第 3 回 の関数 の 極限

ai i が一つに a の E近傍-.--_-

婚 ca-E.at E) の 形 の 開 区間・ つに a の 近傍琳 ある と 近傍 を 含む 集合

い た) : つにa の近傍 で 定義 さ れた 関数ただ し た) は つに a で定義 されてい なく て も よい

。

つい a の と き た) の 極限 が d である。

分断と 7 0

ヨ f = fa ) st、この

E-8論法 という.

0 く は al < f ⇒ 1物が 〈 E

この とき

faた) = メ または 杉→ の は、

と表すgo.io)

II) 扣 : (b.no ) で 定義 された関数が N の とき 物 の 極限がん である

(- N)婚 と70 五M =Mast. N>M ⇒ 物は KE(とく -M)

このとき

煮物 が lf.fm = メ ) または たい 仏・)

と 表す。

②④ . の は 物 の 右極限

佐 )⑦邶

を > oヨ f = f(E) 7 0 St .

0 く つ(- a < 8 ⇒ 1和一 の 1 4(-8<71-9<0)

この とき 無.fm) = メ と 表す

ii.aの

だ。杉 = メ

(樹が ) の錝たい。iCarly

a

煮物pTh は可 f : I = に 1 0 < H-de b } で 定義 されている

。

fa た ) この

⇐> 前 a = a を みたす すべて の Mn 1 CI について

f. fa) は

い) f : I !だ ) で 定義 さ れている

煮物 = メ (煮権の

⇒ f.ae 秒 を みたす すべて の {al CI についてf. f (an) = の

③proof.e.CI ) について のみ 示す 。

か) 任意 の E > 0 に対して 、 十分小さな 870 が存在 して.

0 < DC- al < f を みたす すべての つ( EI に対して1 fm _ の 1 < C

が成立 する 数列 {al は 前Aih をみたすので十分大きなNEIN を とれば ならN に対して

Ian - al < 8で ある

。

したがって 1 8(an) - の 1 < E (MN)

K) 背理法 で示す、

結論 を 否定 する とE

。2 0 を うまくとれば どんな 870 に対しても

0<1%-91<8 かつlfm.tl?Eo/を みたす な EI が存在する

とくに f ニキ と すれば Gn = な とおいて

0<19、 - al は かつ 1格 ) - の 1 3 %

が成立 する。

これ より Sant は 喆Gna てみたし、

かつ Hay は d に 収束 しない ので仮定に矛盾 x

④II. 9 Cauchy の 判定法II) f i I = {x 1 0 くは d Ebl で定義 されている

煮物 が存在

、_Candy 列 の条件に

⇐つ なっ o な は st.

類似

O 〈 PG - al < S .0<1%-91<8

⇒ lfk ) - fa)KE

に) f : I - K.o) で 定義 されている

。

f.扣 が存在

⇐) と70 ヨ R = R st.

DR.なっ R ⇒ 物 ) -枷 KE

proof.ee 川 の か のみ 示す仏 1 を f.tn = a を みたす数列 と する と

仮定より H矧 は Cay 列 であり、Th

.1- 6 より

f.fm) =l が 存在 する

一方 、は、 1 さ だ。 お こん を みたす 別 の 数列 とすると

仮定より は別 も Cauchy 列 であり 、

Th-1. 6 より

喆が) =女 が 存在 する

⑤NEN を 十分 大きく とれば .

FM 3N について

1つ(n - al は 、 1 2m - al < f

を みたす ので、仮定 より

1 fm ) - fyn) 1 < E

となる。

ここで n → N と すれば

Il- l*IEEE7 0 は 任意 なので eid であり、 f.ae を

みたす 任意 の 数列伽 1 について は甽 は 同一 の極限をもっ

よ、 て Th . 1 . 8 (i ) より faた) = l と なる。 a

汴の 煮物 、 楽。杉

、 煮物 について も 類似 の 結果が成立 する

関数 の連続性。 関数 f : I - R が I 内 の点 が a で連選出さ

fafm = fa)琳

とっ。ヨf = Ha > 0 st .

H- al < f ⇒ 1 farfa I < E

なお、

AEI が 区間 I の 左 端点 ⇒ 煮物 二物(右 ) (煮物 派 )

⑥連続性 について 次 の定理 が成立 する

。

五 1.10

f : I - R が つい a GI で連続⇐7 た。

an = A となる すべて の 点列 {al CI について

- farfaProof-

た 1.8 の か の 人 を ha) と すれば よい x

I. 1 1

f : つに a で連続 、 G : A -

一% で連続⇒ gば) は たん で連続 t 連続関数の

合成関数は連続曜点列 は 1 は 参加 ta を みたす とする

。

この とき fbc) の x = a での連続性 よりhafan) = fa)

と なる、

また 8は) の よた) での 連続性よりf. 818呦 ) - gHa) .

よ、て、

Th.1. 10 より gh) は つに a で連続 x