Microsoft PowerPoint - Lecture 1.pptxCentre for Quantum Technologies (CQT) and National University of Singapore
Okinawa School in Physics: Coherent Quantum Dynamics September 27 – October 6, 2016
Part I
• Short range interactions interactions • Zeeman structure and BreitRabi formula • Feshbach resonances and Asymptotic bound state model
Short range interactions
some range of interaction
“dilute” gas limit
Scattering cross section depends complete short range behavior on range and depth.
density 
Cross section:
Asymptotic solutions:
Asymptotic solutions:
m=0 due to cylindrical symmetry
Swave limit
Cross section:
swave cross section:
Wave function at short range: node at        ↔ “hard scatterer” of radius 
scattering length, depends on the  shape of potential
Swave scattering limits
e.g.: large Na cloud above BEC
(classical)
swave much earlier by Ketterle et al.
swave dwave
photoassociation spectroscopy:
Photoassociation Example
Loss spectrum in MOT.
Goal: determination of the scattering length from vibrational states
Twophoton
Twophoton Raman transition to probe ground state vibr. levels
photoassociation spectroscopy:
energy of weakest bound level
TwoPhoton PA Example
Example: 2 Photon PA spectroscopy of 23Na, Jones et al. (1996):
• second photon is ionizing • dips show boundbound transition to ground state
Accumulated phase method
Scattering length depends critically on
Resonant scattering:  Tuning: • optical ac Stark effect • Zeeman effect in a magnetic field
Assumption: around threshold accumulated phase from inner part is slowly varying.
• determine ri for boundary condition
• determine  for given
energy • infer scattering phase and length
Some scattering lengths
Atom scattering length at (a0)
H 1.2 6Li 2160±250 7Li 27.6±0.5 23Na 65±0.9 39K 17±25 40K 194+115
41K 65+13
taken from D. Heinzen
15
Improved laser cooling: • nS → (n+1)P (323 nm for Li) • grey molasses cooling
• inverted hyperfine structure in ground state
=6 MHz
6Li ground state Zeeman structure:
Strong field regime for the hyperfine structure → uncoupled basis (total M is conserved)
magnetic field, (G)
en er gy  (M
BreitRabi Formula
G. Breit and I.I. Rabi, Physical Review, 38, 2032 (1931) 
18
19
This section: derivation of the BreitRabi formula for fine structure multipletts
Assume:
Then: analytic formula can be derived to describe energies at low, INTERMEDIATE, and high magnetic fields.
Similar derivation and result for the Zeeman effect of HYPERFINE MULTIPLETTS.
Description for intermediate magnetic fields ?
In general: For larger spin quantum numbers only numerical solution  possible.
20
21
Convenient to use uncoupled basis:
To see MIXING of different states, convenient to express              by ladder operators:
Hence:
Note: commutes with . Hence is a good quantum number for all . Hence are not changed by the field.
22
Example:
Given:
ms
23
Spin projection quantum number for “ket”        (same, since diagonal elm.)
Implicitly given:
25
Matrix form of   with                                   . 
Matrix consists of two diagonal elements for the stretched states plus
2 x 2 matrices.
States:
Energies:
The stretched state energies depend linearly on the magnetic field even for large values.
27
States:
This choice of superposition guarantees an orthonormal set of basis vectors.  Here, we do not solve for the mixing angle    .
Energies:
28
The elements of 2 x 2 matrices are of the same form:
Where:
29
Hence, solutions can be written in closed form: 
With the matrix elements from above we obtain the BREIT RABI FORMULA 
, where the characteristic field for the crossover regime: 
Remark: Similar formula for the hyperfinestructure. 
Solving the secular equation for each block matric individually results in two eigenenergies per block matrix. By solving a quadratic equation. The elements of 2 x 2 matrices are of the same form.
30
For           :
← low field   high field →
-2
0
2
4
Relevant: 
• magnetic tuning of interactions:  difference in magnetic moment
• Bosons: rapid loss threebody relaxation 
• Fermions more stable due to  Pauli exclusion
Magnetic field tuning
Dressed bound state
coupling constant
s1:FBR @ Na23 m 6 Li, @FBR : 1 s
D.S.Petrov, PRA, 67, 010703(R), (2003)
Vibrational relaxation suppressed:  • Pauli exclusion principle  • FranckCondon mismatch
Asymptotic Bound State Model
projection of el. orbital angular momentum in mol. axis
total spin
total angular momentum and magnetic q.n. of the shell
Coupling of  together with vibration and rotation  Hund’s cases (not discussed)
37
electronic ground state
two valence electrons 
triplet state 
less binding 
Feshbach resonances: Zeeman effect of weakest bound vibrational levels 
Central symmetric potential:       conserved 
reduced mass
internuclear distance
Electronic ground state            Fermi contact interaction for each nucleus
hyperfine constant
42
Now: 
Ladder operators need to be applied on individual spins: Example: 
Evaluate matrix form of            in molecular basis…
43
Singlet and triplet potential have the same long range behaviour overlap of singlet and triplet wave functions near unity (asymptotic bound state approximation)
What about the projection of the vibrational wave functions?
Singlettriplet projection:
Prepare: 
-1500
-1000
-500
B, G
E, M
H z
MF=-2
swave
pwave
pwave
swave
used as fit parameters for energy offset to match measured resonances
46
Example: 6Li 40K Feshbach resonances E. Wille et al., PRL 100, 053201 (2008)Loss measurement in nondegenerate mixture:
Other applications: KRb, NaLi