> >

(1.1)(1.1)

(1.2)(1.2)

> >

TECNOLGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEHUIXQUILUCAN

Sesin # 5Clculo Diferencial

Dr. Ildebrando Prez Reyes"Maple is a trademark of Waterloo Maple Inc.""The computations in this paper were performed by using Maple(TM)."

Con el software MAPLE se pueden resolver y analizar diversos problemas del clculo de un lmite. Esto se puede realizar directamente a travs de un comando en MAPLE a travs de un programa tutorial delmismo MAPLE.

Clculo de un lmite de manera directaEl comando para calcular un lmite en el software MAPLE es "limit(funcin, valor)". Considere la siguiente funcin: Error, missing operator or `;`

f:=x^2-3*x+1;

usando el comando de limitelimit(f,x=0);

1Otro ejemplo es

> >

(1.6)(1.6)

> >

> >

> >

(2.1)(2.1)

(1.4)(1.4)

(1.7)(1.7)

(2.2)(2.2)

> > (1.3)(1.3)

> >

(2.3)(2.3)

(2.4)(2.4)

(1.5)(1.5)

g:= 2*tan(1/x);

limit(g,x=Pi/4);

limit(g,x=Pi/4.);6.521854114

Consideremos otro ejemplog2:= (x^4+x^2+1)/(3*x^2+4);

limit(g2,x=0);limit(g2,x=infinity);

14

Clculo de un lmite usando la "Paleta de funciones"La "Paleta de funciones" puede usarse del men a la "Expresin" a la izquierda. Como ejemplo calculemos el lmite de la funcin cuando x->0

1

1Considere el siguiente ejemplo

0

0

> >

(3.1)(3.1)> >

> >

(1.3)(1.3)

x2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

Clculo de un lmite usando el programa tutorialMAPLE cuenta con una paquetera que permite visualizar las operaciones paso a paso del clculo de lmite de funciones entre otras operaciones.

Por ejemplo, para dar de alta esa paquetera es necesario escribir el siguiente comando "with(Student[Precalculus]);"

with(Student[Precalculus]);

LimitTutor(x^3+3*x^2+x-2,x=0);

> >

> >

(3.4)(3.4)

(3.2)(3.2)

(1.3)(1.3)

(3.3)(3.3)

> >

> >

x0 2 4

y10

20

Para cuestiones ms elaboradas sobre el anlisis de lmites MAPLE tiene una paquetera ms completa an. Para ello debe darse de alta la paquetera como sigue

with(Student[Calculus1]);

LimitTutor(x^3+3*x^2+x-2,x=0);

LimitTutor((x^3+3*x^2+x-2)/(x^3+2*x),x=0);

> >

> >

> >

> >

(3.5)(3.5)

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

(3.6)(3.6)

(4.1)(4.1)

> >

LimitTutor((t+2)/(t^2-4),t=2);

limit((t+2)/(t^2-4),t=2);undefined

plot((t+2)/(t^2-4),t=1..3);

t2 3

0

10

20

30

40

Derivadas a pie con diffCalcular derivadas es fcil con MAPLE usando el comando diff(expresin,variable). Por otro lado, para calcular derivadas de orden superior basta con agregar o repetir las variables separadas por comas.

Considrese el siguiente ejemplof2:= x^3;

(4.7)(4.7)

(4.6)(4.6)

> >

(4.5)(4.5)

(4.2)(4.2)

> > (4.3)(4.3)

(4.4)(4.4)

> >

> >

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

> >

> >

diff(f2,x);#1ra derivadadiff(f2,x,x);#2da derivadadiff(f2,x,x,x);#3ra derivadadiff(f2,x,x,x,x);#4ta derivada

60

Considere ahora una funcin ms complicadaf3:= (x+1)^3/x^(3/2);

diff(f3,x);#1ra derivadadiff(f3,x,x);#2da derivadadiff(f3,x,x,x);#3ra derivadadiff(f3,x,x,x,x);#4ta derivada

Un ejemplo an ms complicado esf4:= sqrt( x+sqrt(x+sqrt( x ) ) );

simplify( diff(f4,x) );#1ra derivada

simplify( diff(f4,x,x) );#2da derivada

simplify( diff(f4,x,x,x) );#3ra derivada

> >

(5.1)(5.1)> >

(4.2)(4.2)

(4.9)(4.9)

> >

> >

(4.10)(4.10)

(4.8)(4.8)

> >

> >

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

(4.11)(4.11)

simplify( diff(f4,x,x,x,x) );#4ta derivada

Otro ejemplof5:= sin( cos(x) );

diff(f5,x);diff(f5,x,x);

Derivadas paso a pasoPara el clculo de derivadas paso a paso se introduce ahora la paquetera DiffTutor. Esto se hace como sigue:

with(Student[Calculus1]);

Ntese la gran variedad de paquetes que se pueden usar. En este caso usaremos DiffTutor. Para ello usaremos la funcin definida anteriormente f2

(4.2)(4.2)

> >

> >

> > (6.1)(6.1)

(4.8)(4.8)

> >

(5.5)(5.5)

> >

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

> >

(5.4)(5.4)

(5.2)(5.2)

(5.3)(5.3)

> >

f2;x3

DiffTutor(f2);

y ahora con f3f3;

DiffTutor(f3);

Teorema del valor medioAntes de comenzar, un repaso del teorema del valor medio. Su significado es:

Sea una funcin tal que,

es continua en el intervalo cerrado ;es diferenciable en el intervalo abierto .

Entonces, existe un nmero en el intervalo abierto tal que

Para el clculo del teorema del valor medio se usa la misma paquetera. Veamoswith(Student[Calculus1]);

> >

> >

> >

(4.2)(4.2)

> >

(6.3)(6.3)

> >

(6.4)(6.4)

(6.5)(6.5)

(4.8)(4.8)

(6.2)(6.2)

> >

> >

(3.4)(3.4)

> >

(1.3)(1.3)

> >

(5.2)(5.2)

> >

(6.6)(6.6)

(6.7)(6.7)

El comando a usar es MeanValueTheorem. Considrese ahora la funcin y que se va a calcular su valor medio. Entonces:

MeanValueTheorem(x^3 - x, x=0..2, output = points);

Lo cual debera ser fcilmente comprobable aplicando directamente a pie el teorema del valor medio

f6:= x^3-x;

df6_eval_c0:= (eval(f6,x=2) - eval(f6,x=0) )/(2-0);#Esta es la derivada de f6 evaluada en "c"

y adems la derivada de f6 esdf6:= diff(f6,x);

Se realiza la sustitucin x=c ya que se desea evaluar la derivada en ese punto y adems el resultado es 3

df6_eval_c1:= subs(x=c, df6) = 3;

de lo cual resulta obvio que de la ecuacion se obtiene el valor de c. Veamossolve( df6_eval_c1, c);

El resultado es correcto!!!!

Ntese el efecto que tuvo la opcin output = points. Vase que pasa sin estaMeanValueTheorem(x^3 - x, x=0..2);

> >

(6.8)(6.8)

(4.8)(4.8)

> >

> >

> >

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

> >

(4.2)(4.2)

(5.2)(5.2)

> > (6.9)(6.9)

> >

f x

x1 2

0

1

2

3

4

5

6

On the interval 0, 2 , the Mean Value Theorem is illustrated for the function f x = x3 Kx.

Considrese otro ejemplo

MeanValueTheorem(sin(x), 1..5, output = points);

evalf( MeanValueTheorem(sin(x), 1..5, output = points) );

MeanValueTheorem(sin(x), 1..5);

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

(4.2)(4.2)

(5.2)(5.2)

> >

> >

f x

x2 3 4 5

0

1

On the interval 1, 5 , the Mean Value Theorem is illustrated for the function f x = sin x .

Obviamente esto tambin se puede hacer usando un tutor. El comando es el siguiente

MeanValueTheoremTutor(f6,x=0..2);

> >

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

(7.1)(7.1)

(4.2)(4.2)

(5.2)(5.2)> >

x0 1 2

y

0

1

2

3

4

5

6

Teorema de Rolle

Antes de comenzar, un repaso del teorema de Rolle. Su significado es:

Sea una funcin tal que,

es continua en el intervalo cerrado ;es diferenciable en el intervalo abierto

y .

Entonces, existe un nmero en el intervalo abierto tal que

Para el clculo del teorema de Rolle se usa la misma paquetera. Veamos

with(Student[Calculus1]);

> >

(4.2)(4.2)

> >

> >

> >

> >

(4.8)(4.8)

> >

(7.2)(7.2)

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

(7.1)(7.1)

(7.3)(7.3)

(5.2)(5.2)

Entonces, si se considera la funcin del problema anterior en el intervalo 0 a 2 se tiene

f6;

RollesTheorem(f6,x=0..1, output = points);evalf( RollesTheorem(f6,x=0..1, output = points) );

RollesTheorem(f6,x=0..1);

> >

(7.4)(7.4)

(4.8)(4.8)

> >

> >

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

(7.1)(7.1)

(4.2)(4.2)

(5.2)(5.2)

> >

> >

f x

x1

0

Illustration of Rolle's Theorem

For the function f x = x3 Kx on the interval 0, 1 , a graph showing f x , the line connecting 0, f 0 and 1, f 1 , tangents parallel to the line connecting 0, f 0 and 1, f 1 .

considrese ahora una funcin senoidal como sigue

RollesTheorem(sin(x), x=1..5*Pi-1, output = points);evalf( RollesTheorem(sin(x), 1..5*Pi-1, output = points) );

RollesTheorem(sin(x), 1..5*Pi-1);

> >

(4.2)(4.2)

> >

> >

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(8.1)(8.1)

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

> >

(7.1)(7.1)

(5.2)(5.2)

f x

x2 2 2 2 2

0

1

Illustration of Rolle's Theorem

For the function f x = sin x on the interval 1, 5 p K1 , a graph showing f x , the line connecting 1, f 1 and 5 p K1, f 5 p K1 ,

tangents parallel to the line connecting 1, f 1 and 5 p K1, f 5 p K1 .

Soluciones en la hoja de trabajoExiste en MAPLE un comando muy til para mostrar las soluciones fuera del tutor. El comando esShowSolution y es parte de la paquetera de Calculus1

with(Student[Calculus1]);

f3;

(8.4)(8.4)

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(8.3)(8.3)

> > (8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

> >

(7.1)(7.1)

(4.2)(4.2)

(5.2)(5.2)> >

df3:= Diff(f3,x);

ShowSolution(df3);

(8.4)(8.4)

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

(7.1)(7.1)

(4.2)(4.2)

(5.2)(5.2)> >

=x3

=x3

=x3

=x3

=x3

=x3

=x3

(8.5)(8.5)

(8.6)(8.6)

> >

(8.7)(8.7)

> >

(4.2)(4.2)

> >

> >

(8.4)(8.4)

> >

(9.1)(9.1)

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(9.2)(9.2)

> >

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

> >

(7.1)(7.1)

(5.2)(5.2)

> >

> >

(9.3)(9.3)

Otro caso:

f7:= x*sin(x);

df7:= Diff(f7,x);

ShowSolution(df7);

=

=

=

Mximos y mnimosClculos de mximos y mnimos pueden complicarse. En este caso MAPLE provee un comando que calcula directamente los valores mximos y mnimos, si es que existen. El comando es el siguiente:ExtremePoints

with(Student[Calculus1]);

ExtremePoints( 3*x^2 - x );evalf(ExtremePoints( 3*x^2 - x ));

CriticalPoints( 3*x^2 - x );

plot( 3*x^2 - x , x=0..0.3, axes=boxed);

> >

(4.2)(4.2)

(9.4)(9.4)

> >

(8.4)(8.4)

> >

(9.5)(9.5)

(4.8)(4.8)

> >

> >

(9.6)(9.6)

(3.4)(3.4)

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

(7.1)(7.1)

> >

(5.2)(5.2)

> >

x0

0

Considrese otro caso

f8:= 2*x^3+5*x^2-3;

ExtremePoints( f8 );evalf(ExtremePoints( f8 ));

InflectionPoints( f8 );evalf( InflectionPoints( f8 ) );

plot( f8 , x=-2..0.3, axes=normal);

> >

(10.1)(10.1)

> >

(4.2)(4.2)

> >

> >

(8.4)(8.4)

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

(10.2)(10.2)

(7.1)(7.1)

(5.2)(5.2)

(10.3)(10.3)

x0

1

SeriesEl clculo de series es bastante tedioso debido a la gran cantidad de pasos que se deben seguir. Sin embargo, MAPLE cuenta con un comando que resuelve este tipo de ejercicios sin importar el lugar alrededor donde se quiere hacer la serie.

El comando es simplemente series(expresin,variable). Posee varias opciones y entre ellas se cuenta con un tutor. considrese por ejemplo la funcion:

f7;

y que se desea hacer un desarrollo de esta funcin alrededor de x=0series(f7,x=0);

series(f7,x=0, 9);

> >

> >

(4.2)(4.2)

(10.4)(10.4)

(10.5)(10.5)

> >

(8.4)(8.4)

> >

> >

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

(7.1)(7.1)

(5.2)(5.2)

(10.3)(10.3)

(10.6)(10.6)

with(Student[Calculus1]);

TaylorApproximation(f7,x=0);0

TaylorApproximation(f7,x=0, order=6);

TaylorApproximation(f7,x=0, output = plot, order=6);

(4.2)(4.2)

> >

(8.4)(8.4)

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

> >

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

(7.1)(7.1)

(5.2)(5.2)

(10.3)(10.3)

f x Taylor polynomial

x0 1

Polinomio de Taylor

At x = 0, for the function f x = x sin x , a graph of f x and the approximating Taylor polynomial(s) of degree(s) 6.

Ahora con el tutor para realizar series se tiene

TaylorApproximationTutor(1-exp(x));

(4.2)(4.2)

> >

(8.4)(8.4)

> >

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

(7.1)(7.1)

(5.2)(5.2)

(10.3)(10.3)

x0 1 2 3 4

y

5