mat rice

Chapter 4

Matrice

Matrice (matrix na latinskom znaci matica) su koristili jos stari kinezi zaresavanje linearnih jednacina. Pored primene na resavanje sistema linearnihjednacina, one se danas koriste za opisivanje kvantne mehanike strukture atoma,dizajniranje kompjuterskih igara, itd.

4.1 Matrice tipa m nNeka je P polje, I = {1, . . . ,m} i J = {1, . . . , n}.Matrica tipa m n je tablica

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

u kojoj su aij , i I, j J, elementi polja P.Preciznije, mozemo reci da je matrica tipa m n preslikavanje

A : I J P.Za datu matricu koristicemo i oznaku [aij ]m,n ili samo [aij ]. Matrice cemooznacavati velikim slovima A,B, . . . , a elemente polja P malim slovima a, b, . . . .Vrste matrice A su horizontalne n-torke

[a11 a12 . . . a1n], [a21 a22 . . . a2n], . . . , [am1 am2 . . . amn].

Kolone matrice A su vertikalne m-torke

a11a21. . .am1

a12a22. . .am2

. . .

a1na2n. . .amn

29

30 CHAPTER 4. MATRICE

Element aij se nalazi u i-toj vrsti i j-toj koloni.Matrice A i B su jednake ako su istog tipa i odgovarajuci elementi su im jednakitj. za sve i I i j J vazi aij = bij .

4.1.1 Sabiranje i skalarno mnozenje matrica

Neka je MPmn skup svih matrica tipa m n nad poljem P .Sabiranje matrica je binarna operacija + : MPmnMPmn MPmn denisanasa

[aij ] + [bij ] = [aij + bij ]

tj.:

a11 . . . a1na21 . . . a2n. . . . . . . . .am1 . . . amn

+

b11 . . . b1nb21 . . . b2n. . . . . . . . .bm1 . . . bmn

=

a11 + b11 . . . a1n + b1na21 + b21 . . . a2n + b2n

. . . . . . . . .am1 + bm1 . . . amn + bmn

.

Skup svih matrica tipa m n nad poljem P obrazuje vektorski prostor nadpoljem P.

Mnozenje matrice skalarom je funkcija : P MPmn MPmn denisana sa

p [aij ] = [paij ],

tj.

p

a11 . . . a1na21 . . . a2n. . . . . . . . .am1 . . . amn

=

pa11 . . . pa1npa21 . . . pa2n. . . . . . . . .pam1 . . . pamn

.

Unarna operacija : Mmn Mmn denisana je sa

[aij ] = (1) [aij ],

tj.

a11 . . . a1na21 . . . a2n. . . . . . . . .am1 . . . amn

=

a11 . . . a1na21 . . . a2n. . . . . . . . .

am1 . . . amn

.

Matricu tipa mn ciji su svi elementi jednaki 0 cemo oznacavati Om,n ili samoO. Znaci,

O =

0 . . . 00 . . . 0. . . . . . . . .0 . . . 0

.

4.1. MATRICE TIPA M N 31

4.1.2 Mnozenje matrica

Neka je A matrica tipa 1 n (vektor vrsta), a B matrica tipa n 1 (vektorkolona) nad poljem P . Skalarni (tackasti) proizvod vektora A i B je denisansa

A B = [a1 a1 . . . an]

b1b2. . .bn

= a1b1 + a2b2 + . . . anbn

Neka su A = [aij ]m,k i B = [bij ]k,n matrice nad poljem P . Proizvod AB jematrica tipa m n denisana sa

[aij ]m,k [bij ]k,n = [ai1b1j + ai2b2j + . . .+ aikbkj ]m,ntj.

AB =

A1B1 A1B

2 . . . A1Bn

A2B1 A2B

2 . . . A2Bn

. . . . . . . . . . . .AmB

1 AmB2 . . . AmB

n

,

gde je sa Ai oznacena i-ta vrsta matrice A, a sa Bj j-ta kolona matrice B.

(Napomena: Proizvod AB je denisan jedino ako je broj kolona matrice Ajednak broju vrsta matrice B.)Neka je A tipa m k, B tipa k n, C tipa n l i p P skalar. Tada vazi:(i) (AB)C = A(BC),

(ii) p(AB) = (pA)B = A(pB).

Neka je A tipa m k, B i C tipa k n. Tada vazi:(i) A(B + C) = AB +AC,

(ii) (A+B)C = AC +BC.

4.1.3 Transponovana matrica

Naka je A = [aij ]m,n. Transponovana matrica matrice A, u oznaci AT je matrica

tipa nm dobijena pisanjem vrsta umesto kolona

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n. . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn

T

=

a11 a21 . . . am1a12 a22 . . . am2. . . . . . . . . . . .a1n a2n . . . amn

Neka su A i B matrice tipa m n i p P skalar. Tada vazi:(i) (A+B)T = AT +BT ,


(ii) (AT )T = A,

(iii) (pA)T = pAT i

(iv) (AB)T = BTAT .

4.2 Kvadratne matrice

Ako je u matrici A = [aij ]mn vazi m = n, kazemo da je A kvadratna matricareda n. Neka je MPnn skup svih matrica reda n.Glavnu dijagonalu matrice A cine elementi a11, a22, . . . , ann.Gornja trougaona matrica je kvadratna matrica ciji su svi elementi ispod glavnedijagonale jednaki nuli

a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n. . . . . . . . .0 0 . . . ann

.

Donja trougaona matrica je kvadratna matrica ciji su svi elementi iznad glavnedijagonale jednaki nuli.Za matricu koja je donje ili gornje trougaona kazemo da je trougaona matrica.Dijagonalna matrica je kvadratna matrica u kojoj su svi nedijagonalni elementijednaki nuli

a11 0 . . . 00 a22 . . . 0. . . . . . . . .0 0 . . . ann

.

Dijagonalna matrica u kojoj su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1 senaziva jedinicnom matricom

In =

1 0 . . . 00 1 . . . 0. . . . . . . . .0 0 . . . 1

.

Neka je A kvadratna matrica reda n. Tada je

AIn = InA = A.

U nekim slucajevima, kada nema zabune koji je red matrice, umesto In cemopisati samo I.

4.2.1 Prsten kvadratnih matrica

Neka je MPn skup svih kvadratnih matrica reda n nad poljem P. Tada je

MPn = (MPn ,+, , O, In)prsten sa jedinicom, tj.

4.2. KVADRATNE MATRICE 33

(1) (MPn ,+,, O) je Abelova grupa,(2) (MPn , , In) je asocijativan grupoid sa jedinicom In,(3) za sve A,B,C MPn vazi

(i) A(B + C) = AB +AC,

(ii) (A+B)C = AC +BC.

4.2.2 Regularne matrice

Za kvadratnu matricu A reda n kazemo da je regularna (ili invertibilna) akopostoji matrica B reda n sa osobinom

AB = BA = I.

Za matricu B kazemo da je inverzna matrica matrice A i oznacavamo je sa A1.Za matricu koja nema inverznu matricu kazemo da je singularna.

Lema 4.2.1 Neka je A matrica reda n. Ako je A invertibilna, onda je njenainverzna matrica jedinstvena.

Dokaz. Pretpostavimo da postoje dve inverzne matrice, B1 i B2, matrice A, tj.da vazi

AB1 = B1A = I i AB2 = B2A = I.

Tada jeB1 = B1I = B1(AB2) = (B1A)B2 = IB2 = B2.

4.2.3 Elementarne matrice

Elementarne transformacije na vrstama su:

(1) mnozenje proizvoljne vrste skalarom razlicitim od nule,

(2) zamena mesta dve vrste i

(3) dodavanje elementima jedne vrste elemenata neke druge vrste pomnozenihskalarom.

Matrica reda n je elementarna ako se moze dobiti od jedinicne matrice pri-menom jedne elementarne transformacije na vrstama.Ako je elementarna matrica E dobijena od I nekom elementarnom transforma-cijom na vrstama i ako je A formata m n, onda je EA matrica dobijena odmatrice A primenom iste elementarne transformacije na vrstama.Svaka elementarna matrica je invertibilna i inverzna matrica je elementarna ma-trica.Kazemo da su matrice A i B ekvivalentne po vrstama ako se mogu dobiti jednaod druge primenom konacnog broja elementarnih transformacija na vrstama.


Teorema 4.2.1 Neka je A kvadratna matrica reda n. Sledeca tvrdjenja su med-jusobno ekvivalentna:

(a) A je invertibilna.

(b) Jednacina AX = O ima samo trivijalna resenja.

(c) A je ekvivalentna po vrstama sa I.

Dokaz.(a) (b)Pretpostavimo da je A invertibilna i da je X0 resenje jednacine AX0 = O. Tadaje

AX0 = O A1(AX0) = A1O (A1A)X0 = O IX0 = O X0 = 0.

(b) (c)Ako jednacina AX = O ima samo trivijalna resenja, onda je rang matrice Ajednak n, sto znaci da je ona ekvivalentna po vrstama sa I.(c) (a)Neka je A po vrstama ekvivalentna sa I. Znaci, postoje elementarne matriceE1, E1, . . . , Ek sa osobinom

EkEk1 . . . E2E1A = I.

Ako datu jednacinu pomnozimo sa leve strane sa E11 E12 . . . E

1k1E

1k , dobi-

jamoA = E11 E

12 . . . E

1k1E

1k I

i ocigledno vaziAEkEk1 . . . E2E1 = I.

Dakle, za matricu B = EkEk1 . . . E2E1 vazi

AB = BA = I,

sto znaci da je A invertibilna i vazi

A1 = EkEk1 . . . E2E1.

4.2.4 Adjungovana matrica

Neka je A = [aij ]nn. Ako se u determinanti matrice A izostave elementi vrstei i kolone j dobija se determinanta Mij reda n 1 koja se zove minor elementaaij . Za determinantu Aij = (1)i+jMij kazemo da je kofaktor (algebarski kom-plement) elementa aij .

4.2. KVADRATNE MATRICE 35

Adjungovana matrica matrice A = [aij ]nn je matrica reda n denisana nasledeci nacin

A = [Aij ]Tnn =

A11 A21 . . . Am1A12 A22 . . . Am2. . . . . . . . . . . .A1n A2n . . . Amn

.

Teorema 4.2.2 Neka je A matrica reda n. Tada je

AA = AA = |A|I. (4.1)Dokaz. Neka je AA = C. Tada je

cii = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . .+ ainAin

cij = ai1Aj1 + ai2Aj2 + . . .+ ajnAjn

Kako je prvi izraz razvoj po i.toj vrsti matrice A, to je cii = |A|. Ako u matrici Avrstu j zamenimo elementima vrste i, onda je cij razvoj dobijene determinantepo vrsti j, a kako su joj vrste i i j jednake, to je njena vrednost jednaka nuli,tj. cij = 0.

Teorema 4.2.3 Matrica A reda n je regularna ako i samo ako je |A| = 0.Dokaz. Ako za matricu A postoji A1, onda je |AA1| = |I|, odakle je|A||A1| = 1, sto znaci da je |A| = 0.

Obratno, ako je |A| = 0, onda je na osnovu prethodnog tvrdjenja

A

(1

|A|A)

= I odnosno

(1

|A|A)A = I.

4.2.5 Konstrukcija inverzne matrice

Prvi nacin

Prethodno tvrdjenje kaze da ako elementarnim transformacijama na vrstamaod matrice A mozemo da dobijemo I, onda cemo primenom istih elementarnihtransformacija na vrstama od matrice I dobiti matricu A1.

[A|I] [E1A|E1I] [E2E1A|E2E1I] . . . [(EkEk1 . . . E1)A|(EkEk1 . . . E1)I] = [A1A|A1I] [I|A1].

Drugi nacin

Na osnovu (4.1) sledi da regularna matrica, tj. matrica za koju je |A| = 0, imainverznu matricu za koju vazi

A1 =1

|A|A.


4.3 Matrice i sistemi linearnih jednacina

Sistem linearnih jednacina

a11x1 + a12x2 + . . . a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . a2nxn = b2. . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . . amnxn = bm

je ekvivalentan matricnoj jednacini

a11 . . . a1na21 . . . a2n. . . . . . . . .am1 . . . amn

x1x2. . .xn

=

b1b2. . .bm

ili kraceAX = B,

gde je A = [aij ]mn, B = [bi]m,1, i X = [xi]n,1.Za matricu A kazemo da je matrica sistema.

Teorema 4.3.1 Neka je A invertibilna matrica reda n i B proizvoljna matricatipa nm. Tada jednacina AX = B ima tacno jedno resenje X = A1B.Dokaz. Pokazacemo prvo da X = A1B jeste resenje jednacine AX = B.

A(A1B) = (AA1)B = IB = B

Pretpostavimo da postoji jos jedno resenje date jednacine i oznacimo ga sa X0.Tada je

AX0 = B A1(AX0) = A1B (A1A)X0 = A1B IX0 = A1B X0 = A1B,

cime smo dokazali da je u tom slucaju X0 = X.

4.4 Rang matrice

Rang matrice je funkcija koja svakoj matrici dodeljuje nenegativan ceo broj:

rang(O) = 0, rang(A) = r, ako postoji minor matrice A reda r koji je razlicit od nule isvi minori reda veceg od r (ako postoje) su jednaki nuli.

Primenom ekvivalentnih transformacija na vrstama i kolonama matrice, njenrang se ne menja.

Dimenzija vektorskog prostora vrsta i dimenzija vektorskog prostora kolona sujednake i njihova zajednicka vrednost je jednaka rangu matrice.

4.5. PRIMENARANGAMATRICE NA RESAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNACINA37

4.5 Primena ranga matrice na resavanje sistema

linearnih jednacina

Neka je dat sistem m linearnih jednacina sa n nepoznatih

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2

. . . . . .am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

ili u matricnom obliku

AX = B

ili u vektorskom obliku

x1

a11a21. . .am1

+ x2

a12a22. . .am2

+ . . .+ xn

a1na2n. . .amn

=

b1b2. . .bm

.

Prosirena matrica sistema je matrica tipa m (n+ 1) :

(A;B) =

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2. . . . . . . . . . . . . . .am1 am2 . . . amn bm

Ako posmatramo sistem zadat u vektorskom obliku, direktno sledi da on imaresenje ako i samo ako je vektor B linearna kombinacija vektora kolona A1,. . . , Am matrice A, tj. pripada vektorskom prostoru kolona matrice A. Odatledirektno sledi sledece tvrdjenje:

Teorema 4.5.1 Sistem linearnih jednacina AX = B ima resenje ako i samoako je rang(A;B) = rang(A) i vazi:

(a) ako je rang(A) = rang(A;B) = n, onda je sistem odredjen,

(b) ako je rang(A) = rang(A;B) < n, onda je sistem neodredjen.

4.6 Matrice anih transformacija

U ovom poglavlju cemo predstaviti dve geometrijske transformacije prostora R2

u prostor R2 uz pomoc matrica. Moze se pokazati da su obe transformacijelinearne.


Figure 4.1: Rotacija tacke A oko O za ugao ..

4.6.1 Rotacija oko koordinatnog pocetka

Neka je A1(x1, y1) tacka dobijena rotacijom tacke A(x, y) = O(0, 0) oko koordi-natnog pocetka za ugao [0, 2). Neka je r rastojanje tacke A od O i neka je ugao izmedju pozitivnog dela x ose i poluprave OA.

Tada vazi

x = r cosy = r sin

x1 = r cos(+ )y1 = r sin( + )

Primenom trigonometrijskih identiteta, dobijamo

x1 = r cos cos r sin sin = x cos y sin y1 = r cos sin + r sin cos = x sin + y cos ,

sto mozemo u matricnom obliku predstaviti na sledeci nacin[x1y1

]=

[cos sin sin cos

][xy

]

Za matricu

A() =

[cos sin sin cos

]kazemo da je matrica rotacije.

4.6.2 Skaliranje

Neka je tacka A1(x1, y1) dobijena od tacke A(x, y) skaliranjem sa prametrimaa i b, na sledeci nacin:

x1 = axy1 = by

ili u matricnom obliku [x1y1

]=

[a 00 b

][xy

].

4.6. MATRICE AFINIH TRANSFORMACIJA 39

Primer 4.6.1 Neka je data kruznica

(x 1)2 + (y 1)2 = 1

sa centrom u (1, 1) poluprecnika 1. Ako je a = 4 i b = 2, skaliranjem dobijamoelipsu (x1

4 1

)2+(y12

1)2

= 1 (x1 4)2

16+

(y1 2)24

= 1.

mat rice

Documents