Acta Didactica Universitatis Comenianae Mathematics, Issue 8, 2008

LA THÉORIE DES CHAMPS CONCEPTUELS: L'EXEMPLE DE LA CONSTRUCTION D'UNE SIMULATION GÉOMÉTRIQUE

D'UNE MACHINE À DESSINER

LILLA KREMŽÁROVÁ

Abstract. The conceptual field theory provides a framework for research on complex cog-nitive activities, mainly on learning mathematics, sciences and technology. In this article we describe the conceptual field theory and for the illustration we propose the example of the construction of the simulation of drawing machine in Cabri. Résumé. La théorie des champs conceptuels fourni un cadre aux recherches sur les activités cognitives complexes, principalement sur les apprentissages mathématiques, scientifiques et techniques. Dans cet article nous mobilisons la théorie des champs conceptuels de Gérard Vergnaud. À titre d’illustration, nous prenons le cas d’une situation qui démarre par la construction d'une simulation géométrique du système mécanique dans l'environnement Cabri-géomètre. Zusammenfassung. In diesem Artikel analisieren wir der Experiment, wobei die Studenten die geometrische Simulation des Pantografs in Form einer dynamischen Bildes in Cabri kon-struieren. Als teoretischer Hintergrund dient dabei die Teorie des Konzeptfeldes von Gérard Vernaud. Riassunto. La teoria di campo di concettuale offre un framework per una ricerca sulle complesse attività conoscitive, principalmente sull’apprendimento delle matematiche, della scienza e della tecnica. In questo articolo esponiamo la teoria dei campi concettuali e per la descrizione proponiamo l'esempio della costruzione della simulazione del disegno in Cabri. Abstrakt. Teória pojmových polí je teoretickým východiskom výskumov, ktoré sa zame-riavajú predovšetkým na osvojovanie poznatkov v oblasti matematiky, vedy a techniky. Teoretickým východiskom nášho výskumu je Teória pojmových polí od G. Vergnaud. V tomto článku analyzujeme experiment, v ktorom žiaci zostrojujú geometrickú simuláciu pantografu v tvare dynamického obrázku v Cabri. Článok sa snaží prispieť k použitiu schém pri dynamickej konštrukcii v prostredí Cabri geometrie.

Key words: Drawing machine, Scheme, Geometric Simulation, Conceptuel field theory

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1 INTRODUCTION Les recherches en didactique des mathématiques sont structurées par les

trois principaux cadres théoriques:

La théorie des situations (Guy Brousseau)

La théorie des situations se base sur le fait que certaines situations d’en-seignement peuvent favoriser l’acquisition de nouvelles connaissances si l’on fait un choix judicieux du contexte de l’apprentissage (travail en groupes, débats, etc.), de ses supports (énoncés des activités, moyens matériels, etc.) et du contrat didactique adopté.

La théorie des champs conceptuels (Gérard Vergnaud)

La théorie des champs conceptuels s’intéresse aux pré-requis nécessaires aux nouveaux apprentissages, à la façon dont les connaissances doivent se suc-céder en harmonie avec la maturité cognitive de l’apprenant et aux conceptions des élèves et des spécialistes en situation d’activité mathématique.

La théorie de la transposition didactique (Yves Chevallard)

Cette théorie met en évidence les transformations des savoirs savants en savoirs à enseigner puis en savoirs enseignés.

L'inscription théorique de notre recherche est faite dans le cadre de la théo-rie des champs conceptuels de Gérard Vergnaud.

2 CADRE THÉORIQUE L'objet de la théorie des champs conceptuels est de fournir un cadre aux re-

cherches sur les activités cognitives complexes. La théorie des champs conceptu-els repose sur un principe d'élaboration pragmatique des connaissances. La clef est de considérer l'action du sujet en situation, et l'organisation de sa conduite.

On peut distinguer deux classes de situations: • des classes de situations pour lesquelles le sujet dispose dans son répertoire

des compétences nécessaires au traitement relativement immédiat de la si-tuation;

• des classes de situations pour lesquelles le sujet ne dispose pas de toutes les compétences nécessaires, ce qui l'oblige à un temps de réflexion et d'explora-tion, à des hésitations, à des tentatives avortées, et le conduit éventuellement à la réussite, éventuellement à l'échec.

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Le concept de schème est important pour tout les deux classes de situations. C'est une organisation invariante de la conduite pour une classe de situations données. Le fonctionnement cognitif d'un sujet en situation repose sur le réper-toire des schèmes disponibles.

Un schème comporte: • des invariants opératoires qui pilotent la reconnaissance par le sujet des

éléments pertinents de la situation, et la prise d'information sur la situation à traiter; Il existe de trois types d'invariants opératoires: − des invariants de type „propositions“: ils sont susceptibles d'être vrais

ou faux, les théorèmes-en-acte sont des invariants de ce type. − des invariants de type „fonction propositionnelle“: ils ne sont pas sus-

ceptibles d'être vrais ou faux, mais ils constituent des briques indispe-nsables à la construction des propositions, les concepts-en-acte ou les catégories-en-acte sont des invariants de ce type.

− des invariants de type „argument“, en mathématiques les arguments peuvent être des objets matériels, des personnages, des relations, des nombres, et des propositions.

• des règles d'actions de type si... alors... qui permettent de générer la suite des actions du sujet;

• des anticipations du but à atteindre; • des inférences qui permettent de „calculer“ les règles et les anticipations

à partir des informations et du système d'invariants opératoires dont dispose le sujet. Une approche psychologique et didactique considère un concept comme un

ensemble d'invariants utilisables dans l'action. Un concept est un triplet de trois ensembles: C = (S, I, φ)

S: l'ensemble des situations qui donnent du sens au concept (la référence) I: l'ensemble des invariants sur lesquels repose l'opérationalité des schèmes

(le signifié) φ: l'ensemble des formes langagières et non langagières qui permettent de re-

présenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le signifiant). On considère un champ conceptuel comme un ensemble de situations. Le

concept de situation a ici plutôt le sens de tâche, c'est-à-dire toute situation com-plexe peut être analysée comme une combinaison de tâches dont il est important de connaître la nature et la difficulté propres.

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Les processus cognitifs et les réponses du sujet sont fonction des situations auxquelles ils sont confrontés:

Il existe une grande variété de situations dans un champ conceptuel donné, et les variables de situation sont un moyen de générer de manière systématique l'ensemble des classes possibles.

Les connaissances des élèves sont façonnées par les situations qu'ils ont rencontrées et maîtrisées progressivement.

Les schèmes organisent la conduite du sujet pour une classe de situations donnée, mais ils organisent à la fois son action et l'activité de représentation symbolique, notamment langagière, qui accompagne cette action. D'une manière générale, le traitement d'une situation nouvelle s'accompagne d'une activité langa-gière et symbolique.

Dans la théorie des champs conceptuels, la fonction du langage et des autres signifiants est triple: • aide à la désignation et donc à l'identification des invariants; • aide au raisonnement et à l'inférence; • aide à l'anticipation des effets et des buts et au contrôle de l'action.

L'activité langagière favorise l'accomplissement de la tâche et la résolution du problème rencontré.

3 CONSIDÉRATIONS SUR L'EXPÉRIMENTATION On a choisi de placer les élèves dans une situation qui démarre par la con-

struction d’une simulation géométrique dans Cabri-géomètre de systèmes articu-lés. On présente le problème en classe à quatre binômes de seconde du lycée Pablo Neruda à Grenoble. Les élèves sont capables de bien utiliser Cabri-géomètre. Ils sont avertis que leur activité va être observée, que leurs dialogues vont être enregistrés, que mon but est d’observer la simulation dans Cabri-géomètre de systèmes articulés conçus et utilisés au XVIII et XIXèmes siècles pour le dessin.

Compte tenu du grand nombre de difficultés apparues lors de l’expérimen-tation de la version a) avec le premier binôme, cette version a) a été modifié.

Les versions différentes sont les suivantes: version a) on demande de résoudre le premier exercice sans aucune consigne

complémentaire version b) on donne une consigne pour faciliter la résolution du premier exercice

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On présente: la version a) à un premier binôme des élèves la version b) à trois autres binômes suivants des élèves

A chacun des binômes, je distribue une feuille avec les énoncés de deux exercices suivants:

VERSION A)

Exercice 1

Voici une machine à dessiner conçue et utilisée, il y a un ou deux siècles. Dans cette machine, si on bouge l’extrémité de la barre en E, les autres arti-

culations bougent aussi. La machine était utilisée pour dessiner la trajectoire décrite par D quand on déplace E sur une trajectoire donnée.

Faire un modèle de cette machine dans Cabri-géomètre qui reproduit le fonctionnement de la machine.

Les longueurs des barres de la machine à dessiner sont les suivantes: AB = 20 cm AD = 14 cm

Figure 1. La machine à dessiner

VERSION B)

Ajout de la consigne: Les points E et F seront les points de départ de la construction de la ma-

chine dans Cabri. Les élèves travaillent par binôme, j’assure personnellement l’observation

de chaque binôme. Au début de notre séance, je montre aux élèves la machine à dessiner. De cette façon ils peuvent tout de suite regarder le fonctionnement de la machine. Les élèves ont à leur disposition un ordinateur avec Cabri-géomètre, la machine à dessiner (le symétriseur), une règle, un compas, un crayon. Je leur donne pour consigne de ne rien effacer et tout enregistrer dans Cabri.

E

F B

D

A

C

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4 ANALYSE A PRIORI On considère la situation présentée aux élèves comme une classe de situa-

tions pour lesquelles le sujet dispose dans son répertoire des compétences né-cessaires au traitement relativement immédiat de la situation, mais il faut noter que la situation expérimentale ne correspond pas à une situation usuelle et qu’elle présente un caractère de nouveauté pour les élèves ce qui oblige ces derniers à un temps de réflexion et d'exploration, à des hésitations, à des tentatives avortées.

On pense que les conduites des élèves dans cette situation ouverte sont structurées par des schèmes. Ceux-ci sont empruntés au vaste répertoire des schèmes disponibles, et notamment à ceux qui sont associés aux classes de si-tuations qui paraissent avoir une parenté avec la situation actuellement traitée.

On s'attend à ce que le premier schème mobilisé est celui de la construction d'une simulation géométrique de la machine à dessiner dans Cabri-géomètre à partir du dessin fourni dans l'énoncé comme s'il s'était agi de reproduire dans Cabri d'un dessin donné. Ce choix des éléments de départ de la simulation serait privilégié par des élèves parce qu’après la tâche serait plus proche d’une tâche usuelle. On pense que la machine à dessiner sera prise en compte comme un élément de départ par les élèves après avoir effectué une première validation par déplacement dans Cabri. A ce moment là, quand le déplacement invalidera leur simulation dans Cabri (parce que le dessin fourni dans l’énoncé ne donne au-cune indication sur le fonctionnement de la machine) en comparant perceptive-ment cette dernière avec la machine, les élèves vont avoir recours à la machine à dessiner. Alors le deuxième schème mobilisé est celui de la construction d'une simulation de la machine à dessiner dans Cabri-géomètre à partir de la machine réelle.

Un schème est, comme nous l'avons vu, une totalité organisée, qui permet de générer une classe de conduites différentes en fonction des caractéristiques particulières de chacune des situations données. Le schème comporte des inva-riants opératoires qui pilotent la reconnaissance par le sujet des éléments perti-nents de la situation, tels que les articulations de la machine, les barres de la machine et des relations entre ces éléments. Un schème est encore composé de règles d'actions et d'anticipations puisqu'il génère une suite d'actions du sujet en vue d'atteindre un certain but, notamment la reproduction du fonctionnement dynamique de la machine. On prévoit que le déplacement devient d’utilisation fréquente par les élèves pour valider ou invalider chaque simulation de la machine sous la forme “Dessins dans Cabri” en comparant ce dernier avec la machine.

Les processus cognitifs et les réponses du sujet sont fonction des situations auxquelles ils sont confrontés. Nous avons choisi deux situations différentes, un énoncé sans indication de points de départ et l’autre avec l’indication que les points E et F sont les points de départ de la construction de la machine dans Cabri.

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La formulation de l’énoncé, en particulier le fait d’ajouter la consigne ou non, est une variable de situation. Le choix des deux versions différentes per-mettent de confronter les différentes stratégies de résolution des élèves.

L’ordre des lettres utilisées pour nommer les points sur le dessin de la ma-chine à dessiner est une autre variable de situation. L’ordre que nous avons choisi ne respecte pas l’ordre chronologique de construction correcte. Ceci est en rupture avec les règles de contrat didactique selon lesquelles, dans la plupart des exer-cices, la construction commence par le point désigné par la lettre A.

4.1 STRATEGIES ATTENDUES On pense que les élèves qui n’ont pas de consigne concernant les points de

départ, commenceront leur construction par les points A et B. La prégnance de l’appréhension perceptive du parallélogramme ABCD jouera un rôle important dans le choix de la stratégie mettant en jeu l’activité perceptive. Dans une telle construction, le point E peut être construit soit sur une demi-droite [CB) soit sur un cercle de centre B, de rayon BE.

La simulation construite ne reproduit pas dans ce cas le fonctionnement de la machine. Le point E n’est pas libre comme dans la machine à dessiner. Le déplacement conduira probablement les élèves à disqualifier ces procédés en comparaison avec le fonctionnement de la machine et à modifier leur stratégie en conséquence.

Une autre stratégie peut apparaître de la part des élèves. Après avoir mis le point E, ils construisent, soit le point B, soit le point C. Le point F est construit à partir du point B.

Cette simulation ne reproduit pas le fonctionnement de la machine à des-siner. Par exemple, par le déplacement du point E, la distance des points E et F ne change pas.

Les élèves qui ont à leur disposition la consigne concernant les points de départ commenceront leur construction par les points E et F. Une question con-cernant le point F peut apparaître de la part des élèves: où le mettre puisqu’il est fixe dans la machine ?

Dans la suite, ils peuvent construire le point A sur un cercle de centre F et ensuite le point B. Ils finissent leur simulation par la construction du parallélo-gramme.

Une telle stratégie est disqualifiée par le déplacement en comparant cette simulation avec la machine en action. Dans une telle simulation, les barres, par exemple EB, par le déplacement changent de longueur.

Le dessin fourni dans l'énoncé peut conduire les élèves à la stratégie utilisant une transformation géométrique. Ils commencent par les points de départ indiqués dans la consigne et ensuite ils construisent le point D comme symétrique de E

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par rapport à F. Leur construction est disqualifiée par le déplacement si, dans la suite, le point B est construit à partir du point A. Dans cette simulation, c’est la barre EB qui par le déplacement change de longueur.

Cette analyse a priori nous amène ainsi à deux catégories de réponses correctes en classe de Seconde:

a) Construction de la transformation géométrique

Les points E et F sont libres dans Cabri-géomètre, on peut donc les placer n’importe où.

On obtient le point D comme symétrique du point E par rapport au point F. Le point B est construit comme le point d’intersection de deux cercles, de centre E et de rayon AD et de centre F et de rayon 1/2 AB. On trace une droite parallèle au segment [BE] passant par D et on trouve le point d’intersection A de la demi-droite [BF) et de cette droite. On obtient le point C comme le point d’intersection de la demi-droite [EB) et la droite parallèle au segment [AB] passant par D.

b) Construction d’un parallélogramme ABCD

On peut faire un modèle de la machine à dessiner dans Cabri à partir du parallélogramme ABCD, il suffit de bien construire le point B dépendant des points de départ, E et F. On obtient le point B de la même façon que dans la construction précédente. Après avoir construit le point B du parallélogramme, on peut trouver les autres points:

On obtient le point A comme le point d’intersection du cercle de centre F et de rayon FB et de la demi-droite [BF). On peut construire le point C comme l’intersection de la demi-droite [EB) et du cercle de centre B et de rayon BE. On trace une droite parallèle au segment [BC] passant par le point A et une autre droite parallèle au segment [AB] passant par le point C et on trouve le point d’intersection D.

5 ANALYSE A POSTERIORI L'observation des élèves en situation de résolution de problème et l'analyse

des protocoles montrent que les conduites des élèves en situation présentée sont structurées par des schèmes. L'analyse a mis en évidence le problème du choix des éléments de départ de la simulation géométrique. Parmi les trois cas (la ma-chine à dessiner, le dessin fourni dans l’énoncé, et l’ensemble dessin machine), c’est le dessin fourni qui est privilégié par les élèves.

Le premier schème est donc celui de la construction d'une simulation géo-métrique de la machine à dessiner dans Cabri-géomètre à partir du dessin fourni

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dans l'énoncé comme s'il s'était agi de reproduire dans Cabri d'un dessin donné. Les élèves se sont placés d’abord dans le contrat usuel de la géométrie en cher-chant à reproduire un dessin papier crayon par un dessin Cabri et ont donc échappé à la tâche. Le dessin, en tant que signifiant d’un objet géométrique, rend compte de propriétés de cet objet mais ne le fait que partiellement. Ainsi, le dessin ne rend pas compte du domaine de variation des éléments de l’objet géométrique.

La nécessité de modéliser une machine dynamique a conduit les élèves dans un second temps, celui de la validation de leur simulation, à prendre en compte la machine réelle. Alors le deuxième schème observé est celui de la construction d'une simulation de la machine à dessiner dans Cabri-géomètre à partir de la machine réelle.

Comme nous l'avons vu, dans la théorie des champs conceptuels, une des fonctions des signifiants est qu'ils aident à la désignation et donc à l'identification des invariants. Le dessin fourni dans l'énoncé aide aux élèves à l'identification des invariants ainsi qu'à leur traduction en termes d'objets géométriques (les barres de la machine correspondent aux segments dans Cabri et les articulations aux points). Le problème se pose au niveau de la traduction des relations dégagées entre des articulations et des barres de la machine.

Plusieurs schèmes avaient été évoquées avant q'une solution émerge. Il est à souligner que la plupart d'entre eux mettent en jeu une activité perceptive, une stratégie combinatoire des items existant dans les menus du logiciel et dans une moindre mesure l’usage de connaissances de géométrie.

6 CONCLUSIONS La théorie des champs conceptuels, utilisée en didactique des Mathéma-

tiques, définit le champ conceptuel „comme un ensemble de situations dont le traitement implique des schèmes et des concepts articulés entre eux“. La notion de schème définie par Vergnaud dans le cadre de la théorie des champs concep-tuels est centrale dans nos analyses. Nous avons choisi d'étudier l'action du sujet en situation qui démarre par la construction d'une simulation géométrique de la machine à dessiner dans l'environnement Cabri-géomètre, et l'organisation de sa conduite par des schèmes. Nous avons tenté de saisir la dynamique du fonction-nement cognitif des étudiants en inférant leur raisonnements et en repérant les invariants opératoires utilisés.

Les résultats obtenus montrent que les connaissances géométriques des élè-ves sont peu voire très peu disponibles en tant qu’outil de résolution de problèmes qui ne se présentent pas sous la forme classique d’énoncés géométriques. Notre expérimentation montre que dès que la tâche devient inhabituelle et favorise le re-cours à la perception, les élèves retournent à un contrat laissant une plus grande place à l’usage d’informations spatio-graphiques au dépend de justifications pure-ment déductives.

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LILLA KREMZAROVA, Department of Mathematics, Faculty of Materials Science and Technology, Slovak University of Technology in Bratislava, Paulínska 16, 917 24 Trnava, Slovakia E-mail: lilla.kremzarova@stuba.sk