Math 1B, Exam #2 1. Evaluate (a)

sin 𝑥𝑒!!𝑑𝑥!!

!

(b)

𝑥!!

!𝑒!!𝑑𝑥

(c)

sin! 𝑥 cos! 𝑥𝑑𝑥!!

!

    (d)  

𝑒!!

𝑒!! − 4𝑑𝑥

!

!  

 2.    Find  the  length  of  the  curve  𝑦 = !!

!− !" !

!,      2 ≤ 𝑥 ≤ 4.  

 3.  Find  the  sum:  !

!

!!+ !!

!!+⋯ !!!

!!!!!.  

 4.  Converge-­‐absolutely-­‐conditionally  or  diverge?         (a)    

1 − cos1𝑛

∝

!!!

 

      (b)    

2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ 2𝑛1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ … ∙ 2𝑛 − 1

!∝

!!!

 

 

  (c)  (−1)!!! 𝑛 + 1 − 𝑛  

    (d)    

1 −2𝑛

!!∝

!!!

 

 5.  Find  the  radius  of  convergence  of  

   2!(𝑛!)!

2𝑛 !  𝑥!

!

!!!

 

 6.    Show  that    

cos 1 + 𝑥 − cos 1 1 −𝑥!

2− sin 1 𝑥 −

𝑥!

3!<

115000

 

             for   𝑥 < 0.2    7.    Compute  the  Taylor  series  for  𝑓 𝑥 = 𝑒!!!𝑑𝑡!

!      around  𝑐 = 0.    8.    Find  the  continuous  function  𝑓  which  satisfies    

𝑓 𝑥 = 1 +1𝑥

𝑓 𝑡 𝑑𝑡!

!  

 9.    Solve  the  differential  equations      

(a)    𝑥!𝑦! + 𝑥𝑦 = 1    with  𝑦 1 = 2       (b)  𝑥𝑦! = 4 𝑥𝑦 + 𝑦  with  𝑦 1 = 4       (c)    𝑦!! + 2𝑦! + 5𝑦 = 20 cos 𝑥 .  Find  all  solutions.      

10.  Let      𝑏!!! = 5 + 𝑏!    for  𝑛 = 1, 2,…  with  𝑏! = 5.  Prove  that    lim!→! 𝑏!    exists.