5. Poliedros

Matemáticas 2º ESO

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1. Dualidad de poliedros

2. Prismas y antiprismas

3. Estructuras espaciales

4. Secciones y simetrías de

poliedros

5. Macizamiento del espacio

6. Coordenadas en el espacio

Poliedros

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1. Dualidad de poliedros

POLIEDROS DUALES

Material: Cubos, tetraedros y octaedros montados. Cubos de poliestireno. Polígonos regulares troquelados en cartulina y gomas. Toma un cubo de la mesa. Fíjate en la cara superior del cubo y marca su centro. Fíjate ahora en las cuatro caras laterales y marca también sus centros. Haz lo mismo con la cara inferior. Une mentalmente el centro de la cara superior con los cuatro centros de las caras laterales y éstos con el centro de la cara inferior. Esos centros son ahora los vértices de un nuevo poliedro. ¿Cuál?. Haz lo mismo con un tetraedro y con un octaedro. Cuenta el número de caras, vértices y aristas de los poliedros anteriores y recuerda: dos poliedros regulares con idéntico número de aristas y con el número de caras y vértices cambiados reciben el

nombre de poliedros regulares duales. ¿Son duales el dodecaedro y el icosaedro?

2. Prismas y antiprismas

PRISMAS

Recorta tiras de la trama de cuadrados. Ponle una pestaña al último. Dóblalas por las aristas y une el primer cuadrado con el último. Tapa por arriba y por abajo con el polígono regular que tenga un número de lados igual al de cuadrados de la tira.

Describe las figuras obtenidas, llamadas prismas regulares. Aquí tienes algunos:

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¿Incluirías los prismas regulares entre los poliedros regulares?.

¿Alguno de los poliedros regulares es un prisma?.

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SOBRE PRISMAS

a) Dibuja sobre papel cuadriculado un prisma recto de base rectangular y un prisma oblicuo de base triangular. ¿Cuántos vértices y aristas tiene cada uno?.

b) Calcula el número de vértices, aristas y caras de un prisma cuya base es un heptágono. c) El número de aristas de un prisma regular es 18. ¿Qué polígonos forman las bases?. d) Dibuja cómo se ve desde arriba un prisma hexagonal ragular. e) Sabiendo que el número de vértices de un prisma es 20 y el número de aristas es 30, ¿cuántas

caras tiene?. ¿Se puede aplicar la fórmula de Euler?. f) Un prisma tiene 10 vértices. ¿Tienes datos suficientes para decir cómo son los polígonos de las

bases?. Si puedes, hazlo.

ANTIPRISMAS

Recorta tiras de la trama de triángulos equiláteros. Ponle una pestaña al último. Dóblalas por las aristas y une el primer triángulo con el último. Observa las figuras obtenidas. ¿Puedes taparlas por arriba y por abajo con polígonos regulares?. Si puedes, hazlo y describe las figuras obtenidas. Añade las pestañas que necesites.

Las figuras anteriores, con todas sus caras regulares, se llaman antiprismas regulares. Aquí tienes algunos:

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¿Incluirías los antiprismas regulares entre los poliedros regulares?. Uno de los antiprismas regulares es un poliedro regular. ¿Cuál?. Con otro de los antiprismas, puedes construir un icosaedro añadiéndole lo que le falta. Averigua qué es y hazlo.

3. Estructuras espaciales

ESTRUCTURAS PRISMÁTICAS

Material: Trama isométrica de triángulos. Trama de cuadrados. Cartulina, tijeras, pegamento, colores. Libro de espejos. Una forma eficaz de llenar el espacio consiste en alzar algún recubrimiento o mosaico con el que se haya podido llenar el plano. Por ejemplo, si partes de este mosaico regular

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puedes ocupar el espacio mediante prismas cuyas bases son hexágonos regulares.

¿Con qué otro tipo de prismas puedes llenar el espacio?. El espacio se puede llenar con fomas más divertidas, levantando cada región del plano a una altura distinta y dándole color. Por ejemplo, subiendo a distintas alturas las regiones 1, 2, 3 y 4 del plano, puedes obtener esta estructura:

Investiga nuevas formas de llenar el espacio mediante alzados desde la trama cuadrada. Construye con cartulina o cartón y colorea alguna de las estructuras que te inventes. Si introduces la simetría - mediante el libro de espejos por ejemplo- obtendrás estructuras todavía más interesantes.

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RETÍCULA ISOMÉTRICA

Material: Trama isométrica. Cartulinas, tijeras, pinturas, pegamento, cuchillas. Construye una estructura tridimensional mediante el alzado desde la trama triangular isométrica.

LLENAR EL ESPACIO

¿Con qué poliedros regulares se puede llenar el espacio?. ¿Se puede rellenar el espacio combinando cubos y tetraedros? ¿Y combinando octaedros y tetraedros?. Investiga combinaciones de poliedros regulares que rellenen el espacio.

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4. Secciones y simetrías de poliedros

CORTANDO EL CUBO

Material: Cubos de poliestireno. Polígonos regulares troquelados en cartulina y gomas. Coge un cubo en la mano. Imagina que quitas sus ocho vértices con cortes planos no muy lejos de cada vértice.

Da los cortes para que queden ocho triángulos equiláteros idénticos en el lugar que ocupaban los vértices. Acabas de inventar un nuevo poliedro. Constrúyelo con los troquelados y las gomas. Coge de nuevo el cubo y da ahora cortes que pasen por los puntos medios de las aristas que concurren en cada vértice.

¿Qué poliedro obtienes ahora?. Constrúyelo con los troquelados y las gomas.

DEL CUBO AL TETRAEDRO

Toma un cubo de poliestireno o plastilina y sitúate en un vértice. Traza las diagonales de las tres caras que concurren en ese vértice y corta con una cuchilla la esquina del cubo por el plano que pasa por las tres diagonales, como se indica en el dibujo. El resultado será una pirámide y un pedazo del cubo sin una esquina.

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Repite el mismo proceso para los vértices 2, 3 y 4. El sólido que has obtenido es un tetraedro. Apilando varios tetraedros, ¿puedes obtener otro tetraedro más grande?. ¿Y un cubo?. Si colocas cuatro tetraedros juntos, en el mismo plano, obtendrás un sólido con un hueco que no se deja rellenar con otros tetraedros. Intenta describir el cuerpo geométrico que podría rellenarlo.

CORTANDO EL TETRAEDRO

Corta un tetraedro en dos trozos para obtener una sección plana. Hay una gran variedad de cortes posibles. Se pueden diferenciar unos de otros por el polígono que resulta en el interior del tetraedro. Clasifícalos.

AKENÓ, ROMPECABEZAS PIRAMIDAL

Recorta las dos piezas del desarrollo plano del Akenó. Móntalas. Juntándolas se puede hacer un tetraedro. Inténtalo.

Poliedros

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CORTANDO EL OCTAEDRO

Material: Un octaedro construido con troquelados y gomas. Polígonos regulares troquelados en cartulina y gomas. Toma el octaedro que tienes sobre la mesa. Fíjate en un vértice. En este vértice concurren cuatro aristas. Marca en cada una de esas aristas un punto situado a una distancia del vértice que sea un tercio de la longitud de la arista.

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Imagina que cortas por un plano que pasa por esos cuatro puntos. Imagina que haces lo mismo en cada uno de los seis vértices del octaedro. ¿Qué cuerpo te queda?. Constrúyelo con los troquelados y las gomas. ¿Qué poliedro obtendrás si cortas por los puntos medios de cada una de las aristas?. Constrúyelo con los troquelados y las gomas.

SIMETRÍAS DEL CUBO

Material: Cubo poliestireno. Espejos, libro de espejos y triedro de espejos. Reconstruye el cubo que tienes sobre la mesa a partir de un trozo del mismo y las imágenes de ese trozo en: Un espejo. Un libro de espejos. Un triedro de espejos.

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Un plano de simetría de un sólido es un plano que divide al sólido en dos partes iguales. Cuando se reconstruye el sólido a partir de un trozo y de su imagen en el espejo, el plano formado por el espejo

es un plano de simetría. Los sólidos que poseen planos de simetría se dice que tienen simetría

especular.

Un eje de simetría de un sólido es una recta contenida en él, tal que al girar dicho sólido en torno a ella queda invariante. Los ejes de simetría se obtienen como intersección de dos planos de simetría. Si se usa el libro de espejos para reconstruir el sólido a partir de un trozo y de su imagen, las hojas del libro de espejo son planos de simetría del sólido y el eje del libro de espejos es un eje de simetría del

sólido. Los sólidos que tienen ejes de simetría se dice que tienen simetría axial. Si se usa un triedro de espejos para reconstruir un sólido a partir de un trozo y de su imagen, las hojas

del triedro son tres planos de simetría y el centro del triedro es el centro de simetría. Si un sólido

posee centro de simetría, se dice que tiene simetría central.

SIMETRÍAS DEL OCTAEDRO

Material: Espejos. Polígonos engarzables en plástico rígido. Estudia los planos de simetría y los ejes de simetría del octaedro.

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CORTANDO EL CUBO

Material: Cubos de poliestireno. Alfileres y gomas. Instrumento para cortar cubos.

Divide el cubo en dos mitades idénticas mediante un corte plano. Hazlo de varias formas diferentes.

¿Qué tienen en común todos los cortes que has hecho?.

¿Qué polígonos has obtenido por donde pasa el plano de corte?.

¿Has obtenido ya un hexágono regular?.

¿Es posible obtener cualquier polígono, por ejemplo un pentágono o un rombo, cortando el cubo?.

AKESÍ, ROMPECABEZAS CUBOIDAL

Recorta las dos copias del desarrollo plano del Akesí. Móntalas. Juntándolas se puede hacer un poliedro conocido. Inténtalo.

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5. Macizamiento del espacio

SÓLIDO DE KELVIN

Con esta mitad y el triedro de espejos puedes construir un nuevo poliedro llamado el sólido de Kelvin.

¿Qué polígonos constituyen las caras de este poliedro?. ¿Cuántos polígonos hay de cada clase?. Constrúyelo con los troquelados y las gomas.

MACIZAMIENTO DEL ESPACIO

El cubo es un poliedro con el que se puede llenar el espacio sin dejar huecos. ¿Crees que el sólido de Kelvin llenará el espacio?.

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6. Coordenadas en el espacio

COORDENADAS EN EL ESPACIO

¿Cuántos números necesitas para representar cada punto del espacio?

Recuerda que en el plano necesitabas elegir un origen, unos ejes y unidades de medida. Aquí debes proceder de una forma parecida.

Poliedros

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a) Escribe las coordenadas de alguno de los puntos del cubo; por ejemplo, los vértices y el centro.

b) Escribe las coordenadas de alguno de los puntos de los siguientes cuboides; por ejemplo, los

vértices y el centro.

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c) Tomando como origen el punto O y como unidad el lado del cubo, las coordenadas del punto A son (1, 2, 1). ¿Qué coordenadas tiene el punto B? Dibuja los cubos necesarios para localizar el

punto C cuyas coordenadas son (3, 2, 1).

d) Consideremos el dibujo de la siguiente figura. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A, B,

C, D, E, F, G y H? ¿Dónde situarías los puntos M(1, 3, 2); N(0, 4, 2) y P(1, 0, 3)? Realiza el dibujo con un juego de policubos.