1

ПОГЛАВЉЕ IV

ТЕСЕЛАЦИЈЕ И ХАНИКОМБИ

Гранична форма p гона, кад p тежи бесконачности, је бесконачна

права разбијена на дужи. Ми ово зовемо дегенерисани полигон или

апејрогон. Аналогно, раван пуњена полигонима (слично мозаику) може

бити схваћена као дегенерисани полиедар, и тако заузети природно

место у овом истра-живању. Договорно, ми често налазимо да је погодно

заменити обичан по-лиедар теселацијом на сфери. У §4.5, на пример,

разматрамо обоје равну и сферну теселацију у исто време. Аналогни

ханикомби (тј. пуњење простора полиедрима) представља природну везу

између полиедара у обичном (тро-димензионалном) простору и политопа у

четири димензије.

4.1. ТРИ ПРАВИЛНЕ ТЕСЕЛАЦИЈЕ. Равна теселација (или

дводимензио-нални ханикомб) је бесконачан скуп полигона постављених

да заједно по-кривају целу раван тачно једном, тако да свака страница

сваког полигона припада још само једном другом полигону. То је, дакле,

мапа са бескона-чно много страна (видети §1.4).

Нека се коначан део ове мапе, ограничен ивицама, састоји од 12 N стра-

на, 1N ивица, и 0N темена (укључујући периферне ивице и темена). Схва-

тајући целу спољашњу област као још једну страну, добијамо "коначну"

мапу на коју можемо применити Ојлерову формулу

2210 NNN .

Ова једнакост остаје оправдана ма колико проширили избор коначног дела

додавањем још страна. Ако поступак повећавања може бити настављен на

такав начин да увећани бројеви 210 ,, NNN теже да постану пропорционални

коначним бројевима 210 ,, vvv , онда закључујемо да важи

4.11 0210 vvv .

Посебно, ако су стране p гони, и у сваком темену се састаје q њих, та-

да 1.71 важи апроксимативно, са грешком реда величине

2N . Дакле,

210 2 pvvqv , и

4.12

2

111

qp или 422 qp .

Овај резултат није изненађујући, јер он може бити формално изведен из

1.72 пуштајући да 1N тежи бесконачности. Али ово извођење не може бити

прихваћено као доказ; јер не постоји низ коначних правилних мапа који те-

жи бесконачној правилној мапи (слично полигонима, p , који теже апејро-

гону, ).

2

Решења од 4.12, тј. 6,3 , 4,4 , 3,6 ,су изложена (делимично) на Сл. 4

.1А.

Друго је само "карирани папир"; прво се такође користи код штампања 50 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 14 ]

папира; а треће је често виђено као жичана мрежа, или на поплочаним по-

довима купатила. (Одговарајуће тачке на Сл. 2.3Б су означене црним тачка-

ма.)

6,3 4,4 3,6

Сл. 4.1А

Критеријум 4.12 се може упоредно добити из једноставног метричког

разматрања, као што следи. Дефиниције темених фигура и правилности су

исте као у случају полиедара (§ 2.1). Још једноставније, теселација је прави-

лна ако су све њене стране правилне и подударне. Теме од qp, је окруже-

но са q углова, сваки једнак ,2

1

p који укупно износе 2 . Дакле,

qp

221 .

Декартова формула (у облику 2.51) непосредно важи, као случај 0

кад је 0N бесконачно.

Како је 6 паран број, ивице од 6,3 могу бити повезане индексима сли-

чно онима код октаедра (§ 3.7). Погодан количник у којем се оне могу поде-

лити је 2:1, али резултат је само мањи 6,3 .

4.2. КВАЗИ ПРАВИЛНА И РОМБСКА ТЕСЕЛАЦИЈА. Ако су 6,3 и

3,6 нацртани у таквом односу да су њихове ивице у размери 1:3 (видети

2.71),

тада они могу бити наслагани тако да чине дуалне мапе. У ствари, њихове

одговарајуће ивице полове једна другу, као на Сл. 4.2А. Аналогно са § 2

.2,

ми их тада зовемо реципрочне теселације, иако не постоји сфера реципро-

чности. Заједничка средишта њихових ивица су темена квази правилне те-

селације

6

3,чије су стране троуглови и шестоуглови постављени наизме-

нично, као на Сл. 4.2Б. Узајамно укрштене ивице (реципрочних теселација

3

6,3 и 3,6 су дијагонале ромбова који чине реципрочну ромбску тесела-

цију приказану на Сл. 4.2Ц.

Одговарајући резултати за 4,4 су прилично прости. Реципрочна тесе-

§ 24 ] ПРАВИЛНЕ ТЕСЕЛАЦИЈЕ 51

Сл. 4.2А Сл. 4

.2Б Сл. 4

.2Ц

лација је друга подударна 4,4 . Изведена теселација

4

4 и њена реципро-

чна су умањене 4,4 (ротиране за 045 ). Дакле, једнакост

4.21 4,p

p

p

(видети 2.31) важи кад је 4p исто као и кад је 3p . (Ово је очигледно

тачно, јер

q

p има 2 p ова и 2 q ова код сваког темена.

Две реципрочне 4,4 -е имају темена умањене 4,4 , и тако могу бити

схваћене као да чине самореципрочну "склоп теселацију" 4,44,424,4 ,

аналогно стелa октангули (§3.6). Како наизменична темена од 3,6 тесела-

ције ивице 1 припадају 6,3 теселацији ивице 3 , то онда постоји други

такав склоп 6,323,6 , који чине две 6,3 -е уписане у 3,6 -у (Сл. 4.2Д).

Реципрочна од 3,6 је трећа 6,3 ивице 3 , тако да сада имамо укупно три

6,3 -е ивице 3 уписане у 6,3 ивице 1. Овде су (Сл. 4.2Ф) парови страна

концентрични са странама од 3,6 , тако да је одговарајући симбол

3,626,336,3 .

4

Сл. 4.2Д: 6,323,6 Сл.4

.2Е: 6,33,62

52 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 34 ]

Реципрочни од ових склопова су, свакако, 6,33,62 и 3,63,636,32

(Слике 4.2Е и Г). Ово је само почетак од бесконачне фамилије склопова, ко-

ји неком читаоцу могу бити занимљиви да их даље развија.

Сл.4.2Ф: 3,626,336,3 Сл. 4

.2Г: 3,63,636,32

На основу 4.12, 2

.33 даје h . Још јасније то чини 2

.34. Екваторијални

апејрогон од

6

3 је јасно видљив на Сл. 4

.2Б, а Питријеви полигони прави-

лних теселација су равне цик-цак линије (подебљано на Сл.4.1А).

Према 2.42 и 2

.43, сви полупречници Rj су бесконачни. Ово је разумљи-

во, јер свака теселација може бити схваћена као "дегенерисани" полиедар

чији центар, 3O , тежи бесконачности. Исто објашњење користи се за случај

у којем 2.44 даје

.

Шта више, очигледно је исправно рећи да је диедарски угао управо .

4.3. РОТАЦИЈСКЕ ГРУПЕ У ДВЕ ДИМЕНЗИЈЕ. Следећи искази могу би-

ти проверени без тешкоћа.Симетријска група правилне теселације је беско-

начна група изометријских трансформација у равни. Она садржи трансфор-

мације све четири врсте: рефлексије, ротације, транслације, и клизеће ре-

флексије. (Видети страну 31 овог превода.) Постоји подгрупа индекса 2 ко-

ју сачињавају само транслације и ротације, ово су једина кретања. Ми зо-

вемо ову подгрупу ротацијска група иако она садржи и транслације. (Јер

ове, после свега, могу бити схваћене као гранични случај ротација.) Саме

транслације чине самокоњуговану подгрупу у једној од других група. Ова

5

транслацијска група је посебан случај решеткасте групе изведене двема

транслацијама у различитим правцима. Трансформације било које тачке

таквом групом чине дводимензионалну решетку, која се састоји од темена

теселације чије су стране подударни паралелограми, сви оријентисани

истим правцем (слично ромбовима са Сл. 4.2Ц, који су оријентисани трима

§ 34 ] РОТАЦИЈСКЕ ГРУПЕ 53

различитим правцима). Појам решетке је значајан у теорији елиптичких

функција.

Пребројавање дискретних група кретања у равни извршено је слично

пребројавању коначних група ротација у простору, као што је изнето у §3.8.

Закључак је да постоји осам таквих група:

i коначна циклична група изведена ротацијом заp

2;

ii бесконачна група изведена транслацијом;

iii бесконачна диедарска група* изведена са два полуобртаја (чији

је производ транслација);

iv решеткаста група изведена са две транслације;

v група изведена полуобртајима око три неколинеарне тачке, тј.

ротацијска група решетке;

vi ротацијска група од 6,3 , или 3,6 полуобртајем и троуглом ро-

тацијом;

vii ротацијска група од 4,4 изведена полуобртајем и четвороуглом

ротацијом, или са две четвороугле ротације;

viii група изведена са две троугле ротације - подгрупа од vi .

Последња од ових група произилази из чињенице да једнакост

4.31 1

111

rqp ( 3p , 3q ),

која замењује 3.81, не подразумева 2r , али има "посебно" решење

3 rqp .

Једна важна чињеница која се издваја из претходног списка је "криста-

лографска рестрикција":

4.32. Ако дискретна група ротација у равни има више од једног центра

ротације, тада су једине ротације које се могу извести 2-струке, 3-стру-

ке, 4-струке, и 6-струке.

Ова теорема (која је пажљиво изложена у Аџијевој кристалографији "Закон

рационалитета") може бити доказана директно, на следећи начин.

Нека је P центар p струке ротације, и Q P

Q један од њему најближих других цента-

ра p струке ротације. Нека ротација за

p

2око Q трансформише P у P , и нека

иста врста ротације око P трансформише P Q

Q у Q , као на Сл. 4.3А. Може се догодити Сл. 4

.3А

6

да се тачке P и Q поклопе; тада је 6p .У свим другим случајевима мора

бити PQQP ; стога је .4p (Овај једноставан доказ извео је Барлоу.)

*Ово може бити схваћено као неподесне теселације 2, , која се састоји од равни подељене на две

полуравни апејрогоном. 54 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 44 ]

Сад смо стигли до подесног места да уведемо важан појам фундамента-

лне области. За сваку групу трансформација равни (или простора), она

представља област чији трансформати покривају читаву раван (или про-

стор), без преклапања и без размака. Другим речима, свака тачка је еквива-

лентна (под дејством групе) некој тачки области,али никоје две тачке обла-

сти нису еквивалентне осим ако обе нису на међи. Ових осам претходно

описаних група имају следеће фундаменталне области:

i угаона област (ограничена са две полуправе) угла p

2;

ii бесконачна трака (ограничена двема паралелним правим);

iii полутрака (ограничена двема паралелним полуправим и на њих

нормалном дужи);

iv паралелограм (са транслацијама дуж његових страница);

v паралелограм (са полуобртајима око средишта његових страни-

ца);

vi једнакостранични троугао (са шестоугаоном ротацијом око јед-

ног темена, и троугаоним ротацијама око друга два);

vii квадрат (са четвороугаоним ротацијама око два наспрамна теме-

на, и полуобртајима око друга два);

viii ромб угла 3

(као на Сл. 4

.2Ц).

4.4. КООРДИНАТЕ ТЕМЕНА. Темена од 4,4 јединичне странице могу

би-

ти описана као тачке чије су правоугле Декартове координате цели бројеви.

Темена од 6,3 , који исто тако чини решетку, могу бити слично исказа-

на у изразу косих координата, са осама нагиба 3

2 или

3

1. Темена од

3,6 исте дужине ивице могу бити издвојена из ових изостављањем свих

тачака yx, за које је yx умножак од 3. (Горњи или доњи знак треба узе-

ти према томе да ли је нагиб оса 3

2 или

3

1.) Изостављене тачке су теме-

на реципрочног 6,3 , ивице 3 .

Темена од

6

3 чине оне тачке yx, за које x и y нису оба парни броје-

ви. Јер, ово су средишта страница од 6,3 ивице 2 за које су x и y оба па-

7

рни бројеви. Темена реципрочне ромбске теселације су, свакако, иста као

она од 6,3 ; то су онда ивице и стране које су другачије.

Повратак на правоугле координате, нека тачка yx, представља компле-

ксан број yixz . Тада темена од 4,4 представљају Гаусове целе броје-

ве ( x и y су обични цели бројеви). Ротацијска група од 4,4 је изведена

транслацијом

§ 54 ] ОСЕ СИМЕТРИЈЕ 55

1 zz и четвороуглом ротацијом

izz .

Слично, ротацијска група од 6,3 је изведена истом транслацијом заје-

дно са хексагоналном ротацијом

zzzez

i

123

3

2 i

e

.

Дакле, темена од 6,3 представљају алгебарске целе бројеве vu (где су

u и v обични цели бројеви).

4.5. ОСЕ СИМЕТРИЈЕ. Пројектовањем ивица полиедра из његовог центра

на концентричну сферу, као § 1.4, добијамо скуп лукова великих кругова,

који чине мапу. Теорија таквих мапа је завршена аналогијом са равним те-

селацијама које наводе на то да се зову сферне теселације.У следећој обра-

ди оса симетрије, ми ћемо разматрати обе врсте теселација упоредно; на

пример, 3,4 неће значити коцка, већ мапа од шест подударних правилних

сферних квадрата који покривају сферу.

Узимајући сферу јединичног полупречника имамо,уместо правилног по-

лиедра qp, ивице l2 , сферну теселацију qp, ивице 2 , чије су стране

сферни p гони угла q

2, као у § 3

.8. Својства и из § 2

.4, сад изгледа-

ју као полупречници описаног и уписаног круга стране (мерени луковима

великог круга). Слично, уместо квази правилног полиедра

q

pивице L2 ,

имамо сферну теселацију

q

pивице

h

2, чије су стране p гони и q гони

полупречника описаних кругова и , редом. Реципрочна теселација је

теселација ивице , чије су стране сферни "ромбови" углова p

2 и

q

2.

Ако је равна (или просторна) фигура симетрична рефлексијом у односу

на одређену праву (или раван) w , ми w зовемо оса симетрије (или раван

симетрије). Видели смо у § 3.4 да правилни полигон p има p оса симе-

трије. Кад је p непаран број, свака спојница темена са средиштем наспра-

мне странице је оса симетрије. Али кад је p паран број, осе су два посебна

8

типа: p2

1њих спаја наспрамна темена, а p

2

1 њих спаја средишта парова на-

спрамних страница. За сваку раван симетрије полиедра, постоји велики

круг који се понаша као "оса симетрије" за одговарајућу сферну теселацију,

а ми ћемо ову терминологију употребљавати чак иако таква оса није права.

Дакле, осе симетрије сферног полигона имају исту улогу као оне код ра-

вног полигона.

56 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 54 ]

На Сл. 4.5А и Б* имамо ознаке 0,1,2 редом у теменима, средиштима стра-

ница и центрима страна, правилних теселација 3,3 , 4,3 , 5,3 , 6,3 , и

4,4 . (Одговарајуће фигуре за 3,4 , 3,5 , 3,6 могу бити изведене међу-

собном заменом ознака 0 и 2.) Другим речима, тачке означене са 0,1,2 су

темена три изведене теселације qp, ,

q

p, pq, , редом. Осе симетрије

су лако изабране споља, према следећем списку где је периодични низ

(02120212) скраћен на (0212)2, (01010101) на (01)

4:

3,3 има 6 оса (010212);

4,3 има 6 оса (0212)2 и 3 осе (01)

4;

5,3 има 15 оса (010212)2;

6,3 има оса (0212) и оса (01) ;

4,4 има оса (01) , оса (02) , и оса (12) .

2

0 2 1 1

2 0 2

1

1 1

2 1

2

3,3 0 4,3

2 2

1 1

2 1 2

0 0

1 1

0

2 2

2 1 1 2

9

1 1

2

0 0

1

2

5,3

Сл. 4.5А

*Дик 1, табла II; Клајн 2, стране 130-137.

§ 54 ] КАРАКТЕРИСТИЧНИ ТРОУГЛОВИ 57

Нисмо помињали "неподесне" теселације, кад је p или 2q , због тога

ће многе следеће дискусије бити прекинуте ако их буде потребно користи-

ти. Дискусија ће нас водити једноставном изразу за број оса симетрије. За

равну теселацију овај број је, свакако, бесконачан; зато сузимо разматрање

на погодну сферну теселацију qp, .

Осе симетрије деле сферну површ у теселацију подударних троуглова

012, сличних троуглу P0P1P2 на крају §2.5. Како је свака тачка 1 окружена

са четири троугла, то је онда укупан број троуглова 14N , где је 1N задат са

1.72. Како сваки сегмент-лук 01 или 02 или 12 припада двама троугловима,

то онда постоји 12N сегмената-лукова свих типова заједно. ( 12N сегмената

-лукова 01 су половине 1N ивица од qp, .) Свака ивица од

q

p спаја те-

мена 1 два троугла који имају заједничку хипотенузу 02. Дакле, екватор у

1 1 1 1

2

2 0 2

0 1 0

1 1 1 1

2

1 1 1 1 0 2 0

2 2 1 1 1 1

1 0 1 2 0 0

2 2 1 1

6,3 4,4

Сл. 4.5Б

који је сваки екваторијални полигон уписан (видети страну 17 ов. прев.) са-

држи h тачака 1 и сече h сегмената 02.

Оса симетрије је пресечена саh

N12екватора на следећи начин. Сваке две

дијаметрално супротне тачке 1 припадају двама екваторима и свака два ди-

јаметрално супротна сегмента 02 су пресечени једним од екватора.* Како

10

свака тачка 1 припада двама суседним сегментима 01 или 02, то онда следи

да је број сегмената (или означених тачака) на оси симетрије сваког типа

једнак двоструком броју екватора, тј. h

N14.

Један екватор пресечен је осама симетрије на следећи начин. Свака та-

*Овај аргумент ће бити погрешан ако га применимо на диедар, чија се два екватора поклапају са осом симетрије.

У случају равне теселације, екватор и оса симетрије могу бити паралелни.

58 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 64 ]

чка 1 лежи на двема осама симетрије, и сваки сегмент 11 (тј. свака страни-

ца екваторијалног полигона) пресечен једном осом симетрије. Како еквато-

ријални полигон има 2

h парова наспрамних темена и

2

h парова наспрамних

страница, то је онда укупан број оса симетрије 2

3h.

Комбинујући овај резултат са 2.34, можемо рећи да правилно тело са 1N

ивица има 1142

31 N равни симетрије. Ово не важи за диедар 2,p и

хосоедар p,2 . Мало компликованији је онај израз који користи неподесна

"тела" h

Nh 12

1 , где је h задато са 2.33.

4.6. ПРОСТОР ПУЊЕН КОЦКАМА.Тродимензионални ханикомб(или про-

сторна теселација) је бесконачан скуп полиедара погодних да напуне читав

простор само једном, тако да свака страна сваког полиедра припада још са-

мо једном другом полиедру. Постоје, дакле, темена 0 , ивице 1 , стране

2 , ћелије (или просторне стране) 3 : укратко, j димензионални елеме-

нти j ( 3,2,1,0j ). Као у § 1.8, ми са jkN ( kj ) означавамо број k -ова

који су узајамни са појединим j ; на пример,

4.61 210 N , 223 N .

За свако 2 или 1 , редом, имамо

4.62 2120 NN , 1312 NN .

(Прим. прев. 10N представља број темена које садржи једна ивица, 23N број

ћелија које садрже једну страну, 20N број темена које садржи једна страна,

21N број ивица које садржи једна страна, 12N број страна које садрже једну

ивицу, 13N број ћелија које садрже једну ивицу)

Ханикомб је, кажемо, правилан ако су његове ћелије правилне и подуда-

рне. Ако су то qp, ови, и r од њих окружује једну ивицу (тако да је

rNN 1312 ), тада је ханикомб означен са rqp ,, . Број r мора бити исти

за сваку ивицу, што нужно доводи да је диедарски угао ћелијеr

2. Шта ви-

11

ше, Табела I показује да је коцка једини правилни полиедар чији је диедар-

ски угао чинилац од 03602 . Дакле, једини правилан ханикомб је 4,3,4 ,

уобичајено просторно пуњење коцкама, осам код сваког темена.

Ово може упоредно бити уочено на следећи начин. Средишта свих иви-

ца које излазе из задатог темена су темена полиедра који се зове темена

фигура ханикомба; њене стране су темене фигуре ћелија које окружују за-

дато теме. (На пример, темена фигура од 4,3,4 је октаедар.) Ако су ивице

ханикомба дужине l2 , темена фигура има полупречник описане сфере l .

§ 74 ] ШЛЕФЛИЈЕВ СИМБОЛ 59

Ако су све стране p -ови, онда су ивице темене фигуре (које су темене фи-

гуре p -ова) дужине p

l

cos2 . Дакле, темена фигура ханикомба rqp ,,

ивице l2 мора бити rq, ивице p

l

cos2 , чији је полупречник описане сфе-

ре l . Али (опет по Табели I) једини правилни полиедар чије ивице и полу-

пречник описане сфере имају однос облика p

cos2 је октаедар, за који је

овај количник 4

cos22

. Према томе, rqp ,, може бити само 4,3,4 .

Узгред, правилни ханикомб би могао баш сада бити дефинисан као

онај чије су све ћелије и темене фигуре правилне; јер ће тада све ћелије би-

ти подударне, а такође и све темене фигуре.(Видети § 2.1.) Можемо сматра-

ти "Шлефлијев симбол" rqp ,, као резултат спајања редом симбола qp,

и rq, за ћелије и темене фигуре.

4.7. ДРУГИ ХАНИКОМБИ. Речено је да је ханикомб квази правилан ако

су његове ћелије правилне док су његове темене фигуре квази правилне.

Ова дефиниција (Видети § 2.3) повлачи да су све темене фигуре подударне,

а да су ћелије од два типа, уређене наизменично. Да бисмо нашли који су

различити случајеви могући, имамо на располагању две упоредне методе

као у § 4.6. Или тражимо (као ћелије) два различита правилна полиедра чи-

ји је збир диедарских углова фактор од )360(2 0 ;ово могу бити само тетра-

едар и икосаедар, где је тај збир )180( 0 . Или обратимо пажњу на могуће

темене фигуре, допуштајући кубоктаедар чија је ивица једнака полупре-

чнику његове описане сфере, а искључујући икосидодекаедар (за који је

однос ивице и полупречника описане сфере 5

2cos2

10sin2sin2

h).

ПП

Са обе тачке гледишта, закључујемо да постоји само један квази правилан

ханикомб.* Свако теме је окружено са осам тетраедара и шест октаедара

(одговарајућим троугловима и квадратима кубоктаедра). Све стране су тро-

12

углови; свака припада једном 3,3 и једном 4,3 . Према томе, подесно про-

ширење Шлефлијевог симбола је

4

3,3 .

За развој опште теорије, то је несрећан случај да је само један ханикомб

правилан и само један квази правилан. Свакако, постоји много са нешто

нижим степеном правилности: "полуправилни", рецимо. На пример,+посто-

ји један назван

4

4,3, у којем је свако теме окружено са два октаедра 4,3 и

ПП Прим.прев. Видети, Ратко Динић, Правилни и полуправилни полиедри, стране 2, 71, 114.

*За слику овога, видети Андреини 1, Сл. 12, или Бол 1, стр. 147. +Адреини 1, Сл. 18.

60 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 74 ]

четири кубоктаедра

4

3. Његова темена фигура је кубоид (или квадратна

призма) са основном ивицом l и бочном ивицом 2l .

Сродство ових фигура је врло лако уочити помоћу правоуглих Декарто-

вих координата. Све тачке чије су све три координате цели бројеви су теме-

на од 4,3,4 ивице 1. Оне чије су све координате парни бројеви припадају

4,3,4 ивице 2. Оне чије су све координате непарни бројеви чине други ње-

му подударан 4,3,4 . Ова два 4,3,4 -ова ивице 2 су, кажемо, реципрочни,

јер су темена једног центри ћелија другог, док су ивице једног нормално

преполовљене странама другог. Средишта ивица једног (која су центри

страна другог) лако се препознају као темена од

4

4,3. Ово су тачке чија је

једна координата непарна, а друге две парне, или обрнуто.Октаедри се пре-

познају као темене фигуре од 4,3,4 , кубоктаедри као његове окрњене ће-

лије. Ови резултати су договорно изражени на следећи начин.

Нека су тачке са целобројним координатама zyx ,, означене са 0, 1, 2,

или 3 према броју непарних координата као на Сл. 4.7А. Ове тачке одговара-

ју елементима П0, П1, П2, П3 једном од наша два реципрочна 4,3,4 -ова, и

елементима П3, П2, П1, П0 другог. Тачке 1 (или 2) су темена од

4

4,3. Шта

више, тачке 0 и 2 заједно (или 1 и 3 заједно) се лако препознају као темена

од ,3

4

3; ово су управо тачке чије координате имају парну (или непарну)

суму.

Дакле, темена од ,3

4

3 су наизменична темена од 4,3,4 , баш као што

су темена од 3,3 наизменична темена од 3,4 (у стела октангули). У ства-

13

ри ћелије од ,3

4

3 чине тетраедри уписани у коцке од 4,3,4 , а октаедри

окружују пропуштена темена. Реципрочни ханикомб је добро познато пу-

њење простора ромбским додекаедрима.* Уписане сфере његових ћелија

чине "коцкасто затворено паковање" или "нормално слагање" сфера. Ово је

чињеница која се понекад наводи као разлог за сличност између овог посе-

бног пуњења простора и саћа (ханикомба) конструисаног од стране пчела.

Равни симетрије од 4,3,4 су равни његових страна и равни симетрије

његових ћелија.. Оне су, дакле, три различита типа (према тачкама које са-

држе 0, 1, 2; 0, 2, 3; и 1, 2, 3) и секу се по осама симетрије шест типова: те-

трагоналне осе (прим. прев. четири равни симетрије се секу по таквој оси)

01 и 23 , тригоналне осе 03 и дигоналне осе 02 , 12 , 13 . Ове

равни и ове осе чине ханикомб од подударних четворострано правоуглих

§ 74 ] КАРАКТЕРИСТИЧНИ ТЕТРАЕДРИ 61

тетраедара 0123, чије су ивице 01, 12, 23 узајамно нормалне.* (Видети

Сл.4.7А.)

Такав тетраедар је у извесном погле- 0 1 0

ду природнија аналогија за правоугли

троугао него што је тространо правоуг- 1 2 1

ли тетраедар (где се сви прави углови 0 1 0

јављају код једног темена).Баш као што 1 2 1

сваки раван полигон може бити поде- 2 3 2

љен на правоугле троуглове,тако сваки 1 1

полиедар може бити подељен на четво- 0 1 0

ространо правоугле тетраедре. Посебна 1 2 1

одлика карактеристичног тетраедра 0 1 0

0123 је да су нормалне ивице 01, 12, 23 1 2 1

међусобно једнаке (тако да остале иви- 2 3 2

це имају дужине 2 , 3 , 2 ; у свари 1 1

ивица ij је дужине ij , ако је ji ). 0 1 0

Све тачке 0, 2, 3 (без 1) чине хани- 1 2 1

комб од тространо правоуглих тетраеда- 0 1 0

ра 0023, чије су равни страна равни си- Сл. 4.7А

метрије од ,3

4

3 (не оног чија су темена 0 и 2, већ већег примерка чија су

темена наизменичне тачке 0).Овај тространо правоугли тетраедар 0023, чи-

ја ивица 00 има дужину 2, може бити добијен спајањем два четворострано

правоугла тетраедра 0123 који имају заједничку страну 123.

Коначно, тачке 0 и 3 заједно чине ханикомб од тетрагоналних дисфено-

ида (или "једнакокраких тетраедара") 0033, сваки од њих добијен је спаја-

њем два тространо правоугла тетраедра 0023 који имају заједничку страну

002. Наспрамне ивице 00 и 33 су дужине 2, а четири ивице 03 имају дужи-

ну 3 .

Значај ових различитих тетраедара видеће се у § 5.5.

14

4.8. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ БРОЈЕВА ЕЛЕМЕНАТА. Можемо прошири-

ти 4.11 на тродимензионалне ханикомбе на следећи начин. Нека је коначан

део, ограничен странама, сачињен од 13 N ћелија, 2N страна, 1N ивица, и

0N темена. Сматрајући читаву спољашњу област као још једну ћелију, ми

исправљамо необичан карактер спољашњих елемената. Ако схватимо да је

jkN сумирано преко свих Пј-ова, онда имамо

4.81 kjjk NN

(видети 1.81). Применом Ојлерове формуле 1

.61 прво на ћелије, а затим на

темене фигуре, добијамо

*Вајтхоф (1) зове такав тетраедар "двоструко правоугли". Реч "quadrirectangular" (у овом преводу четворострано

правоугли) скреће пажњу на чињеницу да су све четири стране правоугли троуглови, док "trirectangular" (у овом преводу тространо правоугли) тетраедар (који може бити одрезан од једног рогља коцке) има само три правоугле

стране.

62 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 84 ]

2323130 NNN ,

2030201 NNN .

Сумирањем ових израза преко свих ћелија и преко свих темена, редом, и

одузимањем, добијамо

03013202310330 22 NNNNNNNN .

Али је 0330 NN , 022021121331 NNNNNN

(према 4.62), и 1210230132 22 NNNNNN (према

4.61).

Дакле, 0312 2222 NNNN , или 03210 NNNN .*

Ако изабрани део може бити проширен на такав начин да повећани бројеви

jN теже да постану пропорционални коначним бројевима jv , закључујемо

да је

4.82 03210 vvvv .

Ово је жељено проширење од 4.11.

За део правилног ханикомба, 1.81 важи приближно, са грешком реда ве-

личине 3

2

N . Дакле,

kjkjkj NvNv

за читав ханикомб. Посебно, узимајући 10 v , имамо

4.83

0

0

j

j

jN

Nv .

Овде су 01N , 02N , и 03N једноставно бројеви темена, ивица, и страна теме-

не фигуре. Дакле, за 4,3,4 , чија је темена фигура октаедар, имамо

32

61 v , 3

4

122 v , 1

8

83 v .

15

Укратко, jv је једнако биномном коефицијенту

j

3, и 4

.82 је проширење од

311 . (Видети табелу II на крају књиге.)

Иста формула 4.83 може бити употребљена за сваки ханикомб чија су

сва темена окружена једнолико,ако разматрамо различите врсте од Пј одво-

јено. Дакле, бројеви темена, ивица, троуглова, тетраедара и октаедара у

,3

4

3 пропорционални су са

1, 62

12 , 8

3

24 , 2

4

8 , и 1

6

6 ,

а 4.82 је потврђено као

012861 .

* За упоредни доказ ових формула, видети Коши 1, стр. 77.

§ 94 ] ИСТОРИЈАТ 63

4.9. ИСТОРИЈСКИ ОСВРТ. Равне теселације је разматрао Кеплер, који их

је први препознао као аналогоне полиедара.* Иначе, сферне теселације, и

правилне и квази правилне, описао је Абул Вафа (940-998).+ Белешку о ре-

ципрочним теселацијама (§ 4.2) дао је непознати аутор (1818) који је веро-

ватно био Жергон (1). Његово дело о полуправилним теселацијама и поли-

едрима наставили су Бадуро (1) и Хес (3). Последњи је врло темељно испи-

тао сферне теселације (које он зове "мреже").

У § 4.3 поменули смо осам равних "ротацијских група", последњих пет

од њих имају коначне фундаменталне области. Ових пет се јављају међу

седамнаест дискретних група изометријских трансформација++

које су пре-

бројали Поја и Нигли 1924. године.

Видели смо у § 4.5 да равни симетрије правилног полиедра секу концен-

тричну сферу по 2

3h великих кругова, сваки разложен осталима на

24 1 h

h

N лукова (укупно 16N лукова, страница од 14N троуглова), а да

"екваторе" чине h

N12великих кругова, сваки од њих је разложен осталима

на h лукова (укупно 12N лукова, страница одp

NN 1

2

2 p ова и

q

NN 1

0

2

q ова). 2

3h "оса" симетрије секу једна другу у

4

233 hh тачака, од

којих се

2

1pp поклапа са сваком од 2N тачака 2,

2

1qq са сваком од

0N тачака 0, док се свака од 1N тачака 1 појављује само једном. Дакле,

102 12

11

2

1

4

233NNqqNpp

hh

16

1111 111 NqpNNqNp .

Како је 24 1 hhN (видети 2.34), то онда следи да је

4.91

qph

10

242

(Штајнберг 1). Како су странице од 14N троуглова 012 лукови од2

3h оса

симетрије, то су онда сви описани двоструко, па имамо

,234 1 hN отуд

4.92

4

10

2

6

2

3

1

qp

hN

h

,

* Кеплер 1, стране 116 (правилне), 117 (квази правилне и ромбске). Видети такође Бадуро 1, стр. 93. + Вепке 1, стране 352-357.

++ Поја 1; Нигли 1. За елегантно цртање украса користе се ове различите симетријске групе, видети Шпајзе 1,

стране 76-97.

64 ПРАВИЛНИ ПОЛИТОПИ § 94 ]

што је у сагласности са запажањима Хеса* и Брикнера+ да је про-

порционално са .

Тродимензионални ханикомби нам помажу да схватимо распоред атома

у кристалу. На пример, атоми гвожђа, у једном кристалном варијетету, па-

дају у темена два реципрочна 4,3,4 ова ("центрираност тела" решетке).

Бакар, злато и сребро се јављају на темељу од ,3

4

3 ("центрираност стра-

на" решетке). Атоми натријума и хлора у кристалима соли формирају два

комплементарна ,3

4

3.++

Белешку о реципрочним ханикомбима изгледа да је дао Андреини (1),

чија је монографија лепо илустрована стереоскопским фотографијама.

Представљени поступак је намењен као припрема за студију о четвороди-

мензионалним политопима у поглављима VII и VIII. * Хес 3, стр. 25.

+ Брикнер 1, стране 125, 126, 130.

++ За добро цртање ових распореда атома, видети Татон 2, стр. 655.