magnétosta cp 2 2017
TRANSCRIPT
ELECTROMAGNETISME
Introduction Générale
Chap. I : Magnétostatique
Chap. II : Induction électromagnétique
Chap. III : Equations de Maxwell
Chap. IV: Propagation des OEM dans le vide
Charge Electrique
Introduction Générale
En Statique En Mouvement (ou Courant Elect)
Chp Electrique E Chp Magnétique H
Crt Statique: Magnétostatique
Crt Variable: Induction EM
CHAMP ELECTROMAGNETIQUE (OEM)
Propagation des Ondes Electromagnétiques
1- Vision générale sur le cours d’EM
2-Electrostatique (Rappel)
Déterminer le champ E à partir des sources:
• Une charge ponctuelle, • Plusieurs charges ponctuelles,
• Une répartition de charges (distribution linéique, surfacique ou volumique).
Les relations de bases:
0
int.
S
S
QSdE
0
Ediv
VgradE
etc…….
3- Opérateurs & Outils mathématiques
Le Gradient: ffgrad
• Mesure la non uniformité d’un champ de scalaire,
• Indique les valeurs croissantes d’un champ de scalaire,
La Divergence: AAdiv
.
• Un champ divergent (convergent) a une divergence positive (négative),
• Le champ uniforme et le champ à caractère tourbillonnaire ont une divergence nulle,
Le Rotationnel: AArot
A
0
A rot• traduit le caractère tourbillonnaire du champ vectoriel Les lignes de champ sont fermées, et tournent autour du rotationnel dans le sens positif.
dAdivSdAVS
.Théorème de la divergence
sur appyuant s' S ..S
SdA rotdA
Théorème du rotationnel
0)( B divA rotB
BrotAArotBBAdiv
..)(
0)( Arotdiv
le flux de est conservatif. A
0 0. A div SdAS
0
ArotVgrad A
0)(
Ugradrot
AGgradArotGAGrot
)(
AAdivgradArotrot
2)()(
Chap. I : La magnétostatique 1- Introduction
• Des siècles avant notre ère, il a été constaté que quelques pierres (magnétite
Fe3O4) ont un comportement gravitationnel sans rapport ni avec la gravitation ni
avec les phénomènes électriques. Ce phénomène est appelé magnétisme relatif à
la région « magnésie » de l’Asie mineure où a été constaté, pour la première fois, ce
phénomène.
• Les chinois furent les premiers à utiliser les propriétés des aimants, il y a plus de
1000 ans, pour faire des boussoles.
• Il fallait attendre la fin du XIXème siècle pour qu’une théorie complète apparaisse;
la théorie de l’électromagnétisme où l’électricité et le magnétisme sont deux
aspects d’un même phénomène.
• Tout commence avec l’expérience du physicien Oersted (1819) qui constate
que le passage d’un courant électrique le long d’un fil fait dévier l’aiguille d’une
boussole, ce qui prouve l’existence de forces magnétiques dues aux courants
électriques.
• L’étude quantitative des interactions entre aimants et courants fut faite par les
physiciens Biot et Savart (1820).
• Un grand nombre physiciens célèbres a contribué à l’élaboration de la théorie
électromagnétique: Oersted, Ampère, Faraday, Foucault, Henry, Lenz, Maxwell,
Weber, Helmholtz, Hertz, Lorentz ...
• Si la théorie d’électromagnétisme débuta en 1819 avec Oersted, elle ne fut mise
en équations par Maxwell qu’en 1873 et ne trouva d’explication satisfaisante,
dans le cadre de la théorie de la relativité d’Einstein, qu’en 1905.
Nous nous intéressons ici à La magnétostatique qui consiste à étudier les
champs magnétiques stationnaires (indépendants du temps).
2- Sources de champ magnétique
2-1- Aimants
L'approche d'une aiguille aimantée (boussole) vers un aimant droit donne les
résultats suivants :
- L'aiguille change de sens suivant l'extrémité de l'aimant qu'elle approche.
- Le pôle nord de l'aiguille est attiré par le pôle sud de l'aimant.
On peut donc en déduire les propriétés suivantes :
• Un aimant possède un pôle nord et un pôle sud, qui sont indissociables.
• Contrairement à l’électrostatique , on ne peut isoler et manipuler
indépendamment des entités qui seraient de type nord et de type sud.
N S
• Les pôles opposés s'attirent et les pôles semblables se repoussent.
• L'aiguille aimantée est un aimant à deux pôles.
2-2- planète Terre
La boussole s'oriente dans une direction et un sens précis sans l'influence d'un
aimant proche. Le pôle nord de l'aiguille indique le pôle Nord géographique.
On en déduit que :
• La planète Terre est une source de champ magnétique.
• Le pôle Nord géographique est en fait , à peu près, le pôle sud magnétique.
2-3- Circuits parcourus par des courants
Approchons l'aiguille aimantée d'un circuit électrique.
• En l'absence de courant dans le circuit, l'aiguille indique le Nord géographique.
•En présence d'un courant dans le circuit, l'aiguille s'oriente dans une autre position
stable et cette position s'inverse si on change le sens du courant dans le circuit.
On en déduit les propriétés suivantes :
• Tout circuit élect. parcouru par un courant est une source de champ magnétique.
• Le sens du chp magnétique peut être inversé en changeant le sens du courant.
3- Champ (ou induction) magnétique statique dans le vide
Par analogie avec les interactions électriques et gravitationnelles, on peut donc
dire qu’un aimant (ou courant électrique) crée dans son voisinage un champ
magnétique tq , où est l’induction magnétique et est la
perméabilité magnétique du vide dont la valeur numérique est SI
Au sein d’un matériau magnétique , l’ind. Mag. est donnée par: où est la perméabilité relative du milieu rHHB r
0
HB
0 07
0 104
H
B
L'intensité du chp mag. peut se mesurer directement avec un teslamètre (voir TP).
La direction des lignes de champs peut être déterminer à l’aide d’une boussole.
On peut retenir que:
•Les lignes de champ magnétique se dirigent du pôle nord vers le pôle sud.
•Elles sont resserrées dans les régions où le champ est intense.
3-1- Lignes de champ des aimants et de la terre
S N
Sud magnétique
Nord magnétique
Nord géographique
Sud géographique
1ere Séance
Figure : Le champ magnétique terrestre ressemble à celui d'un aimant permanent linéaire. L'inclinaison du champ magnétique est représentée pour trois positions a, b et c à la surface de la Terre. (Illustrations Bernard Guillot)
3-2- Unité et ordre de grandeurs :
B se mesure en tesla ou en Gauss 1 tesla=104 Gauss,
L’induction magnétique terrestre vaut 0,5 Gauss à Paris,
Un aimant de qualité courante donne 10 Gauss (10-3 tesla). Un très bon aimant
peut atteindre quelques centaines de Gauss,
Un électroaimant ordinaire peut atteindre le tesla,
Des gros électroaimants avec des bobines supraconductrices (moyens très
onéreux) parviennent à 20 teslas.
3-3- Induction magnétique créée par une charge en mouvement
On considère une particule de charge q animé d’une vitesse se trouvant au point P à
l’instant t, l’ind. Mag. crée par cette charge en un point M quelconque est exprimée
par :
v
PMrr
rvq
PM
PMvqMBMBP
posant en , 4
4
)()(3
0
3
0
M P q
v
B
3-4- Induction magnétique créée par un ensemble de charges en mouvement
Pour un ensemble de N charges en mouvement l’induction mag. est donnée par:
MPrr
rvqMB ii
N
i i
iii
posant en , 4
)(1
3
0
3-5- Induction magnétique créée par un élément de volume
Pour un élément de volume d , de charge dQ et animé d’une vitesse ( ), l’induction
mag. est donnée par:
3
0
4)(
r
rvdQMBd
M P
dQ
v
Bd
d
Dans le cas d’un circuit filiforme (les dimension transversales des fils sont négligeables), on démontre que :
3
0
4)(
r
rdIMBd
a) Courants filiformes
d
IP
S
3-6- Induction magnétique créée par des distributions de courant
L’induction mag. créée par une portion infiniment petite de ce fil est alors donnée par :
dQvdI ..
(Loi de Biot et Savart)
)(
3
0
4)(
Cr
rdIMB
En intégrant sur la totalité du circuit, on obtient :
Le sens de l’induction mag. est déterminé par la règle du tire-bouchon de Maxwell
ou la règle du bonhomme d’Ampère
En intégrant sur tout le volume, on obtient :
PMr avec
4)(
3
0
volumed
r
rPjMB
b) Courants volumiques
3
0
4)(
r
rddIMBd
j
P
P dS d
Considérons un tube élémentaire de courant (dl , dS) centré au point P et parcouru par une densité de courant . J
L’induction mag. Créée par ce tube de courant est donnée par:
d
r
rJMBd
3
0
4)(
2eme Séance
Exemple :
Calculons l’induction magnétique crée par un fil fini parcouru
par un courant d’intensité I.
eMB
I2
)( 0
c) Courants surfaciques
Dans le cas d’une nappe de courant parcourue par une densité de courant surfacique
sJ
dSr
rJMB
S
S
3
0
4)(
H M
I
)(MB
)(Pd
P 2
1
eMB
)sinI(sin4
.....)( 120
Dans le cas d’un fil infini
Un vecteur polaire, ou vrai vecteur, est un vecteur dont la direction, le module et
le sens sont parfaitement déterminés.
Exemples : vitesse d’une particule, champ électrostatique, densité de
courant.
En Physique, on distingue 2 types de vecteurs:
Un vecteur axial, ou pseudo-vecteur, est un vecteur dont le sens est défini à partir
d’une convention d’orientation d’espace et dépend donc de cette convention.
Exemples : Le produit vectoriel, le champ magnétique, la normale à une
surface.
4-1- Vecteurs et pseudo-vecteurs
4- Propriétés de symétrie de l’induction magnétique
L’exploitation des symétries permet de simplifier considérablement le calcul de
l’induction magnétique. Les propriétés de symétrie sont donc fondamentales .
4-2- Comportement vis-à-vis des plans de symétrie et d’antisymétrie
Il est à noter qu’en tout point d’un plan de symétrie ,
Un vrai vecteur (E par exemple) est contenu dans le plan de symétrie;
Un pseudo-vecteur (B par exemple) est perpendiculaire au plan de symétrie.
Cas d’un système possédant un plan de symétrie
Il est à noter qu’en tout point d’un plan d’antisymétrie ’ ,
Un vrai vecteur (E par exemple) est perpendiculaire au plan d’antisymétrie;
Un pseudo-vecteur (B par exemple) est contenu dans le plan d’antisymétrie.
Cas d’un système possédant un plan d’antisymétrie
B est perpendiculaire au plan de symétrie en tout point de celui-ci,
Cas d’un plan de symétrie
Lorsqu’une distribution présente 2 plans de symétrie, l’intersection de ces plans est
un axe de symétrie. B est alors nul en tout point de cet axe de symétrie,
Cas d’un axe de symétrie
Lorsqu’une distribution présente plusieurs plans de symétrie qui se coupent en un
point donné, on parle de centre de symétrie, B est alors nul en ce point,
Cas d’un centre de symétrie
B est contenu dans le plan d’antisymétrie. Cas d’un plan d’antisymétrie
B est porté par l’axe de symétrie Cas d’un axe d’antisymétrie
Cas d’un centre d’antisymétrie B est nul au centre d’antisymétrie.
A partir de ces propriétés, nous pouvons déduire ce qui suit:
5- Actions électrodynamiques
Si en plus le champ électrique est non nul, la force totale est donnée par : )( BvEqF
Cette force est appelée force de Lorentz.
5-1- Force exercée sur une particule chargée
Dans une région où règne une induction magnétique ,
une particule de charge q animée d’une vitesse subie
une force magnétique exprimée par:
v
B
BvqF
5-2- Force exercée sur un élément de courant (Force de Laplace)
b) Courants volumiques )()()()( MdMBMJMFd
c) Courants surfaciques )()()()( MdSMBMJMFd S
Ces formules expriment la loi de Laplace.
Exemple: Déterminer la force par unité de longueur mise en jeu dans le cas deux fils conducteurs infinis, distants de a et parcourus dans le même sens par les courants I1 et I2 .
Reprenons le même raisonnement du § 3-6
)()()( MBMIdMFd
a) Courants filiformes
a
I2 I1
6-Théorème d’Ampère
En électrostatique, on a utilisé le théorème de Gauss pour déterminer le champ
électrostatique dans le cas des configurations à fortes symétries.
En magnétostatique, il existe un théorème relatif à l’induction magnétique connu
par le théorème d’Ampère.
I1 I2 I3 I4
I5
()
Dans le cas d’une distribution quelconque de courants, la circulation de l’ind. Mag. B le long du contour fermé () orienté est donnée par l’expression:
)(
00)(
..Si
i dSJIdB
(Théorème d’Ampère)
(S) est une surface qui s’appuie sur le contour ()
)(. 310 IIdB
I
IdB 02.
I1
I2
I3 I4
Remarque :
i
iIdH
. , H s’exprime donc en A/m.
7- Equations locales de B
Soit (S) une surface quelconque s’appuyant sur le contour ():
.. 0 S
SdjdB
.. , S
SdBrotdBor
On en déduit qu’en chaque point, l’ind. Mag vérifie la relation : jBrot
0
7-1 Théorème d’Ampère
Cette équation exprime la formulation locale du théorème d’Ampère
Fil infini parcouru par un courant d’intensité I I
’
Exemple:
B
Appliquons maintenant la divergence à l’équation précédente :
0)( 0 jdivBrotdiv
0jdiv
la loi de conservation de la charge en magnétostatique
7-2- Conservation du flux de B
Calculons la divergence (par rapport à M) de l’expression générale de l’ind. Mag.
volumevolumed
r
rPjdivd
PM
PMPjdivMBdiv
)(
4)
4()(
3
0
3
0
Tenons compte des 2 propriétés suivantes :
et )1
(3r
r
rgrad
BrotAArotBBAdiv
..)(
rgradrotPjPjrot
r
r
r
rPjdiv
1).()(.))((
33
Or, et 01
rgradrot r) de pas dépend ne )((car 0)( PjPjrot
On trouve finalement : 0Bdiv
8- Potentiel vecteur 8-1 Définition Si en électrostatique le champ électrostatique dérive d’un potentiel scalaire, en magnétostatique l’induction magnétique dérive aussi d’un potentiel mais de nature vectoriel.
La divergence d’un rationnel étant toujours nul, il existe donc un champ de vecteur tel que :
A
ArotB
est appelé potentiel vecteur A
Invariance et choix de jauge Puisque le rationnel d’un gradient est nul, le potentiel vecteur n’est déterminé qu’à un gradient près:
La forme intégrale s’en déduit en utilisant le théorème d’Ostrogradski:
dBdivdSBS
..
On déduit donc que l’ind. Mag. est un champ de vecteur à flux conservatif.
0. S
dSB
Remarque: L’induction magnétique s’exprime aussi en Weber/m2
On lui impose une condition supplémentaire (condition de jauge) pour en sélectionner
une configuration physiquement acceptable. On parle alors d’un choix de jauge.
0Adiv
0
0
AAdivgradArotrot
jBrot
8-2- Equations locales de A
Partons des relations suivantes:
jA
0 Équation de Poisson
Cette équation est analogue à l’équation de Poisson à la quelle satisfait le potentiel scalaire V :
0
V
La jauge utilisée dans le cas statique est la jauge de Coulomb dont l’expression est:
fgradAAA
' est appelée invariance de Jauge. La transformation
BfgradrotArotArotB
0
''
' fgradAAetArotB
Si
alors
3 eme Séance
Par analogie avec l’expression du potentiel scalaire: ,
d
r
PMV
volume)(
4
1)(
0
l’expression du potentiel vecteur est donnée par :
d
r
PjMA
volume)(
4)( 0
Dans le cas des distributions linéiques de courant:
IdSjdSdjdj fil r
dIMA
4)( 0
8-3- Equation intégrale de A
Calculons le flux de l’induction magnétique à travers une surface (S) quelconque s’appuyant sur un contour :
..
dASdB
S
On pourrait donc utiliser cette équation intégrale pour déterminer l’expression du potentiel vecteur.
.. SS
SdArotSdB
1
2
a) Considérons un petit cylindre caractérisé par: dS et dh
Et puisque le flux à travers la surface latérale s’annule lorsque dh0:
0.B.B 121n122n dSndSn
2n1n BB
La composante normale de l’induction mag. est continue
b) On considère le contour CDEF quelconque
udMN
),,( 12nuw
forment un trièdre direct
w étant le vecteur unitaire normale à la boucle CDEF
S
C D
E F
K u
w
12 n
M N
Soit une surface (S) parcourue par un courant de densité surfacique . sJ
9- Conditions aux limites entre 2 milieux
0.BCylindre
dS
0... 12
1
112
2
2 dSnBdSnBdSnBSlSbSb
2
1
12 n
S
dS
dh
Lorsque dh=DE 0, on prend CD=MN=dl
Seules les composantes tangentielles de l’induction contribuent à la circulation
dwJd s ).().BB( 02t1t
1201t2t )BB( nJ s
La composante tangentielle de l’induction subit une discontinuité à la traversée d’une nappe de courant
Id 0
CDEF
.B
).().BB( 021
dwJd s
Appliquons le théorème d’Ampère:
sJnudd
1202t1t .).BB(
dnuJd s ).().BB( 1202t1t
d ceci .).BB( 1202t1t sJndd
4 eme Séance
eBeB
er
er
MB
rr
r
33
0 sincos
2
4)()2
mm
zeIRSI
2m
10- Dipôles magnétiques
Un milieu magnétique peut être considéré comme un ensemble de boucles de très petites dimensions dont les effets sont étudiés à des distances macroscopiques. De telles boucles sont appelées dipôles magnétiques.
Le moment magnétique est défini par
Dans le cas d’une spire parcourue par un courant d’intensité I (OM= r >> R).
On démontre que :
H
I
O y
x
z
H e
e
M
re
e
2
0
4)()1
r
eMA r
m
B
m)3 Le moment du couple qui s’exerce sur le dipôle lorsqu’il est dans un champ magnétique B
I m
m
N S
m
On constate la parfaite analogie avec le dipôle électrique : il suffit de remplacer 1/0 par 0 et par La source ultime du magnétisme est les dipôles magnétiques (puisque le monopole magnétique n’existe pas).
p
m
Remarque :
Lors d’un petit déplacement du circuit de , la force magnétique effectue le travail ,
rd
rdBdIrdFdWd LAP
).(.2
rdFdWd LAP
.2
d = dc est appelé flux coupé (flux à travers la surface jaune)
Le travail de la force magnétique, entre deux positions initiale (1) et finale (2), est donné par:
CoupéLAP IIW )( 12
Considérons un circuit filiforme parcouru par un courant I, placé dans une ind.mag. B. Un élément de longueur subi la force de Laplace :
11- Energie magnétostatique a) Cas d’un courant filiforme plongé dans une induction magnétique
BIdFd
d
I
rd
B
C
Sd
2
Dans le cas d’un circuit rigide on peut montrer que: 12 Coupé
(Théorème de Maxwell)
dIdWLAP
2dIBdrdI
Sd
. )(2
SdBI
2.
Travail des forces de Laplace
0)( mWEt puisque pour un circuit placé à l’infini
IWm On en déduit que l’énergie mag. (potentielle) d’un circuit élect. parcouru par un courant (I) et placé dans une ind. Mag est:
Donc: CsteIWm
Considérons un circuit électrique parcouru par un courant permanent I et placé dans un champ mag. statique.
Le circuit est donc soumis à la force de Laplace.
Il est susceptible de bouger et donc de développer une vitesse.
Appliquons le théorème de l’énergie cinétique ΔEc =WLAP = I.ΔΦ > 0
Le circuit possède donc une énergie potentielle liée à la présence du champ mag.
Le mouvement se fait donc dans le sens qui accroit le flux traversant le circuit: C’est la règle du flux maximal.
Appliquons la conservation de l’énergie totale du circuit:
E = Ec + Wm dWm = - dEc Wm = - Ec = - I = - I ( 2 - 1)
Energie potentielle magnétique
4eme Séance
Calcul des forces de Laplace à partir du flux
i
mi
x
WF
i
i i
mm dx
x
WdW
3
1
gradIWgradF m
Dans le cas de rotation, on démontre que le moment de la force magnétique par rapport à un axe Δi passant par le centre d’inertie O du circuit, dépend de la variation de flux lors d’une rotation du circuit autour de cet axe:
i
ii I
/
Remarque
drFdWLAP .
i
i
i dxF
3
1
On démontre que dans le cas de (n) circuits filiformes parcourus par des courants I1, I2, …., In , l’énergie magnétostatique est donnée par:
n
i
iim IW12
1
n
j
i ji1
avec
Dans le cas d’un dipôle magnétique, on aura:
dIdWm am BmW
.dSBI a.
aBmd
.
b) Energie magnétique d’un système de circuits 5 eme Séance
c) Cas de distribution volumique de courants
Soit une distribution volumique de courants qui crée en tout point de l’espace une induction magnétique B. On considère que cette distribution est constituée par un ensemble de tubes de courants.
JdSdI étant le courant d’un tube de courant donné, de section dS.
ddS
dIdWm2
1
tubeS
dASdB
tube
..
volume
m dAjW
.2
1
où
ce qui donne
dVWe 2
1
Tube
m dAdSJdW ..
2
1
dAdSJWd m ..2
12
Analogie avec l’électrostatique
le flux traversant la surface qui délimite ce tube.
dAJ
.2
1dSdAJ ..
2
1
0 ).(soit ,1
,1
,r SPour 2
2 SdBArS
rB
rA
espace
2
02
1
t
m dBW
Enfin on aura :
On dit que l’énergie magnétique est localisée dans l’induction magnétique
c) Localisation de l’énergie magnétostatique
volume
m dAjW
.2
1
vrotuurotvvudivor
..)( ,
espaceespace
m dBAdivdArotBW
)(2
1.
2
1
00
Cette expression reste valable pour des distributions quelconques de courants .
SdBAdBWS
m
).(
2
1
2
1
0espace
2
0
espace
.2
1dAj
espace0
.2
1
dABrot
12- Tableau récapitulatif et comparatif
Electrostatique Magnétostatique
d
PM
PMPjMB
3
0
4)(
d
PM
PMPME
3
0
)(
4
1)(
0
int.
S
S
QSdE
i
iIdB 0.
0
Ediv
VgradE
ArotB
0
Erot
0
V jA
0
PM
dPMV i
04
1)(
d
r
PjMA
volume)(
4)( 0
)0.(
dE 0Bdiv
jBrot
0
)0.( S
SdB
012
tt EE
12
0
12 nEE nn
1201t2t )BB( nK
012
nn BB
0Adiv
Electrostatique Magnétostatique
)(2
1ii
i
iélec MVqW
n
i
iim IW12
1
volume
m dAjW
.2
1
volume
élect VdW 2
1
espace
2
02
1
t
m dBW
espaceltout
élec dEε
W'
2
0
2
3
0
3
0
sin
4et
cos2
4 r
pE
r
pEr
3
0
3
0 sin
4et
cos
4
2
rB
r
θB θr
mm