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C o n n e x i o n s m o d u l e : m 1 8 1 7 6 1

C o n v o l u t i o n a l F E C C E n c o d e r

∗

P e t e r G r a n t

T h i s w o r k i s p r o d u c e d b y T h e C o n n e x i o n s P r o j e c t a n d l i c e n s e d u n d e r t h e

C r e a t i v e C o m m o n s A t t r i b u t i o n L i c e n s e

†

A b s t r a c t

C o n v o l u t i o n a l c o d e s f o r m p a r t o f f o r w a r d e r r o r c o r r e c t i n g c o d e r s ( F E C C ) . T h e y a r e n o n - s y s t e m a t i c

a n d a r e g e n e r a t e d b y p a s s i n g a d a t a s e q u e n c e t h r o u g h a t r a n s v e r s a l o r n i t e i m p u l s e r e s p o n s e ( F I R )

l t e r . T h i s m o d u l e p r o v i d e s a n e x a m p l e o f e n c o d i n g d a t a w i t h a s i m p l e c o n v o l u t i o n a l e n c o d e r .

1 F E C C ½ R a t e C o n v o l u t i o n a l E n c o d e r E x a m p l e

1 . 1 C o n v o l u t i o n a l c o d i n g

C o n v o l u t i o n a l c o d e s a r e a n o t h e r t y p e o f f o r w a r d e r r o r c o r r e c t i n g c o d e r ( F E C C ) w h i c h a r e q u i t e d i s t i n c t f r o m

b l o c k c o d e s . T h e y a r e s i m p l e r t o i m p l e m e n t f o r l o n g e r c o d e s t h a n b l o c k c o d e r s a n d s o f t d e c i s i o n d e c o d i n g

c a n b e e m p l o y e d e a s i l y a t t h e d e c o d e r .

C o n v o l u t i o n a l c o d e s a r e n o n - s y s t e m a t i c ( i . e . t h e t r a n s m i t t e d d a t a b i t s d o n o t a p p e a r d i r e c t l y i n t h e

o u t p u t e n c o d e d d a t a s t r e a m ) a n d a r e g e n e r a t e d b y p a s s i n g a d a t a s e q u e n c e t h r o u g h a t r a n s v e r s a l o r n i t e

i m p u l s e r e s p o n s e ( F I R ) l t e r . T h e c o d e r o u t p u t c a n b e r e g a r d e d a s t h e c o n v o l u t i o n o f t h e i n p u t s e q u e n c e

w i t h t h e i m p u l s e r e s p o n s e o f t h e c o d e r , h e n c e t h e i r n a m e : c o n v o l u t i o n a l c o d e s .

1 . 2 C o n v o l u t i o n a l e n c o d e r

A s i m p l e e x a m p l e i s s h o w n i n F i g u r e 1 . H e r e t h e e n c o d e r s h i f t r e g i s t e r s t a r t s w i t h z e r o s a t a l l t h r e e s t o r e d

l o c a t i o n s ( i . e . 0 , 0 , 0 ) . T h e i n p u t d a t a s e q u e n c e t o b e e n c o d e d i s 1 , 1 , 0 , 1 i n t h i s e x a m p l e . T h e s h i f t r e g i s t e r

c o n t e n t s t h u s b e c o m e , a f t e r e a c h d a t a b i t a r r i v e s a n d p r o p a g a t e s i n t o t h e s h i f t r e g i s t e r : 1 0 0 , 1 1 0 , 0 1 1 , 1 0 1 .

A s t h e r e a r e t w o o u t p u t s f o r o v e r y i n p u t b i t t h e a b o v e e n c o d e r i s r a t e ½ .

T h e r s t o u t p u t i s o b t a i n e d a f t e r a r r i v a l o f a n e w d a t a b i t i n t o t h e s h i f t r e g i s t e r w h e n t h e s w i t c h i s i n

t h e u p p e r p o s i t i o n , t h e s e c o n d w i t h t h e s w i t c h i n t h e l o w e r p o s i t i o n . T h u s , i n t h i s e x a m p l e , t h e s w i t c h w i l l

g e n e r a t e , t h r o u g h t h e e x c l u s i v e O R g a t e s , f r o m t h e f o u r i n p u t d a t a b i t s : 1 , 1 , 0 , 1 , t h e c o r r e s p o n d i n g f o u r

o u t p u t d i g i t p a i r s : 1 1 , 1 0 , 1 1 , 0 1

∗V e r s i o n 1 . 3 : M a y 7 , 2 0 0 9 4 : 3 7 p m G M T - 5

†h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /

h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 8 1 7 6 / 1 . 3 /

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F i g u r e 1 : ½ r a t e c o n v o l u t i o n a l e n c o d e r

T h i s p a r t i c u l a r e n c o d e r h a s 3 s t a g e s i n t h e l t e r a n d t h e r e f o r e w e s a y t h a t t h e c o n s t r a i n t l e n g t h n = 3 .

T h e v e r y l a t e s t e n c o d e r s a v a i l a b l e c o m m e r c i a l l y t y p i c a l l y h a v e c o n s t r a i n t l e n g t h s u p t o n = 9 .

W e c a n c o n s i d e r t h e c o d e r o u t p u t s f r o m t h e e x c l u s i v e O R g a t e s a s b e i n g g e n e r a t e d b y t w o p o l y n o m i a l s :

P 1(x) = 1 + x2

( 1 )

P 2(x) = 1 + x( 2 )

T h e s e a r e o f t e n e x p r e s s e d i n o c t a l n o t a t i o n , i n o u r e x a m p l e :

P 1 = 5o(101) ( 3 )

P 2 = 6o(110) ( 4 )

T h i s e n c o d e r m a y a l s o b e r e g a r d e d a s a s t a t e m a c h i n e . T h e n e x t s t a t e i s d e t e r m i n e d b y t h e n e x t i n p u t b i t

o r v a l u e c o m b i n e d w i t h t h e p r e v i o u s t w o i n p u t b i t s o r v a l u e s w h i c h w e r e s t o r e d i n t h e s h i f t r e g i s t e r , ( i . e . t h e

p r e v i o u s s t a t e ) .


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1 . 3 T r e e s t a t e d i a g r a m

W e c a n r e g a r d t h i s a s a M e a l y s t a t e m a c h i n e w i t h f o u r s t a t e s c o r r e s p o n d i n g t o a l l t h e p o s s i b l e c o m b i n a t i o n s

o f t h e r s t t w o s t a g e s i n t h e s h i f t r e g i s t e r .

T h e t r e e d i a g r a m f o r t h i s s t a t e m a c h i n e i s n o w s h o w n i n F i g u r e 2 , a g a i n s t a r t i n g f r o m t h e a l l z e r o s s t a t e

o r c o n d i t i o n . T h e e n c o d e r s t a r t s i n s t a t e A h o l d i n g t w o z e r o s ( 0 0 ) w i t h i n t h e r s t t w o s t a g e s o f t h e s h i f t

r e g i s t e r . ( W e i g n o r e t h e n a l s t o r e d d i g i t a s i t i s l o s t w h e n a n e w d a t a b i t p r o p a g a t e s i n t o t h e s h i f t r e g i s t e r . )

I f t h e n e x t i n p u t b i t i s a z e r o ( 0 ) w e f o l l o w t h e u p p e r p a t h t o s t a t e B w h e r e t h e s t o r e d d a t a i s u p d a t e d t o

0 0 . I f t h e n e x t i n p u t b i t i s a o n e ( 1 ) w e f o l l o w t h e l o w e r p a t h t o p r o g r e s s t o t h e c o r r e s p o n d i n g s t a t e C w h e r e

t h e s t o r e d d a t a i s n o w 1 0 .

T h e c o n v e n t i o n i s t o e n t e r t h e u p d a t e d n e w s t o r e d s t a t e v a l u e s b e l o w t h e s t a t e l e t t e r ( B / C ) . N o w r e t u r n i n g

t o F i g u r e 1 a n d t h e e x c l u s i v e O R g a t e c o n n e c t i o n s o n e c a n d e r i v e t h e o u t p u t d a t a b i t s g e n e r a t e d w i t h i n t h e

e n c o d e r . F o r s t a t e B t h e s e a r e 0 0 a n d f o r s t a t e C t h e s e a r e 1 1 . T h e s e o u t p u t s a r e e n t e r e d a l o n g s i d e t h e s t a t e

i n F i g u r e 2 . S t a t e s B / C c o r r e s p o n d t o t h e a r r i v a l o f t h e r s t n e w d a t a b i t t o b e e n c o d e d , w h i l e D / E / F / G

c o r r e s p o n d t o t h e s e c o n d d a t a b i t a n d H / I / J / K / h / i / j / k t h e t h i r d d a t a b i t .

F i g u r e 2 : E n c o d e d d a t a t r e e d i a g r a m f o r t h e e n c o d e r o f F i g u r e 1

T h e t r e e d i a g r a m i n F i g u r e 2 t e n d s t o s u g g e s t t h a t t h e r e a r e e i g h t s t a t e s i n t h e l a s t l a y e r o f t h e t r e e a n d

t h a t t h i s w i l l c o n t i n u e t o g r o w . H o w e v e r s o m e s t a t e s i n t h e l a s t l a y e r ( i . e . t h e s t o r e d d a t a i n t h e e n c o d e r )

a r e e q u i v a l e n t a s i n d i c a t e d b y t h e s a m e l e t t e r o n t h e t r e e ( f o r e x a m p l e H a n d h ) .


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T h e s e p a i r s o f s t a t e s m a y b e a s s u m e d t o b e e q u i v a l e n t b e c a u s e t h e y h a v e t h e s a m e i n t e r n a l s t a t e f o r t h e

r s t t w o s t a g e s o f t h e s h i f t r e g i s t e r a n d t h e r e f o r e w i l l b e h a v e e x a c t l y t h e s a m e w a y t o t h e r e c e i p t o f a n e w

( 0 o r 1 ) i n p u t d a t a b i t .

1 . 4 T r e l l i s s t a t e d i a g r a m

T h u s t h e t r e e c a n b e f o l d e d i n t o a t r e l l i s , a s s h o w n i n , w h i c h i s d e r i v e d f r o m t h e t r e e d i a g r a m o f F i g u r e 2

a n d F i g u r e 1 e n c o d e r . A s t h e c o n s t r a i n t l e n g t h i s n = 3 w e h a v e 2(3−1) = 4 u n i q u e s t a t e s : 0 0 , 0 1 , 1 0 , 1 1

i n F i g u r e 2 . I n F i g u r e 3 t h e s t a t e s a r e s h o w n a s 0 0 x t o d e n o t e t h e t h i r d b i t , x , w h i c h i s l o s t o r d i s c a r d e d

f o l l o w i n g t h e a r r i v a l o f a n e w d a t a b i t .

F i g u r e 3 : T r e l l i s D i a g r a m c o r r e s p o n d i n g t o t h e T r e e D i a g r a m o f F i g u r e 2

N o t e i n F i g u r e 3 t h e h o r o z o n t a l a r r a n g e m e n t o f s t a t e s A , B , D , H a n d L . T h e s a m e a p p l i e s t o s t a t e s C , E ,

I a n d M e t c . T h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n c o r r e s p o n d s t o t i m e ( t h e w h o l e d i a g r a m i n F i g u r e 3 n o w c o r r e s p o n d s

t o e n c o d i n g 4 i n p u t d a t a b i t s ) . H e r e w e h a v e d r o p p e d t h e s t a t e i n f o r m a t i o n f r o m F i g u r e 2 a s t h e s a m e s t a t e s

a r e a l l r e p r e s e n t e d a t t h e s a m e h o r i z o n t a l l e v e l i n F i g u r e 3 . T h e v e r t i c a l d i r e c t i o n h e r e c o r r e s p o n d s t o t h e

s t o r e d s t a t e v a l u e s a , b , c , d i n t h e e n c o d e r s h i f t r e g i s t e r .

S t a t e s a l o n g t h e t i m e a x i s a r e t h u s e q u i v a l e n t , f o r e x a m p l e H i s e q u i v a l e n t t o L a n d C i s e q u i v a l e n t t o

E e t c . I n f a c t a l l t h e s t a t e s i n a h o r i z o n t a l l i n e a r e e q u i v a l e n t . T h u s w e c a n i d e n t i f y o n l y f o u r s t a t e s i n t h i s


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c o d e r : a , b , c a n d d a n d t h e r e l a t e d s h i f t r e g i s t e r s t o r e d v a l u e s 0 0 , 1 0 , 0 1 , 1 1 a r e s h o w n i n t h e l e f t h a n d s i d e

o f F i g u r e 3 .

F r o m a n y p o i n t , e . g . E , i f t h e n e x t i n p u t b i t i s a z e r o ( 0 ) w e f o l l o w t h e u p p e r p a t h t o s t a t e J w h e r e t h e

s t o r e d d a t a i s u p d a t e d t o 0 1 a n d t h e o u t p u t w i l l b e 0 1 . I f t h e n e x t i n p u t b i t i s a o n e ( 1 ) w e f o l l o w t h e l o w e r

p a t h f r o m E t o p r o g r e s s t o t h e n e x t s t a t e K w h e r e t h e s t o r e d d a t a i s n o w 1 1 a n d t h e o u t p u t w i l l b e 1 0 a s

i n d i c a t e d a l o n g s i d e t h e t r e l l i s p a t h .

1 . 5 T r a n s i t i o n s t a t e d i a g r a m

W e c a n d r a w , i f d e s i r e d , t h e t r e l l i s d i a g r a m o f F i g u r e 3 i n F i g u r e 4 a s a s t a t e d i a g r a m c o n t a i n i n g o n l y

t h e s e s t a t e s w i t h a l l t h e c o r r e s p o n d i n g n e w d a t a b i t s t o b e e n c o d e d a n d t h e c o r r e s p o n d i n g t w o o u t p u t b i t s

g e n e r a t e d p e r n e w i n p u t d a t a b i t ( e . g . 1 ( 1 0 ) )

F i g u r e 4 : S t a t e d i a g r a m c o r r e s p o n d i n g t o t h e e n c o d e r t r e l l i s d i a g r a m o f F i g u r e 3

n o t e : T h i s m o d u l e h a s b e e n c r e a t e d f r o m l e c t u r e n o t e s o r i g i n a t e d b y P M G r a n t a n d D G M

C r u i c k s h a n k w h i c h a r e p u b l i s h e d i n I A G l o v e r a n d P M G r a n t , " D i g i t a l C o m m u n i c a t i o n s " , P e a r -

s o n E d u c a t i o n , 2 0 0 9 , I S B N 9 7 8 - 0 - 2 7 3 - 7 1 8 3 0 - 7 . P o w e r p o i n t s l i d e s p l u s e n d o f c h a p t e r p r o b l e m e x a m -

p l e s / s o l u t i o n s a r e a v a i l a b l e f o r i n s t r u c t o r u s e v i a p a s s w o r d a c c e s s a t h t t p : / / w w w . s e e . e d . a c . u k / ∼p m g / D I G I C O M M


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