matematika9

MODUL MATEMATIKA SMA KELAS 12 LATIS PRIVAT - 1 -

LATIS PRIVAT PROFESIONAL TEACHER AT YOUR HOME

MATEMATIKA

1 Integral

INTEGRAL TAK TENTU

Sifat sifat Integral

INTEGRAL TERTENTU

F(x) = adalah anti turunan f (x) a = batas bawah b = batas atas

Sifat sifat Integral Tertentu

k = konstanta U = fungsi f (x) V = fungsi g (x)

LUAS BIDANG DATAR

Dibatasi Oleh Kurva dan Sumbu X

1. += cxdx 2. += cxfxfd )()( 3. += caxdxa

4. ++=+

cxn

dxx nn 11

1 dengan n 1

5. ++=+

cxn

adxxa nn 11

dengan n - 1

6. cna

baxdxbaxn

n ++

+=+

+

)1()()(

1 dengan a 0

1. = dxxfkdxxfk )()( 2. ( ) = dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 3. ( ) = dxxgkdxxfkdxxgxfk )()()()(

== )()()()( aFbFxFdxxfba

1. =b

a

abkdxk )( 5. =+

b

a

c

b

c

a

dxUdxUdxU

2. 0=a

a

dxU cba

3. =b

a

b

a

dxUkdxUk 6. ( ) =

b

a

b

a

b

a

dxVdxUdxVU

4. =a

b

b

a

dxUdxU

Y Y

X

X

O

O D1 D2

)(xfy =

)(xfy = x = a x = b

x = a x = b

1. =b

a

dxxfDL )()( 1

2. ===b

a

a

b

b

a

dxxfdxxfdxxfDL )()()()( 2



Luas Antara Dua Kurva

VOLUME BENDA PUTAR

Mengelilingi Sumbu X Mengelilingi Sumbu Y

Volum Benda Putar Suatu Daerah Antara Dua Kurva

Mengelilingi Sumbu X Mengelilingi Sumbu Y

PENGINTEGRALAN DENGAN SUBSTITUSI

INTEGRAL SUBSTITUSI TRIGONOMETRI

INTEGRAL PARSIAL

Hal yang perlu diperhatikan agar dvu dapat diselesaikan adalah memilih bagian dv sehingga v dengan mudah dapat diperoleh melalui pengintegralan = dvv .

Y

X O x = a x = b

)(xfy =

)(xgy =

{ } =b

a

dxxgxfL )()(

Y Y

X

X

O

O

a b y = c

y = d

)(xfy =

{ } dyygVd

c

pi=2)(

{ }pi=b

a

dxxfV 2)(

Y Y

X

X

O

O

a b

)(1 xfy = )(2 xgy =

)(1 yfx =

)(2 yfx =

cy =

dy =

{ } dxxgxfV ba

pi= )()( 22 { } dyygyfV dc

pi= )()( 22

1. ++=+ Cu

n

adxua nn 11

; a & n

bilangan rasional n 1 2. += Cuduu sincos 3. += Cuduu cossin 4. += Cuduu tansec

2

5. += Cuanduuec cotcos2

6. += Cuduuu secsectan 7. += Cuecduuecuan coscoscot

Fungsi Integral

Substitusi Dgn Hasil Substitusi

22 xa x = a sin = cossin1 2 aa

22 xa + x = a tan =+ sectan1 2 ana

22 ax x = a sec = tan1sec 2 aa

= duvvudvu .



INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI

Latihan 1 1. Selesaikan tiap integral berikut ini!

a. dxx45 c. dxx

4 3

b. dxx 31

d. dxx

3 21

2. Tentukan tiap integral berikut ini! a. + dxxx )438( 23 b. dxx

2)1( c. + dxxxx )10412( 4711

d. + dxxx )3()1(

3. Selesaikan tiap integral berikut ini!

a.

dxx

xx 214

b. + dxxx2)1(

c.

+ dx

xx

21

d. dxx

x

2

5 1

4. Selesaikan integral integral berikut ini!

a. dxxx )12( c. dxx

xx

)1(

b. d. dxx

x

21

5. Misalkan 32)(' += xxF dan F(1)=14, tentukan fungsi F (x)!

6. Diketahui 443)(' 2 += xxxF . Untuk x = 2 fungsi F (x) bernilai 13. Tentukan fungsi F (x)!

7. Misalkan turunan kedua dari fungsi F (x) adalah 212)(" += xxF . Jika F(2)=20 dan F(1) = 4, carilah

fungsi F (x)! 8. Diketahui xxF 6)(" = merupakan turunan kedua dari

F(x). Untuk x = 1 fungsi F (x) bernilai 2, sedangkan untuk x = - 1 fungsi F (x) bernilai 6. Tentukan fungsi F (x)!

9. Gradien garis singgung di setiap titik P (x, y) yang terletak pada sebuah kurva adalah x

dxdy 2= . Jika

kurva itu melalui titik (-1, 2), tentukan persamaannya. 10. Turunan kedua dari suatu persamaan kurva

ditentukan oleh 86" += xy . Kurva tersebut melalui titik (1, 6) dan gradien garis singgungnya sama dengan 7. Tentukan persamaan kurva tersebut.

11. Sebuah benda bergerak dengan laju v m/det. Pada saat t detik laju benda dinyatakan dengan persamaan

tv = 10 . Pada saat t = 2 detik posisi benda berada pada jarak 30 m dari titik asal. Tentukan posisi benda s sebagai fungsi waktu t!

12. Sebuah bola bergulir pada sebuah bidang datar dengan laju awal 4 m/det. Akibat gesekan dengan bidang itu, bola mengalami perlambatan 2 m/det2. Jika saat t = 0 posisi benda berada pada s = 0, berapa jarak yang ditempuh bola dari awal sampai berhenti.

13. Kurva 1)( 2 +== xxfy didefinisikan dalam interval [-1, 2]. Interval ini dibagi menjadi 6 sub-interval, masing masing dengan panjang yang sama. Titik xi merupakan titik tengah dari sub-interval ke i. Hitunglah jumlah Riemannnya!

14. Tunjukkan luas daerah tertutup yang dinyatakan oleh tiap rumus berikut:

a. 3

0

dxx b. +

2

0

)2( dxx

c. 2

1

2 dxx d.

2

1

2)1( dxx

dxx

x

121. += Cxdxx cossin 2. += Cxdxx sincos 3. += Cxdxx tansec

2

4. += Cxdxxec cotcos2

5. += Cxdxxx sectansec 6. += Cecxdxxecx coscotcos 7. ++=+ Cbaxdxbax a )cos()sin( 1 8. ++=+ Cbaxdxbax a )sin()cos( 1 9. ++=+ Cbaxdxbax a )tan()(sec 1

2

10. ++=+ Cbaxdxbaxec a )cot()(cos 12

11. ++=++ Cbaxdxbaxbax a )sec()sec()tan( 1 12. ++=++ Cbaxecdxbaxecbax a )(cos)(cos)cot(

1



15. Tuliskan rumus integral untuk menyatakan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut ini:

16. Dengan menggunakan hubungan

=

=

n

iii

n

b

a

xxfdxxf1

)(lim)( , hitunglah

integral tertentu 3

0

dxx .

17. Hitunglah tiap integral tertentu berikut:

a. 3

0

dxx b.

3

1

4 dx

c. 5

0

dxx d. +

2

0

)1( dxx

e. 3

2

)2( dxx

18. Hitunglah nilai dari tiap integral tertentu berikut:

a. 1

0

4 dxx b.

3

1

2)1( dxx

c. dxx

3

12

1 d.

4

1

dxx

17. Hitunglah nilai tiap integral tertentu berikut:

a. 1

1

2 )1( dxx b.

3

1

2 )1( dxx

c. 1

3

2 )1( dxx


a. 2

0

34 dxx b.

3

0

34 dxx


a. 4

0

23 dxx b. 1

0

23 dxx

c. 4

1

23 dxx

22. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh: a. kurva xxfy 2)( == , sumbu X, dan garis

garis x = 1 dan x = 2. b. kurva xxxfy 63)( 2 +== , sumbu X, dan

garis garis x = 0 dan x = 2. 23. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh:

a. kurva 42)( == xxfy , sumbu X, dan garis garis x = 0 dan x = 2.

b. kurva xxxfy 2)( 2 == , dan sumbu X. 24. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva

xxxfy == 3)( dan sumbu X. 25. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x

dan kurva y = 3x dalam interval 21 x ! 26. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x,

kurva y = 3x, dan garis x = 2. 27. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

parabola 22 xy = dan garis y = x. 28. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

parabola xy 42 = dan garis 434 = yx . 29. Daerah yang dibatasi oleh garis 2+= xy , sumbu

X, x = 0, dan x = 2 diputar 360o mengelilingi sumbu X. Hitunglah volum benda putar yang terjadi.

30. Daerah yang dibatasi oleh parabola xy 42 = , sumbu X, dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu X satu kali putaran. Tentukan volum benda yang terjadi.

31. Daerah yang dibatasi oleh lingkaran 422 =+ yx di kuadran pertama, sumbu X, sumbu Y, diputar mengelilingi sumbu X satu kali putaran. Hitunglah volum benda putar yang terjadi.

32. Daerah yang dibatasi oleh garis y = 2x, sumbu Y, y = 1, dan y = 2, diputar 360o mengelilingi sumbu Y. Hitunglah volum benda putar yang terjadi.

33. Hitunglah volum benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh parabola xy 42 = , y = 1, dan y = 4 diputar 360o mengelilingi sumbu Y.

34. Hitunglah volume benda putar yang terjadi, jika daerah yang dibatasi oleh garis garis y = x, y = 2x, x = 1, dan x = 2, diputar sejauh 360o mengelilingi sumbu X.

35. Tentukan volum benda putar yang diperoleh jika daerah yang dibatasi oleh kurva parabola 12 += xy dan 3+= xy , diputar mengelilingi sumbu X.

-2 O 1 2 X

Y

2

y = x + 2

-1 O 1 2 X -1

Y 12 = xy



Latihan 2 1. Jika = dxxxxf )12()( 2 dan f(1) = 0,

maka f(x) =.. A.

3123

31

+ xxx

B. 31

212

213

31

+ xxx

C. 31

212

213

31

+ xxx

D. 3123

31

+ xxx

E. 3123

31 22 + xxx

2. Hasil dari

dx

xx

21 adalah.

A. Cx

xxx+

2183

B. Cx

xxx+

2182

C. Cx

xx+

4243

D. Cx

xx+

4242

E. Cx

xxx+

4242

3. Diketahui dttxfx

c

=2)( . Jika f(2) = - 19/3, maka

kurva itu memotong sumbu x pada A. (0, 0) D. (3, 0) B. (1, 0) E. (19/3, 0) C. (2, 0)

4. Sebuah benda bergerak dengan laju awal 4 m/det dan perlambatan 2 m/det. Benda tersebut berhenti.. A. 1 meter dari titik awal B. 2 meter dari titik awal C. 3 meter dari titik awal D. 4 meter dari titik awal E. 5 meter dari titik awal

5. Nilai dari

2

12

2 1 dtt

t adalah

A. 20

537 D.

20540

B. 20

538 E.

20541

C. 20

539

6. Jika )3( 331

xxy += , maka =+ dxdx

dy2

1

2)(4 .. A. 13/6 D. 16/3 B. 14/6 E. 17/6 C. 15/6

7.

dxx 4)32(

1 adalah

A. Cx + 3)32(61

D. Cx

+

3)32(1

B. Cx + 3)32(61

E. Cx + 3)33( C. Cx + 3)32( 8. Turunan kedua fungsi f(x) adalah f(x) = 6x + 8.

Garis singgung kurva fungsi f(x) di titik (1, 6) adalah 7. Fungsi f(x) tersebut adalah A. y = x3 + 4x2 4x + 4 B. y = x3 + 4x2 4x + 2 C. y = x3 + 4x2 4x + 5 D. y = x3 + 4x2 4x + 3 E. y = x3 + 4x2 4x + 1

9. Luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 2x + 1, sumbu X, dan x = 2 jika dinyatakan dalam notasi integral adalah.

A. +2

0

2 )12( dxxx D.

+2

2

2 )12( dxxx

B. +2

1

2 )12( dxxx E.

+2

3

2 )12( dxxx

C.

+2

1

2 )12( dxxx 10. Luas daerah yang dibatasi y = x3 x dalam interval 0

x 1 dengan y = 0 adalah.satuan luas A. 1 D. 1/4 B. E. 1/5 C. 1/3

11. Luas daerah yang dibatasi y2 = 4x dengan x = adalah.satuan A. 1/6 D. 1/3 B. 1/5 E. C.

12. Luas daerah yang dibatasi oleh garis y = 2x, garis x = -2, garis x = 2 dan sumbu x adalah. A. 4 satuan luas D. 10 satuan luas B. 6 satuan luas E. 12 satuan luas C. 8 satuan luas

13. Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 3x2 + 4x + 1, sumbu x dan garis x = 2 sama dengan. A. 18 D. 9 27

4

B. 9 E. 18 274



C. 18 272

14. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x x2, sumbu x, dan garis x = 3 sama dengan. A. 8 D. 4/3 B. 4 E. 0 C. 8/3

15. Luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva y = 6 + 5x x2, garis y = 4x dan sumbu y adalah.. A. 11 3

1 D. 13 2

1

B. 2 21

E. 15 32

C. 24 65

16. Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi y = x + 2, sumbu Y, dan sumbu X diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o adalah.satuan isi. A. pi

355

C. pi3

53 E. pi

351

B. pi3

54 D. pi

352

17. Daerah yang dibatasi oleh garis y = 3x 1, x = 1, dan x = 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o, maka isi benda putar adalah A. 10pi D. 13pi B. 11pi E. 15pi

C. 12pi 18. Daerah yang dibatasi oleh y = x2 dengan sumbu x

untuk 0 x 2 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o, maka isi benda putar yang terjadi sama dengan. A. 5,2pi D. 7,2pi B. 6,4pi E. 8,4pi C. 6,8pi

19. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 2x + 3 diputar mengelilingi sumbu x sejauh 360o maka isi benda putar.. A. 60 2

1 pi D. 72 158 pi

B. 65 32 pi E. 72 15

1 pi

C. 70 41 pi

20. Luas daerah yang dibatasi y = x2 dan y = x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o, maka isi benda putar yang terjadi sama dengan. A. pi

152

D. pi157

B. pi154

E. pi159

C. pi

156

Evaluasi Bab I

Pilihlah salah satu jawaban yang benar !

1. Diketahui 543)( 2 += xxxf dan .18)2( =f Jika )(xf turunan dari )(xf maka =)(xf .... (C) A. 1254 23 ++ xxx B. 8223 + xxx C. 1252 23 ++ xxx D. 832 23 +++ xxx

E. 56421 23

++ xxx

2. Nilai =1

0

6)1(5 xx ....

A. 5675

B. 5610

C. 565

D. 567

E. 5610

3. ,40)223(2

2=+ dxxx

p

maka nilai =p21

....

A. 2 B. 1 C. 1 D. -2 E. -4

4. Diketahui .25)123(3

2=++ dxxx

a

Nilai =a21

....

A. -4 B. -2 C. -1 D. 1 E. 2



5. Hasil dari = dxxx29 ....

A. Cxx + 22 9)9(31

B. Cxx + 22 9)9(32

C. Cxx + 22 9)9(32

D. Cxxxx ++ 2222 9)9(929)9(

32

E. Cxxx ++ 222 9919)9(

31

6. Hasil dari =+ dxxx5)4( .....

A. Cxx +++ 6)4)(263(211

B. Cxx ++ 6)4)(143(211

C. Cxx ++ 6)4)(103(211

D. Cxx +++ 6)4)(23(211

E. Cxx ++ 6)4)(23(211

7. Hasil dari dxx

x

46

3

2

sama dengan ....

A. Cx + 441 3

B. Cx + 421 3

C. Cx + 42 3 D. Cx + 44 3 E. Cx + 46 3

8. = dxx

x

221

sin....

A. Cx +2sin B. cx +cos

C. Cx

+1

sin

D. Cx

+1

cos

E. Cx +2cos

9. Hasil dari dxxx cos2 adalah.... A. Cxxxxx ++ sin2cos2sin2 B. Cxxxxx ++ sin2cos2sin2 C. Cxxxxx +++ sin2cos2sin2 D. Cxxxxx +++ cos2sin2sin2 E. Cxxxxx ++ cos2sin2sin2

10. Hasil dari =xdxx 4coscos ....

A. Cxx + 3sin315sin

51

B. Cxx ++ 3sin615sin

101

C. Cxx ++ 3sin325sin

52

D. Cxx ++ 3sin215sin

21

E. Cxx + 3sin215sin

21

11. Hasil dari =+ dxxx )2cos()3(16 pi ....

A. Cxxx +++ )2cos(4)2sin()62(8 pipi B. Cxxx ++ )2cos(4)2sin()62(8 pipi C. Cxxx +++ )2cos(4)2sin()3(8 pipi D. Cxxx ++ )2cos(4)2sin()3(8 pipi E. Cxxx +++ )2sin(4)2sin()3(8 pipi

12. Hasil dari =2

0

5cos3sin

pi

xdxx ....

A. 85

B. 21

C. 165



D. 41

E. 0

13. Hasil dari =2

0

2 )sin(cospi

dxxx ....

A. 31

B. 32

C. 34

D. 31

E. 32

14. Nilai 2

0

2sin2cos

pi

xx adalah ....

A. 121

B. 31

C. 125

D. 1210

E. 1211

15. Hasil dari =2

0

sin

pi

xdxx .....

A. 4pi

B. 3pi

C. 2pi

D. pi

E. 2

3pi

16. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy = dan garis 6=+ yx adalah ....

A. 54 satuan luas B. 32 satuan luas

C. 6520 satuan luas

D. 18 satuan luas

E. 3210 satuan luas

17. Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi oleh kurva ,322 = xxy garis 0535 = yx dan

sumbu X adalah ....

A. 616 satuan luas

B. 615 satuan luas

C. 324 satuan luas

D. 323 satuan luas

E. 652 satuan luas

18. Luas daerah pada arsiran pada gambar di bawah ini adalah ....

A. 5 satuan luas

B. 327 satuan luas

C. 8 satuan luas

D. 319 satuan luas



E. 3110 satuan luas

19. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva ,322 += xxy sumbu Y, sumbu X, dan garis

2=x adalah ....

A. 315

B. 4

C. 322

D. 2

E. 32

20. Luas daerah yang dibatasi oleh 13 = xy , sumbu X, 1=x dan 2=x adalah ....

A. 43

satuan luas

B. 2 satuan luas

C. 432 satuan luas

D. 413 satuan luas

E. 434 satuan luas

21. Perhatikan gambar berikut ini !

Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah ....

A. 32

B. 3

C. 315

D. 326

E. 9

22. Jika 4)2()( 2 = xxf dan )()( xfxg = , maka luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah ....

A. 3210 satuan luas

B. 3121 satuan luas

C. 3222 satuan luas

D. 3242 satuan luas

E. 3145 satuan luas

23. Daerah yang dibatasai oleh kurva 2xy = dan ,6 2xy =

jika diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o, volum benda putar yang terjadi adalah ....

A. 45 pi B. 49 pi C. 65 pi D. 72pi E. 81pi

24. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 3= xy dan ,522 += xxy adalah .... satuan luas.

A. 214

B. 3210

C. 2111

D. 3214

E. 2115

25. Volume benda putar yang terjadi di kuadran pertama

yang dibatasi oleh kurva ,4

12xy =

sumbu X,

sumbu Y, diputar mengelilingi sumbu X adalah ....



A. pi1552

B. pi34

C. pi

1516

D. pi

E. pi

1312

26. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva 12 = xy dan sumbu X dari

,1,1 == xx diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600 adalah ...

A. pi154

B. pi158

C. pi1516

D. pi1524

E. pi1532

27. Daerah yang dibatasi oleh kurva 2xy = dan garis 02 =+ yx diputar mengelilingi sumbu X sejauh

3600. Volume benda putar yang terjadi adalah .... A. pi

3215 satuan volum

B. pi5215 satuan volum

C. pi5314 satuan volum

D. pi5214 satuan volum

E. pi5310 satuan volum

28. Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva 12 += xy dan ,3+= xy diputar mengelilingi sumbu X adalah ....

A. pi5

67satuan volum

B. pi5

107satuan volum

C. pi5

117satuan volum

D. pi5

133satuan volum

E. pi5

183satuan volum

29. Volume benda putar bila daerah yang dibatasi kurva 42 += xy dan 42 += xy diputar

mengelilingi sumbu Y adalah .... A. pi8

B. pi2

13

C. pi4

D. pi38

E. pi45

30. Daerah yang dibatasi kurva ,24 = xy sumbu X, x =1 dan x =3 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o. Volume benda putar tersebut adalah ....

A. pi3

35

B. pi3

40

C. pi245

D. pi3282

E. pi3282



2 Program Linier Suatu permasalahan dikatakan permasalahan program linier, jika memenuhi : - Tujuan (objektif) permasalahan yang akan dicapai

dalam bentuk program linier ax + by = z. - Memiliki alternative pemecahan yang membuat nilai

fungsi tujuan menjadi optimum. - Sumber-sumber yang tersedia dalam jumlah yang

terbatas dan pembatasan-pembatasan dari suber yang tersedia dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan linier.

Permasalahan program linier secara umum dapat dirumuskan : a. Permasalahan program linier maksimasi

- Fungsi objektif maksimum : z = ax + by - Syarat :

0,0.,....2,1, =+ yxnieydxc iii

b. Permasalahan program linier minimasi - Fungsi objektif minimum : z = ax + by - Syarat :

0,0.,....2,1, =+ yxnieydxc iii

Nilai optimum(memaksimalkan/meminimumkan) dari masalah program linier, dapat diketahui dengan cara menentukan titik pojok dari daerah hmpunan penyelesaian sistem persamaan yang ada. Cara menentukan nilai optimum fungsi objektif (fungsi tujuan) : a. Dengan metode uji titik pojok

Mencari titik-titik pojok (ekstrim) dari kendala lalu mensubsitusikan ke bentuk fungsi objektif z = f(x, y) = ax + by. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai z yang terkecil merupakan nilai minimum.

b. Dengan garis selidik (i) Gambar garis ax + by = ab yang memotong

sumbu X di titik (b, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, a).

(ii) Tarik garis sejajar dengan ax + by = ab hingga nilai z maksimum atau minimum, dengan memperhatihan hal-hal berikut : - Jika garis ax + by = k1 sejajar ax + by = ab

dan berada di paling atas atau paling kanan pada daerah himpunan penyelesaian, maka z = k1 merupakan nilai maksimumnya.

- Jika garis ax + by = k2 sejajar ax + by = ab dan berada di paling bawah atau paling kiri pada daerah himpunan penyelesaian, maka z = k2 merupakan nilai minimumnya

Latihan 1. Gambarkan pada bidang Cartesius, himpunan

penyelesaian dari pertidaksamaan pertidaksamaan ( x dan y )R a. 42 + yx b. 42 + yx d. 62 + yx

2. Tunjukkan pada bidang Cartesius, daerah himpunan penyelesaian dari tiap sistem pertidaksamaan linear berikut ini. a. 0x dan 0y , dan 054 + yx , untuk x dan y

R b. 5x dan 5y , dan 12+ yx , untuk x dan y

R 3. Mas Boi membeli 6 buku tulis dan 8 pensil disuatu

toku buku. Untuk itu mas Boi harus membayar Rp 6.900,00. Sedangkan si Iteung hanya membeli buku tulis dan pensil masing masing sebuah. Untuk itu ia harus membayar Rp 1.050,00. Kalau harga sebuah buku tulis dan sebuah pensil masing masing x rupiah dan y rupiah, buatlah model matematika untuk persoalan itu.

4. Seorang siswa memilih jurusan IPA, jika memenuhi syarat syarat sebagai berikut. a. Jumlah Nilai Matematika dan Fisika tidak kurang

dari 12. b. Nilai masing masing mata pelajaran itu tidak

boleh kurang dari 5 Buatlah model matematika yang dapat dipakai sebagai patokan agar seseorang siswa boleh memilih jurusan IPA.

8. Sebuah tempat parkir paling banyak hanya dapat ditempati oleh 200 mobil sedan. Jika tempat itu dipakai untuk parkir bis, maka 1 bis akan menempati luas daerah yang sama jika dipakai parkir untuk 5 mobil sedan. Jika ditempat itu diparkir x bis dan y mobil sedan , tentukan model matematikanya.

9. Sebuah industri kecil memproduksi dua jenis barang A dan B dengan memakai dua mesin 1M dan 2M . Untuk membuat barang A, mesin 1M beroperasi selama 2 menit dan mesin 2M beroperasi selama 4 menit. Sedangkan untuk membuat barang B, mesin

1M beroperasi selama 8 menit dan mesin 2M beroperasi selama 4 menit. Mesin 1M dan 2M masing masing beroperasi tidak lebih dari 8 jam tiap hari. Keuntungan bersih untuk tiap barang A adalah Rp 250,00 dan tiap barang B adalah Rp 500,00 Buatlah model matematika untuk masalah untuk program linear itu, kalau keuntungan bersih yang diharapkan sebesar besarnya.



10. Sebuah pabrik farmasi menyediakan dua jenis campuran A dan B. Bahan bahan dasar yang terkandung dalam tiap kg campuran A dan campuran B diperlihatkan pada tabel dibawah :

Bahan Dasar Bahan -1 Bahan - 2

Campuran A

Campuran B

0,4 kg 0,8 kg

0,6 kg 0,2 kg

Dari campuran A dan B itu hendak dibuat campuran C. Campuran C ini sekurang kurangnya mengandung bahan 1 sebanyak 4 kg dan bahan 2 sebanyak 3 kg. Harga tiap kg campuran A adalah Rp 20.000,00 dan tiap kg campuran B adalah Rp 10.000,00. Buatlah model matematika untuk masalah program linear itu, kalau biaya total untuk membuat campuran C diharapkan semurah murahnya.

11. Sebuah pabrik memproduksi buku jenis polos dan bergaris. Dalam satu hari pabrik itu paling banyak memproduksi 1.000 buku. Dari bagian penjualan diperoleh keterangan bahwa tiap hari terjual tidak lebih dari 800 buku polos dan 600 buku bergaris. Keuntungan tiap buku jenis polos adalah Rp 100,00 dan jenis bergaris adalah Rp 150,00. ( a ) Berapakah keuntungan bersih sebesar besarnya yang dapat diperoleh tiap hari? ( b ) Berapa banyak buku polos dan buku bergaris yang harus diproduksi tiap hari?

12. Tentukan nilai maksimum bentuk objektif 2x + 3y pada sistem pertidaksamaan: x 0 , y 0 , dan x + y 6 , dengan x dan y R dan menggunakan garis selidik.

13. Titik P, Q, R, S, dan T dalam gambar dibawah merupakan titik titik sudut yang pada daerah himpunan penyelesaian dari suatu masalah program linear. Dengan menggunakan garis selidik, tentukan nilai optimum ( maksimum dan minimum) dari bentuk objektif 2x + y.

14. Titik titik O, A, B dan C dalam dalam gambar berikut merupakan titik titik sudut yang terletak pada daerah himpunan penyelesaian dari suatu masalah program linear. Dengan menggunakan garis selidik, tentukan nilai maksimum bentuk objektif x + 2y a). untuk x dan y R b). untuk x dan y C

Latihan 2 Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat. 1. Nilai maksimum dari 4y x dengan syarat:

xy 2

xy 23

202 + xy

3+ yx

adalah. a. 32 d. 7 b. 28 e. 4 c. 19 2. Dalam himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1x ,

2y , 6+ yx , 1532 + yx , nilai minimum dari 3x + 4y sama dengan. a. 9 d. 12 b. 10 e. 13 c. 11

3. Nilai maksimum yxyxf 105),( += didaerah yang diarsir adalah

A(8,0)

B (4 21 , 5 41 )

C(0,6)

Daerah Himpunan Penyelesaian

4

4

6

Daerah himpunan penyelesaian

P(2, 0) Q(5, 0)

R(6, 4)

S(3, 5)

T(0, 3) Himpunan Penyelesaian



a. 60 d. 20 b. 40 e. 16 c. 36

4.

a. 42 + yx , 3y , 0x , b. 42 yx , 3y , 0x , 0y c. 42 + yx , 3y , 0x , 0y d. 4+ yx , 3x , 0x , 0y e. 4 yx , 3y , 0x , 0y 5. Daerah yang memenuhi penyelesaian dari:

6>+ yx 32



11. Himpunan pemyelesaian dari sistem pertidaksamaan 402 + yx , 402 + yx , 0x , 0y terletak pada

daerah berbentuk.. a. trapesium d. segiempat b. persegi panjang e. segilima c. segitiga

12. Daerah yang diarsir adalah gambar himpunan penyelesaian suatu program linear. Untuk soal ini mana saja bentuk bentuk dibawah ini mencapai maksimum di A.

(1) 100x + 50y (2) 3x + 3y (2) - 4x 4y (4) 8x + 2y Jawaban yamg benar adalah a. (1), (2), dan (3) d. (4) saja b. (1) dan (3) e. semua benar c. (2) dan (4) 13. Jika segiempat OPQR merupakan himpunan

penyelesaian program linear, maka maksimum fungsi sasaran x y pada tiap titik adalah

a. (0, 0) d. (10, 0) b. (0, 6) e. semua salah c. (7, 9) 14. Seorang penjaja buah buahan yang menggunakan

gerobak menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel adalah Rp1.000,00 tiap kg dan pisang adalah Rp4.00,00 tiap kg. Modalnya hanya Rp25.000,00 dan muatan gerobaknya tidak melebihi 400kg. Jika keuntungan tiap kg apel 2 kali keuntungan tiap kg pisang, maka untuk memperoleh keuntungan sebesar mungkin pada setiap pembelian, pedagang itu harus membeli a. 250 kg apel saja

b. 400 kg pisang saja c. 170 kg apel dan 200 kg pisang d. 100 kg apel dan 300 kg pisang e. 150 kg apel dan 250 kg pisang

15. Rokok A yang harganya Rp 200,00 perbungkus dijual dengan laba Rp40,00 per bungkus sedangkan rokok B yang harganya Rp100,00 perbungkus dijual dengan laba Rp30,00 perbungkus. Seorang pedagang rokok yang mempunyai modal Rp80.000,00 dan kiosnya maksimum dapat menampung 500 bungkus rokok, akan memperoleh keuntungan sebesar besarnya jika ia membeli a. 300 bks rokok A dan 200 bks rokok B b. 200 bks rokok A dan 300 bks rokok B c. 250 bks rokok A dan 250 bks rokok B d. 100 bks rokok A dan 400 bks rokok B e. 400 bks rokok A dan 100 bks rokok B

16. Seorang pengusaha roti membuat dua jenis roti. Setiap roti jenis I memerlukan 100 gram tepung dan 75 gram mentega, sedangkan setiap roti jjenis II memerlukan 50 gram tepung dan 75 gram mentega. Tepung yang tersedia adalahj 30 kg. Banyaknya roti jenis I dan II masing masing agar diperoleh laba sebesar besarnya adalah a. 100 dan 300 buah b. 200 dan 200 buah c. 150 dan 250 buah d. 350 dan 250 buah e. 175 dan 225 buah

17. Diberikan sistem pertidaksamaan linear berikut ini: 6+ yx 3032 + yx x 0 , 0y ; x, y R Bentuk objektif P = 150 x + 100y

maksPP :min = a. 1 : 5 d. 4 : 5 b. 2 : 5 e. 1 : 3 c. 3 : 5 18. Sebuah kapal pesiar dapat menumpang 150 orang

penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa 60 kg bagasi dan penumpang kelas ekonomi 40 kg. Kapal itu hanya dapat membawa 8000 kg bagasi. Jika banyak penumpang kelas utama x dan banyaknya penumpang kelas ekonomi y, maka sistem pertidaksamaan yang harus dipenuhi adalah

a. 150+ yx , 80023 + yx , 0x , 0y b. 150+ yx , 40023 + yx , 0x , 0y c. 150+ yx , 40023 + yx , 0x , 0y d. 150+ yx , 40033 + yx , 0x , 0y e. 150+ yx , 80033 + yx , 0x , 0y

0 2 6

3

6

A

Daerah Himpunan Penyelesaian

P(10, 0)

Himpunan penyelesaian

R(0, 6)

Q(7, 9)



19. Daerah yang diarsir adalah gambar himpunan penyelesaian suatu masalahjj program linear. Bentuk bentuk dibawah ini mencapai minimum di Q.

(1) x + 3y (3) x + 4y (2) 2x + 5y (4) 3x + y Pernyataan yang benar adalah a. (1), (2), dan (3) d. (4) saja b. (1) dan (3) e. semuanya benar c. (2) dan (4) 20. Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian untuk

dijual. Pakaian jenis I memerlukan 1m 2 katun dan 3 m

2 wool dan pakaian jenis II memerlukan 2 m 2

katun dan 2 m 2 wool. Bahan katun yang tersedia adalah 80 m 2 dan bahan wool yang tersedia 120m 2 . Apabila harga jual pakaian jenis I dan II masing masing adalah Rp120.000,00 dan Rp60.000,00 dan ia memperoleh laba yang sebesar besarnya, maka banyak pakaian jenis I adalah a. 50 potong d. 20 potong b. 40 potong e. 10 potong c. 30 potong

(30, 0)

(0, 30)

P(45, 0)

R(0,40)

Q

Himpunan Penyelesaian



3 Matriks

Penjumlahan dan pengurangan dua matriks A dan B dapat dilakukan apabila : a. Ordo A = ordo B b. A B = (aij) (bpq), untuk setiap i = p dan j = q

Bentuk umum matriks :

=

ijii

j

j

nm

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

Matriks A dapat ditulis sebagai A = (aij).i = 1,2, .m dan j =

baris ke-1

Kolom ke-1

baris ke-2

baris ke-i

Kolom ke-2 Kolom ke-j

Ordo matriks = banyak baris banyak kolom

Determinan Matriks

A =

2221

1211

aa

aa

det (A) = 21122211

2221

1211aaaa

aa

aaA ===

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

det A =

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

= 332112322311312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa ++

Invers Matriks :

=

dcba

A

=

ac

bdA

A 11

Sifat-sifat invers matriks : a. (A-1)-1 = A b. (At)-1 = (A-1)t c. (AB)-1 = B-1.A-1 d. (BA)-1 = A-1.B-1 Jika AX = B, maka X = A-1B Jika XA = B, maka X = BA-1



Latihan

1. Diketahui mariks A =

1234 dan A2 = xA + yI,

dengan x, y bilangan real dan I matriks identitas berordo 2. Nilai x y adalah a. 3 b. 4 c. 1 d. 5 e. 6

2. Diberikan dua matris :

A =

3102

dan B =

2021

Matriks C yang memenuhi ABC = I, dengan I matriks identitas adalah . a.

4142

41

b.

4142

121

c.

4142

61

d.

2144

121

e.

4142

3. Matriks A =

14211

m

, B =

1146m

, dan C =

5181 m

. Jika A2 + B-1 = C, maka nilai m yang

memenuhi adalah

a. -2 b. 61

c. d. 2 e. 6

4. Nilai x2 + 2xy + y2 yang memenuhi persamaan :

=

52

3162

yx

adalah ..

a. 9 b. 7 c. 5 d. 3 e. 1

5. Diketahui matriks : A =

132111102

, X = ( x y

z), dan B = (5 8 7). Jika AXt = Bt, maka nilai 2x + y + z = a. 42 b. -29 c. -24 d. -32 e. -3

6. Diberikan :

=

79316

2134

dcba

. Nilai (a + b

+ c + d) = . a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10

7. Jika

=

02

4423

yx

, maka nilai x + 2y =

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 8. Matriks N berordo (2 2) yang memenuhi

persamaan :

=

1234

4321

N , adalah

a.

4556

b.

5465

c.

5456

d.

1324

e.

8101012

9. Himpunan penyelesaian SPLTV adalah (x, y, z).

=

=

=+

1346

622

34

723

zyx

zyx

zyx

Nilai x y z dari SPLTV di atas adalah .. a. 7 b. -4 c. -1 d. -7 e. -13

10. Jika

=

ba

yx

1123

dan

=

qp

ba

2532

. Maka ......=

yx

a.

qp

2532

b.

qp

2566

c.

qp

17134

d.

qp

121319

e.

qp

3451



11. Jika B =

5321 dan AB-1 =

3412

, maka A = ..

a.

231395

b.

23953

c.

13935

d.

31259

e.

232139

12. Jika N = B3 dengan B =

33

21

21

21

21

, maka N

......

12

=

a.

21

b.

21

c.

12

d.

12

e.

21

13. Jika

=

+

7208

23204 2

x

yx

, maka nilai

.....2 =+ yx

a. 49

b. 29

c. 3 d. 9 e. 18

14. Jika A =

3421

dan f(x) = x2 + 2x, maka f2(A) =

a. 11 A2 b. 11 A c. 11 I

d. 121 A e. 121 I

15. Jika M =

21

21

21

21

, maka determinan dari (M-

1)2 adalah .. a. 221

b. 2 c. 2 d. 22 e. 24

16. Diberikan matriks-matriks berikut ini :

=

=

=

ge

b

fda

CBA ;7143

5210,

987654321

. Carilah transpos dari setiap matriks itu.

17. Diberikan matriks A =

zyx

329

dan B =

++

+

14222464

yyxxyz

. Jika A = Bt, tentukanlah

nilai x, y, dan z?

18. Tentukan nilai a, b, c, dan d dari persamaan matriks berikut ini

=

+

+

6718

423 dacdcbba

19. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut ini.

a.

=

=+

35349310

yxyx

b.

=+

=++

=+

343220323

zyxzyxzyx

20. Uang Yuda, Laras, dan Dinda semuanya adalah Rp 1.000.000,-. Uang Laras dan Dinda bersama-sama Rp 155.000,- krangnya dari2 kali uang Yuda, sedangkan jumlah uang Yuda dan Dinda adalah Rp 126.000,- lebih banyak dari uang Laras. Carilah besar uang mereka masing-masing?



4 - Vektor Definisi Vektor Vektor adalah besaran yang mempunyai besar (panjang) dan arah

Cara Penulisan aAB =

Vektor kolom

=

3

2

1

a

a

a

a

Vektor Baris ),,( 321 aaaa =

Vektor Nol ( O ) Vektor nol adalah suatu vektor yang panjangnya nol dan arahnya sembarang. Sifat : aaa =+=+ 00

Kesamaan Vektor Dua vektor disebut sama jika panjang sama dan arahnya sama. ba =

Invers Suatu Vektor Invers vektor a adalah vektor yang panjang/besarnya sama dengan a , tetapi arahnya berlawanan

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Penjumlahan Metode Segitiga Metode Jajaran Genjang

Pengurangan Metode Segitiga Metode Jajaran Genjang

Sifat sifat Penjumlahan Vektor

1. vba =+ : tertutup

2. abba +=+ : komutatif

3.

++=+

+ cbacba

bersifat asosiatif

4. aa +=+ 00 : identitas

5. 0)( =+ aa : Invers

Perkalian Vektor dengan Suatu Bilangan (skalar)

Mis: a = vektor , k = bilangan real, c = hasil kali

bilangan real dengan a akc =

Panjang c : akc = , jika k > 0 c searah dengan

a , jika k < 0 c berlawanan arah dengan a , jika k = 0 0=c

Sifat sifat Perkalian Vektor dengan Bilangan Real ba , = vektor dan m, n = bilangan real

1. amam =

2. maam =

3. anamanm +=+ )( 4. amam = )( 5. )()()( anmanm = 6. bmambam +=+ )(

Panjang Vektor OR mewakili r,

=

z

yx

r

Panjang vektor r , 222 zyxr ++=

Jarak Dua Titik ),( 11 yxA , ),( 22 yxB , AB mewakili vector

12

12

12

zz

yyxx

. Jarak AB adalah :

212

212

212 )()()( zzyyxxAB ++=

Vektor Posisi Misal titik A (x, y, z). Vektor posisi dari titik A adalah suatu vektor a yang titik awalnya di O(0, 0) dan titik ujungnya di (x, y, z).

Misal A (x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2). Vektor posisi AB

adalah

=

12

12

12

zz

yyxx

AB

Perbandingan Ruas Garis di R-3D dalam bentuk koordinat

a

A

B

a b

a a

a

b ba +

a

b

ba

O X

Y

Z R

r



A (x1, y1, z1) dan B (x2, y2, z2)

nm

xnxmxp

+

+=

12,

nm

ynymy p

+

+=

12,

nm

znzmz p

+

+=

12.

Perkalian Skalar dua Vektor

=

1

1

1

z

yx

a ,

=

2

2

2

z

yx

b

= cos. baba

212121. zzyyxxba ++=

Sudut yang Dibentuk oleh Dua Vektor

)()(.

cos2

22

22

22

12

12

1

212121

zyxzyx

zzyyxx

ba

ba

++++

++==

i. jika 0. >ba maka lancip (0 < < 90) ii. jika 0. =ba maka = 90o (Teorema Ortogonalisis) iii. jika 0.



1. Empat vektor ddancba ,,, dilukiskan pada

gambar dibawah ini. Gambarlah diagram vektor yang menunjukkan jumlah dari vektor vektor

ddancba ,,, atau )(

+++ dcba

2. Misalkan balok ABCD.EFGH pada gambar di bawah ini, panjang AB = 8 cm, AD = 6 cm, dan AE = 4 cm.

Ruas ruas garis berarah AB ,

AD , dan

AE

berturut turut mewakili vektor rdanqp , .

a. Gambarlah diagram diagram vektor berikut

ini: (i).

+ qp (iii).

+ rp

(ii).

+ rq (iv).

++ rqp b. Hitunglah panjang atau besar vektor vektor yang diperoleh pada soal a). 3. Vektor vektor u dan v dilukiskan pada gambar

dibawah ini. Gambarlah diagram vektor yang menunjukkan :

a. 2u +

v b.

u 2

v

3. Misalkan A (3, -2) dan B (-1, 5). Jika vektor p wakil

dari ruas garis berarah AB dan vektor

q wakil dari

ruas garis berarahBA , nyatakan vektor vektor

p

dan q dalam vektor kolom.

4. Diketahui vektor vektor

=

=

=

31

,

42

,

13

cdanba .

a. Tentukan a +

b dan

b +

a

b. Periksa apakah a +

b dan

b +

a

c Tentukan

++ cba )( dan )(

++ cba

d. Periksa apakah

++ cba )( dan

)(

++ cba 5. Diketahui vektor vektor

=

=

=

84

,

69

,

24

rdanqp .

Nyatakan vektor vektor berikut dalam bentuk vektor kolom.

a. p

21

b.

q31

c. r

41

d.

+ rqp41

31

21

6. Diketahui titik A (1, 7) dan titik B (4, 1). Titik C adalah sebuah titik pada garis hubung AB sehingga

= ABAC

31

.

a. Tentukan vektor AB dan

AC

b. Tentukan koordinat titik C . 7. Diketahui vektor vektor

=

=

=

42

,

11

,

32

cdanba .

Hitunglah:

a.

a

c. e.

+ cba 2

b. b

d.

+ ba f.

+ cba2

8. Misalkan vektor

=

34

a , carilah vektor satuan

dari a .

c

a

b c

d

E

H

D F

B

G

C

A

u

v




=

=

=

321

,

43

2,

123

cdanba .

a. Tentukan a +

b dan

b +

b

b. Periksa apakah a +

b =

b +

b

c. Tentukan (a +

b ) +

c dan

a + (

b +

c )

d. apakah (a +

b ) +

c dan

a + (

b +

c )


=

=

=

202

,

624

,

036

wdanvu .

Tentukanlah: a. u3

1 b.

v2

1

c. w2

1 d.

+ wvu 2

121

31

11. Diketahui tiga buah titik A (3, 3, 2), B (4, 5, 1), dan C (7, 11, -2). Ruas ruas garis berarah

OCdanOBOA ,, mewakili vektor

cdanba ,, .

a. Nyatakan cdanba ,, dalam vektor

kolom.

b. Nyatakan ACdanBCAB ,, dalam

vektor kolom. c. Tunjukkan bahwa A, B, dan C segaris (kolinear).

d. Tentukan perbandingan AB : BC

12. Diketahui titik P (4, 1, -5) dan titik Q (1, 7, -14). Titik R adalah titik pada garis hubung PQ sehingga

= PQPR 3

1.

a. Tentukan vektor yang diwakili PQ ,

PR

b. Tentukan koordinat titik R.


=

221

a ,

=

12

3b , dan

=

452

c . Hitunglah :

a.

a c. e.

+ cba2

b. b d.

++ cba f.

+ cba 2

14. Misalkan segitiga ABC dengan titik titik sudut A (1, 1, 2), B (3, 0, -1), dan C (4, -4, 1). Dengan menggunakan rumus jarak, tunjukkan bahwa segitiga ABC merupakan segitiga siku siku di B.

15. Tentukan persamaan bola yang pusatnya di titik M (3, 4, 2) dan jari jarinya 5.

16. Misalkan vektor

=

632

a , carilah vektor

satuan dari vektor a .

c



5 Transformasi Geometri Pengertian Transformasi T di bidang datar adalah suatu pemetaan titik di bidang yang sama. Jika titik (x, y) ditransformasikan menjadi (x, y) oleh transformasi T, maka ditulis )','(),(: yxyxT . Transformasi demikian disebut transformasi Geometri. Jenis Transformasi 1. Translasi Translasi (pergeseran) adalah pemindahan suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu. Matriks

Jika translasi

=

ba

T memetakan titik P(x, y) ke

titik P(x, y), maka x = x + a dan y = y + b atau P(x + a, y + b) dapat dituliskan dalam bentuk:

),('),(: byaxPyxPba

T ++

=

2. Refleksi Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin dari titik titik yang hendak dipindahkan itu.

Refleksi Titik Terhadap Garis x = a dan y = b ( i ) Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis x = a,

bayangannya adalah titik P(2a x , y). ( ii ) Titik P(x, y) dicerminkan terhadap garis y = b,

bayangannya adalah titik P(x, 2b y). Refleksi Titik terhadap garis y = mx

=

yx

yx

2cos2sin2sin2cos

'

'

, dengan m=tan

Refleksi Titik terhadap garis y = mx + n

=

nyx

nyx

2cos2sin2sin2cos

'

'

3. Rotasi Rotasi (perputaran) pada bidang geometri ditentukan oleh titik pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi. Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif, jika rotasi itu berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam. Sedangkan rotasi dikatakan memilki arah negatif, jika rotasi itu searah dengan arah putaran jarum jam.

Rotasi terhadap Titik Pusat O(0, 0) Jika titik P(x, y) diputar sebesar radian

berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam terhadap titik pusat O diperoleh bayangan P(x,y),

maka : = sincos' yxx += cossin' yxy Rotasi terhadap Titik Pusat A (a, b) Jika titik P(x, y) diputar sebesar radian

berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam terhadap titik pusat A(a, b) dan diperoleh bayangan

P(x, y), maka : = sin)(cos)(' byaxax += cos)(sin)(' byaxby

No Transformasi Pemetaan Matriks

1 Pencerminan terhadap sumbu X ),(),( yxyx

1001

2 Pencerminan terhadap sumbu Y ),(),( yxyx

1001

3 Pencerminan terhadap garis y = x ),(),( xyyx

0110

4 Pencerminan terhadap garis y = -x ),(),( xyyx

5 Pencerminan terhadap titik asal O ),(),( yxyx

1001

0110

No Transformasi Pemetaan Matriks 1 Rotasi terhadap

titik asal O(0, 0)

sebesar 2pi

),(),( xyyx

0110

2 Rotasi terhadap titik asal O(0, 0)

sebesar 2pi

),(),( xyyx

0110

3 Rotasi terhadap titk asal O(0, 0) sebesar pi

),(),( yxyx

1001

4 Rotasi terhadap titik asal O(0, 0) sebesar

),(),( yxyx = sincos' yxx

+= cossin' yxy

cossinsincos



4. Dilatasi Dilatasi (perbesaran atau perkalian) adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan faktor skala dilatasi. Dilatasi yang berpusat di titik asal O dan di titik sebarang P(x, y) dengan masing masing faktor skala k dilambangkan berturut turut dengan [O, k] dan [P, k].

Dilatasi terhadap Titik Pusat O (0, 0) Jika titik P (x, y) didilatasikan terhadap titik pusat O (0, 0), dengan faktor skala k didapat bayangan titik P(x, y) maka :

xkx ='

yky ='

Dilatasi terhadap Titik Pusat A (a, b) Jika titik P (x, y) didilatasikan terhadap titik pusat A (a, b), dengan faktor skala k didapat bayangan titik P(x, y), maka :

)(' axkax +=

)(' bykby +=

Latihan 1. Tentukan bayangan dari titik titik P (1, 4), Q (-1, 1),

R (2, -4), dan S (-3, -1) oleh translasi

=

32

T .

2. Translasi T memetakan titik A (1, -2) ke titik A(4, 3). a. Tentukan translasi T itu. b. Tentukan bayangan dari titik titik B

(0, 3) dan C (2, 6) oleh translasi T yang anda peroleh pada soal a) 3. Titik Q (-1, 4) diputar 45o searah dengan arah putar

jarum jam terhadap titik pusat O. Tentukan bayangan dari titik Q oleh rotasi itu.

4. Titik P (4, 3) diputar terhadap titik A (1, 2) dengan arah perputaran berlawanan arah dengan arah putar jarum jam. Tentukan bayangan titik P, jika besar sudut putarnya

a. 2pi

radian b. pi radian

5. Tentukan matriks rotasi yang bersesuaian dengan rotasi rotasi berikut ini. a. [ ]2, piO d. [ ]pi,O g. [ ]6, piO

b. [ ]2, piO e. [ ]23, piO h. [ ]4, piO

6. Tentukan bayangan atau peta dari titik P(-2, 5) oleh rotasi dengan pusat di (0, 0) sejauh 2

pi radian.

7. a. Tentukan matriks rotasi yang bersesuaian dengan rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh 3

pi radian.

b. Dengan menggunakan matriks rotasi yang diperoleh pada soal a), tentukan bayangan atau peta dari titik P(6, 4) 8. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik titik

berikut ini dicerminkan terhadap sumbu X. a. A(4, 3) b. C(-3, -5) 9. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik titik

berikut ini dicerminkan terhadap sumbu Y. a. A(3, 5) b. C(-6, -1) 10. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik titik

berikut ini dicerminkan terhadap garis y = - x a. A(10, 3) b. C(-6, -4) 11. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik titik

berikut ini dicerminkan terhadap titik asal O(0, 0) a. A(12, 4) b. B(-1, -6) 12. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik titik

berikut ini dicerminkan terhadap garis x = 2 a. A(1, 2) b. B(5, -1)

13. Tentukan koordinat titik bayangannya, jika titik titik berikut ini dicerminkan terhadap garis y = 3

a. A(-3, 4) b. (-4, -5) 14. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik titik

sudut A(5,1), B(3, 4) dan C(1,2). Tentukan bayangan dari titik titik sudut segitiga ABC jika dicerminkan terhadap garis y = - x

15. Tentukan koordinat titik bayangan dari titik P(2, 6) oleh dilatasi dilatasi berikut.

a. [ ]2,O b. [ ]21, O

16. Diketahui titik P(5, 4) dan titik M(1, 2). Tentukan bayangan dari titik P oleh dilatasi dilatasi berikut ini.

a. [ ]3,M b. [ ]21, M

17. Titik titik sudut suatu persegi adalah A (1, 1), B (2, 1), C (2, 2), dan D (1, 2). a. Carilah peta dari titik titik sudut persegi itu oleh dilatasi [O, 2] b. Jika peta dari titik titik A, B, C, dan D itu adalah A, B, C, dan D, tunjukkan luas persegi ABCD sama dengan 4 kali luas persegi ABCD.



6 Barisan dan Deret Pola Bilangan Pola bilangan adalah aturan terbentuknya sebuah kelompok bilangan.

Kelompok Pola Bilangan Pola ke-n

Bilangan Asli Bilangan Genap Bilangan Ganjil Bilangan Persegi Bilangan Segitiga

Bil. Persegi Panjang

Bil. Segitiga Pascal

1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 2, 4, 6, 8, 10, . 1, 3, 5, 7, 9, 11, 1, 4, 9, 16, 1, 3, 6 , 10,

2,6,12,20, .

1 1 1

1 2 1 1 3 3 1

n

2 x n 2n 1 n2

2

1)n(n +

n(n + 1)

2(n 1)

Barisan/ Deret Aritmetika Suatu barisan a/ U1, U2, U3,..,Un atau a, a + b, a + 2b, ..Un disebut barisan aritmetika jika U2 U1=U3 U2 dan seterusnya, atau Un Un-1 = b Suku ke-n barisan aritmetika adalah Un = a + (n-1) b atau Un = Sn Sn-1

dimana a =U1(suku pertama), n=banyaknya suku, b=beda = UnUn-1

Suku tengah barisan aritmetika

2nU1U

TU+

=

Jumlah n suku pertama Sn = n/2 (a + Un) atau Sn = n/2 (2a + (n -1) b) Jika suatu deret aritmetika disisipi k bilangan sehingga membentuk deret aritmetika baru,

maka : 1k

1UnU'b+

=

Barisan /Deret Geometri

Suatu barisan a/ U1, U2, U3, .. ,Un atau a, ar, ar2, ar3, .., Un disebut barisan geometri jika

2U3U

1U2U

= dan seterusnya, atau r

1nU

nU=

Suku ke-n barisan geometri ditentukan oleh : 1narnU

=

Suku tengahnya adalah n U.1UTU =

Jumlah n suku pertama r1

)nra(1n

S

=

Jika suatu deret geometri disisipi k bilangan sehingga membentuk deret geometri baru maka,

rasio barunya : 1k

1UnUr' +=

Deret Geometri Tak Hingga Deret geometri tak hingga a + ar + ar2 + + ar

n-1 + dikatakan :

1. mempunyai limit jumlah atau konvergen, jika dan hanya jika | r | < 1

Limit jumlah itu ditentukan oleh r1

aS

=

2. Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen, jika dan hanya jika | r | > 1



Latihan BARISAN ARITMATIKA 1. Carilah suku pertama (a), beda (b), suku ke-6 (u6) pada

tiap barisan berikut ini. a. 2, 4 , 6, 8, . b. 4, 1, -2, -5, . c. 8, 4, 0, -4, . d. 1 , 1, , 0, . 2. Suku pertama sebuah barisan sama dengan 2 sedangkan

bedanya sama dengan 5. a. Carilah suku ke-10 b. Suku keberapakah yang nilainya 82

3. Suku keempat suatu barisan aritmatika sama dengan 15, sedangkan suku kesepuluh sama dengan 39. a. Carilah suku pertama, beda dan rumus suku ke-n b. Carilah suku ke-20 c. Carilah jumlah 20 suku pertama

4. Diketahui barisan aritmatika, suku ketujuh sama dengan 4 kali suku pertama dan suku kelima 6 lebihnya dari suku ketiga. Carilah suku ke-22.

5. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika. Jumlahnya 18 dan hasil perkaliannya adalah 192. Carilah bilangan-bilangan itu.

6. Hitung banyak dan jumlah bilangan-bilangan bulat antara 100 dan 1000 yang merupakan kelipatan 7.

7. Ditentukan bilangan asli kurang dari 200. Carilah banyaknya bilangan-bilangan itu yang: a. habis dibagi 4 b. habis dibagi 5 c. habis dibagi 4 tetapi tidak habis dibagi 5

SISIPAN 8. Diantara bilangan-bilangan 4 dan 28 disisipkan 5 buah

bilangan, sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan itu membentuk membentuk barisan aritmatika. Carilah beda dari barisan yang terbentuk.

SUKU TENGAH 9. Suku tengah dari suatu barisan aritmatika sama dengan

19, sedangkan suku terakhirnya sama dengan 34. Jika suku kelima barisan itu sama dengan 16, carilah: a. suku pertama dan beda b. banyaknya suku

10. Diketahui barisan aritmatika 3, 5, 7, 9,, 95. Banyaknya suku pada barisan itu ganjil., carilah: a. suku tengahnya b. suku ke berapakah suku tengahnya itu ? c. berapa banyaknya suku barisan itu ?

DERET ARITMATIKA 11. Ditentukan deret aritmatika 4 + 8 + 12 + 16 + .

Carilah: a. rumus suku ke-n b. rumus jumlah suku ke-n c. jumlah 30 suku pertama

12. Hitunglah jumlah tiap deret aritmatika berikut ini. a. 4 + 6 + 8 + sampai 40 suku b. 0 + 3 + 6 + . + 93

13. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika ditentukan dengan rumus Sn = 4n2 3n. Carilah suku ke-2n dari deret tersebut.

14. Dalam suatu deret aritmatika suku pertama = 3 , suku ke-n = 87, jumlah suku ke-6 dan ke-7 adalah 39. Jika diantara dua suku disisipkan 2 buah suku baru, maka terbentuk deret aritmatika baru. Carilah selisih deret aritmatika baru dengan deret aritmatika semula.

Barisan geometri 1. Carilah suku pertama (a), rasio (r), dan suku kedelapan

(u8) pada tiap barisan geometri berikut ini. a. 1, 3, 9, 27, c. 8, 4, 2, 1, b. 2, -6, 18, -54,... d. 24, 12, -6, 3,. 2. Suku pertama suatu barisan geometri sama dengan 2,

sedangkan suku kelimanya sama dengan 162. Carilah rasio dan rumus suku ke-n ( ada 2

kemungkinan jawaban ) 3. Suku ketiga dan suku kelima suatu barisan geometri

berturut-turut adalah 16 dan 1. Jika rasio barisan ini positif, carilah :

a. rasio dan suku pertamanya b. rumus suku ke-n dan suku ke-9 c. suku keberapakah yang nilainya 1/256

4. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu sama dengan 1728. Carilah bilangan bilangan itu.

5. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmatika. Jika suku kedua dikurangi dengan 1, maka terbentuk barisan geometri dengan rasio 2. Carilah bilangan-bilangan itu.

Suku Tengah 6. Ditentukan barisan geometri , , 1, ..,256.

Banyaknya suku pada barisan itu adalah ganjil. Carilah : a. suku tengahnya b. suku keberapakah suku tengah itu ? c. berapakah banyaknya suku barisan itu ?

Sisipan 7. Diantara bilangan-bilangan dan 16 disisipkan 5 buah

bilangan, sehingga membentuk barisan geometri. Carilah rasio barisan geometri yang terbentuk dan bilangan-bilangan yang disisipkan.

8. Diketahui tiga buah suku barisan geometri 2, 32, 512. Diantara tiap dua suku disisipkan 3 buah suku, sehingga membentuk barisan geometri baru. Tentukan rasio, banyak suku, dan suku ke-8 barisan baru itu.

Deret Geometri 9. Carilah jumlah 6 suku pertama pada tiap deret

geometri berikut ini. a. 16 + 8 + 4 + c. 27 9 + 3 1 + . b. 1 + 4 + 16 + d. 1 + 2 4 +



10. Jumlah deret geometri 2 + 22 + 23 + + 2n sama dengan 254. Carilah nilai n.

11. Jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri adalah Sn = 3n 1.

a. Carilah rumus suku ke-n b. Carilah suku pertama dan rasio deret geometri itu. 12. Suatu deret geometri terdiri atas 8 suku. Jumlah 3

suku yang pertama 210 dan jumlah 3 suku yang terakhir 6720. Carilah deret geometri tersebut.

13. Dalam deret geometri, suku pertama =1dan rasionya = 2. Carilah nilai n yang bukat dan paling kecil , jika Un > 109.

14. Diketahui deret geometri terdiri dari 6 buah suku, dengan suku pertama 2 dan suku kelima 600 lebihnya dari suku ketiga. Di antara tiap dua suku berurutan disisipkan sebuah suku, sehingga didapat deret geometri baru. Berapakah jumlah deret geometri baru itu yang memiliki rasio positif.

15. Dalam suatu deret geometri ditentukan S2 = 9 dan S4 = 45.

a. Carilah suku pertama dan rasio deret geometri tersebut.

b. Carilah Jumlah 8 suku pertama. Deret Geometri Tak Berhingga 16. Jumlah semua suku suatu deret geometri tak berhingga

adalah 6, sedang jumlah suku-suku genapnya adalah 2. Tentukan suku pertama deret itu.

17. Sebuah benda bergerak dari keadaan diam dan melintasi 3 dm pada detik pertama, dan pada detik berikutnya bergerak 2/3 dari lintasan detik sebelumnya. Hitung panjang lintasan yang ditempuh benda sampai berhenti.

18. Diberikan deret geometri :

2log (x 6) + 2log2 (x 6 ) + 2log3 (x 6) + .. Tunjukkan bahwa deret itu konvergen pada interval 6 < x < 8.

19. Suku ke-n suatu deret geometri ditentukan oleh Un =

+ 2342

xxn . Carilah batas-batas nilai x agar

deret tersebut konvergen. 20. Sebuah bola tenis dijatuhkan dari ketinggian 2 m.

Setiap kali memantul bola tersebut akan mencapai ketinggian 2/3 dari ketinggian sebelumnya. Hitunglah panjang lintasan yang ditempuh bola itu sampai berhenti.



7 Persamaan, Fungsi, dan Pertidaksamaan Eksponen

Pangkat Bulat Positif, Nol dan Bulat Negatif

444 3444 21 aaaaaaan = ...

perkalian terdiri atas n buah faktor n

n

aa

1=

atau n

n

aa

=

1, dan 10 =a

Sifat Sifat Pangkat Rasional

(i). mnmn aaa += (iii). ( ) nnn baba = (v). ( ) nmmn aa = (ii). mnmn aaa =: (iv).

n

nn

ba

ba

=

(vi). qn

pnn

q

p

ba

ba

=

Pangkat Pecahan

i). aa =21

ii). nn aa =1

iii). n mnm

aa = catatan: sifat sifat pangkat rasional sama dengan sifat sifat pangkat Rasional.

Persamaan Eksponen Bentuk bentuk Persamaan Eksponen

A. Bentuk : pxf aa =)( Jika pxf aa =)( ( a > 0 dan 1a ), maka f (x) = p

B. Bentuk : )()( xgxf aa = Jika )()( xgxf aa = ( a > 0 dan 1a ), maka f (x) = g(x) C. Bentuk : )()( xgxf ba = (a > 0 dan 1a , b > 0 dan 1b , dan ba ) Jika )()( xgxf ba = maka f (x ) = 0

D. Bentuk : { } { } )()( )()( xgxf xhxh = Jika { } { } )()( )()( xgxf xhxh = , maka kemungkinannya adalah

[1.] f (x) = g (x) [2.] h (x) = 1 [3.] h (x) = 0, asalkan f (x) = g(x) keduanya positif [4.] h(x) = - 1, asalkan f (x) dan g(x) keduanya ganjil atau f (x) dan g(x) keduanya genap

E. Bentuk : A { }2)( xfa + B { })( xfa + C = 0 Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen diatas di selesaikan dengan cara mengubah persamaan eksponen itu kedalam

persamaaan kuadrat,dengan cara memisalkan y = }{ )(xfa



Pertidaksamaan Eksponen Sifat Fungsi Monoton naik (a > 1) [o]. Jika )()( xgxf aa maka )()( xgxf aa [o]. Jika )()( xgxf aa maka )()( xgxf aa Sifat Fungsi Monoton naik (a < 1) [o]. Jika )()( xgxf aa maka )()( xgxf aa [o]. Jika )()( xgxf aa maka )()( xgxf aa

Fungsi Eksponen Fungsi Eksponen dengan bilangan pokok atau basis a adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum:

xaxf : atau xaxfy == )( a disebut bilangan pokok atau basis a > 0 dan 1a Peubah x dinamakan peubah bebas atau variabel bebas.

Grafik Fungsi Eksponen Grafik Fungsi Eksponen dikelompokkan menjadi dua macam. [o]. Grafik Fungsi Eksponen dengan basis a > 1 [o]. Grafik Fungsi Eksponen dengan basis 0 < a < 1

Sifat grafik fungsi ( ) )( xfaxfy == dengan: a > 1 a< 0 = aay x

0

1

y

10,



Latihan 1. Tentukan himpunan penyelesaian setiap persaman

eksponen berikut.

a. 13 4 =x c. 34118 =x

b. 322 13 =x d. ( ) 2433 12271 =x.

2. Tentukan himpunan penyelesaian setiap persaman eksponen berikut.

a. ( ) 14312 29 + = xxx b. ( ) 1641 232 10010 + = xxxx 3. Tentukan himpunan penyelesaian setiap persaman

eksponen berikut.

a. 6363 32 = xx

b. 868622

53 + = xxxx

4. Tentukan himpunan penyelesaian setiap persaman eksponen berikut. a. 52122 1313 + +=+ xx xxxx )()( b. 1124 )52()52( 2 + = xx xx

5. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponen:

1)8( 1522 = xxx

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persamaan eksponen berikut ini. a. 03221222 =+ xx .

b. 010109102 = xx . c. 01565 12 =++ xx .

d. 03633 522 =+ + xx

7. Tentukan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan eksponen berikut.

a. 84 >x

b. ( ) 735 93 +> xx c. 366 34

2 xx . c. 022652 52 + xx b. 07

525 1



c. ( ) xxx 231

11

21

811

31

.27++

+

=

2. Carilah semua nilai x dan y yang memnuhi sistem persamaan :

42 12 =+ yx

yxyx +++= 273 332

3. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponen berikut ini.

a. ( ) ( ) 32322 352352 ++ +=+ xx xxxx b. 1124 )52()52( 2 + = xx xx

4. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponen berikut.

a. 055.43125 221 = + xx

b. 027312

312 =+ xx

c. ( ) 0813.103 19292 =+ yxyx 48 yx

d.

=+

=

511

21

3

13

155

42

6

xyyx

yx

yx

5. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan eksponen berikut: a. 48042 12



8 Persamaan, Fungsi, dan Pertidaksamaan Logaritma

Definisi: Logaritma bilangan Misalkan a adalah bilangan positif (a > 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (0 < g < 1 atau g > 1).

xag =log jika dan hanya jika ag x = * g disebut bilangan pokok atau basis logaritma * a disebut numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya * x disebut hasil logaritma Sifat sifat Dasar Logaritma (i). ng ng =log (ii). 1log =gg (iii). 01log =g

Sifat sifat Logaritma (a). baba ggg loglog)log( += (e). (i). bba gag logloglog =

(b). baba ggg logloglog =

(ii). a

n

ma

gmg n loglog =

(c). ana gng loglog = (iii). aa gngn

loglog =

(d). (i). ga

a p

pg

logloglog = (f). ag a

g=

log

(ii). g

aa

g

log1log =

Persamaan Logaritma Persamaan logaritma adalah persamaan yang numerusnya mengandung peubah x dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah x.

Bentuk bentuk persamaan Logaritma.

A. Bentuk : ( ) pxf aa loglog = Jika ( ) pxf aa loglog = maka f(x) = p asalkan f(x) > 0

B. Bentuk : ( ) )(loglog xfxf ba = Jika ( ) )(loglog xfxf ba = (dengan ba ), maka f (x) = 1

C. Bentuk : ( ) )(loglog xgxf aa = Jika ( ) )(loglog xgxf aa = maka f(x) dan g(x) keduanya positif

D. Bentuk : ( ) )(loglog )()( xgxf xhxh = Jika ( ) )(loglog )()( xgxf xhxh = maka f(x) = g(x) asalkan f(x) dan g(x) keduanya positif serta h(x) > 0 dan h(x) 1



E. Bentuk: A { }2xa log + B { }xa log + C = 0 Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma diatas di selesaikan dengan cara mengubah persamaan logaritma itu kedalam

persamaaan kuadrat,dengan cara memisalkan y = { }xa log Pertidaksamaan Logaritma

Sifat Fungsi logaritma Monoton naik ( a > 1) [o]. Jika )(log)(log xgxf aa maka )()( xgxf [o]. Jika )(log)(log xgxf aa maka )()( xgxf

Sifat Fungsi logaritma Monoton turun ( 0 < a < 1) [o]. Jika )(log)(log xgxf aa maka )()( xgxf [o]. Jika )(log)(log xgxf aa maka )()( xgxf

Fungsi Logaritma Fungsi logaritma dengan bilangan pokok atau basis a adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum:

( ) xxfy alog== * a disebut bilangan pokok atau basis a > 0 dan 1a

* Peubah x dinamakan numerus ( yang dicari nilai logaritmanya)

Grafik Fungsi logaritma Grafik Fungsi logaritma dikelompokkan menjadi dua macam. [o]. Grafik Fungsi logaritma dengan basis a > 1 [o]. Grafik Fungsi logaritma dengan basis 0 < a < 1

Sifat grafik fungsi ( ) xxfy a log== dengan: a > 1 a< 0 axa x 1 0

y

f(x)= 10,log



Latihan 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari tiap persamaan

logaritma berikut ini.

a. 3)6log()4log( 22 =+ xx b. 81log)2log()5log( 922 =+ xx

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap persaman logaritma berikut.

a. xx 4loglog}2)43log{log( =++

b. )10

log(log}14log{log2

757 xx =+

c. xx log1)}812log{log( 212 +=++


a. 3log)1log( =x b. )6log(3loglog ++= xx

c. 1)22loglog(log 222 +=x 4. Tentukan himpunan penyelesaian dari setiap

persaman logaritma berikut. a. 2log1)9log()10log( +=+ xx b. 5log)12loglog(loglog += xx

c. 1)63log( 236 =+ xxxx


a. 1log1

log1

log1

10612 +=+ ++xxx

xxx

b. 5,2log

2log5log8log)1log(22

13 131

=++ xxx

6. Tentukan himpunan penyelesaian tiap dari setiap persamaan logaritma berikut ini: a. 0125logloglog 54525 =+ xx

b. 5log63log30log2 25log5log +=+ xx dengan bilangan pokok logaritma 5.

c. 8

4log2 xx x =

d. 6log log122

=+ xx

7. Tentukan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan berikut.

a. 81loglog4 21

21



b. 2)3log(

1)12log( )1()3(

=

+++

+

xx

x

x

17. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponen dibawah ini:

a. ( ) ( )13log279log 1212 ++=+ xx b. ( ) 5log63log30log2 25log5log +=+ xx , dengan bilangan pokok 5

c. xxx xx log12

11010 loglog =+

18. Tentukan himpunan peneyelesaian persamaan dibawah ini

a. 84:2 7 =yx 2log)1log(5loglog 3333 ++= yx

19. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma berikut.

a. 1)45log( 21,0 >+ xx b. 0625log)12log( 125 xx c. 1)7x2log(x

matematika9

Documents