Cálculo In�nitesimal I - 2015/01 - Marco CabralGraduação em Matemática Aplicada - UFRJMonitores: Zair Henrique & Jonathas Ferreira

Lista 01 - Introdução à matemática

�No. Try not. Do... or do not. There is no try.�

- Master Yoda, The Empire Strikes Back (1980)

Considerações iniciais: Na matemática, um Axioma é uma hipótese inicial da qual outrosenunciados são logicamente derivados. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser de-rivados por princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmenteporque eles são hipóteses iniciais. Partindo dos Axiomas, toda a teoria é desenvolvida e os re-sultados obtidos em sequência, podem (e devem) ser utilizados para que outros teoremas sejamprovados. Os teoremas podem ser deduzidos por uma sequência de raciocínios lógicos, a qualchamamos de demonstração. Os tipos mais usados são:

• Demonstração direta

→ A demonstração direta é aquela em que partindo da hipótese inicial, através de umasérie de argumentos verdadeiros e deduções lógicas, concluímos a veracidade da tese.

• Demonstração por contraposição

→ A contrapositiva de �A implica em B� é �não-B implica em não-A� e, pela lógica, sãoequivalentes. Provar uma é o mesmo que provar a outra. Por exemplo, �Se como laranjas,então gosto de frutas.� é equivalente a �Se não gosto de frutas, então não como laranjas.�Pense nisto!

• Demonstração por contradição

→ O método da demonstração por contradição consiste em supor que o que se quer concluiré falso. Desta suposição, através de uma sequência de deduções lógicas, chegarmos a umaconclusão que contradiz suas hipóteses iniciais ou a um fato que é sabidamente falso. Essacontradição implica a validade do que se queria concluir. Por exemplo. Queremos provarque A é verdadeiro. Suponha que A é falso e deduza desta hipótese que 2 = 3. Isto implicaque A é verdadeiro. A razão lógica disto é o princípio do terceiro excluido: ou A éverdadeiro, ou A é falso. Se A falso implicar em algo absurdo, então A é verdadeiro.

Na realidade, o porquê desses métodos de demonstração funcionarem também é um teorema, quepertence a uma área que fundamenta a Matemática, a Lógica. Estranho não? Independentementedo método usado, lembre-se de sempre escrever todos os seus passos. Procure ser claro e nãoomita informações ainda que pareçam irrelevantes.

1. Demonstração diretaVamos ilustrar demonstração direta provando propriedades de conjuntos.

Deve-se ter em mente que nem sempre os resultados que julgaremos serem fáceis (ou intuiti-vos), possuem uma demonstração fácil. Começamos de�nindo igualdade de conjuntos atravésdo conceito de �estar contido�.

De�nição 1 Dados conjuntos A e B dizemos que A ⊂ B se para todo a ∈ A, a ∈ B.

De�nição 2 Dados conjuntos A e B dizemos que A = B se A ⊂ B e B ⊂ A.

Logicamente (veri�que!), A = B se, e somente se, todos os elementos do conjunto A sãoelementos de B, e todos os elementos de B são elementos de A.

Exemplo 1 Sejam A e B dois conjuntos tais que B ⊂ A. Então A ∪B = A.

1

Prova: Se x ∈ A ∪ B, então x ∈ A ou x ∈ B. Como B ⊂ A, então temos que ∀x ∈ B ⇒x ∈ A. Logo, para todo x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ A, ou seja, A ∪ B ⊂ A. Mas para todo x ∈ A, éfato que x ∈ A ∪B, logo A ⊂ A ∪B. Assim, concluí-se que se B ⊂ A, então A ∪B = A. �

Note que �cou faltando de�nir união de conjuntos. Além disso, na de�nição de A ⊂ B, faltoude�nir a ∈ A. Mas, na teoria dos conjuntos, a noção de �pertence� é similar a ponto e reta nafundamentação da geometria, é um termo primitivo, sem de�nição. Uma referência clássica é�Teoria Ingênua dos Conjuntos� (Naive Set Theory) P. Halmos.

Seguem como exercício problemas que podem ser resolvidos por demonstração direta.

Exercício 1 (a) Mostre que, dados os conjuntos A, B e C, tem-se: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩(A ∪ C).

Exercício 1 (b) Mostre que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C).

Exercício 1 (c) Mostre que se A ⊂ B, então, B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪ A, para qualquerconjunto C.

2. Demonstração por Contraposição e ContradiçãoVamos ilustrar estes tipos de demonstração provando que

√2 é um número irracional. Para

isso vamos provar primeiramente um resultado que será útil durante a demonstração principal.Em geral, quando provamos um resultado para usá-lo em outra demonstração, damos a eleo nome de Lema. Assim, resultado principal é Teorema, acessório, Lema. Existe tambémo termo Proposição, que é similar a Teorema. Assim o que é Teorema ou Proposição emalgum texto, pode ser Lema em outro, dependendo do objetivo a que se quer chegar.

(a) Exemplo de Demonstração por contraposição

Lema 1 Se a2 é par, então a é par.

Prova: Vamos utilizar a contraposição para demonstrar isso. Ou seja, iremos provarque se a não é par, então a2 não é par. Pela princípio da paridade, se um número inteironão é par, então é ímpar. Logo, iremos provar que se a é ímpar, então a2 é ímpar.Se a é ímpar, então pode ser escrito da forma a = 2p + 1 para algum p ∈ N. Logo,a2 = (2p + 1)2 = (2p + 1)(2p + 1) = 4p2 + 4p + 1 = 2(2p2 + 2p) + 1 = 2q + 1 comq = 2p2 + 2p, que é um número ímpar, como queríamos demonstrar. �

(b) Exemplo de Demonstração por contradição

Utilizando o Lema 1 provamos que√2 é irracional pelo o método da contradição.

Prova: Suponha, por contradição, que√2 não é irracional, isto é, suponha que

√2

é racional. Então,√2 = a/b, com a, b ∈ Q. Por de�nição

√2 > 0 (veja exercício

abaixo), logo podemos supor que a, b > 0. Além disso, podemos supor que mdc(a, b) = 1(exercício). Logo,

b√2 = a

Elevando ambos os lados ao quadrado,

2b2 = a2

Portanto, a2 é múltiplo de 2 (=par). Pelo Lema 1, temos que a é par e com isso podemosescrever a = 2k com k ∈ N∗. Substituindo na equação acima, teremos

2b2 = (2k)2 = 4k2

2

Logo, b2 = 2k2. Assim, pelo Lema 1 novamente, b é múltiplo de 2. Mas se a e b sãomúltiplos de 2, então mdc(a, b) 6= 1, o que contradiz uma de nossas hipóteses. Logo

√2

é irracional. �

Seguem como exercício problemas que podem ser resolvidos utilizando a técnica da demons-tração por contradição.

Exercício 2 (a) Mostre que√p, onde p é um número primo, também é irracional.

Exercício 2 (b) Generalize o argumento acima para n√p onde p é um número primo e n ∈ N.

Exercício 2 (c) Agora mostre que n√pm onde p é um número primo em,n ∈ N, commdc(m,n) =

1, também é irracional.

Exercício 2 (d) Você sabe que existem in�nitos números primos. Mas já parou para pensarsobre como demonstrar isso? Então, vamos lá. Suponha que o conjunto P dosprimos é �nito: P = {p1, . . . , pn}. Então, tome K = p1p2 . . . pn + 1 e cheguea uma contradição. Dica: Mostre que K não é divisível por nenhum pi.

Exercício 2 (e) Prove que existem in�nitos primos na progressão aritmética 4n+3 com n ∈ Nseguindo o seguinte roteiro:

(i) Prove Lema A: todo primo diferente de 2 é da forma 4n+ 1 ou 4n+ 3.

(ii) Prove Lema B: o produto de números da forma 4n+1 é da forma 4n+1.

(iii) Suponha, por contradição, que exista um número �nito de primos daforma 4n+3, digamos, p1, . . . , pk. De�naN = 4p1 . . . pk−1 = 4(p1 . . . pk−1) + 3. Conclua que N é da forma 4n+ 3 e, portanto, N não é primo.

(iv) Assim, N é divisível por algum primo. Prove que este primo deve ser daforma 4n+ 1. Dica: Nenhum dos p1, . . . , pk nem 2 divide N .

(v) Assim N será o produto de números na forma 4n + 1 e, pelo Lema B,N será desta forma, chegando a uma contradição.

Observação: A generalização disso para qualquer progressão kn + p commdc(k, p) = 1 é o chamado Teorema de Dirichlet, porém a demonstraçãoé surpreendentemente difícil.

3. Imagine uma �leira com in�nitos dominós, um atrás do outro. Suponha que eles estejam detal modo distribuídos que, uma vez que um dominó caia, o seu sucessor também cai. O queacontece quando derrubamos o primeiro dominó? Esperamos que, com isso, mesmo que sejamin�nitos, todos os dominós caiam. Assim é o princípio da indução �nita, que é um métodode demonstração muito utilizado quando se quer provar teoremas válidos para todos númerosnaturais.

Teorema 1 (Ou axioma?) Para cada n ∈ N, seja P (n) uma propriedade sobre n. Suponhaque

(a) P (1) é verdade.

(b) Para todo k ∈ N, se P (k) é verdade, então P (k + 1) é verdade.

Então, P (n) é verdade para todo n ∈ N.

Exemplo 2 Vamos provar usando indução que: Seja p um primo e n um inteiro positivo.

Então np − n é um múltiplo de p. Esse resultado é conhecido como Pequeno Teorema de

Fermat.

3

Prova: O caso n = 1 é óbvio. Então, assumamos que a a�rmação vale para todo k ≤ n evamos mosrar que isso implica a validade para o caso n+ 1. Veja que

(n+ 1)p − (n+ 1) = np +n∑

i=1

[

(p

i

)nj ] + 1− n− 1

= np − n+n∑

i=1

(p

i

)nj

Como(pi

)nj é múltiplo de p quando 1 ≤ j ≤ p − 1 e como pela nossa hipótese de indução

np−n também é múltiplo de p, concluímos então que (n+1)p− (n+1) é múltiplo de p, logo,o teorema é válido ∀n ∈ N. �

Exercício 3 (a) Mostre, utilizando indução, que 1 + 2 + 3 + ...+ n = n(n+1)2 .

Exercício 3 (b) Mostre, utilizando indução, que 12 + 22 + 32 + ...+ n2 = n(n+1)(2n+1)6 .

Exercício 3 (c) Mostre, utilizando indução, que 13 + 23 + 33 + ...+ n3 = [n(n+1)2 ]2.

Exercício 3 (d) Quanto vale 1k +2k +3k + ...+nk? É possível dar uma fórmula fechada paraessa expressão para todo k ∈ N?

Exercício 3 (e) Vamos agora provar que as funções da forma Tn(x) = cos (n arccos (x)) sãopolinômios para todo n natural. Eles são os chamados Polinômios de

Tchebyshev.

i. Mostre que T1(x) e T2(x) são polinômios.

ii. Suponha que Tk(x) é um polinômio para todo k ∈ N tal que k ≤ n.Mostre que isso implica que Tn+1(x) é um polinômio.

iii. Conclua a demonstração.

4. Leia essa passagem do romance �A Culpa é das Estrelas� de John Green.

�Não posso falar da nossa história de amor, então vou falar de matemática. Não sou formada

em matemática, mas sei de uma coisa: existe uma quantidade in�nita de números entre 0 e

1. Tem o 0,1 e o 0,12 e o 0,112 e uma in�nidade de outros. Obviamente, existe um conjunto

ainda maior entre o 0 e o 2, ou entre o 0 e o 1 milhão. Alguns in�nitos são maiores que

outros.�

Você acha que as a�rmações deste trecho são verdadeiras? Será que existem mais númerosreais no intervalo (0, 2) do que no intervalo (0, 1)? Será que existem in�nitos maiores queoutros? Começamos com de�nições.

De�nição 3 Uma função f : A → B é chamada injetiva quando, dados x, y quaisquer em

A, se f(x) = f(y), então x = y. Uma função f : A → B é chamada sobrejetiva quando

para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A tal que f(x) = y. Quando f : A→ B é injetiva

e sobrejetiva, chamamos f de bijetiva.

A medida de quantidade de elementos de um conjunto é dita cardinalidade do conjunto.Por exemplo, o conjunto {3, 5, 8} tem cardinalidade 3.

De�nição 4 Dizemos que um conjunto A tem a mesma cardinalidade um conjunto B se

existe uma bijeção entre A e B.

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Exercício 4 (a) Prove que f : R → R de�nida por f(x) = 5x − 2 é bijetiva. Prove que afunção determinante, de�nida no conjunto das matrizes 2 × 2 é sobrejetiva.Prove que G : N × N → N de�nida por g(a, b) = 2a3b é injetiva mas não ésobrejetiva.

Exercício 4 (b) De�na conjunto �nito e um conjunto in�nito (pesquise).

Exercício 4 (c) De�na conjunto enumerável e um conjunto não-enumerável (pesquise).

Exercício 4 (d) Prove que N e Z tem a mesma cardinalidade. Sim, existem tantos naturaisquanto inteiros.

Exercício 4 (e) Prove que existe uma bijeção entre N e Q. É isso mesmo, N, Z e Q tem omesmo número de elementos.

Exercício 4 (f) Agora, demonstre que não existe bijeção entre N e R e conclua que existemsim in�nitos maiores que outros. Procure sobre o argumento diagonal de

Cantor.

Exercício 4 (g) Utilize cardinalidade para provar que existem números reais irracionais. Dica:contradição.

Exercício 4 (h) Mostre que a personagem realmente não é formada em matemática :), isto é,que os intervalos (0, 1) e (0, 2) tem o mesmo número de elementos.

Exercício 4 (i) Veja se é possível estender o argumento para provar que qualquer intervalo(a, b) tem o mesmo número de elementos que R.Dica: Figura abaixo ou função a�m.

Exercício 4 (j) Pesquise o que são números algébricos e números transcendentes e prove aenumerabilidade do conjunto dos números algébricos.

Exercício 4 (k) Utilize cardinalidade para provar que existem números reais transcendentes.Dica: contradição.

5. Um conjunto X é chamado denso em R quando todo intervalo aberto (a, b) ⊂ R possui algumponto de X. Ou seja, ∀a, b ∈ R com a < b, ∃x ∈ X tal que a < x < b. Intuitivamente issosigni�ca dizer que o conjunto X está bem 'espalhado' por toda a reta.

Exercício 5 (a) Mostre que o conjunto Q dos números racionais é denso em R. Dica: secomprimento do intervalo (a, b) é maior que 1/N , N ∈ N, então andando empassos de tamanho 1/N vou cair no intervalo (a, b).

Exercício 5 (b) Mostre que o conjunto R−Q dos números irracionais também é denso em R.Dica: ande com passos irracionais.

É interessante perceber que, um conjunto pode ser denso em outro mesmo tendo cardinalidadediferente, como no caso dos racionais. Você verá que, cedo, estes dois resultado serão muitoúteis para você.

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6. Em matemática, patologias são resultados que de certa maneira vão de encontro às idéiasintuitivas, matematicamente falando, de um certo período da história. Um exemplo é adescoberta de que existem números irracionais na Grécia antiga. Parece bobo nos dias dehoje, mas na época foi algo que deixou os matemáticos bastante assustados. Nas questõesabaixo, pesquise na internet ou em livros os assuntos e tente escrever sobre eles com suaspróprias palavras, com base na sua intuição sobre o que entendeu.

Exercício 6 (a) O que é o Axioma da Escolha? Ele faz sentido para você? Procure sa-ber o motivo desse axioma ser tão polêmico na matemática. Procure peloParadoxo de Banach-Tarski.

Exercício 6 (b) Fale sobre o Teorema da Incompletude de Gödel e sua importância naMatemática.

Exercício 6 (c) Pesquise sobre a Conjectura de Goldbach.

Exercício 6 (d) O que é um fractal? Para que ele serve?

Exercício 6 (e) Se um hotel possui in�nitos quartos, mas todos estão cheios, é possível essehotel receber mais hóspedes? Pesquise sobre o Hotel de Hilbert. O livro deAnálise de C. Neri e M. Cabral (veja na internet) tem um texto legal sobreisso.

Exercício 6 (f) Todas as pessoas do mundo torcem para o mesmo time. Vamos demonstrarisso por indução. Podemos observar que num conjunto que contém uma únicapessoa, todas torcem pro mesmo time. Se supusermos que a proposição éverdadeira para todos os conjuntos de dimensão inferior ou igual a n, entãose houver n + 1 pessoas num conjunto, retiramos uma delas para obter umconjunto resultante com n pessoas, e pela hipótese de indução, todas as pes-soas nesse conjunto torcem pro mesmo time. Devolvemos a pessoa retiradaao conjunto inicial, e retiramos outra diferente. Pela hipótese de indução,todas as n pessoas torcem pro mesmo time. Logo as n+1 pessoas torcem promesmo time. Então para qualquer n ∈ N, as n pessoas torcem para o mesmotime. E agora? Isso está errado? E se estiver, onde está o erro?

Exercício 6 (g) Considere o conjunto M como sendo "o conjunto de todos os conjuntos quenão se têm a si próprios como membros". Formalmente, A é elemento de Mse e somente se A não é elemento de A. Esse conjunto (M) é membro de sipróprio? Suponha que sim e depois que não. O que você conclui? Pesquisesobre o paradoxo de Russell.

Exercício 6 (h) Será que existe o conjunto universo, isto é, um conjunto que contenha todosos conjuntos?

As pessoas, em geral, pensam que a matemática é algo completamente certinho e exato,onde tudo sempre funciona e faz perfeito sentido. Bom, você acaba de ver que elas estãocompletamente enganadas, e que, mesmo nos dias de hoje, ainda existem diversas coisas quedeixam o mundo matemático bastante intrigado.

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