lineas de influencia

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN MARTINFACULTAD DE INGENIERIA CIVILESCUELA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

INDICE1 PLATEAMIENTO DEL PROBLEMA..............................................................................................................3

2 OBJETIVOS................................................................................................................................................4

2.1 Objetivos Generales..........................................................................................................................4

2.2 Objetivos específicos........................................................................................................................4

3 MARCO TEÓRICO......................................................................................................................................5

3.1 GENERALIDADES1..............................................................................................................................5

3.2 DEFINICIÓN DE LÍNEA DE INFLUENCIA..............................................................................................5

3.3 LÍNEAS DE INFLUENCIA DE LAS REACCIONES DE UNA VIGA..............................................................6

3.4 LÍNEAS DE INFLUENCIA EN MOMENTOS FLECTORES......................................................................10

3.4.1 MOMENTO FLECTOR MÁXIMO...............................................................................................14

3.5 LÍNEA DE INFLUENCIA DE ESFUERZO DE CORTE..............................................................................15

3.5.1 VIGA EN VOLADIZO.................................................................................................................17

4 DESARROLLO DE EJERCICIOS..................................................................................................................18

5 CONCLUSIONES......................................................................................................................................23

6 BIBLIOGAFIA...........................................................................................................................................24

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INTRODUCCION

Contar con una base de conocimientos previos, que se han adquirido durante los años de

formación básica resulta trascendental para la realización del análisis y diseño de los elementos

de la superestructura y subestructura de un puente, y dentro de esos conocimientos previos, las

líneas de influencia cobran un papel importante puesto que nos permiten determinar las

ubicaciones de los esfuerzos máximos a los que se va someter la estructura que serán finalmente

las que nos meten de lleno a las labores de diseño íntegramente.

En el presente informe se expondrá brevemente todo lo concerniente a las líneas de influencia, es

decir se darán alcance de las generalidades y una definición de lo que son las líneas de influencia.

Además de ello se estudiarán y analizarán las líneas de influencia para las reacciones de una

viga, simplemente apoyada y de tramos continuos, también las líneas de influencias relacionadas

a las fuerzas cortantes y momentos flectores.

Además del método directo para las líneas de influencia, que también se conocen como métodos

cuantitativos, también existen una forma más rápida y sencilla de determinarlas y es empleando

las líneas de influencia cualitativas.

También hemos considerado importante definir alguna terminología básica, como por ejemplo qué

es una carga móvil, la influencia de la carga unitaria, propiedades de las líneas de influencia, tales

como: carga móvil concentrada, sistemas de cargas móviles concentradas y cargas móviles

uniformemente distribuidas.

A partir de esto estudios, se pueden establecer fórmulas usuales para vigas simples.Todo lo hasta

aquí hablado sólo hace referencia a líneas de influencia para vigas.

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1 PLATEAMIENTO DEL PROBLEMA

Este apunte tiene por finalidad presentar el tema líneas de influencias buscando lograr un enfoque actualizado del mismo. Para ello, se ha tenido que hacer un informe de investigación, para saber el comportamiento de cada estructura sometida a cargas móviles y además de obtener los cálculos que corresponden.

Debido a esto y como parte del proceso formativo del futuro ingeniero civil, es que surge la necesidad de realizar las investigaciones del caso, haciendo uso de varias fuentes, como libros y el internet, boletines y afines.

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2 OBJETIVOS

2.1 Objetivos Generales.

Conocer el comportamiento de una estructura cuando está sometida a cargas móviles.

2.2 Objetivos específicos.

Conocer los conceptos básicos sobre líneas de influencia para complementar nuestros conocimientos.

Aprender a trazar las líneas de influencia para que posteriormente hagamos el cálculo respectivo.

Conocer de la importancia que tienen las líneas de influencia en nuestra carrera.

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3 MARCO TEÓRICO

3.1 GENERALIDADES1 En el análisis y diseño de estructuras de puentes, además de las cargas fijas, como el peso

propio, se presentan otras de tipos móviles, como es el caso de los vehículos que circulan sobre

los puentes.

Como es claro, la posición crítica de dichas cargas, es un factor determinante para el cálculo de

los esfuerzos resultantes. En la búsqueda de los esfuerzos máximos, dicha ubicación crítica es

objeto vital e importante en el análisis de estructuras. De este modo conoceremos reacciones

máximas en los apoyos, corte o momento en sus tramos.

Es con este propósito, que se diseñaron las líneas de influencia. Ellas, en síntesis, son

representaciones graficas de esfuerzos o reacciones, independiente de los sistemas de cargas

que pueden afectar al elemento estructural en puntos específicos de ellas debido a una carga

unitaria dispuesta en esta posición.

3.2 DEFINICIÓN DE LÍNEA DE INFLUENCIA

Según JACK C. MCCORMAC2 La línea de influencia puede definirse como un diagrama cuyas ordenadas muestran la magnitud y el carácter de algún elemento mecánico de una estructura cuando una carga unitaria de mueve a lo largo de ésta. Cada ordenada del diagrama da el valor del elemento mecánico cuando la carga está situada en la posición asociada a esa ordenada.

También GONZÁLEZ CUEVAS3 afirma que, la línea de influencia de una acción correspondiente a

un punto determinado de una viga, es un diagrama, trazado a lo largo de la viga cuya ordenada en

un punto cualquiera es igual al valor de la acción en el punto determinado si hay una carga

concentrada aplicada en el punto cualquiera.

Apaza H., Pablo. “PUENTES. Introducción al diseño de puentes en concreto”, página 352 JACK C. MCCORMAC, Análisis Estructural, Cap.9-pag2083GONZÁLEZ CUEVAS, Análisis Estructural, Cap.10-pag497

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3.3 LÍNEAS DE INFLUENCIA DE LAS REACCIONES DE UNA VIGA.La línea de influencia de una reacción o acción, tiene la misma forma que la viga deformada cuando se le impone un desplazamiento unitario correspondiente a la reacción o acción

determinada.4

Consideramos una viga simplemente apoyada como la indicada en la figura adjunta.

Procedemos a realizar el proceso constructivo de la línea de influencia de la reacción en el apoyo

M. Dispongamos para ello de una carga unitaria, vertical y hacia abajo. Si la ubicamos en el apoyo

M, en dicho punto obtendremos una reacción de igual valor y dirección, pero de sentido opuesto.

De aplicarse en cambio, en el apoyo N, la reacción a obtenerse en el apoyo M será cero.

La línea de influencia de la reacción en dicho punto se obtiene introduciendo un desplazamiento

unitario a la viga en dirección de la reacción.

4GONZÁLEZ CUEVAS, Análisis Estructural, Cap.10-pag510

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Para introducir el desplazamiento unitario, se supone que se elimina la restricción a la deformación de la viga en el apoyo y no se permite otro tipo de deformación, por ejemplo debido

a la flexión o fuerza cortante. Por esta razón la viga permanece recta.5

Con estos valores extremos dispongamos un diagrama tomando como base una línea AB de longitud L (igual a la de la viga). Coloquemos sobre ella los valores hallados y tracemos una recta uniendo ambos extremos, mediante una línea CB.

Debemos indicar que la línea de influencia para vigas estáticamente determinadas se compone de

tramos rectos debido a que las reacciones son siempre lineales con respecto a la posición de la

carga concentrada.

La interpretación del diagrama de línea de influencia obtenido, será como sigue.


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Si colocamos una carga vertical unitaria hacia abajo en el punto E de la viga mostrada, la reacción

a obtenerse en el apoyo M de ella será igual a la longitud Y medida sobre el diagrama de línea de

influencia, mostrado.

Consideramos ahora, que sobre la viga actúa una carga puntual vertical P a una distancia ´´x´´ del

apoyo N de la viga simplemente apoyada de longitud L.

Las líneas de influencia para las reacciones en los apoyos M y N están indicadas en los

diagramas adjuntos.

En la línea de influencia de la reacción en M, por semejanza de triángulos podemos plantear:

y= xL

Entonces la reacción en el apoyo M, debido a la carga P aplicada, estará indicada por:

RM=PY=P( xL )

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De forma similar, para el apoyo N, el valor de la reacción debido a la carga P aplicada será:

RN=PY ´=P( L−x

L )De aumentar la cantidad de cargas puntuales verticales dispuestas sobre la viga, la reacción en el

apoyo se obtendrá de la suma de los efectos producidos por cada uno de ellos, tal como lo indica

el principio de superposición.

RM=P [ A ]+Q [ B ]+S [C ]

Expresión en la cual A, B y C, son coeficientes numéricos menores que la unidad, calculables por

semejanza de triangulo, como:

A=aL

B= bL

C= cL

Quedando la expresión reducida a:

RM=P[ aL ]+Q [ b

L ]+S [ cL ]

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Estamos, a partir de lo expuesto, en condiciones de generalizar los resultados como:

R=∑ PiY i

En donde tendremos:

R=reaccionenuno de los apoyos de la viga

Pi=carga puntual vertical aplicada enun punto cualquierade la viga .

Y i=coeficientecorrespondiente a lacarga , obtenido del diagrama dede lineas de influencia

suvalor puede calcularse :

Graficamente :construyendo el diagramade lineas de influencia dereacciones auna escala

conveniente , demodo que lalectura pueda puedarealizarce pormedicion deirecta enel grafico .

Analiticamente :se entiendecomo el cociente entre la distancia desdeel puntode aplicacion

de la carga al apoyoopuesto , y la longitud de la viga simplemente apoyada .

Este coeficiente de influencia puede ser interpretado numéricamente como la reacción que

ocasionaría en el apoyo considerando una carga unitaria en lugar de la carga P.

3.4 LÍNEAS DE INFLUENCIA EN MOMENTOS FLECTORESConsideremos una viga simplemente apoyada AB, tal como la que se muestra adjunta, en al cual

deseamos conocer los momentos que se originarían en una sección E, debido a un sistema de

cargas cualquiera dispuesta sobre ella.

Tracemos el diagrama de líneas de influencia para la reacción en uno de los apoyos, para el caso

elegimos al correspondiente al apoyo A.

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A partir de dicho diagrama determinamos la reacción que se producirá en el apoyo A debido a que

se coloca una carga unitaria en la sección E. aceptamos que dicha reacción estará indicada por el

segmento estará indicada por el segmento de longitud G.

Conocida la reacción, calcularemos el máximo momento en la sección E, multiplicando dicho valor

por ´´G´´por la longitud de palanca ´´M´´, que es la distancia del apoyo A al punto E.

Con el producto resultante, trazamos una vertical por la sección que se está estudiando, midiendo

sobre ella el valor del momento calculado.

Partiendo del extremo de este segmento, dirigimos líneas rectas hacia los extremos, obteniendo

así, la línea de influencia de momentos flectores para la sección E.

NOTA:

Por ser una viga de un solo tramo simplemente apoyada, las cargas verticales hacia abajo que se

coloquen sobre ella, ocasionarán en la sección momentos positivos (la viga se flectara hacia

abajo) aceptamos por ello, como convección, que los momentos positivos se graficaran debajo de

la línea horizontal de referencia, en caso contrario de ser el momento negativo, graficaremos

sobre la línea horizontal de referencia.

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Como podrá observarse este procedimiento, si bien es eficaz, resulta lento y tedioso. Por ello enunciaremos un método breve y simple e trabajo para el caso de vigas simplemente apoyadas de un solo tramo. Consideremos para ilustrar el proceso una sección E.

- A partir de la sección E, se mide su distancia hacia los apoyos. Consideremos para el caso

mostrado que estas distancias son M y N.

- La mayor longitud vertical del diagrama, la cual se colocara en la sección especificada E,

será numéricamente igual al cociente entre el producto y la suma de dichas distancias M y

N.

- Determinado este valor máximo, se unirá el extremo del segmento con los extremos, del

modo ya indicado, tal como se muestra en la figura.

En caso que se desee conocer el valor de alguna ordenada del diagrama de influencia obtenido,

procédase del modo siguiente:

- De acuerdo al punto en que se desea conocer la ordenada del diagrama de influencia,

mídase la distancia desde ese punto al apoyo correspondiente.

- El valor de la ordenada buscada, será igual a una fracción del máximo momento en la

sección. Ella, estará compuesta por la longitud anteriormente calculada como numerador, y

como denominador la distancia de la sección de máximo momento de apoyo.

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NOTA:

Considerando la viga simplemente apoyada de la figura adjunta y su diagrama de líneas de

influencia para la sección E.

C=Momento de la seccion E cuandose colocauna carga unitaria en laseccion1.

D=Momento de la seccion E , cuando secoloca una cargaunitaria en esta seccion .

E=Momentode la seccion E , cuando la cargaunitaria se coloca en laseccion2.

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3.4.1 MOMENTO FLECTOR MÁXIMO Nuestro objetivo consiste en determinar la sección particular en la cual se origina un momento

flector superior a todos aquellos que el mismo sistema de cargas podría producir en cualquiera de

las secciones de la viga y además calcular el valor el valor de dicho momento flector, con tal

propósito, analicemos:

CASO 1: CARGA CONCENTRADA UNICA

Consideremos una viga simplemente apoyada de luz L, sobre la cual actúa una carga concentrada

única P, a una distancia ´´X´´ de una de los apoyos.

Siendo F=x (L−x )

x+(L−x )=

x (L−x )L

Momento M=PF=Px ( L−x )

L

Determinemos la posición de máximo momento, tomando la derivada del momento M respecto a

la distancia x e igualando a cero:

PL

[ L−x+x (−1)]=0

Reduciendo: L−2 x=0 x= L2

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Podemos concluir que el momento máximo se producirá al centro de luz de la viga simplemente

apoyada, cuando la carga esta aplicada en ella, siendo su valor:

M max=PL4

CASO 2: TREN DE CARGAS CONCENTRADAS

´´El máximo momento flector en una viga simplemente apoyada, sometida a la acción de un

conjunto de cargas concentradas, se produce debajo de la carga en que cambia de signo el

esfuerzo de corte y es un máximo absoluto, cuando las fuerzas se hallan dispuestas de manera

que el punto medio del tramo divide en partes iguales la distancia entre aquella carga y la

resultante de todas las que actúan sobre la viga.

3.5 LÍNEA DE INFLUENCIA DE ESFUERZO DE CORTE Consideremos una viga simplemente apoyada AB, en la cual deseamos conocer los esfuerzos de

corte que se originan en una sección E bajo la acción de una carga concentrada vertical P.

- Cuando la fuerza P se encuentra a la derecha de la sección E, el esfuerzo de corte en

dicha sección es positivo y numéricamente igual a la reacción que se produce en el apoyo

izquierdo.

-Cuando la fuerza P se halla a la izquierda de la sección E el esfuerzo de cote en dicha sección es negativo y numéricamente igual a la reacción que se produce en el apoyo derecho.

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Como notamos, el esfuerzo de corte dependerá en unos casos de la reacción en el apoyo derecho

y en otros de la del izquierdo, estando ello en función de la posición de la carga respecto a la

sección sobre la cual se calcula el esfuerzo de corte.

La línea de influencia de fuerza cortante en un punto, se obtiene cortando la viga en ese punto, e introduciendo un desplazamiento unitario correspondiente a fuerza cortante. Para que no haya deformaciones por flexión, los dos tramos de línea de influencia entre el punto y los apoyos deben

ser paralelos.5

Así, las líneas de influencia del esfuerzo de corte se obtendrán tomando las zonas sombreadas de

los dos diagramas de líneas de influencia de las reacciones en los apoyos, tal como se indica.


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3.5.1 VIGA EN VOLADIZOEn el caso de una viga simplemente apoyada con voladizo, construiremos las líneas de influencia

para el corte de una sección de terminada, procediendo del modo siguiente:

1. Construir los diagramas de líneas de influencia para las reacciones en los apoyos.

2. En cada uno de los diagramas considerar la zona comprendida entre la sección de estudio

y el apoyo opuesto al considerado. E el ejemplo que se ilustra adjunto, en el diagrama de

influencia del apoyo izquierdo se considera de la sección E al apoyo derecho.

3. El diagrama de líneas de influencia para el corte en la sección, se obtendrá tomando la

región sombreada del diagrama de influencia del apoyo izquierdo con su propio signo, y la

correspondiente al apoyo derecho pero con el signo cambiado.

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4 DESARROLLO DE EJERCICIOSHallar el valor de la reacción en los apoyos de la viga compuesta ABD. Nótese en el punto C la presencia de una rótula.

Solución

Línea de influencia: apoyo A

-Aplicando una carga unitaria en A, la reacción en este punto será igual a 1.

-Aplicando una carga unitaria en B o D, la reacción a obtenerse en A, será en ambos casos igual a 0.

En el punto A medimos verticalmente una distancia igual a la unidad, hacia arriba; mientras en B ubicamos el punto de intersección con la horizontal por ser cero en tal.

Línea de influencia: apoyo B

-Colocando una carga unitaria vertical en A o en D, la reacción en B en ambos casos será cero.

-Aplicando una carga unitaria en B, la reacción en este punto será igual a 1.

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- Al ubicar la carga unitaria en C, la reacción en B, será mayor que la carga aplicada y su sentido será hacia arriba.

Línea de influencia: apoyo D

-Aplicando la carga unitaria en D, la reacción en este punto será numéricamente igual a la aplicada.

- Al colocar una carga unitaria en cualquier parte de la viga AC, la reacción en D, será cero.

Determinamos las reacciones en los apoyos:

Reacción en A:

Debido a la carga distribuida

10( 1 (4 )2

−2( 12 )2 )=15T

Por las cargas puntuales:

40 ( 12 )−60 (18 )=12.5TN

Por lo tanto la ecuación en a es:

Ra=15+12.5=27.5TN

Reacción en B:

Debido a la carga distribuida:

10( AREACA

)=10(6( 32 )2

)=45TN

Por las cargas puntuales:

40 ( 12 )+60( 38 )=42.5TN

Entonces las reacciones son:

Rb=45+42.5=87.5TN

Reacción en D:

Rd=60( 34)=45TN

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Ejemplo:

Se tiene una viga simplemente apoyada de 4.80 m, de luz, la cual se halla toda la longitud sometida a la acción de una carga uniformemente repartida en 2,4 ton/m. se desea conocer:

a. ¿Cuál es el máximo esfuerzo de corte positivo que pueda producirse en la viga y en que sección se ocasionaría?

b. ¿Cuál es el valor del esfuerzo de corte en una sección a 1,2 m del apoyo izquierdo?

Solución:

a.- el máximo esfuerzo de corte positivo se producirá es el apoyo izquierdo siendo su valor:

Va=2,4 (1,0 ) (4,6 )

2=5.76TN

b.- En una sección a 1,20 m del apoyo izquierdo:

Corte positivo:

Corte negativo:

Corte en E:

V=3,24−0.36=2,88TN

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EJERCICIO N°3 : hallar el valor del momento flector en el centro de luz de la viga cargada tal como se indica.

Solución

Dibujamos la línea de influencia en el centro de luz de la viga

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Calculamos el valor de ´´C´´, luego los demás valores.

C=3x 33+3

=1.5

A=13

(1.5 )=0.5

B=2.53

(1.5 )=1.25

D=1.53

(1.5 )=0.75

La línea de influencia quedaría de la siguiente manera.

Calculamos el momento en el centro de luz de la viga.

M L2

=10 (0.5 )+15 (1.25 )+20 (0.75)

M L2

=38.75T−m

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5 CONCLUSIONES

Las líneas de influencia permiten la fácil comprensión de cómo se comporta una estructura, donde se simulan las cargas a lo largo de ella para que a través de este principio se pueda analizar donde posteriormente se conoce su diseño.

Estos son apuntes muy importantes que tenemos que tener en cuenta para el diseño de un puente cuando actúan cargas que se desplazaran sobre todo el claro donde podremos obtener los diagramas de líneas de influencia.

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6 BIBLIOGAFIA

APAZA H., Pablo; “PUENTES. Introducción al diseño de puentes en concreto”; Azul editores gráficos; 3ra edición; Lima; Perú; 1992.

MCCORMARC C., Jack. “Análisis estructural”; HARLA S.A. de C.V.; Tercera edición; México D.F., México, 1983.

GONZÁLEZ CUEVA, “Análisis Estructural”, Universidad Autónoma Metropolitana, Primera Edición, Mexico.

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lineas de influencia

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