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Linguagens Formais e Automatos

Vinicius de Novaes Pereira

Unip

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8 de marco de 2017

Vinicius de Novaes Pereira (CC e SI) Linguagens Regulares: Automatos Finitos Determinısticos8 de marco de 2017 1 / 27

Section 1

Conceitos Centrais


Alfabetos

Um alfabeto e um conjunto de fınitos e nao-vazio.Usamos Σ para denotar um alfabeto.Exemplos:

Σ = {0, 1} e o alfabeto binario.

Σ = {a, b, . . . , z} e o conjuntos de todas as letrasminusculas.


Strings

Uma string e uma sequencia finita de sımbolos de algumalfabeto.Exemplos:

01101 e uma string do alfabeto Σ = {0, 1}.abbaab e uma string do alfabeto Σ = {a, b, c}.

Uma string pode ser vazia denotamos a string vaziapor ε.Strings sao tambem conhecidas como palavras oucadeias.


Strings

O comprimento de uma string e a quantidade deposicoes que ela tem.

|01101| = 5

|ε| = 0


Potencia de um alfabeto

Potencia de um alfabeto Σn e toda string no alfabeto Σcom tamanho nExemplo sobre Σ = {0, 1}:

Σ0 = {ε}Σ1 = {0, 1}Σ2 = {00, 01, 10, 11}Σ3 = {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111}


Estrela de Klenee - Σ∗

Denotamos por Σ∗ o conjunto de todas as strings quepodem ser formadas pelo alfabeto Σ, inclusive a string ε.Denotamos por Σ+ o conjunto de Σ+ excluindo a stringvazia ε.


Concatenacao de strings

Se x e y sao strings entao xy e a concatenacao de xcom y.Exemplo com x = 100 e y = 111:

xy = 100111.

yx = 111100.

xε = εx = 100.


LinguagensUm conjunto de strings escolhido a partir de um alfabetoΣ.Um subconjunto de Σ∗.Exemplo de linguagens:

A linguagem de todas as strings em {0, 1} com n0’s seguidos por n 1’s, para algum n ≥ 0:{ε, 01, 0011, 000111, . . . }Conjunto de strings em {0, 1} com um numero igualde 0’s e 1’s: {ε, 01, 10, 0101, 1010, 0011, 1100, . . . }Conjunto da representacao binaria de numeroprimos: {10, 11, 101, 111, 1011, . . . }Σ∗ e uma linguagem sobre o alfabeto Σ∅ e uma linguagem sobre qualquer alfabeto{ε} e uma linguagem sobre qualquer alfabeto

OBS: alfabetos sao finitos, lingagens podem nao serfinitas.


Representacao de linguagensSendo uma linguagem um conjunto, podemos definirlinguagens da seguinte maneira:

{w | algo sobre w}

{w | w consiste em um numero igual de 0’s e 1’s}{w | w e um numero inteiro binario primo}

{w | w e um programa em C sintaticamente correto}Outras formas

{0n1n | n ≥ 0}{0i1j | 0 ≤ i ≤ j}


Section 2

Automatos Finitos Determinısticos


Linguagens Regulares

Linguagens regulares sao aquelas que podem serdescritas por um automato finito.Mas o que e um automato finito?


Automato Finito Determinıstico


Definicao de um Automato FinıtoDeterminıstico

A = (Q,Σ, δ, q0, F )

1 Um conjunto de estados finito, Q2 Um conjunto de sımbolos de entrada Σ3 Uma funcao de transicao δ : Q× Σ→ Q.4 Um estado inicial q05 Um conjunto de estados finais F ⊂ Q


Exemplo

{w | w e da forma x01y para string x e y que consistemapenas de 0’s e 1’s}{x01y | x e y que consistem apenas de 0’s e 1’s}


Exemplo{w | w e da forma x01y para string x e y que consistemapenas de 0’s e 1’s}{x01y | x e y que consistem apenas de 0’s e 1’s}

A = (Q,Σ, δ, q0, F )

Q = {q0, q1, q2}Σ = {0, 1}δ : {q0, q1, q2} × {0, 1} → {q0, q1, q2}δ(q0, 0) = q2, δ(q0, 1) = q0, δ(q1, 0) = q1,δ(q1, 1) = q1, δ(q2, 0) = q2, δ(q2, 1) = q1.q0 e o estado inicialF = {q1}


Exemplo

{w | w e da forma x01y para string x e y que consistemapenas de 0’s e 1’s}{x01y | x e y que consistem apenas de 0’s e 1’s}

Escrever pela definicaoTedioso e difıcil...


Diagrama de Transicoes de A

A = (Q,Σ, δ, q0, F )

Para cada estado Q existe um vertice

δ(qi, a) = qj ↔ tem um arco de qi para qj com onome a

Tem um arco apontando para q0, este arco nao temorigem

Os vertices de estado final (em F ) sao marcadospor um cırculo.


Tabela de transicoes

Uma tabela de transicoes e uma representacao tabular dafuncao de transicaoO estado inicial tem uma seta e os estados finais temuma estrela

0 1

→ q0 q2 q0∗q0 q1 q1q0 q2 q1


Funcao de transicao estendida

A funcao de transicao estendida δ : Σ∗ ×Q → Q recebeuma string e retorna um estado.Segue as seguintes regras:

δ(q, ε) = q

δ(q, w) = δ(δ(q, x), a), se w = xa, sendo a umsımbolo do alfabeto.


Linguagem de um Automato FinitoDeterminıstico

Seja A = (Q,Σ, δ, q0, F ), a linguagem L definida por A e

L(A) = {q | δ(q0, w) esta em F}


Exercıcios

Automato Finito Determinıstico que aceita:1 string que termina em 002 string que tem tres 0’s consecutivos3 string que tem 011 como substring4 string que tem 011 como substring5 tem um numero par de 1’s e um numero par de 0’s


Exercıcios

Explique informalmente as linguagens0 1

→ A A B∗B B A

0 1

→ ∗A B A∗B C AC B A


Mais um Exercıcio

Automato Finito Determinıstico que aceita:1 nao tem 00 como substring2 e construıdo concatenando 01’s e 010’s e nenhum

outra string


Section 3

Automatos FinitosNao-Determinısticos


Definicao

A = (Q,Σ, δ, q0, F )

1 Um conjunto de estados finito, Q2 Um conjunto de sımbolos de entrada Σ3 Uma funcao de transicao δ : Q× Σ→ 2Q.4 Um estado inicial q05 Um conjunto de estados finais F ⊂ Q


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