luyenthidh pt-bpt-voti

Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa

Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 1 -- http://ebook.here.vn

1.ph−¬ng tr×nh 1.ph−¬ng tr×nh 1.ph−¬ng tr×nh 1.ph−¬ng tr×nh –bÊt ph−¬ng tr×nh c¬ b¶nbÊt ph−¬ng tr×nh c¬ b¶nbÊt ph−¬ng tr×nh c¬ b¶nbÊt ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n a.ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n:

D¹ng ph−¬ng tr×nh:

≥

≥⇔=

)()(

0)()()(

2 xgxf

xgxgxf (nÕu g(x) cã TX§ lµ R)

b.BÊt ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n:

D¹ng 1:

≥

≥

<

≥

⇔>

)()(

0)(

0)(

0)(

)()(

2 xgxf

xg

xg

xf

xgxf

D¹ng 2:

( )( )( ) ( )

<

≥

>

⇔<

xgxf

xf

xg

xgxf

2

0

0

)()(

Chó ý: Khi hÖ chøa tõ hai biÓu thøc c¨n bËc hai trë lªn , ®Ó cã thÓ ®−a vÒ d¹ng c¬ b¶n , ta lµm nh− sau:

+ §Æt mét hÖ ®iÒu kiÖn cho tÊt c¶ c¸c c¨n ®Òu cã nghÜa . + ChuyÓn vÕ hoÆc ®Æt ®iÒu kiÖn ®Ó hai vÕ ®Òu kh«ng ©m . + B×nh ph−¬ng hai vÕ . + TiÕp tôc cho ®Õn khi hÕt c¨n .

bµi tËp ¸p dông Bµi 1.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:

)1(3253.1 −=+ xx

)2(632.2 xx −=+ Gi¶i1:

Ph−¬ng tr×nh ®H cho t−¬ng ®−¬ng víi:

=

=⇔

=+−

≥

2

72

0141542

3

2x

x

xx

x

Gi¶i2: Ph−¬ng tr×nh ®H cho t−¬ng ®−¬ng víi:

3113

6

03314

62

=⇔

=∨=

≤⇔

=+−

≤x

xx

x

xx

x

Bµi 1.2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau

)1(1266.1 2 −=+− xxx (§H X©y Dùng -2001). Gi¶i:

Ph−¬ng tr×nh ®H cho t−¬ng ®−¬ng víi:



1

12

1

)12(662

1

22

=⇔

=

≥

⇔−=+−

≥x

x

x

xxx

x

Bµi 1.3 Gi¶i ph−¬ng tr×nh

321 =++− xx Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ®H cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:

2)4()2)(1(_

41

4)2)(1(

12

=⇔

−=−−

≤≤⇔

−=+−

≥⇔ x

xxx

x

xxx

x

Bµi 1.4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh

231 −=−−− xxx Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ®H cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:

3

326

3

326

3

326

43

0883

43

6524

3

231

322

+=⇔

−=∨

+=

≤≤⇔

=+−

≤≤⇔

+−=−

≥⇔

−+−=−

≥

xxx

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

--


xxxx −+=−+ 13

21 2

(§HQG Hµ Néi 2000)

Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ®H cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:

−=−

≤≤⇔

−+=−+−+

≤≤22222

3

2

3

2

3

2

10

213

4

3

2

3

21

10

xxxx

x

xxxxxx

x

=

=⇔

=∨=

≤≤⇔

=−−−

≤≤⇔

1

0

10

10

0)1(

1022 x

x

xx

x

xxxx

x


( ) 3428316643 −=−−+ xx

Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ®H cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:

( ) 2

2

2

24

3

34283166434

3

=⇔

=

≥⇔

−=−−+

≥x

x

x

xx

x



Bµi 1.7: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:

27593137 −≤−−− xxx (§H DL Ph−¬ng §«ng -2001)

§iÒu kiÖn: 5

27≥x

BÊt ph−¬ng tr×nh ®H cho t−¬ng ®−¬ng víi:

−+−≤−

≥

93275137

5

27

xxx

x

( )( ) ( )( )

2359

65762229

044345859

235

27

23275932

5

27

275932368137

5

27

2

≤≤+

⇔

≥+−

≤≤⇔

−≥−−

≥⇔

−−+−≤−

≥⇔

x

xx

x

xxx

x

xxxx

x

Bµi tËp lµm thªm:

Bµi 1: (PP B§ T§)

2 2

2 2

2

2

1. 3 2 2 1; 2. 3 9 1 2

3. 4 6 4; 4. 2 4 2

5. 3 9 1 | 2 |; 6. 2 3 0;

7. 1 1;

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x

− + = − − + = −

− + = + + + = −

− + = − − + =

+ + =

Bµi 2: (PP B§ T§)

1. 3 6 3;

2. 3 2 1 3;

3. 3 2 1;

4. 9 5 2 4;

5. 3 4 2 1 3;

6. 5 1 3 2 1 0;

x x

x x

x x

x x

x x x

x x x

+ + − =

− + − =

+ − − =

+ = − +

+ − + = +

− − − − − =

7. 3 4 4 2 ;x x x+ + + =

8. 5 5 10 5 15 10;x x x− + − = −

9. 4 1 1 2 ;x x x+ − − = −



210. 3 2 1 2;

11. 1 5 1 3 2

x x x

x x x

− + − + + =

− − − = −

12. 1 9 2 12x x x+ − − = −

2 213. 5 8 4 5x x x x+ − + + − =

2 214. 3 5 8 3 5 1 1x x x x+ + − + + =

2 215. 9 7 2 5 1 3 2 1x x x x x+ − − = − − − − −

2 2 2

2

16. 3 6 16 2 2 2 4

3 1 1 4 217.

3 9 9

x x x x x x

x

x x x

+ + + + = + +

+= + +

218. 1 2 5x x x− = − −

19. 11 11 4x x x x+ + + − + =

20. 1 1 8x x x+ − = − +

--------------------------------------------------------------------------

2.ph−¬ng ph¸p §Æt mét Èn phô D¹ng 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

( ) ( ) 0=++ CxfBxAf

Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt ( ) ( ) ( ) 20 txfttxf =⇔≥= ;

Ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh : ( )002 ≥=++ tCBtAt

Lµm t−¬ng tù víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng: ( ) ( ) 0≥++ CxfBxAf

D¹ng 2:Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

( ) ( )( ) ( )( ) 0)(2 =++++ CDxgxfBxgxfA

(Víi ( ) Dxgxf =+ )( ) Ph−¬ng ph¸p gi¶i :

§Æt ( ) ( ) ( ) ( )xgxfDtttxgxf 20)( 2 +=⇔≥=+

Ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh : ( )002 ≥=++ tCAtBt Lµm t−¬ng tù víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng:

( ) ( )( ) ( )( ) 0)(2 ≥++++ CDxgxfxgxfA

bµi tËp ¸p dông: Bµi 2.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh

)1(75553,1 22 +−=+− xxxx



)2(3012.2,2 22 =++ xx (§H DL Hång l¹c-2001)

Gi¶i1: )1(75553,1 22 +−=+− xxxx

§Æt )0(552 ≥=+− ttxx Ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh:

±=

=

=

⇔

=+−

=+−⇔

=

=⇔=+−

2

215

4

1

455

155

2

1023

2

2

2

x

x

x

xx

xx

t

ttt

Gi¶i2: )2(30122,2 22 =++ xx

§Æt )0(122 >+= txt Ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh:

−=

=⇔=−+

)(7

)(60422

Lt

tmttt

VËy 626122 ±=⇔=+ xx --------------------------------------------------------------------------

Bµi 2.2: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh

)1(42

47.1

2

xx

xx=

+++

(§H §«ng ®«-2000).

)2(4324.2 22 xxxx −+=−+ (§H Má -2001) Gi¶i2:

§Æt )0(4 2 ≥−= yxy Ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh:

=−+

=−+⇔

+=+

=+

23

42)(

32

4 222

xyyx

xyyx

xyyx

yx



Gi¶i hÖ ®èi xøng nµy ta ®−îc nghiÖm:

+−=

=

=

⇔

=∧=

=∧=

3

142

2

0

02

20

x

x

x

yx

yx

Gi¶i1:§iÒu kiÖn: 0≥x §Æt )0( ≥= ttx Ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh:

04874 234 =+−+− tttt Gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc 4 : XÐt t=0 kh«ng lµ nghiÖm

XÐt t ≠ 0 ,chia hai vÕ cho t2 vµ ®Æt )22(2

≥+= ut

tu

Ta ®−îc ph−¬ng tr×nh

=

=⇔

=

=⇔

=

=⇔=+−

4

1

2

1

3

)(10342

x

x

t

t

u

Luuu

Bµi 2.3: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau

123342.1 22 >−−++ xxxx (§HDL Ph−¬ng §«ng -2000)

2)2(4)4(.2 22 <−++−− xxxxx (§H QG HCM -1999) Gi¶i1:

§iÒu kiÖn: 13 ≤≤− x

§Æt: )0(23 2 ≥−−= txxt BÊt ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh:

2

50

0

2

51

0

05322

<≤⇔

≤

<<−⇔

≤

>++−t

t

t

t

tt

Thay vµo c¸ch ®Æt: 130

4

132

13

2≤≤−⇔

≥++

≤≤−x

xx

x

Gi¶i2:

2)2(4)4(.2 22 <−++−− xxxxx

§iÒu kiÖn: 40 ≤≤ x

§Æt: 042 ≥+−= xxt



Thay vµo BPT §H cho vµ gi¶i ra ta ®−îc 1>t

Thay vµo c¸ch ®Æt ta ®−îc: 3232 +<<− x


72

12

2

33.1 −+<+

xx

xx (§H Th¸i Nguyªn -2000)

3)7)(2(72.2 ≤−++−++ xxxx

Gi¶i1: BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh:

( )09

2

13

2

12

92

112)

2

1(3

2

2

2

>−

+−

+⇔

−

++<+

xx

xx

xx

xx

§Æt: 22

1≥⇒+= t

xxt

BPT ®H cho trë thµnh:

+>

−<<⇔>+⇔

>⇔

>−−

≥

72

34

72

340

32

1

30932

2

2

x

x

xx

ttt

t

Gi¶i 2:


§Æt )0(72 ≥−++= txxt

VËy 2

9)7)(2(

2 −=−+t

xx

BÊt ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh:

=

−=⇔

≤−++

≤≤−⇔

≤≤⇔≤−+

7

2

9)7)(2(29

72

3001522

x

x

xx

x

ttt

Bµi tËp.Bµi tËp.Bµi tËp.Bµi tËp. Gi¶i c¸c PT sau:



Bµi 1:

2 2

2 2

2 2

2

1. 3 5 5 5 7;

2. 2 12 30;

3. 13 7;

4. ( 5)(2 ) 3 3 ;

x x x x

x x

x x x x

x x x x

− + = − +

+ =

− − − + =

+ − = +

26. ( 4)( 1) 3 5 2 6;x x x x+ + − + + =

2 211. 2( 2 ) 2 3 9;x x x x− + − − =

2 212. ( 3) 3 22 3 7;x x x x− + − = − +

( )( ) 215. 1 2 1 2 2 ;x x x x+ − = + −

( )2 216. 2 2 2 3 9 0;x x x x− + − − − =

2 217. 3 15 2 5 1 2;x x x x+ + + + =

Bµi 2:

2 25. 3 3 3 6 3;x x x x− + + − + =

2 27. 5 2 2 5 9 1;x x x x+ + + + − =

9. 1 4 ( 1)(4 ) 5;x x x x+ + − + + − =

2 210. 4 2 3 4 ;x x x x+ − = + −

2 213. 2 5 2 2 5 6 1;x x x x+ + − + − =

2 214. 3 2 2 6 2 2;x x x x+ + − + + = −

2 2 218. 4 1 2 2 9;x x x x x x+ + + + + = + +

2 2 28. 4 8 4 4 2 8 12;x x x x x x+ + + + + = + +

2 219. 1 2 1 2;x x x x− − + + − =

2 220. 17 17 9;x x x x+ − + − =

2221.1 1 ;

3x x x x+ − = + −

24 422. 16 6;

2

x xx x

+ + −= + − −

223. 3 2 1 4 9 2 3 5 2;x x x x x− + = = − + − +



224. 2 3 1 3 2 2 5 3 16;x x x x x+ + + = + + + −

25. 2 2 5 2 3 2 5 7 2;x x x x− + − + + + − =

( ) ( )3 35 526. 7 3 8 7 3 7;x x

−− − − =

2

27. 2 3 2 ;2 3

xx x

x+ + =

+

4 2 228. 1 1 2;x x x x− − + + − =

2 229. 5 14 9 20 5 1;x x x x x+ + − − − = +

( )3 230.10 8 3 6 ;x x x+ = − −

3 231. 1 3 1;x x x− = + −

232. 1 ( 1) 0;x x x x x x− − − − + − =

§Æt Èn phô ®Ó trë thµnh ph−¬ng tr×nh cã 2 Èn:

* Lµ viÖc sö dông 1 Èn phô chuyÓn ®Ó chuyÓn PT ban ®Çu thµnh 1 PT víi 1 Èn phô

nh−ng c¸c hÖ sè vÉn cßn chøa x

* PP nµy th−êng ®−îc SD ®èi víi nh÷ng PT khi lùa chän 1 Èn phô cho1 BT th× c¸c BT

cßn l¹i kh«ng BD ®−îc triÖt ®Ó qua Èn phô ®ã hoÆc nÕu BD ®−îc th× c«ng thøc BD

qu¸ phøc tap.

* Khi ®ã th−êng ta ®−îc 1 PT bËc 2 theo Èn phô (hoÆc vÉn theo Èn x) cã biÖt sè ∆ lµ

1 sè chÝnh ph−¬ng.


Bµi 1:

2 21. 1 2 2 ;x x x x− = −

2 22. 1 2 2;x x x− = +

2 23. (4 1) 1 2 2 1;x x x x− + = + +

2 24. 4 4 (2 ) 2 4;x x x x x+ − = + − +

2 25. 3 1 (3 ) 1;x x x x+ + = + +

2 26. (4 1) 4 1 8 2 1;x x x x− + = + +

27. 4 1 1 3 2 1 1 ;x x x x+ − = + − + −



2 2

2 2

2

8. 2(1 ) 2 1 2 1;

9. 1 2 4 1 2 1;

10. 12 1 36;

1 1 111. 2 1 3 0;

x x x x x

x x x x

x x x

xx x

x x x

− + − = − −

+ − = − − +

+ + + =

−+ − − − − =

3.Ph−¬ng ph¸p §Æt hai Èn phô D¹ng 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

( ) ( )( ) ( ) 0)( =+++ CxgxfBxgxfA nnn

(Víi ( ) Dxgxf =+ )( )

Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt: ( )( )

Dvuvxg

uxfnn

n

n

=+⇒

=

=

Ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh: ( )

=+

=+++

Dvu

CBuvvuA

nn

0

D¹ng 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

( ) ( )( ) ( ) 0)( =++− CxgxfBxgxfA nnn

(Víi ( ) ( ) Dxgxf =− )

Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt: ( )( )

Dvuvxg

uxfnn

n

n

=−⇒

=

=

Ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh: ( )

=−

=++−

Dvu

CBuvvuA

nn

0

bµi tËp ¸p dông: Bµi 3.1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

)x6)(2x(x62x −+=−++ (§H Ngo¹i Ng÷-2001)

Gi¶i :

§Æt )0v,u(vx6

u2x≥

=−

=+

Ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh:

2vu08uv2)uv(

vuuv

vuuv

8vu2

22

==⇔

=−−

+=⇔

+=

=+

VËy:



2x2x62x =⇔=−=+

Bµi 3.2:Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

13x22x 33 =+−+ (An Ninh-01) Gi¶i :

§Æt:

=+

=+

v3x

u22x

3

3


−=

=⇔

−==

==⇔

=

=−

30x

5x

2u;3v

3u;2v

6uv

1vu


541xx56 44 =++−

§Æt: )0uv(v41x

ux56

4

4

≥

=+

=−


=

−=⇔

==

==⇔

=+

=+

40x

25x

2v;3u

3v;2u

97vu

5vu44

Bµi tËp lµm thªm: Gi¶i c¸c pt:

20 201. 6;

x x

x x

+ −− =

42. 6 2 2(1 (6 )( 2);x x x x− + − = − − −

3

3

3

2 2

33

3. 2 1 1;

4. 9 2 1;

5. 9 1 7 1 4;

6. 3 10 5;

7. 9 ( 3) 6;

x x

x x

x x

x x

x x

− = − −

− = − −

− + + + + =

+ + − =

− = − +

3

3

4 4

2 2

8. 24 12 6;

9. 7 1;

10. 5 1 2;

11. 3 3 3 6 3;

12. 1 8 ( 1)(8 ) 3;

x x

x x

x x

x x x x

x x x x

+ + − =

+ − =

− = − =

− + + − + =

+ + − + + − =



3 3

3 3

2 3 3 2

2 23 3 3

(34 ) 1 ( 1) 3413. 30;

34 1

14. 1 2 (1 ) 1;

15. 1 1 (1 ) 1 2 1 ;

16. 2 2 4;

x x x x

x x

x x x x

x x x x

x x x x

− + − + −=

− − +

+ − − − = −

+ − − − + = + −

+ + + − − =

2 3 3 244 4 417. (1 ) (1 ) 1 (1 );x x x x x x x x+ − + − = − + + −

3 3

3 3

7 518. 6 ;

7 5

x xx

x x

− − −= −

− + −

2 2

3 3

sin cos

2 23 3 3

2 2

2 24 4

19. 7 2 3;

20. 81 81 30;

21. sin cos 4;

22. sin 2 sin sin 2 sin 3;

23. 10 8sin 8 s 1 1;

x x

tgx tgx

x x

x x x x

x co x

+ + − =

+ =

+ =

+ − + − =

+ − − =

4 41 1

24. cos2 cos2 2;2 2

x x− + + =

3 3

3 3

3 3

4 4

3 3

25. 5 7 5 12 1;

26. 24 5 1;

27. 47 2 35 2 4;

28. 47 10 5;

29. 12 14 2;

x x

x x

x x

x x

x x

+ − − =

+ − + =

− + + =

− + + =

− + − =

3 3

4 4

30. 1 7 2;

31. 97 15 4;

x x

x x

+ + − =

− + − =

--------------------------------------------------------------------------

4.Ph−¬ng ph¸p Nh©n liªn hîp D¹ng : Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

( ) ( ) ( )xhCxgBxfA .=−

Víi ( ) ( ) ( )xhDxgBxfA .22 =− Ph−¬ng ph¸p gi¶i :

Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc: ( ) ( )xgBxfA +

Ta ®−îc ph−¬ng tr×nh ( ) ( ) ( ) ( )( )xgBxfAxhCxhD += ..

Nhãm nh©n tö chung vµ gi¶i hai ph−¬ng tr×nh:



( )( ) ( )( )

=+

=

DxgBxfAC

xh 0

bµi tËp ¸p dông:

Bµi 4.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:

)1(5

32314.1

+=−−+x

xx (§H B−u ChÝnh-2001)

)2(62)22(3.2 ++=−+ xxx (§H Qu©n Sù -2001)

Gi¶i1: )1(5

32314.1

+=−−+x

xx

§iÒu kiÖn: 3

2≥x Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp:

2314 −++ xx , Ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh:

( )

2)(342

2

0684344

7

26

3

2

3

272623142

3

252314

3

22314

5

33

2

=⇔

=

=⇔

=+−

≤≤⇔

≥∧−=−+⇔

≥∧=−++⇔

≥∧−+++

=+

xLx

x

xx

x

xxxx

xxx

xxxx

x

Gi¶i2: )2(62)22(3.2 ++=−+ xxx

§iÒu kiÖn: 2≥x ; Ph−¬ng tr×nh ®H cho t−¬ng ®−¬ng víi:

62623 −=+−− xxx

Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp 623 ++− xx

Lµm t−¬ng tù nh− phÇn 1) ta ®−îc tËp nghiÖm:

−

=2

5311;3T


xxx ≥−−+ 11 (§H Ngo¹i th−¬ng HCM-2001). Gi¶i1:


Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp xx −++ 11 th× bÊt ph−¬ng tr×nh ®H cho t−¬ng ®−¬ng víi:



−++>

≤<

−++<

≤≤−

⇔

≥−−+−

≤≤−⇔

≥−++

≤≤−

xx

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

x

112

10

112

01

0)112(

11

11

2

11

1010

0

01

≤≤⇔

∀

≤<

=

≤≤−

⇔ x

x

x

x

x

Bµi lµm thªm: (Nh©n liªn hîp)

2 2 2 2

1. 1 4 9 0;

32. 4 1 3 2 ;

5

3. 3(2 2) 2 6;

4. 3 7 3 2 3 5 1 3 4;

5. 21 21 21;

6. 21 21 ;

2 27. 2 2;

2 2 2 2

8. 2 1 2 2

x x x x

xx x

x x x

x x x x x x x

x x

x x x

x x

x x

x x x

− + − + + + =

++ − − =

+ − = + +

− + − − = − − − − +

+ + − =

+ − − =

+ −+ =

+ + − +

− − + = −

--------------------------------------------------------------------------

5.Ph−¬ng ph¸p Ph©n chia miÒn x¸c ®Þnh5.Ph−¬ng ph¸p Ph©n chia miÒn x¸c ®Þnh5.Ph−¬ng ph¸p Ph©n chia miÒn x¸c ®Þnh5.Ph−¬ng ph¸p Ph©n chia miÒn x¸c ®Þnh D¹ng : Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxhxfBxgxfA =+

Ph−¬ng ph¸p gi¶i : XÐt ba tr−êng hîp :

Tr−êng hîp 1: ( ) ( )tmxf 0=

Tr−êng hîp 2: ( ) 0>xf Khi ®ã ph¶i cã ( )( )

≥

≥

0

0

xh

xg

Ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh ( ) ( ) ( )xfxhBxgA =+ (Ph−¬ng tr×nh

c¬ b¶n)

Tr−êng hîp 3: ( ) 0<xf Khi ®ã ph¶i cã ( )( )

≤

≤

0

0

xh

xg



Ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh ( ) ( ) ( )xfxhBxgA −=−+−

(Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n)

bµi tËp ¸p dông: Bµi 5.1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau

)1(221682.1 22 +=−+++ xxxx (§H B¸ch khoa Hµ Néi -2001).

Gi¶i1: 2 21. 2x 8x 6 x 1 2x 2 (1)+ + + − = ++ + + − = ++ + + − = ++ + + − = +

§iÒu kiÖn :

−=

≥⇔

≥+

≥−

≥++

1

1

022

01

0682

2

2

x

x

x

x

xx

NhËn thÊy x=-1 lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ®H cho

Víi 1≥x : Ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi:

116422

1

121)3(2

1

)1(2)1)(1()3)(1(2

1

2=⇔

−=−+

≥⇔

+=−++

≥⇔

+=+−+++

≥⇔

xxxx

x

xxx

x

xxxxx

x

VËy ph−¬ng tr×nh ®H cho cã hai nghiÖm lµ x=1 vµ x=-1


113234.1 22 −≥+−−+− xxxxx (§H KÕ to¸n Hµ Néi -2001)

4523423.2 222 +−≥+−++− xxxxxx (§H Y HCM -2001)

Gi¶i1: 113234.1 22 −≥+−−+− xxxxx

§iÒu kiÖn:

≤

≥

=

⇔

≥−−

≥−−

2

1

3

1

0)12)(1(

0)3)(1(

x

x

x

xx

xx

NhËn thÊy x=1 lµ mét nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh

Víi 3≥x Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ®H cho vµ ®−îc

−≥−−−

≥

1123

3

xxx

x

HÖ nµy v« nghiÖm v× 13 −<− xx



Víi 2

1≤x Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ®H cho vµ ®−îc

2

1

3)1)(3(2

2

1

1213

2

1

≤⇔

−≥−−

≤⇔

−−≥−−−

≤x

xx

x

xxx

x

KÕt luËn: TËp nghiÖm { }

∞−∪2

1;1

Gi¶i2: 4523423.2 222 +−≥+−++− xxxxxx

§iÒu kiÖn:

≤

≥

4

1

x

x

NhËn thÊy x=1 lµ mét nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh

Víi 4≥x Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ®H cho vµ ®−îc bpt

4232 −≥−+− xxx

BPT tho¶ mHn víi 4≥x v×: 432 −>−>− xxx

Víi 1≤x Ta t¸ch c¨n cña bÊt ph−¬ng tr×nh ®H cho vµ ®−îc bpt

xxx −≥−+− 4232

BPT v« nghiÖm v× xxx −<−<− 432

KÕt luËn: TËp nghiÖm { } [ )+∞∪ ;41

Bµi tËp lµm thªm:

Bµi 3: (PP ph©n chia MX§)

2

2

2

2 2

1. 1 1 1;

2. ( 3) (2 1);

3. ( 1)(2 7) 3( 1)( 6) ( 1)(7 1);

4. ( 1) ( 2) 2

5. 2 5 2 2) 3 6;

x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x x

− − + = +

+ − = −

− + + − − = − +

− + + =

+ + − + − = +

2

2 2

2

2 2

6. 1 1;

7. 2 8 6 1 2 2;

8. 4 1 4 1 1

9.( 3) 10 12

x x

x x x x

x x

x x x x

− = +

+ + + − = +

− + − =

+ − = − −

6.Ph−¬ng ph¸p Khai c¨n D¹ng : Gi¶i ph−¬ng tr×nh:



( )( ) ( )( ) ( )xgBAxfAxf .22

=−++

Ph−¬ng ph¸p gi¶i : Khai c¨n vµ lÊy ®Êu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi ta ®−îc ph−¬ng tr×nh

( ) ( ) ( )xgBAxgAxf .=−++

Ph¸ dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi b»ng c¸ch ph©n chia miÒn x¸c ®Þnh ta ®−îc mét tuyÓn hai hÖ

( )( ) ( )

( )( )

=

≤

=

≥

xgBA

Axf

xgBxf

Axf

.2

.2

Gi¶i hai hÖ nµy ta sÏ t×m ®−îc nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh

®H cho.

bµi tËp ¸p dông: Bµi 6.1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau

294444.1 2 +−=−−+−+ xxxxxx

2

52122122

+=++−++++x

xxxx

Gi¶i 1:

294444.1 2 +−=−−+−+ xxxxxx

2492424 2 +−=−−++−⇔ xxxx

NÕu 8≥x pt trë thµnh:

( )( )( )

42

4

2

541

45442

42094224942 22

−+

−−=⇔

+−−=−⇔

++−=−⇔+−=−

x

xx

xxx

xxxxxx

V× 8≥x Nªn

( )3

42

4

2

54≥

−+

−−

x

xx vËy ph−¬ng tr×nh nµy v« nghiÖm

NÕu 84 <≤ x pt trë thµnh:

542494 2 =∨=⇔+−= xxxx VËy pt ®H cho cã nghiÖm lµ x=4 vµ x=5. Gi¶i 2:

2

52122122

+=++−++++x

xxxx



2

51111

+=−++++⇔x

xx

Gi¶i t−¬ng tù ta ®−îc nghiÖm lµ x=-1 vµ x=3.

Bµi 6.2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh sau

21212 =−−−−+ xxxx Gi¶i: Ph−¬ng tr×nh ®H cho t−¬ng ®−¬ng víi:

21111 =−−−+−⇔ xx

( )2

21111

21

21111

2

≥⇔

=

−−+−

<≤

=−−−+−

≥

⇔ x

xx

x

xx

x

TËp nghiÖm: [ )+∞;2

7.Ph−¬ng ph¸p §¹o hµm D¹ng : Bµi to¸n t×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh f(x)=m cã nghiÖm,

Bµi to¸n chøng minh ph−¬ng tr×nh f(x)=A cã nghiÖm duy nhÊt, Bµi to¸n biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh f(x)=m theo tham sè m.

Ph−¬ng ph¸p gi¶i : * T×m tËp x¸c ®Þnh D cña hµm sè y=f(x) * TÝnh ®¹o hµm f’(x) ,lËp b¶ng biÕn thiªn . * Dùa vµo b¶ng biÕn thiªn ®Ó biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh .

bµi tËp ¸p dông: Bµi 7.1:T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm

)45(12 xxmxxx −+−=++ Gi¶i:

Nh©n hai vÕ víi biÓu thøc liªn hîp: xx −−− 45 ta ®−îc:

mxxxxx =−−−++ )45)(12(

XÐt )(xfVT = TX§ [ ]4;0=D

12)( ++= xxxxg ; 0122

1

2

3)( >

++=′

x

xxg

)(xg⇒ ®ång biÕn vµ lu«n d−¬ng trªn D.

xxxh −−−= 45)( ; 0452

45)( >

−−

−−−=′

xx

xxxh

( )xh⇒ ®ång biÕn vµ lu«n d−¬ng trªn D.

Suy ra hµm sè )()()( xhxgxf = còng sÏ lµ hµm sè ®ång biÕn trªn D.

Tõ ®ã ( ) 44512)4()0( ≤≤−⇔≤≤ VTfVTf



VËy ®Ó ph−¬ng tr×nh ®H cho cã nghiÖm th×:

( ) 44512 ≤≤− m

8.Ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ hai vÕ Ph−¬ng ph¸p:

Sö dông bÊt ®¼ng thøc ®Ó chøng minh VPVTVPVT ≤∨≥ vµ t×m ®iÒu kiÖn ®Ó dÊu b»ng x¶y ra



2152.1 2 =−++− xxx

11414.2 2 =−+− xx (§HQG Hµ Néi-2001)

Gi¶i1: )1(2152.1 2 =−++− xxx

§iÒu kiÖn: 101

0522

≥⇔

≥−

≥+−x

x

xx

Ta cã: ( ) xxxx ∀≥+−=+− 4415222

VPxxxVT =≥−++−=⇒ 21522

DÊu b»ng x¶y ra khi x=1. VËy pt ®H cho cã nghiÖm duy nhÊt x=1

Gi¶i 2: 11414.2 2 =−+− xx §iÒu kiÖn:

2

1

2

1

4

1

≥⇔

≥

≥x

x

x

VËy VPxxVT =≥−+−= 11414 2

DÊu b»ng x¶y ra khi 2

1

014

114

2=⇔

=−

=−x

x

x

VËy pt ®H cho cã nghiÖm: 21=x


xxxxxxx 32 +++=++ Gi¶i:

§iÒu kiÖn: 0≥x NhËn thÊy x=0 lµ mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh



Víi x>0

xxxxxxx

xxxx

xxx32

32

+++<++⇒

+<+

+<

DÊu b»ng kh«ng x¶y ra nªn pt v« nghiÖm víi x>0 KÕt luËn:nghiÖm x=0


0321 333 =+++++ xxx Gi¶i: NhËn thÊy x=-2 lµ mét nghiÖm Víi x>-2 th× x+1>-1

0

13

02

11

3

3

3

>⇒

>+

>+

−>+

⇒ VT

x

x

x

DÊu b»ng kh«ng x¶y ra nªn pt v« nghiÖm víi x>-2 T−¬ng tù víi x<-2

0

13

02

11

3

3

3

<⇒

<+

<+

−<+

⇒ VT

x

x

x

DÊu b»ng kh«ng x¶y ra nªn pt v« nghiÖm víi x<-2

KÕt luËn : nghiÖm x=0 Bµi tËp lµm thªm : C¨n bËc ba.

3 3 3

3 3 3

3 3 3

3 3

3 3

1. 1 2 2 3;

2. 5 6 2 11;

3. 1 3 1 1;

4. 1 1 2

5. 2 1 2 1 2;

x x x

x x x

x x x

x x

x x x x

− + − = −

+ + + = +

+ + + = −

+ + − =

+ − + − − =


2

3 2 2

2

2

1. 2 5 1 2;

2. 2 7 11 25 12 6 1;

1 13. 2 2 4 ;

4. 2 1 3 4 1 1;

x x x

x x x x x

x xx x

x x x x

− + + − =

− + − = + −

− + − = − +

− − + + − − =



( )

2 2

3 2 2

5. 1 1 2;

6. 1 2 2 1 2 2 1;

7. 2 2 1 2 1 3;

8. 2 5 3 3 2 6 1;

x x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x

− − + + − =

− + − − − − − =

+ − − − − = +

+ + − = + −

2

69. 2 1 19 2

10 24x x

x x− + − =

− + −

2 2 3 3 4 43 3 4 410. 1 1 1 1 1 1 6;x x x x x x+ + − + + + − + + + − =

4 4 411. 1 1 2 8;x x x x+ − + + − = +

4 24

2 4 4 34

2 44 4

12. 2 3 4;

13. 2 1;

14. 2 2 4;

515. 2 2 1 2 2 1 ;

2

x x x

x x x x

x x x x

xx x x x

− = − +

− = − +

+ + − + − =

++ + + + + − + =

16. 3 4 1 15 8 1 6;

17. 6 9 6 9 6;

18. 5 4 1 2 2 1 1;

19. 2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4;

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x x x

+ + − + + − − =

+ − + − − =

+ − + + + − + =

− − − + − − + + − − =

9.Ph−¬ng ph¸p Tam thøc bËc hai D¹ng : Bµi to¸n biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh f(x)=m theo tham sè m.

Trong ®ã ta ®Æt ®−îc: ( ) ( )0≥= ttxu ;

Bµi to¸n khi ®ã trë thµnh :BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc

hai

02 =++ cbtat B¶y bµi to¸n so s¸nh nghiÖm cña tam thøc bËc hai víi mét sè, hai sè:

21

21

21

,3

,2

,1

xx

xx

xx

<<

<<

<<

α

α

α

βα

βα

βα

βα

βα

<<<

<<<

<<<

<<<

<<<

21

21

21

21

21

,7

,6

,5

,4

xx

xx

xx

xx

xx

Ba bµi to¸n c¬ b¶n cña tam thøc bËc hai:

1, T×m ®iÒu kiÖn ®Ó f(x)>0 víi mäi x thuéc R



2, T×m ®iÒu kiÖn ®Ó f(x)>0 víi mäi x thuéc kho¶ng (α;+∞); 3, T×m ®iÒu kiÖn ®Ó f(x)>0 víi mäi x thuéc kho¶ng (α;β);

bµi tËp ¸p dông: --------------------------------------------------------------------------

Bµi 9.1:T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm

( )( ) 01562 =−−++− xxmxx (C§ SP HCM-2001).

--------------------------------------------------------------------------

Gi¶i: §iÒu kiÖn: 51 ≤≤ x

§Æt ( )( ) ( ) 204341522 ≤≤⇒≤−−=⇒=−− txttxx

Bµi to¸n ®H cho trë thµnh: T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh t2-t+5-m=0

cã nghiÖm [ ]2;0∈t ,nghÜa lµ

<≤<

≤≤≤

≤≤≤

20

20

20

21

21

21

tt

tt

tt

HÖ ®iÒu kiÖn trªn t−¬ng ®−¬ng víi:

( ) ( )

( )( )

<<

>

>

≥∆

≤

22

0

02

00

0

02.0

s

f

f

ff( )( )

74

19

22

10

7

5

4

19

075

≤≤⇔

<<

<

<

≥

≤−−

⇔ m

m

m

m

mm

--------------------------------------------------------------------------

Bµi 9.2:T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm

mxxxx ++−=−+ 99 2 (C§ Y HCM-1997).

--------------------------------------------------------------------------

Gi¶i: §iÒu kiÖn: 90 ≤≤ x

§Æt : ( ) ( )4

81

2

9

4

109

2

2 ≤

−−=⇒≥=− xtttxx

2

90 ≤≤⇒ t

Bµi to¸n ®H cho trë thµnh: T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh t2-2t+m-9=0



cã nghiÖm

∈2

9;0t ,nghÜa lµ

<≤<

≤≤≤

≤≤≤

2

90

2

90

2

90

21

21

21

tt

tt

tt

HÖ ®iÒu kiÖn trªn t−¬ng ®−¬ng

víi:

( )

( )

( )

104

9

109

94

9

04

9

09

010

04

99

22

0

02

9

00

0

02

9.0

'

≤≤−⇔

<<

≤≤−⇔

>+

>−

≥+−

<

+−

⇔

<<

>

>

≥∆ ′

≤

m

m

m

m

m

m

mm

s

f

f

ff

10.HÖ ph−¬ng tr×nh

HÖ ®èi xøng lo¹i 1: Lµ hÖ ph−¬ng tr×nh mµ khi thay ®æi vai trß cña x vµ y th× mçi ph−¬ng tr×nh cña hÖ kh«ng thay ®æi.

C¸ch gi¶i: + §Æt ( )PSPxy

Syx42 ≥

=

=+

+ Gi¶i hÖ víi hai Èn S,P + Thö ®k vµ lÊy x,y lµ hai nghiÖm pt X2-SX+P=0


Bµi 10.1:

Gi¶i hÖ:

=+

+=+

78

17

xyyxyx

xyx

y

y

x

(§H Hµng H¶i 1999).

Gi¶i:HÖ ®H cho t−¬ng ®−¬ng víi: ( )

=+

=−+

>

78

7

0,

xyyx

xyyx

yx



§Æt

>

>

=

+=

0

0;v

u

xyv

yxu

HÖ ®H cho trë thµnh

=

=⇔

=

=−

6

13

78

7

v

u

uv

vu

Gi¶i ra ta ®−îc 2 nghiÖm ( ) ( )4;9;9;4

HÖ ®èi xøng lo¹i 2: - Lµ hÖ ph−¬ng tr×nh mµ khi thay ®æi vai trß cña x vµ y th× hai ph−¬ng tr×nh cña hÖ ®æi chç cho nhau. C¸ch gi¶i: -Trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh ®Ó ®−îc mét ph−¬ng tr×nh cã d¹ng tÝch.

- HÖ ®H cho sÏ t−¬ng ®−¬ng víi tuyÓn hai hÖ ph−¬ng tr×nh. - Gi¶i hai hÖ nµy ®Ó t×m nghiÖm x vµ y.


Bµi 10.2: Cho hÖ:

=−++

=−++

mxy

myx

21

21

1,Gi¶i hÖ khi m=9; 2,T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm (§H SP HCM 2001). Gi¶i:

§iÒu kiÖn: 0;2;1 ≥≥≥ myx B×nh ph−¬ng hai vÕ ta ®−îc hÖ:

( )( )( )( )

=−++−+

=−++−+

mxyyx

myxyx

211

211

Trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc hÖ:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

−+=−+

=⇔

=−++−+

−+=−+

xmxx

yx

mxyyx

xyyx

21212211

2121

1, Víi m=9 ta cã hÖ:

( )( )( )( ) ( )

3

521

5

5212

==⇔

−=−+

=

≤

⇔

−=−+

=yx

xxx

yx

x

xxx

yx

2,T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm :

HÖ ( )( )

++=

+≤=≤

≥

⇔

−+=−+

=

m

mmx

myx

m

xmxx

yx

4

82

2

12

0

212122



§iÒu kiÖn mmmmmm

x 229282

12 22 +≤++≤⇔

+≤≤

( )3

3

03

09

096 2

2

2

≥⇔

≥

≥−⇔

≥−

≥+−⇔ m

m

m

m

mm

KÕt luËn: 3≥m .

11.Ph−¬ng ph¸p ®Æc biÖt 1.Ph−¬ng tr×nh chøa c¨n bËc hai vµ luü thõa bËc hai Bµi to¸n tæng qu¸t:

Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( ) ( )Iedxvuxrbax +++=+ 2 Víi a ≠ 0, u ≠ 0 , r ≠ 0 ;

Ph−¬ng ph¸p gi¶i: §iÒu kiÖn dÓ ph−¬ng tr×nh cã nghÜa: 0≥+ bax

§Æt Èn phô : ( )1)( 2 baxvuybaxvuy +=+⇔+=+

Víi ®iÒu kiÖn 0≥+ vuy

Lóc ®ã (I) trë thµnh : evdxuyvuyr −+−=+ 2)( Gi¶ sö çc ®iÒu kiÖn sau ®−îc tho¶ mHn: u=ar +d vµ v=br+e

Lóc ®ã ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh hÖ

( )( ) ( )

+−+=+

+=+

brxuaruyvuxr

brarxvuyr

2

2

Gi¶i hÖ trªn b»ng çch trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh , ®−îc mét tuyÓn hai hÖ ph−¬ng tr×nh trong ®ã cã mét nghiÖm x=y


--------------------------------------------------------------------------

Bµi 11.1:

Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( )1203232152 2 −+=+ xxx (T¹p chÝ To¸n Häc Tuæi TrÎ – Sè 303)

-------------------------------------------------------------------------- Lêi gi¶i: §iÒu kiÖn 0152 ≥+x

BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh (1) thµnh: ( ) 282421522 −+=+ xx

§Æt Èn phô : ( )024152)24(15224 2 ≥++=+⇔+=+ yxyxy .

Ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh : 152)24( 2 +=+ yx

VËy ta cã hÖ:

+=+

+=+

152)24(

152)24(

2

2

xy

yx HÖ nµy lµ hÖ ®èi xøng lo¹i hai

Gi¶i hÖ trªn b»ng çch trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh ,

Ta ®−îc 2 nghiÖm lµ 16

2219

2

121

−−=∧= xx

2.Ph−¬ng tr×nh chøa c¨n bËc ba vµ luü thõa bËc ba



Bµi to¸n tæng qu¸t:

Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( ) ( )IIedxvuxrbax +++=+ 33 Víi a ≠ 0, u ≠ 0 ,

r ≠ 0 ; Ph−¬ng ph¸p gi¶i:

§Æt Èn phô : ( )1)( 33 baxvuybaxvuy +=+⇔+=+

Lóc ®ã (II) trë thµnh : evdxuyvuxr −+−=+ 3)( Gi¶ sö çc ®iÒu kiÖn sau ®−îc tho¶ mHn: u=ar +d vµ v=br+e Lóc ®ã ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh hÖ

( )( ) ( )

+−+=+

+=+

brxuaruyvuxr

brarxvuyr

3

3

Gi¶i hÖ trªn b»ng çch trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh , ®−îc mét tuyÓn hai hÖ ph−¬ng tr×nh trong ®ã cã mét nghiÖm x=y.

bµi tËp ¸p dông: Bµi 11.2:

Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( )2255336853 233 −+−=− xxxx (T¹p chÝ To¸n Häc Tuæi TrÎ – Sè 303) --------------------------------------------------------------------------

Lêi gi¶i: ( ) ( ) ( )223253233 +−−=−⇔ xxxPT

§Æt Èn phô : ( ) 5332533233 −=−⇔−=− xyxy

Lóc ®ã (2) trë thµnh ( ) 52323 −+=− xyx

Lóc ®ã ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh hÖ

( )( )

−=−

−+=−

5332

5232

3

3

xy

xyx

Gi¶i hÖ trªn b»ng çch trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh ,

Ta ®−îc 3 nghiÖm: 4

35;

4

35;2 321

−=

+== xxx


3 31. 1 2 2 1;x x+ = −

( )3 33 32. 35 35 30;x x x x− + − =

3 3

2

2

2 2

3. 3 3 2 2;

4. 1 1;

5. 5 5;

6. 5 (5 ) ;

7. 3 3 ;

x x

x x

x x

x x

x x

− + =

+ + =

+ + =

= − −

+ + =



2 28. ( ) ;x a b a bx= − −

3.Sö dông tÝnh chÊt vÐc t¬:

babaϖϖϖϖ

+≤+

DÊu b»ng x¶y ra khi hai vÐc t¬ aϖ

vµ bϖ

cïng h−íng , t−¬ng ®−¬ng víi:

( )0>= kbkaϖϖ

; D¹ng :Gi¶i ph−¬ng tr×nh

( ) ( ) ( ) ( )222222 BAxhBxgAxf ++=+++

Víi ( ) ( ) ( )

=+

=+

CBA

xhxgxf

DÆt : ( )( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )BAxhBAxgxfbaBxgb

Axfa+=++=+⇒

=

=;;

;

; ϖϖϖϖ

;

Ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh babaϖϖϖϖ

+=+ DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi

hai vÐc t¬ aϖ

vµ bϖ

cïng h−íng , t−¬ng ®−¬ng víi: ( )0>= kbkaϖϖ

;


--------------------------------------------------------------------------

Bµi 11.3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:

2003267108168 22 =++++− xxxx (TuyÓn tËp ®Ò thi Olimpic 30-4 -2003 )

-------------------------------------------------------------------------- Gi¶i:

§Æt ( )( ) ( )231;9

211;5

220;4=+⇒

+=

−=ba

xb

xa ϖϖϖ

ϖ

VËy ta cã:

2003

;26710;8168 22

=+

++=+−=

ba

xxbxxaϖϖ

ϖϖ

Ph−¬ng tr×nh ®H cho trë thµnh babaϖϖϖϖ

+=+

DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi hai vÐc t¬ aϖ

vµ bϖ

cïng h−íng , t−¬ng

®−¬ng víi: ( )0>= kbkaϖϖ

; Gi¶i ra ®−îc 31

56−=x

----------------------------------------------------

aρ b

ϖ

baϖϖ

+



3.Sö dông phÐp ®Æt l−îng gi¸c:

D¹ng 1: Bµi to¸n cã chøa 21 x− .

Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §iÒu kiÖn 1≤x .Dùa vµo ®iÒu kiÖn nµy ta ®Æt x=sint

víi

ΠΠ−∈

2;

2t ; hoÆc x=cost víi [ ]Π∈ ;0t ; vµ gi¶i ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c.

D¹ng 2: Bµi to¸n cã chøa 12 −x .

Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §iÒu kiÖn 1≥x .Dùa vµo ®iÒu kiÖn nµy ta ®Æt txsin

1=

víi

ΠΠ−∈

2;

2t ; hoÆc t

xcos

1= víi [ ]Π∈ ;0t ; vµ gi¶i ph−¬ng tr×nh l−îng

gi¸c.

bµi tËp ¸p dông: --------------------------------------------------------------------------

Bµi 11.4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: :

xxx 341 22 −=− ; (TuyÓn tËp ®Ò thi Olimpic 30-4 -2003 )

--------------------------------------------------------------------------

Gi¶i: §iÒu kiÖn 1≤x .Dùa vµo ®iÒu kiÖn nµy ta ®Æt x=cost víi [ ]Π∈ ;0t ; vµ gi¶i

ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c:

( )

Π+

Π−=

Π+

Π=

⇔

−Π

=⇔

>=⇔=−

24

28

2cos3cos

0sinsin3cossincos3cos4 23

kt

kt

tt

tttttt

Do [ ]Π∈ ;0t nªn ta chän:

+−=

+=

−=

⇔

Π=

Π=

Π=

4

22

4

22

2

2

8

5

8

4

3

x

x

x

t

t

t

--------------------------------------------------------------------------

Bµi 11.5: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: :

12

35

1 2>

−+

x

xx ;

(TuyÓn tËp ®Ò thi Olimpic 30-4 -2003 )



--------------------------------------------------------------------------

Gi¶i : §iÒu kiÖn 1>x .V× vÕ tr¸i lu«n d−¬ng nªn yªu cÇu x > 0 , do ®ã x>1

Dùa vµo ®iÒu kiÖn nµy ta ®Æt :

txcos

1= víi

Π∈

2;0t ; vµ gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c

( )

( )( )

( )

<<

>⇔

<<

<<⇔

<<

<<⇔

<−<⇔<<⇔<<⇔

=<−−⇔

>+⇔

>+⇔>+

4

51

3

5

1cos5

4

5

3cos0

1cos25

16

25

9cos0

625

144cos1cos0

25

12cossin0

25

120

cossin0144144.21225

cossin1225cossin21144

cossin35cossin1212

35

sin

1

cos

1

2

2

22

2

22

x

x

t

t

t

t

tttty

ttyyy

tttt

tttttt

---------------------------------------------------------------------------

luyenthidh pt-bpt-voti

Internet