SECCION 1

19 Manual del Alumno

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLGICONORBERT WIENER

Manual del Alumno

ASIGNATURA: Matemtica Aplicada II

PROGRAMA: S3C

LIMA-PERU MANUAL DE MATEMATICA APLICADA II

INDICE.-SECCION 1 : MATRICES Ejercicios 1SECCION 2 : OPERACIONES CON MATRICES Ejercicios 2SECCION 3 : TRANSFORMACIONES ELEMENTALES( inversa de una Matriz: mtodo de Gauss-Jordan (de orden 2x2)) Ejercicios 3SECCION 4 : TRANSFORMACIONES ELEMENTALES( inversa de una Matriz: mtodo de Gauss-Jordan (de orden 3x3)) Ejercicios 4SECCION 5 : DETERMINANTES Ejercicios 5 SECCION 6 : RELACIONES Y FUNCIONES Ejercicios 6SECCION 7 : GEOMETRIA ANALITICA Ejercicios 7SECCION 8 : ANGULO ENTRE RECTAS Ejercicios 8SECCION 9 : LA ECUACION DE LA RECTA Ejercicios 9SECCION 10 : LA CIRCUNFERENCIA Ejercicios 10SECCION 11 : LIMITES Ejercicios 11SECCION 12 : LIMITES INDETERMINADOS Ejercicios 12SECCION 13 : LA DERIVADA Ejercicios 13SECCION 14 : REGLAS DE DERIVACION Ejercicios 14SECCION 15 : LA ANTIDERIVADA Ejercicios 15

SESION 1 MATRICES

DEFINICION :Una matriz es un arreglo rectangular de nmeros reales ordenados en filas o columnas

Ejemplo.

Sen , Cos , Tg 4 53 4

Las matrices se denotan con letras maysculas A,B,C... etc. El conjunto de los elementos se denotan con letras minsculas subindicadas aij, bij, cij...etc. A = aij

En general : el elemento aij ocupa la interseccin de la i-esima fila y la j-sima columna.

ORDEN DE UNA MATRIZEl orden de una matriz esta dado por el producto del nmero de filas con el nmero de columnas.

Ejemplo. 2 3 4 A= -1 2 0 es una matriz de orden 2x3

TIPOS DE MATRICES

A- MATRIZ RECTANGULAR.-Es la matriz donde el nmero de filas es diferente al nmero de columnas

1 0 5A = 2 1 3 (2X3)

B- MATRIZ FILA.-Es la matriz donde es una sola fila y varias columnas.

P = 3 -2 1 5 (1X4)

C- MATRIZ COLUMNA.-Es la matriz que tiene varias filas y una sola columna.

-3G = 1 4 (3X1)

D- MATRIZ CERO.-Es la matriz que todos sus elementos son cero.

0 0 0K = 0 0 0 0 0 0 (3X3)

E- MATRIZ CUADRADA.-Es aquella matriz que tiene el mismo numero de filas y columnas

3 4 5 A = 6 7 -1 2 -5 0 EJERCICIOS 1

Indicar que tipo de matrices y que orden tienen las siguientes matrices .

2 -5 1A = 3 4 0

B = 0 0 0

2 -2C = k b

-3F = 1 7

0 0 0 0 G = 0 0 1 0 0 0 0 1

SESION 2OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES.-Dados dos matrices A y B del mismo orden, se llama suma de A y B a otra matriz C.

Ejemplo.

S:7 -2-2 5A =yB = 5 24 -1

Hallar: A+BSolucin:

7 -2-2 5A =+B = 5 2 4 -1

7 + -2-2 + 55 3A + B == 5 + 2 4 + -19 1

5 3A + B = 9 1

PROPIEDADES1. A y B, (A+B) E K mxn Clausura2. A + B = B + AConmutativa3. A + ( B + C ) = ( A + B ) + CAsociativa4. A + 0 = 0 + A = AElemento neutro aditivo5. (-A ) + A = 0Elemento inverso aditivo

DIFERENCIA DE MATRICESDado dos matrices A y B del mismo orden la diferencia entre A y B es otra matriz C.

Ejm: 7 -2 5 -1 4 -2A =B = 3 0 1 1 3 3

Hallar : A - B

Solucin:

7 -2 5 -1 4 -2A - B = - 3 0 1 1 3 3

7-(-1) -2 -4 5-(-2) 8 -6 7 A -B = = 3 -1 0 -3 1-3 2 -3 -2

8 -6 7A -B = 2 -3 -2

PRODUCTO DE UN ESCALARDado una matriz y un escalar K que es un nmero real definimos como: KA

Ejm:-3 4SK= -2A =5 1/2

Solucin:3 4(-2)(-3) (-2)(4)KA = -2 = 5 1/2(-2)(5) (-2)(1/2)

68KA =-10-1

PROPIEDADES

p(qA) = (pq)AAsociativa(p+q)A = pA +qADistributiva con respecto a escalaresp(A+B) = pA +pBDistributiva con respecto a matrices

MULTIPLICACION DE MATRICESEl producto de AxB nos da otra matriz C

Ejm:8 6 4 5 5SA = yB = 4 23 2 1 7 3

HallarA x BSolucin:1 Paso: la matriz A es de orden 2x3 y la matriz B es de orden 3x2Entonces:2x3 = 3x2y la matriz resultado tiene un orden de 2x2

2 Paso

8 6 4 5 5 8x5+6x4+4x7 8x5+6x2+4x392 60 4 23 2 1 7 3 3x5+2x4+1x7 3x5+2x2+1x330 22

3 Paso

92 60AxB = 30 22

PROPIEDADESA(B.C) = (A.B)CAsociativa(A+B)C = AC + BCDistributivaAB = BAConmutativa

EJERCICIOS 2

1. 4 5 -72 3 -1A=B=-2 0 1 0 -4 8

Hallar :*A+B*A-B*AxB*BxA*B-A

2. S:4 -1/2 1/3 -1/4D =E =5 0 2 3

Hallar la matriz "X" de la siguiente ecuacin.3D - E = 2X + (E - D)

SESION 3 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

INVERSA DE UNA MATRIZ : METODO DE GAUSS-JORDAN ( de orden 2x2 )

Ejemplo : 3 -1Determinar si A = tiene inversa.5 -2

Solucin:- 3 -1 1 0 A - = 5 -2 0 1

Multiplicar 1/3 a la fila 1

F(1) (1/3) 3/3 -1/3 1/3 0 5 -2 0 1

Multiplicar 1/5 a la fila 2

1 -1/3 1/3 0

F(2)(1/5) 5/5 -2/5 0 -1/5 Restar la primera fila con la segunda fila

1 -1/3 1/3 0 F1 1 -2/5 0 1/5

Multiplicar -1 por la fila 2

1 -1/3 1/3 0

F(2)(-1) 0 1/15 -1/3 1/5 Multiplicar la fila 2 por 15

1 -1/3 1/3 0

F(2)(-15) 0 -15/15 15/3 -15/5

Multiplicar la fila 2 por 1/3

1 -1/3 1/3 0

F(2)(1/3) 0 1 5 -3

Sumar la fila 2 y la fila 1

1 -1/3 1/3 0

F2 0 1/3 5/3 -3/3

Multiplicar la fila 2 por 3

1 0 2 -1

F(2)(3) 0 1/3 5/3 -1

Hallamos la matriz inversa

1 0 2 -1

0 1 5 -3

2 -1A - = 5 -3

EJERCICIOS 3Hallar la inversa de las matrices por el mtodo de Gauss-Jordan

5 6B = 7 8

-1 3C = 2 -4

1 2D = -1 3

4 -1E = 2 6

SESION 4

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

INVERSA DE UNA MATRIZ :METODO GAUSS-JORDAN (de orden 3x3)

Hallar la A-1 para la matriz :

3 2 1 A = 4 5 2 2 1 4

Solucin :

3 2 1 1 0 0A-1 = 4 5 2 0 1 0 2 1 4 0 0 1

1 2/3 1/3 1/3 0 0 4 5 2 0 1 0F1 (1/3) 2 1 4 0 0 1

1 2/3 1/3 1/3 0 0F12 (-4) 0 7/3 2/3 -4/3 1 0F13 (-2) 0 -1/3 10/3 -2/3 0 1

1 2/3 1/3 1/3 0 0F2 (3/7) 0 1 2/7 -4/7 3/7 0 0 -1/3 10/3 -2/3 0 1

1 0 1/7 5/7 -2/7 0F21 (-2/3) 0 1 2/7 -4/7 3/7 0F23 (1/3) 0 0 24/7 -6/7 1/7 1

1 0 1/7 5/7 -2/7 0 F3 (7/24) 0 1 2/7 -4/7 3/7 0 0 0 1 -1/4 1/24 7/24

F31 (-1/7) 1 0 0 3/4 -7/24 -1/24 0 1 0 -1/2 5/12 -1/12 F32 (-2/7) 0 0 1 -1/4 1/24 7/24

18 -7 -1 A-1 = (1/24) -12 10 -2 -6 1 7

EJERCICIOS 4

Hallar la inversa de las siguientes matrices :

1 2 3B = 4 5 6 7 8 9

-3 2 5C = 6 4 -2 1 1 1

2 -5 -6D = 4 -2 7 3 2 1

-2 3 4E = 1 2 5 -3 5 6

2 6 4 F = 5 4 2 -4 1 2

SESION 5 DETERMINANTES

Definicin.-El determinante es un numero real o un escalar asociado a una matriz cuadrada que se denota por : D (A)

CALCULO DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2X2

a11 a12 D(A) = = a11. a22 + a21. a12 a 21 a22 4 -3Ejemplo. Hallar el determinante de A = 1 2Solucin :

4 -3D(A) = = 4x2 - 1x (-3) = 8 + 3 = 111 2

CALCULO DEUNA MATRIZ DE ORDEN 3X3

a11 a12 a13 a11 a12D(A) = a21 a22 a23 a21 a22 = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a31 a32 a33 a31 a 32 a13.a21.a32 - a13.a22.a31 - - - - + + + a11.a23.a32 - a12.a21.a33

Ejemplo . Calcular el determinante de:

1 2 10A = 2 3 9 4 5 11

Solucin :

1 2 10 1 2A = 2 3 9 2 3 = 1.3.11 + 2.9.4 + 10.2.5 - 10.3.4 - 1.9.5 - 2.2.11 4 5 11 4 5

D(A) = 33 + 72 + 100 - 120 - 45 -44D(A) = -4

RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES EN DOS VARIABLES

Resolver el sistema : 3x + 4y = 6 5x + 3y = -1

Solucin :

3 4D(A) = = 3.3 - 4.5 = 9 -20 = -115 3

Luego x 3 -4 6 3.(6) + (-4)(-1) 22 -2 = ( 1/-11 ) = = (-1/11) = Y 5 -3 -1 -5.(6) + 3.(-1) -33 3

Siendo el conjunto solucin : S = ( -2,3 )

EJERCICIOS 5

1.- Hallar el determinante de:

5 6 7A = 4 2 3 1 2 0

-5 -8 9B = -2 3 5 4 5 2

2 1 0C= 1 1 1 -3 6 -8 2.- Resolver las siguientes ecuaciones por determinantes :

5x + 4y = 54x + 2y = 1

3x + 7y = 0-2x - 2y = 2

SESION 6RELACIONES Y FUNCIONES

RELACIONES

Definicin.-Se llama relacin entre los elementos de un conjunto A y los elementos de un conjunto B a todo subconjunto R del producto cartesiano AxB ; esto es, una relacin R consiste en lo siguiente :

1.- Un conjunto A ( conjunto de partida )2.- Un conjunto B ( conjunto de llegada )

Simblicamente se denota por:R : AB R A x B

DOMINIO DE UNA RELACION.-Se llama dominio a todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relacin . Se denota Dom(R) y se simboliza :Dom (R)= x A / y B , ( X,Y ) R

RANGO DE UNA RELACION.-Se llama rango de una relacin R de A en B al conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la relacin. Se denota Ran (R) y es simboliza :Ran (R)= y B / x A , ( X,Y ) R

EJEMPLO: Hallar el dominio y el rango de las relaciones en A siendo A = 1,2,3,4,5 y, R1 = (x,y) AxA / x+y = 7

Solucin.-

R1 = ( 2,5);(3,4);(5,2);(4,3)

Siendo : Dom (R1) = 2,3,4,5 Ran (R1) = 2,3,4,5

FUNCIONESDefinicin.-Es un conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera componente es decir :

1.- f AxB2.- (x,y) f (x,z) f (y=z)

EJEMPLO : Sea A = 1,2,3,4 y B = a,b,c,d,e si f es la funcin: f = (1,a);(2,b);(3,c);(4,c)

Solucin .-

Dom f = 1,2,3,4Ran f = a,b,c

En la funcin y = f(x) = 3 x 0,4 hallar el dominio y el rango.

Solucin.-

Dom f = 0,4 Ran f = 3

Hallar el dominio y rango de la funcin f(x) = (x-1) (x-9)

Solucin.-(x-1) (x-9) > 0( X-1 0 X-9 0 ) ( X-1 0 X-9 0 ) ( X1 X9) ( X1 X9 ) (X 9 ) ( X 1)

= Dom fy = f(x)( x-1) (x-9) 0 0, >y = f(x) 0, >entonces el rango es : Ran f = 0, >

EJERCICIOS 6 Hallar el dominio y rango de las relaciones en A siendo A = 1,2,3,4,5 a.- R = (x,y) AxA / x+y < 4 b.- R = (x,y) AxA / y < 4c.- R = (x,y) AxA / x2-2 yd.- R = (x,y) AxA / x-3y = 12

Hallar el rango de la funcin f(x) = (x+1) x 0,8

Hallar el dominio y rango de la funcin f(x) = x2-6x+8

Hallar el dominio y rango de la funcin f(x) = x2+6x+8

SESION 7 GEOMETRIA ANALITICA

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSSean P1 = ( X1,Y1 ) Y P2 = ( X2,Y2 ) cualesquiera entonces podemos hallar su distancia que esta dado por : | P1 P2 | = [( X2 - X1 ) + ( Y2 - Y1 )]

Ejemplo. Si A = ( -3,10 ) y B = ( 1,2 ).Hallar la distancia de ABSolucin.-

| AB | = [( 1 - (-3) ) + ( 2 - 10 )] | AB | = [( 4 ) + ( -8 )] | AB | = [16+ 64] | AB | = [80] | AB | = 4 [5]

EJERCICIOS1.- Si los puntos A = ( -3,10 ) ; B = ( 1,2 ) y C = ( 4,-4 ) demostrar que: | AC | = | AB | + | BC |

2.- Hallar el permetro del tringulo formado por los puntos A = ( 4,7 ) ; B = ( -1,-8 ) y C = ( 8.-5 )

3.- Hallar X ,si A = ( X,8 ) ; B = ( 5,-2 ) y su distancia es 241.

4.- Demostrar que el cuadriltero con vrtices en A = ( -2,-1 ) ; B = ( 5,-4 ) ; C = ( -1,-18 ) y D = ( -8,-15) es un rectngulo.

SESION 8 ANGULO ENTRE DOS RECTAS

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales : L1 L2 m1 = m2 Donde : L1 y L2 : son dos rectas m1 y m2 : son pendientesLa Pendiente :

m = y2 - y1 ; x1 x2 x2 - x1

Dos rectas son perpendiculares si y solo si e producto de sus pendientes es -1 . L1 L2 m1 . m2 = -1

Ejemplo : Determinar si L1 y L2 son paralelas o perpendiculares, L1 esta formado por ( 1,-1 ) y ( 3 ,2 ) . L2 esta formado por ( 3,2 ) y ( 7,8 ) .

Solucin .

mL1= 2 - (-1) = 3 mL2 = 8 - 2 = 3 3 - 1 2 7 - 3 2

Por lo tanto: L1 L2 m1 = m2

EJERCICIOS 8

1.-Determinar si las rectas L1 y L2 son paralelas o perpendiculares.

a- L1 = ( 9,2 ) y ( 11,6 ) ; L2 = ( 3,5 ) y ( 1,1 ) b- L1 = ( 2,1 ) y ( 1,5 ) ; L2 = ( 3,5 ) y ( 1,1 )

2.- Dados los puntos A= ( -1,5 ) ; B= ( 3,2 ) ; C= ( 4,3 )hallar la pendiente de la recta L que pasa por C y que divide al segmento AB en la razn -3/2.

3.- Una recta de pendiente 7/3 pasa por P ( 1,2 ) . Hallar las coordenadas de dos puntos sobre la recta que distan 58 unidades de P.

4.- Si la recta L1 que contiene los puntos A (a,2) y B (0,2a) es paralela a la recta L2 que contiene a los puntos C ( -a,3 ) y D (1;-2a).Hallar el valor de a.

SESION 9LA ECUACION DE LA RECTA

ECUACIONES PARA UNA RECTA :1.- LA FORMA PUNTO PENDIENTE.- es cuando una recta pasa por el punto P1 = (x1,y1) y de pendiente m es :

y-y1 = m(x-x1)

2.- LA FORMA DE LOS DOS PUNTOS.- es la recta que pasa por dos puntos dados P1 ( x1,y1) y P2 ( x2,y2) tiene la ecuacin :

(y - y1) / ( x - x1) = (y2 - y1 ) / (x2 - x1 ) x2 x1

3.- LA FORMA PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN.- es la recta cuya pendiente es m y ordenada esta en el origen es b, tiene por ecuacin

y = mx + b

4.- LA FORMA DE LAS COORDENADAS AL ORIGEN.- es la recta cuya interseccin con los ejes x e y son a 0 y b 0 respectivamente , tiene por ecuacin:

x/a +y/b = 1

5.- LA FORMA GENERAL.- su ecuacin es :

Ax + By + C = 0

EJEMPLO.-Hallar la ecuacin de la recta que tiene por pendiente -4/3 y pasa por el punto ( 1,-1 ).Solucin.- Aplicando : y -y1 = m ( x -x1)Reemplazando : y - (-1) = -4/3 ( x -1 ) y + 1 = -4/3 ( x -1 ) 3y + 3 = -4x + 4 Entonces la ecuacin de la recta es : 4x + 3y -1 = 0

EJERCICIOS .-1.- Hallar la ecuacin de la recta cuya ordenada y abscisa en el origen suman cero y que contiene al punto P (2,4).

2.- Dado el tringulo de vrtices A (-10,-1) ; B (-3,7) y C (2,5) ;Hallar las ecuaciones de las rectas que pasa por el vrtice B y trisecan al lado opuesto AC.

3.- Una recta pasa por el punto P (2,3) y la suma de los segmentos que determina sobre los ejes coordenadas es 10.Hallar la ecuacin de la recta.

4.- Hallar la ecuacin de la recta cuya ordenada y abscisa en el origen suman 2 y cuya pendiente es 9/5.

SESION 10 LA CIRCUNFERENCIA

ECUACION GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA ( x - h ) + ( y - k ) = r ..................(1)

Desarrollando la ecuacin (1) x + y - 2hx - 2ky + ( h + k - r ) = 0

Esta ecuacin tiene la forma : X + Y + DX + EY+ F = 0 .................( Ec. General )

Ejemplo. Que tipo de circunferencia es representada por la ecuacin 9x + 9y - 72x - 6y + 1 = 0Solucin :

Dividimos entre 9 . (1/9) 9x + 9y - 72x - 6y + 1 = 0 x + y - 8x - (2/3)y + 1/9 = 0Completando cuadrados ( x - 8x + 16 ) + ( y -- 2/3y + 1/9 ) = - 1/9 +16 + 1/9Entonces : ( x - 4 ) + ( y - 1/3 ) = 16Por lo tanto: la ecuacin representa una circunferencia de centro c = ( 4 , 1/3 ) y el radio r = 4

EJERCICIOS 10 Determinar el centro y el radio de cada ecuacin siguiente:

9x + 9y - 144x + 12y + 580 = 0

4x + 4y - 12x + 8y + 77 = 0

36x + 36y - 48x - 36y + 16 = 0

4x + 4y - 16x + 20y + 25 = 0

x + y + 4x + 16y - 39 = 0

SESION 11 LIMITES

Definicin.- El numero L se llama limite de una funcin en el punto X0 ( X0 no necesariamente Dom f ) si para cada 0, es posible hallar 0, que depende de X0 y tal que :

x Dom f 0 X - X0 f(x) - L

Se denota : Lim f(x) = L XX0

Ejemplo : Demostrar Lim X - 9 = 6 XX0 X - 3

Solucin.- X0 = 3 L = 6 f(x) = ( X - 3 ) ( X + 3 ) ( X + 3 ) donde : f(x) = X + 3 X 3Entonces 0, hallamos 0 tal que : x Dom f 0 X - 3 f(x) - 6

f(x) - 6 = X - 9 - 6 = X + 3 - 6 = X - 3 = X + 3 Hemos comprobado

Lim X - 9 = Lim ( X - 3 ) ( X + 3 ) = Lim ( x + 3) = 3 + 3 = 6 X3 X - 3 X3 ( X - 3 ) X3

EJERCICIOS 11

Demostrar por la definicin de limites

Lim ( 3x ) = 12 X4 Lim ( 4x - 3 ) = 9 X3

Lim 4 = 2 X4 x - 2

Lim x - 9 = 2 X-7 x - 1

SESION 12LIMITES INDETERMINADOSDefinicin.-La funcin f tiene limite +. En si los limites laterales en x0 son iguales a + y tienen limite - en x0 si los limites laterales en x0 son iguales a - y se denota :

Lim f(x) = + Lim f(x) = -xx0 xx0

EJEMPLO.-Hallar el limite de :

Lim x+1 x3+ x2-9

Solucin.-

Lim x+1 x3+ (x+3)(x-3)

Lim 3+1 = 4 = + x3+ (3+3)(3-3) 0

EJERCICIOS 12

Calcular con limites infinitos los siguientes ejercicios :

1.- Lim x2-4 x2 (x-2)3

2.- Lim x2+3 x- x+1

3.- Lim ( x2+7x+10 ) x x

4.- Lim x- x x0 x2+x

5.- Lim 1-cosz z0 z

CONTINUIDADCONTINUIDAD DE UNA FUNCION EN UN PUNTODefinicin.-La funcin f es continua en x0 Dom f si para cada 0 existe un 0 ( que depende de y x0 ) tal que : XDom f x- x0 f(x) - f(x0)

Si x0 es adems un punto de acumulacin del Dom f entonces tiene en forma equivalente que f es continua en x= x0 si y solo si cumple :

1.- f(x0) esta definido.2.- Existe el limite de f en x0.3.- Lim f(x) = f(x0). x x0

EJEMPLO.-Probar que f es continua en x0 =0 para

X2+2 , x0 x

Solucin.-1.- f(0) esta definido por f(0) = 2.2.- x0 = 0 es punto de acumulacin de Dom f = -, Lim (x2-4) = 2 x0 Lim 2senx = 2 x0 x Lim f(x) = 2 x03.- Lim f(x) = f(0) =2 entonces f es continua en x0 = 0. x0

EJERCICIOS 12.-1.- Probar que la funcin es continua

xsen(1/x) ,x 0f(x) =0 , x=0

2.- Probar que la siguiente funcin es continua

3 ,x=2f(x) = 3x2-7x+2 ,x 2 x-2

3.- Probar si la funcin es continua en todo R

x3/2 ,x>2f(x) = 2x , x3f(x) = x+1 ,x