Leccion 18: Polinomio de Taylor para funciones

de una variable

Introduccion al Calculo Infinitesimal

I.T.I. Gestion

Esquema:

- Polinomio de Taylor para funciones de una variable

- Error de aproximacion

Polinomio de Taylor

Idea: Dada una funcion, encontrar un polinomio

que aproxime localmente a dicha funcion

Polinomio de Taylor

Idea: Dada una funcion, encontrar un polinomio

que aproxime localmente a dicha funcion

• Polinomio de Taylor para funciones de una variable

f : R → R funcion derivable, a ∈ R, n ∈ N

Si f es n veces derivable en un entorno de a, entonces

el polinomio de Taylor de orden n asociado a f en a es

Pn,af (x) =f (a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2+

+f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · · + fn)(a)

n!(x− a)n

Polinomio de Taylor

Ejemplos:

1. f (x) = ex, a = 0, n = 4

P4,0f (x) = P (x) = 1 + x +1

2x2 +

1

6x3 +

1

24x4

2. f (x) = Ln(x), a = 1, n = 3

P3,1f (x) = P (x) = (x− 1)− (x− 1)2

2+

(x− 1)3

3

3. f (x) = cos(2x), a = π4 , n = 3

P4,π4f (x) = P (x) = −2 (x− π

4) +

4(x− π

4

)3

3

Polinomio de Taylor

f : R → R funcion derivable n veces en a ∈ R, n ∈ N

Polinomio de Taylor de orden n asociado a f en a:

Pn,af (x) =f (a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2+

+f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · · + fn)(a)

n!(x− a)n

Si a = 0, se le llama polinomio de MacLaurin asociado a f

Polinomio de Taylor

f : R → R funcion derivable n veces en a ∈ R, n ∈ N

Polinomio de Taylor de orden n asociado a f en a:

Pn,af (x) =f (a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2+

+f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · · + fn)(a)

n!(x− a)n

Si a = 0, se le llama polinomio de MacLaurin asociado a f

Propiedades:

1. P (x) ≡ Pn,af (x) es el unico polinomio de grado ≤ n tal que

P (a) = f (a), P ′(a) = f ′(a), P ′′(a) = f ′′(a),

P ′′′(a) = f ′′′(a), . . . , P n)(a) = fn)(a)

Polinomio de Taylor

f : R → R funcion derivable n veces en a ∈ R, n ∈ N

Polinomio de Taylor de orden n asociado a f en a:

Pn,af (x) =f (a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2+

+f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · · + fn)(a)

n!(x− a)n

Propiedades:

2. P (x) ≡ Pn,af (x) aproxima bien a f (x) cerca del punto a:

P (x0) ≈ f (x0), para x0 cercano a a

Polinomio de Taylor

f : R → R funcion derivable n veces en a ∈ R, n ∈ N

Polinomio de Taylor de orden n asociado a f en a:

Pn,af (x) =f (a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2+

+f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · · + fn)(a)

n!(x− a)n

Propiedades:

3. Cuanto mayor sea el grado n del polinomio de Taylor,

mejor aproximacion se realiza

Polinomio de Taylor

f : R → R funcion derivable n veces en a ∈ R, n ∈ N

Polinomio de Taylor de orden n asociado a f en a:

Pn,af (x) =f (a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2+

+f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · · + fn)(a)

n!(x− a)n

Propiedades:

3. Cuanto mayor sea el grado n del polinomio de Taylor,

mejor aproximacion se realiza

(archivo Maple: taylor.mws)

Polinomio de Taylor

A mayor grado → mejor aproximacion

0

2

4

6

–2 –1 1 2x

Polinomio de Taylor

f : R → R funcion (n + 1) veces derivable en a ∈ R,

con sus n primeras derivadas continuas en un entorno de a

Polinomio de Taylor

f : R → R funcion (n + 1) veces derivable en a ∈ R,

con sus n primeras derivadas continuas en un entorno de a

Formula de Taylor

Para cada x proximo a a, existe ξx ∈ (a, x) o (x, a) tal que

f (x) = Pn,af (x) +fn+1)(ξx)

(n + 1)!(x− a)n+1

Polinomio de Taylor

f : R → R funcion (n + 1) veces derivable en a ∈ R,

con sus n primeras derivadas continuas en un entorno de a

Formula de Taylor

Para cada x proximo a a, existe ξx ∈ (a, x) o (x, a) tal que

f (x) = Pn,af (x) +fn+1)(ξx)

(n + 1)!(x− a)n+1

Rn(f, a)(x) =fn+1)(ξx)

(n + 1)!(x− a)n+1 es el resto de Lagrange

Polinomio de Taylor

f : R → R funcion (n + 1) veces derivable en a ∈ R,

con sus n primeras derivadas continuas en un entorno de a

Formula de Taylor

Para cada x proximo a a, existe ξx ∈ (a, x) o (x, a) tal que

f (x) = Pn,af (x) +fn+1)(ξx)

(n + 1)!(x− a)n+1

Rn(f, a)(x) =fn+1)(ξx)

(n + 1)!(x− a)n+1 es el resto de Lagrange

El resto de Lagrange nos da el error de aproximacion cometido

Polinomio de Taylor

• Error cometido en la aproximacion:

f : R → R funcion (n + 1) veces derivable en a ∈ R,

con sus n primeras derivadas continuas en un entorno de a

Para x0 proximo a a → f (x0) ≈ P (x0)

El error cometido es

εx0 = f (x0)− P (x0) =fn+1)(ξx0)

(n + 1)!(x0 − a)n+1,

para cierto ξx0 ∈ (a, x0) o (x0, a)

Polinomio de Taylor

Sean f, g : R → R, a ∈ RSean Pn,af (x), Pn,ag(x) los polinomios de Taylor asociados

1. El polinomio de Taylor de orden n asociado a λf + µg

en a es igual a λPn,af (x) + µPn,af (x)

Polinomio de Taylor

Sean f, g : R → R, a ∈ RSean Pn,af (x), Pn,ag(x) los polinomios de Taylor asociados

1. El polinomio de Taylor de orden n asociado a λf + µg

en a es igual a λPn,af (x) + µPn,af (x)

2. El polinomio de Taylor de orden n asociado a f · g en a

viene dado por Pn,af (x) · Pn,af (x), sin considerar los terminos

de grado mayor que n

Polinomio de Taylor

Sean f, g : R → R, a ∈ RSean Pn,af (x), Pn,ag(x) los polinomios de Taylor asociados

3. Supongamos g(a) 6= 0

El polinomio de Taylor de orden n asociado a f/g en a

se obtiene dividiendo Pn,af (x) entre Pn,af (x),

hasta llegar a grado n

Polinomio de Taylor

4. Sean f, g : R → R, a ∈ RSea F (x) = Pn,af (x) el polinomio de Taylor asociado a f en a

Sea G(x) = Pn,f(a)g(x) el polinomio de Taylor asociado

a g en f (a)

El polinomio de Taylor de orden n asociado a g ◦ f en a

viene dado por G(F (x)), sin considerar los terminos

de grado mayor que n

Ejercicios:

Hallar los siguientes polinomios de Taylor:

1. f (x) =√

1 + x, a = 0, n = 2

2. f (x) = e2x, a = 12, n = 3

3. f (x) = xex, a = 1, n = 3

4. f (x) = x2Ln(x), a = 1, n = 3