP aidnI 0102 gnihcaoC latsoP

iidar htiw selcric cirtnecnoc owt eb Γ ,g teL r, R htiw r < R DCBA teL . laretalirdauq cilcyc a ebfI .g ni debircsni BA rotcev A morf gnitrats yar eht setoned ni yletinifedni gnidnetxe dna

s’B AD ,DC ,CB ,BA srotcev tel neht noitcerid stniop eht ta Γ teem ,1B dna 1A ,1D ,1Ctaht evorP .ylevitcepser ≥ erehw ).( .aera setoned

0102 daipmylO vokytuahZ lanoitanretnI eht fo 4 melborP

sregetni evitisoP ,. . . ,2 ,1 n ( draobkcalb а no nettirw era n era srebmun owt etunim yrevE .)2 >vid emirp tsael eht dna desare .sniamer 79 rebmun eht ylno dne eht nI .nettirw si mus rieht fo rosi

tsael eht dniF n .elbissop si ti hcihw rof

4991 daipmylO ruS onoC fo 2 melborP

elcric a redisnoC C no nesohc si 0P tniop A .1 = BA retemaid htiw C, 0P 0P ni gnitrats dna ,A ≠o ecneuqes a stniop f ... ,nP , ... ,2P ,1P no detcurtsnoc si C eht si nQ :yaw gniwollof eht ni ,

fo tniop lacirtemmys A B snioj taht enil thgiarts eht dna nP ot tcepser htiw nQ dna stuc C taB esoohc ot elbissop si ti taht evorP .)tnereffid yrassecen ton( 1+nP dna 0P :taht hcus

)i � .1 < BA0P era ereht 0P htiw strats taht ecneuqes eht nI )ii ,stniop 2 kP jPkPA elgnairt taht hcus ,jP dna si

.laretaliuqe


DCBA laretalirdauq a nI sretnecmucric eht eb ’D dna ’C ,’B ,’A tel ,ADC ,DCB selgnairt eht fodna BAD )ZY ,X(S yb etoneD .ylevitcepser ,CBA tniop eht hguorht sessap hcihw enalp eht

X .ZY enil eht ot ralucidneprep si dna fi taht evorP neht ,enalp a ni eil t'nod ’D dna ’C ,’B ,’A,)’D’C ,A(S senalp ruof ,)’D’A ,B(S A ,C(S .tniop nommoc a hguorht ssap )’C’B ,D(S dna )’B’


2(gol = Q teL – .Q fo eulav eht dniF .)


.T fo eulav eht dniF . = T dna 2+ … + 2 + 2 + 2 + 1 = F teL

melborP fo 2 sdnalrehteN 8991 daipmylO lacitamehtaM hctuD

teL DCBAT xetrev pot htiw dimaryp a eb DCBA esab sti taht hcus ,T htgnel edis fo erauqs a si selecsosi na dnif nac eno ADT dna DCT ,CBT ,BAT selgnairt eht gnoma ,taht nevig si tI .4

thgir a dna elgnairt - na .dimaryp eht fo emulov eht rof seulav elbissop lla dniF .elgnairt delg


hcus ,elcricimes eht no dekram era D dna C stnioP .BA retemaid htiw elcricimes a nevig era eWeht fo tnegnat ehT .sdloh DC = CA taht ni tcesretni D dna B gninioj enil eht dna C ni elcricimes

CF > DF taht wohS .F tniop a ni elcricimes eht stcesretni E dna A gninioj enil eht dna ,E tniop a.dloh tsum


roh a no decalp si nordehatco raluger A pot fo nalp eht warD .tser latnozi - raluger eht rof weiv.nordehatco 2G ,1G teL ot lellarap nordehatco raluger eht fo secaf owt eht fo sretnecyrab eht eb

enil eht tuoba nordehartet raluger eht gnivlover yb dilos eht fo emulov eht dniF .rehto hcaeht sa 2G1G .noitator fo sixa e

fo 2 melborP aidnI 5002 gnihcaoC latsoP

>Γ< teL ecneuqes eht taht hcus selcric cirtnecnoc fo ecneuqes a eb <R erehw ,> R eht setonedΓ fo suidar , Γ dna gnisaercni si → ∞ j sa → ni debircsni elgnairt a eb CBA teL .∞ eht dnetxE .Γ

syar B A Γ teem ot AC ,CB , siht eunitnoC .CBA elgnairt eht mrof ot ylevitcepser ,C dna B ,A ta>CBA< selgnairt fo ecneuqes eht taht wohS .ssecorp sa elgnairt laretaliuqe na ot sdnet n→ .∞


ebircsni elgnairt a si CBA dim eht si E dna ,elcric a ni d - eht no CB yb dednetbus cra eht fo tniop elgna eht fo erusaem eht taht wohs ,nward si DE retemaid a E hguorht fI .A morf etomer edis

.C dna B ta selgna eht fo serusaem eht fo ecnereffid eht fo edutingam eht flah si AED

elborP 1102 etisbew gnivloS melborP eht fO trA ta m

tniop a si erehT P taht hcus DCBA elgnatcer a edisni � ,°011 = DPA � ,°07 = CBP � .°03 = BCP dniF � .DAP


teL ’D’C’B’ADCBA DCBA erehw( ebuc a eb dna ’D’C’B’A ’DD ,’CC ,’BB ,’AA dna secaf erainioj enil eht dna ’C’D ,CB ,’AA senil ruof eht redisnoC .)segde era ’BB fo stniopdim eht gn dna

.senil ruof eht lla stuc hcihw enil on si ereht taht wohS .’DD

1102 daipmylO lacitamehtaM hsitirB fo 1 melborP

teL CBA X dna elgnairt a eb XB ,XA senil ehT .elgnairt eht edisni tniop a eb XC dna eht teemelgnairt fo elcricmucric CBA Q ,P ta niaga dna U tniop a esoohC .ylevitcepser ,R PX no si hcihw

neewteb X U hguorht senil eht taht esoppuS .P dna BA ot lellarap era hcihw AC dna teemQX RX dna V dna Q ,R ,W stniop eht taht evorP .ylevitcepser ,W dna V stniop ta .elcric a no eil

P 1891 daipmylO lacitamehtaM esemanteiV eht fo 3 melbor

enalp A r N ,M stniop owt dna no A tniop eht enimreteD .nevig era ti edistuo r hcihw rof si.laminim


fo sedis ehT CBA elgnairt ,11 erusaem ,P erehw PR ,RQ ,QP gnola ti dlof eW .stinu 12 dna ,02 C ,B ,A litnu sedis sti fo stniopdim eht era R ,Q gnitluser eht fo emulov eht si tahW .edicnioc

?nordehartet


nogaid eht ,DCBA diozepart nI fo aera ehT .E ta tcesretni sla fo aera eht dna ,27 si EBA elgnairteht si tahW .05 si EDC elgnairt ?DCBA diozepart fo aera


tni evitisop xis fo ecneuqes a draob a morf nwod ypoc ot tpmetta na nI citemhtira ni srege yllatnedicca 371 ,551 ,941 ,731 ,311 srebmun evif eht nwod etorw tneduts a ,noissergorp

dna mih pleh uoy naC .meht fo eno deipocsim osla eh taht derevocsid retal eH .eno gnittimo?ecneuqes lanigiro eht revocer

lanoitanretnI fo 1 melborP 51 dnuoR hcraeS tnelaT lacitamehtaM

ni 05, . . . ,3 ,2 ,1 sregetni evitisop eht ffo riap ot elbissop ti sI hcae fo mus eht taht rennam a hcus?rebmun emirp tnereffid a si srebmun fo riap


demrA ssapmoc a tsuj htiw – egdethgiarts on – taht ;elgna thgir ta tcesretni taht selcric owt ward owt eht ta stnegnat ralucidneprep gnivah ,enalp emas eht ni selcric gnippalrevo tcurtsnoc ,si

.teem yeht erehw stniop

elaT lacitamehtaM lanoitanretnI fo 4 melborP 51 dnuoR hcraeS tn

sregetni evitisop rof taht esoppuS a, b, c dna x, y, z snoitauqe eht , a + ² b = ² c dna ² x + ² y = ² z era ²taht evorP .deifsitas

(a + x ( + ²) b + y ²) ( ≤ c + z ,²) .sdloh ytilauqe nehw enimreted dna

elaT lacitamehtaM lanoitanretnI fo 1 melborP 71 dnuoR hcraeS tn

451 ehT - 59ot 91 morf sregetni eht gnitsil yb deniatbo saw ,594939 . . . 22120291 ,rebmun tigidni sa egral sa si rebmun gnitluser eht taht os ,stigid sti fo 59 evomer ot era eW .noisseccus

5 siht fo stigid 91 tsrif eht era tahW .elbissop 9- ?rebmun tigid


( sregetni evitisop fo sriap lla dniF m, n hcihw rof ) m ² – n .5991 = ²


iton eH .efiw sih naht redlo sraey 6 si nam A reh ot deirram neeb sah eh taht oga sraey 4 dec05 rieht no eb eh lliw dlo woH .efil sih fo flah yltcaxe ht evah lliw ehs sraey 01 ni fi yrasrevinna

owt tneps - ?mih ot deirram efil reh fo sdriht


eerht eht fo mus eht taht os ,woleb nwohs erauqs cigam eht ni seirtne gnissim eht enimreteD rojam owt eht gnola dna ,snmuloc eerht eht fo hcae ni ,swor eerht eht fo hcae ni srebmun

tnatsnoc emas eht si slanogaid k si tahW . k?

taM lanoitanretnI fo 5 melborP 8 dnuoR hcraeS tnelaT lacitameh

taht neviG a, b, x dna y taht hcus srebmun laer era

a + b ,32 =

xa + yb ,97 =

xa + ² yb ,712 = ²

xa + ³ yb .196 = ³

enimreteD xa + yb .

1002 daipmylO lacitamehtaM valsoguY fo 1 melborP

4/52 edis fo DCBA erauqs a fo secitreV no eil ,A stniop hguorht gnissap senil lellaraP .erehps a D dna C ,B ,6 = ’AA taht neviG .ylevitcepser ,’D dna ’C ,’B ,’A stniop ta erehps eht tcesretni

.’DD tnemges eht fo htgnel eht enimreted ,8 = ’CC ,01 = ’BB

5991 snwoT fO tnemanruoT fo 1 melborP

.erauqs tcefrep a ton si )orez eno tsael ta htiw( 90..04 rebmun eht taht evorP

math book available at amazon and many outlets

Documents

stniop eht

cba selgnairt eht fo

elcric dnoces eht dna

fo noitcejorp lanogohtro

etuca eht ni eht eb

pa senil eht

melborp dna

nis fo eulav eht dnif