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Rsum cours LTB MIME13-LP101 2008-2009

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Chapitre II Mouvement dun point matriel. Cinmatique.

1-Dfinitions

1.1 Systme

On a vu la nature discontinue de la matire lchelle microscopique. Les diffrentes composantes lmentaires de la matire interagissent entre elles. Cependant, dans un grand nombre de problmes, il nest pas

ncessaire de prendre en compte cet aspect discontinu. On peut adopter une description macroscopique o, tout en ignorant la structure microscopique de la matire, on isole par la pense une partie du monde matriel qui devient un objet. Ex : une balle qui tombe, une plante en

mouvement autour du Soleil etc. Le systme physique est un objet ou un assemblage dobjets bien dfini dont on tudie les proprits statiques ou dynamiques, avec ou sans change avec le reste du monde matriel quon

appellera le monde extrieur . Systme ferm : systme sans change de matire avec lextrieur ! masse constante (une cellule vivante qui change des ions avec lextrieur par osmose est

un systme ouvert) Systme isol : systme sans change du tout (ni matire, ni nergie) ! masse constante et nergie constante.

Remarque : Dans ce cours, on se limitera aux systmes mcaniques. On peut dfinir un systme en thermodynamique, quand on tient compte des

changes de chaleurs possibles. On dfinira alors lnergie interne dun systme, qui est constante si le systme est isol. 1.2 Cinmatique et Dynamique

Ce chapitre est une partie de la Mcanique : tude du mouvement et de lquilibre des corps en relation avec les actions exerces sur eux par le monde extrieur . Cette tude se dcoupe en

deux : cinmatique et dynamique. La Cinmatique vise dcrire les mouvements (trajectoire dun mobile, quation horaire, vitesse, acclration etc.) sans se proccuper des causes qui les provoquent. Elle repose cependant sur les notions physiques

de lespace et du temps.


2

La Dynamique sintresse aux forces qui provoquent les mouvements. La

masse du systme en mouvement intervient alors dans ltude de son mouvement. 1.3 Solide et point matriel

Un solide est un objet considr comme indformable dans le problme tudi. Cest--dire que la distance entre deux points quelconques est fixe (constante). Cest en fait une idalisation.

Exemple : une balle de tennis est moins rigide quune boule de ptanque ou une toupie en bois, mais cest un solide si on tudie son mouvement de translation et sa rotation et pas sa dformation. Pour reprer un solide, il faut spcifier la position de son centre

dinertie (ou centre de masse, ou barycentre) et son orientation par rapport un repre fixe du laboratoire. Cela se fait par les 3 coordonnes du centre de masse et 3 angles qui caractrisent trois

rotations faisant passer trois axes fixes lis au solide aux trois axes fixes). Il peut se dplacer par rapport ce repre et tourner sur lui-mme (rotation).

Si lon ne sintresse pas au mouvement de rotation de lobjet mais seulement au dplacement de son centre dinertie, on peut alors ngliger ses dimensions et lassimiler un point matriel affect de sa masse

totale. Cest une idalisation. On peut dire que le point matriel est un objet matriel (possdant une masse) dont on peut ngliger les dimensions dans le problme tudi et qui ne tourne pas sur lui-mme.

Exemple : - une bille qui roule nest pas reprsente par un point matriel - Un satellite tournant autour de la Terre peut tre dcrit par un

point matriel si on na pas besoin de spcifier son orientation (symtrie sphrique ou isotropie) mais seulement sa position.

La position dun point matriel est donne par 3 paramtres : les 3 coordonnes de position du point dans lespace. On dit quil possde 3 degrs de libert de mouvement.

En revanche, le solide possde 6 degrs de libert (3 de translation, 3 de rotation). Dans ce qui suit, on sintressera surtout au mouvement dun point matriel, on dit aussi celui dun mobile considr comme un point.


3

1.4 Espace et temps dun observateur

Espace

Lespace physique correspond un espace euclidien 3 dimensions. Cest lespace gomtrique habituel (Par un point extrieur une droite, il ne passe quune droite parallle celle-ci) o lon peut reprer la position

dun point par ses 3 coordonnes. En fait, dans la thorie de la Relativit Gnrale dEinstein, il existe un cart entre la gomtrie de lespace-temps et la gomtrie euclidienne, mais cet cart est trs faible la

surface de la Terre. On na ici quune excellente approximation. Pour la Mcanique Classique (objets de vitesses faibles devant celle de la lumire) on pourra rapporter lespace physique lespace euclidien. Les longueurs seront mesures en mtre dans les units S.I.

Temps

Lcoulement du temps est une notion intuitive. En effet,

intuitivement on sait tablir une chronologie pour la succession des vnements. Le temps sert dater les vnements. Un instrument qui permet de dater est une horloge (ou chronomtre). Origine du temps : un vnement choisi comme rfrence.

Le temps ne peut quaugmenter donc il ne peut varier que dans le sens positif mais il peut prendre des valeurs ngatives (on dit moins 5 minutes par rapport une heure prise comme origine par exemple)

A priori, nimporte quel phnomne volutif peut-tre utilis pour mesurer le temps : un sablier, une clepsydre, la position apparente du soleil par rapport la Terre (cadran solaire) mais on peut admettre une

exigence supplmentaire cause de lcoulement uniforme du temps. Pour dfinir lunit du temps, on choisira un phnomne rgi par une loi physique invariante dans le temps (invariante par translation dans le temps). Les phnomnes priodiques permettent de vrifier si lon a des

intervalles gaux et de dfinir une chronologie. Par exemple, le jour solaire, qui est lintervalle de temps sparant deux passages successifs dun point de la Terre devant le Soleil, moyenn sur

un an a servi dfinir la seconde jusquen 1960 : 1 seconde =1/86400 jour solaire moyen .

En fait le mouvement de rotation de la Terre sur elle-mme se ralentit cause du frottement de la mare. Le jour, donc lunit de temps, se

dilate, ce qui entrane une acclration apparente des astres. On est


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amen changer la dfinition de la seconde laide dune horloge

atomique cesium (9 192 631 770 priodes du rayonnement correspondant une transition entre 2 niveaux hyperfins de 133Cs dans son tat fondamental).

2- Rfrentiel. Relativit du mouvement.

Parler du mouvement, cest ncessairement parler de dplacement

relatif par rapport quelque chose qui sert de rfrence fixe. On peut tre immobile dans un train qui avance sur la Terre. Les physiciens dcriront toujours le mouvement dun mobile par rapport un observateur li de manire fixe un solide indformable (R)

appel rfrentiel . En fait cest tout lespace fixe par rapport lobservateur. Deux observateurs dans deux rfrentiels diffrents voient diffremment le mme mouvement.

Par exemple, on parle du rfrentiel du laboratoire = les murs du laboratoire o se trouve lobservateur immobile Autre exemple : un observateur 1 immobile sur le trottoir, un observateur 2 bicyclette sur la route, un observateur 3 dans un train qui passe sur

une voie ferre paralllement la route. Pour lobs. 3, le cycliste recule alors quil avance pour lobs. 1. Pour lobs. 1, un point de la roue dcrit une courbe cyclode.

En Mcanique Classique, le temps est absolu : il est le mme quel que soit le rfrentiel. Deux observateurs dans des rfrentiels diffrents

attribuent les mmes dates aux mmes vnements. Ceci nest vrai que pour des vitesses relativement faibles devant celle de la lumire. Pour des vitesses plus grandes, la Relativit restreinte montre quon doit dfinir un temps pour chaque rfrentiel.

3- Description du mouvement dun point matriel

3.1 Vecteurs position, vitesse et acclration

Vecteur position On se place donc dans un rfrentiel (R) donn. Pour dfinir la position dun point matriel plac en un point gomtrique M, on doit

choisir un point O fixe dans le rfrentiel (R) par rapport auquel on


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pourra la dfinir. La position du point M est alors dfinie par le vecteur

li (bipoint) OM! "!!!

= r

" appel vecteur position . Le choix du point fixe

O est arbitraire. Si on choisissait un autre point O fixe pour reprer M,

on aurait : r '!"=O 'M

! "!!!!=O 'O

! "!!!+OM

! "!!!. Le vecteur O 'O

! "!!! est un vecteur fixe dans

(R). Quand le point matriel se dplace, le point M se dplace et le vecteur

OM

! "!!!(t) = r

"(t) varie en fonction du temps. La courbe (C) dcrite par le point

M est la trajectoire du point matriel.

s = M

0M! abscisse curviligne

mesure algbrique s = s(t) : quation horaire

Attention, la trajectoire est une courbe dfinie indpendamment du temps. Si on a choisi un tridre orthonorm (Oxyz) et si on connat les lois horaires x(t), y(t), z(t) , on a 3 quations paramtriques de (C) et il

est possible dliminer la variable temps (t) et obtenir une quation de la forme F(x,y,z)=0. Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse est la drive par rapport au temps du vecteur

OM

! "!!!(t) = r

"(t) :

v!=dOM" !"""

dt=

!#r

Soit M position du point linstant t et M linstant infiniment voisin t ' = t + !t ! , !t = t '" t

v!= lim

!t"0

MM '" !""""

!t= lim

!t"0

OM '" !"""

#OM" !"""

!t=dOM" !"""

dt=dr!

dt

Attention :

Quand M est infiniment voisin de M, on a MM '! "!!!!

! MM '# La vitesse est tangente la trajectoire au point M.

le vecteur dOM! "!!!

est un vecteur dorientation quelconque, pas forcment //

OM

! "!!!.

M0 M M'

(C)

O


6

Vecteur acclration

Dans un mouvement quelconque, la vitesse peut varier au cours du temps. Elle change en tout point de la trajectoire en grandeur et en direction.

Le vecteur acclration est dfini comme la drive du vecteur vitesse par rapport au temps :

a!=dv!

dt=d2OM" !"""

dt2

=d2r!

dt2=

!##r

a!= lim

!t"0

v!(t ') # v

!(t)

!t= lim

!t"0

!v!(t)

!t=dv!

dt

Ces dfinitions sont donnes par rapport un rfrentiel donn.

Remarques :

- Si on avait choisi un point O fixe dans (R), diffrent de O, on aurait :

Vecteur position r '!"=O 'M

! "!!!!=O 'O

! "!!!+OM

! "!!!, O 'O

! "!!!fixe dans (R)

Vitesse

v '!"=dOM '! "!!!

dt=dOO '! "!!!

dt+dO 'M! "!!!!

dt=dOM! "!!!

dt= v"

on a donc v '!"= v

" et a '

!"= a

"

- Si (R1) se dplace en translation la vitesse V!"

par rapport (R)

considr comme fixe.

On a

V!"=dOO

1

! "!!!

dt , O1 et O fixes respectivement dans (R1) et dans (R)

La vitesse relative du point M dans (R1) est donne par :

vr

!"=

dO1M

! "!!!

dt

!

"#

$

%&(R1 )

="#r1

!" $%(R1 )

sa vitesse absolue :

va

!"!=

dOM! "!!!

dt

!

"#

$

%&(R)

="#r!" $%(R)

or

va

!"!=dOM! "!!!

dt=dOO

1

! "!!!

dt+dO

1M

! "!!!

dt


7

On a : va

!"!= v

r

!"+V

!" o V

!" est la vitesse dentranement

3.2 Repres et systmes des coordonnes

Les notions de position, vitesse et acclration dun mobile M sont dfinies par rapport un rfrentiel (R). On peut soit manipuler des vecteurs, soit choisir dutiliser leurs composantes par rapport un

repre donn, solidaire de (R). Le choix du repre, comme celui de son origine, est arbitraire. Il est indpendant de la notion du mouvement. On le choisit de manire simplifier les expressions mathmatiques. Il

est gnralement orthonorm. a) Composantes des vecteurs en coordonnes cartsiennes

Dans (R), on choisit un point fixe O et trois axes orthogonaux ayant

pour origine commune le point O, portant trois vecteurs unitaires u

x

!"!,

u

y

!"!,

u

z

!"! (de longueur unit). On a alors un repre orthonorm ou un

tridre rectangle (O, u

x

!"!,

u

y

!"!,

u

z

!"! ), avec

u

i

!"!u

i

!"= u

i

!" 2= 1 i = x,y,z et

u

x

!"!!u

y

!"!= u

y

!"!!u

z

!"!= u

z

!"!!u

x

!"!= 0

Vecteur position :

r!=OM

" !"""= x !ux

"!"+ y !uy

"!"+ z !uz

"!"

Vecteur vitesse :

v!=

dOM" !"""

dt=

dx

dt!ux"!"

+dy

dt!uy"!"

+dz

dt!uz"!"

v

!= "x !u

x

#!#+ "y !u

y

#!#+ "z !u

z

#!#

(Notation drive par rapport t)

les composantes en coordonnes cartsiennes du vecteur vitesse sont donc :

vx = !x = x '(t ) =

dx

dt; vy = !y = y '(t ) =

dy

dt; vz = !z = z '(t ) =

dz

dt

Vecteur acclration :

a!=

dv!

dt=

dvx

dt!ux"!"

+dvy

dt!uy"!"

+dvz

dt!uz"!"

= ##xux"!"+ ##yuy

"!"+ ##z !uz

"!"

O

z

x

y

ux!"!

uy

!"! u

z

!"!

M

!r

x

y

z


8

les composantes en coordonnes cartsiennes du vecteur acclration

sont donc :

ax = !!x = x "(t ) =dvx

dt=

d 2x

dt 2!"#

$%&; ay = !!y = y"(t ) =

dvy

dt=

d 2y

dt 2!"#

$%&; az = !!z = z "(t ) =

dvz

dt=

d 2z

dt 2!"#

$%&

Remarques : - les vecteurs position, vitesse, acclration sont dfinis

pour le rfrentiel (R) dans lequel on observe le mouvement. Les vecteurs ne dpendent pas du repre choisi. En revanche, leurs composantes dpendent du repre choisi. - En physique, le choix arbitraire de lorigine et des axes dcoule de

lhomognit (invariance par translation) et de lisotropie (invariance par rotation) de lespace.

b) Composantes des vecteurs en coordonnes cylindriques Ces coordonnes sont adaptes pour dcrire un problme symtrie axiale daxe Oz.Le plan (Ox, Oy) est le plan polaire perpendiculaire en O Oz. On choisit un axe polaire Ox et une orientation dans le plan

polaire : le sens positif par rapport laxe Oz (rgle de tire-bouchon : si on tourne un tire-bouchon dans le sens positif, il senfonce dans le sens de Oz).

Un point M se projette en P sur le plan polaire et en N sur laxe Oz.

Les coordonnes cylindriques !,",z( )

du point M sont par dfinition : - sa distance laxe Oz :

! =OP

! " 0,+#[ [

- langle polaire : ! = (Ox

! "!,OP! "!!) ,

! " 0,2#[ ]

- la cote : z =ON , identique la coordonne cartsienne,

z ! "#,+#] [

A un ensemble de nombre !,",z( ) correspond un point M et un seul mais

la rciproque nest pas vraie : pour les points de laxe Oz, langle ! est indtermin. On peut remarquer que si le problme se limite au plan (xOy),

! =OP

et ! = (Ox

! "!,OP! "!!) sont simplement les coordonnes polaires du point P.

O

z

x

y

ux!"!

u

y

!"! u

z

!"!

M

!r

z

P

N

!

" #

"

u!

!"!

u!

!"!

u!

!"!

u!

!"!


9

On passe des coordonnes cylindriques aux coordonnes cartsiennes

par les relations :

x = ! cos", y = ! sin",!!!!z = z .

On a quelques fois besoin dexprimer les composantes dun vecteur

dfini en un point dune courbe dcrit par le mobile M. On introduit alors des vecteurs unitaires locaux ou tournants :

u!

!"!=

OP! "!!

OP! "!! et

u!

!"! qui se dduit de

u!

!"! par une rotation de +

!

2 dans le plan

polaire, u

z

!"! compltant un tridre direct local .

Un vecteur V

!" se dcompose sur le tridre local comme :

V!"= A!u!

!"!+A"u"

!"!+A

zu

z

!"! o

A! est la composante radiale, A! , la composante

orthoradiale, toutes deux dans le plan polaire xOy, et A

z , la

composante axiale. Le mouvement dun point M se dcompose selon celui de sa projection

P dans le plan (xOy) et celui de sa projection N sur laxe Oz : Vecteur position :

r!=OM

" !"""=OP

" !""+ON" !""

= !u!"!"

+ zuz

"!" avec

OP! "!!

= !!u!!"!

ON! "!!

= z !uz

!"!

Pour calculer les vecteurs vitesses

v

!(M )et acclration

a

!(M ) , nous

avons besoin dabord de calculer les drives des vecteurs unitaires tournants par rapport langle ! .

Drives dun vecteur par rapport une variable angulaire :

u!

!"!(") = cos"u

x

!"!+ sin" !u

y

!"!

u"

!"!(") = cos " +

#2

$%&

'()u

x

!"!+ sin " +

#2

$%&

'()u

y

!"!= * sin" !u

x

!"!+ cos" !u

y

!"!

On connat les drives des fonctions trigonomtriques :

(sin!!)' =d(sin!)

d!= cos! et (cos!!)' =

d(cos!)

d!= " sin!! ,

do ( u

x

!"! et

u

y

!"! ne dpendent pas de ! ) :

u!!"!'(") =

du!!"!(")

d"=

d(cos")

d"ux!"!

+d(sin")

d"uy!"!

= # sin" !ux!"!

+ cos!" !uy!"!

= u"!"!


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de mme : u!!"!'(!) =

du!!"!(!)

d!=

d(" sin!)

d!ux!"!

+d(cos!)

d!uy!"!

= " cos! !ux!"!

+ sin!! !uy!"!

= "u#!"!

La drive dun vecteur unitaire par rapport ! est un vecteur

unitaire obtenu par une rotation de +!

2.

Vitesse en coordonnes cylindriques :

v!=

dr!

dt=

!"r =

dOM# !###

dt=

dOP# !##

dt+

dON# !##

dt ou encore

v

!(M ) = v

!(P ) + v

!(N ) .

Dans le plan (xOy) :

v!(P ) =

dOP" !""

dt=

d(!u!"!")

dt=

d!

dtu!

"!"+ !

du!

"!"

dt

Or !u!

!"!"(t )[ ] dpend de t par lintermdiaire de sa direction ! , puisque

sa longueur est constante et gale lunit, on a donc une fonction

compose de t :

u!

!"!"(t )[ ]{ } ' =

du!

!"!

dt= u!

!"!'(") #" '(t ) =

du!

!"!

d"

d"

dt= #"u"

!"!

do :

v!(P ) =

d!

dtu!

"!"+ !

d"

dtu"

"!"= #!!u!

"!"

composante radiale$ %&

+! ! #" !u""!"

composante orthoradiale$ %&&

Sur laxe Oz :

v!(N ) =

dON" !""

dt=

d(zuz

"!")

dt=

dz

dtu

z

"!"= #zu

z

"!"

En rsum, le vecteur vitesse en coordonnes cylindriques est :

v!(M ) =

d!

dtu!

"!"+ !

d"

dtu"

"!"+

dz

dtu

z

"!"= #!!u!

"!"

composante radiale$ %&

+! ! #" !u""!"

composante orthoradiale$ %&&

+ #zuz

"!"

composante axiale$%&

Acclration en coordonnes cylindriques :

a!=

dv!

dt=

!"v

Comme

du!

!"!

dt=

du!

!"!

d"

d"

dt= #"u"

!"!et

du"

!"!

dt=

du"

!"!

d"

d"

dt= # #"u!

!"!,

on trouve :

a

!= ""! " ! "# 2( )u!

#!#

acclration radiale

$ %&&&&&&&+ ! ""# + 2 "! "#( )u#

#!#

acclration orthoradiale

$ %&&&&&&&&+ ""zu

z

#!#

acclration axiale

$%&

c) Composantes des vecteurs en coordonnes sphriques

Ces coordonnes sont adaptes pour dcrire un problme symtrie sphrique, cest--dire ne dpendant que de la distance un point, centre de symtrie, mais pas de lorientation autour de ce point.


11

On peut prendre le centre de symtrie comme origine O, un axe Oz passant par O et un plan de rfrence contenant Oz, soit (Ox,

Oz). Un point M se projette en P sur le Les coordonnes sphriques du

point M sont par dfinition : - sa distance lorigine : r =OM ,

rayon vecteur. r ! 0,+"[ [

-langle ! = (Oz,

! "!!OM! "!!!

) , colatitude, ! " 0,#[ ]

-langle ! = (Ox,

! "!!OP! "!!) , angle azimutal

ou longitude, ! " 0,2#[ ] .

On passe des coordonnes sphriques aux coordonnes cartsiennes

par les relations :

x = r sin! cos", y = r sin! sin",!!!!z = r cos! .

Si le problme ne dpend pas de ! , on retrouve les coordonnes

polaires dans le plan mridien dfini par Oz,! "!!

OM! "!!!

( ) , laxe polaire tant

Oz. On peut introduire un tridre local ou tournant :

u

r

!"! et

u!

!"! sont

dfinis comme u!

!"! et

u!

!"! des coordonnes polaires dans le plan

mridien, u!

!"! compltant le tridre direct (

u!

!"!" u

r

!"!et u#

!"!).

Dans ce cours, on ne cherchera pas crire les expressions gnrales des vecteurs vitesse et acclration en coordonnes sphriques, mais

on utilisera la composante radiale porte par le vecteur unitaire

ur

!"!=

OM! "!!!

OM! "!!! (pour des mouvements forces centrales).

4. Cas du mouvement circulaire plan Le point matriel M dcrit une trajectoire circulaire de rayon R. On se

place dans le plan contenant le cercle, que lon prendra comme plan (xOy) : z = 0 , vz = !z = 0, az = !!z = 0

O

z

x

y

ux!"!

u

y

!"! u

z

!"!

M

r

x

y

P $

"

u!

!"!

u

r

!"!

#

" u!

!"!


12

Le point M a pour coordonnes

polaires :

! = R =Cte

" = (Ox! "!,OM! "!!!

) = "(t )

On peut crire

r!=OM

" !"""= !u!

"!"

Vecteur vitesse :

v!(M ) = "!u!

# !#+ !

d u!

# !#

dt= R "" u"

# !#

La vitesse est orthoradiale, et dans ce cas, tangente la trajectoire.

le module de la vitesse : v!(M ) = R "! o

!! =d!

dt est la vitesse angulaire.

Vecteur acclration :

a!=

dv!

dt= R ""!u!

#!#+R "!

du!

#!#

dt= "R "! 2u#

#!#

acclration radialenormale la trajectoire

$ %&&&&+ R ""!u!

#!#

acclration orthoradiale tangente la trajectoire

$ %&&

Mouvement circulaire uniforme :

!! =d!

dt=" =Cte

! v = R" =Cte

aT= !!! = 0 et a

N= "R#

2= "

v2

R acclration centripte (dirige vers O)

u!

!"! u!

!"!

M

R

x

y

O #

"

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