le modèle de black & litterman

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Le modèle de Black & Litterman Equilibre et croyances

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Le modèle de Black & Litterman. Equilibre et croyances. Les motivations du modèle de Black-Litterman. La performance limitée des exercices d’optimisation. In 1989 Robert Litterman posa une question to Fischer Black: - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Le modèle de Black & Litterman

Le modèle de Black & Litterman

Equilibre et croyances

Page 2: Le modèle de Black & Litterman

Les motivations du modèle de Black-Litterman

La performance limitée des exercices d’optimisation.

In 1989 Robert Litterman posa une question to Fischer Black:

o “Our asset allocation optimizer is extremely sensitive to its inputs. What can we do?”

Page 3: Le modèle de Black & Litterman

Mixer diverses informations

Les fondements statistiques

Page 4: Le modèle de Black & Litterman

Les fondations statistiques

La réponse statistique :Theil and Goldberger (1961) “On Pure and Mixed

Statistical Estimation in Econometrics.” Combiner une information a priori avec un échantillon. “mixed estimation”

Page 5: Le modèle de Black & Litterman

Les fondations statistiques

Page 6: Le modèle de Black & Litterman

Les fondations statistiques

Page 7: Le modèle de Black & Litterman

Les fondations statistiques

Exemples de seconde source d’information : La théorie économique 

Pour Fischer Black, le CAPM décrivait l’état autour duquel devait graviter l’économie réelle.

Page 8: Le modèle de Black & Litterman

Les fondations statistiques

Exemples de seconde source d’information (suite) : Des opinions informées (views) 

Sur les niveaux des rendements Sur les différences des rendements.

Page 9: Le modèle de Black & Litterman

Exemples de views

Un univers de 3 titres 1, 2, 3 2 opinions d’analystes financiers :

Le rendement moyen du titre 1 est de 5% Celui du titre 3 de -2%

Comment entrer ces opinions dans un modèle économétrique?

Page 10: Le modèle de Black & Litterman

Exemples de views

Page 11: Le modèle de Black & Litterman

Exemples de views

Page 12: Le modèle de Black & Litterman

Exemples de views

Dont la matrice P décrit les portefeuilles associées aux views Si l’on a N views et J titres alors P sera

une matrice (N,J) Dans l’exemple, P sera alors

Page 13: Le modèle de Black & Litterman

Exemples de views

L’équation sera donc :

Page 14: Le modèle de Black & Litterman

Exemples de views

Un exemple de views relatives 2 opinions d’analystes financiers :

Le rendement moyen du titre 2 dépassera celui du titre 3 de 2%

Le rendement des valeurs bancaires (par exemple le titre 1) sera inférieur de 2% à celui des valeurs technologiques (les titres 2 et 3 dans notre univers).

Page 15: Le modèle de Black & Litterman

Exemples de views

Page 16: Le modèle de Black & Litterman

Exemples de views

L’équation sera donc :

Page 17: Le modèle de Black & Litterman

Les fondations statistiques

Page 18: Le modèle de Black & Litterman

Les fondations statistiques

Page 19: Le modèle de Black & Litterman

Les fondations statistiques

Page 20: Le modèle de Black & Litterman

Les fondations statistiques

Pour le système :

Page 21: Le modèle de Black & Litterman

Les fondations statistiques

Pour le système :

Page 22: Le modèle de Black & Litterman

Les fondations statistiques

Pour le système :

Page 23: Le modèle de Black & Litterman

Le modèle de B & L

Page 24: Le modèle de Black & Litterman

Black & Litterman (1992)

Black and Litterman (1992) “Global Portfolio Optimization” use the same formula to combine a prior, “Equilibrium” with an investor’s “Views”

Page 25: Le modèle de Black & Litterman

Le modèle de B&L

L’objectif : un cadre permettant de mixer les informations issues des données et les opinions,

Notamment pour gérer les erreurs d’estimation

Page 26: Le modèle de Black & Litterman

B & L : un a priori

L’ « information » additionnelle de Black & Litterman : l’a priori que l’économie doit graviter autour du CAPM,

Donc les rendements des titres doivent être liées à ceux du CAPM

Page 27: Le modèle de Black & Litterman

B & L : un outil

L’estimation mixteTheil and Goldberger (1961) “On Pure and Mixed

Statistical Estimation in Econometrics.” Combiner une information a priori avec un échantillon. “mixed estimation”

Page 28: Le modèle de Black & Litterman

La formule de B&L

La détermination du rendement espéré: un scalaire mesurant le poids accordé au

rendement d’équilibreP la matrice des opinions (KxJ) définissant

les actifs impliqués dans chaque opinion la matrice de covariance des erreurs dans

les opinionsQ le vecteur des opinions (Kx1)

Page 29: Le modèle de Black & Litterman

La formule de B&L

PP

QPT

T

RE 11

11

)(

)(][

Page 30: Le modèle de Black & Litterman
Page 31: Le modèle de Black & Litterman

B&L

Comment calculer les rendemnts du CAPM? Quelles views?

Page 32: Le modèle de Black & Litterman

Les rendements du CAPM

Les rendements implicites Sharpe (1974) « Imputing expected

security returns from portfolio composition », Journal of Financial & Quantitative Analysis, June, pp. 463-72

Page 33: Le modèle de Black & Litterman

Deux approches pour déterminer le rendement implicite

le CAPM le rendement implicite = le rendement théorique défini notamment par le béta

l’optimisation inverse (Sharpe (1974))

Page 34: Le modèle de Black & Litterman

L’optimisation inverse

Les conditions marginales (avec actif sans risque)

 

Où est le portefeuille de marché

mktw mktw

Page 35: Le modèle de Black & Litterman

L’optimisation inverse (suite)

Le coefficient d’aversion au risque

2B

fB rR

Page 36: Le modèle de Black & Litterman

US Bonds $8,360,741,000,000 20.16%Global Bonds xUSD $11,583,275,710,000 27.93%World Equity xUS $9,212,460,000,000 22.21%Emerging Equity $964,647,000,000 2.33%

US Large Cap Growth $5,217,844,438,500 12.58%US Large Cap Value $5,217,844,438,500 12.58%

US Small Cap Growth $459,897,061,500 1.11%US Small Cap Value $459,897,061,500 1.11%

Total $41,476,606,710,000 100.00%

Le portefeuille de marché

Page 37: Le modèle de Black & Litterman
Page 38: Le modèle de Black & Litterman
Page 39: Le modèle de Black & Litterman
Page 40: Le modèle de Black & Litterman

Le point de la frontière efficiente dont le ratio de Sharpe est le plus élevé est supposé être le benchmark efficient.

Les rendements implicites constituent les valeurs de référence de Black & Litterman.

Page 41: Le modèle de Black & Litterman

Quelles views ?

Par exemple : les rendements historiques (bruités) La contribution de B & L : « ancrer » les données observées à la

théorie pour filtrer le bruit.

Page 42: Le modèle de Black & Litterman

Un exemple

A partir d’un échantillon initial Resampling des données pour créer

des échantillons artificiels Et comparaison des résultats obtenus

en appliquant Markowitz, Black & Litterman, ou en sélectionnant le portefeuille equipondéré.

Page 43: Le modèle de Black & Litterman

nom périodicité début fin observ.capitalisati

on

US LARGE CAP VALUE mensuelle déc-92 sept-07 177 21,74%

US MID CAP VALUE mensuelle déc-92 sept-07 177 3,02%

US SMALL CAP VALUE mensuelle déc-92 sept-07 177 1,61%

US LARGE CAP GROWTH mensuelle déc-92 sept-07 177 18,01%

US MID CAP GROWTH mensuelle déc-92 sept-07 177 1,61%

US SMALL CAP GROWTH mensuelle déc-92 sept-07 177 1,85%

EM ASIA mensuelle déc-92 sept-07 177 3,19%

EM EUROPE mensuelle déc-92 sept-07 177 1,61%

EM LATIN AMERICA mensuelle déc-92 sept-07 177 2,12%

EMU mensuelle déc-92 sept-07 177 19,25%

JAPAN mensuelle déc-92 sept-07 177 15,62%

UNITED KINGDOM mensuelle déc-92 sept-07 177 10,36%

Page 44: Le modèle de Black & Litterman

Markowitz  Euratio de Sharpe Er volatilité VAR 5% TE

equipondéré 5,47% 0,56 11,51% 15,55% -14,06% 2,53%

marché 5,76% 0,56 10,29% 13,47% -11,86% 2,43%

optimal 9,78% 0,86 14,30% 13,45% -7,83%  

moyenne 3,10% 0,55 12,23% 18,40% -18,03% 3,58%

écart-type 5,28% 0,20 2,80% 5,18% 8,37% 1,84%

5,00% -6,84% 0,17 6,67% 12,75% -32,53% 0,47%

25,00% -1,22% 0,42 11,26% 13,61% -25,17% 1,98%

50,00% 4,65% 0,57 12,73% 17,23% -16,16% 3,61%

75,00% 7,60% 0,70 14,21% 22,10% -10,38% 4,96%

95,00% 9,65% 0,85 16,25% 29,50% -7,90% 6,65%

Page 45: Le modèle de Black & Litterman

BL  Euratio de Sharpe Er volatilité VAR 5%

equipondéré 5,47% 0,56 11,51% 15,55% -14,06%

marché 5,76% 0,56 10,29% 13,47% -11,86%

optimal 9,78% 0,86 14,30% 13,45% -7,83%

moyenne 7,30% 0,67 11,59% 13,10% -9,96%

écart-type 0,25% 0,02 0,22% 0,28% 0,45%

5,00% 6,95% 0,65 11,16% 12,58% -10,48%

25,00% 7,22% 0,67 11,54% 13,01% -10,17%

50,00% 7,30% 0,67 11,64% 13,16% -10,02%

75,00% 7,40% 0,68 11,70% 13,26% -9,80%

95,00% 7,60% 0,70 11,80% 13,39% -9,23%

Page 46: Le modèle de Black & Litterman

Au-delà du problème d’erreurs d’estimation,

La richesse de B & L : sa capacité à intéger n’importe quel type de views.

Page 47: Le modèle de Black & Litterman

Le mécanisme de B&L

Évaluation des « rendements du marché » par l’optimisation inverse

Prise en compte des opinions : opinion absolue : « l’actif A aura un

rendement de x% » opinion relative : « l’actif A sur-

performera l’actif B par x points de % »

Page 48: Le modèle de Black & Litterman

Le mécanisme de B&L

La nature des opinions Des intuitions d’investisseurs Des données empiriques (valeurs des

rendements moyens récents) Des prévisions économétriques des

rendements

Page 49: Le modèle de Black & Litterman

Un exemple (Idzorek)

ImpliedEquilibriumReturn

Asset Class Historical CAPM GSMI Portfolio VectorUS Bonds 3.15% 0.02% 0.08% 0.08%Int’l Bonds 1.75% 0.18% 0.67% 0.67%US Large Growth -6.39% 5.57% 6.41% 6.41%US Large Value -2.86% 3.39% 4.08% 4.08%US Small Growth -6.75% 6.59% 7.43% 7.43%US Small Value -0.54% 3.16% 3.70% 3.70%Int’l Dev. Equity -6.75% 3.92% 4.80% 4.80%Int’l Emerg. Equity -5.26% 5.60% 6.60% 6.60%

Weighted Average -1.97% 2.41% 3.00% 3.00%Standard Deviation 3.73% 2.28% 2.53% 2.53%

High 3.15% 6.59% 7.43% 7.43%Low -6.75% 0.02% 0.08% 0.08%

CAPM

Page 50: Le modèle de Black & Litterman

WeightBased on

Weight ImpliedWeight Based on Equilibrium MarketBased on CAPM GSMI Return Capitalization

Asset Class Historical wGSMI Vector WeightUS Bonds 1144.32% 21.33% 19.34% 19.34%Int’l Bonds -104.59% 5.19% 26.13% 26.13%US Large Growth 54.99% 10.80% 12.09% 12.09%US Large Value -5.29% 10.82% 12.09% 12.09%US Small Growth -60.52% 3.73% 1.34% 1.34%US Small Value 81.47% -0.49% 1.34% 1.34%Int’l Dev. Equity -104.36% 17.10% 24.18% 24.18%Int’l Emerg. Equity 14.59% 2.14% 3.49% 3.49%

High 1144.32% 21.33% 26.13% 26.13%Low -104.59% -0.49% 1.34% 1.34%

Page 51: Le modèle de Black & Litterman

Un exemple

3 opinions : Intern’ Developped Equity va avoir un

rendement excédentaire de 5.25% (confiance = 25%)

Intern’ Bonds vont sur-performer les US Bonds par 25 pts (confiance = 50%)

US Large Growth et US Small Growth vont sur-performer US Large Value et US Small par 2% (confiance = 65%)

Page 52: Le modèle de Black & Litterman

Mise en oeuvre

321

225,025,5

Q

Page 53: Le modèle de Black & Litterman

32

1

000000

La matrice de covariance des erreurs des opinions

Page 54: Le modèle de Black & Litterman

La matrice de « participation »

Modélisation uniforme (Satchell & Scowcroft)

P0 0 0 0 0 0 1 0

-1 1 0 0 0 0 0 00 0 0,5 -0,5 0,5 -0,5 0 0

Page 55: Le modèle de Black & Litterman

Idzorek

0 0 0 0 0 0 1 0-1 1 0 0 0 0 0 00 0 0,9 -0,9 0,1 -0,1 0 0

Page 56: Le modèle de Black & Litterman

Variances des « individual portfolio view »

%836,211 pp

%563,022 pp

%462,333 pp

Page 57: Le modèle de Black & Litterman

et ? La solution de He & Litterman (1999)

kkk pp /

Numériquement :

025,0

000866,0000000141,0000000709,0

Page 58: Le modèle de Black & Litterman

New ImpliedCombined Equilibrium Difference MarketReturn Return New Capitalization Difference

Asset Class Vector Vector Weight WeightUS Bonds 0.07% 0.08% -0.02% 29.88% 19.34% 10.54%Int’l Bonds 0.50% 0.67% -0.17% 15.59% 26.13% -10.54%US Large Growth 6.50% 6.41% 0.08% 9.35% 12.09% -2.73%US Large Value 4.32% 4.08% 0.24% 14.82% 12.09% 2.73%US Small Growth 7.59% 7.43% 0.16% 1.04% 1.34% -0.30%US Small Value 3.94% 3.70% 0.23% 1.65% 1.34% 0.30%Int’l Dev. Equity 4.93% 4.80% 0.13% 27.81% 24.18% 3.63%Int’l Emerg. Equity 6.84% 6.60% 0.24% 3.49% 3.49% 0.00%

Sum 103.63% 100.00% 3.63%

Page 59: Le modèle de Black & Litterman

Propriété de BL:

La déformation du portefeuille induit par la prise en compte des opinions dépend de l’importance relative des sur-performances (selon l’opinion et le rendement implicite)

Exemple de l’opinion 3

Page 60: Le modèle de Black & Litterman

ImpliedEquilibrium

Market Return WeightedCapitalizationRelative Vector Excess

Asset Class (Billions) Weight P ReturnUS Large Growth $5,174 90.00% 6.41% 5.77%US Small Growth $575 10.00% 7.43% 0.74%

$5,749 100.00% Total 6.52%

Opinon 3 : actifs sur-performants

Page 61: Le modèle de Black & Litterman

ImpliedEquilibrium

Market Return WeightedCapitalization Relative Vector Excess

Asset Class (Billions) Weight P ReturnUS Large Value $5,174 90.00% 4.08% 3.67%US Small Value $575 10.00% 3.70% 0.37%

$5,749 100.00% Total 4.04%

Opinon 3 : actifs sur-performants

Page 62: Le modèle de Black & Litterman

Un exemple

Mêmes données que précédemment L’opinion : US Equity sur-performera

World Equity par 150 pts Avec une confiance de 75%

Page 63: Le modèle de Black & Litterman
Page 64: Le modèle de Black & Litterman
Page 65: Le modèle de Black & Litterman

Les fondements de B&L

La statistique bayésienne A priori sur les paramètres +

vraissemblances C. Robert La décision bayésienne

Les modèles bayésiens de choix de portefeuille Scherer & McDouglas