MA311 - Calculo III

Primeiro semestre de 2020

Turma B – Curso 51

Ricardo M. Martins

rmiranda@unicamp.br

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda

Aula 14: Transformada de Laplace: funcao degrau

Funcao degrau

Vimos que a solucao da equacao

ay ′′ + by ′ + cy = f (t)

com y = y(t) e L{y(t)} = Y (s) e dada por

y(t) = L−1

{(as + b)y(0) + ay ′(0)

as2 + bs + c+

L{f (t)}as2 + bs + c

}.

A parte difıcil sera calcular

L−1

{L{f (t)}

as2 + bs + c

},

pois nem a transformada inversa de nao costuma ser uma funcao

do mesmo “tipo”. Precisamos aumentar nosso zoologico de

transformadas para incluir mais alguns tipos de funcoes.

Funcao degrau

Se c ∈ R, Defina a funcao uc : R→ R por

uc(t) =

0, t < c ,

1, t ≥ c .

Funcao degrau

Combinacoes de funcoes uc(t) sao funcoes constantes por partes:

Exemplo

Encontre A,B,C de modo que f (t) = A+Bu0(t) +Cu1(t), onde

f (t) =

2, t < 0,

3, 0 ≤ t < 1,

−1, 1 ≤ t

.

Funcao degrau

Proposicao

Seja c ∈ R. Se f (t) esta definida para todo t ≥ 0 e a transformada

L{f (t)} existe entao

L{uc(t)f (t − c)} = e−csL{f (t)}.

Prova: nas anotacoes no site.

Note que

uc(t)f (t − c) =

0, t < c ,

f (t − c), t ≥ c .

Funcao degrau

Seja f (t) definida para t ≥ 0. Como e a funcao uc(t)f (t − c)?

A funcao uc(t)f (t − c) esta definida em R: seu grafico obtido pela translacao

do grafico de f (t) c unidades para a direita se t ≥ c e completando com o

grafico da funcao 0 para t < c.

Funcao degrau

Exemplo

Note que

L{uc(t)} = L{1 · uc(t)} (1)

= e−csL{1} (2)

=1

s· e−cs (3)

Portanto L−1

{e−cs

s

}= uc(t).

Funcao degrau

ExercıcioMostre que se

h(t) =

t4, t < 5,

t4 + 3 sen

(t

10− 1

2

), t ≥ 5,

entao

L{h(t)} =4!

s5+

3

10

e−5s

s2 +1

100

Dica: a funcao h(t) pode ser escrita como

h(t) = t4 + 3u5(t) sen

(1

10· (t − 5)

). (PQ???)

Funcao degrau

ExercıcioCalcule a transformada de Laplace de

f (t) =

t, t < 6,

−8 + (t − 6)2, t ≥ 6.

Exercıcio

Seja f (t) = −t2u3(t) + sen(t)u6(t). Calcule F (s) = L{f (t)} e

faca os graficos de f (t) e F (s).

Funcao degrau

ExercıcioEncontre a transformada de Laplace de

f (t) =

0, t < 1,

t2, 1 ≤ t < 2,

0, t ≥ 2

Dica: escreva esta funcao em termos de g(t) = t2 e das funcoes

degrau u1(t) e u2(t).

Funcao degrau

Exercıcio

O grafico de g : [0,∞)→ R e dado abaixo. Calcule L{g(t)}.

Transformadas inversas e funcoes degrau

Transformadas inversas do tipo

L−1

{p(t)eat

q(t)

}costumam recair em expressoes envolvendo funcoes degrau.

Lembre-se que transformadas inversas aparecem quando estamos

resolvendo PVI’s usando transformadas de Laplace.

Vamos ver num exemplo como tratar estes casos.

Transformadas inversas e funcoes degrau

Exemplo

Se H(s) =se−4s

(3s + 2)(s − 2), calcule

h(t) = L−1{H(s)

}.

Escrevendo F (s) =s

(3s + 2)(s − 2), queremos calcular

L−1{e−4sF (s)}.

Ja vimos que L{uc(t)g(t − c)} = e−csL{g(t)}, entao aplicando

L−1 nos dois lados, teremos

uc(t)g(t − c) = L−1{e−csL{g(t)}}.

Transformadas inversas e funcoes degrau

Exemplo

Se H(s) =se−4s

(3s + 2)(s − 2), calcule

h(t) = L−1{H(s)

}.

No nosso caso teremos

L−1{H(s)} = L−1{e−4sF (s)} = u4(t)f (t − 4),

onde f (t) = L−1{F (s)}. Resta-nos calcular L−1{F (s)}, ou

L−1

{s

(3s + 2)(s − 2)

}.

Transformadas inversas e funcoes degrau

Exemplo

Se H(s) =se−4s

(3s + 2)(s − 2), calcule

h(t) = L−1{H(s)

}.

Aqui entram as fracoes parciais. Muitas contas depois, temos que

s

(3s + 2)(s − 2)=

1/4

3(s + 2/3)+

1/4

s − 2

Portanto

L−1

{s

(3s + 2)(s − 2)

}= L−1

{1/4

3(s + 2/3)+

1/4

s − 2

}.

Transformadas inversas e funcoes degrau

Exemplo

Se H(s) =se−4s

(3s + 2)(s − 2), calcule

h(t) = L−1{H(s)

}.

Finalmente,

f (t) = L−1

{s

(3s + 2)(s − 2)

}=

1

12e−2t/3 +

1

4e2t

e com isto

h(t) = L−1 {H(s)} = u4(t)f (t − 4),

ou

h(t) = u4(t)

(1

12e−2(t−4)/3 +

1

4e2(t−4)

).

Laplace, PVIs e a funcao degrau

Muita calma. As coisas vao comecar a ficar misturadas. Ja ja

vamos fazer um exemplo.

Nos proximos slides, vamos denotar:

L

f (t)︸︷︷︸letra minuscula e dependendo de t

= F (s)︸︷︷︸maiuscula e dependendo de s

Por exemplo, L{y(t)} = Y (s).

No caso de transformadas inversas, a notacao e a mesma: se a

funcao tiver sido obtida como transforma de Laplace de alguma

outra, letra maiuscula.

Por exemplo, L−1 {F (s)} = f (t).

Laplace, PVIs e a funcao degrau

Exemplo

Resolva o PVI abaixo usando transformada de Laplace.

y ′′ − y ′ + 5y = 4 + u2(t)e4−2t , y(0) = 2, y ′(0) = −1.

No nosso catalogo de transformadas, temos algumas informacoes

sobre funcoes do tipo uc(t)g(t − c).

A parte nao-homogenea e quase deste tipo; vamos deixa-la

exatamente deste tipo? Ou seja, vamos escrever

e4−2t = f (t − c)

para alguma funcao f . Note que neste caso c = 2, pois o c

tambem aparece em uc e no nosso caso temos u2.

Laplace, PVIs e a funcao degrau

Exemplo

Resolva o PVI abaixo usando transformada de Laplace.

y ′′ − y ′ + 5y = 4 + u2(t)e4−2t , y(0) = 2, y ′(0) = −1.

Assim,

e4−2t = f (t − 2)⇒ f (t) = e−2t ⇒ f (t − 2) = e−2(t−2)

Portanto, o lado direito e u2(t)e−2(t−2) e a EDO fica

y ′′ − y ′ + 5y = 4 + u2(t)e−2(t−2).

Laplace, PVIs e a funcao degrau

Exemplo

Resolva o PVI abaixo usando transformada de Laplace.

y ′′ − y ′ + 5y = 4 + u2(t)e4−2t , y(0) = 2, y ′(0) = −1.

Calculando transformada de Laplace dos dois lados e isolando

Y (s) = L{y(t)} obtemos

Y (s) =2s2 − 2s + 4

s(s2 − s + 5)+

e−2s

(s + 2)(s2 − s + 5)

Usando a transformada inversa obtemos

y(t) = L−1

{2s2 − 2s + 4

s(s2 − s + 5)

}+ L−1

{e−2s

(s + 2)(s2 − s + 5)

}.

Laplace, PVIs e a funcao degrau

Exemplo

Resolva o PVI abaixo usando transformada de Laplace.

y ′′ − y ′ + 5y = 4 + u2(t)e4−2t , y(0) = 2, y ′(0) = −1.

Temos que:

# L−1

{2s2 − 2s + 4

s(s2 − s + 5)

}=

6et/2

(√19 cos

(√19t

2

)− sen

(√19t

2

))5√

19+

4

5

# L−1

{e−2s

(s + 2)(s2 − s + 5)

}= enorme, veja no Wolfram.

Mesmo com estas expressoes enormes, encontramos y(t)! Como

sera o grafico de y(t)?

Laplace, PVIs e a funcao degrau

Exemplo

Resolva o PVI abaixo usando transformada de Laplace.

y ′′ − y ′ + 5y = 4 + u2(t)e4−2t , y(0) = 2, y ′(0) = −1.

Laplace, PVIs e a funcao degrau

Para finalizar, mais alguns exercıcios.

Exercıcio

Resolva o PVI y ′′ + 4y = uπ(t)− u3π(t), y(0) = y ′(0) = 0.

Exercıcio

Resolva o PVI y ′′ + y ′ + 5y/4 = g(t), y(0) = 0, y ′(0) = 0 e

g(t) =

sen(t), 0 ≤ t < π,

0, t ≥ π.