lecture 8 - binary trees

7/29/2019 Lecture 8 - Binary Trees

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9 . 1 - 4 S h o w t h a t t h e n l g n l o w e r b o u n d f o r s o r t i n g

s t i l l h o l d s w i t h t e r n a r y c o m p a r i s o n s .

T h e m a x i m u m n u m b e r o f l e a v e s i n a t r e e o f h e i g h t h

i s 3

h

,

l g

3

n ! = n l g n

S o i t g o e s f o r a n y c o n s t a n t b a s e .


3/19

B i n a r y S e a r c h T r e e s

I t h i n k t h a t I s h a l l n e v e r s e e

a p o e m a s l o v e l y a s a t r e e P o e m ' s

a r e w r o t e b y f o o l s l i k e m e b u t o n l y

G - d c a n m a k e a t r e e

J o y c e K i l m e r

B i n a r y s e a r c h t r e e s p r o v i d e a d a t a s t r u c t u r e w h i c h e f -

c i e n t l y s u p p o r t s a l l s i x d i c t i o n a r y o p e r a t i o n s .

A b i n a r y t r e e i s a r o o t e d t r e e w h e r e e a c h n o d e c o n t a i n s

a t m o s t t w o c h i l d r e n .

E a c h c h i l d c a n b e i d e n t i e d a s e i t h e r a l e f t o r r i g h t

c h i l d .

parent

rightleft

A b i n a r y t r e e c a n b e i m p l e m e n t e d w h e r e e a c h n o d e

h a s l e f t a n d r i g h t p o i n t e r e l d s , a n o p t i o n a l p a r e n t

p o i n t e r , a n d a d a t a e l d .


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B i n a r y S e a r c h T r e e s

A b i n a r y s e a r c h t r e e l a b e l s e a c h n o d e i n a b i n a r y t r e e

w i t h a s i n g l e k e y s u c h t h a t f o r a n y n o d e x , a n d n o d e s

i n t h e l e f t s u b t r e e o f x h a v e k e y s x a n d a l l n o d e s i n

t h e r i g h t s u b t r e e o f x h a v e k e y ' s x

2

3

7

6 8

5

8

5

32

7

6

L e f t : A b i n a r y s e a r c h t r e e . R i g h t : A h e a p b u t n o t a

b i n a r y s e a r c h t r e e .

T h e s e a r c h t r e e l a b e l i n g e n a b l e s u s t o n d w h e r e a n y

k e y i s . S t a r t a t t h e r o o t - i f t h a t i s n o t t h e o n e w e w a n t ,

s e a r c h e i t h e r l e f t o r r i g h t d e p e n d i n g u p o n w h e t h e r w h a t

w e w a n t i s o r t h e n r o o t .


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S e a r c h i n g i n a B i n a r y T r e e

D i c t i o n a r y s e a r c h o p e r a t i o n s a r e e a s y i n b i n a r y t r e e s . . .

T R E E - S E A R C H x , k

i f x = N I L o r k = k e y x

t h e n r e t u r n x

i f k k e y x

t h e n r e t u r n T R E E - S E A R C H l e f t x , k

e l s e r e t u r n T R E E - S E A R C H r i g h t x , k

T h e a l g o r i t h m w o r k s b e c a u s e b o t h t h e l e f t a n d r i g h t

s u b t r e e s o f a b i n a r y s e a r c h t r e e a r e b i n a r y s e a r c h t r e e s

r e c u r s i v e s t r u c t u r e , r e c u r s i v e a l g o r i t h m .

T h i s t a k e s t i m e p r o p o r t i o n a l t o t h e h e i g h t o f t h e t r e e ,

O h


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M a x i m u m a n d M i n i m u m

W h e r e a r e t h e m a x i m u m a n d m i n i m u m e l e m e n t s i n a

b i n a r y t r e e ?

T R E E - M A X I M U M X

w h i l e r i g h t x 6= N I L

d o x = r i g h t x

r e t u r n x

T R E E - M I N I M U M x

w h i l e l e f t x 6= N I L

d o x = l e f t x

r e t u r n x

B o t h t a k e t i m e p r o p o r t i o n a l t o t h e h e i g h t o f t h e t r e e ,

O h


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W h e r e i s t h e p r e d e c e s s o r ?

W h e r e i s t h e p r e d e c e s s o r o f a n o d e i n a t r e e , a s s u m i n g

a l l k e y s a r e d i s t i n c t ?

X

PREDECESSOR(X) SUCCESSOR(X)

I f X h a s t w o c h i l d r e n , i t s p r e d e c e s s o r i s t h e m a x i m u m

v a l u e i n i t s l e f t s u b t r e e a n d i t s s u c c e s s o r t h e m i n i m u m

v a l u e i n i t s r i g h t s u b t r e e .


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X

predecessor(x)

I f i t d o e s n o t h a v e a l e f t c h i l d , a n o d e ' s p r e d e c e s s o r i s

i t s r s t l e f t a n c e s t o r .

T h e p r o o f o f c o r r e c t n e s s c o m e s f r o m l o o k i n g a t t h e

i n - o r d e r t r a v e r s a l o f t h e t r e e .


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H

AF

GB

D

C E

T r e e - S u c c e s s o r x

i f r i g h t x 6= N I L

t h e n r e t u r n T r e e - M i n i m u m r i g h t x

y p x

w h i l e y 6= N I L a n d x = r i g h t y

d o x y

y p y

r e t u r n y

T r e e p r e d e c e s s o r s u c c e s s o r b o t h r u n i n t i m e p r o p o r -

t i o n a l t o t h e h e i g h t o f t h e t r e e .

I n o r d e r - T r e e - w a l k x

i f x N I L

t h e n I n o r d e r - T r e e - W a l k l e f t x

p r i n t k e y x

I n o r d e r - T r e e - w a l k r i g h t x

A - B - C - D - E - F - G - H


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T r e e I n s e r t i o n

D o a b i n a r y s e a r c h t o n d w h e r e i t s h o u l d b e , t h e n

r e p l a c e t h e t e r m i n a t i o n N I L p o i n t e r w i t h t h e n e w i t e m .

L E A F I N S E R T I O N F I G U R E

T r e e - i n s e r t T ; z

y = N I L

x = r o o t T

w h i l e x 6= N I L

d o y = x

i f k e y z k e y x

t h e n x = l e f t x

e l s e x = r i g h t x

p z y

i f y = N I L

t h e n r o o t T z

e l s e i f k e y z k e y y

t h e n l e f t y z

e l s e r i g h t y z

y i s m a i n t a i n e d a s t h e p a r e n t o f x , s i n c e x e v e n t u a l l y

b e c o m e s N I L .

T h e n a l t e s t e s t a b l i s h e s w h e t h e r t h e N I L w a s a l e f t

o r r i g h t t u r n f r o m y

I n s e r t i o n t a k e s t i m e p r o p o r t i o n a l t o t h e h e i g h t o f t h e

t r e e , O h


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T r e e D e l e t i o n

D e l e t i o n i s s o m e w h a t m o r e t r i c k y t h a n i n s e r t i o n , b e -

c a u s e t h e n o d e t o d i e m a y n o t b e a l e a f , a n d t h u s e e c t

o t h e r n o d e s .

C a s e a , w h e r e t h e n o d e i s a l e a f , i s s i m p l e - j u s t N I L

o u t t h e p a r e n t s c h i l d p o i n t e r .

C a s e b , w h e r e a n o d e h a s o n e c h l d , t h e d o o m e d n o d e

c a n j u s t b e c u t o u t .

C a s e c , r e l a b e l t h e n o d e a s i t s s u c c e s s o r w h i c h h a s

a t m o s t o n e c h i l d w h e n z h a s t w o c h i l d r e n ! a n d d e l e t e

t h e s u c c e s s o r !

T h i s i m p l e m e n t a t i o n o f d e l e t i o n a s s u m e s p a r e n t p o i n t -

e r s t o m a k e t h e c o d e n i c e r , b u t i f y o u h a d t o s a v e s p a c e

t h e y c o u l d b e d i s p e n s e d w i t h b y k e e p i n g t h e p o i n t e r s

o n t h e s e a r c h p a t h s t o r e d i n a s t a c k .

T r e e - D e l e t e T ; z

i f l e f t z = N I L o r r i g h t z = N I L

t h e n y z

e l s e y T r e e - S u c c e s s o r z

i f l e f t y 6= N I L

t h e n x l e f t y

e l s e x r i g h t y

i f x 6= N I L

t h e n p x p y

i f p y = N I L

t h e n r o o t T x

e l s e i f y = l e f t p y


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t h e n l e f t p y x

e l s e r i g h t p y x

i f y z

t h e n k e y z k e y y

* I f y h a s o t h e r e l d s , c o p y t h e m , t o o .

r e t u r n y

L i n e s 1 - 3 d e t e r m i n e w h i c h n o d e y i s p h y s i c a l l y r e m o v e d .

L i n e s 4 - 6 i d e n t i f y x a s t h e n o n - n i l d e c e n d a n t , i f a n y .

L i n e s 7 - 8 g i v e x a n e w p a r e n t .

L i n e s 9 - 1 0 m o d i f y t h e r o o t n o d e , i f n e c e s s a r y

L i n e s 1 1 - 1 3 r e a t t a c h t h e s u b t r e e , i f n e c e s s a r y .

L i n e s 1 4 - 1 6 i f t h e r e m o v e d n o d e i s d e l e t e d , c o p y .

C o n c l u s i o n : d e l e t i o n t a k e s t i m e p r o p o r t i o n a l t o t h e

h e i g h t o f t h e t r e e .


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B a l a n c e d S e a r c h T r e e s

A l l s i x o f o u r d i c t i o n a r y o p e r a t i o n s , w h e n i m p l e m e n t e d

w i t h b i n a r y s e a r c h t r e e s , t a k e O h , w h e r e h i s t h e

h e i g h t o f t h e t r e e .

T h e b e s t h e i g h t w e c o u l d h o p e t o g e t i s l g n , i f t h e

t r e e w a s p e r f e c t l y b a l a n c e d , s i n c e

P

b l g n c

i = 0

2

i

n

B u t i f w e g e t u n l u c k y w i t h o u r o r d e r o f i n s e r t i o n o r

d e l e t i o n , w e c o u l d g e t l i n e a r h e i g h t !

i n s e r t a

i n s e r t b

i n s e r t c

i n s e r t d

A

B

C

D

I n f a c t , r a n d o m s e a r c h t r e e s o n a v e r a g e h a v e l g N

h e i g h t , b u t w e a r e w o r r i e d a b o u t w o r s t c a s e h e i g h t .

W e c a n ' t e a s i l y u s e r a n d o m i z a t i o n - W h y ?


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P e r f e c t l y B a l a n c e d T r e e s

P e r f e c t l y b a l a n c e d t r e e s r e q u i r e a l o t o f w o r k t o m a i n -

t a i n :

9

5 13

11 15

1412108

7

64

3

2

1

16

I f w e i n s e r t t h e k e y 1 , w e m u s t m o v e e v e r y s i n g l e n o d e

i n t h e t r e e t o r e b a l a n c e i t , t a k i n g n t i m e .

T h e r e f o r e , w h e n w e t a l k a b o u t " b a l a n c e d " t r e e s , w e

m e a n t r e e s w h o s e h e i g h t i s O l g n , s o a l l d i c t i o n a r y

o p e r a t i o n s i n s e r t , d e l e t e , s e a r c h , m i n m a x , s u c c e s -

s o r p r e d e c e s s o r t a k e O l g n t i m e .

R e d - B l a c k t r e e s a r e b i n a r y s e a r c h t r e e s w h e r e e a c h

n o d e i s a s s i g n e d a c o l o r , w h e r e t h e c o l o r i n g s c h e m e

h e l p s u s m a i n t a i n t h e h e i g h t a s l g n


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R e d - B l a c k T r e e D e n i t i o n

R e d - b l a c k t r e e s h a v e t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

1 . E v e r y n o d e i s c o l o r e d e i t h e r r e d o r b l a c k .

2 . E v e r y l e a f N I L p o i n t e r i s b l a c k .

3 . I f a n o d e i s r e d t h e n b o t h i t s c h i l d r e n a r e b l a c k .

4 . E v e r y s i n g l e p a t h f r o m a n o d e t o a d e c e n d a n t l e a f

c o n t a i n s t h e s a m e n u m b e r o f b l a c k n o d e s .


16/19

W h a t d o e s t h i s m e a n ?

I f t h e r o o t o f a r e d - b l a c k t r e e i s b l a c k c a n w e j u s t c o l o r

i t r e d ?

N o ! F o r o n e o f i t s c h i l d r e n m i g h t b e r e d .

I f a n a r b i t r a r y n o d e i s r e d c a n w e c o l o r i t b l a c k ?

N o ! B e c a u s e n o w a l l n o d e s m a y n o t h a v e t h e s a m e

b l a c k h e i g h t .

W h a t t r e e m a x i m i z e s t h e n u m b e r o f n o d e s i n a t r e e o f

b l a c k h e i g h t h ?


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W h a t d o e s a r e d - b l a c k t r e e w i t h t w o r e a l n o d e s l o o k

l i k e ?

(1) (2) (3) (4)

N o t 1 - c o n s e c u t i v e r e d s N o t 2 , 4 - N o n - U n i f o r m

b l a c k h e i g h t


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R e d - B l a c k T r e e H e i g h t

L e m m a : A r e d - b l a c k t r e e w i t h n i n t e r n a l n o d e s h a s

h e i g h t a t m o s t 2 l g n + 1 .

P r o o f : O u r s t r a t e g y ; r s t w e b o u n d t h e n u m b e r o f

n o d e s i n a n y s u b t r e e , t h e n w e b o u n d t h e h e i g h t o f a n y

s u b t r e e .

W e c l a i m t h a t a n y s u b t r e e r o o t e d a t x h a s a t l e a s t

2

b h x

- 1 i n t e r n a l n o d e s , w h e r e b h x i s t h e b l a c k h e i g h t

o f n o d e x

P r o o f , b y i n d u c t i o n :

b h x = 0 ! x i s a l e a f , ! 2

0

, 1 = 0

N o w a s s u m e i t i s t r u e f o r a l l t r e e w i t h b l a c k h e i g h t

b h x

I f x i s b l a c k , b o t h s u b t r e e s h a v e b l a c k h e i g h t b h x , 1

I f x i s r e d , t h e s u b t r e e s h a v e b l a c k h e i g h t b h x

T h e r e f o r e , t h e n u m b e r o f i n t e r n a l n o d e s i n a n y s u b t r e e

i s

n 2

b h x , 1

, 1 + 2

b h x , 1

, 1 + 1 2

b h x

, 1


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N o w , l e t h b e t h e h e i g h t o f o u r r e d - b l a c k t r e e . A t

l e a s t h a l f t h e n o d e s o n a n y s i n g l e p a t h f r o m r o o t t o

l e a f m u s t b e b l a c k i f w e i g n o r e t h e r o o t .

T h u s b h x h = 2 a n d n 2

h = 2

, 1 , s o n + 1 2

h = 2

T h i s i m p l i e s t h a t l g n + 1 h = 2 , s o h 2 l g n + 1 .

T h e r e f o r e r e d - b l a c k t r e e s h a v e h e i g h t a t m o s t t w i c e

o p t i m a l . W e h a v e a b a l a n c e d s e a r c h t r e e i f w e c a n

m a i n t a i n t h e r e d - b l a c k t r e e s t r u c t u r e u n d e r i n s e r t i o n

a n d d e l e t i o n .

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