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Lectura: Valores esperados, Covarianza y Correlaci on.
Lina Marıa Acosta Avena*
ASESORIAS: LUNES DE 4:00 pm - 6:00 pm. VIERNES DE
9:00 am - 11:00 am, B43-103
Escuela de Estadıstica
Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellin
*Estudiante de la Maestrıa en Ciencias Estadıstica
Estadıstica I.
1
VALORES ESPERADOS
Definici on:Sean X y Y variables aleatorias conjuntamente distribuıdas con funcion masa
de probabilidad p(x,y) o funcion de densidad de probabilidad f (x,y) ya sea
que las variables sean discretas o continuas. Entonces el valor esperado de
una funcion g(X,Y), denotado por E[g(X,Y)] esta dado por
E[g(X,Y)] =
∑x
∑y
g(X,Y)p(x,y) ;Si X y Y son discretas∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞g(X,Y) f (x,y)dxdy ;Si X y Y son continuas
Estadıstica I.
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COVARIANZAS
Definici on:Sean X y Y variables aleatorias conjuntamente distribuıdas con funcion masa
de probabilidad p(x,y) o funcion de densidad de probabilidad f (x,y) ya sea
que las variables sean discretas o continuas. La covarianza* entre dos vari-
ables aleatorias X y Y, denotado por Cov(X,Y)= E[(X−µx)(Y−µy)] esta da-
do por
Cov(X,Y)=
∑x
∑y(x−µx)(y−µy)p(x,y) ;Si X y Y son discretas
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞(x−µx)(y−µy) f (x,y)dxdy ;Si X y Y son continuas
*Mide la relacion lineal entre dos variables
Estadıstica I.
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COVARIANZAS
TEOREMA:Sean X y Y dos variables aleatorias con media µx y µy, respectivamente. En-
tonces
Cov(X,Y) = E[XY]−µxµy
Dm:
Cov(X,Y) = E[(X−µx)(Y−µy)]
= E[XY−Xµy−µxY +µxµy]
= E[XY]−E[Xµy]−E[µxY]+E[µxµy]
= E[XY]−E[X]µy−µxE[Y]+µxµy
= E[XY]−µxµy−µxµy+µxµy
= E[XY]−µxµy
Estadıstica I.
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CORRELACION
Definici on:El coeficiente de correlacion* de X y Y, denotado por Corr(X,Y) o ρxy o
simplemente ρ esta definido por
ρxy =Cov(X,Y)
σxσy
*Mide el grado de relacion lineal entre las variables
Estadıstica I.
5
CORRELACION
TEOREMA:
1. Sean a,b,c y d cuatro constantes. Si a y c son ambas positivas o ambasnegativas, se tiene que
Corr(aX+b,cY+d) = Corr(X,Y)
2. Para dos variables aleatorias cualesquiera X y Y, se tiene que
−1 ≤Corr(X,Y) ≤ 1
Dm: Sabemos que
ρ =Cov(X,Y)
σxσy
Estadıstica I.
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CORRELACION
Cov(aX+b,cY+d) = E[(aX+b−µaX+b)(cY+d−µcY+d)]
= E[(aX+b−E[aX+b])(cY+d−E[cY+d])]
= E[(aX+b−aE[X]−b)(cY+d−cE[Y]−d)]
= E[a(X−E[X])c(Y−E[Y])]
= acE[(X−E[X])(Y−E[Y])] = acCov(X,Y)
σ2(aX+b) = Var[aX+b] = a2Var[X] = a2σ2
x =⇒ σ(aX+b) = aσx
σ2(cY+d) = Var[cY+d] = c2Var[Y] = c2σ2
y =⇒ σ(cY+d) = cσy
ρ =Cov(aX+b,cY+d)
σ(aX+b)σ(cY+d)=
acCov(X,Y)
(aσx)(cσy)=
Cov(X,Y)
σxσy= Corr(X,Y)
Estadıstica I.
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EJEMPLOS
1. La funcion de distribucion de una variable aleatoria bidimensional (X,Y)
es f (x,y) = 2, 0 ≤ x≤ 1, 0 ≤ y≤ x.
Encuentre la correlacion entre X y Y
Sln:
Se sabe que la correlacion ρ entre X y Y se calcula como
ρ =Cov(X,Y)
σxσy
Ası que se debe hallar la desviacion estandar de X, la desviacion estandar de
Y y la covarianza entre X y Y.
Estadıstica I.
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EJEMPLOS
Recuerde dibujar el espacio de positividad de las variables , ya que estas
son dependientes, pues 0 ≤ y≤ x
Se sabe que Var[X] = E[X2]− (E[X])2
E[X] y E[X2] lo podemos hallar de dos formas: usando la f.d.p.c de X y Y, o
usando la funcion de densidad marginal de X.
Estadıstica I.
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EJEMPLOS
• Para E[X]
Forma 1: Usando la f.d.p.c
E[X] =∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞x f(x,y)dydx=
∫ 1
0
∫ x
0x(2)dydx
= 2∫ 1
0
(
xy
∣
∣
∣
∣
x
0
)
dx= 2∫ 1
0x2dx
= 2
(
x3
3
)
∣
∣
∣
∣
1
0=
23
Estadıstica I.
10
EJEMPLOS
Forma 2: Usando la f.d.p. marginal de X
f (x) =∫ x
02dy= 2y
∣
∣
∣
∣
x
0= 2x ; 0 ≤ x≤ 1
E[X] =∫ 1
0x(2x)dx
= 2∫ 1
0x2dx
= 2
(
x3
3
)
∣
∣
∣
∣
1
0=
23
Estadıstica I.
11
EJEMPLOS
• Ahora para E[X2]
Forma 1: Usando la f.d.p.c
E[X2] =∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞x2 f (x,y)dydx=
∫ 1
0
∫ x
0x2(2)dydx
= 2∫ 1
0
(
x2y
∣
∣
∣
∣
x
0
)
dx= 2∫ 1
0x3dx
= 2
(
x4
4
)
∣
∣
∣
∣
1
0=
24
=12
Estadıstica I.
12
EJEMPLOS
Forma 2: Usando la f.d.p. marginal de X
E[X2] =∫ 1
0x2(2x)dx
= 2∫ 1
0x3dx
= 2
(
x4
4
)
∣
∣
∣
∣
1
0=
24
=12
Ası
σ2x = Var[X] =
12−(
23
)2=
118
=⇒ σx =1
√18
Estadıstica I.
13
EJEMPLOS
• Para E[Y]
Forma 1: Usando la f.d.p.c
E[Y] =∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞y f(x,y)dydx=
∫ 1
0
∫ x
0y(2)dydx
= 2∫ 1
0
(
y2
2
∣
∣
∣
∣
x
0
)
dx=∫ 1
0x2dx
=x3
3
∣
∣
∣
∣
1
0=
13
Estadıstica I.
14
EJEMPLOS
Forma 2: Usando la f.d.p. marginal de Y
f (y) =∫ 1
y2dx= 2x
∣
∣
∣
∣
1
y= 2(1−y) ; 0 ≤ y≤ 1
E[Y] =∫ 1
0y[2(1−y)]dy= 2
∫ 1
0(y−y2)dy
= 2
(
y2
2−
y3
3
)
∣
∣
∣
∣
1
0
= 2
(
12−
13
)
= 2
(
16
)
=13
Estadıstica I.
15
EJEMPLOS
• Ahora para E[Y2]
Forma 1: Usando la f.d.p.c
E[Y2] =∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞y2 f (x,y)dydx=
∫ 1
0
∫ x
0y2(2)dydx
= 2∫ 1
0
(
y3
3
∣
∣
∣
∣
x
0
)
dx=23
∫ 1
0x3dx
=23
(
x4
4
)
∣
∣
∣
∣
1
0=
23
(
14
)
=16
Estadıstica I.
16
EJEMPLOS
Forma 2: Usando la f.d.p. marginal de Y
E[Y2] =∫ 1
0y2[2(1−y)]dy= 2
∫ 1
0(y2−y3)dy
= 2
(
y3
3−
y4
4
)
∣
∣
∣
∣
1
0
= 2
(
13−
14
)
= 2
(
112
)
=16
Ası
σ2y = Var[Y] =
16−(
13
)2=
118
=⇒ σy =1
√18
Estadıstica I.
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EJEMPLOS
Se sabe que Cov(X,Y) = E[XY]−E[X]E[Y]
E[XY] =∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞xy f(x,y)dydx=
∫ 1
0
∫ x
0xy(2)dydx
= 2∫ 1
0
(
xy2
2
∣
∣
∣
∣
x
0
)
dx=∫ 1
0x3dx
=x4
4
∣
∣
∣
∣
1
0=
14
Luego, Cov(X,Y) = 14 −(
23
)(
13
)
= 136 y ası
ρ =1/36
(1/√
18)(1/√
18)=
1/361/18
=12
Estadıstica I.
18
EJEMPLOS
2. Sean X y Y variables aleatorias independientes tales que
f (x) = 3x2, 0 < x < 1 f (y) = 2y, 0 < y < 1. Calcule la probabilidad
de P(X < 1/2,Y < 1/2)
Sln: Se puede hacer de dos formas
(a) Usando la f.d.p.c de X y Y,
f (x,y) = f (x) f (y) = (3x2)(2y) = 6x2y, 0 < x < 1, 0 < y < 1
Estadıstica I.
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EJEMPLOS
P(X < 1/2,Y < 1/2) =∫ 1/2
0
∫ 1/2
0(6x2y)dydx
=62
∫ 1/2
0
(
x2y2∣
∣
∣
∣
1/2
0
)
dx
= 3∫ 1/2
0x2(
12
)2dx= 3
14
(
x3
3
)
∣
∣
∣
∣
1/2
0
=14
(
18
)
=1
32
Estadıstica I.
20
EJEMPLOS
(b) Usando las marginales,
P(X < 1/2,Y < 1/2) = P(X < 1/2)P(Y < 1/2) porque X y Y son independientes
=
(
∫ 1/2
03x2dx
)(
∫ 1/2
02ydy
)
= 3x3
3
∣
∣
∣
∣
1/2
02
y2
2
∣
∣
∣
∣
1/2
0
=18
(
14
)
=1
32
Estadıstica I.
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