linear programming example 01
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Programación Lineal: Ejemplo 1
¿Qué es programación lineal?
Es un método para obtener un resultado óptimo con base en un modelo matemático en el que todas las relaciones entre variables y constantes pueden expresarse linealmente.
Ejemplo 1: Primera Parte
Una planta industrial emplea tres máquinas M1, M2 y M3 para fabricar dos artículos A1 y A2.
Para la fabricación de A1 se requieren dos horas en la máquina M1, una hora en la M2 y tres horas en la M3; para el producto A2 hace falta una hora en la máquina M1, una hora en la M2 y 5 horas en la M3.
M2
M3M1
Ejemplo 1: Segunda Parte
Se dispone de 180 horas en la máquina M1, 110 en la M2 y 480 en la M3.
La ganancia obtenida por cada pieza del artículo A1 es de $50 y por cada pieza del artículo A2 es de $40. ¿Cuántas piezas de cada artículo deben fabricarse para que la ganancia sea la máxima posible?
Ejemplo 1: Análisis de la Información
Después de una lectura superficial del problema es necesario leerlo nuevamente con mayor atención.
En la segunda lectura trataremos de organizar la información.
En las siguientes diapositivas se emplean colores para visualizar cómo se organizará la información.
Azul: M1 Rojo: M2 Verde: M3
Ejemplo 1: Análisis de la Información
Una planta industrial emplea tres máquinas M1, M2 y M3 para fabricar dos artículos A1 y A2.
Para la fabricación de A1 se requieren dos horas en la máquina M1, una hora en la M2 y tres horas en la M3; para el producto A2 hace falta una hora en la máquina M1, una hora en la M2 y 5 horas en la M3.
Ejemplo 1: Análisis de la Información
Se dispone de 180 horas en la máquina M1, 110 en la M2 y 480 en la M3.
La ganancia obtenida por cada pieza del artículo A1 es de $50 y por cada pieza del artículo A2 es de $40.
¿Cuántas piezas de cada artículo deben fabricarse para que la ganancia sea la máxima posible?
Ejemplo 1: Segunda parte
Para el planteamiento generalmente se emplea una tabla en la que se sintetizan los datos de modo que sea más fácil visualizar las relaciones entre las variables y las constantes.
Ejemplo 1: Segunda parte
Productos o Artículos
Recursos necesarios
Artículo A1
Artículo A2
Disponibilidad de recursos
Máquina M1
Máquina M2
Máquina M3
Ganancia
Ejemplo 1: Planteamiento
Productos o Artículos
Recursos necesarios
Artículo A1
Artículo A2
Disponibilidad de recursos
Máquina M1 2 1 180
Máquina M2
Máquina M3
Ganancia
Ejemplo 1: Planteamiento
Productos o Artículos
Recursos necesarios
Artículo A1
Artículo A2
Disponibilidad de recursos
Máquina M1 2 1 180
Máquina M2 1 1 110
Máquina M3
Ganancia
Ejemplo 1: Planteamiento
Productos o Artículos
Recursos necesarios
Artículo A1
Artículo A2
Disponibilidad de recursos
Máquina M1 2 1 180
Máquina M2 1 1 110
Máquina M3 3 5 480
Ganancia
Ejemplo 1: Planteamiento
Productos o Artículos
Recursos necesarios
Artículo A1
Artículo A2
Disponibilidad de recursos
Máquina M1 2 1 180
Máquina M2 1 1 110
Máquina M3 3 5 480
Ganancia 50 40
Ejemplo 1: Planteamiento
Productos o Artículos
Recursos necesarios
Artículo A1
Artículo A2
Disponibilidad de recursos
Máquina M1 2 1 180
Máquina M2 1 1 110
Máquina M3 3 5 480
Ganancia 50 40 Maximizar
Ejemplo 1: Planteamiento
Productos o Artículos
Recursos necesarios
Artículo A1
xArtículo A2
yDisponibilidad de
recursos
Máquina M1 2 1 180
Máquina M2 1 1 110
Máquina M3 3 5 480
Ganancia 50 40 Maximizar
Ejemplo 1: Planteamiento
¿Cuántas piezas de cada artículo deben fabricarse para que la ganancia sea la máxima posible?
Identificaremos mediante incógnitas las cantidades de cada artículo que se debe fabricar
Cantidad de piezas de A1 = xCantidad de piezas de A2 = y
Ejemplo 1: Planteamiento
Productos o Artículos
Recursos necesarios
Artículo A1
xArtículo A2
yDisponibilidad de
recursos
Máquina M1 2 1 180
Máquina M2 1 1 110
Máquina M3 3 5 480
Ganancia 50 40 Maximizar
Número de piezas
del artículo A1 que
se van a fabricar
Número de piezas
del artículo A2 que
se van a fabricar
Ejemplo 1: Restricciones y desigualdades
La suma de los recursos utilizados para fabricar los artículos A1 y A2 no deben ser mayores a los recursos disponibles.
Aplicando una restricción similar en cada máquina, obtendremos las tres desigualdades que constituyen el modelo matemático del problema.
M1: Restricción 1
M2: Restricción 2
M3: Restricción 3
Ejemplo 1: Restricciones y desigualdades
Para la máquina M1, se obtiene la inecuación 1.
𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟖𝟎
Ejemplo 1: Restricciones y desigualdades
Para la máquina M2, se obtiene la inecuación 2.
1𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟏𝟎
Ejemplo 1: Restricciones y desigualdades
En resumen, las desigualdades son:
𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟖𝟎
1𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟏𝟎
𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 ≤ 𝟒𝟖𝟎
Productos o Artículos
Recursos necesarios
Artículo A1
xArtículo A2
yDisponibilidad
de recursos
Máquina M1 2 1 180
Máquina M2 1 1 110
Máquina M3 3 5 480
Ganancia 50 40 Maximizar
Ejemplo 1: Trazar las gráficas
Ecuación 1: 𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎
𝒙 = 𝟎, 𝟐 𝟎 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎
𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎
𝒚 =𝟏𝟖𝟎
𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎
𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:(𝟎, 𝟏𝟖𝟎)
Ejemplo 1: Trazar las gráficas
Ecuación 1: 𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎
y= 𝟎, 𝟐𝒙 + 𝟏(𝟎) = 𝟏𝟖𝟎
𝟐𝒙 = 𝟏𝟖𝟎
𝐱 =𝟏𝟖𝟎
𝟐𝐱 = 𝟗𝟎
𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:(𝟗𝟎, 𝟎)
Ejemplo 1: Trazar las gráficas
Ecuación 2: 𝟏𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎
𝒙 = 𝟎, 𝟏 𝟎 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎
𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎
𝒚 =𝟏𝟏𝟎
𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎
𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:(𝟎, 𝟏𝟏𝟎)
Ejemplo 1: Trazar las gráficas
Ecuación 2: 𝟏𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎
𝐲 = 𝟎, 𝟏𝒙 + 𝟏(𝟎) = 𝟏𝟏𝟎
𝟏𝒙 = 𝟏𝟏𝟎
𝐱 =𝟏𝟏𝟎
𝟏𝐱 = 𝟏𝟏𝟎
𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:(𝟏𝟏𝟎, 𝟎)
Ejemplo 1: Trazar las gráficas
Ecuación 3: 𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟒𝟖𝟎
𝒙 = 𝟎, 𝟑 𝟎 + 𝟓𝒚 = 𝟒𝟖𝟎
𝟓𝒚 = 𝟒𝟖𝟎
𝒚 =𝟒𝟖𝟎
𝟓𝒚 = 𝟗𝟔
𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:(𝟎, 𝟗𝟔)
Ejemplo 1: Trazar las gráficas
Ecuación 3: 𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟒𝟖𝟎
𝐲 = 𝟎, 𝟑𝒙 + 𝟓(𝟎) = 𝟒𝟖𝟎
𝟑𝒙 = 𝟒𝟖𝟎
𝐱 =𝟒𝟖𝟎
𝟑𝐱 = 𝟏𝟔𝟎
𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐:(𝟏𝟔𝟎, 𝟎)
Ejemplo 1: Restricciones y desigualdades
Puntos obtenidos en las tabulaciones
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎𝟎, 𝟏𝟖𝟎(𝟗𝟎, 𝟎)
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟑𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟒𝟖𝟎𝟎, 𝟗𝟔(𝟏𝟔𝟎, 𝟎)
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐𝟏𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎𝟎, 𝟏𝟏𝟎(𝟏𝟏𝟎, 𝟎)
Ejemplo 1: Trazar las gráficas𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏: 𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟖𝟎: 𝟎, 𝟏𝟖𝟎 − (𝟗𝟎, 𝟎)
Esta es la gráfica de la ecuación.No olvidemos que la desigualdad incluye uno de los dos lados en los que la recta divide al plano cartesiano.
Ejemplo 1: Trazar las gráficas
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐: 𝟏𝒙 + 𝟏𝒚 = 𝟏𝟏𝟎: 𝟎, 𝟏𝟏𝟎 − (𝟏𝟏𝟎, 𝟎)
Para saber cuál lado de la desigualdad pertenece a la solución se toma un punto cualquiera del plano, generalmente el origen, y se sustituye en la desigualdad que se desea resolver.
Ejemplo 1: Gráficas de las desigualdades
Probamos la desigualdad 1 con las coordenadas del origen (0, 0): x = 0, y = 0
𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟖𝟎𝟐 𝟎 + 𝟏 𝟎 ≤ 𝟏𝟖𝟎𝟎 ≤ 𝟏𝟖𝟎
El resultado final es verdadero; cero es menor que 180, por lo tanto la gráfica incluye los puntos que están del mismo lado que el origen.
Ejemplo 1: Gráficas de las desigualdades
Probamos la desigualdad 1 con las coordenadas del origen (0, 0): x = 0, y = 0
𝟐𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟖𝟎𝟐 𝟎 + 𝟏 𝟎 ≤ 𝟏𝟖𝟎𝟎 ≤ 𝟏𝟖𝟎
El resultado final es verdadero; cero es menor que 180, por lo tanto la gráfica incluye los puntos que están del mismo lado que el origen.
Ejemplo 1: Gráficas de las desigualdades
Probamos la desigualdad 2 con las coordenadas del origen (0, 0): x = 0, y = 0
El resultado final es verdadero; cero es menor que 110, por lo tanto la gráfica incluye los puntos que están del mismo lado que el origen.
𝟏𝒙 + 𝟏𝒚 ≤ 𝟏𝟏𝟎𝟏 𝟎 + 𝟏 𝟎 ≤ 𝟏𝟏𝟎𝟎 ≤ 𝟏𝟏𝟎
Ejemplo 1: Gráficas de las desigualdades
Probamos la desigualdad 3 con las coordenadas del origen (0, 0): x = 0, y = 0
El resultado final es verdadero; cero es menor que 480, por lo tanto la gráfica incluye los puntos que están del mismo lado que el origen.
𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 ≤ 𝟒𝟖𝟎𝟑 𝟎 + 𝟓 𝟎 ≤ 𝟒𝟖𝟎𝟎 ≤ 𝟒𝟖𝟎
Ejemplo 1: Gráficas con las 3 desigualdades
La intersección de estas tres áreas recibe el nombre de:“Área de Soluciones factibles”.En la siguiente diapositiva se señala con mayor claridad.
Ejemplo 1: Área de soluciones factibles
Se muestra, sombreada, el área de soluciones factibles.Es posible demostrar que la solución óptima se encuentra en uno de los vértices de dicha área.
Ejemplo 1: Vértices del área de soluciones factibles
El siguiente paso es determinar las coordenadas de los vértices.Aunque es posible aplicar el método gráfico, es preferible recurrir a algún método analítico.
Ejemplo 1: Vértices del área de soluciones factibles
El siguiente paso es determinar las coordenadas de los vértices.Aunque es posible aplicar el método gráfico, es preferible recurrir a algún método analítico.
Ejemplo 1: Vértices del área de soluciones factibles
Generalmente algunos de los vértices se conocen desde las tabulaciones empleadas para graficar.En este caso los vértices A, B y C.
Ejemplo 1: Vértices del área de soluciones factibles
Las coordenadas de los vértices D y E se determinan por cualquier método analítico o del álgebra lineal: reducción, sustitución, igualación, Cramer, Gauss, Gauss – Jordan, entre muchos otros.
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
El siguiente paso es sustituir en la función objetivo las coordenadas de cada vértice del área de soluciones factibles.
Función Objetivo:
Maximizar: z = 50x + 40y
Dado que se desea maximizar la ganancia, el vértice que arroje el mayor valor, será la solución del problema.
Cuando se trata de minimizar costos se elegirá el vértice que arroje el menor valor.
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96)
B(0, 0)
C( 90, 0)
D(70, 40)
E(35, 75)
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96)
B(0, 0)
C( 90, 0)
D(70, 40)
E(35, 75)
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0)
C( 90, 0)
D(70, 40)
E(35, 75)
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0
C( 90, 0)
D(70, 40)
E(35, 75)
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0)
C( 90, 0)
D(70, 40)
E(35, 75)
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0)
D(70, 40)
E(35, 75)
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0
D(70, 40)
E(35, 75)
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0)
D(70, 40)
E(35, 75)
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40)
E(35, 75)
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40
E(35, 75)
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40)
E(35, 75)
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100
E(35, 75)
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100
E(35, 75) 35 75
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100
E(35, 75) 35 75 50(35) + 40(75)
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100
E(35, 75) 35 75 50(35) + 40(75) 4750
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100
E(35, 75) 35 75 50(35) + 40(75) 4750
Se toma el vértice que maximiza la función objetivo
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100
E(35, 75) 35 75 50(35) + 40(75) 4750
Se toma el vértice que maximiza la función objetivo
Ejemplo 1: Ganancias en los vértices del área de soluciones factibles
Vértice x y z = 50x + 40y Ganancia
A(0, 96) 0 96 50(0) + 40(96) 3840
B(0, 0) 0 0 50(0) + 40(0) 0
C( 90, 0) 90 0 50(90) + 40 (0) 4500
D(70, 40) 70 40 50(70) + 40(40) 5100
E(35, 75) 35 75 50(35) + 40(75) 4750
Se toma el vértice que maximiza la función objetivo
Solución del Ejemplo 1
La solución, según el modelo empleado consiste en fabricar:
70 piezas del artículo A1
40 piezas del artículo A2
Obteniendo una ganancia de $5,100.
Por su atenciónGracias
Fuentes de información en línea:http://licmata-math.blogspot.mx/http://www.scoop.it/t/mathematics-learninghttps://www.facebook.com/licematahttps://www.linkedin.com/in/licmatahttp://www.slideshare.net/licmataTwitter @licemata