MATEMÁTICAS (4º E.S.O.) VECTORES y RECTAS

NOMBRE y APELLIDOS:...............................................................................................................

Nº:...........Grupo:.............................FECHA

01) Dadas las coordenadas de los puntos A (4, 2), B (2, 4), C (0, 2) y D ( 4, 2 )

a) Halla las coordenadas de los vectores AB y CD

b) Gráficamente, efectúa las operaciones: Suma: (AB + CD) Resta: (AB CD)

02) a) Halla el punto trasladado del original A (4, 5) con el vector guía: v (1, 3)

b) Calcula la distancia que hay entre los puntos A (8, 10) y B (2, 14).

03) Halla:

a) El simétrico, A’, del punto A (1, 0) respecto de B (2, 8).

b) El valor de k para que los puntos A (1, 1), B (0, 3) y C (2, k) estén alineados.

04) Calcula las coordenadas de los puntos (M1, M2) que dividen el segmento de extremos A (5, 1) y

B (17, 8) en tres partes iguales.

05) Con los vectores u , v y w efectúa las siguientes operaciones: gráficamente y mediante sus correspondientes coordenadas

a) 2u + 3 v

b) v + 5 w

c) 2u + 3 v 4 w

06) Calcula el perímetro de un triángulo cuyos vértices están situados en los puntos A (1,2), B (3,2) y C (1,3).

07) Determina el valor de “a”, sabiendo que la distancia entre Q (6, 2) y P (a, 7) es 13.

Escribe también las coordenadas y el módulo del vector PQ.

08) Dados los puntos A (1, 2); B (0, 3) y C (3, 1).

a) Obtén el módulo del vector BC

b) Halla las coordenadas del punto medio del segmento AC

c) Calcula numéricamente la combinación lineal de vectores: 2 AB 1/3 AC + 3 BC =

09) Dados los vectores u ( 2, 1) y v (3, 6).

Demuestra que sabes manejar numéricamente los vectores y calcula:

2 3u v 3 5v u

u

v

10) Calcula “k” para que los vectores (5, 3)u ( , 6)v k :

a) sean paralelos b) tengan el mismo módulo

NUESTRA MADRE

DEL BUEN CONSEJO

PP. AGUSTINOS=LEÓN=

2 3

5 2u v

11) Escribe las ecuaciones: vectorial, paramétricas, continua, general, explícita y punto-pendiente, de una recta que pasa por el punto A(3, 2) y tiene como vector director v (2, 1).

12) Estudia la posición relativa en el plano de las siguientes parejas de rectas. En el supuesto caso de que fueran secantes, halla las coordenadas del punto de corte correspondiente.

¿Qué criterio has seguido (vectores directores/pendientes/coeficientes) para dicho estudio?

a) 2

1 2

x yr

4

1

x ts

y t

b) 2

1 3

x tr

y t

3 5 0s x y

13) Comprobar si están alineados los siguientes puntos: P (1, 4) B (3, 1) C (11, 5) Si así fuera, obtén la ecuación general de la recta. Y comprueba si el punto M (–1,3) pertenece a la recta.

14) Escribe las ecuaciones de la recta en forma: vectorial, paramétricas, continua, general, explícita y

punto-pendiente, sabiendo que tiene por pendiente (4) y pasa por el punto P (1, 2). 15) a) Halla la ecuación explícita de una recta que pasa por el punto A (0, 5) y forma un ángulo de 45º con el

eje de abscisas.

b) Hallar la ecuación general de la recta (r) que pase por el punto (2, 3) y además sea paralela a otra recta:

s 2x 3y + 5 = 0.

c) Calcular el valor de “k” para que la recta r (k + 1) x + 2ky 1 = 0,

sea paralela a la recta s 2x + y = 1

d) Halla la ecuación explícita de una recta que pasa por el punto B (3, 2) y es paralela a la bisectriz del

segundo cuadrante.

16) Determina la posición relativa (secantes/paralelas/coincidentes) de cada pareja de rectas. Si son

secantes, obtén su punto de corte.

¿Qué criterio has elegido (vectores directores/pendientes/coeficientes) para dicho estudio?

i) r y 2 = 5 (x + 1)

s (x, y) = (1, 2) + t (1, 5)

x = 1 + 2t

ii) r

y = 5 3t

s 5x 2y + 1 = 0

17) Sabiendo que la recta r tiene por ecuación x + 3y – 1 = 0, calcula:

a) dos puntos de r. b) el vector de dirección de r. c) la pendiente de r.

18) a) Hallar el valor de “a” para que la recta r (a + 1) x + 2ay 1 = 0, sea paralela a la recta s 2x + y = 1

b) Halla el valor de “a” y “b” para que las rectas: r ax 3y + 1 = 0 y s 3x + 6y + b = 0

i) sean paralelas. ii) sean secantes.

19) Hallar las diversas formas de la ecuación de la recta: a) Que pasa por A (3, –1) y B (5, 2).

b) Que pasa por A (–2, 4) y tiene de pendiente -2.

c) Que pasa por el punto A (1, –3) y es paralela a la recta x + 3 = 0.

d) Que pasa por el punto A (–1, 2) y es paralela al eje de abscisas.

20) Calcula, mediante la fórmula correspondiente, la pendiente de la recta que pasa por los puntos:

(1,2) y (3,6). Halla la ecuación explícita de dicha recta. ¿Y cuál es su ordenada en el origen?

21) Escribe la ecuación de la recta: 2x + y 5 = 0 de todas las formas posibles. Indicando en cada caso

el nombre que corresponde a cada forma de expresión de la recta.

22)

a) Representar gráficamente las ecuaciones lineales del siguiente sistema x + y = 1

b) Determinar su posición relativa (secantes/ paralelas/ coincidentes)

c) ¿Cuántas soluciones tiene? x 2y = 5

d) ¿Qué tipo de sistema de ecuaciones resulta?

23) Si A (3, 1), B (5, 7) y C (6, 4) son tres vértices consecutivos de un paralelogramo,

¿cuál es el cuarto vértice?

24) Halla la pendiente, la ordenada en el origen y los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la

recta 5x 6y + 2 = 0. Represéntala gráficamente.

25) a) Escribe la ecuación general de la recta, “r”, que pasa por los puntos (1, 0) y (3, 6).

b) Halla la ecuación de la recta, “s”, paralela a 1

2y x que pasa por el punto (4, 4).

c) Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores.

26) Determina si el triángulo de vértices A (12, 10), B (20, 16) y C (8, 32) es rectángulo.

27) Dadas las siguientes rectas, identifica cuáles son paralelas y represéntalas:

a) 5

2

xy

b)

1

2y c) 2x + 5y = 3 d) 2y – x + 3 = 0

28) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento de extremos A (–1, 3) y B (5, 2) y es paralela a la recta 7x – 2y + 1 = 0.

29) a) Halla la ecuación de la recta, “r”, que pasa por (0, 0) y es paralela al vector v (3, 6).

b) Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por (3, 4) y es perpendicular a x + y 5 =0.

c) Obtén el punto de intersección de las dos rectas anteriores.

30) Calcular “k” para que las rectas: a) r ≡ 3x + 5y – 7 = 0 y s ≡ 6x + k y = 1.

i) sean paralelas ii) sean perpendiculares

b) r ≡ – x + y + 3 = 0 y s ≡ kx + 3 y – 1 = 0. No se corten

31) Dada la recta de ecuación r ≡ x – 2y + 1=0 y el punto A (2, –2), calcula:

a) La ecuación de la recta “s” que pasa por el punto A (2, –2) y es paralela a “r”.

b) La ecuación de la recta t que pasa por el punto A (2, –2) y es perpendicular a “r”.

c) El punto M de intersección entre las rectas “r” y “t”.

d) El punto simétrico de A respecto de M.

32) Hallar el valor de “k” para que:

a) El punto (1, 2) pertenezca a la recta x – 3ky + 3 = 0.

b) El punto (k, 1) pertenezca a la recta x + 2y - 4 = 0.

c) Los puntos (1, 2), (5, –6) y (7, k) estén alineados.

d) La recta 2x + ky – 1 = 0 tenga de vector director v = (–5, 3).

e) La recta kx – 3y + 2 = 0 tenga de pendiente m = – 3/2.

f) Las rectas r ≡ y = 9kx + 2 y s ≡ 4x – ky + 1 = 0 sean paralelas.

g) Las rectas r ≡ 2x + 3ky + 2 = 0 y s ≡ 2 1

2

x y

k

se corten en un punto.

33) Escribe las ecuaciones de los ejes de coordenadas de dos formas diferentes: general y vectorial.

34) Calcular el punto de intersección de las rectas r ≡ 5x +2y + 4 = 0; s ≡ 3x – 4y + 18 = 0. Y halla la ecuación general de la recta que pasa por dicho punto de intersección y además es perpendicular a esta otra recta t ≡ x + y = 3.

35) Un paralelogramo tiene de vértices A (2,3) y dos de sus lados están sobre las rectas r ≡ x + y = 20

s ≡ 2x – 3y = 10. Calcular las ecuaciones de los otros dos lados y las coordenadas de sus vértices.

36) a) Escribe la ecuación general de la recta, “r”, que pasa por los puntos 0, 2y 1, 5.

b) Obtén la ecuación explícita de la recta, “s”, que pasa por 4, 0y tiene pendiente 2.

c) Halla el punto de intersección de las rectas “r” y “s”.

37) a) Halla la ecuación de la recta, ”r”, que pasa por (3, 2) y tiene como vector dirección v (1, 1)

b) Escribe la ecuación de la recta, “s”, que pasa por (5, 2) y es paralelo al eje X.

c) Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores.

38) Dada la siguiente recta: 2x + 3y 4 = 0. Halla el vector director, pendiente, vector normal y un punto que esté contenido en ella.