laurent schwartz-cours d'analyse vol. 2 (1967)(1967)
TRANSCRIPT
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 1/599
C0UR.S D ANALYSE
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 2/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 3/599
L a uc h
Professeur à 1’Ecole Polytechnique
et 3. la FacultÇ des Sciences de Paris
MATHÉMATIQUE
o u
profes à I’Ecole Polytechnique Paris
I I
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 4/599
@HERhMNN, PARIS 1967
Tous droits de reproduction, rn&ne fragmentaire, sous quelque forme que ce soit, Y compris
photographie, photocopie, microfilm, bande magn&ique, disque, ou autre, x-~serv~ s pour tous
Pays.
Toute reproduction, m&ne partielle,
non expressknent autorisSe, constitue une contmfaçon
passible des peines pr&wes par la loi du 11 mars 1957 sur la protection des droits d’auteur.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 5/599
TABLE
Chapi t r e
VI
CALCUL DI FFERENTI EL EXTERI EUR
1
Appl i cat i ons mul t i l i néai r es al t er nées.
l - l
Si gnatur e d une permut at i on
. .
1- 2
Appl i cat i ons symét r i ques et ant i sy-
mét r i ques
.
1-3
Mul t i pl i cat i on ext ér i eur e des f or mes
dJ f f ér ent i el l es ant i symét r i ques
. . . *
1- 4
Pr odui t s ext ér i eur s d . appl i cat i ons
mul t i l i néai r es
. .
1- 5
Al gèbr e extér i eur e deË
.
2
Or i ent at i on d un espace vect or i el de di men-
si on f i ni e sur l R .
2- 1 Pr em èr esdéf i ni t i ons . .
2- 2
Aut r es mÇt hodes d or i ent at i on d un
espace vect or i el
.
2-3
Pr opr i ét es des +- f or mes ant i symét r i -
ques
. . .
3
For mes di f f ér ent i el l es sur un espace af f i ne
3-1
Déf i ni t i ons et pr em er s rÇsul t at s .
3-2
Pr odui t ext er i eur de f or mes di f f ér en-
t i el l es . . .
3-3
For me di f f ér ent i el l e associ ee a l a dé-
r i vée d une f onct i on . .
3-4
I mage r éci pr oque d une f or me di f f éren-
t i el l e par une appl i cat i on
. .
3-5
For mes di f f ér ent i el l es sur une var i ét é
abst r ai t e . . . .
3-6
For mes di f f ér ent i el l es et champs dans
un espace eucl i di en Or i ent é
. . . . . . . . .
15
24
26
27
29
33
40
40
J 6
48
50
58
58
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 6/599
VI I I
4
Cobor d ou di f f ér ent i el l e ext ér i eur e d' une
f or me di f f Çr ent i el l e ext ér i eur e
4 1
Déf i ni t i ons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4- 2 Extensi on au cas abst r ai t
. . . . . . . . . . . .
4 3
I nt er pr ét at i on mécani que de l a di ver -
gence
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 4
Cal cul en coordonnees pol ai r es dans R3
4 5
Pr i m t i ve ext ér i eur e d' une f or me
di f f érent i el l e
. . *. . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Or i ent at i on des var i ét és di f f er ent i abl es sur
l e cor ps des r éel s
5- 1
5- 2
5- 3
5- 4
5- 5
5- 6
5- 7
5- 8
5- 9
5- 10
5- 11
Syst eme cont i nu d' or i ent at i on d' une
var i et é
. .
Compar ai son de deux syst èmes cont I nus
d' or i ent at i on
. . . .
Or i ent abi l i t é et or i ent at i on d' une
var i ét é
. . . . . .
Or i ent at i on d' l var i ét é par des car t es
CO- or i ent abl es
. . . . . . . .
Or i ent at i on d' l var i ét é par des champs
de vect eur s cont i nus . . . . . . .
Or i ent at i on d' une var i ét é par l e si gne
des f or mes di f f ér ent i el l es r Çel l es .
Exempl e d' une var i ét é non or i ent abl e,
l a cei nt ur e de I bi us , . . . , . . . . . . . . . .
Or i ent abi l i t é des var i ét es. compl exes. .
Or i ent at i on t r ansver sal e d' une var i et e
de di mensi on N - 4 dans un espace
af f i ne de di m N
. .
Or i ent at i on t r ansver sal e par l es champs
cont i nus de vect eur s nor maux .
Par t age de l ' espace en r égi ons par une
hyper sur f ace
. . .
61
61
69
73
76
78
87
87
90
91
92
93
94
95
99
99
102
105
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 7/599
I X
5- 12
Or i ent at i on t r ansver sal e d une hy-
persur f ace et par t age de l espace
en r égi ons . . .
5- 13
Rel at i on ent r e l or i ent at i on t r ans-
ver sal e et l or i ent at i on t angent i el l e
5- 14
Not r e uni ver s physi que est une var i e-
t e or i ent abl e . . .
110
113
120
6
I nt Çgr at i on d une f or me di f f ér ent i abl e sur une
var i ét é Or i ent ée
6- 1
Mesur e de Radon
. .
6- 2
I nt Çgr al e d une f or me di f f ér ent i el l e
de degr ém sur une var i ét é Or i ent ée
de df r n. n.
6- 3
Pr opr i ét es 616ment ai r es de l i nt Çgr al e
6- 4
Cal cul pr at i que de l i nt Çgr al e
6- 5
Maj or at i on de l i nt égr al e
. .
6- 6
Appl i cat i on aux cal cul s pr at i ques .
6- 7
Cas d une hypersurf ace d un espace
eucl i di en . . .
6- 8
Transf or mat i on par di f f éomorphi sme .
6- 9
I nt égr al e d une f or me di f f ér ent i el l e. .
6- 10 Propr i et Gs de l i nt égr al e d une f or me
di f f er ent i el l e sur une var i ét e s i n-
gul i èr e . . . . .
6- 11 I nt égr al e de f or mes di f f ér ent i el l es sur
des var i ét és prÇsent ant des si ngul ar i t Çs
6- 12 I nt Çgr al e cur vi l i gne
. . .
6- 13
I nt Çgr al e cur vi l i gne sur un chem n ar -
bi t r ai re de l ongueur f i ni e. . . . . . . . . . .
122
122
128
128
129
130
134
140
142
144
146
147
149
152
7
For mul e de Stokes
156
7- 1
Var i et és avec bor d . . . . .
156
7- 2
Var i et es avec pseudo- bor e
158
7- 3
Or i ent at i on du pseudo- bord
. .
159
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 8/599
7- 4
Théor ème de Stokes el ément ai r e .
7- 5
Theor ème de St okes génér al
. .
7- 6
Cas par t i cul i er n = 4 . . . .
7- 7
Cas par t i cul i er 1 = Z . . . . . . . . . . . . . .
7- 8
Formul es i nt Çgr al es remarquabl es en
anal yse vector i el l e . . . . * . . . . .
7- 9
Règl es de t r ansf or mat i on des i nt Çgr al es
en anal yse vector i el l e . .
8
Appl i cat i on de l a t hÇor i e des f or mes di f f ér en-
t i el l es à l a t opol ogi e al gébr i que
8-1
8- 2
8- 3
8- 4
8- 5
8- 6
8- 7
8- 8
8- 9
8- 10
8- 11
8- 12
8- 13
8- 14
I nt égr al es aes f or mes di f f ér ent i el l es
f er mees sur l es var i ét és compact es
sans bord . . . . . .
I nt Çgr al e d' un cocycl e sur un cycl e
.
Dét er m nat i on d' une f or me di f f &en-
t i el l e cont i nue par ses i nt égr al es. .
Theor eme de De Rham
. . .
Appl i cat i on aux f onct i ons ar gument s'
dans R2
. . . . . ‘
Opér at i on d' addi t i on sur l es cycl es .
Cycl es homol ogues à 0
. . .
Homol ogi e des cycl es . . .
Homot opi e
. . . . . . .
Rel at i on ent r e l ' homot opi e et l ' homol o-
gi e
. . . .
. .
Espaces si mpl ement connexes
. . . . . . . . .
La f or me di f f ér ent i el l e ' Angl e sol i de'
Homol ogi e dans l e compl ément ai r e d' un
ensembl e f i ni d' un espace af f i ne . .
Expr essi on g&&al e des cl asses d' ho-
mol ogi e . . . . . .
161
167
176
178
180
185
188
188
190
192
194
199
201
202
206
211
219
225
230
236
237
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 9/599
X I
8 - 1 5
n d i c e' u ny c l eei m e n s i o n- 4
p a ra p p o r t no i n t
. - . . . . . . . . . .
2 4 7
8 - 1 6
n v a r i a n c e e' i n d i c ea ré f o r -
m a t i o no n t i n u e
. .
2 4 9
8 - 1 7a r i a t i o n e' i n d i c eu a n dnr a -
v e r s e' i m a g e uy c l e.
2 5 2
8 - 1 8
p p l i c a t i o n aé t e r mi n a t i o n e s
i n d i c e sa n se si v e r s e sé g i o n s
5 5
8 - 1 9
l a s s e sé s i d u e l l e s' u no c y c l e
s i n g u l a r i t é ss o l é e s
. . .
2 5 8
8 - 2 0
e g r Ço p o l o g i q u e' u n ep p l i c a t i o n
c o n t i n u e
. . .
2 6 0
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 10/599
XI I
I NDEX
Al ember t ( Theorèmede d ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Al gèbr e ext ér i eur e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Angl e sol i de
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
c n homol ogi e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cm homotopi e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Car t e coor i ent abl e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cl asses r ési duel l es d un cocycl e à si ngul ar i t Çs
i sol ées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cobor d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cocycl e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cohomol ogi e ( Espace vect or i el de)
. . . . . . . . . . . . . . .
Cycl e
{-
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homol ogue a zér o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Décomposabl e ( For me de degr Ç k) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Di f f ér ent i at i on ext ér i eur e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Di f f ér ent i el l e ext ér i eur e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Di f f ér ent i el l e f er mée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Di mensi onnel l ement négl i geabl e ( var i ét é)
Di ver gence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
For me di f f ér ent l el l e
l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
sur une var i ét é abst r ai t e
WF
or me f ondament al e d un espace Or i ent é
. . . . . . . . . .
Gr adi ent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
axi al e
Gr andeur
1
d espèce i mpai r e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
t or due . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homot opi e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
à zér o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
26
230
202
212
92
258
61
68
208
160
202
19
68
Gl
68
148
70
40
58
33
69
39
39
39
211
220
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 11/599
XI I I
I ndi ce d un cycl e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
I nt egr al e cur vi l i gne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
I nt Çgr al e d une f or me di f f ér ent i el l e . . . . . . . . . . . .
128
Lapl aci en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mesur e pol ai r e sur une var i ét é
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Msbi us ( cei nt ur e de)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
OpÇr at i on Cobord
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Or i ent at i on
l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- t r ansver sal e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- du pseudo bor d . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Par t age d un espace
l
par une hypersur f ace
en r égi ons
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Poi ncar é
( Theor eme de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pot ent i el . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pr i m t i ve ext Çr i eur e d une f or me di f f Çr ent i el l e
d espaces
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pr odui t ext Çr i eur
1
d appl i cat i ons mul t i l i neai r es
de f or mes di f f Çr ent i el l es . . .
Pseudo var i ét és . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De Rham ( Theor ème de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ri emann
( For mul e de) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rot at i onnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rouche ( Theorème de)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schander ( Theorème de)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Si mpl ement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
St okes ( For mul e de)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Syst eme cont i nu d or i ent at i onsd une var i et t ?
. . . . .
Travai l d un champ de vect eur s
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
127
95
68
27
99
159
105
106
79
181
78
15
24
46
148
194
178
71
263
266
225
161
87
180
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 12/599
XI V
Var i ét h à poi nt s si ngul i er s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Var i t h avec bor d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Var i été avec pseudo bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Vol ume al gÇbr i que d' un par al l èl i pi pède
. . . . . . . . . .
33
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 13/599
x v
DEFI NI TI ONS ET AXI OMES
FORMES SYMETRI QUES ET ANTI SYMETRI QUES : E' j
F
symét r i que si ,
pour t out e per mutat i on G dans EN
:
CO c
4 t
OU/
- 4
ant i symét r i que si
ORI ENTATI ON
On di t qu' on a Or i ent é l ' espace vect or i el 2 si l ' on a di s-
t i ngué l ' une des cl asses de bases Or données de E comme Gt ant
l a cl asse posi t i ve ou di r ecte,
( et l ' aut r e comme ét ant l a cl asse
nÇgat i ve ou r ét r ogr adej .
FORME DI FFERENTI ELLE
On appel l e f or me di f f ér ent i el l e de degr Ç , t G, ur un ouver t
J
d' un espace af f i ne
E
al eur s dans un espace vect or i el nor -
mé F une appl i cat i ons? de f i dans l ' espace
appl i cat i ons / V -
9; ( Ëq; F) des
l i néai r es ant i symét r i ques cont i nues de ËT
dans 7.
ORI ENTATI ON ET ORI ENTABI LI TE
- On appel l e syst eme d' or i ent at i ons d' une var i ét é
V u
choi x, pour chaque CL de
V
' une or i ent at i on de
l ' espace vect or i el t angent T+( a;
V I
-
n di t qu' i l est cont i nu en un poi nt CL el at i vement à
une car t e 3 dont l e but r ecouvre GL
y
i l a f onct i on 0
( qui vaut & 1 sel on qu' à l a cl asse posi t i ve de RR cor -
r espond par @ l a cl asse posi t i ve ou négat i ve de?( &; v) )
est cont i nue au poi nt M = CD- ' ( k)
.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 14/599
XVI
- On di t qu' une var i ét é V
de cl asse C4
de di mensi on 1%
est or i ent abl e, si el l e pksède au moi ns
t i nu d' or i ent at i ons.
& syst ème con-
On di t qu' el l e est Or i ent &e si con a
f i xé un t el syst ème cont i nu,
qui s' appel l e al or s une
or i ent at i on de 11
.
-
n di t qu' un syst èmef i d' or i ent at i ons t r ansver sal es d' une
var i ét e 2 est cont i nu en un poi nt
de c si , pour t out
champ de vect eur s F: x -
? Cef i ni sur c , ont i nu
au poi nt a et t r ansver sal ,
l e si gne du vect eur F(Z) ,
par rappor t à l ' or i ent at i on t r ansver sal e 3% ( ~1
est une
f onct i on cont i nue au poi nt d , ' est - à- di r e const kt e
dans un voi si nage de a
.
PARTAGE EN REGI ONS
- On di t qu' un espace t opol ogi que connexe E est par t age par
Y
ensembl e A en - & r égi ons, si l e compl ément ai r e de a
CompoSant eS connexes .
VECTEUR TRANSVERSAL RENTRANT.
x hyper sur f ace de cl asse
C’
d' un espace af f i ne E ouver t
de E t el que c nvsoi t f ermé et par t age v en deux r egi ons %$
et
Uz *
Soi t a un poi nt de x adhér ent à l a f oi s à 1 et uz.
- On di t qu' un vect eur F de Ï ? t r ansver sal en d a Z
est r ent r ant par rappor t à l a kgi on v, de v s' i l est
l e vecteur ' vi t esse i ni t i al e" pour une t r aj ectoi r e de
cl asse C. '
, M :
( - k )~ 0 $ t < t o, ent i èrement Si t &e
dans l a r égi on ' l J , de u pour t 1 0 , avec M ( O) = b,
I NTEGRABI LI TE D' UNE FORME DI FFERENTI ELLE
Si 7 est une var i ét é de di mensi on n et de cl asse ( ' ,
Or i ent ée,
et si z est une f or me di f f ér ent i el l e cont i nue, de
degr é Q, sur v ,
n di t que z est i nt égr abl e sur V si , [ z] ~.
ét ant l a mesur e de Rc don
assoc iée à V
et w
,
st i nt égr abl e
par r appor t a [ Z- J ; ; on not e al or s l ' i nt égr al e
1
Z:
V
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 15/599
XVI I
HOMOTOPI E
- On di t que deux appl i cat i ons sont homot oves s i l exi st e
une dÇf ormat i on cont i nue de l une dans 1 aut r e.
- On di t qu une appl i cat i on est homotope a si el l e est
homot ope à une appl i cat i on const ant e.
ESPACE SI MPLEMENT CONNEXE
On di t qu un espace topol ogi que x est si mpl ement connexe,
si t out e appl i cat i on cont i nue d une ci r conf ér ence du pl an dansx
est homot ope à 0
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 16/599
TABLE
Chapi t r e VI I
FONCTI ONS DE VARI ABLES COMPLEXES
§
1
§ 2
3
DERI VABI LI TE PAR RAPPORT AU CORPS DES REELS
ET AU CORPS DES COMPLEXES
R dér i vabi l i t é et c der i vabi l i t h .
I nt r oduct i on des symbol es
b E
Fonct i on har moni que . . .
278
THEORI E ELEMENTAI RE DES FONCTI ONS HOLOMORPHES
D' UNE VARI ABLE COMPLEXE : FORMULES I NTEGRALES
DE CAUCHY
Pr em er e f or mul e i nt égr al e de Cauchy .
281
Pr i m t i ve d' une f onct i on hol omor phe
.
284
Thdorème de Poi ncarÇ . . .
288
Deuxi eme f ormul e i nt égr al e de Cauchy .
289
CONSEQUENCES DE LA 2ème FORMULE I NTEGRALE
DE CAUCHY
Pr opr i ht ds g al es des f onct i ons hol omor -
phes
. . . . .
I n al i t és de Cauchy . . .
271
275
295
299
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 17/599
XI X
DÇvel oppement en sér i e de Tayl or . . . *. .
303
Fonct i ons anal yt i ques .
305
Theorème de l a moyenne .
310
Maxi ma r el at i f s l ar ges
.
311
Fonct i ons ent i er es . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323
Theor ème de conver gence de Wei erst r ass. .
326
4
FONCTI ONS MEROMORPHES. POLES ET POI NTS SI NGULI ERS
ESSENTI ELS. THEORI E DES RESI DUS. CALCUL DES I NTE-
GRALES PAR LA METHODE DES RESI DUS.
Devel oppement de Laur ent .
Comport ement d' une f onct i on au voi si nage
d' un poi nt si ngul i er essent i el
. . . . . . . . .
Conservat i on des r i dus des f or mes di f -
f ér ent i el l es par c- di f f domor phi sme .
Sur f ace et sphère de Ri emann .
329
336
346
348
Gendr al i sat i on de l a l èr e f or mul e de
Cauchy
.
350
Gener al i sat i on du t héor ème des rési -
dus .
350
I nt er pr Çt at i on des rési dus sur l a
sphere
. . *. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C. N. S. de m omorphi e dans c
. . . . . . .
355
358
Z os et pôl es d' une f onct i on mkomorphe
359
Ext ensi on aux sur f aces de Ri emann .
367
Prem er pr obl eme de Cousi n dans l e pl an
compl exe
.
369
DÇvel oppement de
l - ? n
b&?lT~ c.&q
l
-*
372
4
Sommat i on des ski es de Ri emann _
-llSf
376
Nombr es de Ber noui l l i .
378
Prem er pr obl eme de Cousi n sur une sur f ace
de Ri emann
.
379
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 18/599
x x
Deuxi eme pr obl ème de Cousi n sur une
sur f ace de Ri emann . . . .
DÇvel oppement de hk n
3
en pr odui t .
Theor eme d' Hadamar d . .
5
APPLI CATI ONS DU THEOREME DES RESI DUS AU CALCUL
D' I NTEGRALES DEFI bJ I ES.
j
- 2 7 r
Exempl e 1 :
X ( c 0 df -
r at i onnel l e
. .
Exempl e 2 : nt égr al es sur l a dr oi t e r éel l e .
Théor ème 32 :
al cul de val eur pr i nci pal e de
Cauchy
. .
Appl i cat i on au pr odui t de convol ut i on
. . . . . . . .
I nt r oduct i on de f act eur s exponent i el s
. . . . . . . .
Appl i cat i on à l a t r ansf or mat i on de Four i er .
Exempl e 3 :
I nt égr al es de 0 à + cw sur l a
dr oi t e
. . .
6
FONCTI ONS ELLI PTI QUES ( Voi r f asci cul e)
7
COMPLEMENTS DE TOPOLOGI E GENERALE. THEOREMES
D' ASCOLI ET DE MONTEL.
Espaces sem - mÇt r i ques . . .
Cont i nui t e, cont i nui t e uni f or me . . . , . . . . .
St r uct ur e uni f or me, l i pschi t zi enne
.
Sui t es de Cauchy, espaces séquent i el l ement
compl et s
. . .
Espaces vect or i el s sem - nor més
:
Exempl e 1 :
onvergence si mpl e
. .
Exempl e 2 :
onvergence uni f orme . . . . . . . . .
Exempl e 3 :
convergence compact e . .
Exempl e 4 :
space de f onct i ons ddr i vabl es
Exempl e
5 :
Espaces de f onct i ons hol omorphes
382
385
388
390
392
397
398
404
411
421
425
428
430
432
434
4%
441
442
443
444
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 19/599
XXI
Ensembl es bor nés dans un e. v. t .
. . . . . . . . . . . . . .
Ensembl es 6qui cont i nus d appl i cat i ons et l es
t héor emes d Ascol 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
er t h6or eme d Ascol i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2ème t héorème d Ascol i . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Compl ément s t opol ogi ques - Théor èmes de Bai r e
et Banach- St ei nhaus
Theor ème de Banach St ei nhaus . . . . . . . . . . . . . . . . .
3ème theorème d Ascol i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pr opr i ét e de Mont e1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Theor ème de Mont e1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Appl i cat i ons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
447
449
45
452
457
463
47
471
473
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 20/599
XXI I
I NDEX
Ber noui l l i ( Nombr e de)
Cauchy- Ri emann ( Condi t i ons de)
Cor ps de Banach
Cousi n : r em er pr obl ème
deuxi ème pr obl ème
Sur une sur f ace de Ri emann
Ent our age
Equi l i pschi t zi en
Espace
:
e Bai r e
sem - mét r i que
séquent i el l ement compl et
uni f orme
uni f or m sabl e
Fam l l e f i l t r ante
Fonct i ons C mol omor phes
ent i èr es
K
nal yt i ques
mér omor phes
I v -
val ent es
r éel l es harmoni ques Conj uguées
For mes di f f ér ent i el l es hol omornhes sur une sur f ace
de Ri emann
Formul es :
l èr e
i nt égr al es de Cauchy : h m
Gel f and
Hadamar d
Har moni que
Xn al i t és de Cauchy
Laur ent ( Sér i es de)
Li m t e l ocal ement uni f or me
3
2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
i
4
2
3
3
3
3
2
349
2
2
3
3
2
2
3
4
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 21/599
XXI I I
Li ouvi l l e
322
Li pschi t z- équi val ence de deux t opol ogi es
43
Logar i t hme
285
Mazur - Ul am
325
Mor er a
297
Moyenne ( Th6or me de l a)
31
Par t i e mai gr e
456
Pi card ( Théor ème de)
338
Poi nt r egul i er
334
Poi nt s i ngul i er essent i el
334
Pol e d' or dr e m
334
R i dus :
heor ème ext ér i eur
344
Théor ème i r kt ér i eur 339
334
i e s
Res
Sem - boul e
Sem - di st ance
S i es de Ri emann
Spect r e d' un opérateur dans un espace
Spect r e d' un él ement d' une al gèbr e de
Sphere de Rl emann
Sur f ace de Ri emann
de Banach
Banach
Uni f orme- équi val ence de deux t opol ogi es
Wei er st r ass
:
hhor eme de conver gence
t heor eme r el at i f au poi nt si ngul i er
essent i el
r el at i f au 2eme pr obl ème de Cousi n
Zer o mul t i pl e
d' or dr e
+
336
426
425
376
323
324
352
348
43
326
337
382
43
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 22/599
COMPLEMENT SUR LA CONVERGENCE SI MPLE ET
UNI FORME DE LA SERI E ET DE L' I NTEGRALE DE
FOURI ER
' L eh a p iX I I ,
a s a n a l
q u o iu r bo
a p p a rn b a l% ' ée
e t u g m e
r é p ao u ra r al t
s o u so r m ee i v r em p r
0 t
a u mp
c i a l e
Chapi t r e XXI I
ESPACES HI LBERTI ENS
5 1 FORMES SESQUI LI NEAI RES
2
ESPACES PREHI LBERTI ENS
L E
HEOREME DE PROJ ECTI ON
4
APPLI CATI ONS AUX SOUS- ESPACES VECTORI ELS
FERMES D' UN ESPACE HI LBERTI EN
§ 6 SOMMES DI RECTES HI LBERTI ENNES, BASES
e
HI LBERTI ENNES
$ 7 ADJ OI NT D' UN OPERATEUR
$ 8 OPERATEURS COMPACTS
1 Si 23
16
28
44
58
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 23/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 24/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 25/599
C LCULDIFFÉREiiTIELEXTÉRIEUR
1 APPLICATIONS MULTILINÉAIRES ALTERNÉES
Soi t J un ensembl e f i ni ,
G
l ' ensembl e de ses permut a-
t i ons,
c' est - - di r e des bi j ecti ons de. J sur l ui - même.
Si l ' on appel l e r ? l a Composée TO 7J des permut at i ons
6 et T,
G
on sai t que l a l oi de composi t i on( cT' , +C- ( TT
f ai t de un gr oupe,
appel é groupe des permut at i ons de J .
l ' héor eme 1 -
I l exi st e une appl i cat i on 6 et une seul e, C- 6
o- '
CiU
grou e
6 des per mut at i ons d' un ensembl e f i ni J , dans
l ' ensembl e a deux él ément s + 1 , -1
i
, ayant
l es
pr opr i ét és sui vant es :
1 est l a per mut at i on i dent i que
3’ I Efl =- 1
, cT est une t r ansposi t i on, c' est -
a- di r e une
er mut at i on l ai ssant t ous l es el ément s i nva-
Change l ' un avec l ' aut r e.
L' ensembl e des deux él ément s +- l - 1
, muni de l a
l oi de mul t i pl i cat i on,
est un gr oupe dont 1 él ement + 4
est l ' él ément neut r e.
La condi t i on 1“) et l a condi t i on 2' )
expr i ment al or s que l ' appl i cat i on E
r espect e l es st r uc-
t ures de groupe de 6 et de {+{
, _l} .
El l e r espect e en
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 26/599
4
ef f et l a l oi de mul t i pl i cat i on et l ' él ément neut r e; el l e
r espect e al or s aussi l e passage l ' i nver se, car on a
nhessai r ement :
PM J
E~-lfir - c-lr = y
1 ,
ce
qui pr ouve que BV_l
c' est - à- di r e égaux) .
et e sont i nver ses l ' un de l ' aut r e
Démonst r at l on - Tout d' abor d l ' unl ci t é de l a f onct i on
est evi dent e; el l e est en ef f et connue sur t ous l es cl ément s
6 qui sont des t r ansposi t i ons de
J
comme al or s t out e
per mut at f on est pr odui t d' un nombr e f i ni de t r ansposi t i ons,
l a cof i di t i on
él ément s de
6?
' ) mont r e que 0 est connue pour t ous
l es
, et par conskquent uni que. I l nous r est e
donc à démont r er l ' exi st ence de l a f onct i on .
Pour cel a, nous pouvons t ou, j our s supposer que l ' ensembl e
est l ' ensembl e 1, ~
i
9. a. 9
N
1
Consi dér ons al or s l e pr odui t
:
(J r,1SI
P
=.n
.Q
&,j*ST,L~
-it)
sic? :i
+r&= F(G) , est une per mut at l on de J , nous
@r,l;3~
poserons
:
On a al ors évl demment l a r el at i on
@L, 1; 4)
6
P) = P
, avec
où V( 6) est ce qu' on peut appel er
de
l a per mut at i on c , c est - - di r e
( i , j ) t el s que
1 ei -c j < t4
et
On en dédul t al or s que,
si 4 est
que de l ' ensembl e des N. pr em ers
meme, on a aussi
:
une appl i cat i oi quel con -
ent i ers 2~4
dans l ui -
b
+,y,
l e nombr e d' l nver si ons
l e nombre
de
coupl es
que 6 > 5
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 27/599
5
Si al or s c, z- ,
sont deux per mut at i ons, on a l es r el at i ons :
b<
3
d' où l ' on dÇdui t l a r el at i on 1 ) .
La condi t i on 2O) est t r l vl al ement vér l f i ée.
La condi t i on
3’
l ' est aussi . Si en ef f et cr est une
t r ansposl t l on échangeant l es deux ent l er s 4 t fi et
l ai ssant t ous l es aut r es i nvar i ant s, et si l ' on suppose
par exempl e d L J 3 ,
on voi t quec n' i nt r odui t
pas
d' i nver si on pour l e coupl e ( LJ 1 ) SI i et j sont t ous
l es deux c q ou t ous l es deux z
J ;
I l i nt r odui t
une i nver si on pour l e coupl e ( H , k) et pour l e coupl e
( - k, f ) si M - = k L f i
.
Tout ceci , j usqu' i ci , i nt ro-
dui t donc un nombr e pai r d' i nver si ons; si , enf i n, nous
consi dér ons l e coupl e w, p , I l subi t exact ement une ’
i nver sl on pui squ' i l devi ent l e coupl e ( / , q ) .
I l exi st e donc au t ot al un nombr e i mpai r d' i nver sl ons,
et 6c
vaut bi en- 1 ,
si c est une t r ansposi t i on.
La ouant i t e Ef l ’ ppel l e l a si gnat ur e de l a per mut a-
t i on 6 . C' est don: & nombr e Çgal a f 4 4 i l vaut
+1ou-1 ,
sel on que 6 peut s' expr i mer comme
produi t d' un nombr e pai r ou d' un nombr e I mpai r de
* En pr enant t ous l es t ermes du pr odui t du l er membr e,
on obt i ent en ef f et une f ol s et une seul e t ous ceux du
produi t du 2eme membre, au si gne pr ès; l e nombre des
changement s de si gne est pr éci sément 9 ( o- )
.
**
Zn appl i quant ( VI , l ; F) , A condi t i on d' y r empl acer
par cr et 6 par 7
.
4
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 28/599
6
t r ansposi t i ons;
ce qui prouve que l a par i t é du nombre de
t r ansposi t i ons dont l a composi t i on donne a est , pour b
f i xge, t ouj our s l a même *
.
Si & = + 1
( r esp - 4 ) ,
on di t que r
est une per mut at i on pai r e ( r esp i mpai r e)
Soi ent
E
t eux ensembl es quel conques, N un ent i er
2 1, et
4
une appl i cat i on de E N
ans F
i
l or s 6
est une per mut at i on de l ' ensembl e d' ent l er s 1, 2
. ,
; ; n; p; el l e t r ansf or mée de 4 par cY l ' appl l cat i onr ] de
E
,
éf i ni e par l a f or mul e :
On a
On di t que l ' appl i cat i on, de E Nans F st symét r i -
sue, si el l e est i nvar i ant e par t out e per mut at i on T ;
aut r ement di t , si , quel l e que Soi t ( 7 E @
J r $ = +;
ou encor e si , quel s que soi ent z, ,a~~,..., scN E ,
CT
, ona:
Si mai nt enant F
l ' appl i cat i on
T
est un espace vect or i el , on di t que
de EN dans Test ant i symét r i que, si
-
-
l ' on a l a r el at i on
* Cel a n' est pas du t out évl dent a pr i or i ; i l n' est pas
évi dent qu' on ne pui sse pas obt eni r l ' i dent i t é comme
pr odui t d' un nombr e i mpai r de t r ansposi t i ons convenabl e -
ment choi si es; c' est seul ement l e t héor ème 1, c' est - à-
di r e l ' exi st ence de l a f ' oncti on si gnat ur e & , qui l e
prouve
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 29/599
ou encore,
si
et
cc6
l ' on a, quel s que
, . l a r el at i on
soi ent =, , , =
L. . . . ,
cN dans E
-
Cel a r evi ent t i di r e que c = -
7 pour t out e
t r ansposi t i on 6 . Car al or s,
SI ~ e?5t Le permut at i on 4
quel conque,
el l e e t un pr odui t de t r ansposi t i ons,
f
et r j
est l e pr odui t de
par une pui ssance de ( - 1 ) égal e au
nombr e de ces t r ansposi t i ons,
c' est - &- di r e pr éci sement
par &r .
-
4
On appel l e symét r i sée
d' une appl i cat i on
S
de EN
dans un espace vect or i el
, l a f onct i on déf i ni e par
ou encor e
ou encor e :
Théor ème 2 - Pour qu' une appl i cat i on de EN dans un espace
vectori el F soi t symet r i que ( r esp. ant i symet r i que) , i l
f aut et i l suf f i t qu' el l e soi t l a sy- mét r i sée ( r esp. Tan-
t i symét r i sée) g' une appl i cat i on de EN dans F .
Démonst r at l on - Donnons par exempl e l a démonst r at i on dans
l e cas ant i symét r i que. Tout d' abor d une f onct i on ant i symé-
t r i que est egal e à
f oi s l ' anci symét r i séed' el l e-
même.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 30/599
8
On a en ef f et ,
( vI , l ; g) ,
Ci’GU
pour t out e permut at i on c
, l a rel at i on
dant aux N
en addi t i onnant l es f or mul es cor r espon-
per mut at i ons, l a f or mul e
Mont r ons ensul t e que Yant i symét r i sée d' une f onct i on est
t ouj our s ant i sym6t r l que.
Si en ef f et T est une per mut at i on de l ' ensem i l e des
N pr em er s ent l er s, on a l a f or mul e
:
ce qui pr ouve not r e af f i r mat i on.
On di t qu' une appl i cat i on de
EN
dansF est al t er nee,
si el l e pr end l a val eur 0 pour t out syst me de N él ément s
X
1 ’
X ,..., =fq
,
de
E
dont deux cobci dent .
Théor ème 3 - Pour qu' une appl i cat i on mul t i l i n~ai r edeËN dan. sF,
r et 7 sont des espaces vect or i el s sur l e cor ps K
des réel s ou des compl exes, soi t ant i symét r i que, i l f aut
et i l suf f i t qu' el l e soi t al t ernke.
D6monst r at l on
- Vont r ons d' abor d que t out e appl i cat i on
ant l symc5t r i que
dans un espace
en ef f et X,
et si
35. =
t i
t l on :
de EN
, OÙE est un ensembl e quel conque,
vect or i el r
, est t ouj our s al t er née. Si
, =a >**O>=N
,
sont des Gl ément s de E ,
33.
2
, al or s on a nécessai r ement l a r el a-
* L' opi r at eur
est l i néai r e, donc
Car ,
l or sque 6 par cour t G , 70- par cour t ( 3 une
f oi s et une seul e.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 31/599
9
SI 1'
09 appel l ec l a t r ansposi t i on échangeant l es deux
616ments + et '
1
et l ai ssant l es aut r es ent i er s i nvar i ant s;
mai s, d' apr ha l a r el at i on d' ant i symét r i e, on doi t avoi r
aussi
ce qui pr ouve que l es deux
membres sont nul s.
Mont r ons mal nt enant que t out e appl . i cat i on mul t i l i ai r e
Ut ernée de
Ë’
dansF , o
Ë
et r sont t ous l es deux des
espaces vect or i el s,
est nécessai r ement ant i symét r l que.
Si en ef f et
sont des vect eur s
quel conques de Ë
K
Fz l . . TN
on a,
l a r el at i on ( où 1 < j
en ver t u de l a mul t i l i néar i t é de
)
:
4
O r,+; 9)
Mai s, pu3. squer
est Supposée al t er née, un cer t ai n nombr e
des t er mes Çcr i t s sont nul s, et on en dédul t l a r el at i on
qui prouve quer change de si gne quand on
f ect ue une
t r ansposl t l on sur l es var i abl es, donc que
est ant l symé-
t r l que, ce qui démont r e l e t hhor kme.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 32/599
10
SiË etF
sont des espaces vect or i el s,
et kï i Z est
une appl i cat i on +
- 1i néai r e ant i symét r l que
de zf
dans. 7,
on pr endr a sozent l ' habi t ude d' i nscr l c l e nombr e p
au- dessus de &L
,
et de l a not er aI nsi &
.
On di r a
aussi que Z est une
d. e degr é & , Sur Ë
- f or me exter i eur e, ou f or me,
, à
val eur s d2ns- T - * .
,
*
-
~i et F ~~I I L normes, l ' ensembl e A
p(r’;F Ides
appl i cat i ons p - 1i neai r es ant i symét r i ques cont i nues de
Ëj ' dansF est évi demment un espace vect or i el , qui esL
un sous- espace vect or i el de l ' espace vect or i el J ?( Ë F)
% t out ezl es appl i cat i ons f - l i neai r es cont i nues de
Epdans F .
Dans l e cas par t i cul i er OÙFest l e cor psK des
scal ai r es, au l i eu de A& on écr i t aussi A
P J
E ;
n' est aut r e que E’ , dual de E
.
Un
él ement deE' s' appel l e aussi un CO- vect eur Sur Ë .
Un el ement de A’p s' appel l e= al or s un+ - covect eur
sur ËT ; un el esent de AxV( zr ; F) un+
- covect eur sur E
C val eur s dans F
.
Pour += 0 , on convl endr a que AgO ( ?; F) est
l ' espace vect or i el r l ui - même, et par consequent l e cor ps
es
scal ai r es sl F= K
Soi t Ë- un espace vect or i el de di mensi on N, de
él ément de ËN , et appel ons X-
l a j - l &me Coor donnée
du i - i cme vect eur ?; .
*>d
”
-
*
f orme est I ci un abus de l angage, pui squ' une f orme est
habl t uel l ement a val eur s scal ai r es. Pour +, = 4
, cel a
r evi ent à di x- 2 qu' on appel l e 1 - f or r _ne f or me sur
Ë
val eur s dans F un 6l émeQt de &
( E ;
FJ . Not er aussi
qu' on
di t + - f or me . sur E , et non sur gp, ce qui est aussi
une si mpl i f i cat i on de l angage.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 33/599
Al or s l ' ant i symet r i s6e de l a f or me t. l 1i néai r e ( scal ai r e)
n' est aut r e que l a f onct i on dét er m nant , qui , a chaque
syst eme de N vect eur s, f ai t cor r espondr e l e dét er m nant de
l eur s coor donm r appor t à l a base consl der 6e.
Démonst r at i on -
Cet t e ant i symét r i sée est déf i ni e par l a
f or mul e :
qui est l a déf i ni t i on mèm du dét erm nant , donnee en mat hé-
mat i ques sp, éci al es. Dans l a sui t e, nous not er ons ce dét er m -
Théorème 5 -
SI Ë et 7 sont des espaces vect or i el s, . sJ r est de
dl mensi or f i nzN et muni d' une base, une appl i cat i ons? der p
dansr est+- l i néai r e ant i symét r i que,
si et seul ement si el l e
s' expr i me sous l a f orme :
tt
où l es quant i t es zj , , i L, , . , , j J
; Ont des el ément s de r _.
Cet t e expr essl on est al or s uni q e, e on a
MA
f orment donc une base de J ' espace , q' F'
j
s f or mes_ / L- l i n64ai r esant l symet r i aues sur r P
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 34/599
1 2
S i Êt 7o n to r ma o r u
-
c
e s
t i e ni n e ae F ) r
?Ë
a i n s iu ea i j eé c
D Ç m o n
d ' é c r
L e a ru le
o ù a o m ms tt e ni U Se sy "
j ,
N a i s ,
I
e we e sn d
o g
s i o nr o u vs tu l lu ls tl
D o n n oo u sl o rn eu iù e uc
i n d i co n tn e gt a na rr e r
s a n t e
, s . .e v
é l
l e se r m eo u re s q
t l o ne
t
' i ,
,...,i’
e s n
c o m: a e
t o u se s
o nao
E n a i s an s ua re y sj .
o b t i ei e na o r mV Iv a e
I n v e r' a i
o uo ne a
s o nr bs v
: l ls n f
p r o
e t o u sv o nu l u sa uu ee e s
m u l t in t io nn
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 35/599
13
Enf l n une expr essi on t el l e que ( VI , l ; 23) est
uni que, aut r ement di t on a nécessai r ement ( V1
-
st hement
, 1; 24) . .
Si,
pour
n ef f et ,
dans ( VI , l ; 23) on f ai t -X-i
zjc.
1,
( symbol es de Kr &ecker ) , ce qui donne bi en
,ü(ë-
, ë-k
L
Supposons Z et ? nor més.
CommeË
est de di mensi on f i ni e,
t out e appl i cat i on mul t i l i néai r e de Ë* dansr est cont i nu
( page 104 du Cour s de 2ème Di vi si on) . Donc z cz
Aap( f";F 1,
Le nombre des d.
-
JpjzV**,j+.
est l e nombr e des par t l es h
p él 6ment s de {I , % .., NJ1
syst &me de zi , , j&,,.,,j?
est donc un
et l a corr espondance ent r e l e syst kme des zs
est donc bi en une bi j ect i on de i
F) f"
' sur A +(Ff;F)
Cet t e bi j ect i on est t r i vi al ement l l néal r e.
El l e est cont i nue, car
Où
11
~,&*~**,jp
l
est l a norme de l a f orme
P
- 1i néai r e
A*
j,~l ****~ &
;
cet t e nor me
est
f i ni e, car I l s' agi t
d' une f or me +, - l i n&ai r e sur ËY
de di mensi on f i nl e,
donc cont l nue.
On a donc une maj orat i on du t ype
donc l a bi j ect i on est cont i nue.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 36/599
14
La bi j ect i on r Çci pr oque est aussi cont i nue, car
< const ant e X I l &
et l e t hborème est demont r e.
Remar que -
Nous venons donc de mont r er
que,
si
l ' on
l
i
l
i dent i f i e c au syst ème de ses coef f î cl ent s
ai , , ;
.
, .,
L ’
on déf i nl t . une I dent i f i cat i on ent r e A&?( Ë{$; ?i &T( F) "
qui r espect e l as st r uct ur es vect or i el l es, et l es nor mes
B une equi val ence prS. 5.
Nat ur el l ement ,
cet t e i dent l f i cat i oa n' est pas canoni que,
el l e depend du choi x d' une base dans E .
Exempl e -
Prenons l e cas += 2;
en changeant l es not at i ons,
on vol t que l ' expr essi on l a pl us génexal e d' une appl i cat i on
bi - l i nt 5ai r e ant l symet r i que de pdans F est , SI E est muni
d' une base
:
Cor ol l al r e 1 - Tout e appl i cat i on _+ - 1i neai r e al t er née
deË?dansF est nul l e, SI b > n ; al or s l ' espace
4- 6
AA, , ( Ef ; F ) se r edul t à l ' él ement 0 .
Cor ol l ai r e 2 -
Tout e f or meN - l i neai r e ant i symét r l que de
N
E
dans F est l e pr odui t du dét er m nant ( déf l nl au t héo-
r ème
par un vect eur f i xe de F. La f onct i on "det eE; ; n; ; t
d' un syst ème de N vect eur s par r appor t à une base"
seul e appl i cat i on N - 1i néai r e ant i symét r i que de FN dans l e
c- u1 pr enne l a val eur a, our l e sys-
t ème des N vect eur s de l a base.
La di mensi on de l ' espace ANË
est égal e à 1.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 37/599
La di mensi on de l ' espace A+Ë'
est cel l e
-
Ai nsi l es di mensi ons successi ves des espaces
A0 Él j = K
,
A’Ë’= Et,,_.,
ApË' , . . , , ANËi , , , sont es nombr es
l=
Ci
= Ci,,,..
, c;,... I= CL ,o, o,...
Supposons d' abor d quel soi t l e cor ps des scal ai r es.
Soi ent a, , a ,..., q,, +
1
f or mes l i néai r es sur E .
On peut const r ui r e,
à par t i r de- ces f or mes, un: f or me
+- l i r kai r e ant i symét r i que sur
E? ,
à savoi r 1 ant i symét r i -
sée de l a f or me+- l i nÇai r e
Cet t e ant l symét r i sée est déf l ni e par l a f or mul e :
On convl endr a de désl gner cet t e f orme par l a notat i on de
' pr odui t ext ér i eur
** hi / , t i %I I . . . % /
P
, d' où l a
f ormul e
:
* Nous_avons ut i l l sé, pour démont r er l e cor ol l ai r e
3 une
base de E
mai s aucun changement de base; donc uni quement
l es pr opr i i t és r ésul t ant i mmédi at ement de l a déf l nl t l on des
espaces vect or i el s. Donc l e cor ol l ai r e 3 peut ser VI r . k dÇmon-
t re r que t out es l es bases ont l e mgme nombre d' él ément s;
ce nogbr e,
l a di mensi on N
AN+ E' +] .
est l e pl us pet i t ent i er t el que
wt Ce pr odui t s '
pel l e
pr odui t ext ér l eur ,
car i l n' est
pas- dans l ' espace
F
' des f act eur s,
mal s dans un aut r e espace
II?E .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 38/599
16
On a, en par t i cul i er , pour 2 f or mes l I neai r es 4, 4 , I Y ,
sur Ë
a f ormul e :
Consl dérons mai nt enant J o +
q
I A .
1 ’
az ,.*- 4+ , v, ,cz ,... 4
On peut al or s def I ni r l es t r oi s
f or mes l i neaI r es
.
pr odui t s
Appel ons G' ( r esp GM) l e sous- gr oupe de 6 const i t ue
par l es per mut at i ons qui l al ssent l nvar i ant s
' 1%~ q er ni er s
nombr es ent l ers, et ne permut ent ent r e eux que l es+ pr emer
( r esp. l e sous- gr oupe de cel l es qui l ai ssent i nvar l ant s l es
+ pr emer s ent i er s, et ne ver mut ent ent r e eux que l es
q
der ni er s) . On di r a al or s qu une per mut at i on o- appar t i ent
à l a cl asse d' une per mut at i on 7, SI el l e peut s écr i r e
c= ?G' 0- w
, Où : fl’e @Y , rflc w,
Chaque cl asse ai nsl const l t uée compr end F 4 permut a -
t l ons; al or s l a somme5 peut aussi s' écr i r e E
, _ou
8
U ’
ar cour t @ , c' par cour t &' , et où 7 par ~o%~
,
un
ensembl eT de permut at i ons,
cont enant une permut at i on et une
seul e dans chaque cl asse.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 39/599
7
Mai s al or s on peut écr i r e, d' apr ès l a dÇf i ni t i on
même de l a f or me
?
- 1i nkai r e w et de l a f or me q - 1i néai r eV;
=
ix C T & (
TCT
Mai s b ,
6t ant ant i symét r i que,
ant i symét r l sée,
et V vaut aussi L
( I i
On peut donc écr l r e
:
vaut
f oi s
son
f oi s
;
i on ant i symét r i &e.
( =, 1; 32)
zn ut i l i sant de nouveau t out es l es per mut at i ons,
Cel a pr ouve quewest l ' ant l symét r i sée de l a f or me
( - t ++q
) l i nbai re
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 40/599
Kous sommes donc amenés G. poser l a déf i ni t i on sui vant e :
Si * ( r esp W
)
est une f or meA- l i néai r e ( r espq - 1i néai r e)
ant i symét r i que sur
ËV
( r esp Eq )
al or s on appel l e pr odui t
ext Çr i eur de ces f ormes, et on noi e U, A 0 , l a f or me
déf i ni e comme l ' ant i sym~t r i s~e de
est - &- di r e déf i ni e par l a f or mul e
scal ai r e deK, f i A Q
si + = 0, donc si t i est un
est l a f or me , w f l
pr odui t de
l a f or mef l par l e scal ai r e&
;
de même pour 9' 2 0
.
I l r ésul t e de cet t e déf i ni t i on que, si t e est un pr odui t
AA/ , t i z A
..,A .4A/
F ’
et si V est un pr odui t V, ~ f l zA . . AQ
al or s , 4b A V est t out si mpl ement l e pr odui t , déf i ni di r ee-
t ement ,
G, A +, A l ** A w
Y
fi O,AeY~A...A,lr
9
.
De l a même mani r e,
si hb V, t i , sont r espect i vement
des f ormes +, -
symkt r i ques, on
comme l a f or me
f oncti on
l i néai re , q - 1i néai re , b- l i néai r e, ant i -
déf i ni r a l eur pr odui t extér i eur w A V A WY ,
j--+ Cj +b )
- l i néai r e, ant i symét r i sée de l a
et par conséquent déf i ni e par l a f or mul e
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 41/599
Supposons cpeË soi t de di mensi on f i ni e N , et soi t
è, , &y.*,
c
une base de E .
Appel ons al or s l a
f or me l i néai r e
' i - ème Coor donnée' ,
qui f ai t cor r espondr e,
a t out vect eur de2
, sa i - ème Coor donnée. Al or s on voi t
que l e pr odui t ext ér i eur ( ki , jA (Ei>A...A(E
)
n' est aut r e
que l a f or mep- l i neai r e ant i symét r i que A.
j +
l a f or mul e (v1,1;23), qui ,
$, &>. . . , j i _ de
& chaque syst eme de? vect eur s
~, , ~~, . *&.
f ai t cor r espondr e l e dét er m nant de l eur s
Coordonnées de r angs
La f or me - 1i néai r y:
r epr ésent ée b l a f ormul e
(v1,1;23),
peut désor ma
aussi s ecri r e :
On di t qu' une f orme de degr é l + est décomposabl e, si
el l e est un pr odui t ext ér i eur de
?
f or mes l i neai r es; on
a al or s :
Thbor ème
6 -
Si Ë est de di mensi on f i ni e, t out e f or me {t - l i n&-
ai r e ant symét r i que sur ËT est une comoi nai son l i néai r e
f i ni e de f ormes dÇcomposabl es. Si l es 1 Lorment une base
l es 5 A F A
%r r ki Ü?ï ë b&&e d&' ~~~, . y,
E. 613. s
j, pjz?.**j
j+ > j,q2~-*<j,_/
Desi gnons par J une par t i e quel conque a+ él ément s de
l ' ensembl e d' ent i er s 4, 2. , . . , , t 4 . Appel ons ( i J
t
) l e
pr odui t ext er i eur ( ~ , ~ ( t j Lj A . ..A tjpj
, avec
t ous él ément s deJ
; et appel ons aussi
l a f or mul e ( VI , l ; $) peut
*
Où j3+ (A)
est l ' ensembl e des par t i es b f él ément s
de l ' ensembl e A .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 42/599
20
Theor Gme
7 -
La mul t i pl i cat i on ext ér i eur e des f or mes mul t i l i né-
ai r es est une opér at i on mul t i l i neai r e et associ at i ve.
Démonst r at i on
mul t i l i neai re,
- Quand nous di sons que l ' appl i cat i on est
nous voul ons di r e, par e empl e, _que 1' ppl i -
cat i on ( *, V, w) - u4 WA w de ( AP& x Aq E' x A% )
dans l e cor ps des scal ai r es K
néai r e;
est une appl i cat i on t r i l i -
aut r ement di t , que l ' on a l es r el at i ons
:
Cet t e pr opr i ét é est évi dent e.
Quand nous voul ons par l er de l ' associ at i vi t e de l a
mul t i pl i cat i on ext ér i eur e,
nous voul ons di r e que l ' on a,
par exempl e, si , w, c, t i
49
sont des f or mes mul t i l i nkai r es
ant i symét r i ques,
des f ormul es du t ype sui vant
:
Cet t e f or mul e est évi dent e si , Q, , v, ~, , sont des f or mes
décomposabl es, c' est - &- di r e si chacune est un pr odui t
ext ér i eur de f or mes l i néai r es du t ype :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 43/599
21
En ef f et , dans ce cas,
t ous l es t er mes écr i t s dans
( v1, 1; 38) sont égaux à
Mai s par ai l l eur s nous avons vu au t héor ème 6, dans l e
cas où Ë est ae di mensl on f i ni e, que t out e
f or me mul t i l i -
néai r e ant l symét r i que est une combl nai son f l ni e de f or mes
décomposabl es;
or l es di f f ér ent s membr es de ( v1, 1; 38) dépen-
dent t ous mul t i l i néai r ement de ~, v, w, 3
; étant égaux
l or sque ces f or mes sont décomposabl es, i l s sont aussi égaux
dans t ous l es cas. Nous ne donnerons pas l a démonst r at l on
l or squer est de di mensi on i nf i ni e; on se r amène t r ès f aci -
l ement au cas de l a di mensi on f i ni e.
Théorème 8 -
Le pr odui t ext ér i eur des
f or mes mul t i l i neai r es
ant i symét r i ques est ant i
et si w est 4 - l . i neal re,
est déf i ni par l a f or -
k ~r i st r at i on - Le pr em er membr e
( VI , l ; 30) . Mai s,
si nous appel ons 7 l a per mut at i on
qui f ai t passer de 1, 2, . . . , ~, l ~t l , . . . , ~+q, ~t~,qt L,,..,q++,4,2,...,q,
1 on voi t que cet t e per mut at i on a l a si gnat ur e ( - 1 ) P' ,
A& .
car el l e possede +q i nver si ons.
I l en r ésul t e que l ' on peut aussi déf i ni r l e pr em er
t erme de ( ~1, 1; 41) aut r ement , en t enant compte de ce que
si 6 par cour t
@
-fv+q 9 (7-r
l e par cour t une f oi s et une
seul e:
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 44/599
Cor ol l ai r e 1 -
Si &t , et O' sont des f or mes l i néai r es,
pl us ghhr al emen~si z sont des f ormes+, - l i n&ai r e e?
4 - l i néai r e, OÙ~Q s q gent i mpai r s, on a l a f or mXë:
Si , au cont r ai r e,
pai r ,
l ' un au moi ns des ent i er s+, q est
on a l a f ormul e
:
Cor ol l ai r e 2 - Soi ent L,
,,4,bz,...,4,t,
F' +
f or mes l i néai r es,
et soi t ( T une per mut at i on de l ' ensembl el , &, , . . , . , ,
Al or s
on a l a f ormul e
:
Pour + = q z 1
c' est une conséquence t r i vi al e de
( VI , l ; 29 bi s) .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 45/599
D é m o n u p p
' au e o n
s i t i oe e u xn t io nl a o
( V I , l' Ç c
e t l l es tl o rv i da rn e e '
e l l ee v i e u . i & k ii + e u
a u t r eu ea o r m
v 1 ,
O n a s s el o ru a s' ue ru,
e n e m a ru ' es to uo '
f i n ic r a ne e ul éo q
l a p a r
u o m be e sr as r
l a a r l te e o r o o me h
e n x p r iu ea u l tx e
l i n Ç as tn ep Ç rn t l
a l t e rt h é) ,o n
C o r o l n r o dx te l
l i n é ao n te u xo nr o s é
m e n tu l .
N a t u re é s ue u ba i '
a f f a i
n r o dx te o re e
P a rx e m pi o u so nn s e
N = 4,
ayant pour base < z2 < z4
et s i
n
a p p e la
f o ré fa r
s o na r r ex t é' e sa su lt '
D ' a i l
o u re e g r
o ’
s e o
s c a l at e a r r' uc a' a
n u l
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 46/599
2 4
T h é o r o u ru e +o ri nu n s
r i e l Ëo i en d é
l a t l u
l e u rr o dx t éo i
D é m o n
' )u p' au e
U , 7
Z 9 . '
aY r
s o i en dn e
t r o u ve c t
,
?p...J
, Cie E ,
t
l ' o ni te se l a
@C~;M\
hi bai ~ = ~~,~
,
Où 6..
e s te e n se r on l
( V I , 3a o r m
( % 1 ; 5
, AL . .
Z
,
F
,
q u ir o u vu ee r o dx ts
2 ' )u pu o e
d é p e n
l o r' uu o i' l
e x e m pi
p
s tn eo mi e u
s a v o i
W,l; 51)
9
= Cl w, + czAbz +- -0 + c A& _,
+-’
+
O n l o r' a pa o re i
+ - '
( w , d ;&,lwzA...A~
?= xl
c; &,A kLzA... A
AA/
+_,A% *
i-l
e t h a c ue se r ms tu ln e u od
t h é o r.
l l ~ ~
ia i no u su pu ei s n p
+ , 1 i n én t le p a
n
c a t i o
- 1 i nn t
e
Ë ? a
e f f e ce u rr o dx t.
( B
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 47/599
k une appl i cat i on bi l i néai r eB deF x
dans un espace
f onct i on
c' est - h- di r e dÇf i ni e par l a f or mul e
I l n' est pi ds questi on i ci , en génGr a1, d' associ at i vi t é, ni
de r hgl e d' ant i commut at i vi t é de ce pr odui t . I l en ser a
cependant ai nsl dans l es deux cas par t i cul i er s sui vant s,
qui sont l es pl us i mpor t ant s dans l a pr at i que
l / Si r est un espace vect or i el sur l e cor ps des r éel s w ,
si r , c, E sont l e cor ps des compl exes a?
, consi déré comme
espace vect or i el de di mensi on 2 sur R, et si l ' appl i cat i on
1i néai r eB est l a mul t i pl i cat i on or di nai r e du cor ps des
compl exes, al or s on a 1 associ at i vi t é et l ' ant i commut at i vi t é
comme pr écédemment ; l es pr odui t s ext Çr i eur s d' un nombr e f i ni
quz; co$que de f or mes mul t i l i néai r es ant l symét r i ques t i val eur s
, sat i sf ont à t out es l es f or mul es pr écédent es.
En out r e, l a mul t i pl i cat i on ext ér i eur e est même mul t l l 5-
néai r e par r appor t au corps des compl exes, en ce sens que
l a der ni èr e
2' / Supposons
i dent i que B
f or mul e ( VI , l ; 3' 7 bi s) est encor e vrai e pour
compl exes.
que c soi t l e cor ps des scal ai r esK, que;
soi t
L
et que l ' appl i cat i on bi l i néai r eB soi t l a
mul t i pl i cat i on habl t uel l e d- un vect eur par un scal ai r e. On
voi t al or s qu' on peut ef f ec. t uer un pr odui t ext ér i eur de
pl usi eur sLor mes mul t i l i néai r es, l ' une d' el l es ét ant A va-
l eur sdans F
, t out es l es aut r es ét ant B val eur s scal ai r es,
et que l es pr odui t s ai nsi f ' or més sat i sf ont aux f or mul es
pr écédent es.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 48/599
26
Exempl es
- Donnons un exempl e du pr em er cas, en pr enant
pour : ,
ussi bi en que pour F ,
l e corps des compl exes C' ,
consi dér é comme espace vect or i el G deux di mensi ons sur R.
Si al or s on appel l e 5 et 11 l es f or mes ' pr em èr e et
cl euxi hme Coor données" ,
c' est - &- , di r e cel kes qui f ont cor -
r espondr e a un nombre compl exe
Z X3 ?b
r espect i vement
sa par t i e r éel l ex et sa par t i e i magi nai r e
Y
on peut
aussi consi dér er l es appl i cat i ons E - l i neai r es dans @ , :
= . A ~
t T= J - ~I I ,
qui sont déf i ni es par l es
f ormul es :
On a a ors l es f ormul es sui vant es
:
Nous avons déf i ni A? E' , our E1 dual de Ê
. Mai s,
si Ê est un espace de di mensi on f i ni e, i l peut et r e r on- .
si dér é c o m m ee dual de É'
; n peut donc déf i ni r A? r
( qui sera l ' espace des f ormes p
- 1i néai r es ant i symét r i ques
sur+ ) . L
a st r uct ur e al gÇbr i que de l ' al gèbr e ext ér i eur e
de Ë est anal ogue t i cel l e de E' . n 6l ément de Af r
s' appel l er a un +- vect eur .
I l y a l i eu t out ef oi s de por t = une t r ès gr ande at t en-
t i on au cor ps des scal ai r es.
sur P. ,
si E est un espace vst or i el
i l déf i ni t a f or t i or i un espace vectori el E~sur E
Mai s l e dual p
s ace des appl i cat i ons c- l i néai r es de
Ë dans c) n' a pas de r appor t avec ( ÊRI ' , ( espape des
appl i cat i ons R- l i nÇai r es de Ë dans R ) .
Donc Ak E et
* ( est aussi c- l i n&ai r e, mai sT ne l ' est pas.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 49/599
27
AY E
9
ne sont pas I dent i ques,
et mêmz leurs di mensi ons
ne son
pas l es mèmes; par exempl e, si E a l a di mensi on
-
-
compl exe n ,
donc l a di mensi on r éel l e 2r ~ , A2 E
a l a
di mensi on compl exe
1x ,n-lJ
2
donc l a di mensi on r éel l e
n (n- i ) , al or s que A'
ËR
a l a di mensi on r éei l e
2t i z , l +&_d)2
.
D' ai l l eur s, s i ëE F
, -z
et i Z
sont dépendant s sur a?, donc e Ac i z =- Ô théo-
r ème 9) ;
mai s i l s sont i ndépendant s sur R , donc
ê 4R i ê C.
On ut i l i se syst émat i quement l es, h- f or mes, mai s peu
l es
?
- vecteur s.
g2 ORI ENTATI OND' UNESPACEVECTORI ELDEDI MENSI ON
FI NI ESURR
aappel ons que - s i t i est une appl i cat i on l i néai r e d' un
espace vect or i el E de di mensi on?% dans l ui - même, on peut
par l er du @ er m nant de t i ; si on consi dere une base quel -
conque de E ,
l ' appl i cat i on , i & st déf i nl e, r el at i vement 5
cet t e base,
par une mat r i ce, et l e dét er m nant de& est l e
dét er m nant de cet t e mat r i ce, quel l e que soi t l e base choi si e.
Le det erm nant du pr odui t ( ou composé) de 2
appl i cat i ons
l l néai r es est l e pr odui t des dét er m nant s; l e dét er m nant de
l ' appl i cat i on i dent i que est 1, et l es dét er m nant s de deux
bi j ect i ons r éci pr oques sont i nver ses.
Tout ceci est vsl abl e, quel que soi t l e cor ps des scal ai r es.
Dans ce paragr aphe, Ê est un espace vect or i el de di mensi on
N sur l e cor ps des r <el sR.
S' i l est donné comme espace
vect or i el de di mensi on n, &r l e corps des compl exes Q? , on
l e consi dèr era comme espace vect or i el de di mensi on N = 2~
sur l e cor ps des r 6el sR.
Rappel ons qu' on appel l e base ordAnnee deË une appl i cat i on
e de l ' ensembl e 4, 2, , , . , , } dans E , & savol r k L
i
z ,
*a
t el l e que l es vect eur s ( ?J i _ , z N soi ent i ndépendant s dans E .
- , ,.-.,
Nous ét abl l r ons al or s, dans l ' ensembl e de ces bases, une
r el at i on d' équi val ence. Nous di r ons que l a base 19' est
équi val ent e 2 l a base & , si l e dét er m nant de e' par r appor t
à 63 est > 0
* ce dét er m nant sst l e @ er m nant de
l ' uni que appl i cai i on l i néa: i r e de E dans E
l ' i mage de chaque z<
soi t 8 .
pour l aquel l e
I l s ' i gi t bi en d' une
1
r el at i on d' équi val ence.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 50/599
28
E n f f e
1 ’ l l es té f l i
' = & , e é
est 4 > 0
.
2 ' )l l es ty m é
e é te a a
r a p p o a a s e s t' iu é
b a s ea ra p p a a s
’ ,
p u e o
m i n a ne p p lé cI ', i
e n s to n ce ê m ee ' a
3O E l l es tr a nI ? '"
d o n n ée l ?
s o r -
l ' a pi ke a
z ; u r
s te r oe ' ai
a m è n e
u i? t e e lu im è:
l e é t e iV a ra p
s ud
a cz est l e pr odui t du
d é t e re t a ra p
t u ee
p a ra p p o
f
i o ne se ue é
sont 5. 0 ,
i l n s te ê mu r
L a e l a' é qr ét
s e m b le o u te sa sr de
, eXaCtmnc?nt deux
c l a s s
T o u t' a bn f f
n e ur a
n o nq u i v< Z z t % e
t e ' e s tn eè m ea s eé te "
C ? t ' o no u ru o te é te '
a
ke,
qui est - =0
m i n a ns t
d o n' uu o ed
' 0 )
? j ;
q u
oi t a e
, s
à e1 *.
O n i tu ' o r i e' ee
d i s t i' u ne e sl ae a r
c o m m eb a na l a so su i t '
e t a n ta l a sÇ g au e t
R e m a r
' )l x i se ur io
S I n er i ee s th o
' r
c e l l eu io n s p po sa l
q u ' o np p e= & ga na r e'
t a t i op p ol s ts so yi a
& l & ? ~e h oe r ie -
, a i su l s tr éa e a
v e c t oe i m e,
e h oo l
c e l l ee sa s er d où e e ue
à a a u cu r e m
* ' e s ta u ' ie a iu e o
e s t I l
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 51/599
L
I l est bi en évi dent qu' i l s ' agi t l à d' une st upi di t Ç par -
f ai t e. La not i on de dr oi t e et de gauche est une not i on pur e-
ment physi que,
ayant . un sens dans une r égi on r el at i vement
r est r ei nt e de l ' uni ver s où nous vi vons *
, mai s, . ét ant
donne un espace vect or i el 8 deux di mensi ons sur l e cor ps des
r Çel s, i l n' exi st e dans cet espace ni dr oi t e ni gauche.
Si , par exempl e, on consi dèr e l ' espace vect or i el B deux
di mensi ons des pol ynomes ensde degr és L 1, i l est evi demment
i mpossi bl e,
si l ' on consi der e l e syst ème des deux pol ynômes
X,
1+3' =
de di r e si l e deuxi ème est b l a gauche ou a l a
dr oi t e du pr eker .
dl ces
cel l e
de l a
même,
( WG
2' ) Si c est une per mut at i on de l ' ensembl e d' i n-
{
1, 2, . . .
,
N }
+ a cl asse de l a base , i zf l L est
de l a base i - e
; i mul t i pl i ée par l a si gnat ur e &c
per mut at i on 6 .
3 O
I & est une bi j ect i on l i r éai r z deË sur l ui -
et s i ( <, ) i z,
2
I
- * -
N
est une base de E , l a base
h l , , .
st de même cl asse ou non, sui vant que
l e dét er m nant de k est z- 0
ou- =o. On di t souvent
que c' est l à une i nt er pr ét at i on géomét r i que' du si gne du
dét er m nant ;
c' est assez i nexact ,
car l ' or i ent at i on n' est
pas une not i on géomét r l que qui va de soi , el l e r Çsul t e
j ust ement des pr opr i ét es des dÇt er m nant s des appl i cat i ons
l i néai res .
Consi dér ons d' abor d un espace vect or i el de di mensi on 1
sur l e cor ps des r Çel s;
al or s deux él &ment s quel conques#O
sont pr opor t i onnel s , et l eur r appor t est B 0
ou<o*
On peut donc évi demment par t ager l e compl émentai r e de 0
dans l ' espace vect or i el , en deux cl asses, en di sant que
deux él ément s sont Çqui val ent s ou de l a même cl asse, si
l eur r appor t est > 0 Qr i ent er l ' espace vect or i el c' est
choi si r une de ces deu. < i l asses pou2 l ' appel er l a cl asse
50 On r emar que al or s que, si E est un epace vect or i el
de di meksi on f i ni e N quel conque, i ' espaoe ANEt des f or mes
N
l i neai r es ant i symét r i ques sur E est de di mensi on 1
( cor ol l ai r e 2 du t heor ème
5 ,
t au' i l peut en conséquence
êt r e Or i ent é. Une or i ent at i on de E est al or s, par déf i ni t i on,
une or i ent at i on de l ' espace vect or i el de di mensl on l , ANE' .
*
Si nous communi qui ons avec des Pol yt echni ci ens d' une
Pl anèt e di st ant e de l a nôt r e de 1 m l l i ar d d' annÇes- l um èr e,
comment l eur I ndi quer i ons- nous ce que nous ent endons par
dr oi t e et gauche ?
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 52/599
30
Or i ent er E
c' est f i xer cel l es des f or mes
N
- 1i néai r es
ant i symét r i ques 0
, qu' on consl dér er a comme posi t i ves.
Mont r ons qu' i l y a bi en équi val ence ent r e l es deux méthode
I ndi quées pour or i ent er un espace vect or i el .
Soi t en ef f et 19 une base;
el l e déf i ni t des f oncti ons coor -
données
5;) ,
et par conséquent une N- f orme pr odui t ext é-
r i eur ( 5, ) t , ~% A. . . A( ~, J . De l a même mani ère, si e' est
une aut r e base,
on, peut l ui associ er canoni quement une aut r e
N - f or me ( 5: ) A ( ~z) A. . . A( j j J . Dési gnons par A l e det er m nant
de l a deuxi gme base par r appor t a l a pr em er e. D' apr ès l a
déf l ni t l on même du pr odui t ext ér i eur des f or mes ( f or mul es
v1, 1; 35 bi s) ) , on a l es deux f or mul es :
Ceci pr ouve que l ' on a, ent r e l es N - f or mes ( nÇcessai r ement
pr opor t i onnel l es) assocl ées aux deux bases, l a r el at i on :
Al or s deux bases sont équl val ent es, au sens de l a r el at i on
d' équi val ence ét abl i e pl us haut ent r e l es basesI s et
seul ement si l es N - f ormescor r espondant es sont de r apport
=- 6
donc equi val ent es, au sens de l a r el at i on d' équi -
val enci Çt abl i e ul t ér l eur ement dans l ' espace des N
- f or mes.
Or i ent er l ' espace, au sens du choi x de l a cl asse posi t i ve
des bases, r evi ent donc a l ' or i ent er , au sens du choi x de
l a cl asse posi t i ve des N - f ormes; l a N - f or r ne(~, ~~~~~~~. . . *(
associ ee a une base e : è, , zL,...,zN ,
appar t i ent a l a
cl asse posi t i ve des N - f or mes, si et seul ement ~16% appas-
t i ent b l a cl asse posi t i ve des bases.
21t i est uneN- f or me 0 ,
posi t i ve pour l ' or i ent at i on
deE
,
on pour r a écr l r e w > 0
.
On ecr i r a al or s u 2 0
,
si %L=
0 out i >o
.
Cet t e not i on de si gne d' uneN- f orme
Sur Ë n' a de sens que s i r est or i ent e.
Nous
avons vu pl us haut que, sur un2space vect or i el , i l
exi st e deux or i ent at i ons possi bl es,
aucune n' et ant pr i vi l é-
gi 6c par r appor t 0 l ' aut r e; au cont r ai r e nous al l ons voi r
qu’il
n' en est pas ai nsi sur un espace vect or i el sur l e
cor ps des compl exes.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 53/599
I héor ème 10 -
Soi t r un espace vect or i el de di mensi ons sur l
cor ps des compl exes @ . Soi t
<
, q,,,,, zm
’ UEE Qz
: base de i ? . Al = z , i < , ëz , i êz, . . . , , , .9 i - ë, *
est
uneR
- base de r ( consi dére comme espace vect or i el de di mensi on
27~ sur l e cor ps des r éel s) . La cl asse de cet t e J l ?- base est
i ndependant e du choi x de l a G- base i ni t i al e.
l \ vant de donner l a démonst r at i on du t héor &me, nous
voyons qu' i l si gni f i e bi en l ' exi st ence d' une or i ent at i on
pr i vi l égi ée sur un espace vect or i el sur l e cor ps des
compl exes; à par t i r d une a? - base on peut f ormer une& ?
- base, et , l a cl asse de toutes l es& ' - bases ai nsi f or mées
et ant t out j our s l a
même
on peut l a déf i ni r comme et ant
l a cl asse posi t i ve.
L or i ent at i on ai nsi déf i ni e s' appel l e
or i ent at i on canoni que de l ' espace vect or i el sur l e cor ps
des compl exes. Cel a r evi ent natur el l ement t i donner a un
espace vect or i el de di mensi on 1 sur l e corps des compl exes,
l ' or i ent at i on dans l aquel l e l a base z, i z, est posi t i ve,
Zetant un vect eur # ï Y
quel conque de l ' espace vect or i el ;
en par t i cul i er , l ' or i ent at i on du cor ps des compl exes 6
l ui - même est cel l e dans l aquel l e l a base f ormée du nombr e
1 et du nombr e 6 est posi t i ve.
Démonst r at i on -
La P- base consi dér ée déf i ni t des f ont -
t i ens coordonnÇes compl exes, nous l es appel l er ons
<, , Iz f’..> X,% ’
LaR- base associ ée déf i ni t des
f onct i ons Coordonnées r éel l es, que nous appel l er ons
5, 7 ‘1,) t& > Q***J t,L 97,* -
On a d' ai l l eur s 1. = tj+i,q ,p;p%j.
Soi t une deuxi ème
des Coordonnées {t
~, ' , ~~, . . . , ~, ' , déf i ni ssant
Nous voul ons al ors démont r er que :
( TI , 2; 3)
D ét ant Te dét erm nant de l a deuxi ème& - base, associ ée
& l a deuxi ème @ - base, par r appor t & l a pr em èr e.
Or , on peut l ' écr i r e, d' apr ès ( VI , l ; 56)
:
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 54/599
32
Mai s i l se t r ouve que l es f or mes l i néai r es x.
sont
1
non- seul ement R- l i néai r es, mai s @? - 1i néai r es; i l en
r Çsul t e al or s que l es f or mes pr odui t s ext Çr i eur s
nel l es, avec un r appor t de pr opor t i onnal i t e compl exe
:
l e
cal cul qui a ét é f ai t ù l a f or mul e ( VI , 2; 1) peut encor e se
r ef ai r e, en r ai sonnant mai nt enant sur l e cor ps des com l exes
comme nous avi ons r ai sonné sur l e corps des r eel s, et 1 on
voi t que :
OÙA est l e det er m nant de l a c- base des 2 par r apport
J
B l a c- base des ë.
L
;
on a donc f i nal ement l a f ormul e
qui démont r e not r e af f i r mat i on.
Remar que - La f or mul e D =
1 Ai2
s' ét end nat ur el l ement
aux dét e. r m nant s j acobi ens.
soi t +
une appl i cat i on d' un
espace af f i ne E ,
de di mensi onm sur l e cor ps des compl exes,
dans un espace af f i ne F
, de di mensi ons% sur l e cor ps des
compl exes; et supposons que t soi t der i vabl e, par r appor t
au cor ps des compl exes. El l e est al or s aussi a f or t i or i
dér i vabl e par r appor t au cor ps des r éel s.
Si , dans
E
et dans
F
, on a choi si des r ef ér ent i el s par
r appor t au corps des compl exes,
cel a donne aut omat i quement
des r ef ér ent i el s par r appor t au cor ps des r Çel s, d' apr ès
l a mÇt hode que nous avons déf i ni e pour associ er uneR - base
a une @ base. Al or s on peut consi dér er , d' une par t l e
det er m nant j acobi en
J
de 4 en un poi nt CL, par r apport
aux ref ér ent i el s sur l e cor ps des compl e. xes, et d aut r e
par t son dét er m nant j acobi en J R
par r appor t aux r éf é-
r ent i el s sur l e cor ps des r Çel s.
Ci s dét er m nant s SOJ J t
l es dét er m nant s des i mages par
' ( w) des bases de
E
par r appor t aux bases de F .
i?
Ce que nous venons donc de demont r er S' Çcr i t i ci :
* Not r e cal cul ant ér i eur ét ai t f ai t dans l e cas
JC 0 .
Nai s , s i
JC=0 ,
l ' appl i cat i on
' ( a, ] appl i que
Ë
sur un sous- espace vect or i el de 7
, di st i nct de F ,
al or s J = 0
.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 55/599
Soi t e une base or t honormal e posi t i ve de Ë .
El l e def i ni t une=- f or me ( f , J A( E~~A. . . A( E~~. Si c' est
une aut r e base ort honormal e posi t i ve de
Ë
l a f or mul e
( VI , 2; 1) mont r e que l ' on a
:
En ef f et , l e det er m nant de l a deuxi ème base par r appor t
l a pr em èr e vaut necessal r ement k 1, pui squ' i l s' agi t
de deux bases or t honormal es, donc + 1, pui squ el l es appar-
t i ennent t out es l es deux B l a cl asse posi t i ve.
et r ement di t , l a
N
- f or me \ t j h ( ' E' A*. . A t N) , associ ée
à une base or t honor mal e posl t i vi deE
, est i ndépendant e
de cet t e base. Cet t e N - f or me,
det er m née une f oi s pour
t out es par l a seul edonnée de l a st r uct ur e eucl i dI enne et
deJ ' or i ent at i on de E , s' appel l e 1aN - f or me f ondament al e
deE . ,
Nous l ' appel l er ons t . I l est d' ai l l eur s f aci l e
de pr ecl ser sa val eur sur un syst ème deN vect eur s
7 . .
TZ ... FN .
Cet t e val eur est en ef f et , d' apr ès
( VI , l ; 35 bi s) , l e dét er m nant des
N
vect eur s par - r appor t G
n' i mpor t e quel l e base or t honor mal e posi t i ve de E
.
Sa
val eur absol ue n' est aut r e que l e vol ume du par al l él épi pède
de sommet or i gi ne def i ni par ces N vect eur s ( cor ol l ai r e
5 bi s du t heor ème 102 du chapi t r e I V) ; et , si ce vol ume
n' est pas nul ,
son si gne n' est aut r e que l a cl asse de l a
base def i n e par ces N vect eur s, par r appor t a l ' or i ent at i on
donnee de
c
On di t souvent que cet t e val eur est J e
vol ume al gébr i que du par al l el epi pède def i ni par X Xz7_ . zN
dansË or l ent é ( mai s un t el vol ume al gébr i que ne peut se
une def i ni t i on cor r ect e de l a not i on
L' exi st ence de l a N - f orme f ondament al e va nous permet t r e
d' et abl i r des cor r espondances r emar quabl es ent r e vect eur s
et f ormes
:
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 56/599
34
l“/
On peut Çt abl i . une bi j ect i on l i néai r e de l ' espace des
N - f or mes sur E sur l e cor ps des r éel sR
; il
s u f f i t
de f ai r e cor r espondr e
k t out e N - f or me l e r appor t de
cet t e f orme et de l a N - f orme f ondament al e. On associ e
ai nsi l e nombr e r éel X et l e N - covect eur X 8 .
2"/ A t out syst eme de N vect eur s <
, FL ,..,,
TN s
on peut
f ai r e cor r espondr e un nombr e r Çel , appel é pr odui t m xte
dz ces vect eur s;
c' est t out si mpl ement l a val eur
1 ( ? , , Fz, . . . , Q
, sur l e syst ème de vect eur s donnés, de
l a N - f orme f ondament al e;
c' est encor e l e det er m nant du
syst ème des vect eur s par r appor t a n' i mpor t e quel l e base
or t honor mal e posi t i ve,
ou vol ume al gébr i que du par al l é-
l épi pède_deAN vect surs.
L' appl i cat i on ' pr odui t m xt e' ,
qui , a x, ,
xz,..., XN >
f ai t cor r espondr e l eur pr odui t
mxte ,
est une
N
- f or me sur Ê, qui n' est aut r e que 1
.
Pl us génér al ement ,
?, , ~2, . . . , ~~, de~ ,
ét ant donné un syst ème de b vect eur s,
on peut l ui f ai r e cor r espondr e une
( N - k ) - f orme @T 7 x def i ni e comme sui t
:
1’ z_J*-*7 y
La val eur de q~
sur un syst ème de
N-k)
vect eur s y
est l e pr odui t m xt e des N
vecteurs
* :
La f onct i on
bi en une f orme
‘ TT 7
ai ns i déf i ni e sur
ËN_‘est
?_ ‘ ,
lu
NL’p
) - l i néai r e ant i symét r i que,
donc
est bi en un él ément de / I ~_~Ë' .
En out r e, .
l ' appl i cat i on f i ui , aux * vect eur s
f ai t cor r espondr e l a f or me associ ée,
c' est -
à- di re l ' appl i cat i on ?, ,
2
2,...,y+-o(+ +
z
est une
appl i cat i on t u
- 1i néai r e ant i symét r i qu~ d?' $~ da k AN- f ' E) .
*
On aurai t pu choi s i r l ' ordre z , , ?L, . . . , ?p
,T,Fb,...,yN
Cel a r evi endr ai t à mul t i pl i er par ( - I ) I * ( ~_~
. Ce choi x
- Y
sera payé pl us t ar d, par l a pr ésence de pui ssances de- 1
dans cer t ai nes f or mul es; mai s l ' aut r e choi x donner ai t des
pui ssances de- i dans d' aut r es f or mul es
i
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 57/599
3 5
Pour A+=N
, on obt i ent bi en une appl i cat i on N -
l i n6ai r e Ae FN
dans AoF' ,
qui n' est aut r e que l e cor ps
des scal ai r es
:
c' est l a cor r espondance qui , A
N
e
f ai t cor r espondr e l eNur pr odui t m xt e, c ' est - A- di r e l ' appl i -
cat i on f ondament al e 5
Ist une base or t honormal e
posi t i ve de r ,
et si l ' on pr end, pour ? vect eur s, l es
vect eur s ê
f or me cor r espondan e est déf i ni e, comme on l e voi t ai sé-
+,, Y”-: G ,
de l a base el l e- même, l a
ment d' apr ès ( VI , 2; 9) , par :
N_++I e
N-
si 3 est une par t t e de
j
1, 2, . . , ,
N\
, d' él émect s
, j , c %<. . . <&, et si k(= [ J ' él ément sk, - gkz<. . . < c~_? ,
al or s
d ù
st l a si gnat ur e de l a per mut at i on qui t r ansf or me
1, 2, . N , en
&, , - k% . . . , J ?
N-f+, , ja >..., jF
En par t i cul i er , pour + = 1
, on a l a f or mul e :
Si al ors 2 est un vect eur de coor données Xe
1
, ona:
Cet t e f or mul e mont r e que l ' appl i cat i on
4
st , pour k = 1 ,
une bi j ect i on l i nÇai r e de
Ë
sur
ANs’Ë’.
Remarque - Les cor r espondances 1' et 2' ne dépendent pas,
en f ai t , de l a st r uct ur e eucl i di enne et de l ' or i ent at i on,
mai s de l a donnée de l a f orme f ondament al e E
.
Si,
sur
un espace Vect or i el Ë de di mensi on N , on s' est donné U J
f or me f ondament al e
g#o
( c' est - h- di r e une mesur e des
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 58/599
vol umes et une or i ent at i on sans st r uct ur e eucl i di enne)
1' et 2' subsi stent . s i on mul t i pl i e
l e N- covect eur f onda-
mental par un nombre r éel &
par 4.
, *on mul t i pl i e l ' opér at eur cX
Si onNa choi si da; s E un r éf ér ent i el quel conque,
et si OA pose 5 . ( z, , &. . . , eN) = h, ou ~=A( ~) A( ~~~A. ~. ~( Q,
l es f or mul es ( VI , 2; 11; 11 bi s. $ 11 t er ) r est egt exact esI &
condi t i on de mul t f pl i er l e 2ème membr e par A .
3' / On sai t qu*i l est possi bl e,
dans un espace vect or i el eucl i -
di en Or i ent é a t r oi s di mensi ons, cJ e f ai r e cor r espondr e, a
t out syst ème de deux vect eur s X , Y
, un t r oi s1ème vect eur ,
appel é pr odui t vect or i el des deux pr em er s. Cet t e pr opr i ét é
se général i se comme sui t
:
SiË
est un espace eucl i di en or i ent é de di mensi onN
, on
peut f ai r e cor r espondr e à t out syst eme deN- 1 vect eur s,
un nouveau vect eur z, appel e pr odui t ve
et que l ' on pour r a not er par
Y
I l se déf i ni t de l a mani èr e sui vant e : Au syst ème des
N
- 1 vect eur s cor r espond,
d' apr ès l a cor r espondance i ndAqu&e
a 20
, une l - f or me,
c' est - à- di r e une f or me l i nÇai r e sur E ;
et nous avons vu au chapi t r e 11 ( f or mul e ( I I I , l : l g) ) qu' on~
peut al or s f ai r e cor r espondr e & t out e f or me l i nÇai r e sur E
ou él gment du dual Ë’
, un Gl ément bi en dét erm néz deg
.
C' e
cet él ément ? qu' on appel l e l e pr odui t vect or i el des
N - 1 v
t eur s. L' appl i cat i on qui ,
àN 1
vect eur s, f ai t cor r espondr e l e
pr odui t vect or i el , est ( N- l ) - 1i néai r e ant i symét r i que de ËN
dans Ë .
La f or me o( ; 2
x
zt "*> , . J L~
st I CI déf i ni e de l a mani èr e sui vant e
Si? est un' bect eur quel conque de Ë , ona:
b I,2jlZ~
% F
1'
z,*--,
7
N l
(5 = ; 7,
FI
CL,...&_,) .
Or l e vect eur 2 est dexi ni par l e f ai t que, SI . ~ est un
vect eur quel conque de E , on a l a f or mul e ( 111, l ; l g) :
Cet t e f or mul e s1gni f l e que l a pr odui t > xt e deT, r , , . . . , yN_,
coXnci de avec l e pr odui t scal ai r e de Y avec l e pr odui t
vect or i el Z= [ T
t dompt e t enu del s not at i ons,
ant i commut at i on, on a :
Cet t e not at i on est asse peu cor r ect e. On ne doi t , en
pr i nci pe, ut i l i ser l e pr odui t ext ér i eur A que pour des pr odune dépondant pas d' une st r uct ur e eucl i di enne et d' une or i ent a
t i on .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 59/599
37
Donnons une const r uct i on géomét r i que de ce pr odui t
vect or i el . Tout d' abor d, s i l es N - 1 vect eur s consi dér és
sont dépendant s, l a f orme qT 7
, T_
s' annul e, car
l e deuxi ème membr ede ( VI , 2; &r ' ei t &A~ quel que soi t 7
;
dons, dans ce cas, 2 s' annul e aussi . Et r écl pr oquement ,
si 2 est nul , c' est que 0( ~ 3
2
est nul l e * , et
al or s l es vect eur s 2.
7_ . > -
son; necess\ i r ement dépendant s; si ,
en ef f et ,
i l s ét ai en?i ndependant s on pour r ai t t r ouvsr
une base deË f ormée des vect eur s ?*
et d' un vect eur Y; al or s
l e
second membr e de l a f ormul e ( $1, 2; 12) Ser ai t # 0 ,
ce qui ser ai t cont r adi ct oi r e avec l e f ai t que47
1> z, *. &- ,
est nul l e. Ai nsi l e pr odui t vect or i el deN - 1 vect eur s est
ns,
si et seul ement si ces vect eur s sont dépendant s.
Supposons donc l es vect eur s xl
il
i ndépendant s.
Si 7 est dans l e sss- espace vect or i el qu' i l s engendr ent ,
al ors Ny 2
(VI , 2; 12) I i
; ( ~) ~st _nécessai r eme~t nul l e, d apr ès
Gn~ aû%&i
( 2
1 Y ) ;
donc Zzst or t hogonal
au sous- espace vect or i el déf i ni par l es Xi
Choi si ssons al or s l e vsct eur y or t hogonal au sous- espace
vect or i el déf i ni par _l es*Xs&de l ong2eur 1, et de t el l e
mani èr e que l a base 9 , X, ~x~, , . , , x~_, , soi t posi t i ve
par r appor t a l ' or i ent at i on de
Ë
.
Le det er m nant de cet t e
base ( par r appor t aux bases or t honor mal es posi t i ves) , qui
est donc z== est al or s l e vol ume du par al l él épi pède
def i ni par v et ' l es ??.
du chapi t r e I V) ; cI es
( corol l ai re
5
bi s du t héor ème 102
donc aussi l e pr odui t de l ' ai r e de
l a base par l a l ongueur de l a haut esr
( t héor ème 104 du
chapi t r e I V) . Comme, par hypot hèse, v 6st uni t ai r e, ce dét er -
m nant z' est utre que l ' ai r e de l a base. Or ce dét er m nant
vaut ( 2 1 T- j
, ce qui mont r e que zest égal au pr odui t
de 7 par un nombr e P 0 Çgal à l a ( N- - ai r e du
cral l él épi pède def i ni pa; l es vecteur s ?.
d l
Si nous consi dérons dansr une base ort honormal e posi -
t i ve quel conque,
i l est f aci l e de t r ouver l es composant es
du pr odui t vect or i el de N - 1 vect eur s. Si on desi gne par 2.
ces composast es,
et par y* l es composant es d' un vect eur
d
quel conque y , si d' aut r e' par t , comme t ouj our s, on appel l e
x.
Lj . $
l es Coor données de y; , on a l a f ormul e :
Nous
avons vu, page
179
du Cour s de 2e4e Di vi si on, que
l a cor r espondance ent r e ~2 2
et 2 est bi j ect i ve.
’
27
”
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 60/599
c e u io n tu eZ ; ,e o ee .
d é v e lu é t
Y,
Y2 . ..
YN
x
. ,
1 , ’
, 2
, N
x x
2 , ’
, 27 . , N
d a
s u i v ae sl é me a r ei n
f o r m u
a
T o u se sé s u
e ' é p a o e
t u r eu c lt
d e' oe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
O n e u tÇ s ue u ir éo u
T h é o r1 i r
s t
n s pu cr
s i o n
x i sa nn e
f o
f o r m eo o ra ra p
o r t h oo s i
l x in i
d e ' e s p' % re sf ou e o-
l a i r ea i to r r o ul f ok l
avec 3
.
I l s i sn ep p-
M
t r i q ue E ?a n sN e e fa V
( v 1 , 2v 1 ,i ,
L ,
o
-
. _
_ N e c t ee e ur oi xs n o
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 61/599
39
FJ’ -
u encore au determ nant des
vect kur s par r appor t a t out e base or t honor mal e Posi t i ve;
l ' appl i cat i on pr odui t m xt e est une f or me l i néai r e ant i -
symet r i que sur EN, qui n' est aut r e que f .
Le pr odui t
vectori el de ?, , Tz, . . . , yN_, est un vecteur z=[ ?, A?zA. . .
A ?J,
nul si et seul ement si ces vect eur s sont dépendant s; s' i l s
sont i ndépendant s, z est or t hogonal au sous- espace vect o-
r i el qu' i l s déf i ni ssent , dans un sens t el que 2) r , , gz , . . . , F, , _
zoi t une base posi t i ve,
et sa l ongueur est l ' al r e du
par al l él épi pede déf i ni par l es N- l vecteur s. L' appl i cat i on
(N- l ) - l l néai re ant l -
symet r i que de
composant es du produi tes
vect or i el , par r appor t a une base or t honor mal e posi t i ve,
sont donnees par v1,2;16).
Remarques 1' ) Si , par exempl e, ? est un espace Ve CtOrtel
ze di mensi on 2 eucl i di en Or i ent é,
on peut f ai r e l e pr odui t
vect or i el [ 7 ) d' un seul vect eur
;tN-d=d ;
d' apr es
l a déf i ni t i on,
c' est si mpl ement un vect eur zobt enu
par
r ot at i on de: de - 2 *
.
2' ) Ce qui a ét é déf i ni dans ce paragr aphe dépesd,
en génér al ,
non seul ement de l a st r uct ur e eucl i dI enne deE ,
mai s aussi de son or i ent at i on. Si on r empl ace l ' or i ent at i on
deË par son opposee,
on change de si gne l a N - f or me f onda-
ment al e,
l e pr odui t m xt e de
N
vecteur s, l a N-+ ) - f or me
associ ée a? vect eur s,
l e pr odui t vectori el de N- 1
vect eur s. Au cont r ai r e,
l ' assosi at i oa ent r e vecteur s et
f or mes ( bi j ect i on l i néai r e de E sur E' , vue page 179 du
Cour s de 2ème Di vi si on) ne dépend que de l a st r uct ur e
eucl i di enne,
et non de l ' or i ent at i on; de même, pl us si mpl e-
ment ,
l e pr odui t scal ai r e de 2 vect eur s On di t souvent que
l e pr odui t scal ai r e de 2 vect eur s est une gr andeur pol ai r e,
ou dr oi t e, ou d' espkce pai r e, t andi s que l e pr odui t m xt e de
N vect eur s est une gr andeur axi al e , ou t or due ( si c ) , ou
d' espèce i mpai r e.
*
At t ent i on :
t at i on
l a not i scJ ' angl e or i ent e =Ose sur l ' or i en-
Si 2
vect eur s U V
d' un pl an eucl i di en or i ent e
sont or t hogonaux,
l a base Ü
,T,
on di t qu& l ' angl e( f l , y) est +$- , s i
est posi t i ve.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 62/599
4
5 FORMES DIFFERENTIELLES SUR UN ESPACE AFFINE
~ So1t . l - L un ouver t d' un espace af f i ne nor mé E , et soi t
F un espace vect or i el nor mé. On appel l e f or me di f f ér en -
t i el l e de degr é + sur J ?.
2 val eur s
cat i on Gj G+ deI LL dans l ' espace A. &
c~t l ons+- l i nÇai r es
ant i symét r i ques cont i nues de Ë dans
F.
Cet t e appl i cat i on f ai t - donc cor r espondr s, àJ out
poi nt = de f i
,
un él ément _m ( CC) de
A ?(
E J ; F ,
c' est -
à- di r e un p- covect eur sur E , A. val eur s dans
F ; on
peut
donc encor e aussi di r e qu' une f or me di f f éxent i el l e de
de
P
r é + est un champ de&
- covect eur s sur E à val eur s dans
- 3
champ def i ni sur f i . POUr + = 0
, c' est donc un
champ de vect eurs deF
,
c' est - &- Ai r e sl m~ ement .
I X- l e
f onct i on sur a
, à
val eur s dans F ; si F= K
, c' est
/
un
champ de scal ai r es ou une f onct i on scal ai r e. Pour
Si E
est de
di mensi on N
r ent i el l e de degr é +,
w
On abr èse souvent ' f or me di f f Çr ent i el l e de degr ék '
par f or me i e degrÇ + +- f or me de sor t e que cel a' i nt r o-
dui t une conf usi on en% l es . j + f or mes, déf i ni es au par a-
gr aphe 1, et l es f or mes di f f er ent i el l es, qui sont des
champs de t el l es~- f or mes ou appl i cat i ons e 0, dans un
espace de+- f or mes. Pour évi t er t out e conf usi on, i l sera
en génér al
Dr éf 6r abl e d' ut i l i ser l a dénom nat l on de + -
covect eur s pour l es+- f ormes r encont r ées au paragr aphe 1,
et de+- f or mes di f f ér ent i el l es pour cel l es qui sont r en-
cont r ees au pr esent par agr aphe.
* On met
unexl èche sur w
a val eur s dans F ;
parce que c' est une f orme
on n' en mkt t r a pas si F
est l e
cor ps des scal ai r es. Dans ce cas par t cul i er & est une
f oncti on sur J . 2 a
val eur s dans / ?
Ë' , ou un champ
3e +- covect eur s, déf i ni dans f i
.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 63/599
41
On di t qu' une
- f or me di f f ér ent i el l e est l wf oi s
dér i vabl e ( r esp d cl asse Cl n ( I R& 0 ) ) , si 3 est une
f oncti on m oi s dér i vabl e ( r esp de cl asse C' *) sur f i ,
à val eur s dans l ' espace vect or i el nor mé
A k(Fp;F) a
Théoreme 12 -
Si E est de di mensi on f i ni e N et muni d' un
réf érent i ëï ,
et si l ' on dési gne par 5. ) l a f orme
l i neai r e 1- &me coor donnée? al or s t uut eL+- f or me di f f e-
r ent i el l e s ' expr i me d' une mani er e uni que par une f or mul e
dans l aquel l e l es z- T
sont des f onct i ons sur f i à val eur s
dans ? . Cet t el % f or me di f f ér ent i el l e est TII f oi s dér i va-
e7aes sur i wl à val eur s dans p , son= f oi s
de cl asse c ) , si et seul ement si l es f onct i ons
dér <vLbl es ( r esp de cl asse Cl ' * .
-
DÇmonst r at i on -
I l suf f i t d' écr i re, pour t out poi nt X,
que Z( X) est un?- covect eur à val eur s dans 7 , et
d' appl i quer al or s l es f or mul es ( v1, 1; 23) et ( ~I , l ; 36) -
et l a r emarque qui sui t l e t héorème 5
k% ~~?~~e~~éci sément que l ' espace vect or i el Asf ( ' ?, r )
peut êt r e i dent i f i é &u pr odui t de ( t ) espaces vect or i el s
nor més i dent i ques à F; or on sai t , d' apr es l e t héor ème
8 quar t o du chapi t r e I I I , qu' une f onct i on t i val eur s dans
un pr odui t d' espaces vect or i el s nor més est de cl asse Cm
si et seul ement si chacune de ses composant es est de
cl asse Cm ;
cel a si gnAf i e exact ement que l ' appl i cat i on LZ
e fi dans A&p( z?; F) est de cl asse Cl ' , si et seul e-
ment si chacune des f onct i ons GI
, déf i ni es sur f i &
val eur s dans F
, est de cl asse Cm . En out r e, t ouj our s
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 64/599
4 2
d ' a E re ê m eh é ou h aI o
d e + _ ao u ro m pe sd ro
d e sJa u t ri t
t i o n' i n
s i P s tn y
d e é r i v
p f o r1 1
l n
E n a r t in ,
o ue sé ra
p a ra p p ou xo o ra o r
ax k
Au l i eu de ( t i ) e ( EJ j o n o to e a
s e r o nu e sl u sa r de o
e m v l oy s te pl a i
q u l l er ê t n ee gn nu r
d é s l g
a
_ è m eo o' ue
c e e c t o
l o ru ea l,
é
f o r m ei n ér u i h ae e
c o r r ea - l eo oe o ul
f o r m u
E l l ee u tu s sI ' oe u
é sa o
t l e l le e g r u ro na a n o
e s ta o r mi n éu ra iot
v e c t ee Ea - l to oe o ul
f o r m u
L a o n f un t re r ee ne ; e
d e r n ik n ea no ue h e o
r e n t lu xl u sr ar ra o
d e u x it e r o l' ea sr r
q u ee ' e sa o n fn t, é e
e t , é s ln eo n
o ng
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 65/599
43
A l o r s' e xa l ué n'
d i f f éu rI ,
A v a a ,
l a u i v a
l /u ra r o ié e lo ri f
d e g r é
s tn eo n cu r a l U
f o r m ei r f ée e g ' < a ù
e
u n eo n c tu r R a l ea n t ' ,
t o u te c t ee Ra o r
2 ' /u r' e s p e u xi m e,
n o i
t i e l le e g r s tn eo nn o i
l e e e g r é ' é c
S a a l e uu o i n~,y ) d e Ru e e
e s to n n éa r
* r o d ue ( = )
ar l e scal ai r e r éel X . Si
L R ,
o r pe sc a
' ei
A X\ER
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 66/599
44
Une forme df f f ' érent i el l e de degr é 2 s' écr i t :
et sa val eur au poi nt ( % y ) deR' , sur l e coupl e de deux
vecteurs
X,,Y,) ~ Xl,Yz)
de R' , est donnh par l a
f ormul e :
On a nawr el l ement l a r el at i on d' ant i commut at l on
3" / Sur l ' espace S. t r oi s di mensl onsR3,
de degr é 0 est une f onct i on.
une f or me di f f ér ent l el l e
degr é 1 s' écri t
:
Une f or me di f f Çr ent i el l e de
Qr , 3; 13)
Une f or me di f f ér ent l el l e de degr é 2 s' écr l r a génér al ement
sous l a f or me sui vant e,
ut i l i sant l es per mut at i ons cl r cu-
l ai r es
:
* La f or mul e ( VI , T: 6) condui r ai t . Cut l l i ser &A
et dhj f i L3 On pr éf kr e i ci ut i l i ser Pl ut Ôt
. a; a; ; eu de C LG~ d3
pour des ral sons de symét r i e cl r cu-
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 67/599
Sa val eur au poi nt ( =, 1, 3
deE3, sur l e syst ème de deux
vect eur s ( X, , Y, , Z, ), ( Xz , Y2 , 2 ) de R3 j
est donnÇe
par l a f or mul e :
On a natur el l ement l es r ègl es d' ant i commut at i on
Enf i n l l ne f or me dl f f hr ent i el l e de degr Ç
3 est
donnée ar
l a f or mul e :
Sa val eur au poi nt ( y, 3 ) deR3, sur un syst ème de t r oi s
vect eur s :
est donnée par l a f ormul e :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 68/599
Les formes dlfféren&&elles de degré p sur un ouvertfi
de E
, à valeurs dans F , forment elles-mêmes un espace
vectoriel. C'est d'ailleurs dans le sens de l'addition
dans cet espace vectoriel qu'est écrit le signe x
dans
une formule telle que (VI.3:6)
Siw etGJ sont deux formes différentielles de degré+
sur J-L , et siE est muni d'un rfferentiel par rapport
auquel ces formes s'expriment par x W,kJ ,s sJ dx, ,
I
on a les formules évidentes :
J
J
(If,3 ;20)
2 +G =c(0,+~,)~~,~w=~(k5)“,,9escalaire.
J
Mais, en outre,
il existe une opération de multiplication
extérieure des formes différentielles. Nous allons nous
borner, pour cette multiplication, aux cas qui ont déj& été
étudiés au paragraphe 1;
ou bien il s'agit de formes diffé-
rentielles scalaires (F est le corps desscalairesa( );
ou bien, le corps des scalaires étantW, F est le corps
des complexes c considéré comme espace vectoriel èi deux
dimensions sur E; ou bien on effectue un produit extérieur
de formes différentielles dont une est B valeurs vectorielles,
toutes les autres étant A valeurs scalaires.
Nous écrirons les quelques formules suivantes en supposant,
pour simplifier, les formes différentielles toutes scalaires.
Soient donc u et L des formes différentielles scalaires
de degrés respectifs + etq surfi
. On définit alors leur
. .
produit extérieur L A 4 comme suit :
On dit que sa valeur au pointr est le (f ?+ q )-COVeC-
teur égal au p
$
oduit
q-
covecteur (2):
extérieur du+-covecteur t& (x) et du
W.3;21) (AAuvV)(x~=U(r)h~(r).
On voit que, dans ce sens là, ce que nous avons écrit
&Xi, A &y . . .
/i &, est bien un produit extérieur, si
dP
on considère les &; comme des formes différentielles de
degré 1 suivant le formule (VI,j;5).
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 69/599
47
On voit même que, dans la formule
(v1,3;6),
une expres-
sion telle que q,,àL,.,V,dti
&a,~ &d A...A &ip peut bien
s'interprêter comme un prouuit extzrieur de Jr-+1
formes :
,forme différentielle vectorielle de degré 0 , et
formes diffdrentielles scalaires de
symboles de somme et de produit
employé; dans la formule (v1,3;6) sont maintenant entiérement
justifiés, alors que jusqu'à présent ils n'avaient qu'une signi-
fication purement formelle. Par contre le symbole d, ne sera
vraiment justifié que plus tard (6 4). Naturellement la
multiplication extérieure des formes différentielles est une
opération multilinéaire associative, et satisfaisant h la
règle d'anticommutativité (theorèmes 7 et 8 et formule
(vI,1;41) >.
Exemples - Dans l'espace vectoriel à trois dimensionsR3,
Gï a les formules suivantes :
(n,3;22)
=
(BC'-CB') dy A d‘a + (CA'-AC')+ dm +(AB'-BA')hdj;
+y$ +Bq
~doc+C~~cR)~(A'drtB'Y/jtC'~)
= (AA'
+ BB'+CC') &c A dy A dj ;
(Adr+B(jtC~~)h(A'dz+B'lytC'~)n(A"dr+B"~+C"diá)
A B C
A'
B' C'
A" B" C"
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 70/599
5i-p me fonctixl dérivable sur fi c E
, a valeurs
dans F . Alors ce que nous avons appelé,sa &érivée au
point d-> j'(h),
est un élément. de &(
E j F ) ,
c'est donc
yyxs,;~ sur~ouàs"~lre~~,adar;Sé~ au paragraphe 1, une forme
et par suite la fonction
dérivée{' définit une-forme diffirentielle de degre l-su
Ln
à valeurs dans F ,
(cIeSt bien ainsi
ou application defi dansA(
E;
6
tion dérivée de f ?
ue nous avons toujours considéré la fonc-
) * .
Cette forme différentielle $
est donc définie par la formule :
Il est czmmode
de note;
p?.r q, cette forme différen-
tielle.
SiE est de dirciension finie
N.et
s'il est muni d'unérentiel et de fonctions coordonnées, la différentielle
admet, suivant (VI,>:G), l'expression :
7
On retrouve donc la notation de la formule (111,:;18) du
c'est ce qui explique la notation
Avec cette notation l'expression&.apparait comme
entièrement justifiée. Si l'on appelle*%. la fonction définie
sur
E
qui fait correspondre à chaque peint de E sa i-ème
coordorkée alors la forme différentielle de degré 1
associée b La fonction dérivée n'est autre que la forme
différentielle doc;,satisfaisant à la formule (VI,3;5).
Nous étendrons cela au 5 4. Naturellement cela nous suggère,
au lieu d'écrire toujours une
forme
différentielle par une
formule du type (VI,j;6), de pouvoir éventuellement utiliser
des formules du type :
* Par contre, la dérivée d'ordre+3 2 de+ est une appli-
cation dea dans
symétriques deË? dans
des applications + -linéaires
elle ne définit donc pas une
forme différentielle.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 71/599
49
Où ,>
$ ;e
,**a >
eN ’
sont des fonctions scalaires dérivables
sur .a dont les dérivées en chaqus point soient des
formes linéaires indépendantes sur E .
Théorème 12 -
si -p, 9 &,.**&
sont des fonctions scalaires
dérivables sur JJ, , alors la forme différentielle
&t,~ ~#&A...A qt- peut,par rapport L un référentiel de E,
s exprimer sous la forme
Demonstration - Il suffit en effet
(v1,1;23), en remplaçant
(formule (VI,1;35 bis) );
d'où le résultat.
On peut d'ailleurs le réobtenir directement : on remplace
, et on effectue le produit en
* D'après la définition même de la multiolication exté-
rieure des formes, formule (VI,1;29).
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 72/599
50
Exemples -
Expresslon d'une forme différentielle dans&
en coordonn6es polaires h,8, Cp
Nous nous plaçons naturellement sur l'ouvert fi
complémentaire du demi-plan
Y=
0,~30.
Nous prendrons
h>O,Oie<X,O<cp<ZTT.Onpeutconsidérer~,e,~,
comme des fonction2 de classe C" suriL, et l'on sait
comment on peut exprimer leurs différentielles A,
dO,dq,
en fonction de &x,q,Lj
et vice versa. On a les formules :
i
d/x. = ch /s*me ticpt h-w~d ctiqde -h sh0bhq dy
= C&L CO/S~
- b&8di3
on a alors, par exemple, la formule :
Dans cette formule,& A dy A d5
est la J-forme dlffé-
rentielle fondamentale.
Dans le troisième membre on a une expression dans
laquelle L, 8 , q sont considérées comme des fonctions
de3CpZJ,3 ,
et dans laquelle &,dO,dC/,sont les
formes différentielles de degré 1 définies ar les dhl-
vées des fonctions h, 8 , v de (ce ,,l, yd 7 . Naturelle-
ment Il Importe de bien respecter 1 o dre des termes
écrits; ainsi d+. n, d 8 A d q? vaut - de I\ & A dq .
On remarquera combien facilement s'effectuent les calculs
sur les formes différentielles Y ils sont automatiques en
utilisant la multllinéarit~, 1 associavIt et l'anticommu-
tativith de la multlpllcatlon extérieure.
lI#~W~Ili#I~C~~~~~lilIWUI~il~~Cllliw#i~~~~~~~l#~Ill~~l~~~lli~~i~~~L~~
Soientfi un ouvert de E ,a
un ouvert d'un espace
affine normé E, ,
et H une appli:ation dérivable de 0,
dansa.
On a alors vu qu on peut, pour toute fonction
définie sur fi b valeurs dans
4
un ensemble quelconque, er,
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 73/599
51
définir une Image réciproque par f-l , soit H* {= -/
o
H ,
qui est une fonction surfi, & valeurs dans cet'ensemble * .
Mais, plus généralement, nous allons définir, pour toute
forme différentielle z de degré +, sur Sz 6. valeurs dans
F,
une image réciproque H
*23
, forme différentielle
de degré? sur fio & valeurs dans F . Cette forme sera
entièrement définie par_sa valeur en un poinqs defi,,sur
un système de vecteurs X, , Y
2 ,"')
T(,,, , de E, . Cette
valeur sera, par définition,
celle de3 au point Image
H (JC), sur le système des images des XL par l'application
dérlvde H'(x) :
@I,3;30)
(H*++(~, ,~L,...,~p)=W(H(x)).(H'(z).ji;,Hjz).<,..., H[+i&
Vérifions qu'on définit bien ainsi H* 0 comme une forme
différentielle de degré + sur 0, & valeurs dans r .
Fixons x . Si Ti, ,-XL,...
,x
v-
sont des wcteurs de z0 ,
le second membre a bien un sens, on d6finit donc bien
( H"
w' ) (*) comme une fonction sur FOp
. Cette fonction
est manifestement +-linéaire antisymétrique, parce que
z(H W)
est une fonction
sur EY,
et ee l'apgication
+ -linCaire antisymétrique
H (x) est une application
linéaire de E, dans E .
On a donc bien
d6fl i ( H* s
sur& à valeurs dans
?
et
) (a) comme un?-covecteur
par conséquent on a défini
H*ih3e-
(H*z) (b> , comme une forme différentielle
de degré p sur fi, à valeurs dans 7 .
Pour += 0
on considère conventionnellement que
cette formule se hduit 6.
* Pour cela, H peut être une application quelconque.
Mais pour pouvoir calculer l'image réciproque d'une forme
différentielle de degré B 0 , H
doit être dérivable.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 74/599
52
et redonne tout simplement l'image rbciproque des fonctions.
La notio: d'image rhciproque d'une forme diff6rentielle se
rv&ne d ailleurs toujours è celle d'image rbciproque
d une fonction. En effet H
, application de fiO dansa ,
définit aussi une application G de a, y
Ër
par :
dansa x
Ëk,
Cu,3;32) (r-,;z,,T,,...,qJ -
(~(=),tib~X, , ++Si, ,...> H’(x).?+
Si l'on associe à la forme diffërentielle w
à valeurs dans 7
surfi,
, la fonction w 7 dhfinie sur fi x
ËT,
à valeurs dans 7 , par la formule :
Gr,3;33)
2 (7
,Y Y
, z ,..., TF, = W($.(Yy,~ ,...> Y& ,
et B son image réciproque, forme différentielle H*z
définie sur fin, à valeurs dans F , la fonction analogue
(H*z )”
alors (H*z)*
définie sur fi, x
Ëop
, b valeurs dans 7,
fonction ~5
n'e2t autre queJ'image rbciproque de la
par H:(H*G)*=H($).
Remarque - SiH est un C’ -difféomorphisme de fiO surfi,
on peut aussi définir l'image directe par H d'une forme
diffdrentielle GO définie surfi ; c'est une forme
diffbentielle sur fi , définie par
GT,3:33bb)
Hzo= (H-')*y .
.
Alors, si JC E fl,,et si
~,,~,,...,x
k'
sont des
vecteurs deË6 :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 75/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 76/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 77/599
55
Enfin, pour démontrer (VI+,3;35 os),
on remarquera que,
si 3c c a,
, et. si X, ,X,
,.. . ,X+
sont+
-k
vecteurs
de E, , on a :
KoHk++ X, ,x,,...,x,
=
(H*(K*~))b+(X(,?, ,..., FF ,
d'où la conclusion.
Corollaire 1 -
SI une forme différentiellez s'exprime sousla forme (VI;3;25),où les #; sont des fonctions scalairesdérivables, son Image
r6clbroque
s'exprime sous la forme :
(XL,3;3R)
sont les Images réciproques des
, c'est-a-dire sont simplement
et o H
4
L
.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 78/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 79/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 80/599
soitv une variété, au moins de classe C’ , de dimen-sion n, contenue dans un espace affineE de dimension N,ou même abstraite. On peut alors définir sur cettevarlétb
le notionde
forme différentielle on sait eneffet ce que sont les vecteurs tangents
E, cette variété.En nous
bernant
par exemple au cas d une variété deE
,on voit qu'on peut encore déflnir un k -covecteur en unpoint
oo
de V , a valeurs dans T commeu
e applicationp--inéaire antisymétrique de (*(X;V))
9 dans F ,
où T(x,V) est l'espace vectoriel tangent au pointa=
à la vzrlété V . On peut sors définir de la même maniere
une forme différentielle w de degré + sur V , à valeursdans un espace vectoriel normé F,, comme un champ de+-covecteurs sur V é valeurs dans F , c’est-u-dire commeune application qui,
a
c&aque point-de V , fait corres-pondre un F -cpvecteur W(X) au polntr de V . 2
valeurs dans F .
Il
n'y a aucune difficulté à définir alors la sommeet le produit extérieur des formes
différentielles.et
la plupart des propriétés antérieurement vues s'étendentsans grande difficulté. Nous parlerons souvent, dans lasuite, de formes différentielles sur une Variété V,sans
spécifier sa nature.On pourra se borner à supposer V
dans un espace affine E et les formes définies sur unvoisinagefi de V dans 'E .
1 )
Donnons nous, dans un espace euclidien E , une formedif'férentlelle réelle de degré 1; c'est un champ decovecteurs. Mais on a vu,Divlsion,qu'on
peut fairepage 178 du Cours de 2ème
carres ondre
bi-univoquement,a tout
covecteur,
un élément de 2 ;
on peut donc fairecorrespondre, à la forme différentielle de degré 1, unchamp de vecteurs. Par rapport
à
un référentielorthonor-
mal, si la forme dlfferentielle est définie parx A;h;,
le champ de vecteurs est définiparx.
-(A,(=),Azk4
...>
AN(x))
Cette correspondance dépend seulement de la structureeuclidienne de E et non de son orientation
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 81/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 82/599
si nous oon”enons
ainsi établies entrea :
60
de noter par rv * les correspondancesformes différentielles et champs, on
0%3;43)
N
w
=~~Al dr ~*A=( A, , AL, . . . , AN)
; e
d r , h dm A. . . A CLX,
rv 4
w'= & Wjdoc,A dx,A...j=,
(
ndccj~,ndmj+,n...n&,
)
N- Z
Remarquesl')-
La correspondance&
prdcédente
commuteavec la
multiplication
par une fonction scalaire. Par
exemple, si& WA
une fonction réelle surfi
cE
.
2O) Il peut être utile, dans certains casd'étudierdette
correspondance en prenant, pourcha&e
point de E, une base variable avec ce point; c'est ceque nous ferons en coordonnées polaires, page
j ) Ces correspondances ont,partiellement,un
caractère8.
la fols acrobatique etarchaxaue.
Elles rendentsouvent de grands services mais moins qu on ne le croit,car elles sont aussi des
restesde
lathborie
des formesdlff6rentielles
n'existait pas encore.
*
LanotationN
n'est pas courante, nous l'employons ici,
sans souci degénéralit6.
Cette notation peuth?me
êtredangereuse; si N= 2
,onal-:N-i
, donc la
lère
et la?ème
formule feront toutes les deux correspon-dre 6. une forme de degré 1 des champs de vecteurs,
qui
sontorthogonaux, et qu'illa même manière.
serait peu recommandé de noter de
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 83/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 84/599
62
Consid&ons
maintenant une forme différentielle dedegré 1 sur un ouvert deIfP' . On aura :
Si ensuite, nousconsldkrons
une forme différentiellede degr6 2, on aura :
Naturellement le cobord d'une forme de degré N
étant de degré N +4
, est nécessairementsurfi
,
nu.
identiquement
Théorème15
-
L'oDeration
possede les auatre
d6finie
Dar
la formule(VI,4;1)
pro iZ;tés suivantes :
1') Si$ est une fonction dérivable
forme différentielle dedegré
0
sur , , considérée comme
tielle de degré 1, associée à la'(VI,3,23).
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 85/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 86/599
pémonstratlon - Lespropriétés
1. et 2O sont évidentes.Avant c
ientrer 3”. remarquons que la formule de defi-
nltion
(VI,4;l).est
encore.valable,
si l'on suppose aueëst une suite d'élhments
j, ,j
non nécessairementcroigsante.
2. . ...'j$Si en ef et,
dé1,2;...,N,
nous dhalgnona par j: . j: ,,.., j;dans ce cas,
la suite des mêmes
616ments.
maisrang6s
parordré'de
grandeur croissante,et si noua appelonsQ
.la signature de la permutation del'ensemble d kl6menta
h ' aqui amène ces
bléments respectivement surnécessairement
L'application directe de la formule (VI,4;1) donne alorsle résultat
encore s'écrire
cequi
montre notre affirmation.
Démontrons maintenant 3").Soient;
etÜ des formes diffé-rentielles sur 0,
et s'écrivant sous'la formed6rlvables,de degrhs respectifs + et q ,
Alors;ct
A
la forme :'*'
7
, qui est de degré k+ 4 ,s'kcrit
sous
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 87/599
65
En vertu de la remarque faite ci-dessus, l'opération d&
s'effectue très simplement sur ce produit, bien que, quandon considère le produit dxJ A dx, , la suite des 616 -
ments #, , il ,..., jP , k,,$2,...,hq , de J U K , ne soit
pas rangee par ordre de grandeur croissante. On a, detnute façon,la formule :
Ceci s'écrit alors, en appliquant la formule de dérivationd'une fonction bllinéaire continue (théorème 12 du ChapitreIII) :
=
+
et ceci démontre 3”).
Démontrons maintenant 4 ).
Soit z une forme différentielle de degré? , deux foisderlvable surn ; on a alors successivement les formules :
* Le signe(-ljf
vient de ce que dx, A dr, = (-l)‘dr,AdzJ
(formule d'anticommutativité (VI,1;41)).
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 88/599
66
Naturellement, dans cette somme,les systèmes u, 1 , J
on ne conservera que, pour lesquels ti+ j3 et pour
lesquels aucun des deux élémentsd
,fi , n'appartient
LJ, sans quoi dra A
dr, A dr, = o . si pour un même
système (x, A , avec u L
B
, nous réunissons les termes
en d r,
A dssB
A dr, etdr,
A dr, Adr, nous obtenons une
expression qui est nulle, en vertuSde la proprié>A desymétrie des dérivées partielles &QJJ
- DXP
= 3 *J
-arp-b=k
(théorème 16 du chapitre III). Ceci achève la démonstrationdu théorème * .
Corollaire 1 - g u, w, w, sont des formes différentiellesscalaires de degrés +, 9 , & , on :
(Dr
L;dda (tihv~w) = d,u /~rrAur + (-~)+~A d,,yAtc
r+‘l
+C I)
uA vAdRu
On obtient en effet cette formule en posant
UAVAW = (uAv)hw , et en appliquant 2 fois la propriété3 du théoréme.
Corollaire 2 - sw est une forme dérivable sur .C J ,et
s'exprimant sous la forme (VI,S, j‘2' ?OU lesw.
sont dérivables, etoti
les 4.
d,'
a*,..., &
sont des fonctions scalaires2 fois dérivables, alors on
$
la formule :
* Par des methodes plus délicates, on démontre la formule
d ,d aW=O , m@me quand 0
n'est.pas
2 fois dérivable,
pourvu que w' et d@G? soient toutes deuk de classe C’
.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 89/599
67
Démonstration
On a en effet :
d'après les
d&dJ.
gp
=
dR da
dko'ntre le
propriétés l , 2O, 3”; mais on a en même temps
f
a% =0 d'après la
propristg
li , ce qui
corollaire.
ThéOr&me
16 - ( Iéciproque duthéoreme
15) - L'opération A& 9
qui fait correspondre à toute forme différentiellez,
dcrivable,definie
sur Sz ,valeursv e c t o -riel
norméT
de degré+
,une forme differentielle dela seule opération ci posseder les
proprié-
O, 4" du théorème 15.
Ddmonstration -
Soit en effet 3 une opération quelcon-
que possédant ces propridtés.
Siz
est une forme diffé-rentielle exprimée sous la forme v1,3;6), par rapport auréférentiel R.
, on a nécessairement, d'après la linéarité
(propriété 2" ) :
D'autre part, d'après la formule relative au produit(propriété 3” ,
ceci peut nécessairement s'écrire
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 90/599
68
IP -
D'après la propriétel,le~bW~~,~~,,,,,~~ sont les formes
différentielles dz,
f,> i* ,... I if. de de& 1 associées aux
dérivées des fonctions 3a,
'&
#y
; de même d% = 3zg .
Enfin, d'après la proprieté 4 , l esSdrJ
=
ùbsk
sont
nulles. On en déduit bien que l'on a nécessairement
hiL? = d&W >
ce qui démontre le théorème.
Corollaire-
L(opération & , définie a partir du référen-
tiel& , est indépendante de ce référentiel; c'estopération
intrinseque
d,qui,une
a toute forme différentielleG dérivable,définie sur Ll c E
de degré+,fait correspondre unea valeurs dans F
finie sur a
a valeurs dans
formé dlfferentielle, @i
satisfaisant i toutes les prop~ét%$+2°~::0' Iia duthéorème 15.
Demonstration -
deE .Donnons nous deux reférentielsa et&'
Chacune des opérationsd@ etdw , satisfait aux
propriétés 1' -
2O
- 3" - 4 - du théorème 15; or le théorè-me 16 dit qu'il n'existe qu'une seule o kration satisfai-sant a ces propriétés, on a donc bien
8, = dR, .
L'opérationd s'appellediffërentiation
exterieure
ouopération cobord des formes differentielles. Une forme decobord nul s'appelle forme
differentlelle
fermée *
cocycle. E
Théorème 17 -
Soient&
un ouvert deE,,n
un ouvert de E , g Hune application 2 fois
dérivable
de fi, dansa.=3
une forme différentielle dérlvable sur Ll , ; alors on a laformule de commutation de l'image réciproqueH* et du cobora
-:
d
/&4;20) dH*w = H*d3
* SiA est connexe, une forme de degré0
estfermee
siet seulement si elle est une fonction constante
(theoiéme
22 du chapitre III). Une forme dérlvable de degré Nsion de
E
, est toujours fermee.
, dimen-
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 91/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 92/599
70
2') La divergence d'un champ de vecteurs,ti.
SI l'on considère un champ de vecteurs dérivable>on
peut lui attacher une forme différentielle dérivablede degréN -1; celle-ci possede alors un cobord, qui estune forme différentielle de degré N B laquelle on peutenfin faire correspondre une fonction scalaire.
Cette fonction, multipliéepar(-l)N-'
* s'appelle la
divergence du champ de vecteurs.
La divergence ne dépend ni de la structure euclidienne,ni de l'orientation, elle est assoclee directement a lastructure affine de E . Pour la construire, on effectueen effet 2 optrations, dépehdant du choix d'unN-covecteur
fondamental \ # 0 sur Ë , et ces 2 opérations seneutralisent, comme nous le verrons i la formule (VI,4;24).
Par rapport 6. un reférentiel quelconque si les compo-santes du champ de vecteurs sont les fonctions x-. A; zc),
i
= 1 . 2,...,
N , la forme différentielle associée
est donnee,
d'après (VI,3;42 bis), par :
in51;22
o = A 2 <-I)-‘A~ dr,
ndx2A...A
ds/dzc+, A...Adr1”
;,ùo$sieyt la valeur de laN-forme 5 sur le r6ferentielN
(,pi,4;2&) A = i.(< ,é* ,..., é,, ;
:
= Ads, A dz+A...ridr,
(On pourra se borner au cas où E est euclidien oriente,et le rkferentiel orthonormal positif, alors A = ).
Son cobord est donné par :
=
A(- -‘@ )dr,~dx-,h...dJC-N ,
* La raison de ce (-I)N-'
est dans le désir d'obtenir
la formule(VI,4;24),
sans signe-
.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 93/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 94/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 95/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 96/599
74
par une dérivation sous le signeiii
, manifestement
légitime si62, est bor&, et %,y,3 ,de classe C*
B ec
D(r,y,>1
Dk. yooao)partout # 0 (corollaire du théorème 115
du chapitre IV).
Calculons cette dérivke pour t = t, On a alorsles formules suivantes, pour t voisin de't,
:
(q; 29qu. l rq
I
Jz
=
J=O
1+ a t - t a + . . . = l + Zo( t - t J + . . .
k
=
-a*=
( t
-
t , ) +
ay0
byobt
=
t
- L, ) , .
.
0
It (t-t,) + ...
0
t-t.)+..-
0
+ t-t,),
0
D<z, )
(=. 4;Wnto)
D(a>yO,%o)
= b7 t t )+...‘3x - O
,+- t-t,)+...
’d
à ? J+...
G-L)+
0
I+ (Ltq+
0
En ne retenant que les termes en t-t, , on voit que
d'où
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 97/599
75
On a donc finalement la formule
Mais l'instant t, ne joue aucun rôle particulier; laformule
(VI,4;23
octave)
se transporte Immédiatement&
un instant t quelconque :
dt étant la mesure des volumes dans l'espace euclidienE.
On appelle dilatation du fluide, en un pointM
de E ,
a l'instant t
, la limite de la dérivée logarithmique
dV
du volume, + d , prise a cet instant t ,lorsque l'ouvert
fit
considéré "converge uniformément"
vers cepointtl
.
La dilatation enM a
l'instant t est donc donnée par :
C'est delh
que vient le nom de "divergence". On exprimeraque le fluide est incompressible en écrivant
qu'u
chaqueinstant t le champ des vitesses a une divergence nulle.
Ces résultats montrent bien de nouveau que la divergen-ce ne dépend que de la structure affine de E . Car lesvolumes sont connus-dès qu'on s'est fixé une forme fon-damentale 5 sur E
, m a i s c e l l e - c i s'élimine pour la
considération de dV
77'
* Raisonnement déjà vu au corollaire 6 du théorème 102du chapitre IV.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 98/599
Les vecteursSP
z 7-P
xi-' btJ'aLp
' ont été calculés page
w2 du Cours de 2J%me Division, et on a la formule (IV,
4;94).
Gardons l e s m ê m e s n o t a t i o n s . S o i t a l o r st
une
fonction scalaire de classeC'
dansW3.
si l'on appelle
of
04
14
=G'oB
aq
'
les dérivées partielles en if, 0, ip de
la composée top
, ce sont aussi tout simplement les
dérivées de4
suivant les trois vecteursi,k
En effet,par exemple :
le théorème des fonctions composées donne,
Mais alors cesdérivees
ne sont autres,d'aprPs
laformule
(111,3;21),
que les produits scalaires deg=#
avec les vecteurs considérés:a la formule :
de sorte que finalement on
et par suite l'expression dugradient
enCoordonn&es
polaires:
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 99/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 100/599
Son cobord est donné par :
(n,6;38)
(*An+/1~~)a~B+( ;u,B+~~nLR-8)~+hùC r r\deh dq,
bY
1d'où la divergence *
(VI,4;35)
:en utilisant la correspondance
Calculons maintenant le laplacien d'une fonctionscalaire.
On a la formule(VI,4;27)
. Il sut'flt alors d'appli-quer
SuCCeSSiVement
les formules(VI,4;32)
et(vI,4;jg)
pour trouver :
On voit que les méthodes Indiquées ici sont beaucoup pluscommodes que celles qui ont été indiquées au chapitre III(Cours de 2time
Division, page 230); cela tient a ce qu'icinous calculons le laplacien en utilisant son caractèreIntrinsèquement lié à la structure euclidienne.
Soit 2 une forme différentielle continue de degré? suri2c E à valeurs dans 7
Cil une prlktive extérieureA quelle condition existe-
dé 3dJff&entielle
Q
de degré#
- 1, c'est-à-dire une formesur CL à valeurs dans
-F 9
au moins declasse
C' , telle que d& =
W ?
N2turellement
cela n'est possible que si le degré p
de w est 2 1.
* Le facteur(-ljN-'
, qu'il faut prendre pour cal-
culer la divergence (page 70 ),vaut + 1 pour
N =3.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 101/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 102/599
- 8 0
Les conditions que nous donnons pourfi sontévioemment
trèrestrictives; elles sont satisfaites, par exemple, sisZ estun pave ouvert dont les côtés sont parallèles aux vecteurs debase d'un référentiel. ou si c'est une boule ouverte
relatlve
ment à une norme raisonnable sur E .
On volt en tous cas facilement que, s'il est vrai que
les restrictionsDrécCdentes
sont beaucoup tropfortes.certaines restrictions de nature topologi&e
sür&
sontIndispensables. Supposons par exemple que E soit le plan
W'
que0
soit la forme différentielle de degré 1courakent
appel&
polaire".dq,
c'est-à-diredifférentielle de l'argument ou angle
( L;u)
dq = zdy-yd=.
2
2 +d
Alorso est une forme différentielle de degré 1 declas-
SeC ,
dans le complémentairea
de l'origine. Par ailleurselle est fermée :
dw
=
0 . Cependant on volt Ïacile -
ment qu'elle n'est pas, dans fi , le cobord d'une fonction
(autrement dit la différentielle ordinaire d'une fonctionde classe C' sur
G
).
Soit Aun point deR'
. Pour toutpolntkl
deR' appelons &(A; M)
l'angle dont ilfaut faire to&nerA autour de l'origine, pour l'amenersur la demi-droite OM
j il est détermln~ de manitre
uniquesl
on lui Impose la restriction-
71
<
@(A;
M)<
T
Appelonsu(Il'ensemble
des pointsM de fi pour lesquels
- fi c <P(A,M) c x ;
c'est un voisinage ouvert de A dansa.
Dans ce voisinage de A , Il y a des primitives de 0 ,
à savoir les fonctions cp (M)=cp, t g(A ; M);
ce sont
les seuls,'IY
étant connexe. Mais il n'.y a Das de Drimitive
dansa tout entier, il n'y a pas de détermination unll'orme
continue de l'angle Dolaire. En effet, toute primitivedans
fi est a fortiori une primitive dans v i
doncelle
*, lorsque M tend, en.nt IVI,
tel que@
(A;M,)=-n,
est dans u de la forme ci-dessu?: Orrestant dans u
vers un poj
mais de part et d'autre de la demi-droite AM, , ip
(Mltend vers Cp.- X
etCpO
+X
respectivement, ont
ip nepeut pas se prolonger en une fonction continue sur J2. .
On
voit, par cet exemple, que la dénominationdtf est
une erreur, puisque lJ
n'est pas le cobord d'une fonction;cette dénomination n'est valable que dans un ouvert pluspetit, tel queW
où unefonctionip
est définissable.
Naturellement, sl'fi ne vérifie pas des propriétés suffi-santes pour l'existence d'une primitive de la formedifférentielle Tj
on peut toujours affirmer que tout
pointa. dea
po.&ède
un voisinagew
dansa
, dans lequel
une telle primitive existe; il suffit en effet de prendrepour voisinage un pavé ouvert ou une boule ouverte.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 103/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 104/599
Cette intégrale possède bien un sens. En effet, pour tout
Point
CC, ,x,, ,..., 9~~~ de
JJ
, le segment joignant ce point
au point (0,~~
I... , 2zN
) >
appartient entièrement a fi ,
et en conséquenceL Y est parfaitement définie et continue.
Pour
X,,X4>...>?CN , fixés, la quantité qui figure
au 2ème membre sous le signe1
est une fonction continue
de 5 à valeurs dans A“cp
( Ef’-‘; 7 ) . Comme ? est
supposé complet, Ad: <Ëf’: F)P-4
est un Banach, donc l'inté-
grale a un sens, et définit bien A (z
unélement
de A ,J Ë?-‘;F) ,A=&,...>
3cN)comme
, donc A comme une forme
différentielle dedegré-+
-.I
.surfl
a
valeurs dans F .
On volt bien alors que h
par rapport à s, ,admet une dérivée partielle
qui n'est autre que L .
estOn voit en outre que, siL est de classe C'tn1.31, il ende même de h . En effet, toute dérivée
partielle deh
, ne faisant pas intervenir la dérivation
partielle & ,
1
se fait directement sous le signe
tre4.
enver&
du corollaire du théorème 115 du chapi-
Toute dérivée partielle contenant la dérivation
partielle -&- s'obtient en dérivant par rapport aux1
variables ocz,..., ocs , sous le signe1
, tandis
qu'au contraire la dérivation partielle par rapport h oc,
se fait en utilisant la dérivee d'une lntegrale par rap-port
a
sa borne supérieure(theorème
89 du chapitre IV).
7
En particulier,~ étant toujourssupposee
de classe C',est aussi de classe C' , et admet un cobord dñ ,
qui 88 calcule par la formule :
&4;45)
d/j-=dOC,h
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 105/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 106/599
84
On a donc,48 bis)
:
d'après
(VI,4:46)
et la. première formule (VI,4;
w,r;49)
dx
(=, ,
L
Donc, non seulement T est de classe Cm mais dl\ aussi'- -% .
est de classe Cm(ce qui ne sanifie nullement que A soit
de classeCm+' le cobord dA ne fait Intervenir qu'une
partie des dérivées partielles de K Par exemple uneforme de degré maximum et de classe C' est toujours fermée.
donc son cobord, nul, est de classeC
, ce qui ne prouverien sur la forme elle-même).
On a donc l'égalité suivante (à cause de (VI,4;42) et(VI,4;49)) :
Si nous pouvons prouverquel
est le cobord d'une forme
différentielle de degré b- 1,
cobord de x ,
comme il en est de &me de dh,
il en sera de même de w . De plus, ir étant
de classe Cm, nous devons montrer qu'il est le cobord d'une
forme différentielle de classe C .
Mais
p est une forme diffkentielle où n'interviennentnizl ni&,; en effet, dans M , & n'intervient pas, et
on prend sa valeur en (0,5~%,...,33~
' ),doncm n'intervient.
pas non plus.(VI,4;48) :
Elle
est fermée, car, d'aprtis
la2\me
formule
(ar,4;54)
dP = d’M = 0’.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 107/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 108/599
86
cq4;5z)
Corollaire 1-
Pour que des fonctions A,,Aù,...,AN,E
c l a s s e C’ , dffinies
sur un ouverts d'un espace affine
de dimension N ayant la propriété énoncée dans le théorème,
a valeurs dans un espace de Banach r , soient les d6rivées
partielles X$ = 2
-&
d'une fonction
r
de classe C'
définie sura a valeurs dans 7 , il est nécessaire et
suffisantqU'elles
vérifient les relations de compatibilité
&
aA) .
dXj
dx
“,t
=1
,..., N .
Dans ce cas, la fonction% est déterminée a une constanteI
additive
U~?S
q,
, et de classeC2
. En outre, si les fonctionssont de classe
C”‘,
la fonction-est de classe Cm+' *4
SI E est un espace euclidien affine orienté de dimension
3, on a,suivant :
en utilisant les champs de vecteurs, le corollaire
corollaire
2-
afi un ouvert d'un espace affine euclidienorienteth6orème.
de dimension 3, ayant la propriété énoncée dans le
1°/
Pour qu'un champ de vecteurs,defini
sura
et de classe
C' 9
soit le gradlent d'une fonction réelle de classe C' ,
il faut et il suffit que sonrotationnel
soit nul; dans cecas, la fonction j est définie a une constante additive
près. I
* Comme nous l'avons dit, note * page 79, il n'est pasnaturel du tout de supposer les A. de classeC'
, Nous
verrons, entheorie
desdistributions,ce
qui remplace lacondition de compatibilité (VI,4;52), si elles sont seu-lement continues.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 109/599
2'/ Pour qu'un champ de vecteurs, défini sura et de classe
c' , soit le rotationnel d'un champ de vecteurs de classe
C’,
il faut et il suffit que sa divergence soit nulle;dans
ze
cas, le champ dont il est le rotationnel estdéfini à un champ de vecteurs prbs, qui est le gradient
d'une fonction arbitraire de classe C2 .
3”/Toute fonction de classe C' , definie sur fi , est la
divergence d'un champ de vecteurs de classe C' ; ce champ&-vecteurs est défini à un champ de vecteurs près, qui
soit de classe Cl et rotationnel d'un champ de vecteurs declasse Cl .
85 ORIENTATIONDESVARIETESDIFFERENTIABLES SURLECORPSDESREELS
SoltV une variéte, de dimensionn. , de classe C' , contenuedans un -space affine E de dimension N .
Qu'entendons-nous par orientation de la variété V ?
Soit a. un point de V ; alors V possède en a un sous-espacevectoriel tangent de dimension n. , que nous avons noté
ii
a;V) ; c'est un espace vectoriel sur le corps des
réels; il est donc susceptible d'une orientation.
Mous appeilerons alors système d'orientations & de lavariété V un choix, pour chaque a,de V , d'une orientation
de son espace vectoriel tangent T(d;V) . Un syst&me d'orien-tationsde V est donc une fonction 6
définie sur V , qui ,en chaque point d de V
prend sa valeur &(a) dans un ensem-ble ù deux éléments,
deT(a; V ) .
à Savoir les deux orientations possibles
Nous evons maintenant dire ce que nous entendons par unsystème 8 continu d'orientations de V (ou d'une partie de V >.
On conçoit tout de suite que ce n'est pas là la notion habl-
tuelle de fonction continue, car un système d'orientationsn'est pas une fonction du type habituel, puisque l'ensembledans lequel elle prend sa valeur, en chaque point a, dépenddu point& .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 110/599
88
soit
+ :9
+
14)
, une représentation paramé-
trique vraie, de classe C' , de dimension TL, d'un ouvert
@(fi) deV
. Soit 4 le point de & tel que @(CC) = a.
Nous savons que l'application derivée
+'(a)
établit une
bijection linéaire de@
surT(a;V)
. Il enresulte
qu'elle met en correspondance les deux classes de bases
deRn
, et les deux classes de bases de ?(a;V)
* .
Nous appellerons alors O(N; a;
g)
=
8(a;+)=&~)la
quantité
égale a +1 si 4 met en correspondance la classe positive
deR (pour son orlen+tation canonique habituelle) avec
la classe positive de T(a;V) pour g(a) f
et égale
à-1 dans le cas contraire. Ainsi la carte @ définit une
fonction 0 : a -, @(a; @), définie sur l'ouvert (s , h
valeurs dans l'ensemblea
deux éléments + 1 -
1. Laconnaissance de cette fonction 8 sur
l'ouveit
(9 determine
complètement le système d'orientationsconsidére
sur la
partie @(o)deV . Mais, cette fois ci, la fonction0
prend ses valeurs dans un ensemble 6. deux éléments qui esttoujours le même, a savoir l'ensemble
{
+l,
-
l}
On dira alors qu'un système 6 d'orientations de V estcor1t1nu SI, un point a , relativement 2 uns carte S& dont
l ’ i m a g e r e c o u v r e a , si la fonction0 associée tr ce systeme
d'orientations eta
4> est continue au pointa
. Commecette fonction prend ses valeurs dans l'espace discret a
deux élémentst
+II
-
'1
'
dire qu'elle est continue au
point U , c'est dire qu'elle est constante dans tout unvoisinage de
d
.
On dira que le système d'orientations6
est continu,relativement à a, sur tout l'ouvert
Q, (fi) ) SI la
fonction8 associ6e à Cp est continue sur tout l'ouvert & .
* Il est en effe-t clair qu'une&ijectlon linéaire u d'unespace vectoriel E sur un autreF transforme 2 bases e, e',
de même classe (resp. de classes opposées) en 2 bases
U(Q) >
u(e'),de même classe (resp. de classes opposées).En effet, le
determinant
de CL(&') par rapport à U(C) est
égal à celui deP,'
par rapport à e .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 111/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 112/599
Donc elles sont de mème signe ou de signe contraire, suivantque le
dftermlnant
jacoblen
dét @,ca., est > 0 ou x0.
Mais le signe du déterminant jacobien estevidemment
cons-tant au voisinage du point a, , puisque la fonction
@*,
est de classe C', et que son determinant jacobien. qui estdonc continu,ne s'annule pas. Si donc le signe de 8, reste
constant au voisinage de d, , celui de 8, reste aussi
constant au voisinage de c(, , cequi
démontre letheoréme.
Ceci nous autorise alors à poser la définition suivante :
3n
dit
qu'unsyst&me
e
d'orientations de V est continu
au pointa, s il est continu au point G relativement à
toute carte de la variété, dont l'image recouvre a ; un
sYsteme
'6
d'orientations de V est continu sur une oame
A e V ou sur V elle-même, s il est continu rn toutpoi nta- A-V.
Considérons deux systèmes d'orientations G
4
2
>
d'unevarlétév
. Alors, en tout pointu , onpourra'barler
durapport be ces deux systèmes d'orientations, égal 6 + 1 ou
21, selon que les deux orientations 6,(a) , '6*(~),de
T(a;
v)
t
définies par ces deux systèmes, sont
égales ou opposées.
Le rapport de deux systkes d'orientations d'une varlétél'
est donc une fonction définie sur la variété, à valeursdans l'ensemble a deux éléments
{+l,
-1).
Théorème 21 - ~,~fz,, d'une
varieté V sont continus au point& , le rapport de ces
dew.
systèmes d'orientations est une fonction constante danstout un voisinage de
LL
* . Réciproauement,
si ce rapportest une fonction constante dans un voisinage de a,-l'un des deux systèmes d'orientations est continu
ena
,l'autre est aussi continu en a.
* Ce n'est pas aussi évident qu'il le parait : un systèmed'orientations continu n'est pas une fonction continue ausens habituel, puisque est dans un ensem-
ble variable avec a .sa valeur, en Q
On ne sait donc pas immédiatement quele rapport de 2 telles "fonctions continues" soit continu.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 113/599
Si en effet nous considérons une carte @
dont l'image
CPW)
contienne le point a , le rapport des deux systkmes
d'orientations au point r= de V n est autre que
4
et 0,.
étant les fonctions attachées à Q, et aux 2systèmes d'orientation. On en déduit Immédiatement lesconclusions.
Corollaire 1-
Si deux systèmes d'orientations d'une variétév sont continue en a. et co'fncident en CL , ils coTncident
dans tout un voisinage du point d .
Corollaire 2 - Si la variété V est connexe, deux systèmescontinus d'orientations de V sont identiques sur V toutentiere, ou 0
pogdstoute
entière.
En effet, leur rapport est une fonctionccntinue
sur V ,
a valeurs dansj
+1,
-1) ;
l'image réciproque, par cette
fonction de {1) ou de {-l]
est à la fois ouverte et
fermée, donc vide ou identique & V .
Définition-
On dit qu'unevariét6
V
, de classeC'
, dedimension n , est orientable, si elle possède au moins
z
système continu d'orientations. On dit qu'elle est orientée,si l'on a fixé un tel système continu, qui s'appelle alorsÜÏ% orientation de V . Si V est connexe et si elle estorientable, elle possède deux orientations possibles, et lafixation de l'orientation de l'espace vectoriel tangent, enun point particulier, fixe l'orientation de la variété touteentière. Par exemple, un espace affine est une variété orien-table : orienter l'espace affine équivaut d'ailleurs ici
orienter son espace vectoriel associé, puisqu'il est l'es-pace vectoriel tangent en n'importe quel point de la variété.
Dans ce qui suit, nous allons donner certains exemples devariétés orientables, et de variétés non-orientables.
Par convention, si une variété est de dimension 0 c'est-
h-dire si c'est un espace de points isoles, onconv;eniï
qu'orienter la varïéte
sïgnlf'ie af'ïecter chacun de sesPoints
du signe + ou du signe-
.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 114/599
92
SI la variété est connexe, c'est-&-dire réduite 0. un seulpoint, elle possède bien encore deux orientations opposées
SiV est une vari&té
orientable, on pourra noter par7
(V surmonté d'une flkhe
couxbe)
la vari6t.é munie d'uneorientation.
?ar
convention, V désigneta alors V munie
de l'orientation opposée.
l~~agiiilii%~tji,~~;i~~~li~~~
U~rll~~~lIIC~CIIIYkuliYi#lill~iliW~',
Soient Q; et @, 2 cartes d'un atlas d'une variétéV .
On dit qu'elles sont co-orientables, si, ou bien leurs ima-ges sont disjointes, ou bien l'application @*,,= @;'~a, de
a, sur a2 (où 62; est l'image réciproque par ai de l'inter-
section0
=
+,(0,)n @*C@*) ) a un déterminant jacobien
partout>
0 .
Théorème 21 bis - Pour qu'une variété V soit orientable, il fautet il suffit qu Il en existe un atlas forme de cartes deux adeux co-orientables, la donnke d'un tel atlas fixe une orien-tation de
V
.
Démonstration-
Supposons V orientée. Soit C$ une carte,telle que c4 - soit connexe. La fonction 0 relative à
6
estalors constante sur 0 . Si cette constante est + 1 , ne
changeons rien et posonsy
=
@ ;
si elle est - 1, consi-
dérons la nouvelle cartev
définie par~(u,,u,,...,u,)=
4(-y,u2,...,un);
elle applique un ouvert deR
(qui
n'est plus8
, mais son transformé par (u,,u2,...,u~)-r(-u,,2,...,n
sur le même ouvert de v , et sa fonction 0
est mainte-
nant identique a + 1. Le système de toutes ces cartes q est
CO-orientable,
en vertu de(vI,5;l).
Comme lesy(0)
=
@((Y)
forment encore un recouvrement de V elles forment bienun atlas de cartes deux à deux co-oriktables.
Inversement, supposons donné un tel atlas. Pour un pointr
deV. si nous considérons une orientation e(z) de
T(r; V) , alors, pour toutes les cartes4
dont l'imagerecouvre z , la quantité ~($'(cc.); @) associée est la
même, an vertu de (VI,5;l) et de l'hypothèse de co-orienta-
bilité des cartes. On peut donc choisir e(l) de manièreque cette quantité soit toujours + 1. Alors on a défini
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 115/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 116/599
94
Remarque - Il existe toujours un système de n champs de
vecteurs tangents indépendants, u u
. ..ü >
continus
au point a de V . Il suffit decc&id&er
uk carte@
,
dont l'image recouvre a ,
par
<p'(F),
F =@-1x>
,
et de prendre pourÜi(r)
l'imagedu
l-iéme
vecteur de basedeK.
On construit ainsi, sur +((9-)
continus indépendants. Mais,un système de
IL
champsen'général,
on ne peut pasconstruire un système de n champs continus indépendantssur V tout entière, ni même toujours un seul champ continude vecteurs tangents partout # 17 . Voir
page
Théorème 23- Sa
Vune variété de classeC'
, de dlmensionn.
SupposonsV
munie d'un système d'orientations6 , Considé-rons une forme différentielle réelle w , de degré n ,définie sur V , et dont la restriction, en chaque point JC
&V , définisse une forme n -linéaire antisymétrloue nonnulle sur
TCx;V)
*
Si le système e d'orientations
de V est continu au pointa, alors le signe du n-covecteur,
Zflni
oarW
au ointz
sur7~~;
v).
relativement à
l'orientation-quelle q
(r) de cetespace, est constant pour XL
assez voisin dea.
, ue soit la formew
continueen.
Inversement si, pour une forme particulièreW
continue, alors leau pointa.
Démonstration - soit ü,, ü, ,...,ü, un système de n champsde vecteurs tangents a V , indépendants, continus en a ;
nous avons vu, b la remarque qui précède, que de telschamps existent. Alors la fonction réelle
z
- w(x).
(U,(X),üp4, . . .ün(X,)
est continue et#
0 au pointa,
donc de signe constant dans un voisinage de G . Or son
signe est le produit du signe dun
-covecteur
O(X)
etdu signe de la base
Ü,(x),
Ü*(x) ,... , Ü,(n)
de ?(X;V) ,
par rapport à l'orientation e(z) de T(r;V) . Le signe
de la forme est donc constant au voisinage de Q. , si etseulementale
signe du système de n vecteurs l'est,c'est-
h-dire,d'apres
le théorème 23, si le système d'orientationsde Vest continu au pointa .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 117/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 118/599
<étant le vecteur uniqaire de l'axe des 74 et Ü le vecteurunitaire de l'axe Om, ; G= aIi . Pour y=0 , ce
segment est vertical; quand4'
augmente, il "tourne autourde la tangente au cercle moyen", de l'angle $ exactement;quand nz revient à sa position initiale, avec y= 2% , lesegment est aussi revenu dans sa position initiale, mais
s'est "retourné".
Ceci donne la représentation paramétrique de la ceinturede
Mobius
par les formules :
I
a,
-e t
donnés, 0 ç e
< a.
On remarque bien que, si l'on change q
enqt27( ,etP
en-f,
on retombe sur le même point de la ceinture. Lareprésentation precédente est donc une "représentationparametrlque impropre"; mals, localement, c'est une repré-sentation paramétrique vraie, au sens du chapitre III,
a faire varier ('p, p)
deR*
, défini par
5;4) définit un homéo-
m , de (P sur un ouvert de laceinture. Il nous suffit de démontrer que l'applicationdérivee
de<b
en n'importe qupour avoir prouve que la represt vraie.
Or laderlvation
de la formule(VI,s;j)
par rapport a pnous donne :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 119/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 120/599
avec
y
zn,o) =
q,q,
e t i y +*n ,o )=
> les 2 bases correspondant àq
et b
4
+2n
onts f l rement
des signes opposés.Nous aboutissons doncbien à une contradiction. Ceci traduit le fait que, si
l'onessale
d'orienter la ceinture deM8blus.
en fixantl'orientation en un point (Lp , 0) , et en la déterminant
ensuite "par oontinuité loriqu'on suit le cercle r
> on
tombe,aprbs un tour (au po1ntcy-r 2fl, 0 )), sur le point
initiai
inltialel
avec une orientation opposée à l'orientationce
qui
rend impossible une orientation de V .
La ceinture deMobius
a d'autres propriétéstopologiques
remarquables. Par exemple, si on la coupe longitudinalementsuivant le cercle moyen, elle reste en un seul morceau.
Cela
revient encore 2 dire me. sur V . le (
du cerclemoven
estencore'connexe
zomplementaire
et même connexe par l??S;
ce qui ne serait pas vrai sur une ceinture ordinaire.Cette propriété est évidente. On trouve en effet facilementun chemin joignant. dans V-F, le point M(q,, p,) au point
M(g, I
P*)
t p,
et
p,
# 0
: il suffit de faire
varier continûmentq
de 0, b y?,et p de p, à f2
SitlS
passer par 0 , si p, etf,
ont le même signe; ou, aucontrai-
re,(P de q, ti Cp2+ 2x , et p de p, à - p2 sans passer
paro , si p, et p2
sont de signes contraires.
Exercice- Démontrer directement les propriétés précédentes,sur la ceinture de Mobius définie comme variété abstraite.On considérera le rectangle AB B'A'
;
on identifiera lespoints de AB a ceux de B'A'
, en identifiant deux points
M,M' situés respectivement à la même distance de A et
de B' . On'montrera qu'on établit facilement, sur l'ensemblequotient, une structure topologique et même une structure devarieté abstraite, de dimension 2, et de classe C ; estonmontrera, d'une part, que le complémentaire de 0 0'
connexe, et, d'autre part, qu'il n'existe pas de systèmed'orientations de la variété, qui varie continuement le
longd
Naturellement Il
existe au contraire des exemplesnombreux de variétés orientales. Par exemple une sphère d'unespace affine euclidien est orientable, les
quadrlques
sont
des variétes orientables. Nous le démontrerons plus loin(corollaire 2 du théorème 30). On pourra utilement le démon-trer dès maintenant à titre d'exercice.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 121/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 122/599
100
[Si l'équation de cet espace tangent estF(z)
=
o
, F
est une forme iinéaire sur E alors ces deux demi-espacesseront définis respectivement bar les inéquations F(=) ,o
et F(Y) <
o . Ces deux demi-espaces ouverts sont
donc les Images réciproques, par l'application continueF ,
des ouverts 1 > 0 et 5 < o de w , donc ils sont
ouverts dansË
et aussi dans le complémentaire del'hyperplan. Ce iomplémentaire n'est donc pas connexe. Aucontraire, chacun des 2 demi-espaces ouverts est co+ni,txe,
et même connexe par arcs. Si en effet deux points Y et2
appartiennent au
ne rencontre pasla relation :
même demi-espace, le segment qui les joint
l'hyperplan; car, F étant linéaire, on a
(VI,5,7) F(t? +(1-t
qui prouve que Fconsidéré].
On dit alors
>z) = tF(q)
+ (r-t)F(Z)
>
o
<
t <
, ,
garde un signe constant sur le segment
qu'on a orienté transversalement C aupointa,
ougue
l'on afixe
les signes respectifs dz
deux faces de X au pointa , si l'un des deux demi-espaces,
définis par'?(a;
2)
dans l'espaceË
,,a été affecté dusigne + et l'autre affecté du signe;-.D un vecteur trans-versal
en
Q
de la classe positive, on dira aussi "qu'iltraverse l'eipace vectoriel tangent à X en a "dans lesens positif, ou qu'il est sur la face positive de z en u.
Naturellement cela revient aussia
dire que l'on considère
l'espace vectoriel quotient de Ë par l'hyperplan T'Ca;z).
Cet espace vectoriel quotient est un espace a une dimensionsur le corps des réels; et dire que l'on a orla
transver-
salement V au point a, c'est dire que l'on a orienté cetespace vectoriel quotient, au sens antérieur.
On appelle système (32 '*
-2
>
d'orientations transversalesune application qui, à chaque point 3~ de ZZ , fait
correspondre une orientation transversale '%(zsC, de
C
au
point z . C est donc une fonction définie surZ
, qui,en chaque point I , prend sa valeur dans un ensemble L
deux éléments (dépendant du point x ), a savoir l'ensembledes deux o+rientat_ions posstbles de l'espace vectoriel quo-tient de E par T s;~ ).
Quand dira-t-on maintenant qu'un système d'orientations
transversales % de c est continu en un noint a de z ?
l Tangentiel et transversal commencent tous deux par lalettre t
Nous avons remplacé transversal par normal, et
designé
par4
un système d'orientationstangentielles et%
un système d'orientations transversales ou normales;iln'exi
te de normales que s'il y a une structure euclidienne.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 123/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 124/599
En effet, leur rapport est continu sur C et ne peutprendre que les valeurs +l, -1: V étant c&nexe, ilest constant.
On dit pue l'hypersurface x de E est transversalementorientable, sielle admet un systze continu d'orientationstransversales: elle est dite transversalement orientee. siun tel système est donné.
SIC est connexe, et si elle est transversalement orien-table: elle admet deux orientations transversales possibles,opposees l'une b l'autre, et une orientation transversalede c est entièrement fixée par l'orientation transversaleen un point particulier de C *
Donnons maintenant quelques théorèmes sur l'orientationtransversale des hypersurfaces par l'orientation de leursnormales dans un espace affine euclidien.
Théortme 26 - Soitz une hypersurface de classe C'
dans unespace affine euclidien E . Pour tout point a dé ;- , Gexiste, dans un voisinage de a sur 2 , un champ continude vecteurs unitaires normaux.
Un système d'orientations transversaleszde C est contl-
nu au point a , si et seulement si un tel char à un si neconstant dans un voisina e de Q , ort a 1 orientatio
transversale%
.
Démonstration - D'après le corollaire du theoFème33 bis duchapitre III, Il existe un voisinage de aoù l'hypersurfaceest définie par une équation normale
(X) = 0 ,
une fonction de classe C’
où j est
défini par
_ yt;:ors le champ de vecteurs
3(Z) = vd
IIas,a &)Il
est un champ continu de
vecteurs unitaires normaux. Si un système d'orientationstransversales contlnu%est fixé au voisinage de a, alors,
d'après ladefinition
même, un tel champ, qui est continu,doit avoir un signe constant dan% un voisinage de a- , par
* L'orientation tan entielle d'une varieté, vue antérieu-ment, est une propri tsèque la varieté peut êtreabstraite. L'orientation transversale est relative à lasituation de la varieté dans l'espace ambiant. On peut deter-
miner les 2 faces d'une courbe dans le plan; mals pas d'unecourbe dans W3 , ni d'une courbe abstraite.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 125/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 126/599
104
Réciproquement, si .Y - est transversalement orientée, le
champ des vecteurs unitaires normaux positifs est bien contid'après le. corollaire 1.
Corollaire2
- Toute hypersurface de classe C' d'un espaceaffine E de dimension finie, définie globalement par une
seule équation normale ~Cc,
= 0, 4 de classe cl dans Eest transversalement orientable. Toute hypersurface ferméede classe C' d'un espace affine est transversalement orienta-ble. Les sphères d'un espace euclidien sont transversalementorientables.
Dans la lère hypothèse, Il existe, si l'on met sur Eune structure euclidienne arbitraire,vecteurs unitaires normaux, a savoir
suffit donc d'appliquer le corollaire 2.
Nous avons vu (Cours de2ème
division, page738,
remar-que 2O * que toute hypersurface fermée de classe C-pou-vait être définie par une seule équation normale; elle estdonc toujours transversalement orientable. On démontre quele résultat subsiste pour la classe C’ .
Les sphcres d'un espace euclidien et le s quadriques Sans
point singulier) sont transversalement orientables, pulsqu'el
les ont une équation normale. Pour la sphère d'équation
11% - O/I’ - R* =
0
> le champ defini comme précédemment
estz
X-O
,R
champ normal "sortant", dirigé
suivant le prolongement du rayon vecteur Issu du centre. Ondit encore qu'on a orienté transversalement la sphère demanihre que les vecteurs sortants soient positifs.
Corollaire 4 -
Soit&
un système d'orientations transversa-les sur une hypersurface 7, d'un espace affine quelconque E,
de d-imension N . Si, au voisinage du point a , il existe aumoins un champ particulier continu x de vecteurs transversauqui soit de signe constant au voisinage de a par rapport
à.%
le système&
est continu au pointa .
Démonstration-
Fixons- nous arbitrairement sur E une struc-ture euclidienne, par exemple en identifiant E àWNpar
lechoix d'un référentiel. Soit
3
un champ continu de vecteursunitaires normaux-
au+voisinage
de a .Aiors
le signe du pro-duit scalaire (X 19) est lui-même continu, et par consé-
* Il s'agit lb d'un résultat très difficile b démontreret nous l'avons admis
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 127/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 128/599
106
Supposons, par exemple, que, dans le planl&,l'hypersur-
face Z soit le segment ouvert J O,l[ de l'axe r6elW.
Il est bien évident que cette hypersurface est encore trans-versalement orientable, mais .Z. ne partage pas l'espace endeux régions, et la méthode employée pour les sphères nepeut plus réussir.
Par contre, localement, un tel segment partage encorel'espace en deux r6gions; autrement dit, si l'on prend unpoint quelconque du segment 1 O;l[ considéré, et unpetit voisinage de ce point, ce petit voisinage est bien,s'il est convenablement choisi,deux régions.
partagé par le segment en
D6finltlon - On dit qu'un esppartagé par un ensemble A ep
si le complémentaire de A a kcomposantes connexes; et cesont ces composantes connexes au'on auoelle les réaions
définiespar-A
dans E . Dans-les cas‘ ue
nousalïons
considérer, E sera localement connexe 't
espace affine norméou ouvert d'un espace affine normé, variété), et A serafermé dans E D Dans ce cas, CA est ouvert dans E , etlocalement connexe; alors nous avons vu, dans les complémentde topologie sur les espaces connexes (théorèmes etremarque qui le suit) que chaque composante connexe de CA
est ouverte dans CA donc dans E puisquec
A est ou-verte dans E ; alors to;t revient à dire que CA est
réunion de k parties non vides, ouvertes, connexes, disjoin-tes.
Théorème 27 - Soit c une hypersurface de classe C' dans E .Quel que soit le point a de c il existe un voisinageouvert G) ) g a a E , Gant ies proprietés suivantes :
l / q est homkomorphe B uns boule ouverte;
2”/
c nv est fermé dans v,et le partage en 2 réglons
si;
vz ; chaque point de z n'-$' est adhérent & chacunede ces'2 rénions
*
i
3”/ xpossède, dans 91, une
6quation
normale $(Cc)= 0 ,&les 2 régions sont respectivement définies par les InéRa-
lités
(Z) > 0 , (X)
< 0.
lTl est bon d'avoir cer;r;e dernière
rOpriété
Si nOU8
considérons 1 ensemble fermé A
de la figure, il partage le planen 2 régions, mais il y a despoints de A ,.comme (L , qui ne sontadhérents qu a une de ces 2 régions
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 129/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 130/599
108
2O) Par
contre, Il est relativement simple de voir que,six
est connexe, il y a au plus 2 régions. Soient en effet
(fin, )it1 les composantes connexes de fl = C ,Y - .
Montronsque
l'ensemble des pointsdex
, qui sont
adhérents à 1 une d'entre elles fin; , està
la foisouvert et fermé dans
x
. Il est évidemment fermé dansx ,puisqu'il est l'intersection de Z avec l'ensemble fermé
fii
de E. Montrons qu'il est ouvert dans 2 . soit
en effet a un point dex adhérent à fi; . Soit9
un voisinage de a dansE
, ayant les propriétés indiquéesau
théoreme
27. Puisque a adhère àa;
, l'un au moinsdes 2 ouverts
w,
, 9, , rencontreSz; ;
si, par exemple
v,
rencontre fi;, 91, u fi; est reunion de 2 partiesconnexes d'intersection non vide, donc est connexe d'après
letheorème
38
bis des compléments de topologie sur lesespaces connexes. Mais fi;
de fi
est une composante connexe, donc, il ne peut exister aucune partie de Sz ,
connexe, strictement plus grande que fi; ; donc
&uV, = SLY , ou
91,
c .ai,
. Mals alors tous
les points voisins de a (ceux derents à U;
c n w
)
sont adhé-, donc à n; .
Comme alors2 est supposé connexe, tout point dez
est adherent à 0,; , ou aucun point de,7-
.
Mais Il est impossible qu' SZL
ne soit adhérent àaucun point de
c
. Soit en effetWL&
un point de L-l,; ;
on sait (2ème Division, page 82) qu'il existe un point a;
de ,.??
, dont la distance à fii est minima. Alors lesegment
]aL
, nG ] et
a;
sont connexes, d'intersection
non vide puisqu'ils oontiennentm$; donc encore une foisleur réunlon est connexe, et, encore une fois parce quefi4
est une composante connexe de 0, , on a nécessairement
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 131/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 132/599
110
La région fi2 s'appellera région des points a l'infini,ou composante connexe de l'infini dans
-définie,
reglon.lntérleure;~4 estbornez,
puisque Contenue danstoute boule
fermee
contenant x .
Orientation transversale d'une hypersurface et partage de l'es-pace en
reglons.
Il nous est possible maintenant de défiair une nouvellesorte
d'orientations
transversales,dkflnles
par2
localement dans E .a l'aide des deux régions
Définition- Soit xune hypersurface de classe C' d'un
espace affine E , etsoit
y un ouvert de E , tel quex
r> v
soit fermée, et qui soit partagé parx
nv
en deux régions
%
et sr, .Solta
un point de 2 , adhérent a la fols à
V, et UV, . Ondit
gu'un
vecteur2
z
Ë , transversal
ena , est rentrant par rapport a laregion
9, e
9
,
s Il est le vecteur "vitesse Initiale pour une trajectoire
de classe C' , M:t-M t), Os t 6 t,, entièrement
située dans la régionv,
de27
pourk
>
o
, avecM(O)
=
(L.
(SIM est une traJectoire
de classe C' , rappelonsqu=le
vecteur vitesse en un pointt
estle
vecteurdérivé
dM
;
TE
on suppose donclciMco)=
a, $J$O)
= 2 ).
Un vecteur
sortant par rapport a v, est, par définition. un vecteur
rentrant dansv,.(Il
n'est pas évident qu'un vecteur trans-
versal ne puisse pas être a la fois sortant et rentrant, ouaucun des deux Nous le verrons plus loin, theorème 29, 4'/
Voici une autredefinition
des vecteurs rentrants etsortants :
Théorème 29 - $&C une hypersurface de classeC'
d'un espaceaffine E . =a, un point de C ,v un voisinage ouvert dea
dansE
ayant lesproprlétes
Indiqu&es
dans letheorème
27.
l / Pour au'un vecteur transversal? en un point 2 & 2
n ZI
soit rentrant dans 9; , il faut et Il suffit que, pour t 7 0
assez petit, r+tx
soit dansV,
.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 133/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 134/599
112
tangent, -
versal,où X ne
se-trouve
pas puisqu'il est supposé trans-donc p'(x) . x z
0
2O)+b)
- Réciproquement, SOI~ ? un vec-teur tel que p',~). X >
O
. Alors la fonction
t+ f(z+tx) est de classe C' , nulle pour t = 0 , de déri-
vée ~b,.X
z 0 pourt
=
0 ; donc elle est>
0 POUX-
t 5 0 assez petit. Donc le point 2 +t>7 est dans CU,
pour t z 0 assez petit, donc, d'après 1') a), ?
est
rentrant dans vi . Ainsi 2O) est démontré.
voit.4 ) En changeant v, en
9f2,etJ
en-{, ond'après Z'), que tout vecteur transversal est, ou
bien rentrant dans v,ou bizn rentrant dans ‘&,les deux
propriétés s'excluant : X est rentrant en 5 dans g,
(resp. dans zr,
) si g'(z) .? > 0 (resp. < 0).
L'ensem-
ble des vecteurs transversaux rentrant dans v, et l'ensamble
des vecteurs transversaux Entrant dans 9, sont les deuxdemi-espaces définis par
T(z&;
z
) dans7
, puisque
T(z ; C ) a pour équation$'
(3-).X
= 0
Appelons positive la classe des vecteurs transversaux ren-trant dans g, , ce qui dé=finit un système% d'orientationstransversales. Si X :
70+
X(z) , est un champ continu de
vecteurs transversaux, 7c + f'(5) .X,x)
est une fonction
réelle continue sur C n v , toujnurs # o , donc de signe
constant au voisinage de chaque point; celà prouve que 2
est de signe constantpour%
; donc % est continu, et 4 )
est démontré.
1') b)-
Si?
est rentrant enz
dans(u,
,
on a j'(r) .2
z 0 d'après 2 ) a). Donc xct x est
dans v, pourt
>
o assez petit, d'après ce qui a été
démontré a 2') b) . Ceci achève de démontrer 1').
classeC' , nulle
3”) b) -
Soit q
une fonction réelle desur
C
n V
,>
0
dans
si ,
, et telle
que q'(s) . X > 03
est suppos6 transversal *
;
donc
xou -2
est rentrant dans v, , d'après 4 ): dans lesecond cas, on aurait, d après j ) a) , L~'(X) .z 5 O , ce
* Onv$t
d'ailleurs facilement quel'hypothèse
q'ck).?
#O
oblige X h êtm transversal.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 135/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 136/599
114
Démonstration - NOUS pouvonsorienté. Considérons alors untangentielles de V .
supposer tout de suite E
système 6 d'orientations
On en déduit un système%d'orlentations transvqrsales
comme suit. Nous dirons qu'un vecteur transversalX en I
est positif (resp. négatif) si, pour une base ïj,,ü,,...,ü,,
* T(r;
C) , positivenour
4~2)
-s
, la base T, Ü,,...,;,,
de S est positive (resp.negative)
pour l'orientation de.E.
Si cette przprlété est vraie pour une base positive particu-
lière de T(r;
C)
, elle est vraie pour toute autre base
positive.
En effet, si U : v,, ~,,...,~,-, est une base de 7,~; Z),
etU’
:U:
, ü; , . . . ,ÜL-,
une autre base, le déterminantde U' par rapport a U est égal à celui de la base 2, Üi,Ü;,...,Üd
de Ë par rapport à la base ?,Ü,,Ü2,...,Üi,-, . Ainsi la
définition que nous venonsde
donner est indépendante de labase positive choisie dans T r;C ) .
Ce que nous venons de définir est bien une orientationtransversale de
ç
au point a.~. Si en effet7
est unautre vecteur transversal quelconque au point J: on peut
. -
- i.
écrire Y = A X + ,U, + --.+ A,-, W-l ; alors Y et X sontü
ou non dans le même demi-espace défini dans E
-
par T(z;Z),
suivant que A est>
0 ,ou
<o
;%r
1. n'est autreque le determinant du système de vecteurs y, IJ , ,,.., ci,-,
par rapport à la base2,
ü,,... ,üN.,
. Donc tous les'
vecteurs d'un des deux demi-espaces sont du même signe pourla classification
précedente, et deux vecteurs de deml-espa-
ces differents sont designes contraires, ce qui prouve bienque nous venons de definir la une orientation transversalede V au
point% et par conséquent un système% d'orienta -
tlons
transversaies.
Inversement, si nous partons d'un système%d'orientations
transversales de Z , nous pourrons dire qu'une baseÜ,,...,Û,-
de T(z;x) , est positive, si la base(T,<,...,Ü,-,),de Ë
est positive par rapport à l'orientation de Ë , lorsque ?
est un vecteur transversal positif par rapport à %L<X>.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 137/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 138/599
116
Si nous considerons maintenant comme hypersurface, l'hy-
perplan
2~
= 0 , l'orientation dans laquelle le système
de vecteurs-e,,...,ëA-, , ëh+r,...,eN est positif, est enoorres-
pondanceaveq
l'orientation transversale où le charnu de
vecteurs (-l)'-' TA est positif.
2O)
soit u = ü, ü2
>...
UN-,
une base de
T(r;z) . -
SiE
est euclidien orienté, on peut définir un
produit vectoriel 2 =[Ü,A Ü, ,-,...A ï?,,-, ]
(theorème 11).
qui est normal en x àx
. D'autre part, la base x,
u,,ü* ..., q.,, est positive pour l'orientation de Ë Donc U- -
est nositive nour une orientation tangentielle, si et seu-
lement
si X est positif pour l'orientation transversale
associée.
Soient 4> une carte de la variété, dont l'image recouvre
le point@ , avec4(d)
= a ,et6
un systèmed'orlenta-
tiens
de2
. Le système des vecteurs i
=
f,Z,...
N-
est l'image, par@'(a)
, du système des Gecteurs de la base
canonique deRN-';
dokson signe,dans T(a;V),est @(a;&),
si 0 est la fonction associée (page 88) au systeme 4;
d'orientations tangentielles
Donc le produit vectoriel de ces vecteurs est du même signpar rapport à l'orientation transversale associée; autrementdit, 1 orientation transversale% associée a une orientationtangentielle donnée d,est celle pour laquelle le vecteur
est un vecteur normal,positif,pour
touts carte <p et toutd
3”) Considérons le cas particulier de ladimension N = 1, et soit c un point de E,
considére
commehypersurface. La correspondance entre orientations tangentieles et transversales se définira conventionnellement commesuit.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 139/599
117
Orienter c , tangentiellement,c'est l'affecter du signe +
ou du signe - ;
l'orienter transversalement, c'est donnerles signes-+ et - aux deux demi-droites définies par l'ori-gine dans E c'est-a-dire simplement orienter Ë .alors on supp;sez muni d'une orientation
donnée,nous
Si
établirons la correspondance entre l'orientation de c
dans laquelle il est affecté du signe + et l'orientaiion
transversale de c ,deË .
qui correspondea
l'orientation donnée
Corollaire 1 - La ceinture de Mobius n'est pas transversa-lement orientable dansIfP3.
En effet, nous avons vu qu'elle n'est pas orientable(théorème 23 bis). On ne peut donc pas "fixer les deuxfaces" de cette ceinture. La ceinture de Mobius est unehypersurface de
W3,
à une seuleface .Si,
par exemple,on part du point 9 = 0,
f
= 0 et qu'on appelle facepositive, en ce point,celle qui eit tournée vers l'origine,
si l'on fait varierg continuement, et qu'on revienne al'origine avec les paramètres Cp = 271, f=o , la
face positive, suivie par continuité, est devenue celle quiregarde en sens Inverse de l'origine. En un point donné,ily a bien toujours 2 faces, mais pas globalement, puisqu'onpeut passer continuement de l'une des faces en un point à
l'autre face au même point, en se déplaçant sur la surface *
Corollaire 2 - Toute hypersurface de classe C'
d'un espaceaffine de dimension finie,
definie
tout entière par une.7q
e uation normale est orientable.
ce fermee de classe C1 d'un espace affine de dimension finieest orientable, Les sphères d'un espace affine euclidien de-
dimension finie sont orientables.
* On dit qu'un barbu, ne sachant s il devait, la nuit,mettre sa barbe sur ou sous le drap, s'est acheté un drap
en ceinture de Mobius, donc n'ayant qu'un seul côté. Visi-blement, c'est la une solution inexacte du problème, car labarbe ne couvre pas la totalité du drap, et, localement,c'est-à-dire au voisinage d'un point, toute hypersurface esttransversalement orientable, et a toujours 2 faces
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 140/599
118
Il suffit d'appliquer le corollaire 3 du théorème26 * .
En particulier,classe C',
si,Z
est "ne hypersurface compacte de,T admet "ne orientation transversale privilégiée
(où les vecteurs sortants sont positifs. remarque 2') page113 ), donc "ne orientation tangentielle privilégiée, siE est orienté. D'après la définition de la correspondance
entre orientations transversale et tangentielledonnee
dansla démonstration du théorème, on voit qu'un système de N-l
vecteurs tangents en un point de.X
positif pour cette orientationet
indépenoants,
esttangéntielle si, quand on
fait précéder ce système de vecteurs par un vecteur "sortant:on obtient
une
hase positive pour l'orientation de Ë .
Si, en particulier, on fait N = 2, cela redonne bien l'orien
tation "directe" habituelle d'une courbe compacte de classeC'
dans un plan orienté,et l'orientation "directe" du cercletrigonométrique dansR' .
3 d”voit que toute hypersu]
C' I
d'un espace affine E de dlen 2
reglons, et est tangentiellement et transversalementorientable.
Sic
est com acteroles tres différents
les 2 régions jouent des1 "ne des deux est bornee), il y a
Remarques l / En résumant le théorème 28 le corollaire
théorème 26, et le corollaire 2 duthkorème
30, onrface2
fermée, connexe, de classemension
finie, le partage
"ne orientation transversale canonique (vecteurs sortantseosltifs), et "ne orientation tan,gentielle
canonlq e
-E
est oriente.
2'/ Se donner "ne orientation tangentielled'une courbe de classe
Cl
c est se donner un sens deparcours de cette courbe. On considérera comme sens deparcours positif celui pour lequel, en chaque point, levecteur vitesse, s'il estl'orientation en ce point.
f0 P
est positif pour
* La ceinture de Mobius,fermée (on a pris une
inegalité
strictedefinie
par ('~1~?4 ,~$e;t pas
Si on avait pris uneinegaiitd
large - 4
<
p < k9 0x-l
n'aurait plus eu unevariete,
il y aurait eu un "bord").Mais il peut naturellement exister, dans un espace affineE de dimension
N
de dimensionn. <des variétés fermées et même compactes,
surfaces),N'- 1 (donc qui ne soient pas des hyper-
non orientables.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 141/599
3”/ Orienter une variétév à deux dimensions,c'est se donner un sens de parcours pour les courbescompactes, au voisinage de chaque point. En effet, si,par exemple, nous prenons une structure euclidienne dansl'espace ambiant E , la projection orthogonale de lavariété sur son sous-espace tangent au point CL, restreinteà un voisinage9 assez petit de a , est
C'-difféomorphisme;par conséquent un sens de parcours sur les courbes compactesde la variété,contenuesdans le voisinage b\Pdupoint
a,est
équivalent a un sens de parcours sur leur projection dansle plan tangent en a à la variété. Or, d'après l'orientationde V , le plan tangent est précisément muni d'une orienta-tion, et nous venons de voir qu'une orientation d'un planoriente ses courbes compactes,donc définit sur elles unsens de parcours * .
J+O/ Soit v une variété de classe C’ dedimension n
et c une hypersurface, c'est-à-dlie une
sous-variété'de dimensionri-
1, de classe Cl
Alors tous les résultats locaux démontrés depuis
deV
.le
théorème 25 subsistent. SiV est orientable, C esttangentiellement orientable, si et seuLement si elle l'esttransversalement; siV est orientée, il y a correspondancebiunivoque entre les orientations tangentielles de x etses orientations transversales.
Mais les théorèmes globaux d'orientation ou de partageen réglons ne subsistent pas. Si .Z est fermée dans V
elle peut très bien avoir un complémentaire connexe. Parexemple, sur un tore, un cercle parallèle ou un cercle
méridien est une hypersurface compacte qui ne partage pasle tore en plusieurs réglons ; il en est de même du cerclemoyen dans la ceinture de Mobius (voir page 98 ). Dans
le complémentaire V de l'origine dans We , une demî-
droite Issue de l'origine est une hypersurface fermée, quine partage pas V en plusieurs régions. Dans chacun de cescas, l'hypersurface n est pas définissable par une seuleéquation normale g(Z) = 0 (sans quoi, comme l'a prouvé
la démonstration du théorème 28, elle partagerait V en aumoins 2 régions) ; le cercle moyen de la ceinture deMobius est tangentiellement orientable, mai s non transver-salement. Les
théorE:mes globaux énoncés sont très partlcu-
liers
aux hypersurfaces fermées d'un espace affine.T o u t e sces propriétés constituent ce qu'on appelle de la topologiealgébrique.
* Ce résultat est purement local : pour toutCL
de V , onpeut trouver un voisinage 9 de a , tel que l'orientation deV définisse un sens de parcours des courbes compactes conte-nues dans 9 . Mais, si une sphère de R3 est orientée, celà
ne donne pas un sens de parcours privilégié sur les 'grandscercles" de cette sphere.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 142/599
Notre univers physique est-il une variété orientable ?
Laissons de côté le point de vue relativiste qui nousoblige à considérer un univers à quatre dimensions, malsqui n'introduit pas, pour l'orientation, de complicationsessentielles.
Prenons comme modèle du monde dans lequel nous vivons,uns variété a trois dimensions de classe C” est-elleorientable, et peut-on, d'après certaines loi: de laPhysique, la munir d'une orientation canonique ?
Supposons, pour fixer les idées, qu'elle ne soit pas orien-table. Cela signifierait qu'il existe certains chemins,analogues au cercle moyen de la ceintlwe de Mobius, telsqu'en,en partant d'une orientation initiale au point dedépart, et en prolongeant continuement cette orientatinn
le long de ces chemins, on arrive à l'orientation opposéeen revenant au point Initial * . Un être humain quisuivrait un tel chemin , et. reviendrait sur terre, setrouverait, à son retour, avoir son coeur à droite, etson foie à gauche; les livres qu'il aurait emportés aveclui en langue française, seraient a son retour, écrits dedroite a gauche; et , s'il avait emporté avec lui de l'acidetartriaue gauche. il reviendrait avec de l'acide tartrloue
droit &** Et ceia, naturellement, sans avoir jamais subi,en un point quelconque de son chemin, aucune transformation.Il se consldererait d'ailleurs comme absolument normal etinchangé, et c'est lui qui trouverait Inversés tous lesphénomones qu'il reverrait sur terre. Il lui suffirait defaire un deuxième tour pour remettre tout en équilibre.Ce simple exemple suffit 6. montrer qur quelles-bases fragilereposent toutes les notions d'orientation données dans leslivres d'enseignement élémentaire de mathématiques et dephysique :
* On peut démontrer en effet que la circonstance rencontrédans la ceinture de Mobius est générale : si une variéténo;; pas orientable, il existe des "chemins de désorlenta-
courbes compactes le long desquelles n'existe aucunsystèrke continu d'orientations de la varieté.
XX Procédé de fabrication sans valeur industrielle.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 143/599
121
La règle du bonhomme d'Ampère, telle qu'elle est énoncée,est valable dans une variété a
-j
dimensions orientee,maj,s n'arigoureusement aucun sens si l'cnn'admet pas une gauche et unedroite universelles, c'est-a-dire une orientation. En regardantd'un peu plus près ce point de vue, on s'aperçoit qu'il existe,dans la d&?lnition du champ magnétique, une imperfection.L'être humain dont nous avons parlé plus haut, et qui feraitun très long voyage pour se désorienter, reviendrait, s'ilavait emporté une boussole, avec une boussole inversée, dontle pôle nord serait marqué : 5 et le pôle sud marqué : N
(la définition de ces pôles est'relative à la terre, qu'iln'aurait pas emportéeavec lui). Si cet homme avait emportéavec lui un fil électrique parcouru par un courant et uneboussole, rien n'ayant changé, pour lui, dans sa pékgrina-
tion, nous constaterions, & son retour, que sa boussole est
orientée,d'Ampère;
apparemment, en sens inverse de la règle du bonhommemais ce ne serait qu'une apparence, puisque l'indi-
cation des pôles Net S de sa boussole serait erronée. Fina-
lement on voit que le champ magndtique n'est pas un véritablevecteur, c'est un vecteur
-axial analogue à un produit vec-toriel. Il en résulte que notre viyageur,
de désorientation,après son trajet
ne trouverait quand même pas changéesleslois de l'électromagnétisme Ces lois n'obligent pas l'espacephysique à être orientable ; .
Il existe cependant certains phénomènes récemment découvertsde la physique, relatifs a la désintegration radioactive fi ,
qui
semblent Indiquer que 1' espace est orientable.
Considérons un noyau atomique ayant un spln, c'est-a-direune rotation propre donnee.
Son vecteur moment cinétique est
un produit vectoriel, donc un vecteur polaire, c'est-à-diredépendant de l'orientation. Supposons ce noyau radioactif'et
supposons prouvé par l'expérience que, dans sa désintégration
R
il ait une probabilité plus grande d'éJecter un électrondan: l'un des 2 demi espaces définis par le plan perpendicu-laire à l'axe de sa rotation que dans l'autre; un tel phénomèneest indépendant de toute orientation de l'espace. Alors onpeut définir une orientation privilégiée de l'espace, par exem-ple celle pour laquelle le demi-espace à probabilité plus faible
* La relativité ne permet pas de séparer le champ élec-
trique et le champ magnétique. Il0
a un 'champélectromagnb-tique", kenseur.antlsymétrique du 2 ordre (donc a 6 composan-
tes fondamentales), qui est, en réalité, une forme différen-
tielle de degré 2, dans l'univers d'espace temps b 4 dimensions.
On peut, dans un référentiel galiléen, faire correspondre h
rette forme un vecteurPo&ire(le champ électrique), et unvecteur axial (1e champ magnétique).
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 144/599
122
d'émission fi est celui qui contient le moment cinétiquedu noyau (c'est cette orientation qui correspond, surterre,
a
l'orientation droite-gauche basée sur le corpshumain,dans
l'expérience faite avec le cobalt 60 par laphysicienne Wuet Lee, en 1956).’
sur les suggestions théoriquesde Yang
Néanmoins ce phénomène physique n'est pas convainquant,car rien ne prouve que, dans des régions de trèséloignées de la nôtre,
l'univer:
il
n
existe pas un cobalt 60 .?,y- -
trique" par rapport au nôtre, et pour lequel ce soit lephénomène inverse qui se produise. Ajoutons a tout Cela
que l'idée que nous pouvons nous faire de l'univers globalest peut-être tellement loin de la réalité, que la questiond'orientabllité
n
a peut-être aucun sens.
INTfiGRATION D’UNE FORME DIFFSRENTIABLE SUR UNE
VARIaTE ORIENTGE
Mesure de Radon définie par une forme différentielle 3 , de deg
71.
, continue, sur une variété de classe C' . de dimensionn,
orientée.
Soit? une variété de classe C' de dimension n sur lecorps des réels, orientée, (abstraiie ou contenue dans unespace affine
),et dénombrable a l'infini l .
soit Q, : @
-@((Y->
une carte de V . Soit 2 une
forme diff&entielle, du degré maximum= , continue sur V , àvaleurs dans un espace de Banach 7 ** .
Considérons alors l’image réciproque de w par 0 , Q-2 .
C'est une forme différentielle continue sur l'ouvertfl
deXT
parce queO est continue, et Q> de classe C' (théorème 14 bisElle a donc pour degré la dimension n der, de sorte qu'elles’écrit sous la forme
* Nous supposerons, dans ce paragraphe, que toutes lesvaribtbs dont on parlera sont dénombrables a l'infini. Unevariété contenue dans un espace affine est dénombrable àl'infini.*+ On pourra, pour simplifier, prendre pour F le corps des
scalaires.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 145/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 146/599
(W.;3)
> ou
j5 N
F2
;
c'est ce que nous allons montrer.
On a vu que +?, est de classe C' .Supposons-18
définie par
124
Comme on a 4, = @a2 o a2 , , On aura certainement
4-
'
P,
=+2
6
, si l'on a
(V;G
u 21 = q,(u) = V(u.) , ou c* = w.(uY , , u, ,..., IL); i=1.2 ..,.
L’image rhiproque par @,,,
de la forme différentielle
du ,I\ du,
A . . .A
d u , est (formule(VI,j;bO))
:
Par ailleurs
av;7) p.+du,A...Adu, ZZ Z 4,*3 = (4*
0 4*,,)* 3
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 147/599
12 5
De(v1,6;6)
et(v1,6:8)
on déduit, par division :
Entre les fonctions0,
et 8, , associées à 1 orientation
de V et à@,
et a2
, on a, d'après(VI,?;l)
:
Alors (VI,6;9)
et(VI,6;10)
donnent, par multiplication:
Mais, d'après la formule du changement de variables dansles intégrales multiples (corollaire 1 du théorème 102 duchapitre IV), l'image directe par
(b2,,
de la mesure de
Idét Q;,, (w) ]
du/
est la mesure dit :
En multipliant membre à membre(VI,6;11)
et ( v1, 6; 12) ,
on obtient
ce qui est bien la relation cherchée F,N F2 .
Corollaire -
Si? est une variété de dlmensionm,de classe C',
orlentee,et sio est une forme différentielle de degre 7~continue sur v , à valeurs dans un espace de Banach 7 ,
g
existe sur v une mesure de Radon [WI, =
[GI.
**V
* Pour des fonctions,/u signifie que l'on a=
, si l'on
remplace U par Q2,,(u) .
+* Ce renvoi se trouve à la page suivante.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 148/599
126
et une seule, à valeurs dans F , telle que, pour chaque
carte 0, [O] soit égale, dans l'ouvert &((4)
1' Image @(F*)
, $
et; par@ .
de la mesure FG associée sur 0 $ V
Démonstration - En effet, lorsque @ parcourt toutes les
cartes possibles de V , les &((Y) forment un recouvrementouvert de V . A chacune de ces cartes est associée une mesure
NF*)
dans l'ouvert o(0) , et, dans l'intersection
de deux de ces ouverts, les mesures qui leur sont associéescoIncident. Il suffit alors d'appliquer le théorème derecollement des morceaux, théorème 17 du chapitre IV.
Remarques 1°/ La mesure[w] trouvée est 3 0 , si et seulem
si la forme différentielle scalaireG,
est+
o
,par rapportl'orientation de V .
En effet, pour voir SI[~] est positive, il suffit de levoir dans chaque ouvert @ ((4) i il suffit aussi, puisque +
est un homéomorphlsme, de voir SI la mesure PU,* est 2_
* Renvoi de la page 125 -
El
n'est qu'une notation abrégée, car la mesuredefinie par la donnée de
s
e%
, et de la variété orientee V .
En somme, la possibilit6 de définir une mesure de Radon
même de définir l'intdgrale de w sur V (formu~ee V%;~k))
[zl a
partir de 2 et d'uneorientatio>
de V
vient de ce que le changement de variables dans une forme dedegren
utilise le déterminant jacobien, que le changementde variables dans une lntdgrale multiple utilise le module dudéterminant jacobien. et que le signe du déterminant jacobienest lié a l'orientation.
Bien noter 9ue nous avons dQ utiliser ici le theorème 102
du chapitre IV (changement de variables dans les intégralesmultiples), et que la présente théorie ne permet donc oas defournir une variante de la démonstration du théorème 102 duchapitre IV.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 149/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 150/599
128
m
Définition - SiV est une varieté de dimensionn et de
classe C'
deorientée,et
si 3 est une forme différentiellecontinue, degré IL sur v
sur v si,[GI;
on dit que 0 est intégrable
-
étant'lamesuré de Radonassociée7
sào 1 est intégrable par rapport à [WI ;-dans ce cas,<on IAtégrale s'appelle intégrale de w g V , et se noteks:
L'intégrale de 3 existe toujourssis
esta
support compact
surV
, et à fortiorisiv
est compacte.
Elle existera si la norme de [GI- est finie etr dedimension finie (Corollaire du théorgme 54 bis du chapitre IV
16,' L'intégrale change de signe si l'on remplace; par? , lamême variété munie de l'orientation opposée.
2O/ L'intégrale dépend linealrement de z :
(X,6;(5)
-R:
constante scalaire;
* C'est l'intégrale de 1 ou mesure deV par rapport à lamesure vectorielle [W ]-;
Nous supposons qu'elle a unsens suivant (1v,5;10) Cela'suppose quela mesure [WI, soit
de base ? II C'est toujours vrai siF est le corps desscalaires, ou
de
dimension finie (théorème 54 du chapitre IV)Mais on peut même démontrer que c'est vrai ici quel que soitF;
siV
est contenue dans un espace affine, on peut choisirdans ce dernier une structure euclidienne, et le théorème 32montrera que [f
]
est de base dS , mesure des aires ln-
dimensionnelles sur V .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 151/599
l'existence du deuxième membre entrake celle du premier,pour la première formule, et lui est équivalente, pour ladeuxième (sauf si & = o , où elle l'entraene mais ne luiest pas équivalente 1).
Il suffit en effet d'utiliser( v1, 6; 13 bis), et, pour
intégrer 1 par rapport aux mesures qui Interviennent dans
ces formules, d'apliquer
la formule( 1v, 5; 16) (théorème 54ter du chapitre IV
P
.
Supposons 72 h support compact t( . On considérera unsystème fini de cartes ai , tel que les ouverts &i(t)
forment un recouvrement de K .
On désignera par C(L
une partition de l'unité subordonnée
On a alors W = C lai z) , et par suite la formulei
Il suffira donc de calculer chacune des Intégrales du derniermembre. Pour cela on remarquera qu'elle peut s'écrire, d'aprèsla definition même de la mesure prp; par ( v1, 6; 2) ,
sous laforme de l'intégrale multiple habituelle
Au lieude'la
partition de l'unité, on peut naturellementaussi décomposer la variété V en une réunion (finie ou
dénom-
brable)$J
Vi
d'ensembles disjoints[L;]?
-
mesurables, et
suffisamment petits pour que chacun d'eux soit contenu dansl'image d'une carte. SI alors Vi
on aura la formuleest contenue dans
&L(fi'),
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 152/599
qui nous ramène encore au calcul d'intégrales multiples habi-tuelles. Nous donnerons plus loin des exemples plus pr&?is
( pages
134
et suivantes).
Remarque - Prenons le cas particulier où la varieté V est
de dimension 0 ,
de degré 0
c'est-h-dire formée de-points isolés.Alors3,
alors, par Convention :se réduit à une fonction p ; la mesure [a] ser
le signe + ou - correspondant à l'orientation de chaquepoint a,,puisque nous avons vu qu'orienter un point c'estl'affecter d'un signe. L'intégrale est alors donnée par laformule :
Majoration de l'intégrale.
Théorème 32 - Si? est une variété orientee de classe C' , *dlmension~~, contenue dans un esuace affine euclidien E gdlmenslonN muni d'un référentiel orthonormal, si rj est
une formedlff&entielle
dedeg&n
,definie
et continueEV et mise sous la forme (VI,3;7) (où J arcourt l'en-semble de toutes les parties àn Blements de
pn
alors la mesure [W]
mesure des airesdefinie par ; sur: est de base dS,
n-dimensionnelles sFV ; on a :
6 continue surV ,
l Dans le cas de la dimension et du degré (1 , ces Signes t
paraissent, a priori,$us un embarras qu'autre chose; surV sans orientation,
w définit une mesure, par (VI,6;lp)
avec + partout, et a une intégrale ( v1, 6; 20) .
avec + partouMals les conventions adoutees nour n = o sont inévitablespour la formule de Stokes.
(the
que-nous verrons plus loinorèmes 37 et 39
.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 153/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 154/599
132
on peut alors écrire
(W;25)
d7
=
qw(hw du)
avec
(%6;26)
1 D(y,, y,... > y,J
D(U) D(u,, ut,. . . , LL&)
La fonction 7 est continue sur U,
(VI,6;24), la majoration :et admet , d'après
wL6;@
119(4 L
j Iq (Q(U)) Il
Alors, + htant un homéomorphlsme de @ sur e(v) , onpeut écrire sur l'ouvert @((4) de V :
ter,6 ;Zf) [ 2 ] = j c ) ds , ;i”<x) = ;i(d h>)
La fonction-lit6 (VI,6;21).
+ est bien continue et v&lfle bien l'lnéga-
La fonctlonF est ainsi definie sur e(e), relativement
B la carte @ . Mais, et si
+,((Jt) et GP, (U,)
si +, et Q2 sont 2 cartes,
fonctionsT+ et%
ont une intersectlonfl non vide, lescorrespondantes
co'lncident
sur Sz .
Pour le voir,
a,
et
a2 aux
les notations
nous devons montrer que, si l'on restreintimages réciproques fi, et a2 de 0 , on a, avec
de la démonstration du théorème 31 :
D(z., ,Yxa* >'-' =y,,)
1
D(u, ,u+, , LLG ) D, CU)
Dc=y,zj2>... , y-) I
DC-J, 7~s v... > %) D,(v)I
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 155/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 156/599
134
Corollaire 1 - Dans les conditions de l'énoncé duthéortme,
si les coefficients 3, -W sont bornés en norme sur" ,etsi
a une aire finie. alors 1integrale
deG
~7
aun sens, et 1 on a la majoration
où 5 est l'aire de V .
Démonstration -
1
estintegrable
-par rapportà[s]
= i;d
si et seulement slqest dS -1ntégrable (definition,
formule(IV,5;10));
cela résulte alors du corollaire 2 dutheorème 39 du chapitre IV.
Corollaire 2 -
GW est une sous-varieté de V , de dimensio<n, elle est de mesure nulle pour la mesure [3]; associée à
la forme différentielle 3 sur 0 .
Pour simplifier, supposons V contenue dans un espaceaffine E de dimension finie. Munissons E d'une structureeuclidienne quelconque. Il résulte du corollaire 3 duthéorème 107 du chapitre IV
queW
est de mesure nulle pourla n-aire dS
Soit a calculer 1 intégrale Iw
d'une forme différentiellcontinue
3
de degréN-1,
sur une sphère c de centre origineet de
rayonR
dansRN, munie de son orientation canonique(correspondant a l'orientation transversale où les vecteurssortants sont positifs; voir corollaire 2 du théorème 30).L'équateur
zs
=
0 est une variété de dimension strictem
inférieure à celle de la sphère, et par conséquent, d'après lcorollaire 2. il peut être
néglige
dansl'integrale.
L'integr
est donc la somme des deuxment 6. l'hémisphère supérieur
rales correspondant respectil et à l'hémisphère inférieu
Où.X+ est definie par -c,, > o
del'integrale
de[31e
etC_par
sN
c
0 (l'existence
surx (parce queC est compacte)
entrake celle de ses Inté rales sur touteuartle
dS-
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 157/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 158/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 159/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 160/599
138
**
Renvoi de la page 137.
A ce moment, nos lecteurs étant encore innocents et nonInitiés aux mystires de l'orientation, nous n'avons pps re-
y-'
gardé si le trièdre L ,J >
C'est pour-
quoi nous avons seulement montré que valait k 1 ,
ce qui nous suffisait oour le changement de variables desintégrales multiples.
lère démonstration :tiati;nne_z ) y , 3
On calcule directement, par difpéfen-
, le jacobien, et on trouve + hAm 6>
donc L,j,h est une base positive. L'inconvénient de cetteméthode est de perdre tous les avantages acquis lors dela détermination, par voie géométrique. du module dujacobien.
2ème démonstration : Raisonnons d'abord en cocrdonnées
polaires planes , p, q . D'après le choix même du senspositif de cercle trigonométrique dans un plan orienté(sens des angles), par l'orientation tangentielle de cecercle associée a l'orientation transversale où les vecteurssortants sont positifs, la base c , c , où ü est normalsortant, et ?F tangent dans le sens direct. est positive.
Si nous passons a IF?' canoniquement orienté, on voitque le vecteur-x est soriant psy rapport à la boule, ainsi
que le vecteurE
e3 ,où es
est leJème
vecteur debase (axe*des
),
et
vecteurs et a
E = signe de 3, %#o . DO~, les $
étant tangents à la sphère, la baset,J,
a le même signe que la base E ë,> &T;
ci est de même signe que c 7, , TO, x0
mals alors+ceJle-
, ou encore-jo,
&
~7,.
a 0'
sont les projections horizontales de ,j et x.
, à des facteurs positifs près, EU et Go
(suite de ce renvoi page 139)
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 161/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 162/599
140
les conditions du theorème. unecontinue ,Wy , converge pour v Infini
Vers une forme diff&entielle w , uniformément sur toutcompact de V , l a m e s u r e [;S,] associee B 3 converge,localement en norme, et a fortiori Vagueme&nt. vers lamesure L3] associée à
w'
.
Démonstration - Nous disons que Ov converge vers 0 si,
dans l'expression (VI,3.7), chaque fonction (w,),
vers la fonction (W)J
converge. (Cette dé-ition suppose V donnée
dans un ouvert d'un espace afflne,w definie et continuedans cet ouvert).
alors la majorationJVI,6;2l).,applJquée a wv - 3,montre quz la fonction?, , associee a o,,converge vers lafonction
-Pr
associée à W , uniformément sur tout compact
de V . Donc, pour tout compact K de V ,
converge bien Vers 0 . Le théorème de Lebesgue (théorème35 du chapitre IV) donne d'ailleurs des conditions bienmoins restrictives pour que cette conclusion subsiste
(voir l'exemple, page 550 du Cours - lère partie) : si;,
converge simplement dS-presque partout vers W
, et admet
une majoration .$//(3,)J (X)(l$ g(s) , où % est une fonction3 0, localement dS -1ntégrable sur V , alors [O,] converge
localement en norme vers [w']
. Par ailleurs, si 4 est
b o r n ée su r V d'aire finie, le theorème deLebesgue montre que converge vers 4 _
Nous allons calculer explicitement la fonction+ de laformule ( v1. 6; 21) dans le cas d'une hypersurface C d'un
espace euclidien.
Théorème 33 -
- E un espace affine euclidien orienté dedimension N , muni d'un referentiel orthonormal positif.
Soit~ une hypersurface de classe C' & E,orientee. s
alors 2 est une forme diff&entielle continue de degréN -1 dans E >
definie par la formule :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 163/599
141
(B,6;47)
Gi =
2
C (s) dq I\dzc+..j\drC A dr,,, A...I\ dx,.,
>
j=’
j-1
la mesure associée [W] x 2
, est définie par la formule :
où d.(s) est l'angle du j
- ième vecteur de base de É
avec- $
la normale positive à C au point x (pour l'orientation
transversale associée à l'orientation tangentielle parl'orientation de
f
).
Démonstration -
Soit@
une carte de V . Onconnaft,
d'après
lVI,5;7)
un vecteur porté par la normale et positif pourl'orientation transversale. Le vecteur unitaire correspondantde la normale est défini par la formule :
o ù Nu) est précisément l'aire du parallélépipède des
5
atL;(U)
, c'est-à-dire la longueur de leur produit vecto-
riel.
D'après la formule (VI,2:16), ses coordonnées sont
La formule (v1,6;26) donne donc
d'où l'on déduit aussitôt(VI,6:48)
d'après (v1,6;28).
Corollaire - Dans les conditions del'enonce
du théorème,
l'intégrale/
zi
se calcule comme une Intégrale. de
surface 2:
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 164/599
142
Ql.6; 52)
I
w
=
E
fi
(- ’
1
i
cmaà
dS
,.Y
l'existence de l'un des membres étant équivalente a celle
de l'autre.
Exemple-
DansR3, on a la formule :
Remaraue -
On préf&re souvent écrire w , quand elle estde degre N-l, sous la forme
(h cause de la formule (VI,j;43)).
On a alors
So1ent.c et?'deux variétés orientées cle dimenslonn. =H un C'-diffeomorphisme
deV surV',transportant l'orientatlo~de~ sur celle de îj' * . SiW
est une forme différentielle continue de degré+L
HG
son image survf ** , alOrs la mesureET,&
[HG]
G'
associée
a HW est l'image par H de la mesure [GI,.
et l'on a, entre les Intégrales, la formule":
associée &~W ;
* On entend par là que l'image par H’(r) d'une base deT(z;V
positive pour l'orientation v , est une base de T‘ H x);V<) ,positive pour l'orlentatlon VI.
** H étant un C'-dlfféomorphisme,ll y a des Images directesaussi bien que réciproques.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 165/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 166/599
144
Les deux membres de cette formule conservent un sens,si H est seulement une application de classe C' et non undifféomorphisme; mals alors la formule cesse d'être vraie,
es 2 membres sont en géneral distincts. (Ils le sont de,ja
sin
est unCv-diffeomorphlsme,
mais ne conservant pasTés
orientations :). Par exemple, sig
=
39
est le
segment]-1,
+I
[
deW
avec son orientationcano$ique,
siH
estx
- y =
2'
, etSI LT
=
%
, alors H GT = 2sdr.
On a :
h l,6;59)
!
H*a =
zxdz=
o
Y 1-1,tir
Considérons, dans unouvert0
d'un espace affineZ
dedimension finie, une variéte singulière ou paramétriquede classe C' , de dlmensionn,d~finle par une application Hde classe C' d'une
varieté
vraie V,de
classeC';de
dlmen-
slonn.dans
fi . Nous représenterons par HIV cette
varieté
singulière. S IV est munie d'une orientation3
on dira qu'on a affaire à une variété singulière orientée,et on la notera H I v.
Soit alorsz
une forme diff&entielle continue dans.0 ,de degré ?z ,
a valeurs dans un espace de Banach. Elle aune Image réciproque H* L? forme
differentielle
continuede degrén sur V> celle-cl definit une mesure de Radon
[H*Z 1, sur v , associée a l'orientation v
;
il
sera commode de la noter [s]g,; ou même [3] , si
aucune confusion n'est a craindre.
Onappell:
intdgrale
de0
sur la variété singulièreorientée HIV, si elle existe,
l'lntdgrale
de l'image
réciproque H* cn
sur la variété orientée V . On a doncla formule de définition
eL6 ;64i H$ = l ; * z = j y l ;
Naturellement cette intégrale existe toujours si l'imagereciproque par H du support de w est un compact de V .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 167/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 168/599
146
m 6;6d
; = H,.K~; = K* H: z ) ; ou K H: W) = Hz 3 .
Mais alors le thkorème 34 nous prouve que la mesure
F*
8
1 ;, est l'image directe de la mesureH,
PI ;
par K , et la formule (VI,6;54) nous dit bien que
J HT i?i =
/
HI 3 , donc/
3
= 3 , ce qui démontre
c
5
H, 7,
/
H*IC,
le thdorème.
Corollaire -
Soittl une application de classe C’ d'unevariété orien?Xëg ae dlmenslonn , dans un espace affine E définissant une variete singulière or-. Si l'image H(v)
est elle-même une varieté VO , de classe C', dedimensionn,
ae E , et siH est un Cl-
v sur v, . alorsTintégG sur la variédifférentielle 3 continue de degrd n E E ,que l'integrale de 3 sur l'image V, s
munie de l'orientation
vo '
transportée parH
*
Q
.
Ddmonstration -
La variete singulière HIV est en effetequivalente B la variété singulière 11 Vo, où 1 est l'appll-
cation Identique; ici on prend K=H , alors H = 1 K
1°/ L intégrale change de signe, si l'on remplace l'orientationde la variété singulière par l'orientation opposee, c'est-à-
dire v par v .
2'/ L'intégrale dépend lineairement de3 .
3 / Le theorème 32 est valable dans les conditions Suivantes.La variéte singulière H \ V (H étant une applicat::EdeV
dans E ) a une mesure des aires ?a -dimee;;onn;ll;s,
est euclidien; cette mesure dS 3 o(chapitre IV, theorème 107). Alors [ H” 3 ] F , mesure
sur V , est de basedS , égale à T
dS ,?;’ continue
sur V, avec la maJoration :
@,6 ;62)
II;i:G)\l 6 ~II~JW \i t
t E
” .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 169/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 170/599
14E
et du cercle, variété de classe C- et de dimension 1 définiepar les équations
3
=
0, x2 +y* =
1 . Il y a donc des "points
singuliers", le sommet du cône et les points du cercle, quiempêchentx d'être une variété. On peut dire quex estune "variété avec points singuliers, ou pseudo-variété", declasse C , de dimension 2.
Tentons dequ'une
donner une deflnitian gekrale. On ditpartie d'une variété de
classe
C'
est-7%.
dimensionnellement négligeable, si elle est la réunlon d'unnombre
fini,.
ou d uneinflnlte
dénombrable de sous-variétés(de classe C') de dimension -G n . Pour 7- L = 1, une partie l
dlmenslonneIIementnégllgeable est simplement un ensemble finiou dénombrable; pourri= 0, une partie 0-dimenslonnellementnégligeable est vide. L'intérêt des parties n-dimenslonnel-
lement
négligeables est que, si w' est une formedifférentlel-
le continue, dedegrés.
, son intégrale sur toute partie 7~ -
dimensionnellementnegllgeable
d'une variété V de classe C'et de dimensionn est nécessairement nulle (Corollaire 2 duthéorème 32). Soit alors
?
unevariéte
de classeCmet
dedimension quelconque. On dit qu'une partie V de v est unepseudo-variété ou une variété ê points slnguliers,de cEseCm
et de dlmenzionn s il existe une partieouverte relativement
6.
V , sous-variétéde
V,.,,
de classeC
qui est une de v ,et de dimension
n., et si le complémentaireV -‘LL de ou dans Vest
n
-dlmenslonnellement
négligeable .
Naturellement le choix de cet ouvert %dde V, est assezarbitraire, puisque,
SI l'on en achoisi
un, on peut enrholsir un plus petit en lui retranchant une sous-variété
fermée de dimension < n . 11 existe cependant un % quiest plus grand que tous les autres; l'ensemble des pointsde V au voisinage desquelsv est une véritable variété declasse C
et de dimension 71.. Cet ouvertU
s'appelle lapartie régulière de V ,
V-
21 est la partie singulière.
On dit qu'on a orienté la pseudo-variété V , si l'on en aorienté la sous-variété Q .
Dans le cas de la pseudo-variété c definie cl-dessus,
~=C,uC*
;
la partie singulièreC
-
Lu
estréunion d'une circonférence et d'un point.
NO U S pourrons, par exemple, orienterC
comme suit.
E n chaque point du disquec
le sous-espace vectorieltangent n'est autre que le solsle:paceR' défini par lesdeux premiers axes de coordonnées; nous prendrons commeorientation l'opposée de l'orientation canonique. En toutpoint de la surface conique .YJ2 , nous orienterons l'espacevectoriel tangent, en disant que deux vecteurs forment une
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 171/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 172/599
w i72
150
SI
2
par exemple, cette courbe est de longueur finie,et
w
borné sur cette courbe.
z.5
p;'e;;;tOrt A un référentiel arbitraire de E , la forme
3 = , A; (+ <x2,... ,z, , )d=<,
où les A; sont des fonctions sur62 à valeurs dans F .
*eXnsune VWiétésingullère orientée définie comme suit.
Soit [a,P]
un intervalle compact de la droite réelleW ,
P-a #O de signe quelconque,
soit t -M(t) un chemin sur il
cation M de classe C' de [a, p] dan; ~z ,'ho ~~i~~~n~ %~
[a,Al
le sens de parcours 0:
-13
cedonner l'orientation de R si a <'j
qui
revient à lui, et
l'orientation
opposéeSI
0:
> J . Alors [UT~ Jorienthe de dimension 1,
est une pseudo-variétde partie régulière
M 1
[aiipl
]a,fl[L et
est une pseudo-variéte parametrique r orlen
tée de dimension 1 , de longueur finie.Soientr.(t)
,$=l,Z,..
les coordonnt5es de M(t).
1
D'après lad&fl.nition.
on a :
@i6;73)
I 3=
M*G =
f
Jcfd
Z
I
; M t)).M’ tjdL
IdGiAr
Expliquons en détail ces formules. Nous avons à chercherla forme différentielle M*O
(2ème membre de la formule
précbdente).
Elle est définie par la formule(VI.3;30),
quidonne
(pI,6;7 ? (M*G)(t).1 = ; M t)) .M ’ (t ) ( 1 t w ) ,
o ù ; M t)) d(Ë;i:),M’or Ë
>de sorte qu'on obtient
bien aux 2 membres de (yI,6;7j,bis) des éléments de?
*
l Rappelons que, partos dans ce paragraphe, 2; est àvaleurs dans un Banach P .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 173/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 174/599
152
Cela rejoint bien le concept habituel d'intégralecurvi-
m, tel qu'il a été vu en Mathématiques Spéciales. Onretrouve le fait qu uns telle intégrale curviligne ne peutse calculer que sur "ne courbe orientée. c'est-a-dire munied'un sens de parcours. et q" un changement de l'orientationde la courbe change le signe de l'intégrale * .
Une intégrale curviligne peut se calculer sur un chemin declasse C' ; elle peut aussi se calculer sur un chemin declasse C' par morceaux (par exemple "ne ligne polygonaleorientde) Nous appellerons ainsi "ne application M ,contlnuede [m,fi] dans 0, , telle qu'on puisse trouver un nombre
fini de points t, = cI, t, , t, ,... ,t;, ti+ ,,.__ t,= fi, formant une
suite finie (croissante ou décroissante, selon que a < j
ou IX 7 fi ) de manière que M soit de classe C' dans chaque
intervalle [tir ti+,], i=O,l,Z,..., n-l . En chaque point t;,
M est donc continue, mais a "ne dérivée à gauche et "nedérivée à droite, non nécessairement égales. Alors
M
Cs fi]est encore "ne pseudo-variété singulière. suivant la défini-
tion de la page 148 ;
{t,,$,... , r, 1 dans
ici%+,est le complémentaire de
L~e83
. L'intégrale curviligne
I
z
sera alors, par définition :M(G31
(Y,6 35)i
0
=
3 f
MILac
g
~ l l t ; L+ , I
chaque terme étant "ne Intégrale sur "ne variété paramétriqu
orientée de classe C’ . Le calcul fait à la formule(~1,6;73),
pour chaque Intervalle [t;,ti+,], nous redonne les mêmes expre
sions (VI,6;74), qui conservent bien un sens, la fonction M1
étant définie partout sauf en un nombrefini
de points, doncdt -presque
partoutjet
réglée, doncdt
-intégrable
(
etmême intégrable-Riemann).
l / Définition - SoitMun chemin défini par "ne applicationcontinue du segment
[a.PI
deIFp
dans un ouvert.Q
d'unespace affine de dimension finie E . On suppose que ce chemi(non nécessairement de classe C' ! ) est de longueur finie,c'est-à-dire que la f'onctionM est 0 variation bornée (lère
partie, page 618). Soit d'autre partU "ne forme dlfférentlel
le de degré 1 continue sur Sz
On définit alors l'intégralede
3
sur le chemin Morlenté'(où
[a ,~31
à l'orientationdéfinie page 150 ) par la formule
* Cela revient, dans (VI,6;74). à changer [ en 1:.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 175/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 176/599
154
2 / MaJ orat l on - L'intégrale(vI,6;77)
admet,siË
est
nor mé, la maj orati on
variation totale de M sur [u,f iJ , c'est-a-dire la longueurdu chemin
M(
[a,fi] de l'espace métrique E . En effet,
d'apres le corollaire 2 du theorème 90 et sa demonstratlon,
on peut écrire n(t) = q(t)&(t), où do est la mesure deslongueurs relative au chemin. mesure 5 c sur
tu,81
,
et où9
a la-norme 1; le chemin a & -presque partout une
tangente, et q(t)
est le vecteur unitaire de la tangenteau pointM(t)
> orienteedans
le sens dest
croissants (donc
en sens Inverse du parcours du chemin, si a Y J?I).
Al ors, d'après la définition(IV.5;13),
on a :
@,6:~0)
I
; ZZ Z
P
M 1Ca21
k
w’(Mct)). q( t )
A(t) ;
comme l l W (M(t)).q(t)ll6/l~(M(t))
Puisque /Iq(b)l\ = 1 > on en
déduit bien(v1,6;79). Cette majoration est a rapprocher
de (VI,6;jl).
Si E est euclidien, on peut appelerCU3ad(t)
lescosinus directeurs de la tangente au point
M(t) ; on adonc
dzj(t)= (mag(t)) do(t ) . Al ors, sous la forme
(v1,6;78), on a la majoration :
qu'on
par
peut, d'après l'inegalité de Cauchy-Schwarz, majorer
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 177/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 178/599
156
L'intearale d'une forme dlff&entielle w deet continue sur un ouwrt,dLdun espacëafIXnesur un cheminM)[cB] de classe Cl de fi ,
s'exprime sous ;a forme (VI,6,74). On peut la génér~iser,
par les formules (~1,6:77 et78),
lorsque le chemin, nonnécessairement de classe C'
lntkgrale
est Indépendante dé
est de longueur finie. Cette
la paramétrisation du chemin2 chemins equivalents donnent la même Intégrale. Elleadmet les majorations (vI,6;7g. 81. 82).Elle est la limitede la somme de Riemann (~1,6;8j), lorsque la finesse dela décomposition a J$ [a,~31 tend vers o .
5'7 FORMULEDESTOKES
Nous allons d'abord Introduire la notion de variété
avec bord. Le prototype d'une tellevariéte
est une boulefermée d'un espace affine euclidien; son bord est lasphère correspondante.
On appelle variété avec bord, de classe C"et de dlmen-
sion
7L , une partieV d'une variété ? de classe C , et dedimenslonrr. , ferme;, Identique à l'adhérence
de
son
interleur, V = V , et dont la frontiere V = c soit
une hypersurface de V sous-variété de classe Cm et dedimension ?t -1. Cette f;ontlère C s'appelle alors lebord de V , et se note
aussiaV
. V est en particulier
une pseudo-variété de classeCm,de
dlmenslonn ,-mais
d'untype très spécial. La pseudo-variété de classe c , dedimension 2, définie à (v1,6;63 et 64) n'est pas unevarieté avec bord. Certaines des propriétés topologiquesrelatives au cas où V est une boule d'un espace euclidien,et&V la sphère correspondante, s'étendent au cas géneral.
SiE
est vide, alors V est tout simplement une variétéordinaire ou sans bord. Occupons nous donc du cas où x
n'est pas vide. Soncomplementalre
C x dans v
est
la reunion de deux ouverts disjoints, l'interleur \o deVet le complementaire CV , exterieur de V Aucun de cas'
deux ouverts ne peut être vide. Si en effet'Q
était vide.alors V = 5 serait nécessairement vide aussi. Si d'autre
part. C V était vide, alorsV
serait Identique à V , et
par suite sa frontière c serait vide.Il
en résulte que
cz 9
réunion de deux ouverts disjoints et non vides,
n'est sarement pas connexe. Il contient au moins deuxrégions.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 179/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 180/599
158
si alors il se trouve que C partage Ci en deux reglons,ces
deux
régions sontnecessairement
Y n
(P et CV n 0' .
Nous avons vu, autheorème
27, que tout point a de c possèdedes voisinages ouverts <2 r qui sont
precisément
partages
par2
en deuxregions, à chacune desquelles a est adherent; il en
resulte
donc que tout point a de2
estnecessalrement
adhérenà la fois à Y et à CV .
On aura besoin, pour la formule destoKes,d'ensembles
qui
sont seulement des varietés avec pseudo-bord.
On dira que V est unevariéte
avec pseudo-bord de, classeCm,
de dimension n,
si c'est une partie dune
variété V . declasse C", de dimension T- L , fermée dans V *identique à l'adhe-
rente
de soninterleur, et dont la frontière x soit une pseudo
variété de classe C", de dimensionn-1.
Si, par exemple, nous considérons dans w3 l'ensemble despoints (XI
y
, 3 >
qui vérifient les Inéquations
il constitue une variété avecpseudo-bord,de
classe C et dedimension 3, dont l'intérieur 9 est l'ensemble des pointsvérifiant les inéquations
@,7;7)
2'
+ $ < cl-$, 06
< 1,
et dont la frontièrex
est la pseudo-hypersurface définie à( v1, 6; 63 et 64). De même, si nous considérons, dans un plan,un polygone convexe, il constitue une variété avec pseudo-bord,de classe
C
et de dimension 2. aont
l'intérieur est la régioninterleure
du polygone, et dont la frontière, contour du polygoffit la réunion d'un nombre fini de segments de droite, c'est-à-
dire une pseudo-varieté de classe Cm et de dimension 1. Plusgéneraiement, un volume polyédral est une variete avec pseudo-bord.
Une varieté avec pseudo-bord est encore une pseudo-variétéd'un type particulier (la surface
z
définie par(v1,6;63
et 6n'est pas une
varieté
avec pseudo-bord; mais nous venons de voiqu'elle est pseudo-bord d'une varieté avec pseudo-bord).
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 181/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 182/599
160
de c est positive pour cette orientation, si, précédée d'unvecteur sortant ens par rapport à V
elle donne une basepositive pour l'orientation de 7 . On dcrira que la varié%
orientée3
estl,e
boràde
la variété orientée-avec bo_rd V ,et l'on écrira z = &V . Si l'on remplace V par V ,
<est-à,dlre parV munie de l'orientation opposée, on remplac
C par C. 11 est bon de remarquer que Ct est aussi unevariété avec bord, d'intérieur CV
, et de même bord Z .
Si l'on oriente CG par l'orientation de 7, l'orientation de
comme bord de Cij
est opposée a son orientation comme borddeV . Si, par exémple,V est une boule fermée
IIzII
< R d'u
-
espace affine euclidien, l'orientation de .E comme bord deV
est l'orientation canonique des sphères de l'espace euclidien
(page
); l'orientation de2
comme bord de I~~C/I 3
R
est
l'orlantation
opposée.
Sl malntecant
on considère unevariete
slngullère
avecoor
orientée H/V , définie par une application Ii de classe C' d'uvarieté orientée avec bord v ,An appells bord de cette variéslngullè~e
la restriction H ] 8V
=
HIx
de l'application Hau bord C de
g
.
Si 7 est seulement une variété avec pseudo-bord orientée,on peut, par la même méthode, orienter la partie régulière 9L
du pseudo-bord .X ; c'est cela même que nous appelé (page
orienterC
, donc Ici encore le pseudo-bord d'une variétéorl
téeavec pseudo-bord est une pseudo-variété orientée. Par exempsiV est un polyèdre, l'orientation de V définit une orientat
des faces du polyèdre. SI7
est l'ensemble défini par (VI,i';l
dansIR muni de l'orientation canonique de Itp' son pseudo-
bordest'la
pseudo-hypersurface
2 des formules[VI,6;63
et 6munie de l'orientation que nous avons définie à ce moment.
On peut faire de même pour une variété paramétrique avecpseudo-bord.
Une variété (sans bord) orientée s'appelle aussi un cycle .Par exemple une sphère orientée d'un espace euclidien est uncycle compact. Une application H d'un cycle est un cycleparamétrique ou singulier.
Ainsi
le bord d'une variété (resp.
variété singulière) avec bord est un cycle(resp.
cycle singu-lier). Un cycle de dimension 1, s'appelle aussi un circuit.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 183/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 184/599
si alorsV coupe l'image réciproque par -l du support
deij suivant un compact (ce i se roduira
toujourssIV
ynm~~a ; , el : ~$; o; ~; +
cumpact et H propre
@67; 4)
-
w =
i -w
H( v I &V
Ce théorème est dit théor??me élémentaire deStokes,
parcequeV
a un bord, AV est une vraie variété.
D6monstration -
1er
cas -
fi = ;
=
V=
En
[doncz
= 4 ),
H = i dent l t e;
3
est à support compact. Ons pposeE
muni de son orienta-tion canonique.
Supposons3
exprimée sous la forme habituelle(VI,j;41)
Il suffit évidemment de montrer que, pour "ne somme z
réduite à un seul te=, c'est-à-dire pour "ne forme
w = iIja dz, A dz, A . ..A dx .,A dza+ ,... dz, , la formule
(VI,T;J) est vraie. C'est ce que nous allons faire.n
#vec
V
= R muni de son orientation canonique, la fonctiond'orientation 8 de la page 88 vaut t 1. et
(-7;b)
i
dr,h dr,~... A dx, =i I
. . dz, ds, . . . dx, ,
R”
IF ”
intégrale multipl~habituelle.
Les intégrales écrites ontun sens, puisque w est continue à support compact.
n
Commez
estvide,l'lntGgrale
surx
est nulle, et laformule
6.
démontrer s'écrit :
* C'est le cas que nous rencontrerons le plus souvent.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 185/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 186/599
164
3c1
et dz , par o;
c'est donc la forme différentielle
0, (o x2 . . r, ) d r, A ds, . . A d3C-= .
Comme Z a l'orientation canonique de w “ , la fonction6d'orientation vaut encore + 1, et
TTJ;ll)
I
* . . dz, A dz, A . . . r, dz, =i i
. . . . . dz, dz, . . . d s, .5
PT’
La formule de Stokes s'hcrit donc :
(YI,7$2)
l
Gj
. . .=Ec
p
,...
z-c,) dn, dT/ . . d r, = o
pour j $ 1,
y 0
et
= . . .
1 i,
Z,(o, czî ,... , zn)dz2 . . . dz,n t
La première formule se d&montre comme celle du premiercas. D'aprhs Fublni (formule (IV,8;35)),on peut écrire :
. dz,,_, dz,, . . . dz, dxi ,
=d
et la dernière inthgrale est nulle.
Pour la deuxlhme formule, on emploie encore Fubini, cequi doMe. avec cette fols des bornes d'intégration diffé-rentes :
Mal s la dernière intdgrale vaut
(TI,W) g
I
1 (
=,,q,... q
dz, = [G
(E
y
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 187/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 188/599
Prolongeons
par0 dans Ce;
@;(aLJ )
, qui n'est définie que dans &; ,
; en fait, elle est alors nulle dans
CKi J
Ki étant le support de aL*qG . La forme,
ainsi prolongéesurIF? ,
est encore de classeC’
; car elle
l'est dans les 2 ouverts 0; ,CKh
, de réunion w .
si on
convient de continuer & appeler
qrPJ)
, la forme
prolongée, on peut, dans (VI,?;18 et lg), remplaceroi par 6.
L'orientation & prendrepourRnest
l'orientation canoni-que ou l'opposée (suivant le signe de la fonction d'orlenta-
tien
0s
supposeUCr;eiej+i
: signe constant, parce queCT;
est
De toute façon, c'est sans Importance, et on peut prendrel'orientation canonique deRn, car cela conserve ou changeles signes à la fois dans les 2 membres.
Mais alors 1'6galité des 2 lignes de v1.7;18) résultedu ler cas démontré, l'é
alita
des 2 lignes de(VI,7;lg)
du2ème cas. Ainsi (VI,?;17
7
, donc le jème cas, est démontré.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 189/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 190/599
168
NOUS
dirons quex-est
régulière pour laprOJectlOn
pi I
si tout point 9t der.
est5
-régulier pourx
,sa"fpe;;-
être les points&
d un ensemble exceptionnel $j de Fj ,mesure nulle pour la mesure de Lebesgue deF
, et dont lecylindre projetant
P-'$i coupe la partiejégullère
91 dec
suivant un ensemble d'aire(n-1)-dlmensionnelle
nulle .
Parmi les points de cettedernière
interSeCtiOn~figUrent
ceux du "contour apparent" de%,
c'est-a-dl? les pointsde %, où 1 hyperplan tangent est parallèle à
a.
(et tous lespoints d'intersection de %avec le cylindre
plaojetant
ducontour apparent); l'ensemble de ces points du contourapparent est donc en
partlculler
supposé avoir "nealre(n-1)
-dlmenslonnelle
nulle (Ce ne sera pas le cas, si,par
exem-ple, ,Y- est le pseudo-bord d un cube à arêtes paralleles
aux axes. Cependant, le théorème de Stokes est applicable àun cube 1 Mals un simple changement de référentiel rendraitle pseudo-bord du
cube5
- ré lier,
et c'est ce qui nous suffirapour tout
g
=
l,Q,..., n
;
.
Theorème 38 -
Soit:
"ne varieté avec oseudo-bord de classeC'
d "nevariété?
de classeC'
, dedlmenslonn
, orientée.
Suppos-o-que,
pour tout point a delapartie
slnnull~e
du pseudo-bordZ
, il existe unCl-dlfféomorphlsme
@a
d'une boule ouverte(p,
deR-
(oudeF
lui-même) sur un
voisinage ouvert &&(i4-,) deu
dans V , tel que@:Cc)
soit Pi -régulière dans Cs, , pour tout i = l,Z,...,n,et~
_.
de partie régulière %'i'(u) d'aire(n-1)
dimenslonnelle
finie.
Sol tH "ne application de classe C’ d'un voisinage ouvertdeV
dans?, dans "ne variétéfi
de classe C'-.
Soit w "ne forme différentielle dedegrén,l,de
classe C’
dansfi
a valeurs dans un espace deBanachr
. SI l'inter-section
deV
et de 1 imagereclproque
parest compacte, on a la formule de Stokes
Bien
entendu, cetheorème
contient comme cas particulierle précédent. On aurait pu le démontrer tout de suite. Nousavons préferé donner d'abord "ne demonstratlon élémentaire
du cas élémentaire. De la même manière que pour letheoreme
précédent,nous
donnerons "ne démonstration seulement dans lecas considérablement plus simple où
C'
est remplace partoutpar C2 .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 191/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 192/599
170
Appelons donc J (z,,...,=,) la dernière lnt6grale: elle
est(dz,
dz,) -lntégrable, et par suite la mesure
?(r,...~c_\ dz,...ds,
, surR -:est
de norme finie; appelons
cette mesure. Le premier membre de (VI.7;23) vaut donc
Ecrivons donc :
I,c, di
\
B/
-Considérons maintenant la forme différentielle w'
définit sur la partie réguliére % (orientée comme bordElle
de 2 une mesure [z] ,= [w
1%
deV )
. somme ; est continueet h support
compact,a
valeurs dans F , sa dorme est bornée;comme d autre part91 est supposée d'aire (n-l)-dimensionnelle
finie, le théorème32
nous dit que[w] est une mesure denorme finie, de base
dS
, elle-même mesure2
o de normefinie. Alors,
la projection
1
: (2,, x2,... ,z,)
- (x2 ,..., rn),
étant continue, l'image directeF
=
P [W] existe, et
elle est, elle aussl,une mesure de norme finie sur w"-'
(théorème 59 du chapitre IV, et son extension au cas des
mesures vectorielles, Cours de lère partie, page 545 * .
Ledeuxlkme
membre de (VI,7:'1) vauti
[G]
‘il
û'
* Contrairement à ce qui-est dit page 545, nous n’avons pas
besoin, ici,savons déj$ quze $plp~sees~ d~ b~~~d sio~ ~'dé~~i~~'b%e
par III 72, I/l
c t - .
P,
Par contre, nous ne savons pas si l'imagey[;]
de[;]
parest encore de base 2 o donc on ne peut pas lui appliqu
la théorie du prolongement dé Lebesgue (lère partie. page 531et nous devrons donc faire attention à ne pas l'appliquer.Mais Il est fortement recommandé au lecteur de ne pas s'appe-santir sur les
difficultes
provenant eventuellement de ladimension infinie ou même de la nature vectorielle de F
En utilisant d'autres méthodes (Intégrale faible, théorème deHahn-Banach), on ramène immédiatement le cas d'une forme w à
valeurs vectorielles au cas d une forme a valeurs scalaires :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 193/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 194/599
172
Pour achever
Considérons, en
ce calcul de; dans 6 , précisons 84 .
un point% de 2% ,les vecteurse; , ë',3...,h
de l'hyperplan tangentT(=;
c,& )
, dont les projections
sur 7 sont e* , z3 , , e, , vecteurs de la base de f.
[Comme 1 hyperplan tangent T(x; CA)
a l'équation
(formule (111,3;19 bis)):
7;29)
>FA
x, c -j=s bzci
c===* “’ r--
xj ,
et que yi est le vecteur de d-ième composante 1 et dont
toutes les autres compo;Ftes sont nulles, la première
composante de ë sera (z,,...,~c,) , et on a :a arj
(&7;30)
( , , , rn) é, + ei ]
Par définition,0%
est le signe de la base 2
*s..-,
et
h >r,
de T z; ,Y,& ) .
Par ailleurs, la basez:,;;,...,%; de Rn,a même slgne que
la base canonique??,,Z2,,..,e,,
,à
cause de(VI.7;10),
donc est positive. Donc 8~ est-aussi le signe dee,
pour
l'orientation transversale de c.&
associée a sonorientation tangentielle. Mals
3a
a'l'orientatlon de bord
deV
; donc
es,
est + 1 >
SI27 ,
est sortant de9
aux
points de CP,
,et -1 s'il est rentrant dans<
aux
points de CA ; la formule(~1.7~28)
est maintenant complè-tement explicitée.
Etudions maintenant3
dans a$ . Pour (z2,x3,...,x,)e @b,
la parallèleD =
D,%,,,,...,,, à 1 axe desr,
, passant
par ce point, coupe $ et V-v = CV suivant. des
ouverts. Les seuls points frontières possibles de ces ouverts
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 195/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 196/599
x; étant la lère coordonnée du point A’i(avec ~ ~~,x,x>...,~~,=o
SiX~=fco puisque 3, est à support compact).
En sommant pour les divers intervalles, on obtient exac-tement
e
1T,7;32)
5
z* , , cc- ) =
~=, ~3, (F~(~,,..v~J, =t <... , r_
)
où yp, vaut tl si D franchit Ck en passant de ?I à CV
lorsque 2, croft, c'est-à-dire si le vecteur ë, est sortantde $ en
A ,
et -1dans le cas contraire; on a donc
'7~ = 0% d'après ce que nous avons vu plus haut; et lacomparaison-des formules (VI,7;32) et (VI,7:28) montrebien que
r-=
3 dans @, .
D / - Alors,
pT7
d'après le théorème 13 du chapitte IV, la mesure
nulle dans tous les ouverts de P telsque aàest nulle'dans leur réunion. Mais cette ré&ion est l'en-semble ouvert C.9, =is, des points k de q
qui sont P,-
réguliers pour2 .
Donc , dans cet ouvert fi, , jY -3 est nulle.
Alors, dans @, , p est de base d~-,dr,...dr~o,puisqu'il
en est ainsi de T' . On peut lui applique? la théorie duprolongement de Lebesgue et l'intégrer sur e, . et l'ona, puisque p est l'image P, [Wlgi :
Mals alors ceci va nous permettre de d6montrer la formule
de Stokes. En effet, 9, = Ci', est suppos6 de mesurepuisque .Y est 9 -régulière;
, et,d'aprhs
(VI,7;24)
:
63 = d? = dW ,
‘@l
‘p-7
De même. p-'zJ n U
nulle,pulsque C est 7
base dS
/
y' n9L
in
v
est d'aire (n-l) - dlmensionnelle
-r&gullère,et comme [w], est de
Y
cj >
de sorte que
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 197/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 198/599
théorème ( pour chaque point s ingu l i e r deC ,i l suff i t de prendre un référentiel dont lesaxes ne soient pas parallèles aux tangentesen ce point) .
d ’unouvertfi
d ’un espace af f ine E de dimension f inie,orlen-
té suivant le sens de parcoursn
,et
Test unefonction de classe cl 0 , à valeurs dans un espace deBanach F , on a la formule de Stokes.
iTT,7;36)
d7 = ?(M(b)) - ~(M(N>) . *
Ic:i”~~ var iété V est 1 interval le [a, fi] c lFC muni de
l ’orientation correspondant au sens de parcours Q fi, H
e s t l ’ a p p l i c a t i o n M d e [a fiJ dansfi .
Nous voyons que l ’orientation transversale du bord {a,b)
s ’obtient en considérant comme posit i fs en d les vecteursd e s e n s fi+ a , e t p o s i t i f s
enp
, l e s v e c t e u r s d e s e n s
M+
13
L’or ientat ion tangent ie l le assoclee, d ’aprèsqui a étZ vu page , consiste à affecter le point
E”
dusigne
+ ,,,et
l e p o i n td
du signe-.La
variétéslngulière~b o r d d e Ml[ti,p],est d o n c Mjj(d,-),(j,+)} . L’integrale de{
sur cette variété s ingulière n’est alors autre! d ’après ladéf ini t ion (VI,6;20),que le second membre de 1 égal i té v1,7;36).
Démonstration - Cette formule (v1,7;36) n ’est pas un caspart icul ier de la formule
genérale
de Stokes. car. dans cecas
?z
= 1 i l s ’ag i t ( théorème 36) de l’intkgrale d ’uneforme
diffdrentlelle
sur un chemin qui n’est pas nécessaire-ment de classe
C’ ni
même de classeC’
par morceaux, mais
seulement de longueur finie.
*
En somme, la formule de Stokes est une généralisation
de la formule bien classiquef’
pi
da
y p -
j )
,corres-
pondanta
E =R, M =
I d e n t i t é .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 199/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 200/599
178
On aura alors :
Cela montre que la différence entre les deux membresde
(v1,7;36)
estc
&
.Comme
E
est arbitraire, ces deuxmembres sont bien égaux, et le théorème est démontré.
SoitV
unevarieté
compacte avec pseudo-bordde:
=d.
Alors9
est un ouvert borné deR*.
Nous supposerons quele bord est une courbe
x
, de classe C' par morceaux
(exemple 2'
page 175),V sera par exemple muni del'orlenta-
tlon
canonique de ï??' , et c de l'orientation canoniquede pseudo-bord de '4 . On pourra prendre
les
deux exemplesdéfinis sur la figure;
sous
avons hachuré V ,$,t
indiquéle sens de parcours de
x
comme pseudo-bord de V .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 201/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 202/599
180180
La formule (VI,7;41) reste valable,La formule (VI,7;41) reste valable, mais la fonctionmais la fonctiond'orientation 8d'orientation 8 vaut+ 1 dans
4,
etvaut + 1 dans f,f, et - 1 dans 6, , de sorte 1 dans 6, , de sorte
que
ds
A$ vautvaut
5,
III
t
. . . drdy , et. . . drdy , etIl
o.*.drh$.*.drh$
1,
22
vaut - , et la formule de Riemann s'écrit :, et la formule de Riemann s'écrit :
l'/ Travail d'un charnu de vecteurs le long d'une courbe orientéed un
espace
affine euclidien.
soit2
: 3c -X(4
, un champ de vecteurs continu
sur un ouvert a d un espace affine euclidien E de dimension
finie. Soit? une courbe orientéedefi
, de classe C' par
morceaux. On appelle E(r) en un point z de r , le vecteu
unitaire de la tangente, poLitif pour l'orientation?
. _
On appelle travail ou circulation4
du champ'x
le longl'intégrale :
pL7;44)
où d6 est la mesure des longueurs surr
, mesure3
0 .
Souvent on designe par&
la mesure~da
, mesure sur
A valeursdansË
. alors, d'après (Iv,5;lj),
(vI.7;44)
s'éarit :
de.f
r
C'est l'application de (IV,5;lj) A la fonctionz,
continue
surr A valeurs dans É , A la mesure & (de base do 3
o )
surr A valeursdansE
et A la forme billn6aire Bscalaire euclidien sur É
x
E
produi. SI E est muni d'un réfirentiel
orthonormd, et si nous appelons C.&aj , j = 1,2 . . . N , les
cosinus directeurs de la demi-tangente positive àr
etXc
lcomposantes du champ, on a :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 203/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 204/599
182
On peut étendre les résultats précédents, en remplaçantr
par un chen.h crienté M1[=2]
, de longueur finie, comme
au thborème 36. On peut alors appliquer ce théorème directemeen définissant 6 par (VI,7;48). Si on appelle dM la mesur
dontM est l'intégrale Indéfinie, mesureà
valeurs dans?
, o
aura, d'après les résultats duthéor&me
36 :
La formule de Stokes s écrit alors,
(nrJ;Pj
(2 b’)
= U(“W- U(W)) = (M(P))
-
j(M(d)) ,
d'après (VI,7;36).
2'/ Flux d'un champ de vecteurs à travers une hypersurface transversalement orientee dans un espace affine euclidien de dimenfinie.
Consld6rons
toujours le même champ de vecteurs X et soitmaintenantxune
hypersurface avec bord de classeC',compacte
dansa
, et munie d une orientation transversale.
En chaque point 3 de cpositif de la normale
,,appelons v(z)levecteur unitaireenr ax .
On définit alors le flux du champx à travers c par laformule :
* On intègre en t sur [cx,fi] , donc veut dire
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 205/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 206/599
184
C'est la formule d'ostrogradsky . Par rapport à un reré-rentiel orthonormal, on aura :
I
;j; dS
=
il 1
. . . ( ?)dz
(0,733)
t
=
l l(
. . . , X, ma. dS -~ a=’ a
,) - \ j-[( z d=, . ..A=., .
Ici; est la "normale extérieure", sortant de V cetteformule d'ostrogradsky ne dépend pas de l'orientatl~n de E ,car celle-cl est intervenue 2 fois : une fois pour passer
de?àti une fois pour repasser de w a 2 Naturellementla formulé de Riemann (VI,7;42) est un cas p&iculier de celd Ostrogradsky, correspondant à N = 2, mais avec des notatinn
différentes, puisqu'elles ne sont autres toutes les deux quela formule de atokes pour une variété avec pseudo-bord V d'uespace affine V
=
E de dimension N .
3 / Formule originelle de Stokes pour une surface bordee par unecourbe dans un espace euclidien oriente a 3 dimensions.
SoitC une variété avec pseudo-bord d'une surface2 declasse C' d'un espace affine euclidien orienté E dedimension 3. Soit r son pseudo-bord, courbe*de classe C' parmorceaux. Supposons E euclidien orienté et .Z orient&(doncaussi transversalement orlentee). Soit? un champ de vecteursde classe C' sur E .
Appelons w la forme de degré 1 associée à x' par la struc-ture euclidienne de E ; à do est associée, puisque E esteuclidien et orienté de dimension 3. le champ de vecteurs
zx
on dédui t
(3 , page 71). Des formules ( VI , 7; 48). ( VI . 7; 51
bi s),
le travail de? le long der est le flux de bat ?
à traver
x. SI on prend un reférentiel orthonormal p_ositlf, et si onappelle X , Y , 2 , les composantes du champ x , et &Ci, Un,
CWY f
les cosinus directeurs de la normale positive àx,
on aura :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 207/599
C'est cette formule qui a et6 démontrée par Stokes, eta donné son nom à la formule générale de Stokes (VI,7;3).
Nous résumerons les résultats de l“, 2 , 3”, comme suit,
sans preciser les conditions d'application :
1 ) La variation d'une fonction d'un point a un autre, dans
un espace affine euclidien, est egale au travail de sond~~xi~~e (formule (VI,?;4
g dl t le long d'un arc
2O) Le flux d'un champ de vecteurs a travers une surface c
bordant un volume V traversee dans le sens sortant deV,
dans un espace affiné euclidien,est BRal a l'integrale dela divergence du champ dans V .
3’ ’ ) Le travail d’un champ de vecteurs le long du bord (orienté) r
d'une surface orientée2
d'un espace affine euclidien
orienté de dimension 3, est égal au flux du rotationnel duchampà
traversx , munie de l’orientationtraMVerSale asso-
ciée a son orientation tangentielle.
On peut repéter ici ce que nous avons dit a la remarque3”) de la page 60 : l'usage systématique des formes diffé-rentielles et de la formule de Stokes est préférable à
cette multipllcite de formulessur les champs.
Voici quelques autres formules, où les notations secomprennent d’elles-mêmes, en fonction de ce qui a btd ditantérieurement . E est un espace affine euclidien orient6 de .
dimension N :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 208/599
186
Les démonstrations sont évidentes, en prenant un réfé-
.rentiel orthonormal orienté. Prenons, par exemple, ladeuxième. Elle s'écrit, pour la lère composante :
dT/ d-y dl z - YCMY - Z cm)3
dS ;
c'est un cas particulier de la formule d'ostrogradsky, oùl'on a remplacéX,Y,Z , par 0,Z ,- Y.
Voici enfin les formules de Green, d'un usage constanten mécanique et en physique :
Theorème 40 - SoitV une variété avec pseudo-bord de classe C',
de dlmensEN>d'un ouvert v,fi d'un espace affine eucli-
dien E de dimension Ndelasse C*
. m U,W,
des fonctions réelles,dans 2 . En appelantx le pseudo-bord de V
et J(Z) le vecteur unitaire normalà x sortant de V
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 209/599
187
Dans ces formules, A est le laplacien, et & est
la dérivée suivant le vecteur 7 (notée DT; à la formule(111,3?+&
D*?monstration
-
Démontrons d'abord la formule(VI,7;59).
Il
suffit pour cela d'appliquer la formule d'ostrogradsky
VI,7:52),
relativement au champ de vecteurs défini paru
CpldG.
On a en effet immédiatement (formule (III, 3;Z l)) :
et d'autre part, comme on le voit en prenant un référentielorthonormal :
= (jz&lJ&aW) + u nw I
donc Ostrogradsky donne bien le résultat.
La formule d'ostrogradsky suppose le champ U $dW declasse C' ce qui aura lieu si U est de clwse C'de classe C; .
et W
En appliquant (VI,7;59) à U= 1, on trouve immédiatement
la formule(~1,7;58).
Si maintenant on l'applique à W =U
, on trouve la formu-le (v1,7;60), S~U est de classe C* .
Par ailleurs si on applique la formule (VI,7;59) en
intervertissant les rôles de U et de W , et si on soustrait,de la formule InitIale, la nouvelle, on obtient (v1,7;61)
si U et W sont de classe C* .
On applique souvent les formules qui précèdent dans lecas de fonctions
a
valeurs complexes, comme il est dit àla remarque page 71.Alors,habituellement W par 3 .
dans (VI,7;59), on remplaceSi on remplace W par ü (au
lieu de U ) dans (VI,7;59), on obtient une égalité analogueà (VI,7;60), mais où 11 +Zi. u Il”
est remplacé par
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 210/599
188
On déduit de ces formules un très grand nombre deconséauences dans la théorie des &uations aux dérivéespartiêlles. Par exemple, on en
dédÜit
le théorème suivant,que nous reverrons ultérieurement, pour des fonctions har-moniques, et qui peut s'énoncer comme suit : Si U est unefonction de classe C' dans E , harmonique, c'est-&-direv&iflant l'équation de Laplace AU = o , et si elle est
nulle sur le bordC
de V
, alors elle est Identiquementnulle dans V .
Il suffit en effet d'appliquer la formule (VIJ;6O), oùU est remplacé par ü . L intdgrale de surface disparait,puisque U est supposée nulle sur C .
Le terme contenant AU disparait puisque U est Suppos&e
harmonique, et il reste finalement II..],(p U]FÜ )dr
Comme la fonction qu'on intègre est * 0 , Il résultedu théorème 26 du chapitre IV, que son intégrale ne peut&tre
nulle sans qu'elle soit presqueP
artout
nulle (pres-que partout pour la mesure de Lebesgue
;
comme elle estcontinue, cela ne peut se produire que si elle est
ldentiaue-
ment
nulle, ce quidbmontre
notre affirmation.
SS
APPLICATIONDELATHEORIEDESFORMESDIFFERENTIELLESALATOPOLOGIEALGfiBRIQUE
Intégrales des formesdifferentielles
fermées sur lesvarihtés
Orient&es compactes sans bord.
Rappelons qu'on appellecocycle,sur
un ouvertfi
d'unzspaceaffine E de dimension finie N une forme
diffhrentielle
W l ,de classe C', fermée, c'est-AidIre telle que do = 3 . On
dit
qu'une formedlff4rentielle
continue 0 de_degré
cobord, s'il existe une forme dlff-irentlelle m
, de test un
de classe C'
telle que 05 = d/m
. Ilr6sulte
deegré+-4,
la rela-
tiond
0
d 2
0
qu'un cobord, si c'est encore une forme dif-
férentielle de classeG',
est nécessairement un cocycle ** ;
le thhorème 19 de Poincaré Indique que, si l'ouvertfi
vérifiecertaines conditions topologiques très particulières. alors,rBclproqutment,
un cocycle est un cobord.
lComme
toujours, Il s'agit de for esdlff4rentlelles
àvaleurs dans un espace de Banach
i+.
l * IclZest suppost5e seulement continue; elle a beau êtreun cobord. SI elle n'est pas dérivable,
cela n'a pas de sensde voir SI elle est un cocycle
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 211/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 212/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 213/599
que c'est un cocycle de classe Cw dans R2-0
. Considérons
d'autre part le cercle trigonométrique muni de son orien-tation canonique; c'est un Cg-cycle de
R
-
0 . Or 1 in-tégrale de ce cocycle sur ce cycle est + 2~-f+ 0 . Cecid'ailleurs, compte tenu du théorème que nous venons dedémontrer, nous montre à nouveau que la forme
dlfférentiel-
le considérée n'est pas un cobord; elle nous montre enmême temps, au moins pour ladlmenslonN
=2,
ce que nousavons affirmé plus haut, à savoir que, dans l'ouvert complé-mentaire de l'origine dans un espace euclidien de dimension
N
le cycle défini par une sphère orientée n'est pas unC'lbord.
La démonstration donnée au corollaire2 athéorème 58
sera
une extension de celle-ci à N quelconque. Ce résultat esttypique de ceux que nous étudierons dans ce paragraphe :le fait que l'intégrale d'un certain cocycle sur un certaincycle n'est pas nulle, prouve à la fois que le cocyclen'est pas un cobord et que le cycle n est pas un bord.
3 ) Si; est un cobord, son intégralesur,une
variété singulière, orientie, avec bord, c$mpacte,H 1
V ,
ne dépend que du bord H 1
&V etdon de HIV
elle-même.
En effet, puisqu'on az
=
d
d , la formule de Stokes
donne
:
Bien noter que cette propriété est vraiesio
est
uncobord, et ne l'est pas nécessairement si
5
est seulementun cocycle. Le cas particulier où le bord de V est vidz
nous dit d'ailleurs que, dans ce cas, l'intégrale de W
est nulle; or nous avons précisément vu que c'est vrai si3
est un cobord, mais pas nécessairement si elle estseulement un cocycle.
4") On n'a naturellement aucun résultat rela-tif aux
CO-cycles
ou CO-bords, l'intégrale n'ayant d'ailleursalors aucun sens. Rappelons aussi que nous n'avons donnéla démonstration du théorème de Stokes que pour les variétésde classe Cz ,et l'avons admis pour la classe C’ .
Nous allons maintenant nous attacher à étudier certainesréciproques des théorèmes précédents. D'abord voici uneréciproque de la lère partie du théorème 41 :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 214/599
192
Théorkme 42 - Soit z une forme dlffkrentielle de degr6
classe C'
-'un ouvert fi d'un espace affine de*N;
si
l'lnt&rale de rsur tous les Cm
-bords dealors~teUniC~c~~l~.,contenus dans fi , est nulle,
Démonstration - On a en effet, pour toute variété avecbord v , de classe C . orientée, compacte, de dimension
P
t1
, contenue dans . J , jYdO=je7 w = 0 . Notre
affirmation r&sulte aLors immédiatement du théorème suivant(appliqué à m = dw,n= + + 1 ) qui montre qu'une forme
dlffbrentielle continue est entièrement déterminée par laconnaissance de ses Intégrales sur les variétés avec bord,orientées. compactes, de classe C :
Dktermination d'une forme différentielle continue par ses lnté-
grales sur lesvarletes
avec bord orientees compactes.
Soitfi un ouvert d'un espace affineE de dimension= &;
nr
Soit &Une forme différentielle continue sur fin,
g
si, pour toute-avectborientée,compacte, de dimension n, de classe Cy
l'intkgrale
IYFi?
est nulle, alors ÜF est nulle.
Démonstration - Soient X, , x2 . . . ..z=.n vecteurs de Ë
et aun point defi . Nous allons montrer queü?(a).(~,,~~.~
Soit F ie sous-espace affine de E ,engendr6
para et-les X;.
On peut le supposer de dimension m , sans quoi les X,
seraient dépendants, et lex6syltat serait 6vident. Prenosdans F le réfhrentiel &, X,.X,,..., X, . La forme W
d6finit SUIF uns forme diff6rentielle de degr6 71 . , qui
alors s'krlt
.j Ai, A da2A...Admm. On a
+ En mettant C--bords,
nous prenons une hypothèsefaible qu'en mettant C’ -H-bords; nous arrivons cependantla bonne conclusion,donc notre énoncd
verra, dans la remarque qui suit lefaire des hypothèses encore plus faibles.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 215/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 216/599
194
Voici maintenant une réciproque de la 2ème partie duthéorème 41 :
Théorkme 44 - Si une forme différentielle 0, de classe c'
d'unouverta
d un espace affine, a une intégralenullé
sur tou s les cycles l contepus dans & alors
>L
elle est un cobord. Si en outregest de classe CT 1x31,on peut en trouver une primitive exterieure
qui soit ausside classe C?
Le théorème de De Rham est un des résultats les plusprofonds de la topologie algébrique; Il est à la sourcede tous les développements modernes de cette partie desmathématiques. Sa démonstration est très délicate, Il
n'est pas question de la donner ici. De toute façon, nous
ne nous en servirons pas dans la suite. Bornons nous à
montrerqu
Il
explique d'une manière nouvelle le théorème19 de Poincaré.
sisest
une formedifferentielle
de classeC’ de l'ouvert0 de degrk 9
3
1 fermée, alors ilrésulte du theorème'41 que son IntAgrale sur tous les Cw
bords est nulle; mais cela n
entraîne pas nécessairementqu'elle soit un cobord, Il faudrait pour cela pouvoiraffirmer plus, à savoir que son IntGgrale sur tous les C
-cycles est nulle. SI alors Il se trouve que, dans l'ouvert
.fl #
tous lesC -cycles de dimension + 34 sont aussi
des Cca
-bords, alors cette propriété sera vérifiée , etW
sera bien un cobord; de sorte que, dans ce cas là, dans
l'ouvertJI tous les
cocycles
de degré>
0aussi des
cobords,
serontet le théorème dePolncark
seravrai
dans Q . Nous verrons plus loin que cette propriét.6 desF-cycles. d'être tous des C--bords, est précisément,
6.
une petite modification près (voir corollaire 5 duthéorème 54
),réallsée
pour les ouverts fi vérifiant les
conditions très restrictives de l'énonc6 du thborème 19
*I) ; mais Il en existe bien d'autres où elle est aussivraie. La propriété pour un
ouvert0
d'un espace affine(ou une variété fi de classe Cz ),que tout cocycle dedegré > 0 defi soit un cobord, est évidemment ConserVée
parC2
-dlfféomorphlsme
(un telCz
-dlfféomorphisme
+t
Voir note *
page
192
+* Le théorème de Poincaré est donc un cas particulierdu théorème de De Rham. Mais la démonstration du theorème
de De Rham, que nous ne donnons pas ici, utilise le th6oreme
de Poincaré,qui
est donc un intermédiaire inévitable.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 217/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 218/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 219/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 220/599
morceaux, du cercle trigonométrique orienté dansa l .Il résulte alors de 1°) que l'intégrale de w sur lapseudo-varieté
singulière ainsi constituée est nulle, cequi montre bien que-les deux Intégrales (VI,Fl;g), corres-pondant à ces deux chemins, sont égales.
>ème
étape - Il nous reste tr montrer que larepond bien à la question. fonction
Choisissons un référentiel dans E . Alors 0 admet 1:
représentation (v1.6:72)
7
:;=A~ d,.
1,=1
1 .Si nous montrons que $ est pai-tiellement dérivable et
que l'on a :
xI,8;12)
sont supposées continues, sera de classeC'
15 du chapcitre III, et on aura
donc les A'
sera en outre de classe Cm+'
t
sont de classe cm,
, et le théorème
de la succession d'un chemin fixejoignant
& 6 w0 ;et duchemin rectiligne Czo,r]. On a donc
* On voit pourquoi nous &kns d'abord dQ passer des appli-cations C"
aux applications C-par morceaux : d'une part
une ligne polygonale est C-par morceaux, d'autre part nousobtenons ici une application du cercle trigonomktrlque dansaqui est seulement C-par morceaux. Naturellement une foisle
thkorème
démontré, nous saurons que W = iQj?-jëT-
trera quel'lnt6gralede z sur H ) rl'application du théorème 39 et-de la formule (VI;;;:z),nous
est nulle dès a
0,2n]est de longueur finie; et on peut aussipar l'intégrale (VI.8;9). sur tout chemin
finie joignant a à 15 ,.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 221/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 222/599
20û
soit, en tout point k ) un multiple entier de 2~ , etd&n
un polntM,particulier, 4 (M,)
soit l'un des arguments
0
*
Si alors l.) est une fonction-argument continuedansa,
ce multiple entier de 2~ est continu pour M dans un voisinagde A,donc constant; donc cp est aussi Cm au voisinage de Aet y
admet&)
comme différentielle; ceci étantvrai
pour toutAde&,
Cp estC dansa
et de cobord 0 ; 0 est bienun cobord
dansa
.
2 / Pour que W soit un cobord dans&, Il
est bien nécessaire (d'après le
J
théoreme 41) et suffisant(d'après le
theorème
45) queHI?
w
=
0 , pour toute
application H de classe Cw du cercle trigonométrique dansfi,
3 / Il reste donc à montrer que, si W est
un coborddansa
W=dQ-argument dansa. ~CI encore on , il existe desfonctions-
Il n'y a aucuneut supposer sz connexe.
Mais appelons %raison pour que
%
soit une fonction-argument.l'ensemble des points M de fi pour lesquels
TF(M)
est l'un des arguments de M Nous allbns montrerque% est a la fois ouvert et fermé dansfi.
Alors Il seraou vide ou Identique afin, supposé connexe. Si donc onmodifie
q
d'une constante, de manière qu'en un point parti-culier de
fin..
elle ait pour valeur 1 un des arguments dece point, cela deviendra vrai pour tout point de .fL ; ce quimontrera bien qu'il existe dansa des fonctions argumentcontinues. Il y en aura alors une infinité; la fixation
d'unetelle
fonction en un point defila fiyera
hlw dansfitout entier; la différence entre deux d'entre slles sera uneconstante, et, en chaque point de fi , un multiple entierde2Tr, donc elle sera un multiple entier constant de 271 .Ainsi le théorème sera démontré dès que nous aurons prouvéque
%
est ouvert et fermé dans.fl
.
soit AE J-L
de A dansa, tel que;AppelonsC19/un voisinage ouvert connexpour M dans u,I @ (A
;M)
1
<ry
. Alor
dans v', les fonctionsIF,
et M - - +Q( A) +4, ( A; M) sont deu
primitives deW,
égales en A ; commevest
connexe, ellescoIncident
dansvtout
entier.
Prlors, d'après ce que nous avons dit a propos de(VI,8;l5)
lp est une fonction-argument dans 27, si,culier de v,
en un point parti-elle a pour..valeur l'un des arguments de ce.
point. Autrement dit,Brest tout entier dans% .
si'u contient au moins-un point de 3,
Alors :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 223/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 224/599
202
2
et VQ,c'est-a-dire n'importe quel ensemble r6union de deuxparties dIs.jointes, v,’ ,
vl,
mises en correspondancebi-
univoque respectivement avec V, et V, . On remplace alorsY, et
V, par V, '
etVl , en transportant sur celles-ci les
structures de variétés diff&entlables, et les applicationsH, et H
i, grâce aux correspondances biunivoques; on procé-
dera ensuite de la mêmemaniére
que précédemment avecv-
v, ' u v' . Le cvcle somme n'est oas unloue.puisqu'ii dépeRd du choix de V ; toutefois il est toujoursdéfini à une équivalence près, en ce sens que deux cyclesdéfinis de cette manière sont toujours Equivalents, au sensdes variétés singulières orientées equivalentes (voir page145). On peut donc, dans tous les cas, définir la somme dedeux cycles comme un cycle, défini seulement à une équiva-lence près. Si d ailleurs on remplace les deux cycles donnéspar deux cycles équivalents, tout cycle égal à leur sommeest remplacé par un Bquivalent. Au fond, ce que nous avonsdefini, ce n'est pas la somme de deux cycles, mais la sommede deux classes de cycles,
qui
est elle-même une classe decycles; une classe de cycles étant une classe d'dquivalence,
pour la relation d'équivalence entre les variétés singulièreorientees.
~ Qandon écrira une relation du type?= T + ?h
r,r:,r, 9
4 où
seront des cycles, onentend;fa
parl&-que
r
,
a
une équivalence près, est la somme de r, et de r, Onpeut évidemment definir de même la somme d'un nombre'fini
quelconque de cycles; on peut donc aussi definir un multipleentier d'un cycle,=?, oùn. est un entier. > 1
étant lasomme-de
TX cyclesEquivalents
à l-' .Plkcg%rale-ment,
SI c r a-T
sont tous des cycles de mêmedimension,.o~ $o&a parler dé la comblnalson+,F + p,x
+...+ fie
re
,où les.,41 sont des entiers 21 . On pourramême convenir de prendre éventuellement des entiers nulsa
condition deconsiderer
que le cycleOF
est le cycle+?
ou cycle vide. En définissant toujours les cyclesà-une
equlvalence
près, l'addition des cycles est associative etcommutative.
On va définir l'homologie des cycles, en Introduisantune nouvelle relation d'équivalence, dans laquelle on né-gligera les&ycles
dégéneres
et les bords. Ondit
qu'unCn
-cycle H 1V , de dimensionn , d'un ouvert fi d'un espaceaffine E , est degénéré, s'il est vide, dans le cas de ladimension TL= 0 , et si,
dans le cas de dimenslonsn 3 1,l'image de V par H est un ensemble fini * .
l On ne verra l'intérêt d ces cycles dégénérés qu'aucorollaire 2 du
theorème 9.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 225/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 226/599
204
de{01
x &V et de11
1 x eV . Tout ceci se voit
géométriquement sur la figureun disque fermé hachuré. Alorslatérale du cylindre” , { 0 } x V
et se démontre immédiatement.
On orientera [oI;] x7
de la façon suivante : enchaque point (b,
),
l ’espacevectoriel tangent est sommedirecte de la droite réellep,
espace vectorielà
[0,-l]
ent
tangentet de l ’espace
v e c t o r i e ltanient
a
V e nr
.
On considérera comme positiveune base de cet espace tangent,
a u p o i n t ( t,zc)
d e [O,l] X V , s i
e l l e e s t f o r m é e d elasuccession
d’unvecteur-positif,&?,
et d’une base positive è; , zz,. , , ,<%
dew
deTC=-;VI
. De la
m&e
manière on définira l ’orientation de[O,I]
Y G ,
IV
e s t e l l e a u s s i orient62
puisque
Q u a n t a u x variétés{O\ Y V
leurs orientations de façondeV
.
, on définirad e oelle
Demontrons
alors ce qui est Indiqué dans le lemme pourles orientations.
Soit
(t,r)
un-point
d e ] 0,1
[ xkV
2
s o i t ë*
un vecteurtangent enr
à
V , sortant de9
. SoitI’
L,“., W-I’
une
base positive de 7 (se
;
m) .
e’
A1g-s ,q,ë, ,..., TX-, ,
est une base positive de 7 (a= ;
V ) . Donc 5 ,e
est une base positive de y( ( t ,r); ? x 7)
*.<,<9 . ..> em
; par suite
,ê,,è,,..., ê+ ,
sortant de ]O,l Lx
y
est une base négative. Comme ê* est
, au point (t,x) , cela veut direque la base
ë
ë ëz
,.
, ,,enq,
tlon-bord,
daAg
’ ‘7
((t
,= )
;
est négative pour l’orienta-
]
o,,
[ x&V
) , alors qu’el le
e s t p o s i t i v e p o u r l ’ o r i e n t a t i o n ]Q [x
fl . Celamontre b2n que, comme partie régullere du pseudo-bord de
[G] x V ,] O,I
[ x kV d o i t a v o i r l’orientation]O>i [ x E.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 227/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 228/599
206
Le second membre est la somme de deux cycles homologuesà 0 , donc il est nomologue à 0 , donc aussi le premier. Ona donc :
(pL,8 23)
?+(?+Y,
+ bord + cycle dégénéré
=
bord + cycle dégénéré.
Comme le théorèze nous indique que: + y est un bord,
on voit bien que r est homologue à 0 .
Homologie des cycles.
Théorème48
- La relation binaire entre Cmcycles defi :
C' r-homoloKue à 0 dans fi , est une rela-
tiond'&uivalence.
ComDatlble
avec l'addition des cycles,et leur multiplication par des entiers> 0.
52
est Cm-homologue à 0, on dira que F
sont Cm-homolop;ues dans fi . Une classe d'éauivalence,
form&e de tous les Cm-cycles Cm-homologues à l'un d'entre
eux, s'appelle une classe de Cm-homologle dans a .
Démonscratlon -
1') La relation est réflexlve 2. r
est un bord(thborème
47). doncCm-homologue
à 0 .
2')
La relation est symétri que : si r:+ r,
est h?moggue,à 0 , il en est de même du cycle d'orientationwposee r + r .
3 ) La relation est transtlve. Soient
F,C,$ 9
trois cycles, et supposons que T+Tz - -et r , +r ,
soient homologues à 0 . Il en est alors de même de leur somme$ap,r$s l~~soc+tlvlté de la somme, cette somme.peut sd&?;:;;
Laparenthese
est homologue a 0lé+thioke 4;.'Il'résulte alors de son corollaire q& '-r'+T
est homologue à 0 et ceci demontre la transitivité. 1; s'agdonc bien d'une relation d'équivalence. L'homologie est trlvia
lement compatible avec l'addition des,cycles et leur multi
cation par des entiers 2 0 : si5
est homologue B
-l,z,..., , , et si les +, sont des entiers &IJ
est homologue B c +,
t homologue B 0 d'après le ~h.oiè i 46'.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 229/599
207
cles
C4-homolo-
Démonstration - Rappelons d'abord (théorème 35) que lesIntégrales de
z
sur 2 cyclesdquivalents_csont
égales. On endéduit immédiatement que l'intégrale
deW,sur
une somme de2 cycles, est la somme de ses
integrales
sur ces 2 cycles.
Supposonsque-7
Cl-bords, etA'
-soit
homologue à 0 , et soient A,,B
des,B',des cycles dégén&és, tels que 1 on ait
la relation(vI,8;ig). On a alors :
Il résulte dutheorème
41 que les Intégrales du cocyclew
surr et?? sont nulles* d'autre part, ses intégrales sur 'A $
et B) sont nulles d'aprés la remarque 3'1, page 146-147;
ilalors que son Intégrale sur r
estet T, sont deux cycles
C'-homologues,
Cl homoiogue z 0 , et l'on a par conséquent
donc
SI maintenant nous considérons, dans l'ensemble des cocycles
ou formes différentielles fermées declanse>'
, dansatà
valeurs dans r , la relation binaire : W,
-
0%
est un
cobord", c'est encore évidemment une relation d'équivalence.(Contrairement à ce qui vient de se passer pour l'homologie,c'est Ici tout-à-fait évident)
2 formes de la même classe seront dites cohomologues (uneforme cohomologue à 0 est simplement une forme de classe C'
qui est un cobord). Une classed'équiy@lence
s'appelle uneclasse de cohomologie à valeurs dans F . La classe decohomologie d'une forme fermée de classe C’ est l'ensemblede toutes les formes qui lui sont cohomologues.
On a alors :
Corollaire - L'intégrale d'un cocycle sur un Cl-cycle ne dépendque de la classe de cohomologie du cocycle, et de la
alasse
de Cl homologle du cycle.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 230/599
208
Démonstration - Soient 0, et z&deux cocycles cohomologues,
et T et T deuj. Cl-cycles C'-homologues.
On a alors les relations :
Mais laxemière intégrile est,nullzd'après le théorème
parce que W, est un cocycl~ et-r, + L C-homologue-à 0 ,et la deuxième parce queC'-cycle (théorème 41).
0, - 0, est un cobord et Y, un
Remarques - 1") Pour les formes diff&entlelles, nousn'avons introduit que les cocycles et cobords, alors qu'onaurait aussi pu introduire les C -cocycles et lesCI -cobords.
C'est dans un but de simplification que nous ne l'avons pasfait.
2") Dans le même but de simplification, nousaurions pu ne pas le faire pour les cycles et les bords
Mais nous avons absolument besoin des C'-cycles et C'-
bords, faute de quoi l'intégrale, sur ces cycles, d'une forme
différentielle, serait dénuée de sens. Mals nous démontreronscertaines propriktés où n'interviennent que les applications
sans hypothèse de différentlablllté
~t~tf ll2oF&e15 '-69 ) . Pour les avoir, etc'est utile dans la pratique, nous aurons besoin des CO-cycles
et CO-bords. Il est donc indispensable d'avoir les C-cycleset Cm-bords. au moins pour les 2 valeurs m = 0 et 11% =4 ;
alors ça ne cofite pas plus cher de prendre mquelconque. Onaura des théorèmes intéressants qui feront passer d'unevaleur de w, à une autre (par exemple corollaire 4 du théorèm
3’) Le quotient del'espace
vectoriel descocy-
cles sur Cl. c E a valeurs dans F , par le sous-espace vec-toriel de ceux qui sont des cobords, s'aepelle l'espace vecto-riel de cohomologie dea h valeurs dans Fdes classes de cohomologle è, valeurs dans 7
Ainsi l'ensembleadmet une struc-
ture d'espace vectoriel(surY&?
ou a -, suivant quel' est unespace vectoriel surWou CO,.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 231/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 232/599
210
un cocycle surfi , mais Il a une singularitéci
l'origineet ne se prolonge pas en un cocycle sur Jx ); il peut éga-lement arriver qu'un cocycle surfi
soit in
o0b0rd
sur l'ouvetlt
sans être un cobord sur a (par exemple, si-
0 , et sifi est le complémentaire, dans@':
d'une demi-droite Issue de l'origine, la même forme W de(VI,4;41) est un cocycle dans fi cobord dans fi'
non cobord dansJl
, comme nous l ’ a v o n s v u a p r è s
Pour les cycles, c'est la situation inverse. Un cycle dansfi' est a fortiori un cèle dansa (car une application H ,d'une variété orientée V
dansa',est
a fortiori une appli-cation
Ii
deif dans0,
);
& cycle homologue à 0 dansa est
a fortiori homologue à 0 dans fi . C'est Ici le passage defi àfl'qui en général ne sera pas possible. Un cycle de fi
n'est pas nécessairement dansa'.
Et Il pourra égalementarriver qu'un cycle dans fi' soit homologue àeO dans fi,
sans-l'être dans fi' . Par exemple, si fi =w ,fi'=w-0, et
si f est le cercle trigonométrique orienté, il estun
Cbord dans fi
mais ne l'est pas et n'est pas homologue à 0dansfi'(voir Lemarque 2' Page 190).
* Renvoi de la page209
-
- Notre definition de l'homologie et du groupe d'homologiedefi n'est pas celle de la topologie algébrique moderne,
qu'il serait hors de question de traiterici.
Aussi n'est-ilpas garanti que, pour tous les& , on trouve les "bons"groupes d'homologie. C'est sans importance pour la suite.Nous cherchons seulement :
1') à utiliser l'intégrale des formes différentielleset la formule de Stokes de manière à définir l'indice et ledegré topologique (voir pages etquelques théorèmes spectaculaires commetheorème 68, ou le thboreme 69:
2') B posséder un bon cadre pour traiter les fonctions
analytiques de variables complexes et leurs Intégrales.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 233/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 234/599
Toutefois on aura <galement besoin, dand l’etude de l ’ in-
tégrale des forme.: dif férentiel les où interviennent toujoursdes variétés de classe C’: 17 3 1, d’une notion un peu Plus
r e s t r i c t i ve , c e l le d eCm-homotopie.
Définit ion - Soient X et y deux variétés de classe C’?
mfini
ou Infini . On dit que deux applicationsc l a s s e
C”
de X dansY
j, et -),,de
s o n t Cm-homotopes, s
i l ex Steu n e a p p l i c a t i o n F d e [*, j]
x
X d a n s‘f
, d e c l a s s eC”‘,
véri f i ant ( v1, 8; 27) *
.
Bien entendu, deux applications declafse
”
qui sontC”-homotopes
s o n t a f o r t i o r i d e classec e tCe
-homotopes,
pour.l
5 m
. Alors homotope veut dire” -homotope.
Théorème 50 - SI X & y sont deux variét,és de classe C’“, deux
applicatiz
de classe Cm% X dans Y , qui sont Cm-homotopes
a
unetrolsleme,
sont aussiCm-homotopes
entre el les. Autre-ment dit la relation qui exprime que deux applications sontCm-homotopes, est une relation d ’équivalence dans l ’ensemble
des applications de classe Cm-X dans y . Une classe d ’équivalence s ’appelle classe de
P-homotopie.
Démonstration-
Soient,
, ,IL
, t r oi s app li cat i ons d e classCmde
X
d a n s y ,- *
homotope B
4,
, , homotope à . S o i e n t
sant deune
homopjie
p~~s;~~td~o~so~,~,
s;pp~se,~~eh~Ii’~t~~~~r~~~~es
de& ‘corr&spon%&t
a c e shomotopies
s o n trespectivement[0,1]
etCI
, 21 . SiV-L
= 0 (et alors onpeut,pour
X et y , prenddes espaces
topologiques
quelconques, et non nécessairement dvaridtes)
on définira Immédiatement une homotopie F assant
et correspondantB
l’intervalle[0,2~ de f?
, Par
(nr,0;29)
Z
F(t ,z ) = c , ( t , z ) pour 0 < t < I , H (
t,z)
pouy 1
<
t 5
2
*Ve,
[;dA]d;
XR x’est pas une
,varlété,
mals une variété. On peut neanmoins dire sans dif f iculté
d ’une applicatlonf de[Oc
j3] x X qu’el le est de classe C’“.
en ut i l isant la note (*) Page 187 du Cours de lère partie .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 235/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 236/599
214
Theorème 51 - Soitfiun ouvert d'un espace affine normé E .
1°/ g.Q, est étoilé, en Particulier s'il est convexe (ou
G
fi
=
E
),
ous
il possède les proprlétesenoncées
dans le théorbme 19 de Poincarg, 2 applications quelconques,de classe Cm, d une partie K quelconque d'une variété V
de classeCm(ou
d un espacetopologique
Ks iquelconque
n%=
0 7,
dansa,
2”/
ti
est une application de classeC 'd'une
Dartie
KComDacte
d'unevariete
V de classe C"(ou d'unesDace
toDo-
* On ne peut (sauf cas exceptionnels, signalés à lanote l page 187du Cours de lère Partie) parler d'appli-cation C 'que dans le cas de variétés, ou de parties ouvertesde variétés. si Kest une partie de V, nous appellerons
estriction 4 à K d'une appli-de Kdans V,dans
E (OnC 'de% dansa i.-car
contenant K , et 4 appli-
Si alors nous disons que 2 telles applications#
et2
deK dansa sont
Cm-homotopes
dansa,
nous entendons qu 11
existe une homotopie F entre $ et 9 dans 0 , applicationcontinue de [q,)] x K dans fi
avec (VI,fi;27)L qui se prolonge en une homotopie de classe 'Cm entre + et 9 dans Eapplication de classe Cmde [q,J] x .% dans E (ou, si'l'onveut, dans fi)
.-
Dans les énonces detheorèmes.
on devraitpréciserx et S; en même temps que K etparlera que deK et $
-Mais on nepour ne pas
enonces
et les déznstktions.
alour
exagerement les
** Nous avons mis 111 Ill ; il s'agit bien de 111
Illo >
lesdérivees
n'interviennent pas. Il s'agit biensGr
de
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 237/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 238/599
2 1 6
Alors p,Oj
et P, .% sont des applications Cmde K dansl'ouvertP, (fi) =sZ n k,
deF,
, qui a encore les proprié-tés énoncées au théorème 19;
donc elles serontCm-homotopes,
d'après l'hypothèse de recurrence, puisque 5
à la dimensionN-1. Alors on aura, dans L-l , des Cm-homotopies :
e+
y
v/-p(d+j, et le théorème 50 nous prouve
bien que 4 et 9 sont C 'n-homotopes si E a la dimension N ,
ce qui démontre par récurrence notre affirmation.
Nous allons maintenant donner un important théorèmed'approximation d'une application continue par des appli-cations de classe C” ‘ .
Théorème 52 - SoitK un compact d'une variété V de classe Cm,
deV
dans
E , telle que
Démonstration -
soit
6,
<
M;n (&,i) , où0‘
est la distance-compact)0 et de [;
on peut tro ver un voisina e ouvert
21Pour c?dz rii.i:Vd;
te;
que, pour tout= de K A a >
on ait l'inégalité
comme K est compact, un nombrefini
des ouverts
suffità
le recouvrir, soit(flL)lEI ; soient~GL
les points&
correspondants. Soit(o<;
);eI une partition de l'unitésubordonnée, où les
o(;
sont de classeCm
sur V , ce quiest possible, comme nous l'avons vu au théorème de lapartition de l'unité (théorème 11 du chapitre IV), PUiSqUe
V est de classe C’
* Naturellement,g-'(a)
est un voisinage ouvert de K ,e t 9 applique encore tout ce voisinage ouvert dansa .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 239/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 240/599
218
Ainsi, h partir d'une CO-homotopie
entre4,
et+a:
ona trouve une C1 nomotople entrevoislnes
de 4, etqz
,9, et tt , qui sont tres
Mais en vertu du théorème 51, comme f,
etLj ,
sonttoutes
les deux de classe C’“, et que l'on a
sontCm-homotopes.
De la mêmemanikre
f,
etjt
sont C-homotopes.
Ainsi on a successivement trois CV'-homotopies, passant de
Corollaire 1 - Soient K un compact d'une variété Vde classeetfi un ouvert d'un espace affine normé E . Si,
our un entiz
5
me
particulier,deux
applications quelcon$es declasse C
ode
K dansa
sont homotopes alors
7~ n-LjdGu=pllcations quelco;ques,
our
tout giïtier
dePclasse CE
,&K
dansa sont Cc -homotopes. Cette propriété ne dépend que dela topologie de fl ; autrement dit elle reste vraie si onremplace fipar tout autre ouvert fi' d'un espace affine norméhoméomorphe à fl .
Démonstration - Prenons d'abord 1 = 0 . Soient -J , et $,
deux applications continues de K dansa . Soit E un nombre
L=O>
strictement plus petit que les distances def,(K) et
Prenons maintenant e
tt
dansa de classe Ce
< ?II. quelconque. Deux applications d
d'aprèsce'que
nous venons de voir; elles sont donc C, sont continues, donc homotapes
-homot
pes d'après lethéorkme
53.
La propriété relative aux applications de classe Cp n 'aaucune raison, a priori, de se conserver par homéomyrphisme;
elle nedevralt,semble-t-il,
se conserver que par C-dlfféo-
puisqu'elle est équivalente à la mêmepropri
, elle se conserve bien par homéomorphlsme.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 241/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 242/599
En effet,7 et c sont alors C'-homologues dans fi ,
et il suffit
d'appliquer
le corollaire
du théorhme
49.
Ce corollaire exprime encore que l'intégrale d'un cocyclesur un C'-cycle, n'est peut être pas nulle (voir page 190, rem.2
mais ne varie pas quand ce cycle se déforme de façon continue.
Il
est commode d'introduire la
notion particulière d'applica-tion homotope à 0 .
Définition - Si# est une application continue d'un espacetopologiquex dansun espace topologique y , on dit qu'elleest homotope tr 0 ,
si
elle est
homotope A
une application
constante. Comme
on sait alors
que
toute application
constan-
te d'une variéte compacte de dimenslonx dansaest néces-sairement un cycle homologue
à
0 , si
la
dimension m est>o **
on
voit que
:
Corollaire 2 - SI- est un cycle de dimensionn>o de classe CId'un ouvert& de E ,
alors ce
cycle est Cm-homologue à 0 et, sim% 1 , 1 intkarale sur' ce cycle de
homotope +
0
tout cocycle fldedegré 1~ est nulle.
Naturellement ceci ne subsiste pas pour la dimension n= 0
(car
une application constante n'est plus un cycle dégénéré).Si 117-= 0 ,
l'intégrale
dezn'a
pas de sens.
Corollaire j -
Si-CL est un ouvert convexe ou étoilé d'unespace affine decilmension finie E ,
ou
un ouvert ayant les
proprletes enoncees dans le theorème 19,~ un ouvert homeo-morphe a 1 un de ceux-la, tout cycle de classe Cmde JL de
dimension ?-~>O.est Cv'-homologue à 0
-
et, si V%X 1 j;'-
tégrale
tllllle.
sur un tel cycle de tout cocyclé de degré 7, estTout cocycle X?,
de
degre 1% >o sur.Q,$st un cobord.
-
* C'est Ici que sont utiles les cycles dégénérés, introduits
page 160 dans la définition de l'homologle.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 243/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 244/599
le
fait que H1;
qu'on a :est homologue
à
0 vient alors de ce
Soit & un %Ombre > 0 i strictement Inférieur aux distancesdes compacts K (fi, et K’ (a#) à
[fi
. D'après le théo-rème 52,
,,,,,azJW
sont de classe C’ , on peut trouver
desappljcatizns ,.
etK: , dea et a’dansfi, de classe C’
telles que111
K,-
K
1116
E et111
K;
-
F' /jls
E
_
;
d'après le
théorème 51, elles sontCa-homotopes
a Ket K' respectivemen
On a alors des CD-homotoples des cycles suivants :
H\ i ; + K, I Â+ K I x- - + Hl r ; + KI Â+Kl r ;
w, 8; M)
=I <I ??= K ht + K ' - K: 1
+
K1
Mais le premier et le dernier membres de ces égalltes
sont des cycles de classe C'
:
étantC”
-homotopes,
Ils
~théthéorème 53. D'après le,sont
thé$rèmQ4,
Ils
sont alorsC'-homologues.
ZZZ
K,
I
ha
et
K [ Ê et KI
K: A'=
K, I ? sontdes :'s-b::d:,
sont dégénérés, donc tous C'-homologues
à 0 ;\donc
H) v est bien C'-homologue à 0 , d'après letheoreme
47.
Slw est un cocycle surfi, le fait queHI
V
soit seule-ment CO-homologue à 0
n'lmpllqualt
pas, a priori,
Il l'lmpllque bien maintenant, puisque HI 7J
HIY
o'= 0;
est C'-homologue
l *.
* a eta'ne sont pas dans W .
** Nous avons énoncé le théorème 37de Stokes pour laclasse C’ ;
mals nous avons dit à ce moment que la démonstra-tion était délicate,classe C’ .
et nous ne l'avons donnée que pour laNous nous appuyons donc ici sur une propriété
admise.L'lmoortance
deoroorlétés
comme les corollaires 1. 2.4
est de montrer que l'intégrale d'un cocycle sur un cdépend que de propriétés
topologiques
du cycle
al'ouvertfi .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 245/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 246/599
' (W 39)
de centre H (6;) , et de rayon -&
> satisfait aux
conditions du théorème 19 de Poincaré; dgnc wtive extérieure z dans B, , w = d,t;
.aNk%~ef:~tknt
A
dépend de l'indice i . Tout le chemin M [[e, ,tjL+, ]
est dans cette boule ouverte, et on a donc
Hl[jljel+,l
Z = + J) - i(e;)) >
c
d'après le théorème 35.
Appelons H, l appmati0fi
de r dans fi définie par :
H, est simplement une application polygonale, ayant poursommets successifs les H (0;).
Alors on a. pour 8; e 8 5 6.
*+
:
H( B) - H( B+
+
iII,8;4i,
j I H, (@ - H~~~~s/ ~- ki ~~+, ) - - ~<e; Tl j ~ ;
donc, pour tout e :.-_
(m 8; 42)
H B - H, ej - I [ <
8
; donc III -i-y Ill -L 8 .
Cela prouve. d'après le théorème 51, que H1
7
et H, I 7
sont C'-homo
w
vs,
donc C
54. Comme H 1
-homologues d'après le théorème
est supposéC
-homologue à 0 , il en estdonc de même de H,
7 . Par ailleurs on a, encore d'aprèsle
théorè ne
33 :
Pv; 43)
J
,
[ e, , I
0 =; p: ( H, ( ) )
- &( H, @ )
donc les Intégrales de w sur H 7 et H, - 7
sont égales
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 247/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 248/599
226
DémonstrationG
. . nt
s
*
l /
Supposons d abord que $ admette un telAlors nous pouvons définir une homotopie F
entre # et une application constante de r dans X en posant
&8;44)
F(t,lA)=fjt ) >
O=StL=Sl , mer
F est bien continue de [0,11x F' dans X ; on aF(I,;)
= pc, = q<Gq > et F(O,%) =T(z),
Donc f est bien homotope à 0 .
ào
2 / Supposons maintenant que $ soit homotop
et soit F une homotopie correspondant à une applicationde
[8,?]
x T
dans X , avec F(l,;i;)
= {(zI), L(
O,TZ)= a const
On definira alors comme suit le prolongement $ de$ :
(Jli,8;45)
Cette formule ne présente pas d'ambiaité, car, pour le centredu disque, on peut prendre t = 0 et?jï arbitraire, mais
F ( O,G) prend toujours la même valeur CL
E X ,
D'autre part, la fonction définie ci-dessus, est conti-nue. Pour le voir, supposons, pour slmplifler,X metrique.
La fonction F étant continue sur le Compact[0 i] x runiformement continue; alors, E > 0 Btant donne: il exisie
es
7
20 I
tel quet'-
t I <
11 ,Ilm)Zi+n,entraine
(FI,8;46)
d( F(t ’ ,m’) , F ( t” , m” ,) G E
Si alors t , X, est un point de A , distinct de l'origin
l'ensemble dest< tels quelt-t, ~~~,~ïïï-~O(~~~,est un
voisinage de ce point, dans lequel on aura
donc est continue en t,II;, f 0.
D'autre part, l'ensemble des tïï? tels quelt \hl, m quelco
que,
est un voisinage de l'origine,où l'on a :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 249/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 250/599
228
Théorème 57 - Une sphère, le CO
-, dans un espace euclidi
0e-k sN-2. Ils sont donc simplement connexes pour Ni2
aussi trivialement pour N = 4 * , donc finalement pou
N 2
).
Par contre, nous verrons au corollaire 3 du théorème 58qu'ils ne sont pas (N-l) -connexes; en particulier, un cercled'un plan euclidien
(N=2)
n'est pas simplement connexe.
Démonstration - l /
Donnons d'abord la démonstration pourl'espace CO
unité de k*
0 étant un point de E Soit 5 la sphère, #une application continue de S dans [O .
On peut l'approcher-par une application9
de classe C , quilui est
homotope
(théorèmes 52 et 51).
Mais, dans E ,9)
est C'
soit q une homotople entre-homotope a 0 (théorème 51);
application C'de [0,21 x
S a
et une application constante,
dans E. [o , i ] x S est de dimen-
sion < N ; alors 1' 1mage
C CO,41 x S est de mesure nulle,pour la mesure de Lebesgue relative
a
unreférentiel
quelcon-que (corollaire 1 du théorème 102
bis,du
chapitre IV). Donc,pour presque tous les vecteurs
U deE,~ [o,I] xS) ne contient
pas 0 -z ;
l'application Ç + z : =CV ç(zc)+;Lt , de
IYo IIxS
dans E , est en fait une application dans
Alors +*i ,9
est homotope a 0 dans
elle est homotope à
9 dans [O
51). doncgelle-mêrreesthomotope
à 0et
CO
est bien *-connexe.
Remarque - La sphère S peut être remplacee par n'importequelle variété compacte de dimension < N
- 1 ; et [o p*r[A
oùA
est un ensemble fermé dénombrablequelcozque
de E (dans
ce cas, on saura que, pour presque toutz de E , (C, +~) (CO, l l xS)
ne contient pas un point &;de A ;,d'après le théorème 21 duchapitre IV (relatif
a
une Infinite dénombrable de propriétés
presque sûres) , on saura que, pour presque tous les C(I ,
ne contient aucun des points de A , donc
%
+4L
est encore homotope 0 0 dans A .
c
* Car, surïi?, chacun de ces 3 ensembles est réunion de 2
ouverts disjoints simplement connexes.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 251/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 252/599
Nous allons, pour cela, introduire, dans un espace eucli-dien de dimension N , orienté, une forme différentielleremarquable de degré N
-
1 , l'angle solide, qui seracelle de (VI,4;41) relative à N = 2. Soit t un espace
affine euclidien de dimension N.et soit 0 un point deE .
SoitE une hypersurface de classe C' de E, ne passantpas par 0 , transversalement orientée.
SI cette orlenta-
tion est telle que, en chaque point M dex , le rayonvecteur OM soit transversal et positif, il sera natureld'appeler angle solide algébrique sous lequel de 0 onvolt c , l'angle solide 2 0 défini au chapitre IV, parl'intégrale (1v.10;25) (où V est remplacé parx ). Danscette formule, rappelons que h, est la distance OM ,
6
l'angle ale;u de OM avec la normale; 8 est aussi l'angle
de OMavec le vecteur unitaire normal positif3 , en vertudes hypothèses particulières faites sur l'orientation trans-
versale de c . Cette intégrale peut, d'après (VI, 7 ; 49 ),
s'exprimer comme flux, à travers c , du champ de vecteurs
w,e ; 49
x
z
h
N-4
où z est le vecteur unitaire de la demi-droite OM.
Alors, plus géneralement, pour n'importe quellehypersurface C e E - 0 , de classe C' , munie d'une
orientation transversale quelconque, nous appellerons
angle solide algébrique * sous lequel du point 0on voit x , le flux à travers x du champ de vecteurs(vl,E;‘w).
11 ne dépend que de x , de son orientation transver-
sale, et de la structure euclidienne de E .
Par rapport a un référentiel orthonormal de Ed'origine 0 , les composantes du champ a sont donnéespar :
xi
= 5,
j =4,2 ,..., N .
* L'opposition entre l'angle solide algébrique (designe quelconque) défini ici, dépendant de l'orientationtransversale de x , et l'angle solide absolu du chapitre
IV (toujoursst
très clai~e 0 ), Indépendant de toute orientation,
. Si x est la reunion de 2 sphères de
centre 0 , d'orientationsopposées,l'angle
solide absolu
vaut 2 s, , l'angle solide algébrique vaut 0 .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 253/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 254/599
232
Théorème 58 - gÊ est un espace euclidien orienté de dimensionN , 0 un point‘de F‘,W. est de classe C
En outre son intégralcentre 0 ,est égale à 3 , aire (N-l)sphère uni.té de E :-
-dlmenslonnelle de la
(n56;53)
(W;P)
1
2
CO, =SN
Démonstration - Le fait que 0, soit de classe C-dans E-0résulte de son expression (VI,8;5l). Son cobord s'obtientimmédiatement, et l'on a :
ce qui montre bien que Wo est fermée.
D'autre part, si nous considérons son intégrale surn'importe quelle sphère de centre 0
de son orientation canonique, alors
du champ de vecteurs (VI,8;49), qui vaut
c'est-à-dire l'aire de la sphère unité + .R
N - I
Remaraue
- Puisque woest fermée dans E- 0 son intégralesur deux cycles C'-homologues de E- 0 est &essalrement
la même; par contre, il est naturellement impossible deremplacer E - 0 par E , la forme différentielle 00 présenteune singularité à l'origine comme le montre immediatement
la formule (v1,8;51).
l Ici l'angle solide algébrique est 6gal
a l'angle solideabsolu, puisque le rayon sortant est transversal positif;et alors ce résultat est une conséquence immédiate de la
points (lère partie, remarque 5” page
6 ).
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 255/599
233
Corollaire 1-
Le cocycleCL)~
n'est pas un cobord dansE- 0 .
e
En effet, s'il l'était, son intégrale sur lecycle2
serait nulle.
Cette propriété étend celle que nous connaissionsdéjà pour la forme de(VI,4;41).
si nous considérons la formule( v1, 8; 52) ,
on a
0 = dp50 d'p]
; mais les fonctions 6 etq
sont
definies
et dérivables, par exemple dans le complémentairedu demi-plan méridien fermé passant par $'$ et 0% , maispas dans
R3-
0 .
Corollaire 2-
Une sphère orientée d'un espace affine
euclidien de dimension finie n'est pas homologue à0
dans le complémentaire de son centre, et a fortiori pashomotope à 0.
Si en effet elle l'était, le corollaire 4 du théorème54
dit que,
sur ce cycle,nulle.
l'intégrale du cocycleOCserait
Corollaire 3-
Dans un espace euclidien de dimension N,
~Jo~ep~~a~~~~s8~é~~n~'~~epp~~~;eu~~nt~~~t Une
sphère et nec'ontenant
pas sonœntre, ne sontpas(N-1)
connexes.
En effet, la sphère n'est pashomotope
à 0 dans un telsous-espace, puisqu'elle ne l'est même pas dans le complé-mentaire de son centre.
Ceci complète ce que nous avions indiqué au théorème 57.
Cela laisse ouvert le problème de la%-connexion d'unesphère d'un espace de dimension N , pour
k
1, N
: c'estlà unproblème très délicat, et pas encore définitivementréglé.
Corollaire 4 -
Il n'existe pas d'application continue d'unebouleB
d'un espace euclidien de dimension finie sur lasphère s gui la borde, Cgale à l'identité sur cette sphère.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 256/599
234
S’il en existait, cela voudrait dire que l'applicationidentique de la sphère S sur elle-même se prolongerait enune application continue de la bouleB sur la sphères ,donc (théorème 55) S serait homotope à 0 dans S donc afortiori dans le complémentaire de son centre, ce qui seraitcontraire au corollaire 2.
Corollaire 5-
2 sphères euclidiennes de dimensions finiesdifférentes ne sont pas homéomorphes. 2 espaces affines dedimensions finies différentes ne sont pas homéomorphes.
Soient en effet N et N'2 entiers z 0 différents,N’>
N.
Une sphère d'un espace affine euclidien de dimensionN'
est(N
-l)-connexe (théorème 57),une sphère d'un espace eucli-dien de dimension N ne l'est pas (corollaire
3);
elles nepeuvent donc pas être homéomorphes.
si maintenant 2 espaces affines de dimensions N
etN’étaient homéomorphes, les complémentaires d'un point dans
ces espaces le seraient aussi, ce qui est impossible, carl'un est encore (N-l)-connexe et pas l'autre.
Ces résultats avaient été annoncés page92
du cours delère partie. On volt combien de théorèmes ont été utilisés
t
our les démontrer : 'Si on remplaçait "homéomorphe" parC' -difféomorphe ,
ce serait 1 invarlance de la dimensiontrès élémentaire, et déjà vue au chapitre III (corollaire 4
du théorème 11, et note (*) page 218) .
Nous pouvons maintenant apporter un complément authéorène
19
de Poincaré :
Théorème59
- SISE est un ouvert simplement connexe d'un espaceaffine E de dimension finie,3 une forme différentiellefermée de degré 1 sur fi de classedans
un
espace de Banach 7,
C' vrs
alorssest la différentielled'une fonction , de classedans r.
Démonstration - Nous allons appliquer le Critère
du théo-
rème45.Aoit
H une applicationC
du cercletrlgonom6trique
orienté r dansa. Comme .fL est supposé simplement connexe,H est Qmotope à 0 , donc C -homotope ~3 0 (th6orème 53),donc H 1 r est CM
-homologue à0
(thborème 541,
et alors
l'lntdgrale decsur H 17 est nulle; le théorème ‘15 nousdit donc bien que w est un cobord.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 257/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 258/599
NOUS avons vu (Corollaire 3 du théorème 54) que, dansE ou dans un ouvert étoilé de E , tout C""-cycle de dimen-sion > 0 est
C -homologue
a 0 . Nous nous proposons,dans ce qui suit, d'étudier
laC'n-homologle
dans le complé-mentaire d'un ensemble fini d'un espace affine E de dimen-
SIO~N. Nous avons déjà indiqué, sans démonstration, qu'unesphère orientée n'est pas homologue a 0 dans le complémen-taire de son centre .
Théorème 60 - Soit.12 un ouvert d'un espace affine E orienté , dedimension N sur le corps des réels; & A = a,,~,,...,s,~\ -
t-
ensemble fini de a soit v c 'v = C;L
une variété avecbord,compacte. de dimension N, C (V+ a*),munie
--7--
d e l ' o r i e n t a t i o n p a r Ê , et telle quea~
E
V ,
. La classe de Cm-homologie
0 - A , est indépendante
Démonstration -
Introduisons sur E une structure eucll-
dienne quelconque, et désignons parB;une boule fermée, decentre 0.. ~ assez petite pour ne contenir aucun d0es points
et pour être contenue dans l'ouvert V,
par l'orientation de Ê . posons x = &B ‘-ii,
maintenant ne contient plus a;
, c'est une variété avec
bord, orientée (par l'orientation de E ).
compacte, declasse C , de fi - A , de bord y +T ; donc, dans
f i - - A
3
est Cm -homologue à TA. Si alors onconsidère
deux hybersurfaces de ce type,2 c,, et si l'on désigne
par Bt une boule assez petite po;; être contenue2 la fois
dans les ouverts $, et tL correspondants, alors x,,etz&
sont toutes les deux homologues, dans 0 - I
a 6,,et
sont bien par conséquent homologues entre elles.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 259/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 260/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 261/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 262/599
240
Donc :
différence entre le nombre des images reciproques de a-;
où H conserve l'orientation et le ::Ombre des images réci-
-
proques où H inverse l'orientation.
Le théorème est bien démontré dans le cas particulierconsidéré, et en outre on a une interprétation géométriquedes coefficients
-/Y .
Deuxième cas; F est un C-cycle quelconque de
fi-A,Cm-homologue a 0 dans fi,,% Z 1 .
On a, dans fi , la formule :
les cycles H17
, H1
G,
HI ?
, HI T' sont dans JJ, ,
non nécessairement dans fi-A.
H(W) et H(WJ)
sont des
ensembles finis (qui peuvent contenir certains des a,
D'autre part, HIy= #I$%, HIV,= F;I$: '
).
où H et HI
sont des ap licationsCmde variétés avec bord orientéescompactes,+,v de dimension N , dans 0 ;
les proprié-
tés très particulières du ler cas ne sont plus supposéesvérifiées.
Malsalors soit; un vecteur de E ;,à la place de l'appli-
cation H , considérons l'application H + z
, définie part-tH(E)+z,de ?Y dans E . Nous allons montrer que, quel
yue soit le nombre E > 0 , pour presque tous les vecteursZ
tels que / z / 6~ (pour une norme quelconque choisie sur E
une fols pour toutes) l'application G + z de u dans 0- ~
vérifie les propriétés supposées dans le ler cas.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 263/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 264/599
242
est l'image, par "ne application a" moins de classe C' ,
d'une variété de dimension N-1 . elle est donc aussi demesure nulle dans E . Donc,
pou;
presque tous lesz
de
norme < E , a;-z n'est pas dans cette image, ou encore(H+ù)(V)
ne contient p,as ;
etles,images
réciproques dea;
, parH +z
sont dansl'Intérieur
lj ' de v .
ceri est vrai pour tout CL,, de A .
Alors "ne application immédiate du théorème 21 du+chapitre
IV montre que, pour presque toutes les valeurs de &L telles
quelu:
I/LE,
l'un quelconque des pointsa;
, &=1,'L,...,L,
a toutes ses images réciproques parTî
+ 'i z en dehors dubord de %? en nombre fini, et qu'en chacune de ces Imagesreciproques:
le rang de (fi + z)' est égalà
N . On se trouve
alors exactement dans les conditions d'application de laoartie
2'/
du théorème.
Cela démontredsc
qu.'il existe
des entiers q,,qL,...,qe,
tels q"e(H + z)l bu== ( H +zi , V soit un C--cycle dans
classe de C'%-nomo-x
Ce que nous venons de faire pour leCmzcycle
H 17 de
(VI,8;58)
peut être fait aussi pour le cycle Ii IV: . D'autre part ,
même si le cycle dégénéré H 1 G
ou H 1 W' a "ne Image contenan
certains des points&;
, le translaté par Z ne les contientplus, pour toutes les valeurs de z sauf unnombre fini, c'est-à-dire pour presque toutes les valeurs
de&
; ce translate estalors un cycle dégénéré defi - A , homologue à 0 dans f i - A.
En appliquant encore "ne fois le théorème 21 du chapitre IV,on voit que :
pour presque toutes les valeursdeÜ
tellesq eIIÜ
I
S
5,
%Z
translatespar&
des cyclesHI?$ HI?'
sont dansJ-L
- A 9 E?L
appartiennenta
des classes de C-homologies
qui sont des
combinaisons finies du type c q;(Lr') Ch;(at;') **
et les translatés de HI '3 ,IH
1 k?I soit
dgs
cycles dégénérés~a.- A.
Alors, pour presque toutes ces valeurs dec
, le translate
par.Z du cycle'C '
est dans.0,
- A , et sa classe deC -
homologie
dans fi -
A est? +l(a\*')
,k;
=hi-
q;, d'après
l'expression(v1.8;58)
de 7 .
x
Ie cycle H + 217 peut s'appeler translate par Z
du cycle
*+
9; et A,; peuvent dépendre deti
.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 265/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 266/599
244
Puisque la forme différentielle W,.est de classe C'et fermée, dans fi - a; , elle l'es\ a fortiori dans&-A.
Comme alors le cycler
est supposé homologue au cycle
les intégrales de ~,~sur ces
deux cycles sont nécessairement les mêmes (corollaire duthéorème49,
si rn 21 ;
N = 2 ,w~,=(~,Tde longueurcorollaire 6 du théorème 54 p%r
finie) . Or l'intégrale sur F;
est égale a S, , d'après la formule (v12;53), et l'inté-grale sur l'une quelconque des sphères 0‘
car une telle sphère est bord d'une boul&,i+t,est nulle,ans .0 - a;
Ceci demontre, d'une part, la formule (VI,8;%), et, d'autre
part,
l'unicité des coefficientsiP
lorsque p est declasse C ', pourmà2. puisque le intégrales définies danscette forp@e sont bien déterminées par la seule connais-sance de r .
Dans le cas particulier où E = c , on a :
OK,8 ;59)
i
1
x-dX+q
1 xliq-%d/Jcl
=ziJy 'y
+=
x2+
a
= i-- d hj ~ +++o2iT
W, étant la forme (VI,4 41) * . Commeune fonctlonC'dans
CO
, sa jC esta une intégra-
le nulle sur r (formule de Stokes spéciale au casrr=l ,théorème
39).
Alors de (v1,8;56) on dedult aussitôt(vI,~;
57).
* On a, directement, -+=d( q~)-d -EO jj’j/+id iD*
Mais bj 3 et Cp
ne So;t pas des fonctions bien définies,
et ce raisonnement demanderait une justification spéciale.
Cette justification n'est pas bien terrible, mais plus longu
que le calcul ci-dessus.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 267/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 268/599
246
L'/ 11 est remarquable sue +; se calcule dèsqu'on connait F et a;, sans que la connaissance des autres
ai ,j+
i, softnbcessaire.
3 /
SJ,on
change l'orientationdeE
, la classed'homologle de P dans fi - A ne change pas; mais lesclasses(& *))qui servent de référence changent de signe,car on doit changer l'orientation des boules donc dessphères; donc les +; changent de signe. Cela se voit aussidans
(~1,8;56),
puisque W,. est remplacée par son oppo-
sée.
‘
Corollaire - SoltE un espace affine de dimension N surW ,-.
et soit A unepartie finie deF
~d'homologie de E - A
Fi&t
comprises entre o -eJ N-
la dimension 0 , il est isomorphe au groupe additif zdes entiers de signe quelconque;
our la dimension N - 1 ,il est isomorphe à la puissance a;&
B
z
.
1') Soit? un C-cycle de E- A , de dimension
k, 0 -=
k-=N-1 . Il est Cm-homologue a 0 dans E
(corollaire 3 du theorème 54); donc dans E - A d'aprèle theorème 61. Le groupe de
Cm-homologie
de d&ension 4%
est donc bien réduit a {O } +
2') Orientons E Dans le groupe de Cm-homologie
d% dimension N-
1
, figurent les classes de la forme
;
deux de cesclasses,ne
correspondant
pas au même système d'entiersf;
sont distinctes. Parailleurs, d'après le theorème, il ;'y a pas d'autresclasses que celles-la, car tout cycle de E-A
est homo-logue ~3 0 dans E (corollaire 3 du theorème 54). ;l y adonc corresponda?$ce biunivoque entre le groupe d homologie
et l'ensembleZ
des systèmesj~=(*,,j~,...,Jp.p)
de1
en-Par ailleurs
la,somme
de la
et de la classex
91
(a -))
est
la classe l'additik'des classes
dansz'.
consideré
comme groupe produit z x Z x . . . x z .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 269/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 270/599
248
si +
est cet indice, il est naturel de dire que le cycleT entoure algébriquement+, fois le point a, ou encorefait algébriquement
SI 7F
fois le tour du point a. En effet,
est une sphère de centre a-, d'orientation directz,
il est naturel de dire qu'elle entoure+1 fois (L - , et+6
a l'indice fi . Il résulte alors du-théorème 61 que, si A
est une partie finie deSz
, et si r est un cycledeO--,homologue à 0 dans .Q,, les nombres 1 ; qui interviennent
sont les indices de r,par rapport aux points a,;. Il enr6sulte aussi que,
S~E est9 outre muni d'une structureeuclidienne, et si le cycle F est en outre de classe C'
(ou de classe C
et$e longueuf finie, siN =s), sonindice est égal à
-
%
fols 1 Intégrale sur r de la forme
différentielle angle solide W, , ou encore à 1
5,
fois l'angle sAlIde algébrique sou: lequel du point a onvoit le cycle P . SiE est le corps des complexes (? ? ,
l'indice vaut aussi d'après (VI,8;57).
Nous désignerons cet indice par L(? ;a); il dépendessentiellement de l'orientation de E et change de signesi l'on change cette orientation. Plus'généralement, si Kest un C' -dlfféomorphisme de fi sur un ouvert fi' de Erespectant (resp. Inversant) les orientations, c'est-A-dire
de déterminant jacoblens 0(resp 4 0 ), le cycle Image
KF ( s i ?= HI ? , K? e s t K OHIc)
a pour indice
par rapport aupzlnt
image&'=K(a), l'indice (resp. lbpposé
de l'indice) de r par rapport .& CL o En effet, soit c le -
bord d'une boule euclidienne B de centre d. Al ors?l rK( cT)
est le bord des'=K <B>
les orientations dans ?
; ymme K conserve (resp. Inverse)
BP a l'orientation deÊ (resp.l'orientation opposée), donc 6~ a la classe de C'-homologle
(a ) (resp-(CL") ). Comme K estAn homéomorphisme, Il
conserve les CO-homologles; donc, SI~ est C -homologue b.
hz,+=1 (r,$,K?est CO-homologue A + K?=p;',donc
on a bien 1 (K 7
; K(a))
=+ (hq.+ .
Remarque - Il n'était nullement évident a priori :
1') que l'intbgrale A.-*cl.
fût un nombre entier ;
2')
que cette int6grale fût Independante de la structureeuclidienne (dont dépend pourtant 0, ), et ne dépendrt quede 7
, de l'orientation deT ,et de a . C'est naturelle-ment tr&s intuitif, et on trouvera beaucou? de trait& ancie
de mathématiques, où tout cela est admis dembléei
nous avoncependant vu toutes les difficultés qui devaient etre vaincupour le montrer.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 271/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 272/599
250
Soit d'autre partaa
: ;I
-a% une application continue--l-.
*A dans E . Si alors, pour toute valeur de a,a>n'a ppas ài'image
artlent
H,(X)
J
l'indice du cycle H, 1;
par rapport au pointas
varie continuement avec 1
;par
aonseauent,
toutpoint
1 possède un voisinage 4ans leouel
cet indice reste constant; en particulier il reste constant
sur toute composante connexe de A , et sur A tout entierdA est connexe.
Corollaire 2 - Soit
H,
,n,,n,,...,
H,,...,
unesute
d'ap -
plicatlons continues de 5,dans i , convergeant,pour
TL
infini, vers une application H , uniformément surx
;&
soit a,,a,,a, ,...> a, >... , une suite de points de E ,
convergeant vers un point a , pourri infini. sa& H(x),
alors, pour n, assez grand, a7L +
H,(x) , et l'indice de
H,l
.%
SE an
est égal~3
l'indice de H( 2 a.
Corollaire 3 -Soit
H 1% un cycle de ùimensionN - 1 d'un
espace affine orienté Ê .-
Alors l'indice de ce cycle parrapport a un point a , appartenant R E
-
H Z)
, est le
mêmelorsque a parcourt une composante connexe de cet ouvert
il est le même en deux pointsqui
peuvent être joints par un
chemin ne rencontrant pas l'imageH(C)
D
Si en deux
points&
et&
, l'indice& H /?- n'est pas le&ne,
u
n'existe aucun chemin .joignant ces 2 points sans rencontrer
l'image H(Z).
Ce corollaire, qui résulte immédiatement du corollaire 1,est un des plus puissants outils pour montrer que 2 ensemblesont un point commun.
Soit, par exemple, à traiter l'exercice suivant (dont uned&monstratlon
directeTATa;;
t&+,s délicate). Soient i
unecirco'nf6rence dew, 2 diamètres perpendiculai-res. Appelons d (resp. J3 ) un c'hemin joignant A Q A' (respB & B' ), en restant (sauf en ses extrémités) toujours dans
la région intérieurea
x
. Montrer que ces chemins se ren-
contrent nécessairement.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 273/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 274/599
252
et 0 qui ne sont pas égaux, Donc le chemin /3 joignantB A B' rencontre l'image H(r) . Comme il ne peut pasrencontrerH
( [ n. z ~l ) ,
il rencontre a , ce que *OUS
voulions démontrer.
C o r o l l a i r e 4 -
Soit Hlfi un cycle,de dimensionN-1,
d'un espace affine orienté euclidienE
dedimensionN
,contenu dans une boule ouverte b
,de centre 0 et derayonu, Alors son Indice par rapport A tout point aqui n'est Pas dans cette boule est nécessairement nul.g& est un point par rapport auquel l'indice du cycle
il n'existe aucun chemin généralisé*
.joi-
So?i lrinfini, et ne rencontrant pas l'image du
Démonstration - Le cycle, appartenant a la ooule ouverteB
qui est convexe est,nécessairement homologue é 0
dan;
cette boule ouverte (corollaire 3 du théorème 54) etpar conséquent dans E - G , si a n'appartient pas à laboule ouverte. Il en résulte bien que son indice,
par
rapport A a, , est nul. Il était d'ailleurs intuitif qu'untel cycle ne pourrait Pas "entourer" a .
Supposons qu'il existe un chemin généralisé M 1 [O,+oo[joignant k a l'infini dans E , et dont l’image ne rencon-t r e pas l ’ i m a g e H(C) du cycle; alors, nécessairement.l'indice du cycle Par rapport au point M(t)
doit êtreconstant lorsque b varie de 0 A +=a . Or, a partir de t
suffisamment grand, cet indice est nul; donc l'indice par
rapport aupoint8
est également nul. Cela montre bien que.si l'indice au point& n est pas nul, Il ne peut existerde chemin genéralisé joignant & a l'infini et ne rencon-trant pas H (X.).
I~ w w ~~~lI~ll~~~~~ll~~ll~~~ll~~ll~ll~~~~lll~~~ll~ll~~~l~
Noua venons de voir que l'indice d'un cyclene peut varier que quand a traverse l'image dula traverse en un point suffisamment régulier,
voir
qu'on peut savoir comment varie 1 indicesée.
au pointa-
cycle. Sia
nous allons
A latraver-
lCn chemin généralisé joignant 4 a l'infini est une
application continue M
d'une demi-droite da,++m[ Par
exemple,dans E , avec M(O) = 1 ; et t$m I M( t) - hl l = +m .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 275/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 276/599
En utilisant des translations, cela revient à dire que :
('4,8;61)
I(H
+qq5;,,)
=
I(HIC;c+J
de 2 Nous avons maintenant t' comparer les indices 1, et1,cycles différents, par rapport au même point a, .
Mais Il existe une homotopie&dans E qui fait passer d'uncycle à l'autre :
1'applicationH
de [t,,t,] x
Z
dans E
définie par
(YI,f:62)
(tr)-+ G(t,z) :
H(x)
+a,-a(t)
On peut, pour calculer les Indices 1, et 1
H 1
C
1 '
rwnplacer
H+aZ2jJC e t par les cycles équivalents
Hl{t2} ~3 et KI{L,} x 5 , et appliquer la
formule (vI,~;) (où[0.11 est remplacé par [t, , t2]) :
La différence cherchée I,- 1,
cycle du premier membre.étant l'indice en a, du
Mais nous nous trouvons exactement dans les conditionsd'application du premier cas de la première partie de ladémonstration du théorème 61.
Le cycle écrit au 2ème membre est-un bord dans E . Enoutre, 1 image r&iproque de
a,
par H est l'unique point
(t7 x) de [t,,t,]xY,tel que(v1,8;64)
H(X) - a(t) = 0 >
c'est-h-dire le point (t, ,a,) (H(ao) =a,),puisque
la tra-
jectoire est supposée rencontrer C au seul point a, , cor-
respondant a l'instant t, . Au voisinage de ce point, H est
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 277/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 278/599
2%
ou la variation de l'argument (d'origine a ). Mais on le faitde manière particulièrement rapide, en remarquant que, dansla composante connexe de l'infini, c'est-k-dire pour lespoints suffisamment éloignés, l'indice est nul, et en utili-sant le fait qu'k chaque fois qu'on traverse la courbe dansle sens positif (resp.
resp. + 1).
négatif) l'indice augmente de - 1
- Les flèches indiquent le sensde parcours, les flèches
pointil-
16es
le sens transversalZO
(Rappelons qu'un vecteur transvep
sa1
positif, suivi d'un vecteurtangent positif, donne une basepositive du plan orienté
)
Il nous suffira dans le cas de la figure, pour nous trouvedans les
CQnditions
d'application du théorème, d'éviter de franchla courbe en des points singuliers.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 279/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 280/599
258
Mais,
dans le faitqueC
partageait E en 2 réglons,nous avons démontré, au théorème 28, C étant
cormexe,
qu'il y avait au plus 2 régions; pour montrer qu'il y enavait au moi ns 2, nous avons utilisé le fait que Z avaitune équation normale, d'après une renarque non démontréeet. en fait très difficile a dénontrer. du cours de
lère
partie. Or
Ici nous avons de quoi don& maintenant une&émonstration dr? corollaire qui r.e s appuie pas
sur
cettereTT2FQ e.
Nous garderons, de la démonstration du théorème 22, cequi a été compltiteme~t nontrt , a savoir qu'il y a au plus
2 régi ons. Ensuite,C étant de classe C' , et supposéeorientée dar.s Ê orienté, elle a une orientation transver-sale, et on peut la traverser transversalement en l'unquelconque de ses points.de
Z
d'une unité.On fait alors changer l'indice
Il y a donc au nains 2 valeurs del'indice pour les points a 3e cc . Donc il y a au
n.oi ns 2 régi ons. donc exactement 2. Le raisonnement dela page 109 montre alors bien qu'il y a une région conte-nant le complémentaire de toute boule fermée contenants,
ou composante connexe de l'infini; l'indice y est nul,d'après le corollaire 1; du thGor>me 62. L'autre région estalors bornée et l'indice y vaut t 1.
Nous avons déir.ontré <lue ce que nous avions admisauparavant; nous supposons ici Z compacte et ori entabl e,alors qu'zvant nous l a supposions seul ement fermée
tt
nous démontrlons
peut2
qu'elle était orientable. On fait ce qu'on
Mais,
lorsqueZ
est compacte et non seulement fermée,on peut parler d'indices, et notre résultat actuel,
sur
les Indices 0 ett
1 des 2 régions, estun
complémentintéressant.
Classes résiduelles d'un cocyclet
sinwarités isolées :n
Soientfi un ouvert d'un espace affine orienté E de _
dimenslonN,
A ={a,,
a2 ,...,
a(1
un ensemble fini de fi , etLJ
un cocycle de degré N-1 de fl -A , hi valeurs dans unBanach? .
On appelle alors classe résiduelle de ;j ,,au
pointai
de A l'intégrale dez sur n'importe quel C-cycle de laclassé de C'-homologie (a: )
dansfi-
A
(tous
cescycles étant c' -honologues, l'intégrale~st la mème) .
Cette classe résiduelle est un vecteurdeF
(un scalaire,si,y
estU
valeurs scalaires). Elle dépend de l'orientation
de E , et change de signe en même temps que cette orientation
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 281/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 282/599
260
,,
soit v cG une variété de classe
C' , avec bordc o m p a c t e , orientée de dlmensionN ,et soit
H
une applica-tion continue de v
même dimension N .dans un espace affine orienté Ê deOn appelle degré topologique de ki ,
en Il
pointade
E , n'appartenant pas b l'inage H(.bV)
du bord eV de V , l'indice du cycle Hl rV par rapport
au point 0. *
Il résulte du théorème 61 (ler cas de lalère partie de la démonstration) qu'on possède uneinteyprétation
géo&trique
simple de ce degré topologique,si 1 Image réciproque du point a ne contient qu'un nombrefini de points de c,
H est de classe C' ,au voisinage de chacun desquelset en chacun desquels l'application
dérivée deH
est du rang maximum N . Dans ce cas, eneffet
> le degrétopologique
de l'application est lenombre des images réciproques de a , au voisinage des-quelles H conserve l'orientation, diminué du nombre desimages réciproques de u. au voisinage desquelles
H
Inversel'orientation. Il n'existe aucune interprétation de cegenre dans les autres cas. Toutefois, ce degré topologiqueest constant lorsque
u
variecontirAment
sans rencontrer
H(hV) Or, d'après ce que nous avons vu dans la démonstration d; théorème 61 (2ème cas de la lère partie) sil'on suppose simplement que H est de classe C'
et'sia
est un point quelconque n'appartenant pas à H<kV)
,pour tous les points suffisamment voisins de
a
ledegré topologique est le même, et,pour presque cous ces
points,SIH est
il admet l'interprétation géométrique précédente.seulement
contlnue,
cation C' )
on l'approche par une appli-et on retombe dans la situation
précbdente.
D'autre part, un point important reste toujours vrai :
* Si on cnange une des deux orientations, celle de V
ou celle de E , le degré topologique change de signe;
si on change les deux, Il ne change pas.
Si V n'a pas de bord,
kV = $
, ledegré
topo-logique est forcément nul.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 283/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 284/599
262
Voyons melntenant comment, pour H etA
fixés, ledegré topologlque dépend
GeV
. On se rend compte que,si on fait varier V dans V de manière que l'iaa$e
réciproqueH-'({a))
dans V’ne varie pas, le degre topo-
logique ne varie pas.
Théorkme
67 -
Yolt
H une application continue d'unevariétsorientée F, de dimension N
oriente Ê de dimension N, dans un espace affine
avec bord, compactes, de 'v
Soient V et V deux variétéss Si le5 Gages réciproques
H-'la] n V, coincident, et ne
, alors les degréstopolo-
des applications H g QI
95
Démonstration- Posons
w = v,uv, , K,=H(W-$),
K ~(w-+~).
W est un compact de V, K,
etK,
sont des compacts
de E comme inmages de compacts par H
*appelons 8
leminlm& des distances (pour une norme iuelconque sur E )de
a
h K, et K,
H du compact W
Si nous remplaçons l'applicationdan;
E par une autreHo
et a par
sun autre point a, , avecI//H-tiJ c ?i,
alors H, (W _ 0, )
11
aà-a'll < 4
,
et Ho w- 2)
ne contiendront
toujours pas a, ; donc Hi'({%\),dans W , reste dans
0,
n
Q*
; ou encore, les imagesreciproques
par H, ,sic
ao
,dans
t,
3
Y, , coIncident.
Mals, dans ce cadre, on peut choisirIi.
de classec
sur W ;théorèxae 52), de manière queH;'({a,))
soit .
un ensemble fini, et qu'en chaque point de cet ensemble,
Hl
soit de rang N.(22~
cas de la lère partie de
la démonstration duAh6orème 61).AAlors
l'expression
des indices de H,I- V,
e t H, pi, au pointa,
, par
leler
cas de lalère
partie de lademonstration
dumême théorème,proque par Ho
comme nombre de Po$ts de L'image réci-, de a, , dans V, et V, , où Hh
conserve l'orientation,diminué du nombre de points del'image réciproque où elle l'inverse, montre bie2 queces deux indices sont égaux. Les Indices de H,(&V,-et
Ho 1 bi,
en a, sont les mêmes que ceux de H kV,
etHIfi,,
en a (théorème 62);
les degrés topologiques de H 17,
et ce sont précisément
etHIV,
en a .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 285/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 286/599
264
Démonstration - Comme toujours, il suffit naturellementde démontrer que le
polyn8me
admet au moins une racine,Sirn~l ~ On peut trouver un norr.bre R > o tel que, siuo
est le coefficient du terme de plus haut degré dupolynôme, on ait, pour 1) j
3
R , l'inégalité :
Le théorème de Rouché est donc applicable, avecH())=aQjm,
K(>) = Pq, - a 7- *
08
Il nous montre que l'application,
définie par le polynôme P , du disque iq\ -c R dans le plan
complexe, a le même degré topologique, au point 0
l'application 3 -a, a-
, que. Or, d après la définition
même de ce degré. celui-ci est l'indice, par rapport à 0
du cycled6finl
par l'applicationH:a
-.
Z=aOjm,du cerclé
r : 131 z? R , muni de son orientation canonique, dans
Qi
. Cet Indice, d'aprks (VI,B;57), vaut :
(v l , s ; l o )
1
- -
dZ
~ m.-a-
1
2ilT
y=
HI ?
Z-LX
1
i :
3
c'est-A-direm fois l'indice de ? , donc m.
Nous avons donc demontré que l'application définie pu-P,
du disque 12 1 & R , dans le plan complexe c, adegré topologiquemau point0 . Comme
m+o
, il existebien au moins une racine dans ce disjue. Une récurrence
permet, h
partie de 1 existence d'uneracine,
de montrerl'existence de m racines; mais nous avons bien aussi lesoupçon qu'on peut directement aboutir G ce résultat, -utilisant le fait que le degre topologique estm .
C'est bien ce que nous verrons au théorème ? duchapitre VII.
Corollaire 2 -
m E un espace affine normé de dimensionfinie sur le corps des réels. Toute application continue,d'une boule fermée de cet espace dans elle-même, admet aumoins un point fixe.
Ici encore, nous avons une application du degré topolo-
gique à la démonstration de l'existence de racines d'uneéquation.
Démonstration-
l'/ Supposonx
d'abord
que la norme de Esoit euclidienne.
Soit.#
l'application continue donnée, de laboul2
B decentre& et de rayon R , dans elle-&me. Orientons E
n'impor-
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 287/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 288/599
266
C'est une application continue en tout point + 0
car les normes sont continues et qu alors le dénomlna-
teur n'est pas nul. Elle est aussi continue à l'origine,car 2 normes quelconques de Ë
rème 13 du chapitre II), alorssy$;,,équivalentes
(theo-
tq
est borné(thec-
rème 12 du chapitre II) etL(z) tend vers
0
quand z
tend vers ?i , On a :
donck
applique la boule unité 6, , pour la norme
Il
II, , dans la bouleunite
B,
pour la norme/I
Ile.
Mais $L a une application réciproque -# :
qui est aussi continuedeË
dansE et applique 6, dans
5,
, donc x est un homeomorphisme de 8, sur 0, , ce
qui achève la demonstratlon du corollaire dans le casgénéral.
Remarques - l / Cette demo,~stration suppose essentlelle-
ment que F soit de dimension finie, d'une part pour1 application&
topologique,
d'autrepart.
dans 2'. pour que toutes les normes soient équiva-lentes. On peut démontrer qu'un theorème analogue seraitinexact si i est un espace affine normé, de dimension
is on a le remarquabletheoreme
Suivant. quer%E%&e~&rons :
Théorème 68 bis - (Theorème
du point fixe deSchauder):
Boit E un Banach. Toute application continue d'un com- pact convexe
K
de E dans lui-même admet au moins unPoint
fixe.
SI
E est de dimension finie, les boules sont bien com-
pactes convexes.
* 12
s%fflt,
pour le voir, de montrer que4%
o
X et
‘&OR,
sont l'identlte. Or on a , par exemple :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 289/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 290/599
268
Mais2
n'est autre que la symétrieT,.?ï
par rapportL l'origine. La formule
(VI,8;51)
montre alors immédiatementque z*w = (-1)NW > de sorte que l'on trouve la relation :
Al ors si , maintenant, on utilisel'homotopie
définie par
i,J i,8;11)
(t,z) - tx,r)
+ (1-t)
Z(I)
>
l e rai sonnement déjh fait ci-dessus montre que_le cycleX/g
a rrême indice, au point0
, que le cycleS-dire (-1)
Z]c
c'est-
avoir 1= (-1)N .'or, si N est supposé impair, on né peut
Nous aboutissons donc a une contradiction, cequi signifie que, contrairement & ce que nous avons supposéau début de la
d6monstration,
le champ z s'annule &Cessai-
rement
en au moins un point de la sphère, ce qui démontrele theorème.
Remarque-
valableCette démonstration ne serait évidemrrzt plus
pourN pair, car alors le champ sortant Y et le
champ rentrant z définissent deux cycles 712 etzj.2,
de même Indice + 1 au point 0
le théorème n'est plus vrai,. D'ailleurs, dans ce cas,
et il existe des champs devecteurs continus, ne s'annulant jamais sur le sphère. Si,
par exemple,et si,
on considère le cercle trigonométrique (N=
z),
en chaque point du cercle, on construit le vecteurunitaire de la demi-tangente
posltlve,-on
dkfinit
bien
unchamp de vecteurs continu partout = 0 sur le cercle. Pardes méthodes beaucoup plus compliquées, on peut construirede tels champs sur les sphères, dans des espaces euclidiensde dimension paire quelconque.
Corollaire - S&f une application continue d'une sphère x
d'un espace affine euclidien E de dimension N
e Ile-meme. SIN
est impair,,&
,,dont
Fimage
il e;tiste au moins un point%. de
c
pOpDOSe & 32
ar
?
soit
r
OU le point diametralemez
surx.
Démonstration - Considérons le champ oontinu de vecteurs
Ce n'est naturellement pas un champ de
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 291/599
269
Mais si, en chaque point ae la sphère, nous proJetons
orthogonalement le champ sur le plan tangent, on définit unchamp continu de vecteurs tangents a la sphère. Comme
alorsN
est impair, Il existe au moins un point où cette projectionest nulle, est normal.
Comme 8
c'est-&-dire où le vecteur 0
(X)
est un point de la sphère, cela ne peut seproduire que si ce point est, ou biens , ou bien le point
diamétralement opposé à(x;
.
On peut faire une extension considérable de la théoriedu degré topologique.
Soientv
et G deux variétés de même dimension N , toutesles deux orientées, V étant éventuellement avec bord, malstoujours compacte, et W sans bord. Soit H une applicationcontinue de V dans W telle que l’image par Ii de &V ne
rencontre pas le pointd
de W l alors il est possible dedéfinir le degré topologique de'l'application H au pointa;ce degré topologique possède des propriétés analo&es a cellesque nous avons vues plus haut. Un cas intéressant sera celuioù V est une variété compacte sans bord. Alors on peut, sansresJrictionhdéfinir le degré topologique de l'application H
de v
d a n s W , en tout point a de W l ce degré topologiquevarie continuement avec a et par suite'est constant sur toutecomposante connexe de w .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 292/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 293/599
271
VI I
FONCTIONS DE VARIABLES COMPLEXES
9 DÉiRIVABILITE PAR RAPPORT AU CORPS DES RdELS ET AU CORPS
DES COMPLEXES
Tout ce qui a été traité dans le chapitre III du calcul
différentiel était valable aussi bien par rapport au corpsdes réels que par rapport au corps des Complexes, a l'ex-
ception de la théorie des maxima et des minima (et enparticulier du calcul des variations), qui supposait es-sentiellement la fonction considérée à valeurs réelles.D'autre part, dans le chapitre V des équations différen-tielles, on considère toujours des fonctions d'une varia-ble réelle, c'est-&-dire définies sur un intervalle deR
a valeurs dans un espace de Banach F sur le corps desréels ou des complexes.
Comme nous l'avons dit, au début du paragraphe du Cha-pitre III, siE et F sont des espaces affines normés surc, ils sont a fortiori des espaces affines normés surR,
et toute application d'un ouverta de E dans F ,dériva-
ble par rapport à @,est a fortiori dérivable par rapport
aR ; mais, dans ce cas, l'application dérivée $'(a) en
un point a de fi se trouve être une application de E
dans7 , non seulementlR-linéaire mais aussi c-linéaire.
Inversement d'ailleurs, si est une application defi
dans F , qui, en un point a, te tR-dérivable,
et si sa
dérivée $'(a) est nonseulementR-linéaire
maislinéaire, elle est@-dérivable de même dérivéec'est ce que montre immédiatement la définitiont
FU~S~@-
(a) ;
(III,3;13).
Théorème 1
SolentË etF deux espaces vectoriels sur le corps des_-
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 294/599
272
complexes. Pour qu'une applicationl de E dansr ,& -
linéaire, soit@-linéaire. il faut et il suffit que, pour
toutvecteurx
de Ë , on ait
P,1;4)
L(5)= ;L(T)
SiE' est de dimension finie, et si(e) _1
;1-
est4,2,...>fi
-
une&base de Ë,il suffit, pour qu'il en soit ainsi, quel'on ait, pour chacun des éléments de cette base, la
rela-
tion
Démonstration
Les conditions écrites sont évidemment nécessaires, etnous devons démontrer qu'elles sont suffisantes.
si
(nrr,4;1)
estréaliske,
et si.2 +
i
t*
est unnom-
hre complexe quelconque, on aura bien
ce qui prouvera bienqueL
este-linoaire.
O'autre
part, pour que(pIc,4;1)
soit réalisée siE est de dimension finie, Il est hien
suffisant, puisqueL estR-linéaire, qu'elle soitréall-
sée pour les éléments d'unex-base deË . Or si elle estréalisée pour les éléments e. d'unec-base, elle est aussiréalisée pour les éléments
i&. , car cela s'écrit
L(*.i~~)= tL (;~) Ou L(--éj)="L(~~'"" L Lëj =iL ë’
1
et l'ensembledese
Zconstitue
bienune]R-base
de E ,6'
d
Corollaire 1
SIE et F sont des espacesQo-affines, etsi8 est une
aDDlication d'un ouvertfiLe E dansF, R-dériv&hle auPoint a can, Pour que 8 soit@-derivable au point u,,
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 295/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 296/599
274
Remarque. On peut retrouver(mL.i;6) autrement : pour
de quelques précautions, qui rendent sa justificationmoins commode que la méthode précédente.
Corollaire 3
Si 4 est une app-lication d'un ouvert fi d'un espaceG
,
affine E dans le corps des complexes c, et si P et a
sont la partie reelle et la partie imaginaire de j ,soit
=P + iQ alors , si Pet9.
sont des fonctionsR-dérlva-
bles sur&%, la condition nécessaire et suffisante pour
que 4 soit@-dérivable, est que l'on ait, pour t out ?EË:
(pI I >~;GW
D,P,
--Di;a
Si E = a? , cette condition s'écrit ( en prenant succes-
--A_
sivement X= e; ,ie;) sous la forme des conditions deCauchy-Riemann:d
d
m.r:n
bP_ dQ ap
Xi
aw-
k
3a
3
k
C'est évident, il suffit de prendre la partie réelle et
la partie imaginaire de tYIL,f;5)
Corollaire 4
Si.L%est un ouvert connexe d'un espacea?-affine E , si b
est une fonction@-dérivable sura B valeurs complexes,
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 297/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 298/599
276
prendre leurs différentielles &.
i '
9j
De même les coordonnees complexes'56
sont des fonc-
tions à valeurs complexes sur E et admettent desdiffe-
rentielles
Y-i
On a alors les formules %j= hi+ LC$~ j en prenant
les fonctions complexes conjuguées ~~=Xj-*Ya’
on 3
~j - ~j - i~j . Soit
S,lOrS $ une SppliCStiOn
d'un
ouvert fi de E dans un espacecomplexes. Suppososns seulement que
FSUI-
le corps dessoitR-dérivable
en un point a de.fI, . s'exprime avec la
notationdifférentielle
du Chapitre III, sous la forme-
Si nous exprimons lesdccjet
par
on obtiendra la nouvelle expression
On est ainsi amené 6 poser (pour une fonctionseulement&dérivable,
qui estrappelons le encore une fois ) :
uI,4;
bis)
de sorte que l'application dérivée (encore une fois, ausens réel s'exprime sous la forme particulièrement simpleen notation différentielle
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 299/599
Les symboles ainsi introduits ,- ,- , sont d'une6%'
a;a,
manipulation très pratique. Les CO ditions (X,1;5)
donnent immédiatement :
Corollaire 6
Pour qu'une application4 de l'ouvert SZ de C'Ldans F3
etR-dérivable soit@-derivable, il faut et il suffitqu'elle vérifie les equations aux derivees partielles
et, dans ce cas, ses dérivées partielles par rapport aucorps des complexes 5 définies par la formule(IuL,i;6)
%
-
corncident
avec les quantités 0%
3j
définies par(J lL,1;10.
Théorème 2
Soitz
une forme différentielle de degré #U , définie<
sur l'ouvertfi de l'espacec*à valeurs dans F etR-déri-
vable. Alors soncoborddz
est donné par la formule
suivante, analowe à la deuxième formule(3T.6;~) :
En utilisant en effet la formule (YI,+;l) ~
on auraimmédiatement
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 300/599
Th&x&me 3
Soit
4 uneapplication
deux fois]Ee-dérivable d'un
ouvert fi de @-dans F . Si alors elle est une fols O?-
dérivable, elle est harmonique, autrement dit v&ifie
est B. valeurs dans le corps des complexes c et sIP
etQsont sa partie
réelle et sa partiefmaainairset 0. sont aussi harmonique. )
a1orsP
Démonstration
La laplacien A s'exprime avec les notations (VII, 1; 11)sous la forme :
ce qui donne immédiatement le premier résultat, d'aprèsle corollaire
Le rfsultat relatif aux parties réelle et imaginaire
P,Q, pourF= c , est évident, carA(P+iQ)=AP+LAQ,
AP et AQ réelles.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 301/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 302/599
c'est-à-dire par AP = 0 ;,cette condition est donc véri-
fi&
puisqueP est supposee de classe CL et harmonique.Il est donc possible de déterminer Q ; le résultat est
uniqueà
une constante additiveprks
sifiest
connexe(car la différence entre 2 solutions est une fonction dedkrivées premières nulles,orème 22 du Chapitre III).
donc constant.e d'après le thé-
Remarque. Ce rksultat ne susiste pas du tout pour unefonction complexe sur @;,
22
.
La partie réelle et la partieimaginaIre
d'une f'onc-
tionc-dfrivable SU~~C c à valeurs complexes, sont ap-pelées deux fonctions réelles harmoniques conjuguées.On voit que, si l'on s'est donne une fonction harmonique
dans un ouvert simplementconr.exe,
elle a une infinitéde fonctions harmoniques conj.aguees, déterminks à uneconstante additive près si 1 ouvert est connexe.
Il est 3. remarquer que siQ est la fonction harmoniqueconjuguée de P ,de Q est
-P
.alors une fonction
harmoni~ur
conjuguée
s 2 THEORIE CLÉMENTAIRE D E S F O N C T I O N S H~LOMORPHES D’UNE
V A R I A B L E C O M P L E X E : F O R M U L E S I N T É G R A L E S D E C A U C H Y
soitE uncspece
affine normé suraO F un espace de
BANACH SUT @ (on ne serait paspertcut'okligé
de suppo-se-7 vectoriel et completparce qu'on intègre desr
fonctidns
mais la plupart du temps,continues à valeurs dans
Nous le supposeronsfoujours
vectoriel et complet, etne le
repèterons
p~~~xkessairement dans les énoncés). Onappelle fonctionà valeurs dans
F
- holomorphe sur un ouvertJ2 de E
une fonction de classe C%par rapportau corps des complexes.
Nous verrons au thfiorème 10 que, siE
a la dimension
complexel,
C'- holomorphe implique C - holomorphe.
Nous étendrons cette propriété bien plus tardà
E quel-conque (theorème ?) Jusqu'au théorème 10, nous ferons soi-gneusement la distinction. Ensuite, nous écrirons simple-ment holomorphe, sans préciser, et celà quel que soitE.
Cela voudra dire Cm-holomorphe. cette hypothèse sera vi-siblement
exngeree
dans certainshnoncés mûis ce sera sans
importancepuis-u'on
saura a posteriorique
les diverses
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 303/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 304/599
282
11 faut et il suffit que, pourtoutC'-boru
r'
de dimension 1
ZISLCL, on ait la relation
Si eneffet4
estC:holomorphe,
est
un ,cncgcle, (théorème 5) ettre VI
(5tokes)nous
indique bien que son intégrale surtout C'-bord est nulle.
RGciprcquement, sim est une forme différentielle de
classe C' dont l'intégrale sur toutC’-bcrd
est
nulle
k
th&
réme 42 du Chapitre VI nous indique que c'est un co-cycle,
ce qui d'après le théorème 5 prouve queeest Ciholomorphe.
Remarques
On peut améliorer considérablement l'énoncé de cethforème
:
1") si?
estclholomorphe,
alors d'après le corollaire6
du théorème5’1
du Chapitre III, on a encore la relation
même
sir
est simplement une variété singulière, compacte,orientée,de dimension 1, de longueur finieC”-
t,ord
dansLL
., L,>ùi soit un
Toutes leslois
que nous emploierons les expressionscycle
bord, v,,riitc avec bord, ce sera pour' intégrer une forme
aifferentielle
etappliquer
STCKE3.
confcrm6ment aux con-ventions du
9
6dti
chapitre VI,ce'sercnt
toujours descom
pacts;
doncr
nous ne lerGpèterons
plusdzns
leskoncss.
Iciest comp,2ct,
D'autre pzrt,
boni d'un? variete nvec bcrd compacte
r&lle
2,
lesvnri6tGs
avec bord
seront üe dimensionles
cycles
et les 'burz~ .ie
din.enji-n ri:~ll
le
1.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 305/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 306/599
284
si .jestClholomorohe.et sifi est simplement connexe,
alors la formule (VII,2:2) est vraie Pour toutC(cycieT
;OU aïe POUr touts-cycle de longueur finie f ).
En effet,.f2. etant simplement connexe tout cycler estun bord (corollaire 2 du théorème 54 du Chapitre VI).Mais on pourrait aussi dire :.fL étant simplement connexe,le cocycle G? est un cobord (théorème 59 du Chapitre VI),donc son intégrale sur tout cycle r est nulle (théorème39 ou 41 du Chapitre VI).
Primitive d'une fonction holomorphe
Théorème7.
Si -J est une fonction holomorphe dans fi simplement
connexeC@à valeurs dans l'esuace de Banach G * alors
elle admet des primitives F , c'est-à-dire des fonctionsc:
holomorphes surfi à valeurs dans G,
si.n
telles sueF -$.est en outre connexe. ces primitives sont determinees
& une constante additive Pres.
Demonstration
si estCcholomorphe,la forme
différentielleP
est un co-cycle; comme alorsfi est supposéeconnexe, il r6sultecJu théorème 59 du Chapitre VI qu'elleest un cobord. Soit F une fonction primitive extérieurede 5
;
on a alors la formule
@<2;4)
c'est-a-dire queF
admet potir dérivée
par rapport au corps des complexes
* Nous appelons ç le Banach au lieu de7 comme d'habitude,
pour pouvoir appeler F les primitives de
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 307/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 308/599
est un multinle entier, de 2bK , et la fixstion d'une
telle détermination en un peint defi la fixe dans fi
tcut entier. Il existe de telles déterminations toutes
les rois queSz
est simplement connexe.
DCmonstrar,lon
Supposons d'abord que $ soit une détermination continuedu l.ggarithme dans
fi
. En posant 2 = 4 (a)le théortmedes fonctions rfciproques (corollaire 4 du thaorème 11du Chapitre III, valable également, rappelons le, pourles dérivations par rapport au corps des complexes) nousdit que l'on a
autrement dit
4
est certainemente~holomorphp;et primitive
de1
dansfl
.
2
Si alorsfi
est connexe, la différence
entre deux déterminations. ayant une dérivée nulle.est une
constance,
enti er de ~LT-.
qui est necessairement un multiple
Sia
est simplement connexe, 1 a des primitivesd'après le théorème 7.
3
Choisissons alors une primitive$,
enun
point adefi
de façon que (a) scit l'une des determlnatlons delo 6~ .
?
Alors, du fait que la dérivée de#
est;
, on déduit
que les fonctions ej's)
d
dans42
,et $ ont même déri vée logarithmique
et CommefieSt connexe, on en dtduit que leur
rapport eSt,une constante (voir 3” page 713 du ChapitreIV),
Ce rapport etant égal zi 1
au pointG il est Zgal à 1
dans 'coutil% et 4 est bien une détermination holomorpne
du logarithme dansSz
.
Remarque
1') Il n'est nullement nécessaire i'e supposerfi sim-plement connexe pour qu'il y existe des
dbterminations
holomorphes du l ogari thme : par exemple dans une couron-ne h< l$-al<R. si (a\LR , il en existe, puisqu'ile:
existedans
le disque (simplementconnexe)J$-ai<
R.D
apres
le theorème 45 du Chapitre VI. appliqué à la for-
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 309/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 310/599
288
rigueur, on voit que Lmj5
a augmente de? 2~Tr' donc
fi= (pu a bien été multiplié par &
+LT
=- 1.
Demonstration du théorème de pm sur les primitives
extérieures des formes différentielles dans le cas au corpsdes complexes.
En démontrant le théorème de Poincare (théorème 19 duChapitre VI) nous avons supposé qu'il s'agissait de
formes différentielles sur le corps des réels ( cetterestriction est indiquée au cours de la démonstration,page 81.).
Supposons dos qu'il s'agisse maintenant d'une formedifférentielle w de classec' par rapport au corps des
complexes, définie sur un ouvert a de cN, B valeursdans un espace de Banach F .
On suppose touJours quefi ait les propriétés indi-quées dans l'énoncé du théorème 19, et que 0 est fermée,de degré 31.
En fait, on peut supposer que& vérifie des condi-tions un peu plus générales que celles de l'énoncé duthéorème 19.
Designonspar<,<,...,énla
base canonique decN
On va supposer que si, par un point quelconque a-
defi on mène le plan B deux dimensions réelles (sous-
espace affine a une dimension complexe) parallèle aux
vecteurs ë , hë,
d d'
il coupeJL suivant un ouvert à la
fois connexe et simplement connexe fi' (0,) qui, s'iln'est pas vide, contient necessaireme ri
t un point dans le
sous-espace à 2 7%-2 dimensions réelles ou m-1 dimen-sions complexes,
mené par l'origine parallèlement aux
vecteurs de base etA
leurs produits pari
.
On effectue ensuite la même démonstration par récur-rence que dans le cas du théorème 19. Il faut naturel-lement tI UVer une forme A
primitive deL par rapportcomme dans cette demonstration. Or il suffira pour
de prendre une formule analogue à (VI,4;44) quisera ici
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 311/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 312/599
et‘r
est lebovd
de I,CL , mais [,a n'est pas
ccmpacte, de sorte qu'au sens du paragraphe 8 du
Chapitre VI ,r
n'est plus un bord dansC*Y
D'ailleurs
le résultat ne subsiste plus, on ne trouve plus; .
Appelons 6 un cercle ayant pour centre LI- parcouru dansle sens direct, et tel que le disque A qu'il borde soit
0
entièrement contenu dans V . Alors-r sera le même cercleparcouru dans le sens rétrograde.
Dans [n ,r-y
estun
bord, A savoir le bord de [
h
Y
in peut donc appliquer lethéortme
6, ce qui donne
Ce résultat est indépendant
Pour démontrer le théorème,démontrer que l'intégrale
du rayon du cercle r
il nous suffit donc de
Y Y
est égale à ou même, puisqu'elle est indépendantedu rayon & dz y, il nous suffit de démontrer qu'elletend versFa) quand le rayon h de a tend vers 0 . Or
cettelntegrûle
est somme de deux termes :
Le premier terme est bien égal à
~xoi~mule (VII,2;3)
;
f$G? (d'après la
Il nous suffit donc de démontrer que le deuxième tend
vel?s 0 quand le rayon h de K tend ve1's 0 . 3r puisque {
est supposéec-dérivable,
1~ ;,uantité
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 313/599
231
est majorée par un nombre fixe M quand le rayon,L de r
tend vers 0 .
La deuxième intégrale de (VII, 2; 11)
admet alors la majoration+
et ceci montre bien qu'elle tend vers 0 quandde
v
tend vers 0 , et achève la démonstrationcrème.
Remarque
le rayonb
du thé-
1')
Il est souvent commode de changer les lettresemployées, etd'écrire
:
-
(T II,2;13) -
-
2O) On peut démontrer un résultat beaucoup plus géné-ral :
Sir
est un C-cycle singulier de longueur finie dans a,c
et si c'est un c-bord dansfi
, alors on a la formule
dl /
oùI(T ;a) est l'indice der
*
p
ar rapport au point a
(page 247 du Chapitre VI). Cette formule nous donnerabien
( v11, 2; 8 et 9); si en effet a&v ,F est un bord
dans~1,
c
, donc son indice par rapport à u est nul;4.
SiCLGV
dice est il .F est homologue &Y
dansc
. ? '
donc son in-
La démonstration de (VII,2;lIJ) résulte immédiatement duthéorème 64Chapitre VI; la classe résiduelle de
5
comme le montre le précédent
* Rappelons que cet indice suppose Y orienté, et fi orienté(orientation canonique de @).
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 314/599
232
raisonnement, consistant à faire tendre vers 0 le rayonk
du cercler , et Il suffit d'appliquer (VI,8;67).
3:) Le théorème 9 a une conséquence remarquable :este-hclonorphe dansa, et si ses valeurs sont
elles sont nécessairement connues dansV
puisqu'elles sont données par l'intégrale,(VII, 2; 9): qui ne fait intervenir que les valeur de
sur r .
On pourrait se demander s'il est possible de choisir
arbitrairement les valeurs de surr (pourvu que ces
valeurs définissent une application continue de P dansF).
Il est facile de voir qu'il n'en est rien. En effet,
onremarqu-a
par exemple que la même Intégrale
Partons d'une fonction arbitraire, sur-r
à valeurs dans F . Il est facile de voir que l'intégrale
j-+2-
jtS) d<
2LX
J
7 3-3
définit alors, aussi bien
dans G que dansc
,V.
des fonctions C?hoiomorphes de
Comme en effet l'intégration a lieu sur le compact
et que la fonction ( 3 ,{)- $c$ est continue par
mwort 81 (3,X) , dérivable par rapport a ?j , pour {
flxee, et que sa dérivée définit une fonction
1jJ-
J(X)
(5 -
g'
continue par rapport à(5,g) le corol-
lalre du théorème 115 du Chapitre IV nous montre bienque l'intégrale est une fonction de classe C'par rapport
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 315/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 316/599
0
représentesa une f~nctioliC~holo~orphe dans V et prenantla valeur
J
sur r .
Soit$ scalaire. Nous verrons ultérieurement, dans
1'Ptude
des fonctions harmoniques, si Ppartie réelle de la fonction holomoZ$é
est la
d'une fonction harmonique,, c'est-à-dire
on peut choisir arbitrairementses valeurs sur la courbel' de classe C', définissantune fonction continue réelle; alors la fonctionP estbien déterminée d'une manière unique dans V . Il seraensuite possible de,déterminer sa fonction harmoniqueconjuguée QO, dans V , à une constante additive près,au moins siv est connexe et simplement connexe; et parSuite$ est elle-mêmeimaginairs près. En fait,Q
à une constante purement
que dans V ;ne sont ainsi déterminées
mais on montre elles ont des limites
aux points de? , si,r étant toujours de classe C',?
est C sur r . On comprend mieux maintenant pourquoi onne pouvait pas choisir arbitrairement{ sur7 et laprolonger dansV en une fonction holomorphe dans 0
peut choisir sa partie réellep sur r
; onet alors sa
partie imaginaire est déterminbe A une'constante additl-ve près, pour V connexe et simplement connexe.
9 3 C O N S É Q U E N C E S D E L A 2 e F O R M U L E I N T E G R A L E D E CAUCHY
La formule intégrale de Cauchy (VII, 2; 9) est l a
formule essentielle de la théorie des fonctions holomor-
phes; elle permet d'en trouver les principales propriétés
Théorème 1C
Tout- fonc.ttC1nolomorphe dans un ouvert fi de ao .
à valeurs dans un espace de Banach 7, est nécessairement
de classe C sur le corps des complexes. SI VCSL est une
variété
C’ avec bord, compacte, munie de l'orientation
canonique de c, et de bord&V = r (munie de l'orienta-
tion canonique de bord), les dérivées de a sont données ,
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 317/599
295
en tout points de L/ , à partir des valeurs de2
sur T‘,
par les formules 1
ou
11 suffit en effet de dériver(VII,2;g)
sous le signed'intégration, ces dérivations étant légitimes d'aprèsla démonstration qui a été donnée a la page 292.Si alors
a est un point quelconque, onpourra,pour
V
, prendre
un disque A de centre a contenu dansJj,,pour 7, son bord,
et voir alors que F est infiniment dérivable dans i ceci étant vrai au voisinage de chaque point a, elleest bien indéfiniment dérivable dans
fi
.
Ce théorème est très remarquable et absolument contrai-re à tout ce que nous connaissions anterieurement pourles fonctions de variablesréelles; une application d'unouvert deW dans un espace de Banach, oeut très bien être
de classeCmsur
le corps des réels, sans être pour cela
VI+4
de classe C;
mais il suffit qu'elle soit de classe C’
dansac @,
sur le corps des complexes, pour être, d'un
seul coup, de classeCT
Corollaire 1
Toute fonctionci
holomorphe dans unouvertfi
Cao
est
harmonique; si elle est à valeurs complexes, sa partiereelle et sa partie imaginaire sont harmoniques.
En effet nous avons vu qu'il en était ainsi dans l'hy-
-
pothèse particulièreOÙ
e
était de classe C2 et nousvoyons maintenant que ce te
hypothese
esttou;ours
realisée.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 318/599
Nous verrons que ceci reste vra.i sur c .
Z
Corollaire 2
Tqute
fonction harmonique surfi
C@,
a
valeurs
réelles ou complexes, est nécessairement de classe C
par rapport au corps des reels.
Il suffit évidemment de la démontrer pour une fonctionharmonique B valeurs réelles. Si alors P est une tellefonction, et si a est un point de fi, n un disque decentre (L contenu dans 0, , il est simplement connexe,et par suite, dans ce disque, on peut trouver une fonc-tion harmonique conjuguée Q , telle queP+iQ soit une
fonction C?holomorphe dansA. Elle est alors declasse
Cw et par suite Il en est de même de P.
Remarques.
1O)Alnsi nous voyons que le fait, pour une fonction, devérifier certaines équations aux dérivées partielles,
telles que -~ouA+
=o
, entraîne l'existence des dé-
rivées successives de tous les ordres. Ceci au fond nedoit pas être a priori tellement fait pour nous étonner,
Lés équations aux dérivées partielles sont les générali-sations, au cas de plusieurs variables réelles, des équa-tions différentielles, nous avons vu, au Chapitre V,
que toute fonction de classe CT solution d'une équation
différentielle d'ordremde classe Cm, est nécessairement
de classe C (corollaire du théorème 8 du Chapitre V).
Nous voyons maintenant que certaines fonctions de classec'
oucz,
solutions de certaines équations aux dérivées par-
tielles de classe C", sont nécessairement de classe C?
Toutefois. dans la théorie des équations aux dérivéespartielles, ce résultat que nous obtenons n'a pas dutout le même caractke que dans la théorie des équations
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 319/599
297
différentiel les
il est relatif à une certaine catégorie rticulière
d'équations aux dérivées partielles, celleies équations elliptiques, dans laquelle rentre les équa-
tions aux dérivées partielles Z=O,A.j
=O
; alors que3
pour d'autres équations aux dérivées partielles, commepar exemple l'équation des ondes, que nous étudieronsultérieurement, cette propriété ne subsiste absolumentpas.
2') La propriété , pour les fonctions de classe C2
harmoniques, d'être C ,
n'est ici démontrée que SUT~~,
et pour des fonctions harmoniques B valeurs réelles oucomplexes. Elle s'étend, comme nous le verrons plus tard,
aux fonctions harmoniques sur w , 13 valeurs dans un
Banach quelconque F. De même toute fonction C’ sur @
est C". En particulier, toute variété différentiable
de classe C”
sur 6 est de classe C”.
Corollaire 3 (Théorème de Morera)
Toute fonction 1 définie dans l'ouvert a de c, à
I
--c
valeurs dans l'espace de Banach G, continue et telle
P
gue 1'intéRrale soit nulle pour toute-bord
de a. est nécessairement holomorphe. Le théorème 45
du Chapitre VI nous indique en effet que la forme diffé-
rentielle continue$4
est le co-bord d'une fonction 7
de classe C', définie dans A Q valeurs dans$
. On a
alors la formule
donc
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 320/599
qui signifie d'
une part que ktC1-holomorphe et d'autre
part que4 est la dérivée de F au sens du corps des com-
plexes. Mais alors d'après le théorème, la fonction F
est nécessairement de classe Cm et par conséquent-e'*
sa dérivée première, est elle-même de classe C” surle corps des complexes, c.a.d. holomorphe.
Remarques
1') C'est ce théorème que nous avions annoncé B laremarque 2 après le théorème 6 : on peut définir la pro-priété d'holomorphie pour des fonctions continues, sans
supposerà
priori aucunedérivabilité.
2") On peut aussi montrer que toute fonctionc-déri-
vable
sur&,c
a?,
C',
a priori non nécessairement de classeest holomorphe.
Corollaire 4
Toute fonction à valeurs complexes, holomorphe, et
sans zéros dans un ouvert fl simplement connexe de @ ,
geut s'exprimersous
la forme )(A ) =
k?f' a' ou q est une
fonction complexe holomorphe dans SL .
On peut évidemment supposer .Q connexe puisqu'il suffitde raisonner dans chacune de ces composantes connexes.Puisque
#
ne s'annule Jamais,
la fonction
f
et quelle est de classe C’,
est el l e-même bien définie et de classe C:
c'est-à-dire holomorphe. Comme parailleursfi
est sim-plement connexe, elle admet une primitive
%
d'après le
théorème 7. Alors les fonctions$ %
et e ont la même dérl-
vée logarithmique f. Comme 0, est connexe, leur rapport
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 321/599
@3;2)
299
est constant d'après la remarque de la page 713 duChapitre IV; on peut alors faire rentrer cette constantedans l'exponentielle, ce qui démontre le corollaire.
RTmarque
Ceci revienta
dire quesi;4
holomorphene s annule pas
dansa
simplement connexe, il existedes déterminations holomorphes de ,&YQ 4, dans JL .
u
-J
Corollaire 5. (Inégalités de Cauchy).
soit 1 une fonction holomorphe dans fi C @. SoitM(a;p)I
le maximum de IIj7l sur le cercle 4-a-ppourp<d(a,fi).
I
On a les inégalités suivantes :*
IId )(a)l
fms
M
(d;f);en
particulierIl$=
11~
M(a;f)
.I-L
Démonstration.
Il suffit d'appliquer(VII,3;1)
pour le cercle r :
Remarques.
1 )
Si l'onecfectue
le développement de Taylor de ,1
la norme de sur le cercle 1
ta-ai= p est
pkcisément
On peut donc aussi énoncer
ce corollaire en disant : le terme de taylor
est majoré, en norme, sur le cerclela-a1
=
P
, par0
I
le maximum M( ;PI
de $ sur ce cercle.I
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 322/599
300
2") Naturellement il faudrait se garder de croire
qu'en tout point' 'p
de la circonférence, la norme deicp,
soit au moins ega e à la norme de chaque terme de Tay or'
Si par exemple nous considérons la fonctionholomorpheegdonnée par
on n'a pas, pour 2j = - p
< 0 , e
Nous
avons seulement dit que lemaximun
de la norme deSUT la circonférence surpasse la norme (constante) de achacun des termes de Tavlor.
Ncus ne vex-rcns ,:ue plus tard ce qui dans E=
@'*6tend les fcrmüles de CAUCHY (VII, 3; 1 . Meis cn p t
des maintenant étendre4 E quelconque les in6 alit6s
unefonction holomorphesur+ET
H.So1enr.d E .O,et p > 0 tel quela boule fermde B
u;p de centre d et de rayon pdans .f).
soit
pour r:~B(d;p) , on peut écrire la formule deTAYLCI (voir (III, 7; 2)
),
dont le terme de rang nb
-(r-a) .Ce terme de rang PL se calcul entii:-
rement
dans le sous-espaceaffineL,,de
dimensioncomplexe
lpassant par aet =;C'est aussi le terme de rang maans le developpement de pourtionappliquer la
(zq) ;
1
, de 1~ font-
n peut donc lui2), ce qui donne I
@,3;4bis)
< M(a-;=@
où M(a;==;t)
est le maximum de11?11
sur‘
le cerclede centre
o., et de rayon p dans E,., ; a fortiori
@u,3;4ier)
où M (CL; fi) est la borne supérieure desuhère de centre a et de râyon p dans
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 323/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 324/599
302
Remarque.
Il~ll~~~lI~,ll M(w)(=jn.
Ces inégalités sontmoi&
bonnes quepourE=c,
car ni"
> 711. poul-
nz
a
û
Corollaire 6 (Théorème du maximum strict)
Soit E un espace affine normé sur Q ,p un espacevectoriel norme sur @ . Soit LL un ouvert de E et soit
-Y - une fonction sur ,fl a valeurs dans F holomorphe.7
Alors il est impossible que ait en un pointdde
.f2, un maximum relatif strict. )
Démons, trati on.
Si E est le corps des complexes, cela résulte immé-diatement de la majoration (VII.3;;>) pour n=o
cette inégalité prouve que, si p<d(a,
c
0) , il exi ste
sur le cercle15-a
/=p , au moins un point~,tel que
[$Fj i > 1 gz 11
. Mais alors, SI E est quelconque,
il suffira de considérer n'importe quel sous-espaceaf-
fine E, à 1 dimension complexe deE,contenant (L ; soit
&EL
>
A#
u,~ la bijection3
-CL+~
(c)
identifieE,
au corpsU?,~E
E, àoe @,a~ E,= fi,à un ouvert.64dec,
et donc permet de considérer la restriction
ci
g de ;qà,,
comme une fonction 3,
surl'ouvertfi,de
@ ; on endeduit
pour toutp
=z
d(o
,[&,)l'existence
d'unpoint$O,I$O(=p
tel que11
x(jO) 11
a
/I
z(o) /)
donc d'unpoint~~=at$(c)
defi,Cfl, d(a,c,~=pd(a,b),tel
queI{~~~I/
j(ajI\,
d'où le résultat.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 325/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 326/599
SoientalorsR'
etR"deux nombres, avec 0-cR’ i
R*< R
Ecrivons la formule intégrale de Cauchy pourI$--a[ <R',
relativement à P
, cercle de centre a et de rayon R”.
La formule (VII, 3; 7)nous incite à écrire
P43,S)
j +j
'.
Il reste naturellement à justifier cette interversion
du signez et du signe
On
peut remplacer partout d[ pw
une intégrale par rapportô
une
Cette interversion peut alors sefâire
pourvu que, lors-qu'on remplace toutes les fonctions intervenant par leursnormes, l'un des deux membres ait une valeur finie (thé-orème 37 du Chapitre IV),
surSi nous appelons M (a;R") le maximum de la norme de$
la circonférence de centre CL et de rayonIR , on aurala majoration
qui montre bien que l'opération d'interversion était légi.
time dans les conditicns où nous sommes placés. Ensuite,
(VII,;3;1)
montre que(VII,3:8)
équivaut à(vIIJ;~).
En outre, la série trouvée est bien normalement con-vergente pour I$-aldR' puisqu'elle est alors majoréepar une série numérique géométrique convergente.
Fonctions analytiques. Dans le cas du corps des P&=~Cnous avons vu qu'il peut arriver que la série de
--.
-_-
d'une fonction C rie soit pas convergente au voisin&
- - - - - - -,Tnvlnr
du point a, et que, même si elle-est convergente. ellene r eprésente
pas nécessairementJ-,
(voir<
car
exemple,,,xn
,a_.
FL^_Zi..
Ti.\
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 327/599
305
Par contre, nous venons de voir que, si E est le corps
des complexes a?,
et si.$ est a?-dérivable,
alors la
convergence et la représentation de la fonction nar sa
série de Taylor, sont vraies nécessairement. Ncus voyonsmême beaucoup plus, puisque nous trouvons un minimum du
rayon de convergence : la série de FA~ME estconveraente
dans tout disque où la fonction est holomorphe.
soit +? une fonction sur un ouvertfid'un affine normé
E , B valeurs dans un affine normé F , sur le corpsK=R
ou @. On dit que 2 estK-analytique si elle est C",I
et si, quel que soit a , il existe un voisinaRe vde u
dansa, tel que dans v, 4 soit représentée par sa série
de taylor :
Une fonction@-analytique est à fortiorilE .- analytique
Alors :
Corollaire 1.
Soient E un affine normé sur @ .‘run Banach sur c .4
Toute application 4 holomorphe sur fi c E à valeurs dansI
F' est az -analytique.
Demonstration.
Soit% (aj p)une boule ouverte de centre a contenue
dansfi.
Alors,est une fonction
à valeurs dans F
@c.a.d. holomorphé.et de classe C-par rapport au corpsLe théorème 11 dit que sa série de
Taylor suivant les puissances de5 converge pour $=l .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 328/599
'icu~e l'onccicn rGeiie ou compiexe sur un ouvertLiZde
W', narmanique, estIR- nn-iytique.
Il sui'r'it de Le Jbir pour une fonction réelle; or elleest, d'npri?s le t1,icrèrr.e il ,
1 ,~ partie r&lle d'une fax-
tion holomorphe.
Nçus
ve~ror~s que cetteconciusion
subsiste pour toutefcncticn i:nïmcnique, sui' un espace euclidien sur- w dodi mensi on r‘inie,
L valeurs dans un Banach quelconque.
Coroliniïe 3
l'oute r'onction lalomorphe, aans un ouvert Jl connexe
de @ , ü valeurs uans F et nulle ainsi que toutes ses
a6rivGes
successives en un point a de41 , est identique-
rcent nclle
nnns
0 .
9tmonstration
PuisqueT
est représentable au voisituge de ué~L
pm sa skie de Tuylor, elle fast n+cessairement nulledans tcut un voisinege de a .
Appelons zlors ^ w l'ensemble des points où J s'annule,ainsi c,ue toutes ses dé?ivies successives. Cet ensembleest manifestement fermb, comme intersection des ensembles
i'eri;:;:;
{ hj
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 329/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 330/599
4) Soient V et W deux variétés holomorphes de dimen-
sions m.v. V connexe.Toute application holomorphe deV.
dans W .constante
dans un ouvert non videw de V,est cons-
tante sur V.
Demonstration.
La démonstration de 1 ) est en fait celle qui a étédonnée pour le corollaire 3; car nous avons alors seule-ment Utilisé le fait que toute fonction holomorphe surun ouvert
fi
de @ était c-analytique. 2) résulte alorsde 1) et du corollaire 1.
3) et 4) se démontrent de manière analogue Considé-rons par exemple 4).Soit
& l'ensemble des points de Vayant un voisinage où
;P
est constante et égale a 4 (W).Alors 4 est ouvert par définit on,Montrons qu'il est fermé.
non vide par hypothèse.Soit kJ une suite de points de%,
tendant pour 8 Infini vers un point 8 deVdes cartes de voisinages de
&
dans V
.
et dew
. on se ramène au cas où Vqst unouvxrt
affine normé E , W un Banach F , E et F de dimensionfinie.
En supprimant a ce moment l'hypothèse de dimensionfinie, on demontrera en même temps 3). Soit B ;R
une boule de centre ,& contenue dans a . PourR,assez
grand.
&Lest dans la boule B
(Pr;+
égale à # ( W ) au voisinage dea, l
):
alors, 4 étant
'est dans toute 'boule
de centre 4r
4 contenue dans fi d'après le corollaire 1,
donc dans B (&l
;&&)c B ;R) c &, ; donc aussi dans la
boule B ( 4; +-) c B ht ; +) , et alors b E ‘0 r ce qui
montre que %
est fermé; V étant connexe, Pc =V , ce qui
démontre 3) et 4).
Hemarque
Rien d'analogue, bien sûr, aux parties 2,3,4 du corol-laire 5, si on remplace @ par R .
Par exemple, nous avons précisément formé, au théorème11 du Chapitre IV, des fonctions indéfiniment dérivables
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 331/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 332/599
310
ack(j-tl)"eSt le Premier terme non nul de la série de
Taylor de8 au point CL, on dit que 1 présente au pointa1
un zéro multipled'oràre
4 D Toute fonction holomorphe
dans un ouvert connexe fi et nulle en a pksente alors enn
unzéro
multiple d'ordre4
,entier>4
fini, c moinsqu'elle n'y soit identiquement nulle.
Théorème 12 (Théorème de la moyenne)
Siz
est une fonction holomorphe, définie dansfit
@
à valeurs dans F , ou une fonction harmonique réelle
ou complexe, alors sa valeur, en un point a quelconque
de fi . est la moyenne de ses valeurs sw n'importe
guelle circonférencer de centre a, telle que le dis-
queA
qu'elle borde soit entièrement contenu dansfi
D
La formule relative à une fonction holomorphe est
tout simplement la formule intégrale de Cauchy(VII,2;9),appliquée A 7 .
Si en effet, dansfl
, nous posonste
3=,+pe '
on obtient immédiatèment
(q3
; j obk)
En
pren. W al ors
l a
part i e
réelle Pet
l a
part i e
imaginaire Q s i F=,
, on obtient2y 1r
@,I,);nk)
P(o, ) - $ P( atpe?dl , Q( a) =&-
Q(a+pe l dt l
0
J
6
Ceci est valable pour toutefonctionP
qui est,sinage de
CG
,au voi-
c'est-d-dire,la partie réelle d'une fonction holomorphe,d'après le théorème 4, une fonction harmo-
nique réelle arbitraire sur w2 ; donc aussi si c'est une
fonction harmonique complexe arbitraire sur R' .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 333/599
311
Remarque
Le théorème subsiste pour n'importe quelle fonctionharmonique sur un ouvert d'un espace affine euclidien
de dimension finie surR,
à
valeurs dans un espace
de Eanachr sur R.les cercles et disques sont rempla-cés par des sphère& et boules. Nous le verrons auChapitreIX .
On peut d'ailleurs démontrer inversement que ce théo-rème caractérise les fonctions harmoniques :
s i
a est une fonction continue sur un ouvert cR/ d'un/
espace affine euclidien de dimension finie, à valeurs
dans un espace deBanach?
, et si sa valeur, en tout
point a de fi , est égale à sa valeur moyenne sur n'im-
porte quellesphèrex
de centre a/,de rayon assez Petit,-+
alorsndcessairement
$ est de classeC (Par
rapport auI
corps des réels) dansa
, et elle estharmonique:a
ri e.,
Ceci donne une dcfinition des fonctions harmoniques
Llui ne fait même pas intervenir l'existence d'une seuleddrivée.
Du théorème de la moyenne, nous pouvons déduire letheorème du maximum relatif large :
Corollaire 1
si P est une fonction harmonique réelle, dans un
ouvert fi ccnnexe
deR',alorsP
ne peut, en unpointu,,
admettre de maximum ou minimum relatif large, que sielle est constante dans Sz .
Démonstration.
Supposons par exemplequel
admette en a un maximumrelatif large. Cela signifie qu'il existe un nombre P
tel que, pour
lpal< p , on ait l'inégalité
(q3;M
P(j)
s -P(a)
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 334/599
Mais par ailleurs le théorème de la moyenne peut s'écrire
2lT
(lx13;12)
(~(a )-P(a +he ”‘))dB =o,
hep.
0
Ainsi nous avons l& une fonotion 30 et dont l'in-tégrale est nulle. Il résulte du théorème 26 du chapi-tre IV qu'elle est d
8
-
presque partout nulle; maiscomme,par ailleurs, elle est continue, elle est néces-sairement nulle quel que soit 8 ; ceci vaut quel quesoit h donc P est constante au voisinage de a.Mais P est R -analytique (corollaire 2 du théorème 11)donc elle est constante dans fi (corollaire 5 du théorè-me 11).
Remarque. Lerësultat
subsistesw
IFe'
Corollaire 2. Soit E un affine norme sur @ . ou unevariete holomorphe. Si 1 est une fonction holomorpheSur fi connexe c E , à va'leurs complexes, et si en un
point &Sa partie reelle ou sa partie imaginaire admetun maximum ou un minimum relatif large, alors
-j
estune constante dans.&. I
En effet,si E = @,
ginaire est constante,sa partle réelle ou sa partle Ima-d'après le corollaire 1. mais si
l'une est constante, l'autre l'est aussi, d'ap;ès le théo-
rème 4.SiE est normé
espaces affines àcomme par exempledéduira que 4 estcontenuedans fi ,théorème 11.
quelconque, on considérera les sous-
1 dimension complexe contenant Q ,au corollaire 1 du théorème 11; on enconstante dans toute boule de centrea
donc dans fi par le corollaire 5 du
SIE est une variété on se ramène àE=COnpar unecarte d'un voislnage de a ;
laire 5 du théorrme 11.ensuite on utilise le coroï-
Corollaire 1
Soit E un affine normé sur 6?,ou une variété holo-
morpha. Si p est une fonction holomorphe dans fi con-nexe, a valéurs complexes, et si, en un point a- son
module admet un maximum relatif large, alors 4 est uns
constante. I
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 335/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 336/599
Va?lable
admet'n racines dans c , si l'on compte chacuned'elles P ~C son ordre de multiplicité.
Démonstration
Commencusl'avons
fait authsorème
50 du Chapitre II,Il suffit de démontrer qu'il existe au moins une racine,pour mal . De la même manière qu'au Chapitre II, on pourratrouver un cercle de centre 0 et de rayon R , tel que l'onait l'inégalité
(
P(5) 13 1P(O) pour 131 >R
. Alors, dansle
ccmW.ct
(
$jGR,IPI
a nécessairement un minimum, et c'est,comme ncus 1 avons vu au Chapitre II, un minimum pour toutle plan complexe 0Z .
,:air, alors,d'après
le corollaire 4, comme? n'est pasconstante, on a nécessairementP(a)=
0,
ce qui démontre le
théorème.
Remarquonsque.cette
démonstration
que nous venons dedonner, d'apparence extrêmement courte. est très voisinede celle que nous avons déjà donnée au Chapitre II; la méthode par laquelle nous avons en effet démontré à ce moment c:Ue
le pointa
ne pouvait être un minimum du module, est uneVariante de la démonstration du corollaire 4 qui précède,bas;e
Sur
la formule de Taylor au lieu du théorème de lamoyenne.
Corollaire 0
soit Une
aPPliCation
holomorphe
deJl,cc dans F ,défi
nie et continue surn
. On suppose en outre .fl borné. kl~rs
on a les egalites :
(TiIJ; 2bis)
SiE
est de dimension finie, 4
moins un point de la Z'rontiere fi'.atteint son maximum en au
Dtmonstration
iioit d'abord E=c.
Plorsz
estfermi
borne
donc compacmaximum dansa
, nous avons gagné.
Si ce maximum est atteinF
est maximum.Sincn,
soit a un pointLe théorème 12 de la moyenne donn
centre a et de rayon p est contenu dans fi :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 337/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 338/599
316
deskax,
d'ailleurs/IgJ
atoujours
'e=t
peut-être plus bornée et ilspeuvent velcir + m . Sup.5
sup
. Mais sirEn
rÉ.a
aGo,, on peut couper par un sous-espace affine de dimen-
sion coflplexe 1passant
par di,
et trouver dedans un pointb de J2 tel we 11 f(&) 11 3 11 j+(a) 1 ; doncz% s 25% ,
ce qui démontre (VII,j;P bis) dans le cas général.
Remarque 1
résulte de la démonstraticn que, sl~eest connexe et11 non constante (donc, pour F = c , pour 4 non
constan-
la borne supérieure ne peut pas être atteinte en un point
Kemarque
2
0~
peut amélio-r, en donnant un résu>'cat qui nepas $ d6finie sur fi . En tout point de Sz , posons
suppose
M ca) = &yy 6) = ?-“. ,czy ajp) = Alors on a, pour de classe C' dans
fi
borné :
G -SwaM(=).
dansa et à Mdansh
E = U? ou de dimension finie, donc, pour-elle admet un maximum dansalad+émonstration se poursuit -suite de la même manière.si t est donnée continue sur Q, ,M est bgale 6 I TII SUT& ,et on retrouve
(VII,3;l2
bis) comme casparticuliér
de (VII,3; 12 quarto).
Remarque 3
Le corollaire repose essentiellement sur la compacité dez pour
E.
de dimension finie et il n'est pas exactp
non borné. Considérons, par kemple, dans @,
our L-l,
l'ouvert
La fonctione %
*n'est pas bornée dans fi aiors qu'elle est demodule 1 SUT fi .
?n
peut obtenir une égalité vraie comme suit. Sifin'est
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 339/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 340/599
318
indiquée page , dans E , où J-L est le dlsquelj)< 2 la].
Elle atteint leminimum)alde
sa norme en tous lespoints
du
‘p
I s a , mais nulle partsur la frontière Sz ,e
cercle),j1=2lal
etoù
a+ 1
vaut 2Ial
Corollaire 7
SoitV une variétt holomorphe connexe et compacte. Toute
fonction] sur v , à valeurs dans unBanach
F , etholomornhe,
estconstknte.
Démonstration
, c o n t i n u e S U T le act V , a un maxi-
non vide,
des points de V où [)
évidemment fermé, et la démonst
1 vaut M est donc
ation
donnée au co-des cartes, qu'i
constante su7 V .
Remarque
Ceci montre que toute variété holomorphe de dimension > 0,
compacte, connexe, est "abstraite",sous-variété d'un QN;
elle ne peut pas être unesans quoi chacune des fonctions coordonées j,,j2,.. .P p ,holomorphe sur V , serait constante surV
et V serait rédu te à un point.
Corollaire 8 (Ma,ioration des dérivées de -f dansa à Dar-
tir d'une majoration de/tTII sur h ).
,
Soit 4 une fonction holcmorphe
SUI- ,Cl,c E à valeurs dans
F,définie et continue sur E ; on suppose fi borné. Alors
'on a les inégalités (pourz<fi
) :
N,3;13)
1 pw II
< M($))lll (oriM _ s i E=c),
où d(z) est la distance der6.Q à la frontière&, ,et
M
= rph 11 $z)
11
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 341/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 342/599
320
valeurs de 7 dans A :,
Démonstration.
C'est évident, car la 2ème intégrale vaut
Ce corollaire parait bien moins avantageux que lethéo
r&me lui-même; mais parfois il est plus utile. Par exempleil s'étendra évidemment aux fonctions harmoniques SIX un es-pace euclidien E de diTnsion finie
SU~E,
à valeurs dansun Banach quelconque,
F
, comme le théorème 12 lui-même; etlà aussi la réciproque sera vraie, toute fonction ayant cettepropriété des moyennes dans les boules sera harmonique. Maisl'existence de cette moyenhe ne nécessite que l'intégrabmé
locale der par rapport à la mesure de LebesRue. On pourra
aonc*definlr
les fonctions harmoniques en les supposant seu-lement localementintégrables. La théorie des distributions
donnera d'ailleurs des résultats encore meilleurs.
Voici une autre conséquence immédiate du corollaire 9;
Corollaire p bis
PlaWns-nouS dans les conditions du corollaire 9. Ona la
mejoration
:
@,3;14ter)
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 343/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 344/599
322
SoientE,F,des affines normés sur uncorpsK=
R ouCO.
On appelle fonction entière sur E à valeurs dans F , une
fonctlonKanalytique
$
, dont le développement de Taylor,autour de tout pointa de E , est convergent et représente
en tout point-rde E . Il résulte du corollaire ldu
toute fonction holomorphe surF
à valeurs dans F est entière. Pour K= R
toute fonc-tion harmonique sur
E
euclidien de dimension&nle
est en-
tiere.
Désormais, entière voudra dire c-entière.
Théorème 13. (Théorème de LIOUVILLE).
1') Toute fonction entière $ sur E é valeurs dans F ,et bornée. est une constante
2") S'il existe ae E,m entier >o .C
> 0 tels que,pour II ~CC?C 1 assez grand,
m73j15
11
m
II 5 c II= Il-
alors 4 est un polynome de degré 6m .
Démonstration
Montrons d'abord 2".
Les inégalités(VII,3,4
septimo)donnent
Immédiatement:
Faisons tendre p vers+a7; on trouveLa série de Taylor autour de a, qui
represe
tout SC ,2O).
se réduit à un polynome de degré4m,
e qui montre
En faisant m-o, on trouve le 1')
Corollaire l.(théorème d'Alembert)(Démonstrations de plus en plus courtes!)
Soit en effetp un polynome dedegrém>l
surc,
etsupposons qu'il n'ait pas de zéros, Alors + serait une fonc-tion entière. Mais(
P(a)l
tend vers l'infini pour]$\-w B
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 345/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 346/599
et par conséquent,pour~c
(cl. donné, l'ensemble fiL(ti
valeurs de 2 pour lesa.uels h-11 est inversible, est un ou-vert du plan complexe : le spectre
dea
estferm6.
D':TutrePart nous avons vu au-'Siicorollaire 1 du théorème
>ldu
Chap.II
quel'aFplicationnL-ades complexes); est de classe
C
(paryapport
au corpsil en résulte que l'applications-(LL-~I)-'
est de classe C (sur le corps des complexes), c'est-à-direholomorphe de
a(,)
à valeurs dans Q, .
Thcorème
14. (Gelfand)
Le spectre d'unélément&
d'une algèbre de Banach SU~~
est un ensemble compact non vide du plan complexe.
Démonstration.
Le spectre étantferme
), pour démontrer qu'il est com-pact, nous devons démontrer qu 11 estborn6,
autrement dit qupour\ j\ I assez grand,u -'AT est inversible. Or les Él6ments sfisamment voisins de 1 sont
inversibles;
pour);ZI-+-,I
-
2
tend vers 1 , donc il est inversible pour/Al assez grand, dznaussi&
- ;11=-A(I-?). Plus précisément, le théorème 62du Chatre II , nous dit que 1-x , donc.%- AI , est inversible dès
l ou AI ti le spectre de ,u est contenu
1 I
jl
u,II
Ncus
avons maintenant S. démontrer que le spectre n'estpas vide. ,Yupposons donc qu'il soit vide, et montrons que nouaboutissons à une ccntradiction.
La fonction A-entière,
dlfinie
sur@,
(u-a1 , serait alors une fonction
Or il est évident qu'elleà valeurs dans l'espace de Banach a.
tend vers 0 à l'infini.
On a en effet
d'aprèsOr, lorsque1 tend vers m,I- - tend vers 1 etla continuité de l'inverse, sor?inverse aussi tehd
vers 1, de sorte que le deuxième membre, et par cons6quent
le premier, est majoré, pourlA\ tendant vers 03, par le pro-duit de 1 par une constante.
IA Le Théorème de Liouvllle montre donc que la fonction
considérée serait une constante, et, comme elle tend vers 0
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 347/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 348/599
326
morphes dans un ouvert fi borné de E,et continues dans sonadherence .Z , à valeurs dans un Banach~ .
Si la suite des .,converge uniformément vers une fonc-
/
.tion limite 4 , sur la frontière.rL, alors elle converge uni-
1
formément vers une limite 4 dans fi tout entier. Cette limite-
, continue dans a, est holomorphe dans a, et pour tout
entierm.les dérivées n
Cm)
convergent vers la dér+vée p ,localement unifcrmementi dans fi .
Smonstration
La quantité # &
-
c HI, , bornesuperieure
de lanor-
mt
de A-& dans fi estsussi,
d'après ce que nous avonsvu
au corollaire 6 du thtcrème 12, égale h
superieure de la norme SUT la fronti ère f i Or-celle-ci con-verge vers 0 pour 1 et7L infini, puisque lés
;e
sont s'lppo-.
sées converger uniformément vers une limite sur'la frontièrefiIi existe alorsnmEïN tei que, pour 7~ 3 II.
sur A1 pour n >nO. Ensuite les
suite de Cauchy>
dans l'e2pace
espace est un Banach puisque F est
forment une
mai s cet(dans tout
ChapitreXcorollaire 2 du théorème 65du Chap.II).Cela prouvebie
?
donc aussi lesi
i*
convergent vers une limite
continue uniformément dans fi .
Soit ensuite aen, d(a) sa distance àA ou[a. Pour
tout=de la bmkB=B a;p ,p<d a , o n a d z) d a)-pr
La formule @II, 3; 13) montre alors que les dérivées
f0rnent une suite de Cauct,y dans (&,(Ë>F ) )B
t -g
c 1.
, donc,
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 349/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 350/599
328
alors sa somme est holomorphe dansa et lasérie
peut êtredérivée terme à terme
(pII,J
18
(2 rtnym: g ay >
toutes les séries dérivées convergent elles-mêmes localementuniformément dans
.fl
.
Si un produit infiniJ-i-
4, de fonctions holomorphesn b
dansa à valeurs complexes, converge localement uniformé-ment dans& vers une limite JT,alors JT est holomorphe.et on peut
deriver
logarithmiquement termeB
terme
a ;19)
2 go
La série C 2% convergent elle-même localement uni-
rr=O fi,>
formément dans 0, .
Démonstration
La propriété relative aux séries résulte immédiatementdu corollaire précédent.
Si maintenant on consldére le produit infini, et si l'on
N pose TN = TT ti+ , on volt que, d'après le corollaire
pré-
n=o
cédent,
les STkconvergent versn'
localement uniformément,stn
est l-olomorphe
D'autre part, lesi convergent vers1
loca-lement uniformément (voir pages 1% du Chapitre II)
?&
par
conséquent les i-r'convergent bien vers- lo-ri
calement
Corollaire 3
Soienta un ouvert de E , etF un Banach.
L'espace des fonctions holomorphes et bornées sui-Q, ,
a valeurs dans F, muni de la norme &..
est complet.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 351/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 352/599
330
toute fonction holomorphe dans[a, se prolonge en une fonctionholcmorphe dans l'espace entier : 11 n'existera pas dr form-
tiens
à singularité isolée.EI
sera donc le corps des complexe@dans tout ze paragraphe.
Ce développement converge absolument dans la courwxle,
2t
normalement dans toute couronne 3, ÇR: g\j-al sR’ , -C R,.
Les coefficients de la série de LAURENT sont détermi-nés d'une
maniere
unique, et donnes par la formule
(XlI,4;2 1
cn= 1
J
h) d(
2-LT 7 (3-q ’
où r est n'importe queli-cycle de longueur finie dans fi ,entourant une fois
LL
dans le sens direct.
Remarquons ce qu'il y a d'interessant dans cette fol.-
mule. Le développement de Laurent généralise le développementde Taylor; cependant il n'est pas valable au voisinage de
d,
mais seulement dans une couronne à une certaine distanceded.
En particulier, il est évidemment ossible d'exprimer les,
coefficientsC,
par des dérivées den'est pas définie au voisinage de a .
au point a, puisque 4
Demonstration
Dasignons par rI (,'A+. r& ) le cercle de centre d etderayon R;(‘xtifRt) avecR,c R:<R:<R,CRlxR, ,
orienté dans le sens direct.
Alors, dans l'ouvert fi, le cycle Y2-J', est le bo;d
orienté d'une couronne ayant l'orientation deQ,R~djj--al<R. 9
et on peut par suite lui appliquer la formule intégrale deCauchy :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 353/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 354/599
332
la série considérfie &tant normalement convergente pour
l<-a l=
R:
ij-al>R:.
Si alors on peut intervertir lesignez
et le signeon pourra écrire
où ?_(pourfiS-1 ) est encore donné par (VII, 4; 2),
l'in-
tegrale étant prise sur8- 3 *
Cette interversion sera possible si, lorsqu'on remplacedans les même conditions que dans la démonstration du théorème10, les quantités J<r) (J-d)n
({-a)=+'
par leur norme, l'un des
Or on a la majoration
(a
; R:’ ) (+J
terme général & 0 d'une série convergente, puisque & >1
et qu'on somme de n=-1
1
à-ca.
Ceci montrae quel'interverslon
étaitlégitime;
la sé-rie obtenue est normalement convergente pour /$-u./>Ri.
En réunissant(VTI,4;4)
et(VII,4;6)
on obtient bien(VII,4;1)
avec la valeur des coefficients(VII,4;2),
calcu-lés par des intégrales
SUT
r*
et xx , selon le signe dem.
Des deux séries trouvées,gente
pourI$-G~sRR',
,,
l'une est normalement conver-et l'autre pour
I ~-al&
Ri , d'où ilrésulte bien
que
laserie,(VII,4;1)
est normalementconver-
geante
dans la couronne R,< 1
$- d j
<Ri,
Pour les valeurs des coefficients, nous avons trouw:
des intégrales sur certains cercles de centre a ,orientes
dans le sensdirect,bC,
pour n3 0 ,J-,
pourw
< -1; mais
comme il s'agit d'intégrales de fonctions holomorphes dans lacouronne fi donc d'intégrales de formes diffkrentielles dedegré 1 fermées, on peut remplacer
3',
CO-cycle de longueur îinle,
ou)‘L
pnr
n'imD0rt.e quel
i
corollairequi leur est O-homologue
dansa
6 du théorème 54 ). Or, si un C-cycle de lon-gueur finie r dans fi Ïait une fois le tour de Q dans le sensdirect, c'est-à-dire sid admet par rapport à ce cycle l'in-dice + 1, cela veut exactement dire (remarque qui suit le
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 355/599
333
théorème du Chapitre VI) que ce cycle est ?-homologue à uncercle de centre
a
situé dans fi et parcouru dans le sensdirect.
Dans le cas de la série de Taylor, on savait de façonélémentaires'il
n'y avait qu'un développement possible,
l en effet, une série de puissances àtoujours dérivable terme à
disque de convergence, on peut donc calculer
une série, et en faisant
Ici, pour prouver l'unicité des & , on prochdera comme suit.Puisque la série converge dans une couronne, onpeut intégrer terme à terme sur un cercle r
de centre fi,
dans le sens
direct. Mais vaut 0 pour n-m# 0, car elle
intégrale d'un cobord sur un cycle,
En calculant les zm par des intégrales sur un cer-cle de rayon p
:
Corollaire 1
Les coefficients de la série de LAURENT admettent lamajoration
autrement dit chaque terme3%
(3 -a)'% de la série de
LAURENT
est majoré, en norme, sur n'importe quelle circonfé-rence de centreaet
de rayon p situee dans la couronnefi,
par le maximum M (a;~) de la norme de J ? sur cette circon-férence. 8
Cas où R,= 0 , La série de TAYLOR est un cas parti-culier de la
serie
de LAUP,ENT, celui où la couronne est
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 356/599
dant à ut < 0 sonk~~ls. difinie nar 0 < a
1
(R
et où les coefficientscorrespon-
Siune
fonction estholomcrphe
dans lacouronne
lyl<R, , on sait à l'avance qu'elle admet undevelop-pement de LAURENT, normalement convergent dans toute couron-
ne o L R: si 1, --a\ s Ri LR,. S'il se trouve que tous les co-
efficientsTn
POU~~ <O sont nuls, la fonction estprolon-
geable
en une fonction holoyrphe dans le disque\$-a\<
R, ,en lui donnant la valeur c,
au point a puisqu'elle estreprésentée par une série de fonctions holomorphes pour
1,5-a/ -c R, >
localement uniformément convergente. On ditalors que a est un point régulier.
On dit que& est un pôle d'ordre-, si ien'est pas nul, et si tous les coefficientsE
coeff'icient?.
m
sotlt nuls. S'il existe une infinité depour 7L c-T?%
valeuys
de II <CIpour lesquels c, n'est pas nul, on dit quepoint a , un point singulier essentiel. l+
présente, au
Le coefficient c s'annelle
toujours résidu de]
et se note Zed,y+,
en a,
On dit qu'une fonctionde c?,A valeurs dans un
est -dans unouvertfi
ace
de Banach F , s'il existe un
tels que7 soit holomorphedansa
- SL
ensemble (&L}iEI, fini ou infini, de{poi;,s isolés dans .Q ,
chaque point a; soit un pôle pour 7.
‘ bel '
et que
Corollaire 2
Si 7 est une fonction holomorphe pourQ
<
]%-a\
< 3
s .et
si lorsque,q
tend vers a, Il$= 11 est infiniment petit de-
, alors a est un point régulier pour3 .
I
p vers 0 , les majorations(VII,4;8),
si l'on fait tendre
pour +x <
0.montrent que tous les coefficients C%sont nuls
Corollaire 3
Sir est holomorphe pour o(Ix-aI i R,
, et si Il K) 1
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 357/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 358/599
3 3 6
Dans ces conditions, il sera normaLde dire que le pointà l'infini est un point régulier pour4 , si tous les coef-ficients Z% sont nuls pour2 B 0) que le point g l'infiniest un pôle d'ordre% pour& si le coefficient C-n'est pasnul. et si tous les coefficientsZ* pourn>msont nuls,
leyoint
a
l'infini est un poit$. singulier essentiel, s il existe une infinité de cn,pour naO , qui ne
Par exemple une fonction entière, c'est-à-direho'lomorphe
dans tout le plan complexe, admet, si elle n'est pas un poly-nôme, le point à l'infini comme point singulier essentiel.
Pour des raisoAs qyi seront vues plus,loin
le coefficient- CA, b aouelle résidu de4
à l'infini. et senote Rés
-5
Corollaire 5
Si1 est holomorphe pourR,<I $- a( , et si jzj //est in-, u
finiment petit devant 1 4 1 lorsque\ n, 1 tend vers QO , le
point a l'infini est un point régulier; si (r) est infi-
llL+<
I
niment petit devant 3
,mentier 3 1 , alors le point
à l'infini est régulier ou pôle d'ordre <qn, et, si c'est-
un pôle d'ordreexactement711r,
(Y\ est équivalent $
7% * pourIT infini. l
Corollaire 6
Pour que a soit un point siwulier essentiel pour .j , il
faut et il suffit que la fonction M(a;p) moTsse plus'vite
que toute puissance de ' lorsque p tend vers 0
Pour quele point a l'infini So?t un point singulier essentiel, il
faut et il suffit que M
a j croTsse hS
v i t e q u e t o u t e
puissance de p lorsque p tend vers+ m .
Le dernier corollaire montre que+au voisinage d'un point
singulier essentiel a,croissance très rapide.
la fonction j est susceptible d'une
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 359/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 360/599
edmet au pointa/ un point r$gulier
est contraireà
l'hypothèse,
emarque 1
Nous voyons ainsi que le comportement, au voisinage d'unpoint singulier essentiel, est totalement diffkent du com-portement au voisinage d'un pôle, et qu'un point
singulir-
essentiel ne mtrite pas le nom de pôle d'ordre infini.(Le
dBveloppement de LAURENT n'a alors plus rien & voir .îvec
un développement ûsymptotique, qui suppose un premier ter-
me, ou partie principale).Nûturellement
le mêmerésultet
est valable lorsque le point singulier essentiel est l'in-fini, il est ?ppliceble B chaque fonction entière qui n'estpas un polynôme.
Considérons par exemple la fonctionentiere
ea
et véri-fions
que:
dans l'ouvert 1 *a 1 > p )
elle ;;pproche ûrbitrai-rement pres de toutes les valeurs. Nous sllons même montrerplus : elle prend une infinité de fois toutes les valeurs,à
l'exceptio
3
de la valeur 0 . Si en effet nous considérons1'6quûtion. e = r elle admet l'infinit: de soluticn
y)= ao+ 2iziT , où j.
est l'une des déterminationsdeLc
à
l'extérieur du disque considéré, il existe bien une z
c;
inf -
nit6 de telles solutions.
Si maintenant nous considéronsune
fcnction
enti;lye,
lyfle que&m~
ou ~3% , onmit
que, dansl'exterieur
denImporLc
quel
disque, elle prend une infinité de fiois tou-
Les les valeurs sans excepticn. L'équlticn 3uiL
en effet, quel quesoit-C
~
l'infinité de r,,j,z,f admet
s= 30+ 2 4% T ou X-j,+ 2-kT[,cù 3e est l'une des ditermina-
tiens de UILC hw~ &.
Le théorème de Weierstrass dit seulementz ~~~o~hel~ebi~en~rt~~~~~p~~ &,;u;;es les ~~?~u~~,'~~:~~'~
Un théorème beaucoup plus puissant et beaucoup plusdlf-
ficile,
le théorème de PICARD, ditquiau
voisinage d'unp oint
singe
,lier essentiel,# prend une infinitt de fois toutes lesvaleurs (finies, bien'
s(k),
sauf une au plus; cette exceptionétant possible, dans le cas de
l'exponentielle
par exemple.
Remarque 2
SiF
n'est pris6?,
une fonction-
4
à
valeurs dans F ayanten ae c un point singulier essentiel, peut très bien'conver-
ger en norme vers l'infini quand3 tend vers0..
Prenons
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 361/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 362/599
340
isolGs *
d'uncuverta
dec,
et soit;
une fonction
holomorphe
dansBanach r.
fi-{"%jl,y
, à valeurs dans un espace de
i Si alors V CJI
est un
C . de Sz , munie de 1'son
bord7
ne contient au
lasgmmex
est étendue à tous les pointsLLL
qui se trouventdansV
***
.
Nous allons m$me en fait démontrer une oroprlété plusgénérale.
On remarqu? en effetquer
a l'indice+1
points0.;
de V ,
c
et l'indiceU
par rapport
de
V.(thtorème
60 du ct1apitr.e VI)
On a alors :
par rapport auxaux points d;
Si7
est un ?-bord singulier defi de longueur finie,
et si son image ne contient aucun despiints
a; ,formule
on a la
&
1
(v,,;T) est l'indice de 7 par rapport à aL . Ce théo-
rème general résulte immédiatement du théorème 64 du chapi-
t=v1,
et duthécréme
18 sur la classe résiduelle de
PV% L-
en cl..
* Cela veut dire, rappelons ledisque ne contenant aucun
a'
,,que tout U; est centre d'un
j
737
*
** ia
indice,dans cette formule,
;'E 1,
ou c'est -1
i-,
2 sens différents : c'est undans 2 in
x*x Lesd;
Etant isolés dansa
, sont en nombre fini dansle compactV
;
sans quoi on Pourrait en extraire unesuiteconver-
gyant vers un?Umit~ &,qui serait dans l'ensemble singulier maist- y serait pas isolée.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 363/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 364/599
holomorphes dans [ {IL- \.
tous ses résidussoîent'n;î;
* .il faut et il suffit que
Dgmonstration
a une primitivela 1
-
forme fermée
celle-ci est une primi-
;:;;I;;F pour démontrer(voir rai sonnement
>
et son intégrale sur tout cycle de
est nulle; en choisissant pour cycle un-cercle entourant unseuldez
a;,on voit que chaque résidu des'il en est ainsi,
est nul.nous allons montrer
Inversement,ue
iTème 45
du chapitre VI est réalisé.le critère duthGo-
Soit doncr=
Ha
une applicationc'
(au sens réel) du cercletrigonométriquer
dew
dans Puisque0,
est simplement connexe,
Hest prolongeable en une application continue du disque
unité AdeE
dansfi
(mais pas, bien SGT, dans
qui n'est sûrement pas simplement connexe : un cei-cle entou-rant un des a; n'est pas pas
homotope
àzéro ).Alors
le théo-rème des résidus, sous sa forme
&nérale
(VII,,4;12), montre,puisque tous les
rtsidus
sont nuls , que 1integrale
defi)%
ce qui est exactement le critèreconsidére.
a des primitives dans
sonnement duholomorphes de
7 montre que ce sont des primitives
On sait ensuite que, sifi
est connexe,
donc aussi (
du Chapitre VI),ces
primitives diffèrent d'une constante.
Le théorème 19 s'appelle aussi théorème intérieur des ré--. Il existe un autre théorème. également utile dans lapratique,
appelé
théorèmeexterieur
des résidus.
Soit?
une fonction holomorphepour/$
-
u-1
)R . Elle
admet
alorsUP
développement de LAIJi?ENT,et nous avonsappe-
le residu de& k l’:nflni, la quantité- C-,.
le coefficient de changé de signe.c'est-à-dire
jx'
* Ce quin'&lique
pas l'absence de singularitésdu n'est que C
: le rési-
-1
i
lesTm,nQ-ô,
peuvent êtref
S
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 365/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 366/599
344
un ensemble fermé borné de points isolés
de .O, , et soit -j
une fonctionholomorphe
dansaa valeurs dans
uh
espace de BanachT".
Soit Wcontenue dans@
une variété de classeC avec
bord, munie de l'orientation de CL , telle quev=
I,$J
soitdans fi
et que le bordP
de W ne contienne aucun despoints a: .
On munitr
ae
l'orientation de bord deVE
a-dire de l'orientation opposée a celle de bord de W ,ou
encoreretrograde.Alors
on a la formule
Bien noter que dans cet énoncé, tout fait intervenir V,mais
rieurement !cycle est un bord (Corollaire 3 du
théorkme 54 du chapitre VI
Démonstration
Désignons en effet para
un disque ouvert quelconquemais assez grand pour contenir
(qui forment,
[fi et tous les points a;
né), comme nous l'avons supposé, un ensemble bor-et également l'ensembler
. Il est alors possibled'appliquer le théorèm
&
intérieur des résidusrelativement au cycle A +r
(A
orientécombe
théorèli 19,Q
comme bord, donc dans le sens direct,p
commebord'de
1;
ou rétrograde), bord de A A $ c
On obtient la formule
* Dans cette formule,par des intégrale
&
les&&se
calculent comme toujourssur des cercles parcourus dans le sens di-
rect, alors que tiw se calcule par une intégrale sur un cercle
parcouru dans le sens rétrograde.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 367/599
345
Cette formule peut encore s'écrire
@,it;l8)
r
et compte tenu de ce que la dernière intégrale n'est autreque 2 i n fois le résidu à l'infini, le théorème est démon-
tré.
Corollaire
un ensemble fini de points de
une fonction holomorphe surIer
à valeurs dansF .
Alors la somme de tous les résidus de z , aux PointS t L
et
au pointà
l'infini, est nulle. ?
Démonstration
Soit Vune sous-variété à bord de c ,dont le bord necontienne aucun des a; . L'intégrale de sur cebord, orienté comme bord de V ,résidus des C&;E v ; l'intégrale sur ce bord, orienté comme
bord de $ , c.a.d.
c
en sens inverse, est 2/~ JT la somme des
résidus des a;' l d'où le résultat. Le
choix de V
et du pointoo
est on peut'par exemple prendre Vvide, x'c on trouve simplement que la formule (VII,4;16)
donne 0 au premier membre, puisqu'intégrale d'une l-formesur le l-cycle nul. On peut au contraire prendrev assezgrande pour contenir tous les a; ; l'intégrale sur son bordparcouru dans le sens direct donne IL,~T fois la somme des ré-sidus des a; ,de esdans
F
tandis que l'intégraledans le sens rétrogra-le résidu à l'infini, puisque f
V (voir page 75).est alors holomorphe
Exemple-b
soitla forme -+Une
fraction rationnelle, c.a.d. une fonction-deP
xi-
, où P est un polynome a coefficients dans F ,
Q, un polynome à coefficients complexes. Les résidus aux dif-férents pôles 67,; ont été introduits très élémentairement,dans la théorie de la décomposition en éléments simples.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 368/599
Cette d&ccnpcsition montre immkdiatement que la sommedes résidus est cigale au coefficient de
i
dans le dévelop-pement (de LAURENT) suivant les puissant s de% à l'infini;d'après la dkfinition même,
résidua
l'infini (voir page
ce coefficient est l'opposé du
). Ce raisonnement direct(n'utilisant aucune théorie de fonctions de variables com-plexes), sera
d'-illeurs
Etendu
plus loin (page )
etredonner3 une autre démonstration du précbdent corollaire.
Soit 7 une fonction holomorphe dansest un 0Uvwt
contenant a,.
Soit tj unC'-difféomorphisme
(par rapport au corps des
-omplexes)
de ~2, sur
unouvertfiiZ,
du plan complexe
a1
-$= Hiji).
soit H ( a , ) = a, .
Alors l'image
H(i()
est la fonctioi~
;
H- +- j - , H- i j , , t andi s
est la forme différentielle :
I -c
Les fonctions $L et j2 sont donc très différentes. Toutesdeux sont holomorphes dans
ca i bî
\
, mais leurs r4sidüs
en dz sont distincts. Alors :%
ThtSorème 2G
Il est donc nvturei de direférentielle
j,($.) j-a*
: Ie r6sidu
de la formeàif-
, 3u pointde la forme ciilfërentielle inaRe -j
a, , ester~l
-1~
residu
(dz(rlz) JJj& au point
a&-Dtmonstrztion
Soit en effetV,
classe C’une sous-variété avec bcrd de fi
munie de l'orientation canonique de CI
de
que a E 6 .et'telle
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 369/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 370/599
ce qui proe~ve que le résidu de 4; B l'origine est égal aurisidu de , à l'infini, Justement parce qu'on a défini lerésidu à l'infini en utilisant des cercles parcourus dansle sens rétrcgrade.
Ilemarque
Nous avons appelé le coefficient ., duau voisinage de a , le résidu de latard, le résidu de la forme différentielle
Lepr6sent
théorème nous montre que c'est là un abus delangage qui est dangereux dans les changements de variable,puisqu'en realite‘c'est exclusivement le residu de la formedifférentielle qui se conserve par changement de variable;,c'est lui seul qui a reellement un sens comme le montre dejàd'ailleurs le théoréme des résidus 18 ou 19.
Ceci n'est d'ailleurs pas fait pour nous étonner. à laPage
, nous avons seulement défini la classe residuelle
en un point d'une forme différentielle de de& N - 1
dans un espace affine, SUT le corps des réels, de dimen;ionN c étant alors un espace de dimension 2 sur le corps des
réels, on ne peut parler que du résidu d'une formedifféren-
;;~;;;,dy%yk@
non d'une fonction. La correspondance bi-
entre fonctions holomorphes et l-formesholomorphes donna t des idées fausses!
Surfaces de Riemann, sphère de Riemann, résidus des formesdifferentielles Y singularité isolée.
les résultats précédents s'interprtteront encore mieux entermes de variétés holomorphes. Une variété holomorphe Wde dimension complexe 1 s'appelle surface de Riemann (sur-faces parceque de dimension réelle 2) .,Sur une telle surfa-
ce, les fonctions holomorphes ont déjà eté définies, commeles fonctions_de classe C” (donc Cm) par rapport à ca.lJJ; ;~~IIU&I,~, ;ye~séu;e;e;;u;; dans un Banach F ,
Q : 0.
9(WcV >
pour toute carte localeoù @ es; un ouvert de c , la
fonction ccmpos6c@*$+ = 70 9 est holomorphe sur w .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 371/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 372/599
Théorème-22 a.
L'intégrale d'une l-forme holomorphe, sur tout Cl-bord,
est nulle.
Mais rien d'analogue n'existe pour les fonctions holomor-
phes.
Le théorème 7 s'étendimmediatement
(puisqu'on se ré-fère au théorème du Chapitre VI) :
Théorème 22 b.
Si la variété W est simplement connexe.toute l-forme holo-
morphe w sur W , à valeurs dans F , a des primitives,
c.e.d. des fonctions holomorphes ,$ telles que a= (3 ;
aeux
de ces primitivesdifferent
d'une constante',siW
est connexe.
Il
n'y a pas de généralisation directe de la 2ème formuleintégrale fondamentale de CAUCHY, ni du théorème de lamoyenne. Par contre, ces formules peuvent être considéréescomme des cas particuliers du théorème des résidus 19 (voirla remarque qui le suit) qui, lui, se généralise parfaite-ment comme suit.
Soit d'abordest un voisinage
une îonction holomo;;;;e;e;; ~~j;~,,où~ouvert de a sur W
fonction ayant a comme singularité(kfentuelle)
isolée. Sur
a un développement de LAURENT& . Les coefficients de LAURENT dépen-
dent entièrement de la car.te choisie, et n'ont aucun sensintrinsèque. Toutefois on voit immédiatement que,regulier pour 9 sur une carte,
si a est
autre carte,il en est de même sur toute
et qu'alors l ' ordre du premier coefficient deTAYMR non nul, c.a.d. l'ordre du zéro de - en ti
indépendant de la carte; %
, ,est
en 0,. Si o( est un Pôleon l'appellera l'ordre du zero de?
toute autre carte, et on dira que, ceci subsiste sur
en4
. De même pour un point
pôle d'ordre 13%
Ier
essentiel.On
peutenfin procéder de même pour
unel-fo;*me~sufl
,holomorphs
sur cv, i
GJ
estregulière
et a un zéro d'ordre,; sur une carte elle sRecrit C(5) 4
et,siC
*L
ou unpointessentiel,
si C a un pôle d'ordrceci
subsike
sur chaque carte,et on dit que w a la même propriété en a sur W .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 373/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 374/599
qu'au corollaire du théorème 19.
Théorème 22 d
Dans les conditions du théorème 22 c,si.W
est simplementconnexe,la forme l-forme w a des primitives holomorphes
c.a.d. des fonctions holomorphes 4 tellesI
que do = G , si et seulement si ses résidus en tous les a;sont riuls.
Il n'existe pas un théorème des résidus intérieur et unautre extérieur, mais un seul, 6noncé plus haut. Cependant,supposons W compacte (don= vari6té abstraite, voir remarqueaprès le corollaire 7 du thkorème 12). AlorsOnon seulementv
est une sous-variété avec bord, ; onappliquer le même théorème;
maisaussi[Vmais 7
, comme bord dee
ept
luiV
,
a l'orientation opposéeà
celle de bord de \' ;
our cettenouvelle rrientation, l'intégrale de z donnera
%
&A, 3.Ce ne sont pas là deux théorèmes différents, l'&?dit intsrieet l'autre dit extérieur,me à V et[S
mais 2 applications du même théoré-
respectivement 1 Naturellement leur combinaisodorlne une génkralisation du corollaire du théorème 19 Lis .
Théorème 22 e
Si W est compacte, et si 0- est une l-forme holomorphe,
sauf en un nombre fini de points singuliers, la somme de sesresidus est nulle. On l'obtiendra directement en appliquantle théor&me desrésidus à V = W , de bord vide! On pourraiêtre tenté de généraliser le théorème 19 bis; mais il n'y apas de bonne notion de résidu à l'infini pow une variété.C'est au contraire le théorème 19 bis qui-est, sous une formecamouflee, une application pure et simple du théorème généralunique des résidus. Il faut, pour le voir, introduire la sphède RIEMANN.
On appelle sahère de RIEMANN l'ensemble formé de @ , corpdesAomplexes, et d'un point a l'infini" notéw . On la note
ra CT ? . Ce n'estD~US
uncoxvs.
mais le sous-ensemble 6? estle corps des cympiexes. D'au& part, pourcation
ldéfinie habituellement dans
a-J-
Aprolonge en une bijection de ao sur lui-même, en posantL=w/
L = 0; elleenvoie a suror et 00 sur 0 . Munissons m a nte
n%t @ u'une topologie (de manike très analogue à ce qui
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 375/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 376/599
; toutes sont
ïnéorème
23
La sphèl,e de RIEMANN @ est une surface deHIEMANN
ou variete holomoruhe, de dimension complexe 1, compacte.La projection stéréographique H '
etablit un Cw-dlfféomor-
phlsme,
par rapport au corps desreelsR
, entrec
et lasphere
unite
deR3
.
Demonstration
Ncus avons déjà dit ce qu'était cette projection stéréo-
la
sphèreunitéx
de]Ee
, d'équationses deux pôles,N (0,0, 1 )
stéx$ographique
F, , de pô-dex su? (l ? définie par les for-
mules suivantes (~~,V,u~,coordonnées dans R3
R )
, 5 , y , dans
2s
U =x l+ y’+
@54;23)
u=
zy
x1+
.y+
1
,IU
=
mxL+yx- 1
Xx+
'd
=+4
Cn,vérifie aussitôt que c'est un homécmorphisme dexS I‘ a2 ( ).
* Sue (u,II ,w) dépende continuement de (~,~y ), et tende ver
(0 ,O ,1 )
quand( ,y
)
tend vers l'infini de@ ~ c'est évidentsur ces formules. En sens inverse,est
contirxe, sauf peut-être,on voit sussltot que/u,,L:ti)+x,y
mQ.er coupd'ceil
que,pour W-1 mais on ne volt pas au pr
si(u,u,w)tendwl.5(o,o,I),(SC,Y)tend vers l'infini [email protected]'cublicns pas que*L,V,w,ne sont pas indepen~antes(u2+21't15'= 11
Joncbien
d'autres formules dans le sensx-@, sont possibles)kis le plan tangent àx en Nest horizcntal, doncl-ulest un in-finiment,petit
du 2ècrdre
en(ti,v)(formule de TAYI0T3) ce qui>~l
tre ce yesultat d'ailleurs bAen connu géométriquement:De toutefaçon, @ étant compacte,c'est un
homéomorphisme
SIC-C est continue et bijective,
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 377/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 378/599
356
kis
les coefficients de LAURENT de 7 aupoQt
0 sontreliés à ceux de If au point .3
l'infini, ~~TZ~J])~~~($)
DoncJ
aura CQ comme pointpour
4.
6-1régulier, si et seulement si
C&<g) =s
,c_.a.d.c
($)=ô qouc,n>l,
et comme point régulier03
po$
d'or&egmslc&(I))=Ô
pour+ g-m-1 .c.a.d.& ($) = 0 pourv,*nxtd
;
c
estexac
tement
ce que nous avions dit page 336.
Il en va toutdans v .
nel-formez, holomorpheOn a alors w=
le. carte $- 2
elle devient la formeCT)$=-{t*)$
, qu'on doit 8,u-
dier
au voisinage de 0 . Lallalso
deLAURENT
de$
à l'infini et de 8
entre les coefficientsà l'origine est, cette
c)
. Donc3 sera r@uli&re au
, si et seulement si, par définition, c est
régulière au point 0 ,c.a.d.
c*(c)=
0 pour-&
s-1
, ou
<Js,,
=o
pourna-1
; et de même 0 aura un point régulier
ou un pôle d'ordreLmau+ pol:t
00 de $ si z&(c)Co pour
a<-m-1
7c.a.d.
zn(#)=
0 pour n&ln-, .
La forme & a donc un pôle d'ordre 2 au point 00 , la for-
m e % unPôle
d'ordre 1,la forme.çh$ un pôle d'ordreA+z,
si une fonctionW un pôle d'ord
en un point asa différen-
pôle d'ordre m+< , le montre
une carte (7 = (i;';)_c..-donne
Or la fonction pôle d'ordre 1 à l'infini, doncsa un pôle d'ordre 2.
L'identification de dans c conduit, dans 6
aux pires erreurs, a un p61e a l'infini. La dl
tlnction soigneuse l-formes évite donc beacoup d'erreurs. Néanmoins. sur C?lul-meme, ce n'est pas tellement nécessaire, et la théorie des fonctions de variables complexes prc ‘ite de la situation particulière dans c . Parexemple par la
>ème
formule intégrale fondamentale qui n'a Pd'extension aux Variétés.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 379/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 380/599
en fz.issnt fonctionner suffisamment sa matière grise.Si
l'on veut véritablement ne Jamais commettre d'erreurs ondoit, répétot32-le une fois encore : ne se permettre
d'assi-
miler F et 4 % que dans aa , sans point h l'infini, sans
faire de difféomorphismes. Dans tous les autrescas:
il fau-dra soigneusement les distinguer, et ne parler de residus
(notamment de résidu à l'infini) que pour T‘i1 . Le résidud'une l-forme a un sens, pas celui d'une fonction. Nouscommettrons quand même souvent des abus de langage dans lasuite, mals il faudra les manier avec prudence.
Il est bon de dire que RIEMANN a introduit la sphère deRIEMANN justement pour débrouiller les complication apparen-tes du point
à
l'infini. Celà
et d'autres considérations ana-logues
A
celles que nous avons vues antérieurement l'ontconduit à distinguer les fonctions et les l-formes holomorphe
puis à définir en général les surfaces de RIEMANN età
lesétudier. Et c'est HERMANN WEYL qui, en donnant le premier unedéfinition vraiment
corecte
des surfaces de RIEMANN (Die Ideeder
3lemannschen
Flache,1923),
a Introduit "en règle" lescartes locales, d'où la définition moderne des variétés
diffé
rentiables
en général. De cette difficulté du point CC sontdonc sorties, par des chaînes de découvertes, certaines desnotions les plus importantes des mathématiques modernes.
Théoreme 24
Pour CIU'uIX fonction ou l-forme soit méromorphe dans tout
le plan complexe, infini compris, c'est-a-dire sur la sphère
de Riemann 8 , il faut et il suffit qu'elle soit rationnelle
Démonstration.
Soit F une fonction rationnelle, j+- -Q 3
polynome
a coefficients dans F , Q poJynome complexe; bien évidem-
ment elle est méromorphe sur @ . Nous devons montref laré-
singularités de $ sfr 8 f
ciproque.
Soit donc une fonction méromorphe surc
. Les
orment
un ensemble fermé de
points isolés; 03 est compact, il n'y en a qu'un nombre fini
Soient ti; les points singuliers à distance finie. Pour cha-
cun d'eux ,~U~,isolons la "partie polaire" de e , c'est-A-dir
la somme ji
des termes d'exposant 4 0 du développement de
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 381/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 382/599
360
Démonstration
La fonction -&--- : $ ----+ *est holomorphe
dans l'ouvert obtenu en retirant de fi les racines de l’équa-
tion ;P = c , et les pôles de
Soit C& une racine de l'équationd'ordre & . Alors on a, audu type
u: %~i~~~ement
où 9 est une fonction holomorphe et non nulle dans un voisl-
nage de a.
simple au point (L ,
où a est une fonction holomorpheet
sans zéro, dans unvol-
sinage de a .
On a donc cette fols-ci
(YI,‘cW
4'9) - -
m
ce qui prouve que l'yé:idu dc ')au point a , est-m
métant l'ordre du pôle a derésidus donne immédiatement le
Alors le théorème 19 des
Corollaire 1
Plaçons-nous dans les conditions du théorème, en supoo-
sant en outre & holomorphe dans fi . Alors l'application1
de la variété compacte orientée avec bord. V , dans 6 ,
admet, en ~n point C de CO. qui n'appartient pas b l'image
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 383/599
361
4 ( r) du bord, un degré topologique égal au nombre des1
racines de 2w cv, chacune comptée suivant son ordre de
multiplicité, et en outre a l'intégrale
aL4; 29)
Démonstration
D'après la définition même quichapitre VI, le degré topologiquepar rapport au point
C
, du cyclealors aussi l'intégrale (page 248
r
q4;~0)
a été donnée page 260 dun'est autre que l'indice,
D'après la définition même de l'intégrale sur un cycle singu-lier (formule
(VI,6;60)
), cette intégrale n'est autre que
(VII,4;29),
ce qui démontre le corollaire.
Remarque.-
Ce corollaire montre que le degré topologiquede#
relativement à la variété compacte V , orientée, a bord, secalcule de façon très simple, grâce a l'hypothèse d'holomor-
phie,
même lorsqu'il existe des racines multiples.
Reconsidérons le calcul du degré topologique, donné page260 du chapitre VI. On était alors amené a prendre les images
c'est-a-dire ici les racines de l'équation
ré pqFs~de.S;
ces racines étaient isolées, et si en cha-cune d'elles le déterminant jacobien était #0
le degré
topologique était la différence du nombre des ra;ines a déter-minant jacobien > 0 et du nombre des racines à déterminantJacobien
L
0 (le détérminant Jacobien devait être calculé parrapport
au corpsW
) Nous savons que, pour une aplication
holomorphe, le détermknt jacobien (par rapport àik
)
esttoujours
2
0 (formule(VI,2;7);
le déterminant jacobien réel
ce qui montre bien pourquoi on estsimplement le nombre des racines.
Mais en outre, la méthode indiquée au chapitre VI ne s'appli-
quait pas aux points où il existait un déterminant jacobiennul; nous voyons que, dans le cas d'une application holomorphe
$3 si,
en certains points, la dérivée de est nulle, il
s'agit de racines multiples, et qu'on fait tervenir, dansle calcul du degré topologique,telles racines.
l'ordye de multiplicité dt
Rien d'aussi simple n existe pour desaPPliCa-
tions seulement R-dérivables.
Ceci nous permet a nouveaud'interpréter la démonstration du théorème de d'Alembert, don-née au corollaire 1 du théorème du chapitre VI; nous avions
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 384/599
362
tv*vé que le degré topologique du polynômeP ,au point0 ,éta
le fait que nb# 0 wus prouvait l'existence d'au moins "neracine;de
nous savons maintenant qu'on peut interpréter ce faitfaçon P~US précise en disant que le polynôme a exactement
'm
rat
ines,
chacune comptée autant de fois que l'indique sonordre de multiplicité.
Corollaire 2
"ne suite de fonctions holomor-
phes ir valeurs complexes, sur l'ouvert fl de ao , convergeant
our n infini, localement
hPolomorphe ? .
uniformément vers "ne fonction
Si alorsV
Cfi
est "ne variété de dimension réelle 2
avec bord,de classe C’ , et si l'équation 4 (4) ZZZ 0 n'a
as de racine sur y , alors. pour x assez grand, l'équa-
as non.plus de racine sur 3 et le
nombre des racines de L (5) = C dans 9 est égal ai
nombr
des racines de 4 (5): c dans 0 , chaque racine étantcomp-
' Se avec son ordre de multiplicité.
Démonstration
Tout d'abord l'affirmation relative a" contour est immé-diate.
.'
en effet, si l'équation j(j)= c n'a pas de racine
SUT v , la quantité I$(j)- c 1 admet un minimum 6 > 0
S*I‘ V compacte, Si alors nous prenons fi assez grand p,o r
que la différence ssoit CG 2 sur v l
l'équation n'a pas de racine sur c . Il suffit
alors de calculer l'expression intégrale de N (#,, ;V; C)
donnée par (VII,4;2ÿ) et d'effectuer le passage à la limite
pour
ces
intégrales (cas trivial de la convergence uniformesur un compact).
FITmarque.
Compte tenu du corollaire précédent, ce résultat
n est autre que lt théorcme 66 du chapitre VI.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 385/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 386/599
364
d'ordre 1.2,..., m-4 de $ au Doint (L soient nulles, et que
sa dérivée d'ordre m ne soit pas nulle. Il
existe alors un
ouvert a de a . et un voisinage ouvert & de & = $(a) ,
telsue
4 appliqueEL
sur33
et que 4 ((SL)I
'LB
recouvreexactementmfois.
Quand nous voulons dire que(
a)
recouvrepoint c de 3
58
m fois,nous voulons dire que, pour tou
^pC5)= c
, l'équationadmet exactement
m
racines dans&
, (chacunecomptée avec sa multiplicité).
Démonstration
Appelons d'abord A un disque de centreu-,
dans lequel
l'équation d(5) = & n'ait pas d'autre racine que a ,quiest racine multiple d'ordre m exactement.
Alors le degrédans c , au point
t p;l~~;q~ de llapplicatiyn 1 de A1 ;
mais le degre topologique enun point c qui varie continument, est constant, pourvu quec
se déplace sans franchir l'image par $ du bord yy de A(théorème 66 du chapitre VI, ou corollaire 2 précédent).
Donc Il existe un ouvert 4 contenant&, tel que, pour Cdans
3
, le degré topologique de 4 1 A au point c soittOoujours 1%. Si alors nous appelons (3, l'intersection
AII
q-'(d
)
on voit que ,J (a)=
& , et que, pour
tout point G de'3ce qui
dém~n:~~q'i~ ,l~r,l~~l~e:
'
a m racinesdans
(2
,
Corollaire 5
soit -j
une fonction holomorphe 2 valeurs ComDlexes, surun ouvert fi de c et qui n'est constante dans aucune CCm-
pesante connexe de fl ; alors l'application 4 de fi danse
est ouverte, et en particulier l'image -C, (fi')
est un ouvert;
si & estinjective,
c'est un c-difféomorphlsme defi1
Démonstration
Soit ae.L ,. Comme n'est
pas constante dans la compo-
sante connexe de a fi , il résulte du corollafre 3du théorème 11 que l'une au moins de ses dérivées n est pasnulle en d.
Alors l'application du corollaire précédenta
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 387/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 388/599
366
dans
CI L une détermination holomorphe,En outre oe'be fonction
'd
, qui prend laes t
maintenant dans les conditions d'application du théorème
des fonctiûns réciproques a point a, car sa dérivée en an'est pas nulle (elle vaut
IL ). Il existe donc un voisinageouvert a C
(2,
de CL et un voisinage ouvert x de 0
tels
que
soit un c-difféomorphisme de&%
sur X.En rest rei gnant
ces uverts, on peut toujours supposer que 3 est un disquede centre 0 .
soit 9“ deX sur (il . Sinous voulons
CEdS+.X-
c'est encoy un disque de centre 0 ); cela revient a résoudre
expression qui a 17~ valeur? distinc
dans3
; les solutions dans @, sont 2j= g'((C-Alm-) ; sa
pour c= . Y où elles sont toutes confondues en CL, les WL solutions sont toutes distinctes. On peut encore dire que la fonction u= J(3)., au voisinage de dr, s'inverse paria "fonc-
tion multiforme am déterminations"
si
h= j(3)
est fonction holomorphe de
zéro d'ordre qn. au poJnt a, 3 est localement une fonction
holomorphe de ~LU.-&) . En prenant pour simplifier a- -L 0,
si LL = J(5)
est holomorphe au voisinage de l? , et a en 0un zéro multiple d'ordre In.
-3
est, au voisinage de 0,
fonction holomorphe de aA (donc fonction mUltifOrme
deA
Théorème 26
si l'on se place dans les conditions du théorème 25, et si
@ est Uns fonction holomorphe dans fl , alors on a la for-
mule
1
(w4;32) 2-z
0
sont les racines I(G)
=c
dans y , et où les,
sont les pôles de 2 dans q
chacun étantcompté
au-
tant de fois que l'indique son ordre de mUltiDlicite (*).
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 389/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 390/599
le calcul des résidus est local, donc peut se
cartes, et, sur "ne carte, d
de sorte que les résidus sont ceux qui Ont'été
théorèmes 25 et 26.
Les conséquences sont les mêmes que pour lesUn cas particulièrement intéressant est
celui où W est connexe compacte, et où l'on peut alorspréndr
V=W , donc T vide l . Al ors on trouveN($;W;c)=N($;W;m);
donc le nombre fl ( { ; W ; c ) est indépendant de 0.
Corollaire 1
Une fonction méromorphe non constante s rW connexe compacte,à valeurs
compleXes,
prend le même nombre fini de fols toutesles valeurs. Ce nombre est d'ailleurs facile à Interpréter.
~a fonc$ion méromorphe p sur w définit "ne application
dew
dans a. ? , prenant la valeurw en tout pôle d de 8
elle est alors holomorohe de
un pôle, la fonction '
voisinage de d (par %
est
xemple
du théorème 16) (et nulle en
carte <- de&'= c
W dans @ ;
en effet, si d"est
holomorphe a valeur dans c a"
par application du corollaire 2
a ),
ce qui, en+considerant la
surc { 1
0 CC? montre bien2
notre affirmation (théorème3jter
du chapitre III).En
parti-culier, en tant qu'application continue de W dans @ , elle a
un degré topologique, qui est le même pour tous les points dec
d'après la dernière phrase du chapitre VI; et le corollaire 1du
theorème
25 montre que ce degrétopologique
est justementle nombre de fois qu'elle prend toute
valeur:d(,f;W;o)-N([;W;c).
On écrira simplement d(f) ou N(4)
et on l'appellera ledegré de la zonction 4 . Il n'est d'ailleurs pas nécess.aire
de prendre c : '
Corollaire 2
Une application holomorphe 4
non constante d'une surface
de ~i=n compacte connexe Wdkns
"ne autre W est ouverte
*Dans
ce cas, la2ème
formule n'a pas d'intérêt, car (r >
holomorphe sur W , est constante (corollaire 7 du théorème 12)
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 391/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 392/599
370
que1conque, conver ge uni f or mément sur
une circonférence de centrea*,
et par conséquent,d'aprks
le théorème deWeierstrass,
dans tout le disque bordé par
cette circonférence, doncsur
tout compact ne contenant aucundesaL#
CA&.
Elle représente une fonction holomorphe dans[{&i)l+ ie
ce qui prouve que J aura P+ comme-partie singulière au point
af7 *
Mais en général lasériez
7; ne convergera pas,
et il n'est donc pas évident à priori qu'il existe une solu-tion de la question.
~~~~~~~~i~~‘l~~,lI~~~~~iQi~~~~~
C~elles
que soient la suite des points a, : et les parties
singulières x , il existe des fonctions méromorphes z
dans@
à valeurs dans F , ayant les Pôles a; et les parties singe-
lières
données ?;
i
on obtient la solutiongénérale
de ceproblème. en ajoutant A une solution particulière une fonc-tion entiere arbitraire, à valeurs dans F .
Démonstration
Soit. L
* un point quelconque n'appartenant pas à l'en-semble des a; . Soit une suite de nombre &;>Otelle que la
Considérons alors In série
* Généralement, onprendk=O;
mais il se peut que 0 soit l'undes CL;
Même
dans ce cas, on resoudra d'abord le problème deCousin relatif' au système des a;#O, en prenant&=0 et on ajou
tera
au résultatobtenu
la partie singulière tionnée pour
0 .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 393/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 394/599
372
En particuller,ai chaquedéveloppementF&
est réduit àune constante 3 f Fentibre sur a? i valeurs dans F
on trouzra une fonction holomorpJe
aux points aI ., prenant les valeurs CC
SI tous lesLX;
sont donnéschacun d'eux, est donnée la
si d'autre part, la série cI II.
est convergente, Llors
on peut prendre commemajoration
solutiondefi . On a en effet la
qui nous montre que la série considérée converge normalementsur tout compact de l'ouvert complémentaire des Q; (ralsonne-ment de la page précédente).
Si, toujours
pas convergente,
pour un certain entier h ,lution
alors on peut prendre comme so-A-4
dans le disque15 /<la; 1
iet on prend?& -T;).
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 395/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 396/599
374
Donc la différence
044;40)
est une fonction holomorphe entière.
Par ailleursz restant bornk en valeur absolue,
si nous faisons tendre l'ordonnéey vers-+=,
la fonction convergevers
0
. En effet, nous avons vu que la série st unifor-mément convergente dans la bande [=\ SA , et acun de ses
termes séparément tend vers 0 de sorte que notre conclusion,pour
$9
resulte du théorème 66'du chapitre II .
D'autre part la fonctionsinus.vérifie
l'équivalence
JI2
- tend aussi vers 0 dans les mêmes conditionsde sortequehzXj
Il en résulte que la différence % converge aussi vers 0 .
On peut donc, pour A donné, trouver un nombre B tel quela relation 1 JC 1 SA
,~y
I> Bentrafne
Comme par ailleurs dansfonction
le compact\
9
est bornée,labande/% GA.
on en déduit
riode 1,Mais comme elle est périodique et de pé-
complexe.
on en déduit qu'elle est bornée dans tout le plan
Le théorème de Liouville montre alors que c'est une cons-tante; et comme elle tend vers 0 lorsque,
pour=
fixévers l'infini,
tendelle est identiquement nulle. 99
tréComme on peut ensuite remplacer 5 par $-+,
la propriété suivante.on a démon-
Théorème 29
On a les identités
@ ,4;‘W
n2
,hm2 ? ;a
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 397/599
375
Prenons maintenant les primitives :
Corollaire 1 * .
@&4;+3)
x cq
sy 9
Démonstrationl 4Q
On a les identités
La série 2n-80
ne.
qui est au deuxième membre de la première
formule(VII,4;43)
converge en effet
(elle est nulle), et sa série dérivée-
dans ll&%& 'connexe; le théorème il1 du chapitr
Fe IV
MOUS apprend donc qu'elle converge elle-même lOCalement uni-formément dans &?, , et que sa somme est une primitive de
donc nc~ty~Tj-+
a
une constante près. Mais
ces deux fonctions sontnulle,s
à
pour la série; etYta+)
Jt$-l'origine (nousl'avons vu
-x
est impaire), donc ellessont identiques. Remarquons q e nous n'avons pas pris
n'im-
en prenant
nous aurions obtenu une série divergente. Nous avons prisles primitives 1
-VS
+ 2 , nulles& l'origine, de façon 8
avoir convergence en au moins un point, l'origine, et à pou-voir appliquer le théorème 111 du chapitre IV; mals alorsnous devions mettre de
côté le terme -+ , singulier à l'ori-
gine. Finalement le résultat obtenu est exactement conformeà la formule (VII, 4;
37)
avec ll/=I et au procédé indiquedans la note (*) de la page370.
+
Ces corollaires sont démontrés d'une autre manière dans lefascicule "Fonctions spéciales", p. 22 - 24.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 398/599
Même méthode pour la deuxième formule (VII, 4, 43), tousles termes étant alors traités de la même manière, car
p
n'est plus un pôle; on a encore l'égalité des deux membres
à l'origine,où ils sont trivialement nuls.
Remarque
On écrit souvent, en groupant les termes n. et-T+ :
Sous aucune des formes (VII, 4; b3) ou (VII, 4; 44), iln'est immédiat que le deuxième membre soit périodique depériode 1. On le verra à titre d'exercice facile.
La fonction T catg 7t$
-
+ estholomorphc
pour 13 (< 4,
et donnée comme somme d'une skie de fonctions holomorpheslocalement uniformément convergente. Donc on sait qu'il y a
aussi convergence uniforme locale des séries dérivées (corol-laire 1 du théortme 15 de Weierstrass), et en particulierpassage à la limite pour les coefficients de Taylor à l'orl-
gine.
Le -k-%necoefficient de Taylor de X Cokg X'j - %corncide
donc avec la somme des -&&,coefficients de Taylor desfonctions
-P-.
Or on a'SCefliéveloppement
- 2q.g...:On en séduit la formule
déjà définies à la formule (II, 16; 4) du Chapitre II.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 399/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 400/599
3. 78
Cor ol l ai r e 2
On a l e d&el oppement
I l suf f i t d' expr i mer l a f onct i on '
f onct i onc0
par l a f or mul e
- ëc7
Èi par t i r de l a
@ 4; 54)
e% 1
I
2
et d' ut i l i ser l es résul tat s ( VI I , 4; 43 et 46) _ On peut auss i
donner une démonst r at i on di r ect e, anal ogue aux pr écédent es.
1: s
Les nombr es r at i onnel sBp,
sont appel &s nombr es de Bernoul H
ont des apyl i cat l ons dans un cer t ai n nombr e de pr obl &mes
d anal yse ou d ar i t hmét i que.
Les pr em ers de ces nombr es sont donnés par l es f ormul es
Les f or mul es ( VI I , 4; 42, 43 et 51) peuvent êt r e consi dé-
r ées comme des sor t es de
"
des f onct i ons f i gur ant
décomposi t i ons en él ément s s i mpl es"
aux pr em ers membr es. Tout ef oi s
dans
l a dckomposi t i on en Gl ément s si mpl es d' une f r act i on r at i on-
pas f al r e f i gur er de t er me tel que
est m s I CI pour assur er l a conver gence.
* _On i nt r odui t ,
qui est l ~t i l e
assez ar t i f i ci el l ement i ci , un t er me
dans cer t ai nes appl i cat i ons.
( 2+ J >
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 401/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 402/599
p r o b lo i to s s
l s tu o é l
s o m m ee e sé s io iu lt h2
( m a i s' e sr è si f fu ee to
s a n t e
i l l es té a l
l
x n o
p r o b le o u sn e ur o~ h
l ' l n du r on b o
t i o n sn j o u ' u' en - o
a r b i tu d
o uo mo nm o
q u e l ls ta i m ee ' e
l - f o ro l ou r
o ne r
l o g i ee o u xa d i c hI
d é m o nu ' is ts o z j
o?J 9
e s
a p p e lw n re a u re i e
s é m e na i m eo me
u n eo t i oa g ué fn a t
p
o n o n s in ec o ul ga n s
l ' e n se e so i no my o e
l ' i n fs tu s c' ut re u
R i e m a g u ii a o us tn s
d e i e m a ; eu ’ o p p? e ec
e n k t h ép é cs tu se e
i n d i qc i .
n
2 ' )o n sa ie r e O
d e so n c tl x i se so né q
l e r o b li tn eo ln f i s
h o l o m t n eo né
a u o i s ie i l o T s n -
a u o i s ie ; ' ix in o
a u o
d
f l dt u eê
v r a io u ro u tÜ E. o ml o o
i n d é p,
L ,
e a n o
t i e n su io i v& eé i
s a e y
'
. i
e n c o Tn Ç m o
t ' er èf u
t i e n so n tu f fo wu ee r i
Q u e ls tl o re e g r' i ct
s i m p l
o u to n co ls n o
l a i r e u h h o2 )
a o ls éu
c o n s td d ir è
e s& st '
O n tt él é mu i èe ra I
P 5 E L .n e m au eo ue s- l
t i o ne o s st
9
e g' ~
p o u re so n c
l J o ne o 1
d e g r Ç' i n n eo e ul
d e u xr o b
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 403/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 404/599
avoIr qc? + R
de
R
R
pol ynôme; soi t C l e t erme const ant
- en émiv la condi t i on à l ' &Yni , on t r ouve
P_=S- G
ce qui dét er m ne R
Aucune condi t i on de possi bi l i t é,
a une const ant e pr es.
1 degr é d' i ndét er m nat i an.
soit { )+GI
un
ensembl e f ermé de poi nt s i sol és dec
et , pour chaque L , un ent i er +; 3 4
Le 2eme pr obl ème
de Cousi n consi st e . 4 t r ouver une
f onct i k
b val eur s compl exes,
ent i er - e sur @
ayant pour sér os l es poi nt s
i
avec
exact ement l es or dr es de mul t i pl i cl t és p; .
Théorème 30 de Wei er st r ass
Guel l es que soi ent l a sui t e des a; et l a sui t e des + ,
l e deuxi eme probl eme de Cousi n admet des sol ut i ons; on ob-
t i ent t out es l es sol ut i ons en mul t i Pl d. ant l ' une d' ent r e
el l es Par une f onct i on ar bi t r ai r e, ent i èr e et sans ser as,
c. a. d. de l a f or me e? , 4 f
arbi t r ai r e.
est une f onct i on ent i er e
Démonst r at l on
Soi t k une f onct i on méromorphe 5 val eur s compl exes dans
( l z>
ayant l es a;
omme
pôl es si mpl es avec l es r ési dus +I -
une tel l e f onct i on exi st e d' apr ès l e t héor eme 28 de M t t ag- '
Lef f l er . Soi t s0
un poi nt f i xe de a? di f f ér ent des LX; .
Consi dér ons l ' i nt Çgr al e h( j ) =
j 4) dX
Cal cul ée
*
sui vant un chem n C0 de l ongueur f i ni e évi t ant l es a, ,
al l ant de j e a ' j .
et
Tant que l e
un ouver t si mpl ement connexe f i de
n var i e en r est a% dans
~ {a; }_ i . I , l ' i nt egral e
ne var i e pas, et r epr esent
dans f i ( t héor ème 7 .Msi s
une pr i m t i ve k0 hol omorphe de R
{a~\ ; ~~ ui - mgme n' est pas sl mpl em
connexe, pui sque un cercl e Ent our ant
homot ope à sér o,
l ' un des a' n' est Pas
et l ' i nt égr al e pr écédent e a do&
une i nf i ni t e de val eur s possi bl es sui vant l e
a pr i or i ,
chem n choi si .
Mal s l a di f f Çr ence ent r e deux de ces val eur s est
de A( c) {
l ' l nt é r ai e
sui vant un ca- cycl e r de l ongueur f i ni e
Yche-
; ; i ef er me al l ant de 0 . & 3__) ; l e pl an ét ant si mpl ement con-
ce cycl e p est homot ope a 0 donc homol ogue a 0
dans' c ,
et on peut l ui appl i quer l e t heor ème 19 des r ési dus
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 405/599
383
cette intégrale est le produit de2sJt par une somme de résidusde -k
. Mais tous les résidus de & sont des entiers; doncla différence entre 2 valeurs de H en un point 3 est un
multiple entier de2i~
terminée. La fonction ek
donc eH(a) a une valeur bien de.-
ainsi définie est holomorphe et
sans zéros dans ; soit en effet 3, un point
de cet ouvert, et A un disque de centre 3, contenu danscet ouvert; pour 3 dans. A , on pourra choisir la détermi-
nation de H définie par H($I
= , où la première
intégrale est calculée suivant choisi une foispour toutes, et la deuxieme suivant un chemin contenu dansA;
commeA
est simplement connexe, cette secondei tegraleest une fonction holomorphe de /
l?
(primitive de 2, dansA
),
donc aussi la détermination cor espondante de H et parsuite eH est holomorphe et sans zéros. Sa valeur en $0
est1.
Considérons
est holomorphe
tions de Ht$)
maintenant un des points CL ; . On ah=--
4
h +k,ou$-a;
au voisinage de a; 0 Les diverses détermina-
peuvent s'écrirei
3 +1;?-a. + '-pc(s) d3
ou encore
est connexe,
une fonction est déterminée, dans cet-ouvert, a un facteur
constant près par sa dérivée logarithmique;t
est donc laseule fonction holomorphe de dérivée logarithtelle que
f<$,,= 4 -
ique &,et
Regardons de plus près sa forme, en utilisant la méthodede résolution de Mittag-Leffler pour la détermination de k .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 406/599
Dét er m nons donc à par t i r d' un poi nt + Y= i 0 di f f ' ér ent
de t ous l es a; , , une ski e ( VI I , 4;
35 :
qui conver ge l ocal ement uni f oi mement dans l e compl ément ai r e
On vu que
Q est
m t i ve de ce pol bôme
un pol ynôme. Appel ons RC l ' uni que pr i -
qui soi t nul l e au poi nt $0 ; on a al or s
di r ect ement que nous avons l a un pr o-
. .
n voi t d' ai l l eurs
dui t i nf l ni , qui pr end l a val eur 1 au poi nt
ser i e dér i vee l ogar i t hm que
ver s a dans l ' ouver t connexe
ver ge l ui aussi l ocal ement uni f ormément dans l e même ouver t
d' apr ès l e t héor ème 112 du chapi t r e I V; et i l a évï demment
l es pr opr i ét és
demandées]
En génér al ,
l ' un, 0+ ,
on pr endr a$O=&= 0 ( s' i l se t r ouve que c' est
des poi nt s a;
cor r espondant a l ' or dr e di mul t i pl i ci t é de ce zér o,
on i sol er a d' abor d l e t er me 3
pO,
et on
s' occuper a ensui t e de t r ouver une f onct i on admet t ant l es
aut r es zéros avec l eur s or dr es de mul t i pl i ci t é donnés) .
f or me
I l est bi en évi dent que l e quot i ent de deux sol ut i ons
est une f onct i on ent i èr e sans Gr os ar bi t r ai r e; d' apr es
l e cor ol l ai r e 4 du t héor ème 10 , el l e est l ' exponent i el l e
d' une f oncti on ent i &r e ar bi t r ai r e.
Remar que 1
Le f ai t que ( I L?t ai t si mpl ement connexe a j oue un r ôl e
essent i el a un moment donné de l a démonst r at i on du t héoreme.
Soit fi
un ouver t de c ;
pr emer pr obl ème de Cousi n
on a vu ( r emarquel page 37l ) que l e
dans 0, .
avai t t ouj our s des sol ut i ons
On peut donc const r ui r e l a f onct i on #, , de l a dé-
monst r at i on pr écédent eQ Mai s al or s l a quant i t é H( j ) n' est
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 407/599
plus définie à un multiple entier près de Zir, parce quele théorème des résidus n'est applicable que si
T'
est homo-logue à 0 ce qui n'est sGr que si fi est simplement con-nexe. On dispose cependant d'une marge de manoeuvre,parce
que le choix de'/ L
n'est pas unique; on peut montrer que,pour un ouvert fi de c , le problème a toujours une solu-tion. Mais il n'en sera pas de même pour des surfaces deRiemann, même si le premier problème de Cousin a une solu-tion; nous verrons un exemple plus loin.
Remarque 2
On aurait pu chercher 7 à valeurs dans un Banach F
satisfaisant aux mêmes conditions. Mais c'est là une génk-
ralisation triviale; car il suffit de multiplier une fonc-tion
scalairs
ayant les zéros donnés par un vecteur fixe
non nul de F .
Remarque 3
Si, au lieu d'exiger que$
admette les zéros a; avec lesordres +; , on exige qu'elle ait au moins les zéros a; (maisd'autres éventuellement), d'ordres au moins 4; ,c,à.d. que,dans l'anneau des fonctions entières
Pi
'Tt'divlsible par
chaque
(3
- a;) , alors la fonction construite dans la dé-monstration repond encore A la ques et on obtient tou-tes les autres en la multipliant par une fonction entière
arbitraire (ayant ou non des zéros).
Cas particuliers importants
Supposons que la série cfion aura la solution suivant& a~
soit convergente, alors
@w; 59) pp = .T1- (4 - ai';
'
4=0
i
le produit écrit est en effet localement uniformément conver-gent dans le complémentaire des zéros, d'après le théorème70 du Chapitre II.
S'il n'est pas ainsi, mais si la sériez
convergente,
~4;60)
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 408/599
c' est en ef f et ce que donne l a méthode pr kédent e, compt e
t enu de ( VI I , 4; 37 .
+4
Si, pour t out , +L, , a~ ,\+,= + a2 , on aura une f ormul e
avec des hi t endant ver s l ' i nf i ni pour a+ t en-
.
Cor ol l ai r e 1
On a l a f ormul e
W , ~; 61)
oes pr odui t s I nf i ni s ét ant l ocal ement uni f or mÇment con-
ver gent s dans 1~
En ef f et , ' ? est l a seul e f onct i on hol omor phe de cl ki -
vee l ogar l t hm qke TT&
j 5
~3 - ?-
et val ant I a l ' or i gi ne;
i l suf f i t al ors d' appl i quer ( VI I , 4; 43) .
Remarque.
De même que, page 367, nous avons compar a l es dÇvel oppe-
ment s obt enus à des décomposl t i ons en @ ement si mpl es de
f r act i ons r at I onnel l es, nous pouvons compar er ( VI I , 4; Gl )
au devel oppement en pr odui t de f acteur s pr em ers d' un pol y-
n ô m eci encor e on ecri t T( ( , î - &) e% et non X( , ) - X) ,
pour assurer l a conver gence. D' aut r e par t , dans l e cas des
pol ynômes, i l ne r est ai t j amai s quI . un f act eur const ant ar -
bl t r ai r e, par ce qu' un pol ynôme sans
z os
est const ant
( d' Al ember t ) ; i ci i l r est e une f onct i on ent i ke sans z&c
ar bi t r aI r e, et i l est r emar quabl e qu' el l e soi t const ant e
pour l a f onct i on &.
Cor ol l ai r e 2
soi ent {a; j Lel
, {-bj}jcJ
, deux ensembl es r ' er&s
di sJ oi nt s de poi nt s i sol és de
c , et i , -
+L
a +qjJ CieUX
appl i cat i ons de 1, J dans l ' ensembl e des ent i er s > 0.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 409/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 410/599
386
I nver sement sci t T une f onct i on sat i sf ai sant 2 ces condl -
t i ens ( pr em er pi - obl ème de Cousi n) ; al or s TX T&_ répond à
l a quest i on. I l est bi en évi dent qu' on obt i ent t out es l es
aut r es en l ui aj out ant une f onct i on ent i èr e nul l e en t ous
l es ai . 2. d. pr odui t de a par une f onct i on ent i èr e ai - bi -
t r 2i r e.
Exempl e
Cherchons une f onct i on pr enant l a val eur < au poi nt
7~e Z, avec Z
?I F0
- devr a avoI r l e r ési du zn au poi nt f l ;
comme l a sér l e
conver ge,
on pou- r a pr endr e
Remar que 1
N~US avi ons dgj à r ésol u l e probl ème pr écédent et même un
pr obl &me bi en pl us général dans l a r emarque 2 sui vant l e
t héorème 28.
Remar que 2
Si l es w sont en nombr e f i ni ,
d' i nt eFpol a< on de Lagr ange.
on r et r ouve l a f or mul e
Thécr ème 32 de Hadamar d
s o i tj
ne f onct i on ent i èr e sur U? à vzl eur s compl exes
et admet t ant une maj orat i on du t ype sui vant , pour 1 1
grand :
3
. Y44, UJ
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 411/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 412/599
390
Le t hbor ème de Hadamar d mont r e que, dès que l ' on connai t
l es zér os d' une f onct i on avec l eur or dr e de mul t i pl i ci t é,
avec en out r e une cer t ai ne condi t i on de croi ssance ( VI I , 4; 62
on connai t a t r es peu de chos
pr ès, l a î onct i on, pul squ' el l e
est det er m nee
f
5 un f act eur e pr+s, OÙ P est un pol ynôme
de degr é ch .
Supposons en par t i cul i er que l ' on ai t ( VI I , 4; $3) avec
f < l . Al or s on peut pr endr e k=O , et l e f act eur =? se r é-
dui t a une const ant e. C' est ce qui se passe si
$
est un pol y
nôme. D' ai l l eur s l e t hkxeme 32 cont i ent comme cas part i cu-
l i er une génér al i sat i on consi dér abl e du t hoor ème de d' Al ember
Cor ol l ai r e
si une f oncti on scal ai r e ent l èr e sui
uz admet l a maj or a-
t i on ( VI I , 4; 62) avec P <
h 4 , et
n' a pas de zér os, el l e
a l a f orme gr , ou P ' est un pol ynome de degr é h h ; en par -
t i cul i er , s i p < , el l e est constant e.
On peut encor e di r e qu' une f onct i on # vér i f l ant ( ~11. 4: 6
avec P d 1, et qui n' est pas un pol ynôme, a une i nf i ni t é de
zer os' ( car , si el l e n' en avai t qu' un nombr e f i ni , el l e ser ai
un nr odui t C q( I )on? un nol yn3me1,
donc auss i pr end
+
une i nf i ni t é de f oi s t out e val eur c ( en consi dér ant
Le r ésul t at ne subsi st e pas pour f ?>d
l ' exempl e de e? qui ne s' annul e j amai s:
comme l e
85 APPLI CATI ONSDUTHRORRMEDESRI %3I DUSAUCALCUL
D' I NTFGRALESDEFI NI ES
D' apr ès sa f ormul at i on meme, l e t héor eme 15 des r ési dus
per met de r amener l e cal cul de cer t ai nes i nt Çgr al es déf i ni es
dans l e pl an compl exe a des cal cul s de r ési dus, c' est - a- di r e
de coef f i ci ent s dans des dével oppement s l i m t és au voi si nage
de cer t ai ns poi nt s si ngul i er s.
Mai s en out r e beaucoup d' i n-
t égr al es sur l a dr oi t e r éel l e , ne f ai sant I nt er veni r a pr i o
aucune f onct i on de var i abl es compl exes, peuvent , par des mo-
di f i cat i ons convenabl es, se cal cul er de l a mer ne mani èr e.
C' est l e pl us pui ssant out i l pour cal cul er cer t ai nes i nt é-
gr al es déf i ni es pour l esquel l es l ' i nt égr al e i ndéf l ni es cor -
r espondant e n' est pas cal cul abl e.
Exempl e1
I nt égr al e de 0
a ' l , ? I ' une f r act i on r at i onnel l e des f onc
t i ons t r i gonomét r i ques.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 413/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 414/599
Exempl e 2
soit K =
F
Q_
une fraction r at I onnel l e, P ci coef f i ci ent
dans un Banach F sur c ,
Q i coef f i ci ent s compl exes. Pr o-
posons- nous de cal cul er
7
R~. Cet t e l nt égr al e a un
sens si ,
d' une par t ,
n’a
pas de zér os r &el s, si , d' aut r e
par t , de3 Qa de9 F L ( l nt égr abi l i t é & l ' i nf I ni ) .
On peut consi dÇr er un cas un peu pl us général , en suppo-
sant que Q possède évent uel l ement cer t ai ns zéros réel s
d' or dr e 1: dans ce cas, pour chacun d' eux ,
l ' i nt égr al e en val eur pr i nci pal e de Cauchyt
, on cal cul er a
( Chapi t r e I V, page 656) ; on peut de
meme suppDse?i \ ent
que dyQ>dy F 1
. qui t t e a co; ; f dér er une val eur
pr i nci pal e de Cauchy à l ' I nf i ni , &, _
7
,
car -
Q
est l a som ne d' une f r act i on rat i onnel l e I mpai r e qui donner a0
7
et d' une f r act i on r at i onnel l e pai r e o
00
pour l aquel l e
&f
Q. > dq x z
pul sque l a di f f ér ence des degr és e
& 1 et pai r e. Fl nal emeAt ,
on cher cher a t cal cul er
On peut d' abor d cal cul er UP j _-
&&c par des mb-
t hodes pur ement r éel l es, en décomposant -
en él ément s sl m
a
pi es. La par t i e pol ynom al e est nul l e, t cause des condi t i ons
sur l es degr és. Donc :
W5; 7)
l es a;
ét ant l es zér os de Q (réels ou compl exes) .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 415/599
393
Mais l'intégrale dm
(s--ai)*
est nulle dès que &Z,
C
car elle vaut
0 . Calculons donc
Soit d'abord %z a; > 0 . On peut intro-
et de dérivée
4 . Donc :
Le premier terme tend vers 0 pour A ini'ini parce queA
I l
a - i /
--A--a;tend vers 1, le second terme tend vers in . Avec un calcul
identique pour.%L
CL;,< 0(voir formule
(IV,g;llg)
) :, et évident pour %IX
a,=
0
d'où le résultat cherché
complexes,fonction
&y?
en variablesce qui est normal puisque les a;
sont complexes;par contre nous n'avons nullement utilisé d'intégrale curvi-
ligne dans le plan complexe, mais seulement une
intégrale d'une fonction & valeurs complexes ou dans un Ba-
nach complexe, sur w par rapport a la mesuredx
rentrantdans le cadre du chapiire IV sur 1'intégration;il n'i a pas eude résidu, et nous sommes passés par des primitives. Nous al-lons maintenant obtenir le même résultat par des intégrales
dans le plan complexe, calculées par résidus. Soit d'abord
sur ce demi-cercle, On peut donc
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 416/599
8A
ét ant parcour u dans l e sens de
A 2 -A .
Mai s al or
c=
[ - A ,A
s tn e
o u- o
e s teseudo- bor d d' une var i et é avec pseudo- bord, & savoi r
l e dem - di sque A
p;
15 \sA,Lk ao
. AA é tr i ent é
pa? uz? r A
est bi en t i paxc' ~r i r dans l e sens di r ect . Nous
avons $u au t héor ème général de St okes 38 du chapi t r e VI ,
que l a f or mul e de St okes ét ai t appl i cabl e dans ce cas ( exer -
ci ce 2O page 175 donc aussi l e t héorème des r ési dus 15.
L' i nt égr al e cor r espondant e est donc égal e & P, . LT f oi s l a
somme des r ési dus cor r espondant aux p6l es cont enus dans ce
dem - di sque ( pour vu qu' i l n' y ai t pas de pôl es sur ) . s i
A
e s ts s e
r and cet t e somme est i ndépendant e d
AA et
vaut l a somme des resi dus des pôl es cont enus dans l e dem -
pl an supér i eur 3~~1 j > 0 , s o i
a . - .
I l en r é s u l' ai l l eur s a p&st er i or i que l a f or me par t i cu-
l i èr e du cont our dans Q , à savoi r PA , ét ai t sans i mpor -
t ance, et que par exempl e n' i mport e quel cont our Ca , d
l o n g ui n int our ant une f oi s dans l e sens di r ect t ous
l es r ési dus de? dans l e dem - pl an supéi - l eur , donner ai t l e
même r esul t at . Mai s nous devi ons par t i r de
e t e b u ta r
o ut rs Qu
r A
Cn peut aussi ut i l i ser l ' aut r e d e m
v e r f ;= A ,A < Avg 5 < 0 , t ouj ours yar cour u de + A
, et on t r ouve cet t e f oi s,
~0mme 5
=~A,+A] u ri
est d p rcourir dans l e sens r ét ï - ogr ade, donc en sens i nVer Se
Les 3 i +sul t at s ( VI I , 5; l O, l 2 e t 3 )o i ge
l a o m m ee sé z i
o re é '
n u l i e
' apr : , s l e cor ol l ai r e du t héo&me l sbi s, et l e r ési du
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 417/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 418/599
p a rans l e sens di r ect , d
t héor ème des r ési dus
:
_
L' ut i l i sat i on de dem - 6er cl es
lnférl urs donner ai t
Les 3 r bsul t at s sont encor e 6gaFx,
puI sque l a somme des r ési -
dus est nul l e.
On vol t , dans ces f or mul es, que l e r ési du l ' i nf i ni ne
j oue
as un rôl e di f f ' ér ent des r Çsi dus des pôl es si t ués
sur
8.
On par t age en quel qu6 sor t e chacun de ces pôl es en
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 419/599
397
deux noitiés, affectées aux demi-plans supérleur et inférieur.
Un argument essentiel a été utilisé, dans tous ces raison-nements :
Le mme
Si, sur un secteur S d'un cercle de rayon R , une fonc-
tion g<fi est majorée en norme
iij5i,$;'s
I
.-
, alors
/I est majoré parp~k~~~~ ; il tend donc
vers 0 pour R infini siC%
> 1 .et tend vers 0 pour R ten-
dant vers 0 si C( < 4 .
Nous retrouverons souvent cette majoration évidente.
Nous pouvons résumer les résultats obtenus en un théorème :
Théorème 32
soit -5- - une fraction rationnelle d'une variable,? a
Qcoefficients dans un Banachr. Q a coefficients complexes,
les zéros CL,: de & étant non réels, ou réels d'ordre 1, et
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 420/599
398
Appl i quons l es r ésul t at s pr écédent s au cal cul de cer t ai ns
pr odui t s de convol ut l on l . Soi t t cal cul er '
OÙ G et . f ~ ne sont pas r éel s. Ces deux f onct i ons appar t i en-
r i ent a LZ
t i on cont i ni e
donc l eur pr odui t de convol ut i on est une f onc-
bornée, donnée pour t out es l es val eur s dex
par l a f or mul e 2 du f asci cul e Convol ut i on
l
*
Q5; ZOJ
1
c.z
,
1
dk
CC-O-
L
*=J__, t-u) x-t-hJ
Nous avons donc exact ement l ' i nt égr al e d' une f r act i on r at i on-
nel l e sur R .
El l e a pour p6l es t = a, t = a~- h
les r ési dus cor r espondant s sont
, et
La somme de ces rési dus est nul l e, comme i l se doi t , l e
r Çsi du a l ' I nf I n et ant nul . On obt i ent donc l es r ésul t at s
sui vant s
:
Theor ème 33
Pour a et 47 non r éel s, on a
:
* Nous supposons que l es f asci cul es Di st r l but l ons, Convo-
l ut i on, I nt égral e de Four i er , . . .
vi ennent & l e pr ésent
chapi t r e VI I dans l ' or dr e de l a r édact i on du Cour s. Donc
nous ne par l ons de l a convol ut l on qu' a t i t r e d' exempl e, et
on se persuadera ai sément que nous n' ut i l i serons pas cet t e
convol ut i on dans l e r est e du chapi t r e.
** Cet t e pr opr i ét é de l a convol ut i on, d' opér er cont I nuement
de cx Lx dans l ' espace des f onct i ons cont I nues bor nées,
n' a pas ét e démont r ée dans l e f asci cul e.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 421/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 422/599
par appl i cat i on de ( VI I , 5; 22) , 2 des 4 pr odui t s bt ant 1~1s~
On r et r ouve bi en l a f or mul e 22 du f asci cul e " Convol ut l on" ;
donc :
Cor ol l ai r e 2
on a,
pour a et ?J r éel s > 0 :
@I , 5; 24)
d
4
8 1
L- Lt &
Tf x=+Lxz * FTFFF
A
z-
77
=cz+( l z+&) L*
Remarque - SI mai nt enant a est r éel 1
' TzYL
n' est pl us l o-
cal ement i n' cégr abl e,
et ne déf i ni t pas une di st r i but i on.
Cependant Ub&&
déf i ni t une di st r i but i on par l a f or mul e 55
du f asci cul e" ' Di str l but i ons' :
( q5; 25) <%7+ / a > j > = V+I j _; qLT 2
On peut al dr s se demander si i ' on peut donner un sens au pr o-
dui t de convol ut i on Y7+ & * t i j ==&&, pour LL r éel et &
non r éel ,
ou pour c& et 4 r éel s. Ce ne sont pl us des f onc-
t i ons de L' ( ni même des " f onct i ons" , au sens don& dans l a
t héor i e des di st r i but i ons, c' est - q- di r e l ocal ement i nt égr a-
bl es) ; d' aut r e par t aucune d' el l es n' a un suppor t compact .
Donc aucune des méthodes i ndi quées au f asci cul e " Convol ut i on"
ne per met de déf i ni r cet t e convol ut l on. I l exi st e cependant
de nombr euses mét hodes, qui t out es donnent l e
même résultat
1) Soi t a r éel et & non r éel . Soi t q une f onct i on dea
égal e i 1 au voi si nage de CL. On peut poser , par déf i nl t i on :
est a suppor t compact , et l e 2ème, noté *
, par ce que
d- q
A
(2)
z- ‘ 3, et =x- k
sont dans Lz .
I l r est e k mont r er que
l e r ésul t at est i ndépendant du choi x de M . Soi t donc f i
une f onct i on ayant l es mêmes pr opr i étés. Nous devons mont r er
que l a dl f f ér ence des deux expr essi ons cor r espondant es est
nul l e;
or el l e vaut
:
d-P
est
nul l e au voi sI nage de C& donc Zk& est dans- s.
X- L
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 423/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 424/599
402
SI -L~>O
, cel a donne, d' apr ès ( VI I , 5; 22)
0 + TT, c
( U) - =&- & =
i , J r
J C- &- & '
Où T( G) est l a t r ansl at ée par l a t r ansl at i on a , et , SI
Reste à voir
que l e r ésul t at al nsl t r ou& est l e mhe que
cel ui qui est
onné
par l a pr em èr e mÇt hode. Mai s , l or sque
k > 0 t end ver s 0 ,
N
,.x-L2_ + Lt,
t end ver s
q W?J~+~ -i,~&~,
dans &h' en gardant son suppor t dans un compact f i xe, donc
N
4
t end ver s
qv+- *
4
z- C%+66
*S=?T
=-a(l) a=--
-LT*
(
pr oposi t i ou
5
du f asci cul e ' Convol ut i on' ) .
D' aut r e par t
A- W
x- a+&&
,
t end ver s LLz dans
L ,
c*r
el l e converge ponct uel l ement ( et m@me uni f ormément ) et
est maj or Çe par une f onct i on f i xe de
L' ;
l a convol ut i on
6t ant cont l nue de
Lz x L’
dans l ' espace des f onct i ons con-
t i nues bor nées,
4- LY
*&
conver ge ver s
z- a. +LE
A- 4 1
. d_T unl f ormément sur n , donc dans
on a d% ?l a k?r nI t s Çt ant pr i se danss'
:
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 425/599
403
On peut opérer de même si a et&
sont tous les deuxréels. Par exemple on aura, par définition :
On peut donc compléter le théorème 33 par :
Corollaire3
Sia
est réel et -& non réel, on a :
si a etJ+
sont tous les deux réels :
En particulier
Remarque - Pour u réel et & non réel, le résultat cobcide
avec l'intégrale 21
dt donnée par(t-a) (=-~-W
le théorème32;
suivant le calcul fait dans la démonstrationdu théorème 33; si 01,
et&
sont tous deux réels,Il
en est
de meme dans l'ouvertc
Idi)
, où les deuxquantites
sont
nulles; mais cela n'était pas évident a priori, et celà ne
pouvait 'de toute façon pas donner le terme -
x26
(ace)
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 426/599
4c4
Dans l e t héor ème 32,
l e cal cul des r ési dus ét al t un out i l
commode, mai s pt i uvai t et r e évi t é;
o* Temayquer a même qu' i l
en f ai t pl us l ong que l a mét hode di r ect e. Mai s i l n' ét ai t
nul l ement nécessai r e de supposer qu' on avai t af ' l ~ai r e unef r act i on r at i onnel l e.
W3ur que
1’ODéPatiOn i éUSSiSSe.
Et
al or s on obt i ent f ax~ kment ~des cas OÙ l ' i nt égr al e ne peut
se cal cul er que par l a mét hode des r ési dus, ou des ast uces
anal ogues, mai s non di r ect ement , ’
est - k- di r e des ca. s où l ' on
r +m
peut cal cul er l ' i nt égr al e déf i nl e 1
al or s que l a pr i m -
f i = m
t i ve ou i nt éxr al e l ndéf i ni e
l
n’est pas cor nue. consi -
dér ons par exempl e l ' i nt égr al e ( de Four i er )
OÙ~ est encor - e une f r act i on r at I onnel l e, ayant des zér o
Q
n o é e l
u - S e
' or dr e 1, et
de9 Q 2 dy ? 1
. La
val eur pr i nci pal e a un sens pour t out pôl e r éel , l es condi -
t i ons i ndi quées au chapi t r e I V, t héor ème 101, ét ant t r i vi al e-
ment r éal i sées; pou7 x I nf i ni ;
l a val eur pr i nci pal e de Cauch
est nécessai r e si H = 0
mai s no* pour c+ 0 , 1’intGgrale
Gtant alors sem - conver geAt e,
t ant pour r x= + CU
que pour
m - m
p a re x i
' Abel ( cor ol l ai r e du t héor ?me
98 du chapi t r e I V) : ( ;
est var i at i on bor née G l ' i nf i ni
( car sa dér i vée, maj or ' ée en noTme par con& & .
est i nt égr a-
bl e t l ' i nf i ni ( voi r
) ) ,
et el l e t end ver s 0 &
n , g ;
I CI l e cal cul di r ect n' est pl us possi bl e. Ut i
sons l a mét hode des r ési dus,
avec l es dem - cer cl es supér i eur s
3n r epr endr a l e cont our r A, k
de l a page . L' i nt &al e.
sur un dem - cer cl e
r i , &
t end encor e ver s - ; r T- &
t
' Ut i N
a%
Q
8
p o u r
a même rai son. Quant 2 l ' i nt ésr al e SUI l e gr and dem -
cer cl e x*
: j?]=A,_kaj 2 0
,
el l e conver ge évi demment
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 427/599
405
, et, pour CC + 0 :
On aura donc la formule suivante, pouro(
>
0 ;
W,5;39) v+
nir de résidu a l'infini, contrairement au casa(=
0
.Re-
marquozs que +oo est alors un point singulier essentiel
pour 2LZ e”‘4
Q(J)
et non un pôle (ce qui ne l'empêche pas
d'avoir n résidu a l'infini). Mais on remarquera surtout
ceci: on ne peut pas, ~OU??~( >
0 , utiliser les demi-cerclesinférieurs, donc il n'y a pas a priori de formule du type
(v11, 5; 18) , ; en effet,
n'est plus borné,
surT1A) : I , I =A, kj G 0, e ' $
mais a croissance exponentielle, car
=
ew4'~9,Par contre, il reste vrai que la somme
des résidus de P(fJ
pqest nulle,
d%na) de (VII,5;3g)
en comptant le rési-
du a l'infini;mule du type
(v11, 5; 18)
on peut déduire une for-ce qui revient a appliquer à
7,
le théorème extérieur lgbis des résidus) :
=-2iT ;r, a;<0
* Nous avons appliqué ici une intégration par parties, etla formule de Stokes, triviale pour les degrés 0 et 1 :
j pAdF= Fj-A) -F +A).
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 428/599
406
-
a~.=0 &bai(ge?-2iTb_ (-geiqq
Qb
d' où, en pr enant l a moyenne ar i t hmÇt i que, une f ormul e du
t ype ( VI I , 5; 10)
:
-
i&_ & La; ( p$ ey- ix &.& pyq .
Tout +wspasse comme si , & cause du comport ement t i ' i nf i n
de ebqj
CL%5 < 0
pour N > 0, w devai t et r e compt é dans l a r égl on
, al ors qu' i l est compt é dans . %n = 0
Si N=O.
Si mai nt enant M < 0
. cm
devr a ut i l i ser l es dem - cer cl es
donc compt é comme
dans l e dem - pl an A_ > 0 . I l n' est pas
2
bunl r t out es ces f or mu es
:
Théor ème 34
-
si ce
ét ai t
I nut i l e de
7
LT
est une f r act i on r at i onnel l e sur UZ , P
val eur s
dans un Banach F , 0. à val eur s compl exes, 1eS r.&OS LL:
dS Q ét ant non Ael s, ou r éel s d' ordr e 1 et kQ>@F+ '
J
on a, pour x réel, l es f or mul es sul vant es, OI L &b est 1s
r Çsi du de _- k e
0 +:
Q j)
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 429/599
OLLJ-c(<o;
boul - o( =0
.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 430/599
408
(le wmbole WI n’6tant n6cessaire que how
q=o ou 9rrLLL.c 0
I.
Corollaire 2
Pour cx IE? , on a
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 431/599
our &rba>O,
M>O
;
=- 2i x ( i d5lwcb
pour 3nxa<o, o(-co;
= 0pow
ZkTL
a etM
desicjw2
wi&.ak& 9
O U our c
=
0 .
.
Démonstration.-
De toute évidence, ces formules s'obtiennent
en dérivant sous le signeJ
, par rapport à CL, les formules
antérieures. Encore faut-il légitimer cette dérivation. Iln'y a pas ici de singularité a distance finie, puisque nousavons supposé
CL
92 IR. On remarquera alors que, si. l'on
avait une intégrale SU~ un intervalle borné, la dérivation
@&5;46)
dx
serait triviale, en vertu du corollaire du théorème 115 duchapitre IV. On peut alors faire tendre A et B vers l'infi-ni; la parenthèse du premier membre, et le deuxième membrede (VII,5;46) convergent respectivement
i
-
e lw z
et d-=-,
-00
(x
- cq2
uniformément lorsque a décrit un compact de la région% +O,
la première ii cause du théorème d'Abel, la deuxième plus 4s m-plement par convergence absolue; alors le théorème 111 du cha-pitre IV affirme que la deuxième l i mi te est bien la dérivéepar rapport à & de la première; et de même pour les dérivationssuivantes, la convergence absolue étant alors valable pourtoutes. Ce que nous venons de faire là est d'ailleurs slmple-
ment l'application du théorème 117 du chapitre IV.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 432/599
410
on pour r a1t aussi ut i 1i ser l a f or mul e
d 4
I
=- -
et i nt ggr er ( VI
k
i - - j
x- a
( x . - W
5;44 par
par t l es( d' abor d sur un i nt er val l e
bor n6, pui s sur
par passage a l a l i m t e, ce qui r evl ent
& appl i quer l e t h&r &me
98
du chapi t r e I V) .
Enf i n on nour r ai t aussi d6monWer dl r ectement l es f ormul es
( VI I , 5; 45) comme on a dknont r 6 ( VI I , 5; 44) en appl i quant l es
f or mul es ( VI I , 5; 43) . Tous ces Asul t at s sent en r el at i on
6vl dent e avec i . es- f or mul es de d&r i vat i on d' i mages de Four i er
( f asci cul e :
I nt kgr al es de Four i er , f or mul e
68 .
Remaraue - Si mai nt enant . on a . Q cal cul erv j _J _+=+$+qx&,
m
on pour r a soLt ut l l i ser di r ect ement l e t hkor &m
34,
soi t
dkomposer 2 en 616ment s si mpl es et ut i l l ser l es cor ol l aI -
r es 1 et 2.
a
Cor ol l ai r e 3
On a, pour d > 0 , A r 6el
:
@5;47
( done,
pour A r &l
:
ti4x
m,S;4~bi5
e
, + z
11 suf f i t en ef f et d' appl i quer ( VI I , 5; 43) ot i o( est rem
pl ac6 par Zr f A ,
et de f ai r e successi vement~>O, ~<O, ~=O.
En f ai t , une f ol s qu' on a l e r 6sul t at pour A > 0
, Qn r e-
marque qu' i l est chang6 en son compl exe con. l ugu6 par change-
ment de 3 en- A
done i nvar i ant pui squ' i l est r 6el . et
qu' i l est cont l nu & A au poi nt A=
0
par appl i cat i on &vi -
dent e du t hkr &me de conver gence de Lebesgue, de sor t e qu' on
a l e r 6sul t at pour t out A .
On pour r ai t aussi &Ar e
et appl l quer l e cor ol l ai -
l ndl qu6 sar i s demonst r a-
( * ) , et qu' i l est
ause. cal cu16 dans l e f asci cul e ' I nt &gr al e de Four i er w,
f or mul e ( 110) .
l
La f or mul e ( 1~, 11; 5o) _es~~~r r on6e, i l f aut l i r e Ze
- l x1
et non Xe
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 433/599
411
Corollaire 4
On a (théorème 118 du chapitre IV) :
@p;Se)
Démonstration
Remarque.- En cours de démonstration, on doit utiliser unQb
pour la singularité à l'origine, alors que ce n'était pas '
nécessaire avec l'intégrale donnee.
Dans les conditions du théorème 34, on peut définir une
Elle est visiblement tempérde, puisqu'elle est, a l'infini,une fonction-tendant vers 0 . Donc elle a une image de
Fourier. Sip n'a pas de pôles réels,
c'est une foktion intégrable surR ,
et sidPgQàdk?jP+Z,
et son image de Fourier
est la fonction continue bornée
@5,5;51) ,
qui est donc facile à calculer par le thdorème 34. C'est ceque nous venons de faire au corollaire 3.
Mals si d tx jQzdtx jP .1 , elle n'est plus intCgrab2,
Pet si elle a des pôles réels, c'est une distributionuf-Q
et non plus une fonction; on peut quand même espérer ralson-
nablement que son image de Fourier est la fonction définiepar
P”
p (& em mr~~~
- .’
J-~
Q( x)
PC-OIT- tnnt A_
ar>r>elons
SA
la distribution définie par-w.-
,
--cc -
@U,5;52) <s* ,cp>=u;p-- .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 434/599
4 1 2
~ l l es tu p po m - A , A ] o o
F o u r is to n na ra o r1 u a
d e o u r i
o r s q
d a n s& L
t e n de r s' i? Ae v
, a r ,o u rJ& . ,
D o n e( v +
s ta l me A
o
( g t a nn ep e ri no e
n o n e
, &
l a i m l tt a nr i se ni a o o
p a r e no n vo u
n fe +
p o u ri # O
a . - c u
e n e r tu h e' pe
e t o u r
( vol r pai es et
0 n a lr
) . e l ,' ol
c o n v es tn l fo uA 0 =
n ' e s ta sn i fu o le , us
+ -
1 1 s t .a c ie o i ru ea i f'
j
c
v+ ,
J
-
q u io n ee n de r s o u n f
x
o u o
b o r n en d ee ,
ur A 3
P
v e r so u r
n f ia n
2 :
. 0> 0 , donct end
E n f f eo u r+ =l ea s= t vp
p u i s q o n vt ' aa m
p u i s q' e sn n s ee e su i
T ( X )
- =
. - ,
Q( x) cc
+ + ) >T wI
c c o
* gi +R
c o n vr ea re o
e t e s t eo r nl o r
k V =
o e
l e h e o re o n v
c o n v ei e ne r s
a n
J , .o ,
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 435/599
413
ce qui montre bien
On a donc bien
notre affirmation.
le second membre étant une fonction deA
, continuepour 2 + 0 ; la formule (VII,5;43) montre bien qu'elle peutêtre discontinue pour J=O , mais elle est en tout cas bor-née pour 2 réel.
On peut donc énoncer :
Théorème 35.
L'image de Fourier de la distribution 21
-P
p,,
dans les
conditions du théorème 34, est la distribution définie par
une fonction bornée, continue dans, et donnee pour
;1+
0 par l'intégrale
PU;581
'(') = *+
calculée dans ce théorème +
* Puisqu'on s'intéressea
Ca 'comme distribution, son
calcul pour j\=
0 est ici sans intéret.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 436/599
414
Cor ol l ai r e
L' i mageoz; yu; ; r d; t ~t ~$ e; I r l ; YTt l on de n egal e
a+ J C P P .
I 1 suf f i t en ef f et d' appl i quer l e cor ol l ai r e 1 du t hee-
r &me 34,
poura=O, q=- 2Tr A.
On sal t que,
dans des condi t i ons convenaul es l a t r ansf or -
mat i on de Four i er t r ansf or me l a convol ut i on en mul t i pl i ca-
t i on. La f or mul e ( VI I , 5; 36) peut al or s se dedui r e du p&c&-
dent cor ol l ai r e, pui sque ( 2 ~J T) ' = - 2
. Mal s ce cas ne
r ent r e pas dans ceux 9
ul ont et e si gnal es au f asci cul e
' I nt egr al e de Four i er ' ,
pul sque mgme l e pr odui t de convol u-
t l on U+I & * t i p - - n' est pas or t hodoxe. Di sons seul ement
que cet t e concor dze est . une const at at i on agr eabl e ( on est
heur eux qu' une f or mul e r est e val abl e dans des condi t i ons di f -
f er ent es de cel l es qul sent of f l ci el l ement si gnal ees dans un
t heor eme ) , qui pr ouve l e bi en- f ond6 de not r e def i ni t i on
de v+$ H+& ,
ou qui encor e f our ni t une aut r e def i -
nl t i on donnant l e mgme r esul t at . .
Exempl e J _. -
I nt egr al es de 0 a + w sur l a dr oi t e.
Cer t ai nes i nt egr al es de 0 a +- se r amenent t r i vl al ement
a des i nt egr al es
sur
w pour des r ai sons de par i t e
:
- dm 4
Ce n>st e+ demment pas cel a que nous ent endons i ci . Mai s
soi t R - -
Q
une f r act i on r at l onnel l e, w un nombr e com
pl exe, et consi der ons l ' i nt egr al e
de sor t e que 1 a un sens si on suppose
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 437/599
415
OleO >-
1 (intégrabilité L l'origine) et q+dtgT; - dyQ
<- (intégrabilité à l'infini).
Considérons l'intégrale
tour suivant 7~ e :>
sur le con-
La
La
La
La
le
la
partie (1) est le segment LE + i&,
A+~L]
partie (2) est le segmentL.4
-
1&, E -
d65-J
partie (3) est l'arc de cercle 15 I= //m 8e4 d A
partie (4) est l'arc de cercle 15 I= 6
&,& . $ 4 & ;
sens de parcours est indiqué par les flèches (sens direct).
La fonction à intégrer
fonction multiforme $'= e
Q<Arg
<
27-r
; cette fonction
5
est ainsi holo-
morphe dans le plan complexe privé de la demi-droite R + ,
et par suite x($)3' y est méromorphe.
On a les majorations suivantes. Pour14 1
tendant vers 0
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 438/599
L' i nt kgr al e sur ( 1) t end pr Gci si &ment ver s 1' l nt Ggr al e I
que nous cher chons A cal eul er . En ef f et el l e peut s' kcr i r e
Or
l a f onct i on ~4 nt 6gr er co*ver ge en t out poi nt ver s
X( zc) & .
Nous devons mont r er qu' el l e est maj orge par
une f onct l on 30
f i xe i nt kgr abl e, de sor t e que l e t h&r &me
de conver gence de Lebesgue pr owera not r e af f i r mat i on. Or
i l exi st %&, , >O
, A0 > o
t el s que,
our 2
+AO, SE..,
on ait 11R (cc + i ) 11sz OM I./X+~E~~?‘~~‘~ wnk~~~~-*~
et que, pour x 6
A0 , E 6 b. ,
1
EC
zG+i )
1
t emps, pour %a& , on a x, 6
qui est i nt kgr abl e
et f i ew+
dg?-ciyQ ~-4 ; cbm
l ' i nt egr al e sur ( 1) t end bi en ver I
Consi dbr ons mai nt enant 1' i nt Ggr al e sul vant ( 2) . El l e S' &Cr
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 439/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 440/599
On peut concl ure par l e t heoreme :
Theor eme
?
~ K_~ est une f r act i on r at i onnel l e d' une var I abl eA
a n8l eS a6
non r eel s 2 0 , W un nombr e compl exe non ent i er
t el que RALY > - I et ~?, cw+dq P- d&a Q < - d, a. ~or s on a
:
Cor ol l ai r e
On a l a " f or mul e des compl ement s" pour l es f onct i ons eu-
l er i ennes:
P&S; 641
r ( $J r ( l - +
AA$
Demonst r at i on.
On mont r e, dans l e f asci cul e ' Fonct i ons eul er l ennes" ,
page 6. que
C' est une i nt egr al e du t ype pr ecedent ,
avec =5-‘l,R(z)- ,
- 1, et son res i du est ( - 4) 3- 2 f ? i ' ( j - " ,
e seul pal e est
d' ot i l e resul t at
2bre
m( -*l
A-e
Zht(~-il
pour
o<@
eonque, sol t par
ant i - per odi ques
z i .
On obt i ent l e r esul t at pour 3 quel -
un argument de per I odI cI t ( l es 2 membr es sent
d' ant i per i ode 1 ) soi t par , pr ol ongement ana-
_
l yt l que ( l es 2 membres sent meromorphes en 3 , 11s ne peuvent
col nci der pour 0 x 6?&5 ~1 sar i s coI nci der par t out ) .
La demonst r at i on donnee I CI est exact ement cel l e qui eSt
don&e au f ascl cul e ' Fonct i ons eul er l ennesw, page 6-8.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 441/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 442/599
P o u rnt i er et
7TLCO
, on en dGdui t
ThGor me 37
Dans l es condi t i ons du t hhorkme 36, mal s pour q ent i er
on a :
1 est dkr i vabl e en
( M ent i er ou
non) . En ef f et une
f ormel l e donne
@u, 5; 74)
c .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 443/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 444/599
422
Pour l e vol r , nous devons ~ont r er que l a di f f er ence
e<. -
@ i , 5j BO)
i nt egrabl e a l ' l nf i ni , c' est - a- di re s l C&O y 0 ( l ' i nt egrabi
l i t & 6 l ' or i g1ne donne t ouj our s l a m&se condi t i on &. &q > 0 J .
Pr enons par exempl e 0 G 0 < 3
.
di f f er ence ( v11, 5; 80) s' &r l C a%ssi
Dans ces condi t i ons, l a
f I A
, aqeA \
AJ out ons un t r aj et sur l e sect eur ci r cul al r e
1 ar gument 0 & l ' ar gument 6
15j=A de
ci rcul ai re 1 1 = c
et un tr aj et sur l e sect eur
de l ' ar i ument 6 & l ' ar gument 0 .
aj out ons l a des i nt Gg; al es qui t endent ver s 0
NOU
ver s l ' i nf i n~~s&
ver s 0 ,
par con&. e
A&X- 4
sur l e gr and cer cl e
sur l e pet l t . La di f f er ence est done l a l i m t e de
est l e cont our mar que sur l a f i gur e :
&-
A
Or ce cont our est l e pseudo- bar d or i ent & d' une var l et e DA t
or i ent &e avec pseudo- bar d, qui est l a r egi on hachur ee or &t ee
par Q ; nous sommes dans un cas d' appl i cat l on du t hdor &me de
St okes ( t heor eme gener al 38 du chapi t r e I V, exer ci ce 2' page
175) , done de l a l er e f or mul e i nt egr al e f ondament al e de Cauch
Or l a f onct i on t l nt egr er yst bi en hol omor phe da
un ouver t cont enant DA, &
, A savol r 1 ouver t - +<A~. 5~< , ~+~.
est nul l e,
ce qui demont r e bi en l ' dgal i t e de
et de ( VI I , 5; 79) . On a done
:
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 445/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 446/599
F , na i se e mv e nt
a n a l ov e ch a ne n
'e c
b i n a n
oq5;85
O n e u tl l el uo in e u oe i
g r a l en f f e
o u t' uo mo '
a ' i n fa rb e lx iM 4 t '
&
' o r iu ix i g? k a l a 2
i n t k g. n e n s. ' om eo d
f i n a lo u r L WI .
l le
h o l o me
a n se ta nu G e
H o u se i g n
q u e r ae h & r1 5u h gV o t
1 1 7u h a pV o ua i mo
c
1 1 n s te & w eo w( t
q=o
e p
d e a i sn 6 1 'u l n
o nn o gq
c e se u xo n co Xo u i
l
d e n t
a n so u te t ta no n
T h k o r6
O n e so r mV Ia k 0<
l a k m eo u r R
@ <
C o r o l
x
z -
z
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 447/599
425
Démonstration
En faisantO(S
0
dans la 2ème formule (~11,5;85) on obtien
(F(N)
/.%WL
F)*=*;
mais, pourO(
tendant vers0,7(d)
d
-$-,
.ocx
NX
et4S,w%rN-,
z
d'où la valeur g .
Les formules de la 2ème ligne s'obtiennent en faisant o(=-$
dans (~11,5;83 et 85) et en tenant compte de r ($)=fi
(formule 15 du fascicule "Fonctions eulériennes"). La 3èmeligne se déduit de la 2ème par le changement de variable
x=
k?Ces formules s'appellent formules de Fresnel (utilisées enthéorie de la diffraction). Voir chapitre IV,
fO??mUleS
(IV,g;llObis
et 113).
Q FONCTIONS ELLIPTIQUESPaul LEVY).
(Photographie du cours de M.
Q COMPLfiMENTS DE TOPOLOGIE GfiNl lRALE THdORf2MES
D’ASCOLI ET DE MONTEL
II~ ll~l ll~ll~~~~~~~~~~~ll
Au chapitre II, nous avons d'abord introduit les espacesmétriques, puis les espaces topologiques. Tout espace métrique
est topologique, mais sa structure métrique est plus riche quesa seule structure topologique, et permet de considérer d'autrespropriétés ou problémes (suites de CAUCHY et espaces complets,ensembles bornés, applications uniformément continues, etc...).Un espace topologique dont la topologie peut être définie parune métrique est métrisable; les différentes métriques
définis,
sant sa topologie sont dites <'écuivalent&'ZI mais ne sont pas?ldentiques', et par exemple l'espace peut etre complet pour cer-taines d'entre elles et pas pour d'autres.
D'autre part il y a des topologies non métrisables.
On peut étendre considérablement la notion d'espace métriqu
On appelle semi-distance (ou écart) sur un ensembleE
uneapplication d
deE
X
E dans la demi-droite réelle > OR,,ayant les propriétés suivantes :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 448/599
Par cont r e on peut avol r d a,y) = 0
mGme pour 2 +
Y,
11 ne ser al t gu&r e i nt &essant de consl d&er un ensembl e
muni d' une seul e sem - di st ance; 11 serai t t opol ogl que non &pa-
r 6 ( c' est t out ef oi s l e cas de l ' espace dp , Chapl t r e I V, page
5051.
d' une
On appel l e al ors espace sem - mkt r l que un ensembl e E muni
f am l l e( di ieI de sem - di st ances( ot i l ' ensembl e d' i n-
di ces I est de pui ssance quel conque) v&i . f i ant l a condi t i on sui
vant e :
( VI I , 7; l bl s) La f am l l e d;)ieI
est" f i l t r ant e", aut r ement di t
pour t out e par t i e f i ni e . Y de I
. 11
exi st e 4 ~1 t el quetd~ d~
0
pour tout
a
on appel l e sem - boul e ouver t e Bi O( @ ~) ( r esp. f er m6eBat a. R) )
de cent r eae E, de r ayon R >
o
d' i r i di cei E I
=dcE t el s que d;(ap) c R ( r e&. &R) .
, l ' ensembl e de
Un espace sem - mht r i que est al ors muni d' une topol ogl e, d&
f i nl e comms sui t
: une par t i e ( 9 de E est di t e ouver t e si , t ou
t es l es f oi s qu' el l e cont l ent un poi nt
,
el l e cont i ent une sem -
boul e l ' ayant pour cent r e, aut r ement dl t si :
( VI I , 7; 2) va, C @ , 2i ~1
et 6 > o t el s que Bi ( u, &) c &.
On v6r i f i e que l es axi omes ( 11, 2; 1) des ouver t s sent bl en
sat i sf ai t s .
Le seul qui ne soi t pas compl &t ement t r i vi al est l ' axi omeb)
de l ' i nt ersect i on f i ni e
:
t out e i nt er sect i on f l ni e d' ouver t s
est un ouver t . Soi ent en ef f et 6, , vL , . . . , un , des ouver t s,
et @ l eur i nt ersect i on. Soi t a 6 F
.
11 exl st e al or s des f n
di ces i , , i , % , . , , i %
et des nombres E
, ~~, . . , , &~>a
, t el s que
t el s que chaque sem - boul e B; ~
>
Lx, eq J
,
sol t dans
( Yv , 9 = , L, *. . , n .
Sl al or s 4 est un i ndi ce t el que d, &
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 449/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 450/599
428
et l ocal ement compact ce qui Gt ai t i nut i l e pour ce seul r Gsul
2)
Invei-sement
supposons que E
soi t un espace topo1ogi
que ayant cet t e pi - opr i &G. A t out e f onct i on cont i nue j '
sur E
3. va1eur s 2 0 , f ai sons cor r espondr e l a f onct i on SI T E x E:
C' est mani f est ement une sem - di st an
En f ai sant var i er r , on obt i ent une f am l l e de sem - di s
t ances, done une st r uct ur e sem - m6t r i que. Or cet t e st r uct ur e
def i ni t une t opol ogi e %
t opo1og1e i ni t i al e %
*mont r ons qu' el l e n' est aut r e que l a
&l ef f et l es sem - boul es ouvwt es
B
(a, ~)
Po&%
f erment un' syst &ne
f Andarnent a1 de vci si nages de L
; mai s,
chaque r 4t ant cont i nue pour l a t opol ogi e $
ces sem - boul es sent des ouver t s done des voi si nages de d po
l a t opo1ogi . e % done t out $' - voi s l nage de d est un ‘ G- voi s
nage. I nwsemen~, si n est un voi si nage ouver t de a pow l
i l exi st e une y qui est > 0 en U et nul l e da
, al oFs ' l a sem - boul e By (a,~_L L) , ensembl e desx v6
tenue
dans f i ,
dans % et $1,
qui est done un voi si nage de a pout % Ai n
t out poi nt a l es m6mes voi si nages, done on a
bl en % = % ,
c.q.f.d .
Remar que
En f ai t , ce t h4orgme ne donne pas un wi t &e t el l ement p
t i que pour r econn&t ' t r e qu' un espace est sem - m@ r i sabl e. Quoi
qu' l l en soi t , ~ 11 est vr ai que beaucoup d' espaces ut i l es en
anal yse ne son' cpas m6t r l sabl es, pr esque t ous sent sem - mGt r i
sabl es;
on dkmont r e que t out espace compact ou l ocal ement com
pact est sem - mgt r i sabl e *
Soi ent E et F deux espaces sem - m@ r i ques, dent l es f a
m l l es de sem - di st ances sont ( d; jiGI
et 8j )jej. . T.J ne
*
Appar emment ,
pour l e vol r , 11 suf f i r ai t pr ki s@ment d' ap-
pl i quer l e l emme 1 du t h6orgme 11 du cha i t r e I V, qui mont r e
que l es condi t i ons du prksent t h&or&me 3 g
sent sat i s f al t es .
Mai s nous awns adm s ce l emme dans l e cas g6n&al , et ne l ' a
vans d6mont r 6 que pour l e cas mht r i que ou sem - m6t r i que
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 451/599
429
application%
deE
dansr
est alors continue (notion pure-ment topologi ue) si :
Mais en outre on pourra dire qu'elle est uniformementcontinue (ce qu'on ne peut pas faire avec seulement des struc-tures topologiques) si :
Théorème 39. Toute application continue d'un compactsemi-
métriqueE
dans un semi-métrique F est uniformément continue.
Démonstration
C'est l'extension aux espaces semi-métriques du théorème31 du chapitre II. Mais la démonstration donnée alors ne s'é-tend pas, puisqu'elle était basée sur WEIERSTRASS-BOLZANO, cequi supposait l'espace métrisable; donnons en une nouvelle,qui bien entendu est aussi valable pour le cas particulier mé-trique.
Supposons donc que ce ne soit pas vrai, et montrons quenous aboutissons à une contradiction.
Il
existe donc uni
EI
et tout7
>o
, i
E
J et un &
> o tels que, pour toutil
vérifiantexiste un
couple(s',z= )c
E x E
Fixons ainsi,,s
et&
. Pour tout i et tout3
l'ensem-
vérifiant(VII,?;4
bi~&$e'%l$s/jd~~kj~
SokEcontinues),
et non vide,) ést
fermésur le com-
pact Ex E .
Comme la famille des semi-distances est filtrante, touteintersection finie des E. contient encore un tel ensemble, doncest non vide. Donc
l'lnt&%ection
de tous lesEs
v
est non vide.
Si(~',z")
est dans l'intersection, on a, pour toutI
E 1,3~ )~
0
, donc, E étantséparé,J;'=
si ;
et cependantce qui est bien contradictoire.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 452/599
On di r a qu' une appl i Fs. t i on
si enne sl , quel que sol t
J f
J~J >
de E dans F est l i pschi t -
11 exl st e i E I et & >o t el .
que, quel s que soi ent xl , xn~E , on ai t
Une appl i cat i on l i pscht si enne est uni f or mement cont i nue.
l~~~~~~l ~~~~~~~~~il~l~~~~~~~l~~~~~~~~~~~~~l
Dew st r uct ures sem - met r l ques sur un meme ensembl e
sent di t es equl val ent es
gi e,
c. &. d.
si el ks def i ni ssent l a mGme t opol o-
si 1' appl I eat i on i dent i que de E
de ces deux st r uct ur es, dans E
, muni de chacune
muni de l ' aut r e, est cont i nue.
On dl r a qu' el l es sont uni f or mement equl val ent eg, ou encor e
qu' el l es dgf i nl ssent l a mgme st r uct ur e uni f or me sur E
l ' appl i cat i on i dent i que de E ,
3 s i
muni de chacune de ces deux
st r uct ur es, dans E munl de l ' aut r e,
est unl f ormement cont i nue
Deux st r uct ur es sem - metr i ques uni f ormbment Gqui val ent es sent
a f or t i or i equl val ent es.
On di t enf l n que deux st r uct ur es sem - met r i ques sent
Li pschi t s- hqui val ent es,
chi t zi enne,
ou d6f i nI ssent l a mgme st r uct ur e l i ps-
si l ' appl i cat i on i dent i que de E
de ces st r uct ur es, dans E munl de l ' aut r e,
, mni de chacune
est l i pschi t s i enne
Deux st r uctur es Li pschi t s- equi val ent es sent a f or t i or i uni f or -
mement dqui val ent es. Par exempl e,
sem - di st ances de E
sl on aj out e a l a f am l l e de
sommes d' un nombr e f &i
t out es l es bor nes sup&l eur es ou l es
d' ent r e el l es
LI pschi t s- equl val ent e.
, on obt l ent une st r uct ur
Les appl i cat i ons cont i nues ( r esp. uni f or mement cont i nues,
r esp.
l l pschi t sl ennes) de E dans F ne changent pas quand on
r empl ace l es st r uct ur es sem - m6t r i ques de E et F
st r uct ur es equi val ent es ( r esp.
par des
Li pschi t s- equi val ent es) .
uni f ormGment equi val ent es, r esp
pi E est un espace t opol ogi que compact ; nous avons vu
( r emarque sui vant l e t hdoreme 38 qu' i l est suscept i bl e de st r
t ur es sem- mdt r i ques; t out es sent uni f or mement dqul val ent es
d' apr es l e t hdor eme 39, aut r ement di t un espace t opol ogi que co
pact a une st r uct ur e uni f or me uni que.
On peut nat ur el l ement se pr oposer de dGf I nl r une st r uct ur
undf or me de mani &r e pl us g&ks. l e sar i s passer par l es st r uct ur
sem - mdt r i ques,
cornme on l ' a d6j a f’ lt pour l esst r uct ur es topo
l ogi ques. On pr ocede comme sui t . Une st r uct ur e uni f orme sur un
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 453/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 454/599
On ne per d done r i en 2 ne consi d4r er que l es st r uct ur es uni f or -
t r i es gf i ni es & par t i r de st r uct ur es sem - m&t r i ques.
Ouant a. ux st r uct ur es l i pschi t zi ennes, i l ne sembl e pa i n-
r br essant de l es dkf i ni r sar i s pa. . sseF ar des sem - di st ances.
Si E et F sent des espaces sem - met r i ques, on peut met t r e
sw E x F di ver ses st i - uct ur es sem - m~t r i ques, sui vant l e pr oce -
dG i ndi qu6 au chapi t r e I I , page 63; el ks sent t out es Li pschi t z-
Gqui val ent es.
Les f ' onct i ons di st ances
d
sent al oes l i pschi t -
zi ennes E x E dansR+.
l~~~~~,~i~‘~~,~~~~,~l l’ig &$$l~~ ti~M~~~~~ ~‘~d&N k:
%it E un espace sem - met r i que.
Les sui t es conver gent es ne d4pendent que de sa t cpcl cgi e.
Une sui t e YS~, ~, , , . . . , X~, . . .
' Gl f ?ment s de E conver ge ver sa, ~K,
que1s que so1ent i EI
et E>o
, i l exi ste un ent i er
: : i
d; cc,_a)ce
+
‘ Gel
poLr = bj l , .
Mai s on peut en out r e d@ i ni r des sui t es de Cauchy, ce qui
n' est pas possi bl e avec seul ement une st r uct ur e
l a sui t e ZC~ est de Cauchy si , quel que soi t ~~~t ~~~ ( "~~, e~~~
conver ge ver s 0 pour mx et 31 i nf i ni s, ou encor e si
:
0%7; 5)
Vi eI
, V&>O, 3/ 4i : ( wj 3,
ma+ ===+d; zm,x,,a)
Les sui t es de Cauchy ne changent pas si on r empl ace l a
st r uct ur e par une uni f or mhment 6qui val ent . e ( mai s el l es peuvent
changer si on l a r empkce par une kqui val ent e) . On peut d' al l -
l eur s dkf i ni r di r ect ement l es sui t es de Cauchy avec l es ent ou-
yages de l a st r uct ur e uni f or me. La sui t e%_ est de Cauchy si ,
pour t out ent our age % , i l exi st e +>O t el que, pour 3~ a, +
et TL>
l ? '
on ai t \ X~, Txz~) ~ VJ .
L' espace sem - mkt r i que E
est di t sGquent i el l ement compl et
Nous di sons ' &quent i el l ement compl et " et non "compl et " , pke
( ou sem - cor n l et ) si t out e sui t e de Cauchy est conver gent e
que, comme on peut s' en dout er , quand on sor t des espaces mgt r i -
ques,
l a consi der at i on des sui t es n' est pl us suf f i sant e. 11
exl st e une not i on d' espace compl et , pl us f or t e, dent nous ne
payl er ons pas i ci , et qui cokci de avec cel l e d' espace sGquen-
t i el l ement compl et dans l e cas des espaces mkt r i ques ou uni f or -
mGment kqui val ent s & un espace mkt r i ~ue.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 455/599
433
Théorème 40
Soit E un espace semi-métrique, défini par un nombre finiou une infinité dénombrabled, , d , P”’ d
m/7'.'
de semi-distances.
Il existe alors une structure métrique sur E , uniformémentéquivalente à celle-là. En particulier l'espace topologique Eest métrisable.
Démonstration
Tout d'abord, remarquons que la famille de semi-distances
d,,d,+ d, d,+d,+ -. .d,,.-
est uniformément équivalente a
la famille donnée. On peut donc supposer, sans rien changer auproblème, que la famille de semi-distances est croissante :
d, 3 d,-, pour tout n .
Ensuite, si on remplace chaque d,,
par &, = kJ(d%,j)
,c.a.d.
on a encore une famille uniformément équivalente; on peut doncencore supposer qu'on a une suite croissante de distances
6,$1.
Posons alors :
Ce maximum existe bien, car, pour oc etdes g,i5~1)) tend vers
0
pour n infini.G
E , la suiteIl e1t bien évident
2”
que s est une semi-distance; c'est même une distance, S i
=+y,
il existe 7~ tel que s,(Jc,y)>O à cause del'hyz%kse
de séparation, donc~(?c,Y)>o.
Montrons que la structure métrique définie par est uni-formément équivalente.& la structure donnée.
Soient d'abord neN, et &>O l Alors trivialement 6 4 s
1
Soit maintenant & >0
. Il existe 5 tel que -2-
se;
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 456/599
434
a1ors
Em<
i mpl i que- $ FS&,
pour i S= par ce que
LS
b-
2:
- ++, et pour i an Pamequet y; s . j et
ZL
CL<&.
TF . 2n
Done l es deux st r uct ur es ( 8nj nem et 6 se
bl en uni f ' or mement equl val ent es.
El l es sent a f or t i or i equi va-
l ent es, done l a st r uct ur e t opol ogl que def i ni e par l a pr em er e
est bi en met r i sabl e, c. q. f . d.
Remar que
Par cont r e, l a man1er . e mk?medent nous avons
f orme&B$, ( d
mont r e que l a st r uct ur e met r i que obt enue n' est pas en g&e
a?
Li pschi t s- equi val ent e a l a st r uctur e i nl t i al e.
~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~
Unensembl eA d' un espace sem - met r i que E est di t born
si , pour t out i <I ,
11 es% cont enu cl ans une sem - boul e r ei at
a l a sem - di st ance d;
Cet t e not i on ne depend que de l a st r u
t ur e l l pschi t si enne;
mai s un ensembl e peut gt r e bor ne pour un
sem - met r l que et non borne pour une aut r e uni f ormement equi va
l ent e. Par exempl e,
si nous r epr enons l a demonst r at i on du t he
r &me 39, l es st r uct ur es (dm weN
et ( 6, , . ) , , eXft=~ji4,~)
n' ont pas l es memes ensembl es bor nes, et , pour l a 2&me, l ' es-
pace ent l er est bor ne.
Les f onct i ons di st ances &ant cont i nues, l ' adher ence d' u
par t i e bor nee est encor e bor nee.
Nous axons dej a def i ni l a not i on de sem - nor me d' un esp
vector i el E
el l e est a l a not i on de nor me ce qu' est
cel l e
de- sem - di st ance a cel l e de di st ance. C' est une f onct l onp s
E
, a val eur s dansR+, ayant l es pr opr i et es sui vant es
:
lo)
Sem - posl t i vl t e
: +(GJ)>o ; f(T)= 0
@KX' b~~)
i
2 ) Tr ansf or mat i on par l es homothet i es
- 12
1 +Jw
, 2
scal ai re;
: (AZ)
3' ) I n&al i t 6 de convexi t e
: ~(Z+qj<~(Fq+p~L
Un espace vect or i el E est dl t sem - nor m6 s' i l est
d' une f am l l e de sem - nor mes( +; ) ; eL ( qu' on not er a aussl f l
bi en que souvent l a not at i on 11
mes) ,
1
sol t r eser vee pour des n
ayant l a pr opr i et e de f i l t r at i on :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 457/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 458/599
” ”
our
z. u' une appl i cat i on l i neai r e LL de E dans 7 soi t
cont i nue, I I f at et i l suf f i L qu' el l z l e soi t a l ' or i gi ne, et
el l e est al or s uni f cr mement ccnt i nue et meme l i pschi t zi enne.
Pour qu' i l en s , At ai ns i , i l f aut et i l s&f i t que, *cw t out
i ndi ce 1 de J i l exi st e un i ndi ce L de 1 et une copst zn-
t e
&a 0 t el l es que i ' on ai t
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 459/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 460/599
Exempl e 1.
t opol ogi e de l a conver gence si mpl e
Soi t E un ensembl ? quel conque, F un espacg sem - mht r i que,
de sem - di st ances 6j , i e J . NOUS avons appel 6
F
l ' ensembl e
de t out es l es appl i cat i ons de
. Al ors , sur
FEx
F ' ,
l a f oncti on 5.
t l =
d6f i ni e par
( &q) _= gj ( Y/ W> 9
k4),j~J,d,
est une sem - di st ance. Lor sque
et = var i ent , l a f am l l e de
ces sem - di st ances n' est pas f i
aussi pr endr ons nous
aussi l es bor nes suphi eur es
W yj‘llJ
pour t out es l es par t i es f i ni es
A
de
E
On dhf ni t ai nsi une
st r uct ur e sem - mGt r I que, done t opol ogi que, sur F
st r uct ur e - sem - m&r i que de l a conver gence si mpl e. En ef et , une
* . On f ' appel l e
sui t e
d' appl i cat i ons de E dans r conver ge ver s une appl i -
cat i on*4 ,
au sens de cet t e t opol ogi e, si et seul ement si ,
pour t out e par t i e f i ni e
A
de
E
et t out j de J , 8i , A ( dm t )
conver ge ver s 9 , ou encor e si et seul ement si , pour t out z
de
E
et t out 4 de J , L?~, = $_, &) conver ge ver s 0 , ce qui
r evi ent & di r e que, pour t out zc
C=c
conver ge ver s/ ( x) ,
ou que &
converge si mpl ement
On r emar quer a cl ue l es voi si nages d' un poi nt , dans cet t e
t opol ogi e,
sont "hormes'
,
aut r ement di t que cet t e t opol ogi e est
t r &s f ai bl e et que l a Fonver gence y est f aci l e ( conver gence
si mpl e ) ; en ef f et s i
k
+J et si A est une par t i e f i ni e de E
l a sem - boul eB. , A ( j , ~) est l ' ensembl e des appl i cat i ons
3
deE'
dans F
r e~~es qE; r v&&l ent f j ( ~~~) T$~~) ) pour zc A et sont arbi -
P A
La t opol ogi e pr&Gdente ne d6pend hi demment que de l a t o-
pol ogi e de F et non de sa sem - mbt r i que; en ef f et , un syst hme
f cndament al de voi si nages de 4~ FE peut &r e dhf i ni par l es
ensembl es
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 461/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 462/599
440
. 5i E n' est PaS dGnombr abl e, l a t opol ogi e pi nsi d6f i ni e
SLrCE n est
PaS meLr i sabl e; pan exempl e, 3' et # ne Sent pas
met r i sabl es. En ef f et , on pat voi r que t out e kter sect i on de-
nombr abl e de voi si nages de 0 cont i ent un SouS- eSpace vect or i el
de di mensi on i nf i ni es ( En ef f et , soi t A0 , A
3 .
n ...ne
Soi t l a Sui t e deS t , , > 0
, I
cont i ent l ' ensembl e ?%A des f onct i on
compl exes SW E $ui &nt nul l es SW l a ?, Guni on
A
deS A
et arbi t rai reS ai l l eurs;
br abl e,
A Gt ant d&nombrabl e et E
non
d&&n:
ni e
%A est un SouS- eSpace vect or i el de aZE de di mensi on i nf
0~ dans t out espace m&t r i que, t out poi nt
voi S; nageS
a we Sui t e de
dent l ' i nt ei - sect i on cSt r 6dui t e & ce poi nt ,
l es boul es de payon $ l ' ayant pour cent r e.
& Savoi r
si mai nt enant
E est
denombrabl e, cE
t u au t h6or hme 4Gc et de m$me FE
est m6t r i sabl e en ve
Si l a St r uct ur e de ' T est . d
f i ni epx une i nf ' i ni t 6 d&ombr akl e' de sem - di St anceS) .
n' est n6anmoi ns pa?, normabl e, Si E
i . f ai S l
n' est PaS f i ni *
En ef f et , t out voi si nage de 0
cont i ent un SCI US- eSpace e
t cri el de di mensi on i nf i ni e la sem - boul e B&( 0, ~) cont i ent
l e SouS- eSpace %A deS f onct i ons $
arbi t rai res
cwi Sent nul l es sur
A
et
ai l l ews. Comme A
eSt f i ni et E
non f i ni XAest
un Sous- eSpace vect or i el de cE de di mensi on i nf i ni e) .
Or dans t out eSpace vect or i el nor m6, l ' or i gi ne a un voI Si -
nage o. ui ne cont i ent aucun SouS- espace vect or i el non r &dui t &
i o\ '
. 3. avoi r l a boul e uni t e.
Ai nsi un eSpace vect or i el t opol ogi qw Sem - nor m6 pat $t r e
m&t r i Sabl e mai s non nor mabl e. Cel a n' est pas et onnant ; une noTm
eSt une di St ance d' une nzt ui - e i x&s pai - t i cul i +r e. Par t onS d' une
Sui t e de Sem - normes p, . , qu' on peut Supposer ci - oi ssant e comme
danS l a d6monst r at i on du t heorkme 4C.
Si l ' on Sui t l a dGmonst . r at i on de ce t h&or gme,
on est amen6
2 PoSer q_ zInf + , I) , Pui S q = &y($) , et l a di st an-
,
ce
L
def i ni e SW E
eSt 8<z. =, y) = q( x- 2) . &i s 4 n' est
p s
*
Si E
a n
6l Gment S, 6ZE est i somor phe & cn
, done noi - mab
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 463/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 464/599
442
qui ne dependent que de l a st r uct ur e uni f orme de F *
Cn
peut d' ai l l eur s def i ni r di r ect ement l a st r uct ur e uni f or ke deFE
& par t i r de cel l e de F
: ‘U C F E
E
ser a un ent our age s' i l
exi st e un ent our age I hc
F
ent rahz ( j , , j ) cv.
t e 1u ~
Exempl e 3. ( Topol ogi e de l a conver gence compact e)
Soi t mai nt enant E
un espace t opol ogi que, F
sem - mGt r i que de sem - di st ances 6,
+J .
un espace
j
Consi dgr ons l ' espa
cze
( F E ) c
es appl i cat i oys cont i nues de E Pour t out
compact
K
e E et t out j e J , l a f oncti ond$$, i e. par
est f i ni e, car t out e f onct i on cont i nue sur un compact a un max
mut n, et el k est une sem - di st ance sur ( FEJc
de l a conver gence uni f orm = sur t out compact
pact e:
, ou conver gence co
l a t opol ogi e cor r espondant e ne dkpend%e de l a t opol ogi
de
E t
e l a. st r uct ur e uni f or me * F . Si
F
space
vect or i el t opol ogi que sem - nor m6, ( FE) G est aussi un espace Ge
t or i el topoiogique sem - nor m6, de semi-normes
@ 5 7 ; 4
1+ i e a1- t1
P a rx m p
6Ks~~~ ; @ des' f onct i ons compl exes cont i
nues sur E aur a l es semi-normeg
l i en ent endu,
on per d ai nsi t out e possi bi l i t 6 d' hudi er l e
par t i es bor n&s; et , si
sur p vect or i el ,
6; sent d6f i ni es t par t i r de sem - nor m
per d l a r el at i on avec
( t . d) n' ont pl us cet t e pr opr i &G, on
st
Akt ur e vector i el l e
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 465/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 466/599
444
des appl i cat i ons c- de J - l dans F
, et lui mecLre la famille
de sem - nor me 111 ~~~~Kpo r ow l es TTL ent i er s 3 0 et t ou
l es
compact s K de , Q . '
COmme a est t ouj ours r f hni @n dhom
br abl e de compact s ( s' i l est
bor ne,
on peut pr endr e l a sui t e
des
K,,= {xc& ~j dtz, [a) a+ ] ;
si non, l a sui t e des
KV ={~~~jd(~,~~~~~,d(~,~)~~~~~es espaces vecto-
r i el s sem - nor mes sent met r i sabl es,
mai s non nor mabl es. si
al ors, pour un compact
K
de& , *ous appel ons3i n( a)
( A&. %~S+( W ) 1
e sous- espace de
8n( &) ( ~W ~. ' k' ( ~) ) des
f onct i ons a suppor t dans K ,
on peut l e muni r de l a t opol o-
gi e i ndui t e.
est aussi i ndui t e par l a nor me
est t r i vi al ement f er me
i l est aussi n Banach. Par cont r e aK ( a)
est sem - nor me met r i sabl e, mai s on peut . mont r er qu' i l est
non normabl e ( ce n' est pas evi dent ; l a demonst r at i on de
l ' exempl e 1 n' est pl us val abl e, car l es 11 ] I
des normes s r aK ( a) ,
TL, K
sent
et ne boul e ne cont i ent aucun
que sui vant l e cor ol l ai r e
soi t ,
on sal t qu' on appel l e di st r i but i on sur f i a val eur s
dans l e Banach F ,
une
appl i cat i on l i neai r e de 9 cf i )
dans F
, dent l es r est r i ct i ons a chaq esN( f i ) sent cont i -
uSS:
pui sque SK( a) est met r i sabl e, l a cont i nui t e expr i me
si mpl ement ( t heoreme 16 du chapi t r e I I ) que, POUT t oUt e sui t e
q. de f onct i ons deg, <( f i ) , conver geant ver s 0
1
,
c' es t -
a- di r e conver geant unl f ormement ver s 0 sur K , ai nsi que
chacune de l eur s der i vees,
l esT( 0.)
conver gent ver s
0
dans
F.
1
Exemple 5 -
( Espaces de f onct i ons hol omor phes)
57%
Boi t enf i n J l , n ouver t de ca , done de R 0r-1 & -
fin it Les espaces %w(.Cl;71, 43 (0 ; 7) en enwid se”-
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 467/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 468/599
446
done conver gent ver s une l i m t e
Al or s l es
&
con-
est bi en s6quent l el l emen
2) Soi t $, , une sui t e de Cauchy de ( FE) &
convergence
uni f or me) . D' apr es l ) , l es %
une l i m t e
4.
conver gent si mpl ement ver s
Mai s en out r e, pour
t e un ent i er / J t el que m >+, n >+
done, pour t out zc de E,
tj C~,_(x),j,,(x,))~ & ;
en passant a
l a l i m t e pour - i nf i ni ,
cicmc 6; (j,{,, 1 <E ;
on en dedui t i j ( fx)> - _(m))<&,
done l es 4% conver gent uni f or mement
vers
4
, pour TL l nf i ni . En out r e,
9 I
lit6 ci - dessus mont r e que
est aussi bor nee,
et
&
~ 4% et ant bo; z; : ; e; yg$- ,
conver ge ver s . $ dans ( FE) & , qui est bi en sequen-
t i el l ement compl et .
3) soi t &.
une sui t e de Cauchy dans ( FE) = ( conver genc
uni f or me sur t out compact ) . Al or s
ver gent si mpl ement ver s une l l m t e
mont r e que l es & con-
.
Ensul t e 2) , appl i que
k un compact K de E au l i eu de E l ui - mgme, mont r e que l es
% conver gent uni f ormement ver s d sur K ; l e t heor eme
6
du chapi t r e I I ( demont r e pour F met r i que mai s evi demment
; r i i pour F sem - met r l que) mont r e que l a r est r l ct i on de Y/
est cont i nue. Comme t out poi nt de E a un voi si nage
l ement compl et .
4) soi t
&
une sui t e de Cauchy dans &m f i ; ?) F Ba-
nach.
Pour m = 0 ,
3) r c2nt r e l e r esul t at . Mai s, si m+d,
et si 1 t c 1 < m , l es DP J n f er ment aussi une sui t e ds
Cauchy dans( F&) c, done COnVergent, uni f or m$snt SUr t out
compact del i ,
SUM .Q ti va-
leurs
dans F
ver s une f onct i on cont i nue - +
; l e cozol l ai r e 1 du theor eme 111 du zhapi ; ?
I v mont r e al ors que $ es- t de cl asse >= , et qE&, ==B 3
_j E -bm(_Q
; F) et l es . j ?m conver -
; ?) qui est bi en sequent i el l ement
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 469/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 470/599
Exemple 2 - Dans l'espace (FE ),,, des fonctions bornées
sur l'ensemble E
9 valeurs dans l'espace vectoriel semi-
normé F‘ ,B est borné si et seulement si l'ensemble des
T;$ = f E
, i'
-tB est. borné dans F (On dit encore quesont bornées dans leur ensemble sur E ). En
rm-tl'u:l:r, dans (6)~ , B est borné si et seulement si
SypjGBI ,/ (5x) -est fini.T E E
Exemple 3 - Dans l'espace <iE )c des applications con-
tinues de l'espace topologique E dans l'espace vectoriel
semi-normé F , B est borné si et seulement si, pour tout
compact K deE
, l'ensembledesfir)LxtK,ycB,est
borné dans F (On dit encore que les$
EB dont bornéesdans leur ensemble SUT> tout compact K de E ). En parti-
culier, dans ( CE), , B est borné SI et seulement si. pour
tout compact K de E’ ZéK“:+
I+(=)I
est fini; ou
encore SI, pour tout compact K , Il existe M, 3 0 telque
m,7;18)
I+i=) kMK pu-
XEK
> +B.
Exemple 4 - Dans +(a ;F), FBanach, B est borné21 et
seulement si, pour tout compact lt de JL
=:K
est flnl;
ou encore si. pour tout K
~&$~ Ip (zc) 1
, il e;l&'MK >Otel que
Pç7i19)
DP &II G
M, , 'pour ~CE K , j~)j<-~n, j-e B
Dans l'espace &(,;F)c @(fin;?), B est borné SI et
seulement si, pour
tout compact K de iiz et tout entier
m bo
zEK,,;F~,lcB I(D? T(X) \ est fini,
0
more9
Si,
pour tout K et tout m , il existe M
K)m
30 tel que
jT$,?;igbis)
1 DP&) 11 G M+ four TEK,\ )I e=,&B.
Exemple 5 - %(iL;7)
étant un sous-espace vect0?2iel
topologique de 4*(sL ;F') OU de & CG. ,T') , on est ramené
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 471/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 472/599
450
Par exemple,.et si,
si les+? ET sont toutes lipschitziennes,
pour tout E 1
même constante 4 1,, il existe un même L E 1 et une
0 tels que Lj (,P<S')alors 3; est uniforméne
(sf'))<kd;(dZi )
on dira mêméquicontinu:pt
qu'il est équillpschitzien. Ainsi, si E et-F-sont des espaces vectoriels normés, l'ensemble
des&f&(E;F)
tels que (I&L /I c M (boule de rayon M dans&(Ë; 7) ) est
équilipschitzierr (on aIl CG(%)- L(T) 1-g M 12-5 1 ) donc
uniformément équicontinu SU~E . S~E e t F sont semi-
normGs, TCJ(Ë;F)est équicontinu si et seulement s'ilest équicontinu a l'origine, et alors 9 est équilipschitziendonc uniformément équicontinu; pour qu'il en soit ainsi, il
tout j E J , il existe i.$I et
théorème 42).pour touteu ~S(généralisation du
Soient E et F des espaces affines normés,& un ouvertde E , et 3 un ensemble d applications dérivables de CL
dans F ,
+) E
tellesque les normes 1 $'<r-) 1 des dérivées
& ( E ; F ) soient toutes bornées par un même nombreM&O,
pourrez etqE.9 . Alors 9 est équicontinu.
En effet, la formule des accroissements finis montre que
II {(xv)- {ix': CM 1 Jcll- I pour toute $ E fi , pourvuque tout le segment[z',zc"] soit dansa . si donc CLE fiet si E > 0 est donné, il suffira d'appeleg‘& une boule dé
tout point CL de.f'L
>
il existe in voisina e ouvert W dea'Iet unenFbre M> O tels que 1 on ait\j'(r) 1 < M PoursEW
et le resultat subsiste, car il suffira de prendrela a contenue dans W .
En particulier, en revenant h ce que nous avons dit desensembles bornés dans 1'eXemple 4. POUr ?n='i , et compte
tenu de ce que, dans l'exemple 5, les ensembles bornés sont
les mêmes que dans 4, on voit que toute partie bornée de
%'(.fln;F) ou de %(a;->
est un ensemble équicontinu
d'applications defi dans F .
Théorème 44 (ler théorème d'llscoli)
Soient E un espace toDologique et F un espace semi-
métrique. Soit 3 un ensemble d'applications de E dansF .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 473/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 474/599
452
1)
Si "ne suite de f'onctions
converge localement uniformémentv
continues au point a
une l i mi t e
sairement continue aussi a" pointacontinues au point
a,
.
soient eneffet
j E J et E > o . En vertu de laconvergence unlforme locale, on peut trouver un voisinage%, de a dans E et un entier + 3 0 tel que??&+,rt ti,
.Mais ensuite les fonctions
sont continues a" pointde a tel que Y 6 u,
ce qui prouve bien l'équicontinulté de l'ensemble desau point a.
#
,~
2) Inversement, nous Ver>rons a" corollaire 1 du théo-
reme suivant que, si E est localement compact, toute suite
de fonction, équicontinue surE
tout entier et simplementconvergente, est l ocal ement uniformément convergente.
Ainsl.
si les fonctions en,
sont continues sur E
localement compact et convergent simplement versset% équivalent de supposer qu'elles convergent
$ ,il
1 calement
uniformément ou qu'elles sont également continuessurE
; etdans chacun des cas, leur limites'il est vrai que le thécrème 65 au ChZ~i~Z PZE Y~i~Sécé-dent théorème sont ainsi théoriquement équivalents, ilsdonnent, dans la pratique, deux critères tr6s dllf'érentspour reconnaître que la limite
est continue.
Corollaire 2 -
On a des énoncés analogues avec l'équiconti-
nuit.6 sur E tout entier, ou l'équicontinuité uniforme siE
est aussi semi-metrique.
Théorème45
(Sème théorème d'Ascoli)
Soient E un espace topologique et F un espace semi-
métrique. Surunensemble équicontinu fi d'applications de E
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 475/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 476/599
Corollaire 1 - Si une suite de fonctionsegalement
contlnues
,~ surE
ti vaLeurs dans F converge vers une fonction conti-
7
convergent vers etunlformé-
ment sur tout compact de E . En effet, l'ensembleg
des Jn
et de est equicontinu sur E ,théorè e.
et il suffit d'appliquer le
Notons que. pour appliquer le théorème dans la démons-tration de ce corollaire, nous devons considérer l'ensemi>le
Mais supposons que nous sachions seulement
pour tout% de E, dense, les;;e';;yist;,$(z)
;
$ est continue s
(r) convergent versd'après le théorème
st
peut-être pasprolongeable
en une fonctioncon-
tihe
sur E ; alors la conclusion ne subsiste pas, et nous ne
pouvons pas affirmer que les1%
(Y)
convergent enc,pre vers
une limite en tout point 3c de E y
Il
y a cependant deux casou la conclusion subsiste. D'abord si
E,-E
puisqu'alors,comme nous venons de le voir
*$et le corollaire 1 s'applique.est sûrement continue surE,
D'autre part, si F est sé-
quentiellement complet, ou, plus généralement, si, pour toutCC de E , l'ensemble ~(X>=($,,(Z) ; 1% E @J} est contenudans une partie
séquentiellemen
complète de F. En effet,pour-m- et IL infinis, A, finie c E, , l i ,Ae($,,$n)
tend vers0 , donc aussi pour toute partie
finie A de E
'&A(&
14,')
d'après l'identité des structures uniformesinduites par
‘E
F et F CO sur .F
; donc. pour toutz
de E,(XS) forment une suite de Cauchy, donc convergentfait l'hypothèse précédente, et de nouveau la limite
est continue surE
et on peut appliquer le corollaire 1.Donc :
Corollaire 2 - Si lesAl
sontépalement
continues et conver-
gent simplement vers#
x
E ,$
est continue et la conver-gence est uniforme sur tout vomuact.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 477/599
455
Corollaire2
-
Si une suite équicontinue d'applications4
1
d'un espace topologique E dans un espacesemi-métrique
F
converge vers une limite en tout point d'un sous-ensemble
dense E, de E , et si, pour toutx
de E , l’ensemble
G= w
;-PJ)
est contenu dans une partie sé-
quentiellement complète deF
, alors la suitef
en tout point de E , la limite est continuesuTE
converge
, et la
convergence est uniforme sur tout compact de E .
NOUS avons donné au chapitre IV le théorème de Baire etle théorème de Banach-Steinhaus; nous allons leur apporterici quelques compléments.
On appelle espace de Baire un espace topologique E oùtoute intersection dénombrable d'ouverts denses est encoredense. En passant aux complémentaires, cela revient ti direque toute réunion dénombrable de fermés sans
interieur
estencore sant intérieur. Le lemme du théorème 65 du chapitre IVrevient Ù dire que tout espace métrique complet est un espacede Baire. Il faut noter qu il y a là un mélange d'une proprié-té purement topologique, le fait d'être un espace de Baire,
et d'une propriété liée ii une structure métrique.Il
est doncplus juste de dire : si un espace topologique E est tel quesa topologie puisse être définie par une métrique pour la-quelle il est complet, il est de Baire. Par exemple, siE
est un espace semi-métrique, a infinité dénombrable de semi-
distances, et complet, il est de Eaire; car, d'après le théo-rème 40, sa structure est uniformément équivalente à unestructure métrique, pour laquelle il est encore complet puis-que les suites de Cauchy, ne dépendant que de la structureuniforme, sont les mêmes. Tout espace de Banach est de Baire.
Les espaces(
FE jc , pour F
semi-métrique ci infinité dénom-
brable desemi-distances
et complet, etE
réuniondénombra-
ble de compacta; our F semi-normé
a infinité
dénombrable desemi-normes
et complet,dans les mêmes conditions, sont de Baire. On démontre
aU;Si ’
mais nous ne l'utiliserons pas, que tout espace localementcompact, est de Baire. Par contre, le corps
(Iz
des rationnels,pour la topologie induite par R , n'est pas de Baire,
puis-
qu
'il est réunion dénombrable de fermés sans intérieur, ré-
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 478/599
duits chacun a un point; uneSPaCe
vectoriel normé non complen'est
en général pas de Baire. (Considérons par exemple l'es-pace E = C [o , ) , et muni de la norme induite par
oc'( CO,13 ,dLc ) * . Il n'est alors pas complet, puisqu'il
est densedan&'
; montrons qu'il n'est pas de Balre. Appe-
lonsB
la boule unité relativeir
la norme habituelle de
C[c,i]( j
{ /I
=O'~~,i
j(z) 1 )
SoitË
son adhérence dans
(donc pour la topologie &' ). c
omme de toute suite convergen-
te dans &' on peut extraire une suite partielle &-presque
Partout convergente (théorème 38 du chapitreIv),Ë
est en-tièrement composée de fonctions &-presque partout bornées
en module par 1, donc partout puisque continues,doncBE
B
B est fermée dans E . Mais elle n'a pas d'intérieur, carSI
elle contenait la coule (pour la norme ii' ) de centre
j E c pv] et de rayon R , l'inégalité 1' (4-3 1 & < R
devrait entrainer $x,
f(z) [ 5 1
, ce q;i est absurde. De
même, pour tout entiern,
nBest
fermé dans E sans intérieur.Cependant, du fait que B est la boule unité de
C
rO,i]
pour sa norme habituelle, la réunion desnB est l‘>espace
C
Io,I]tout entier, donc E n'est pas de Baire (pour la
norme 4 )
).
Soit E un espace de Baire. Une partie A CE est ditmaigre si elle est contenue dans une réunion dénombrablede parties fermées sans intérieur. Une réunlon dénombrablede parties maigres est encore maigre. Le lait que l'espacesoit de Baire exprime que toute partie maigre est sans inté-rieur. Au contraire, dans un espace qui n'est pas de Baire,une partie maigre peut être l'espace entier, et la notionest sans intérêt. On pourra dire qu'une propriété
p
relativea des points de E est j3
-
presque partout vérifiée (Best
l'initiale de Baire) si l'ensemble des points de E où elle
n'est pas vérifiée est maitgre. Les ensembles maigres sontune catégorie d'ensembles négligeables", analogue a celledes ensembles de mesure nulle relativement à une
meSUre>O.
Mais c'est une notion purement topologique, sans rapportavec une théorie de la mesure.(D'ailleurs E sera le Plussouvent un espace de Banach, non localement compact, donc nepouvant pas porter de mesures de
Radon).
Le B- presque par-
* oc'
est seulement semi-normé, et non séparé; mais sa semi-
norme induit surc
une norme, car Une fonction continueh-presque partout nulle est partout nulle.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 479/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 480/599
Démonstration
- Pour
simplifier,
s"pposonsF semi-norme,
de
semi-normesqd,
j EJ .
POU~
#E~N
,
soit
Aj,sp l e sous
ensemble
de Edéfini ~arAd,~={~~Ë;V~,qj(u,(r))~k).Les~~
étant continues, A 4 est
fermé.
par
ailleurs.
SI,
b?
en
un
point
'3~
,
les an
(on,ont ne limite, ils sont bor-
nes,
et
donc,
pour
tout
j
,
z
est dans la réunionAà= Aà,&
SI donc, pour a moins un i , tous les A. {0
b>
sont d'in érieu
vide,
A. est maigre,
t
et l'eventualité 1) est réal'sée : pour
s
$A,
A’
c'est-a-dire pourB- presque tout z ., la suite
des WR(z) n'est pas convergente ni même bornée. Sinon, cela
veut
dire
que, pour
tout
a
'
Il existe
un4
te1queA.k
ait
d>
un intérieur non vide; mais, si A.
dj
est
un
voisinage
de 2
A+4
l est un
voisinage
de a* ;
mals
A,
91 -x11
est
con
tenu
dans
Aj,%k ,
car, pour
tout
n
E
m et tout
F E
A.
+-a
on a ~cb WR(Z+Z))
G
4, qj (%, (2)) 6
k,
donc-q, (an
(r)) 6
'A ;
donc
*a,,&
est encore un voisinage de 0
. Alors, pour
tout
# EJ et tout
& 2=
0
,
11 existe
un
voisinage
e A.
2
ettoutn
e 0 dans
E tel que, pour
tout 2
de
&
Aj>d
on a it qd ( uu, (3~)) d &, donc
les a,, sont
équicontinues
t
l'origine, donc
partout
puisque
linéaires.
Le
corollaire
3
du théorème
45 entraine
alors
toutes
les conclusions
de l'é-
ventualité
2) (parce que Fest
séquentiellement
complet;
la
llnéairité
de la limite
LL est
évidente),
C.q.f.d.
N~ S
voyons
donc que
Ganach-Jteinhaus
s'obtient
en jux-
taposant
Laire
et Ascoli.
Donnons quelques applications auxmesures et distributions. Utilisons d'abord le cas où l'onsait qu'il y a convergence partout (seconde éventualité).
Considérons
un
ouverta
de %?a ,
K
un
compact
de fi
et prenons
pour
E l'espaccd)K(fi), qui
est
bien
défini
par
une
infinité
dénombraole
de semi-normes
et est
bien
Complet
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 481/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 482/599
du sous-ensemble g,(a) . 6, (0)
dans cK <an) , mais, de t.ou;e façon,
n'est pas dense
3, les pj
d'après le corollaireconvergent vers
p sur toute ip de l'adhérence
d)~
(fi) de g,(a) dansC,(a)
. Ceci est valable pourtout K . Mais, si q est une fonction de C<a), si H estun voisinage compact de son support K , ie théorkme d'ap-
proxirtatlon
( proposition 1 du fascicule "Distributions"
montre que 'y est dansD (fi) , donc pd ((p) converge vers
P(V) '
et P/
converge vaguement vers k,
Exeniple : Soit /y G(I+,-~,~,) ~LIT~ .'
c.q.f.d
Les p convergent
vers 0 dans 9' ; en effet. pour toute q t 23
b
des accroissementsfinis
montre que 1 q(i)-q
(0) (Q-
Mais les ne convergent pas vagueme? vers 0
effet nous , égale 2 3c 3 au voisinage deO,
on voit que , qui tend vers +~o . D'ailleurs
formule (IV,2;7) )
qui tend vers + 00 .
Donnons au contraire d'autres applications, utilisantl'éventualité 1) du théorème 40. Considérons la suite desformes linéaires continues,LLn,a sur C [0,4] :
Les au,,,, convergent vers - 6'
(a)
: qq’(a) > sur
le sous-ensemble dense des fonctions dérivables au point 12
Mais la norme de aLL,,& est 21%~ (f?rmule (Iv,2;7) ), elle
tend vers +a0 avec ?1 . . Donc l'ensemble des Cp E C [0,1]
pour lesquelles les ti,,
convergent est maigre; autrecent dit,
non seulement toute fonction continue n'est pasdérivable
aupoint d >
ce que nous savions déju? maisB-presque toutesles fonctions continues sorlt non-derivables au point a. ; ceci
moralement satisfaisante de notrefonction continue n'est pas dérl-
est une partie ùénombraùle dense del'rnsemole des'fonctions dérivables en a E R, étant:a réunion dr ces ensembles est enww maigre, donc
B _ prcsa~~e tcute knctior ccntlnuc est nan-dériva )le en tLut
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 483/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 484/599
462
sont B - presaue partout non dérivables. En langage quantifi
"(3 L maigre dans C[O>I] )(b'tp+L)(3 M maigre dans[O$])(Ar$,j
( Cp n'est pas dérivable en- 1 . Bien entendu, Mdepend
deCp
;
et C[0,1)
peut être remplacé par(cR)c
.
Voici une autre application. Ondén:ontre,
en théorie desséries trigonométriques, que,
si est une fonction continupériodique de période Tsairement convergente. P&
sa isér e de Fourier n'est pas nécla m,ême suite de raisonnements
utilisant successivement le théorème46
pour l'espace de Bairdes fonctions continues sur le cercle r et pour l'espace deBaire
T
on trouve que, pour B- presque toutes les fonc-tions
con;inues périodi
ues. la série de Fourier est B- pres
que partout divergente 7Voir:Complkments
sur la série etl'intégrale de Fourier). Il existe une quantité d'autresénonces analogues.
Voici un théorème qu'on pourra traiter en exercice. SoiE un espace de Baire, u, une suite d'applications conti-
nues deE
dans un espace métrique F , convergeant simplementvers une limite k . Alors l'ensemble des points de discontinuité de & est maigre.
Par exemple soitCp
une fonction réelle dérivable surllQ
La suite des fonctions 'p, ,(pntr)
=
(P(r.+$)-Q(~C\ est51
,.
alors simplement convergente sur R versy' Donc la déri-vée
Cp ?
est continue en B-presque tous les points deIFUnefonction dérivée n'a donc que "très peu" de points de discon-
tinuite 1
Théorème 47 (Tème
théorème d'Ascoli)
Soient E un espace topologique, F un espace semi-mé-
trique, fl un ensemble d'applications continues de E dans F.
Pour eue 3 soit relativement compact * dans ( FE), (es-
pace des applications continues deE
dans F , muni de la
l Rappelons (oubli de la topologie générale) qu'une partie d'un espace topologique X est dit relativement compacte dan
X si son adhérence A dans Xau même de dire que A
est compacte.Celà
revientest contenue dans une partie compacte-
B de X
, car alors A est fermée dans un compactB donccompacte.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 485/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 486/599
contenu dans S(X) donc aussi relativement compact dans F
-
C'autre parc.9 est encore éouicontinu. Donc 3 a les mêmes
propriétés que 3 , Emais est fermé dans F et a fortiori-
dans ( F'), ; nous allons démontrer quefl
est compact dans
(F'), , et alors5
sera bien relativement compact.-
D'après le théorème45. la topologie induite
SU;$
Par
(FF )b est identique a la topologie induite par F 0
c est-a-dire par la convergence simple surE, dont les
semi-distances sont données (VII,7;25). Il y a donc uneinfinité dénombrable de ces semi-distances ( E, est
dénom-
brable'donc
aussi l'ensemble de sespartes
finies). Donc,
d'après le théorème 40, la topologie de9 est
métrisable.
Pour montrer alors que 3 estcor,pact,
nous pouvons appliquele théorème deWeierstrass-Eolzano
:n~us*allons
montrer que
de toute suitedo
,$,,...,
-& . . . de 3 , on peut extraire
une suite convergente. L'ensemble 3 (a, )
est compact àans
métrisabie, donc on peut extraire de la suite des +?= unesuite partielle convergente au point a, .,Nous
la noterons
S.&)> ~(0,w.>~(07L).~.~ CO,%) designe
donc un ent
30
avec ('0 1%) > (0 k-q).Mais ensuite l'ensemble $(a,)
est aksl
compact dans F'
métrisable,
donc on peut extrairede la suite précédente une nouvelle suite partielle conver-
gente au pointa,
, donck
la fois au pointaL,
et au point
a, 9
que nous noterons s,: &))> ~(,,,),..<>~(,,n)>... (Ici
en-
core, (1,n)est un entier > 0 , on a (I,~T) > (A>lv-I) ;
et, puisque s,
est. une suite partielle deS,
pour toutn
il existe n' à 3% tel que(0 n')=(j,q~)&(O,n)). Etainsi
de suite, de proche en proche. 'La suites,,
sera notée
f
cm,0 > $
(n-r,,)
>.
. , est une suite partielle des,,.,
,mx,n) > (Tn,n-4)autrement dit, pour tout ?1
Il
existe~~+~tel que(?n-<,n')= (
1n,n)
2 (WL-1,1-) . La suite S,, converge
en chacun des points a,
>
a,
>... 7
Q-741 *
on peut, sil'on
veut
placer ces suites les unes sous les autres :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 487/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 488/599
2'/
Inversement; supposons .5 relativement
compacte dard ( FEjc , donc son adhérenceTT
* compacte.
Son imageSc(o=)
par l'application continue 6(-,:$
-j(=c)
de
(
FEJc
(OU FE
)
dans F est donc aussi compacte, donc
LJ (=c)
c Sc(2.1
7 est bien relativement compacte dans F .
Ceci ne suppose aucune conditionspeciale
surE
ou FSoit maintenant K un compact de E . Appelons
JK la Ees-
trictlon d'une fonction $ au compact K ; l'application
4-L
4, est évidemment continue (et même lipschitslenne)
de (FE),
dans ( FK),= (les ssi-dist-ces de (FN>& sont
lessi,K,j
EJ);
l'image$,a
de%
par cette applica-
tion est donc encore une partie compacte de(FK)o
. Soient
alors j E J
et E > 0 ; il existeut
ensemblefini
d'éléments
:Couvrz;t
2,~tyaz;e;e;tb;=;es
G,K
.
, il existe un Y tel que
. Mais un ensemble fini de fonc-
tions continues #, K
est toujours équicontinu. Donc, pour
tout a de Z ,il'existe
un voisinage‘&
de Q- dans K tel
que,
pour tout z EQ et tout L>
Lon
ait
'j (&,K
@%~,,,&>)<~donc, pour tout
r
E
‘& et toute #GTo ,
-
-
-
* Nousecrivons
flG et non 3 comme précédemment;9
était
l'adhérence de3
dans FE ,gc
est son adhérence dans (FE),
FL
pria-
ils sont distincts. Mais d'une part trivialement
L.g.
D'autre part l'injection de (FEJo dans FE
est
continue, donc yc , compact de ( FEjo , est encore compact
pour la topologieFE
-(théorème
28 duGapize
II), donc fer-
mé dans FE
donc 9 3
g
donc9
-
fl ce qui per-mettrait de né pas introduire d'écrit& noUVelie.
En outre nous voyons que L?&ac) et S(S)
, que nous a-vons distinguez plus haut, coIncident*alement. Car nous
avons.,u
que g(r) c T(,) ;
Mais-$(z)
va g=omPact
donc fermé dans F , et il contient S(S) donc F(r), d'ou
le résultat.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 489/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 490/599
468
2) Pour tout
sembl e +x, =
Démonstration - P0urrn = 0 c'est un cas particulier du
Corollaire précédent. Soit 4 quelconque. Supposons d'abord?? relativement compack dans ‘+ (a ~7) .
linéaire Il' : 9
L'application
+D $ > de qrn(a ;F) dans‘&'(fi;?),est
continue. S+i en effet on considère une semi-norme 111
de *(fi jF > on introduira la semi-norme 11
% (sZ:3
III m ,de
et on aura justement l'inégalité
IIIqlll,,K 5 Ill i L,K .
Alors l'imageDP
3
du compact 3 de % <a ;F)
est uncompact de % (a;?) . cet ensemble contient Dr.?f
=
9, I
qui est donc relativement compact. Il
doit alors vérifier lesconditions du corollaire 1, ce qui donne précisément 1) et 2)relatives a
'r *
Donc ces conditions sont bien nécessaires.
Inversement supposoy 1) et 2) réalisées. Soit z? l'adhé
rence de 4 dans ‘8 (an;r). 3 vérifie encore 1) et 2). En
effet,
l'ensemble des 4, telles que DP4 e @? -pour tout?
d'ordre 1?1em, est ermé,et contient 4 donc 8 , donc
Il'3
c.$
OU
t-u, 3f
Z$ C gF . SI alors 9F
estéquicon-
l'est aussi d'après le théoreme 44,
donca
fortiori
4, ;
d'autre part, si??F(~)
est borné, son adhérence-
Z+)-l'est aussi, donc a fortiori5$ (x)
, donc a for-tiori
3 (2).'r
Montrons alors que 4 est compact dans 4-(fi; 7) *
Comme il est métrlsable
,-il
suffit de montrerWelerstrass-
Bolzano. Soit donc r0 , j, ,...,$-,... une suite de 2 0 Pou
tout+
d'ordre /FIS m , , $ vérifie les conditions ducorollaire 1,. donc est relativement compact dans
<(fi;?)
donc de la suite on peut extraire une suite Partielle SP,
telle que les Dlr & correspondantes convergent UnifOrmement
sur tout compact donc localement UnifOrmément,
Vers
Une
limi-
te 7 continue: soit*
?
%
celle qui correspond a+= 0 . D'apr
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 491/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 492/599
470
arriver que lardciproque
soit vraie,celà
n'entre pas encontradiction avec le théorème 45 bis du chapitre II
pUisqU'
auyn voisinage de 0au un
esDace
vectorieln'est borné (voir page
449
). On dittopologique
a la propriété de Monte1s'il Y 8 identité entre ses p
artles
bornées,
comDactes
et ses parties
ou encore entre ses parties relativement compacteset ses parties bornées. Alors :
Corollaire 4
Sifi
est un ouvert deR
3%
,F un Banach de dimension
finie, l'espace%tLl;F)
=
%'-CSL
;P)
a laproprietd
deMonte1
Démonstration - Nous devons montrer que toute partie fermée
bornée 4 de‘&(ac~;r)
est compacte . Comme l'espace est métri-
sable nouspavons
appliquerWeierstrass-Bolzano.
Soit donc
sd, .$ ,... , $,, , . . . une suite de ti . Pour tout
sembleg$
=
D'$+ '
l'en-
est encore borné dans%'(a;
F) donc
vérifie les conditions 1) et 2) du corollaire 1 donc est re-
lativement compact dans Lto(fi;r )d'aprks
le corollaire 1.On peut donc extraire une suite partielle
S
r
qui converge
localement unlformdment vers une fonction continue
Appe+ons
T celle qui corresponda?=
0 Comme au corollaire
2, 1 ensemble des indices+
estN
donc'dénombrable doncnous pouvons l'ordonner totalement en le mettant en c&res-
pondancebijectlve
avec Wcomme suite partielle de
et choisir ensuite chaque suitela précédente, et prendre la
te diagonale S comme dans la ddmonstratlon du théorème.de la
suite
initiale, telle
correspondants convergent localement uni-
du chapitre IV dit alors que
AlorsS
converge vers9
fermé dans %(niF),g est
Corollaire 5
Bans les conditions du corollaire 4, si K eSc Un COmDaCt
dea
, l'espace .$$,((fi;F) a la propriété deMontel.
En
effet &(a;') est un sous-espace fermé de $?.(a;F), donc
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 493/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 494/599
472
Donc $ verifle les conditions du 3èm.e théoréme d'Ascoli 47,
donc $ est r~latlvement compacte dans (?)o
comme % (.Ld;F) est fermé dans ( F ), .
; mais
par le théorème
deWeierstrass
(corollaire 1 du théorème 15), l'adhérence(compacte)F de g dans
(
F )c est dans @(fini?, et3
est bien relativement compacte dans % (fin;F).
O n p e u t g é n é r a l i s e r :
Corollaire 7
Si W est une variété holomorohe, 7 un 8anach de di-
mension finie, l'espace % (V ; FJ des fonctions holomorphes
sur2
a valeurs dans F , muni de la topologie (induite par-+),)
de la convergence compacte, a la propriété de Montel
Démonstration - Soit3 borné dans%(V;F). D'abord, pour
tout x E vF(x)
est borne dans F , donc relativement com-pact. Ensuite,
soit a EV, vuun voisinage de a dans V qui
soit le domaine d'une carte 8“ @n&%@((Y),V soit Q>(M)=&.
Pour rc.F appelons p son image réciproque +~,= Jc.+,
fonction holomorphe sur (9 )A valeurs dans F et soit 9‘
l'ensemble des 1".
Le raisonnement ci-dessus (inégalités (VII,7;31 et 32)
montre quz 9* est équicontinu sur (Y au point CX
; donc 5est équicontinu surfi au point CL. Donc ici encore 8 est
relativement compact dans ( TV )c , donc dans (V;F)
fermé dans (F ), , o.q.f.d.
Remarque : Dans tous les corollaires précédents, l'hypothèse
'
7 de dimension finie" était évidemment essentielle.SoitF
un Banach de dimension Infinie; on sait que sa boule unité
n'est pas compacte. On peut donc trouver une suite
de vecteurs de norme 1, sans suite par-t$e;l$'~onv~r&nte~ Alors la suite de fonctions holomorphes
sur a? : fj --+ jj,> , est borné dan2 % ( c j FJ, mais sar-15
suite partielle convergente; %(@;F)
n'a pas la propriété
dt Montel.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 495/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 496/599
nombre de zeros de
l a semi-continuité
4sur K c H e s t <
ItJ
ce qui démontre
kuperieure,
est un voisinage de -j. dans 8%
474
Remarque : On voit immédiatementquel voisinage compact de Ktel que
SI H est n'importe
zéros dans Hque ses zéros dans K ,n'ait pas d'autres
que 7 2a Igq)-&j) / "1
1 existeentraîne N (9; )=N(. 0 N~(>‘; K) j
. C'est ce qui montre bien qu'onet non continuité. Supposons parun seul pointa
;
et supposons
que a soit zéro simple de -+?,N(#;{aj)-4 . Si K est n'im-
Porte quel disque f'ermd de centre azéro de j que a, on aura, pour
, ne contenantaucunautre
assez voisine de sur H,
N(
2
;H =I,
$mais le zéro deaucun raison d'être enn lui-mi?
dans le disque Hn'auraet on aura seulement
N(j; {a), ~1 . Voici un autre exemple peut-être plus
suggestif. Supposons que Kqu,e tous les zéros de $
soit un disque. Supposons d'aborddans Ksoient dans son intérieur
On devra alorsgénéral, et on trou&a seulement N(
et en effet, les fonctions voisines
tains de leur9 zéros dans H près du bord K de K mais endehors.
Si Fest seulement un ensemble fermé, la fonction
?f
----N j;F
n'a plus aucune semi-continuité.
Supposons maintenant W ouvert C&L . Supposons que
n'ait dans@
que des zéros isolés, en nombre fini ou inA
iniun nombre fini, quelconque si += +.~o ,. Soient U;,cE 1 1 fini, des zéros de
, dont la somme desordrés
demultiPliCité
> 4 . soient Aa;
des disques ouverts de centres a;
telsque
les A_.
soientdisdoints,
et soit H le compact
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 497/599
entrakera que
sont des Constantes# 0
de zéros dans 6,
plus semi-continue
est nul; la fonction ij-+
N(
inférieurement sur% (0) en
8
;w
n'est
n tel point
l
.
On pourra donc seulement dire que la fonctlon#-
N($;W
'est semi-continue inférieurement sur le sous -ensemble de
% (a) formé des fonctions qui ne sont constantes sur aucune
comoosante connexe de & .
Corollaire (Montell. Soient JI un ouvert connexe de c .M un
nombre 3 0 , K un compact dea , U. un $Oint de a , a( un
nombre réel 10 . 11 existe un entier finiN(c(Z,
M, K,a,N)
tel que, pour toute fonction $ holomorphe sur fi , bornée en
module par
M
, vérifiant
1
1$'(a) 1 3 O( , on ait N ($;K)<N(ll,M,K,a,q)
I
I
Démonstration - L'ensemble des fonctions holomorphes surfi
bornées en module parM , et vérifiant1 j'(a) 1 &q , est
fermé et borné dans %(a),
donc compact (corollaire 6 du
théorème 47). Donc la fonction j?--
N(
f
; K) admet un maximum
sur cet ensemble. Ce maximum est fini,
ca , si
f
réalisait ce
maximum et avait une infinité de zéros sur K , on pourrait
en extraire une suite convergente, et alors
i
serait identi-
quement nulle dansa connexe (corollaire 6 u théorème ll),
ce qui est impossible puisque
1, #'w I
&N>O.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 498/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 499/599
sur la convergence simple et uniforme
de la série et de l'intégrale de Fourier
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 500/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 501/599
1
Les théorèmes énoncés dans la suite comprendront toujours
une partie relative a une fonction ou à la convergence en un
point, et une autre relative à des ensembles de fonctions et a
la convergence uniforme sur des ensembles de points; celle-cl
toujours notablement plus délicate,
et on pourra la passer en
première lecture, dans la mesure où elle sera dissociée de
l'autre. Par exemple,
"convergence simple'
si l'on ne s'intéresse qu'à la partie
de la série de Fourier (théorème 3) Il
suffira de 1ireJ.a partie du théorème 1 ne concernant qu'une
seule fonction J de même pour le corollaire de même pour
le théorème 2; enskte on considérera dans le iorollaire du
théoreme 2, le cas d'une seule fonction,
ensuite on n'aura à considérer que la
lère
ie ie
avec2=/Lj
la démons-
tration du theorème 3, débouchant au corollaire 1.
Théorème 1 -
-c
Soit.2 une fonction intégrable surR , à valeurs dans
--c .,
un Banach F . Alors l'intégrale de Fourier
('1
c(7c;~) =Z(,l =
i
px)èZ-~
est une fonction continue é i\ , qui tend vers 0
pourA -+&m
(Lebesgue). En outre, cette convergence vers 0 est uniforme
d
lorsque 4 parcourt une partie relativement compacte de L'R & ?
7
J-eJ
Dbmonstration -
La continuité de
C
est évidente (convergence
dominée de Lebesgue).
On a d'autre part ? (A) 11 4 11 7 llLj
, donc z
est bornée. Montrons qu'elle tend vers 0 pour jl
Infini.
-c
C'est connu si
-e
est de classe C' , intégrable ainsi
que sa dérivée première,
car alors C(A)=J,r(X)
ptAX
2iJtA
dQ=-,
donc 1 c(l) 1 6 Conbt. -&- ,
d'où le résultat.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 502/599
2
D'après le théorème $4 hu chapitre IV, les fonctions
continues à support compact sont denses danse (R,c.& ;F)
Ensuite,
d'après le théorème d'approximation (proposition 1 d
fascicule des Distributions, démontré par convolution avec
une fonction scalaire de d, ou par la partition de l'unsé),
toute fonction continue & subport compact
à valeurs dans
F
est
limite uniforme d'une suite de fonctions indéfiniment déri-
vables ti support dans un compact fixe, donc a fortiori limite
dans C (E,dcc;F) . Donca(R;
F)
est dense dansL4(R,&;F),
Alorsdes applications linéaires u3:r-.+ F(A;T) &L'(R,&;p)
dans F , dépendant du paramètre i\ E R , convergent, pour jl
inr'ini, vers l'application linéaire nulle, sur le sous-ensemble
dense 9 (l 8;F) de L' (&ya;s?
rdi
mais elles sont également
continues, lorsque 2 puisque de norme S 1 ;
le 2ème théori'me d'Ascoli dit alors qu'elles convergent vers
simplement sur
+z (a;$
L'(R,&;r) tout entier, autrement dit
converge vers T pour 2 infini, pour toute
pL(lR,CL.Z;F)
; et la convergence est uniforme sur tout
compact.
Corollaire.- SI -f
est périodique de période
T
sur& et loca
1
lement intégrable, ses coefficients de Fourier zk (z) _
ten-
dent Verso pour 1 p? 1 infini, et uniformément lorsaue 4 nar-
court une partie relativement compacte de L’ r, k;F ) .
En effet,
appelons
9
la fonction sur IE? égale a
le'
sur une
perlode et nulle ailleurs.
pour %Xi\= &W
Alors z& (i,,c(,;~,=J~~~~)ëlL~~~~
, et cel& résulte alors du théorème.
Théorème 2 -
Soient 1 une fonction intégrable surR à Valeu
,-
dans F' et 2 E F . Alors l'intégrale de Dirichlet
(2)
J(i,;,, = J(A)= o $4 lSh-, = dnc,;l&O ,
*
converge, pour 2
J
+-=AikL 1c
-te=
, versJi?.J=
dx
-A--=----’
si Ilune des deux conditions suivantes est satisfaite :
* NOUS prenozs 2 3
0
pour A A -@, l'intégrale
tend vers - JO
on sait que J= 2 (formule (IV,11;51) ),
,,,ais on va le redémontrer ici.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 503/599
3
Conditicn 1) : La fonction
&x>- F
sinage de l'origine * .
est intégrable au voi-
35
Celà se produit en particulier si te a une limite à droi-
j?(O + 0 > a l'origine
1
et vérifie au voisinage de l'origine
zIeF1condition de Hyder I'~iz>-~(O+ 0) 14 C "Vo(,
C
et% >0;
en Particulier si 9 est dérivable ti l'origine.
I
En outre, la convergence de y(2 ;$)
vers J$ pour
a
- +OC , est unifowe, lorsque r et F varient, de
J
manière que la condition soit vérifiée par chaque ( T,F),
-c
gue -f parcoure une partie+ relativement compacte dec(R,&;Ft),
J
6
0;' une partie bornée de F , et que ,/ I/ nz)-?
x
&Converge
vers 0 lorsque 1 tend vers 0 ,
+-t
unifcYrmément par rapport h ,ci:
I
Condition 2) : La fonction T
est A varlation bornée au voisi-
8
nage de l'origine,
f
est de dimension finie etF= T(O+O).
1
Celà se produit en particulier si 2 est réelle, monotone et
1
bornée au voisinage de 0
. En outre, la convergence de?(jl ;z)
+
vers
JS
est uniforme lorsque -4
,
et z varient, de manière que
4
2 décrive une partie relativement compacte deL'(R,Ch;
I
;Q(
partie bornée de F
que la variation
toia;e' L\fyîeO, c [ ) de $ dans ]'Ofs [
tende vers 0
t
lorsque [ tend vers 0 , uniformément Par rapport à 4
l
Démonstration - Supposons d'abord 1) réalisée. On peut écrire:
* Cela n'entraîne pas que - tende vers 3 quand
--,
J
x-0;
mais, si
s
a une limite,
ce ne peut être que Z
; et T-est
déterminée par
, car&
n'est pas intégrable au voisinage deo
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 504/599
soit t > 0
donne. On peut d'abord choisir 6 de
manière
que le 3ème terme soit borné en norme par+ , uniformément
lorsque
et z varient dans les conditions
Ensuite le second terme s'ecrit
i
z restant borné , on peut cho
sir ?B ayez grand pour qu'il soit borné en norme par*.
Com
ensuite est intégrable sur
appliquer le theorème 1 (avec & 1 z =
est linéaire4continue de
L’-( R, dus;T)
dans c( [ F,+o,L,&.;a
(de norme 4
L'(R, d-c ;$.
E([S,+-
[ ,a,;a
et le ler terme est borné en norme
par% pour A aases grand uniformément quand 7
varie dans
les conditions indiquées; ce qui prouve lt théorème si la con
dition 1) est réalisée.
Passons
au
cas de la condition 2).
Supposons donc
-7
à variation bornée dans [ 0, 8 ],rde
dimension flnieAF =JJO+O) On peut-supposer 7 continue à
l'origine avec J(o) =J(O'O) , car ;P (0)
ne joue aucun r61e;
, -
on peut de même supposer $ partout continue a gauche, en
rem-
plaçant
car celàZIé~~uohe',~~-i0n:init~' ~~n~,r~bssn~ed~OTn~;:t~~~c
ne change pas les intégrales,
et ne peut qu'abaisser la varia-
tion totale de T.
On sait alors que 4
est l'intégrale Indefinie d'une
mesure ji
de base & 0
d'après le theorèms
88
du Chapitre
IV. En outie. on peut intégrer par parties (théorème 92 du
chapitre IV);
Posons
TA (5) =
J
6 Aina-
dz=
3c
0
J
0
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 505/599
5
Ta(o) = 0
i pour 3c =+ 0 ,
TA(~)-
J pour i\
-+oo,
en restant bornée. On aura
+O”
(3 bis)
J(x;i, -
J?(a) =
6
La variation totale de Fdans cO,f [ (ou dans]07tl
puisqu'on l'a supposée continue) vaut
,Igw - f(O)
1: dl jZ1 , et est
11
; puisque Ta
est borné, on peut
fixer 6 >0
pour que le 2ème et le 4ème termes-soient bornés
en norme chacun par -k- , uniformément lorsque #
varie dans
4
les conditions Indiquées.
Ensuite, r(0)
restant borne, on
peut choisir A
assez grand pour que le 3ème terme soit&
+>
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 506/599
uniformément par rapport a $ ,%et de même pour le premier
terme, par application du théoreme 1;
rème dans le cas de la condition 2).
ce qui démontre le théo
-+_c
Corollaire - Soient 4 , 4 . deux fonctions intégrables surR,
/ 0
éaales dans un voisinage de 0 . Soit c( une fonction complexe
SurR ,mesurable. bornée inférieurement en dehors de tout VO
sinage de 0 , deux fois dérivable au voisinage de 0 ,
o( (o)=O,G(~u)=l . Posons :
(3kl.)
K(p;j)=jtm+j -"$&- d.m , ,tt > o .
Alors. toutes le: fois que?(Â ;T) a une limiteJ7
/
a la même limite Jz BP-,+&;
et < parcourent des partie
relativement compactes de
en restant égales S
un même voisinage de 0
converge v
-0 , IBIifOFmément par rapport a 4. r lorsque 1 et & tenden
fJ
vers + - , pourvu que i\ - .L 1 reste borné.
1
Démonstration - Il s'agit en réalité d'un pur corollaire du
théorkme 1 et non du théor&me 2;
mais nous le plaçons ici.
parce que,
le théorème 2 perwttant de co_nnaîtr~, moylnnant
conditions du type 1) ou 2), la limite
Jd
deJ(1 ;J) , c
corollaire donne la limite, égale aussi à J j
Bien entendu, il suffit de démontrer la fin de i-énoncé.
de K (k;J).
011
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 507/599
7
La fonction 1 - -
4
est mesurable et bornée SU~R
@J(z-1 =
En effet, elle est bornée en dehors de tout voisinage de 0
Et, au voisinage de l'orig-ine,
la formule de Taylor montre que
a((=c)- 2=0((2)- g(o)- 3c O('(O) N -2 dyo)
pour*- 0
(théorème 21 du chapitre II), de sorte que
4 1 zc-Oc(=>
--- =
tend vers
M ix)
3c
=Qc (W
+Oc"(O)
quand%-+o , et est donc encore borné au voisinage de O+.
Donc, d'après le théorème 1,
la lère intégrale tend vers 0
-c
pour p
-+oo ; en outre, si
$
parcourt un compact de
L"(lEt,doc;a,
4
il en est de même de la fonction$s)(&-$--
1
1
parce que
f
- ---) r est continue de L"(R,d?cc;
F)
(
a( 23.
dans lui-même;
donc la convergence est uniforme par rapport
àI$ . Ceci achève la démonstration du corollaire si on se
est intégrable, car
est nulle au voisinage de 0 ;
la 2ème intégrale tend donc
vers 0
po,ur +p - -
d'après le théorème 1; en outre, la
fonction J-%.& parcourt un compact dep([&,+m[, & ; F)
quand J et 9 parcourent des compacts de d(R,&;c) , et
le 2ème terme est une intégrale sur
coincident dans
P’ F1
IT
8, + 00 [
dsi j et f
; donc le 2ème terme tend vers l'in-
-+*
fini pour p+ f& ,
uniformément par rapport à ,
i %
dans
les conditions indiquées.
Si l'on se borne au cas 'h= k , la démonstration est
achevée. Mais supposons seulement ) j.l,- Â ) borné. L'application
est bilinéaire continue, de norme ,C 4 , de
x (U3R)ce dans
L”(R,dOE;F) ; l’wpli-
cation z -
(fonction
divvrs
)
est
=k
lipschitzienne deR dans ( c
)c,$, car
continue et même
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 508/599
8
donc l'application (f, 7)-
) est
continu-e de L' (R,&;r)xR dans c(R,doc;F) ; si
alors 1 parcourt un relativement compact de C(]EP, &; F),
et 7 un relativement compact deR , la fonction
parcourt un relativement compact de
L’(R,dm;F).si
donc T
parcourt un relativement compact de cA(R,&;F) et si&k
reste borné, la fonction
4
(33) n-J%- = parcourt un
relativement compact de L'(R,&TT) .
Alors la dernière
intégrale (3 quarto) converge uniformément vers z pour
tL+A
---++IX
en vertu du theorème 2, ce qui achève de
démontrer le cor;llaire.
Théorème2
Soit -f une fonction périodique de période T sur-ne,
7 intégrable sur un intervalle-pério-
?
soit; E F
et sunnosons que l'une des deux con-
ditions suivantes soit krifiée :
1) La fonction paire t- $(a+t)+T(a-t) -22
1
'k
est intégrable au voisinage de 0
2) la fonction p
aire
$a+t)+
t -
&a- t)
2
est
a variation bornée au voisinage de 0
, sa limite à droite (e
a gauche) pour t=
0 est Z , -t F est de dimension finie.
Alors la série de Fourier de z :
T
14)
,” F&($= , Z&$jJ, {(t)ihkoS $
=Cm
Converge, pour 2= a, vers & , en valeur principale de Cau
&-:
(5)
N -t +m
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 509/599
En outre l'intégrale
9
Si A est un ensemble fermé deR , si A est continue
1
SU~R en tout point de
A
**, et si l'une des deux conditions
suivantes est vérifiée :
Condition 1')
vérifie, sur un voisinage A'
de A , une
dition de Holder :
SC X-
l Y1
al, pourcr.cA
/yA’;
C
et%>O.
--?
Condition 2')
J
est a variation localement bornée sur un voi-
sinage A' de A r est de dimension finie;
alors la convergence de s,
(??Vers T pour N infini est
uniforme sur
A .
Démonstration - On a :
T
(6)
dk ***
=
-
T
de sorte que
Calculons donc RN
C'est la somme des termes d'une progres-
sion géométrique, de-sorte que
* C'est une nouvelle démonstration de la formule (IV,ll;5l).
*z Cela implique plus que la continuité de la restriction de
+
&A
l par contre,
un voisinage
cela n'implique pas la continuité de
de A .
#
*** C'est un cas particulier de la formule
33
du fascicule
-+
"Séries de Fourier", appliqué à une fonction
#
. Il s'agit là,
rappelons-le,
de la convolution sur le cercle
r
qui se tra-
duit, pour des fonctions périodiques surR , par'une formule
intégrale sur un intervalle-période: ($ x q,cr)=l~i(*-~,gcrl~~.
0
La formule (6) est évidente directemen.t.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 510/599
10
(8)
r(N+l)Ot -1Nwt
e
T
i
7
zz
T
-
2
T
i
ï
=
0
égale à n’importe quelle constante Z$ 0 ailleurs; o( est
bien bornée inférieurement en dehors de tout voisinage de0,
et N(O)= 0 , oc'(O)= 1.
si
vérifie la condition 1) ou 2) du théorème 3,
vérifie la condition 1) ou 2) du théorème 2 avec
Z-A3
. car
ri --
(9terj
Qtr-ZL +(&+t,+&t,-2q
et
~,(O+O)=~~(?(a+O)i~(a-O))=~~
Le théorème 2 et son ccrcllaire nous disent alors que
TN ( a ; 1) converge, pour N infini vers JE J$~,J=~*$?$?&.
Si donc nous démontrons que J= %
, le résultat relatif à la
convergence en un point a sera démontré. Mais ,ll suffit
d'appliquer ce qui précède b la constante j = 1 , alors tous
les c$ (j) valent 0 sauf c, (j)= 4
et nécessairement
s, (Q;l)= 1
tend vers 1,
donc J-g.
or il doit tendre vers J+-i ,
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 511/599
11
Avant de démontrer le résultat concernant la convergence
uniforme, donnons un corollaire évident du résultat relatif a
la convergence simple :
-t
Corollaire 1 - Si j vérifie l'une des deux conditions suivantes:
1 -,
1) La fonction
$ a
une
limite
a droite -$ ( CI, + 0) et
-b'
une limite a gauche 1 (a - 0) au point a , et'les fonctions
t: t $(a+t Lj-(2+0)
,t-
jLt)-@bO)
t t
sont intégrables
-c R+ au voisinage de 0ur
; cela se produira en Particulier si
-j vérifie des conditions? HUlder, /à -F(~+O)\~&C 1 ~-a/'
1
pour ~3. 3 a. ,
et lJ=)-$a-0) II s c I =- d 1"
pour x. d a. ;
en particulier, si] est dérivable au point a ;
1 --z
2) La fonction 2 est a variation bornée au voisinage
'1
de a, et7 est de dimension finie; cela se Produira en Parti-
culier si j, est réelle, monotone, et bornée au voisinage de *;
I
+
Alors la série de Fourier de 4? converge, Pour 3~= ai
I
en valeur principale de Cauchy, vers '
Y-
(jb+o) + $a-0)) -
Passons maintenant au cas de la convergence uniforme.
Dans les conditions où l'on se place,sN(a;f -7 converge vers
t
(a) pour N infini, pour tout CI, de A , et nous devons mon-
t er
que
cette convergence est unif'orm%pouraEA . Il suffit
pour celà de montrer que la fonction @& vérifie les conditions
données au théorème 2,
permettant d'affirmer la convergence de
vers Ji? =
&a,
pour 2
-+oo
uniformément pour a dans A .
3
Nous allons d'abord vérifier eue, lors2e f reste fixée
mais
que A/ varie sur P * , les fonctions Q&
forment un
compact de L'(R,dn;f). Appelons ti4
l'application linéaire,
* Nous identifions systématiquement les fonctions sur le cer-
cle T
Cela mène
et les fonctions sur R , périodiques de période T .
tr certains abus de langage, qui seront aisément
com-
pris.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 512/599
12
continue
~~ de ~jr,dt;F) dansLI(IEe,dt;~)j
sa norme est bornée par- -.
SI a tend vers CL, , u, ,# tend
dans L'($,dtjF)
SI
j
est une fonction
continue, puisque elle converge même vers fi
%
uniformément
et reste nulle en dehors; donc u,
converge vers
simplement sur le sous-ensemble dense
(e
(rjr)
2ème théorème d'Ascoli 1c
pour toute fonction
1 de
fixée dansd(r,&;?),
est continue der dans
de L'(~,dtjr)
T' est bien un comp
.-Ceci est uniquement une conséquence de
l'lntégrabillté de $ sur r .
Supposons ensuite la condition 1') de l'énoncé vérifiée.
Soit [, la plus courte distance de A et de
rA’ (
voir chaoi-
tre
IÏ,
page 81). Pour 6 < S,
b
pour mEA: 6 -
,
on aura la majoration suivante
(10)
J II
q&(t) - jqw
0
t
Il
de sorte que le ler membre converge vers 0 pour 6 tendantvers 0 , uniformément pour a dans A ; le corollaire du théo
rème 2 permet alors d'affirmer que . ?,, (7)
uniformément sur.4 .
converge vers
4
Supposons enfin la condition 2') de l'énonce vérifiée.
Montrons que si la condition d'uniformité 2) du théorème 2
n'était pas vérifiée, nous aboutirions ii une contradiction. Il
existerait une suite de points a,
deA ,
et un nombre g > 0
tels qu'on ait toujours :
Mais,
A
étant compact sur T' ,
on peut extraire des d, une
suite partielle ayant une limite a dans A
; les a, * -$
tendent aussi vers & . Ensuite
est supposée b. variation
bornéeau vols-inage de CL ,
et CO
f tinue au point a- ; donc la
variation &jdat~ [a-)~,a+?] tend vers 0 avec 7 (théorème
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 513/599
13
84
bis du Chapitre IV), et sa variation dans[al-$,
ani- $
1
tend donc vers 0 pour 7~ infini; donc V (5
; PLqJ
tend vers 0 pour n infini, ce qui sontredi?(lCbisr
Donc il est bien vrai que la variation de z& danslO,sI
tend vers 0 avec 6 uniformément pour CL eA =donc la condition
uniforme 2) du théorème 2 est vérifiée,
et SN (j+l
converge
vers
F pour
N
Infini, uniformément sur
A .
De cette convergence unoforme, on déduira le corollaire:
Corollaire 2 - Si Se
-
est à variation localement bornee surW ,
b
--+
et 7 de dimension Infinie, la convergence de sN (&)
4
vers 4
*
1
pour
N
infini est uniforme sur l'ensemble
A
des points de
3
continuité de , . Si r est hgldérlenne (donc continue) surR
I
l
c'est-à-dire vérifie une condition
ou si elle est a variation localement bornée et partout continue
avec F de dimension finie,
SN $1
converge pour N infini
-t
vers 1 , uniformément surW.
1
Remarques - l“/ Les conditions 1) et 2) relatives à
f@+t) +g
a-t) sont-moins resqrictives que les conditions
séparées relatives à
~(CC+ b), {(a-t) énoncées dans le
corollaire 1. Par exemple,
T(b) + g-0
prenons a=O,et -# impaire . Alors
est identiquement nulle, donc 1) et 2) sont
réalisées avec T= 0 ; la série de Fourier est d'ailleurs une
série de sinus, les sommes TN (0 ;f, sont toutes nulles, et
la convergence vers
Ô
est triviale; il serait ridicule <lm-
poser à f des conditions telles que l'intégrabilité de*-c
ou la variation bornée de
J
'.
2"/ Nous avons bien spécifié que la séri,: convergeait
en valeur principale de Cauchy, c'est-aTire
c
conver-
geait vers 2
; mais les séries
c Jk=-N
' -pe=o '
peuvent
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 514/599
14
diverger.
Prenons par exemple pour 4 la fonction Impaire.
égale à
-1 dans ]- s , 0 [ , a + 1 dans
ficients valent
] 0, + $[ . Ses coef-
C~(I) = 0 pour -P, pair, et C,p+,(P) = +
2
(II)
(zJ"+l)Lx -
La série est une série de sinus :
La convergence vers 0
pour x=0 résulte. comme
dans la
remarque 1'.
de consid,érations triviales. Mais
+y 2 "Pé'+):""
4%
C&(B) .i4-
vaut et les s6riesJg, , g
sont toutes deux divergentes pour 3~ = 0.
3”/
Considhons la suite des fonctions ~R+,(,z),sur le
cercle T . Pour toute Lp éa(r) ,et plus généralement pour
toute q E&'(r) , ( +RN
'Lp'
converge, pour N infini.
vers CQCO) ; donc-+ R, converge vers 8
dans l'espace
.$ (r) des distributions sur r , et même dans l'espace
a"(r) des distributions d'ordre fl sur r .
Les
+%4
convergent-elles aussi vers 8
vague
ment, autrement dit dans a"(r) = C'(T), muni de la topologie
de la convergence simple surobe(r) t C(r) ? Ou encore, la
serie de Fourier d'une fonction continue
converge-t-elle
tou-
Jours simplement vers cette fonction ?
Nous allons montrer que la continuité de &
n'est ni
nécessaire ni suffisante pour
eue
la série de Fourier de 1
converge simplement vers I. .
D'abord, SI$
1
est & varlatlon oornee sur la période,
si.
en tout point a , on a
~(CL) = ;(T(a+21 +F(a-o)),la sér
de Fourier de T converge simplement vers $ , malgré l'existen-
ce de discontinult6s;
la continuité de j? n'est donc pas néces
saire pour la convergence.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 515/599
15
Mais elle n'est pas non plus suffisante. Il n'est pas
trivial du tout de donner un exemple d'une fonction continue
dont la série de Fourier n'est pas convergente. Mais le théo-
rème de Banach-Steinhaus va nous permettre de montrer le même
résultat, sans avoir à exhiber de contre-exemple.
Supposons que, pour toute fonction Lp continue sur T,
la série de Fourier de q converge au point 0
, c'est-à-dire
que
+RN
converge vaguement vers 8 pour N infini. Le
théorème dè Banach-Steinhaus entrakerait que les normes des
mesures
+RNdx
soient
bornées par un nombre fixe
M > 0:
(12)
11 RNd+ =
I
+)lR,(z)j ds 6 M .
Or on,: immédiatement
-2
T
+T
I 1
,AG,+-~+;)w~ dac
T
hw y
T
--
sur IEp
par la
-(N+
i
+(N+i);
2
n.inti\
dt
-@+i)T (N+ $b-
wt
2(N+3)
/
T
Lorsque
N
tend vers +GO , la fonction à intégrer
8
l
/.Gndw~
,
TL '
produit de + (N++in, fi
?
/
fonction caractéristique de l'intervalle
’ II.
2
)
2 ’
+(N+i,;
3
tend vers
;\F*I , dont
(limite d'une suite décrois-
sante); on a
suite croissante.
du chapitre IV),
, limite d'une
comme
pour -ré am,
d'où la contradiction avec (12); et ainsi la continuité de 9
n'est pas suffisante pour la convergence simple de sa série
de Fourier.
Mais le
théorème de Banach-Steinhaus, SOUS Sa forme
vénérale donnée au $ 7 du chapitre VII (théoreme
46)
nOUS Per-
met d’approfondir ce résultat. Il nous dit que, Pour
B-presque
toute fonction complexe continue
$
sur T
, les sommes par-
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 516/599
16
tielles S, ( 0, j) d e la Série de Fourier ne sont pas bornées.
On peut en dire autant pour n'importe quel autre point a der.
Mais alors,
comme une réunion dénombrable d'ensembles maigres
est encore maigre, si A est un ensemble dénombrable de T
POUF B- presque toute fonction continue # sur T , lesS,,(aj])
en aucun point a, de A
. A fortiori,B- presq
toutes les
ont leur série de Fourier divergente en tout po
ne serait cependant pas du tout trivial d'exhiber
un exemple d'une fonction # ayant cette propriété: si alors
est dense, la méthode indiquée après le théorème 46 du chapitre
VII montre que toute fonction
non bornées en tout point Q-
non bornées en B- presque tout
toutes les fonctions continues ont leur série de FourierB- p
que partout divergente.Exprimons ce résultat avec des quantifi-
cateurs :
(3 3, ensemble maigre dans C(r) (A 469)
(jB,
ensemble maigre deR ) : (la série de Fourier de 1 diverg
en tout point de [B ).
Comme tout "B-presque partout" der a la puissance du
continu, il existe donc des fonctions continues périodiques d
l'ensemble des points de divergence de la série de Fourier a
puissance du continu. Cela ne prouve pas, par contre, que 1 e
semble des points de divergence ait une mesure de Lebesgue >
car un "B- presque partout" peut être de mesure de Lebesgue
nulle.
On ne sait pas s'il existe une fonction continue dont
la série de Fourier soit partout ou même presque partout diver-
gente.
Ce fait que les tRN
convergent vers 8 dans a"(r),
mais pas vaguement, est une sorte de
"raté" des mathématiques,
un resultat moins bon que ce qu'on aurait pu attendre; mais il
a été une source de nombreux travaux qui nt développé beaucoup
de branches de 1'Analyse.
4"/ Cn a des exemples de fonctions continues dont la
série de Fourier converge partout, mais non uniformément.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 517/599
5"/
Nous avons vu que, si $ e L'(r, dr 1,
la série
de Fourier de 4 converge vers 4 dans L* * .
Ceci subsiste
pour 4 e LT, 1 c. p < + 00
, mais la démonstration est difficile.
Par contre c'est faux pour p = 1 ou + 00
. Cel& résulte de cequi précède pour 2" =oo (puisque, si $ est continue, elle est
dans L”
et les S,(t) ne convergent pas uniformément vers
donc ne convergent pas dans L" vers C );
8
montrons-le pourp=l.
D'après le théorème de Banach-Steinhaus, si, pour toute {cc(T),
les S&f’) = + R, JC 4
convergeaient dans c
les opérateurs A-R, t
T
de L' dans L' :
auraient des normes
111 ' N * 111
bornées dans leur ensem-
ble. Fixons-nous N . Soit pi
une suite de fonctions conti-
nues 3 0
SUT r
de support tendant vers l'origine, d'inté-
grale 1; d'après ilexemple 1 après le théorème
67
du chapi-
tre IV, les ej
dx
convergent vaguement vers S sur r pour
d
infini. Donc,
d'après le corollaire 3 du théorème 06 du
chapitre IV, les
;RN*fj 9
définies par x --,
+jRN(=
-b fj 0, dk 9
convergent pour ;i
infini
r
vers p R, , uniformément sur r
: donc
.
converge vers
II '
N
pour a
infini. Donc on a l'inégalité,
sur T :
et comme
tend vers +OO pour N infini d'après ce
que nous venons de voir après
(13),
nous aboutissons bien à
une contradiction. Ici encore, en utilisant la notion.d'en-
semble maigre, B -
presque toutes les fonctions de L'tr)
ont une série de Fourier divergente dans L'
On connaet un
exemple d'une fonction de
L' (T) dont la séke de Fourier
diverge en tout point.
Par contre, si
18P9(1+IW
est intégrable
sur r
, on démontre que la série de Fourier de
;e
converge
vers &_ dans
L'(r,dsc)
-
* On peut étendre à
s
G L' (r,dz ;
T'), si 7 est de dimen-
sion finie;
mais pas si7
est quelconque.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 518/599
18
soit $ une fonction intégrable sur E? . Son intégrale
de Fourier est définie par (1). Ce qui remplace ici la con-
vergence de la série de Fourier est la validité de la for-
mule de réciprocité de Fourier. en valeur principale de
Cauchy :
(14e")
(a)
Lx fonction c est continue et tend vers 6
ir l'infini d'après
le théorème 1, donc le 2ème membre n'a aucune raison en g&é-
rai d'avoir un sens. S'il en a un. il s'agira en général
d'une convernence non absolue: c'est-même une valeur urinci-
pale de Cauchy, parce que nous avons écritr+ 8
Ln
non A,B++=
_D (ou e,re : il se peut que (14) soit
valable,
mais que
soient des intégrales diver-
gentes).
Le calcul du 2ème membre de (14) est aisé :
+ voir renvoi page
suivante
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 519/599
On est donc encore ramené ti une intégrale de Dirichlet et au
théoreme 2, mais dans des conditions encore plus simples que
pour la série de Fourier,
cl(t)=
him '"2"
car il n'y a pas le facteur
9
qui nous obligeait dans la formule (9) a
appliquer le corollaire du théorème 2, au lieu de ce théorème
lui-même. De ce fait on a immédiatement les résultats analogues
Théorème 4 -
4
Si -j est intégrable surR , le théorème 3 et ses 2
I
corollaires sont valables, en remplaçant la convergence de
z,., par celle de
%
, la convergence uniforme sur A ouR
par la convergence uniforme sur tout compact de A ou deR +*
Mais en outre,
le corollaire du théorème 2 nous permet
de comparer les séries de Fourier et les intégrales de Fourier
de fonctions différentes,
pourvu qu'elles coïncident sur un
ouvert :
_Théorème 2 -
4
Soit p une fonction périodique surR de période 1,
Ilocalement intégrable, et s une fonction intégrable surp.
0
* J'interversion des intégrations est légitime, parce que
Il -e(x) Il
est (d= @&A)-intégrable sur R x[-L,, +L]
(Fubini). (Par contre elle n'est pas intégrable sur Wx W ;
d'ailleurs le résultat avec
l
ZbK'X(cL-¶c) dl
e
serait
dénué de sens, et en général,
comme nous l'avons dit,
n'a pas de sens comme intégrale
ice
de Lebesgue,
z n'est pas d'h - intégrable).
** Cette petite distinction entre la série et l'intégrale
de Fourier est claire. SurT un fermé A
était fermé périodique sur ?R
était compact; ou
encore, si A
la convergence
uniforme de fonctions périodiques sur tout compact de A en-
trakaft
leur convergence uniforme sur A .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 520/599
SuPPosons que 4 et 9 CoIncident sur un voisinap;e A'
I
d'un
compact A de Il? . Alors la différence s,(J) -zL($)
converge vers 0
uniformément sur A , lorsaue L et N tendent
vers + 00 I
Pourvu
aue la différenceIL-N 1 reste bornée.
On a déja vu que,
lpque_a varie sur un compact, le
produit de la fonction $(QWtj( - ,)t par la fonction caracté-
ristique de[O,+j et la fonction -$(F(a+t) + T(a- t)
parcourent des compacts de L' ( IF?- ,a; 7)
; et,
[ A' ,
si 6, est l
plus courte distance de A et de
elles coIncident da
rw>
pour tout a E. A .
Il suffit bien alors d'appli-
quer le corollaire du théorème 2, avec il= Z,TL , k52r(N+5),
H<t) = hnt dans [o,+]
# 0 en deCOrs.
, prolongée par une constante
Remarque - Nous azns pris
2
de période 1, parce que, dans
la définition de (8 ( i\ ; 4 ) , on prend c?-"~'~,
-iAWS
soit
e
avec 0 = 2 r , F = 4
a une période T quelctinque,
. si;
il faut changer d'intégrale de
~o,ur~r,pcyj
Yf :
ou bien garder la même, mais imposer que
reste borné, de façon que 12 _ p 1
reste
borné, avec i\ = (N+$U ,
p= 2JTL.
Remarque 2
- La convergence simple de la série ou de l'inté-
grale de Fourier étant le résultat d'un théorème de démons-
tration non triviale, elle donne presque toujours des formules
remarquables. Reprenons par exemple la formule (94) du fasci-
cule J'Sérle de Fourier"; elle devient, si l'on remplace ?
par "3 ,
et SI l'on prend T = 2X
donc W=-j , la
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 521/599
21
formule (VII,4;43) du chapitre VII,
obtenue à cet endroit par
utilisation du théorème de Liouville.
La formule
+?-a &- J-r
3c z
qui joue partout ici
un rôle essentiel,
a été obtenue en cours de route au théorème
en utilisant le fait que la convergence de la série de
zkrier était évidente pour une constante .$?=1
; il est bon de
remarquer qu'elle est exactement la formule de réciprocité de
Fourier pour $ =
fonction caractéristique de l'intervalle,
1 4
--
2X
;+ 2Yt 1
zisAr/
(47)
c (2) =
J
f$-
-ILxet la formule de réciprocité (14) pour Q,= 0 donne
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 522/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 523/599
Espaces hilbertiens
Ce chapitre ee trouvera ainei déeignd
dane l'édition augmentde et refondue au coure d'analyse
qui paraitra A la suite de oette premibre publication
reproduisant avec quelques corr&ctione
lee coure polycopids de 1'Ecole Polytechnique
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 524/599
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 525/599
g 1 FORMES SESQUILIN~AIR,ES
Définition : On appelle application semi-linéaire ou anti-
linéaire d'un espace vectorielle dans un espace vectorielF
une application 4.~ vérifiant :
Si le corps des scalaires est R
, semi-linéaire cofn-
cide donc avec linéaire.
SoitE un espace vectoriel. Unelfonction scalaire B
sur È x E
est dite sesquilinéaire
, si elle est linéaire
par rapport à la première variable et semi-linéaire par rap-
port à la deuxième :
a) pour
$ fixé, z-
B C;c,%) est linéaire ;
b) pour x fixé, T-
BCG%)
est semi-linéaire.
"
Cela se traduit donc par les relations :
Si le corps des scalaires est R , cela veut dire queB
est bilinéaire.
1 Il semble qu'on écrive avec un
trait d'union semi-linéaire,
anti-linéaire,
ndaire,
et sans trait d'union bilinéaire, multili-
sesquilinéaire .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 526/599
2
On dit Qu'une forme sesquilinéaireB sur Ë x Ë
hermitlenne, si l'on a
est
(plr,f i 3)
B G+ = B(j,Z)
Lorsque le CO~US des scalaires estR , cela revient à
dire aue B est symétriaue. [ Sur @ , une forme sesquillnéai-
re,ne pourrait pas etre symdtrique sans être nulle, alors
qu une forme bllindaire ne pourrait pas être hermitlenne sans
être nulle ; autrement dit, la notion d'hermiticlté est adap-
tée au caractère sesquilinkaire,
celle de symétrie au carac-
tère billndaire. En effet, si B est sesquilinéaire,
et si
B(%,3)= B(;d,%)
fixé, est a la fois
l'application Z-
linéaire et semi-llndaire, alors, po r
(S ?j) pour 1
toutS,B(+= B(-i(LT,),j)-+;B(i'C'
,'d' = 01 .
Si B est hermltienne,
le développement de B(Tt+ -
prend la forme particulière :
y pc+-1
Y
Par ailleurs :
(Z,mr,~:3lu~
B (=.j,“-$xB(T,S)t Bq$
En additionnant et soustrayant, on obtient
-%&B(3i,$
THEOREME (2,XxX,1:1).
SoitB une forme sesauilinéaire sur un espace vecto-
rIelE sur le corps @ . Pour qu'elle soit hermitienne, il
faut et il suffit que, pour tout2 deË. B (2.;) soit réel.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 527/599
3
DEMONSTRATION :
Si
B
est hermitienne, B(x,z) est son propre com-
plexe conjugué, donc est réel.
Inversement,
s'il en est ainsi,
B(T ++,%+j),B (%,z)
et BqyP7j) sont réels, et alors :
Y
(2,xM,l;4)
B(%+$-,+j) =
B(%,;J+ B($,$)
t B(S&Tl + B(ij,r)
montre que
(2,fxIT,1; 5 1
B(S+) + B(ïj,Z) = o( réel ;
en changeantz en iz , on voit que
WLXD;1;6~ i ( B(z$ - B(Y,El) = j3 réel ;
donc
sont complexes conjugués, et B est hermitienne.
Cqfd
:EMARQUE
Il n'y a rien d'analogue lorsque K- R.
THEOREME (2,XXII,1;2)
si IK est le corps c , une forme sesquilinéaire B
4
sur
Exl?
est entikement determinée par ses valeurs sur
-c
la diagonale de Ë x
E
, autrement dit par la connaissance
de la fonction x-
A
B(X,z)
.ZEE . Ce résultat
ne subsiste pas si D( = R , mais reste vrai siB est sup:
posée symétrique.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 528/599
DEMONSTRATION :
Un développement direct donne, pour K - @ :
d'où le rdsultat.
Rien de tel ne subsiste si K = R . Par exemple,
SI E=&, la forme bilinéaire
((=%y*' > (%,yb-t'l
- "i-yz-
=z y,
est nulle sur la diagonale, mais non
[Four B( = R
identiquement nulle
une
forme
bilinéaire B nulle sur la diagonale
s'appelle alt&ée, et on montre aisément que B est alternée
si et seulement si elle est antisymétrlque,
B(Z,T$ =- B($& ] .
Alors
Mais supposons B symétrique
(2,XXII,1;4 donne
sur la diagonale.
QxlI,1;9 1
2 B(;c’,T) = BCz+ij,Z+$ - B(F+)- B(â,ij)
ce qui détermine B , cqfd.
Définitions :
ËXË
Une forme sesauilinéaire hermitienne B sur
est dite positive
30) f
toutzEË.
SI B(Z,Z)&o Dour
Pour IK-
C,“B& 2) ao pour tout; EE" entraine
l'hermiticité, d'aprss ie théorème (2,XXII,l;l), et il est
donc inutile de mettre cette hermiticité dans
mais Il n'en est pas de même pour M=R,
les hgpoth&ses;
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 529/599
5
I
Remarquons
aussi que B(hz,hz)= 2% B (z,;),
2x3 0 ; c'est ce qui permet de faire cette hypothèse de
positivité, au'on ne pourrait pas faire pour une forme
hIlinéaire lorsque o( =@ car alors B(lS,;l?&)- k B(s,%)
ne resterait même pas toujours réel (voir déjà ce qui est
dit apr&s (2,xx11,1;3) )] .
La forme sesquilindaire hermitienne B est dite ddfinie
positive si 3 (X,s)So pour 3 60 .
THEOREME
(2',XXII,l;3) (Inégalité de Schwarz)
Si B es.t une forme sesqullinéaire hermitienne 20
sur F x
Ë
, on a l'inégalité :
on a même l'inégalité stricte 4 ,
si
B
est défin-ie nosi-
tive, à moins que z etz ne soient dépendants.
0
DEMONSTRATION :
Supposons d'abord simplement 830 q
On a :
ce
Soit B(E,$)= hue , h ,IB(SC,Tj)( . Posonsa = te
;e
,
t réel ; alors
(2JxlI,lj12)
j(t)= a+2&t+
d2= B(;c’,?E,+Zt\B(S ,y)I + t’B(y,j)30.
Nous avons donc un trinôme du deuxième degré à coeffi-
cients réels qui est toujours > 0
; donc il n'a certai-
nement pas deux racines réelles,. et par suite CGC-&'& 0 ,
ce qui est exactement (2,XXII,l;lO).
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 530/599
0
si z et 7
sont. dépendants, ou bien $ = ci
, ou
bien s = k'
sont alors 8 aux. Nous allons montrer que c'est le seul cas
'
&E E ; les deux membres de (2,XXII,l;lO)
d'kgallté, si B est ddfinie positive.
Supposons donc 3 + 0
pour tout 3 E C .
et en outre queZ+ 1' * Z
Alors le Premier membre de
n'est jamais nul, f(t)
(2,Xx 1,l;ll)
4
ne s'annule jamais pour t reel,
donc ad- -&'z 0 , c.q.f.d.
g 8 ESPACES PRl%IILBERTIENS
Definition : On appelle espace nréhllbertien un espace vec-
toriel muni d'une forme sesauillnéalre hermltienne&O
.
En gkndral cette forme se note(%,q)--,
ou (Zlj)Ë
'"&J ,
s'il est utile de spécifier l'espace E .
THEOREME (2.xX11.2:1) (MINKOWSKI)
On a l'inégalltd
Autrement dit, z - (ZI~Pest une semi-norme.
En outre, si la forme hermltienne est definie positive,
on a tOUjOUrS l'inégalité stricte 4 , à moins que l'un des
VSCtSUFS g.'U ne Soit DTOdUit de l'autre Dar un scalaire80
DEMONSTFiATION :
Elevons au carré ;
nous avons a démontrer
(2Jxu.2;2) (ztyz+y, a(~lZ)t(jl~)+ 2 (Z I r)hq lj,""
Mals le premier membre se calcule par (2,XXI,1;4), avec
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 531/599
7
Cela équivaut donc a montrer que
(2p,2j3)
C'est donc une consdquence immédiate de l'inégailtd de
Schwarz. En outre, on a nécessairement < lorsque la forme
est définie positive, sauf si, d'une part, on a l'égalité
de Schwe?z,
c'est-à-dire sis et 7 sont dépendants, et si
d'autre part I(zly) 1 = & (z/y),c'est-h-dire si(r \$)
e
t réel 2 0
1
. c'est-à-dire si- -0 ou z, .&'
réel&0 . 6.q.f.d.
?b
7
Ainsi un espace prehilbertien Ë est semi-normé;
nous
écrirons (G Iff)"/"= Il z ll.Ë est normé si et seulement
s'il est séparé ;
cela se produit si et seulement si
c'est-à-dire si la forme herml-
L'inégalité de SCHWARZ s'écrit donc :
REMARQUE :
Soit Ë un espace vectoriel muni d'une semi-norme
notde 11 1
Alors on peut reconnaître si cette semi-nor-
me provient ou'non d'une forme sesquilinéaire hermitienne, et
celle-ci est alors positive et unique. En effet, pour celà,
il faut et il suffit, d'après (2,xx11,1;8), que la fonction
surË y Ë:
(%XX&2;5)
G?j’
pour IKL Q , ou d'après (2,XXII,l;g), que la fonction sur
(2plW6)
Gpj, - -
( IL+3 112-F
pour IK = R ,
soit une forme sesquîlfnéalre
hermitienne,
et c'est alors la forme cherchée. Autrement
dit, on peut
IF- II 7 ll” >
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 532/599
changer nos définitions comme suit : un espace vectoriel
muni d'une semi-norme est dit préhilbertien si cette semi-
norme provient d'une forme sesquilin&ire hermltienne, qui
est alors nécessairement > 0 et unique.
Definition : L'expression(riy) s'appelle produit scalaire
dei et y . On dit que y est orthogonal à S? si(jc/<)= 0;
0
à cause de l'hermltlcité, z
est alors orthogonal à q , et
on dit aussi que 2 et? sont orthogonaux,
"
COROLLAIRE :
Le produit scalaire(~,YI~(~lu)est une forme sesqui-
linéaire continue ; sa norme est 4 pour E s6paré non ré-
duit à son origine.
DEMONSTRATION
D'après l'in6galité de SCHWARZ,
on a I G 1?)I 611 XII II~II,
donc la forme sesqullin6aire est continue, d'après le th6o-
rème 52 du Chapitre XIII , démontré pour des formes bili-
néaires et manifestement vrai aussi pour des formes sesqui-
linéaires. Si E est séparé, 11 11 est une norme, et la
même inégalltk montre que la norme de cette forme sesqui-
lin6aire est S 1 ; -i E n'est pas réduit à son origine,
Il existe z # ii ,
et alors (alb) = II a 11%montre que
la norme est exactement 1 .
Soient S, ,;C, ,...,G,,EË.
On a
II
,+z2+
Alors si les z
“. +s, Il%=1, Ilt+. +II<,l%+ j <ST&cà
; sont deux à deux orthogonaux :
II2, c zz f . . . ~J=~l~,IIL+...+II z, II’
, et ceci est connu
sous le nom de Théorème de PYTH%AGORE.
Définition
: On apuelle espace hilbertien ou espace de
Hilbert un espace prhhilbertien Ê , séparé et ?omglet pour
la metrique d&lnie par la semi-norme ïk-..+
12 Ii= (;c'lZ j':.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 533/599
9
Un espace de Hilbert est donc encore un espace de
Banach, dont la norme provient d'une forme sesquilindaire
hermitienne, ndcessairement dbfinie positive et unique.
THEOREME 1- (2,XXII,2;2).
Soit Ê un espace préhilbertien séparé. Alors son com-
A
plété Ë est un
espace
hilbertien et son produit scalaire
prolonge celui dec .
DEMONSTRATION :
,,+ Nous avons vu au corollaire du théor>me (2,XI,4;1)
que
E
a une structure canonique d'espace de Banach. Mais
alors la fonction continue définie Qar (2,XXII,2;5 0)~ 6),est
sesquilinéaire $erm$tienne sur E x Ë dense dans
LE
donc aussi sur EX Ë par continuité. C.q.f.d.
Q 3 LE THfiORl lME DE PROJECTION
On a défini (Chapitre IX, 9 21, dans un espace métrique
E ,
la distance d'un point d à une partie fermde
F
par
~<CL; FI = ‘;fF d(a,z).
Définition :
Soit
F
une partie fermée de E et (x/ E E . Une
projection de LL sur
F
est un pointd E F tel que
d(a;oc) = CL(~; F).
En général un point n'a pas forcément de projec-
tion sur un ensemble fermé, ou peut en avoir plusieurs.
Nous avons déjà donné des exemples de ces possi-
bilités après le théorème (2,IX,3;2); celui-ci en même temps
nous indiquait qu'il existe toujours au moins une projection
si, dans E les boules fermées sont compactes. Dans un es-
pace hilbertien de dimension infinie, les boules fermées ne
sont sûrement pas compactes donc le théorème (2,IX,3;2) ne
s'applique pas l il existe toutefois un autre théorème, basé
sur la notion dé convexité :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 534/599
10
THEOREME 2,XXII,3;1)
SolentE un esnace hilbertien et F une nartie fermde
convexe non vide de
Ë
. Alors chaoue noint de E a une nro-
jection et une seule sur F .
DEMONSTRATION
Nous nous appuierons sur un lemme :
Lemme de la mediane
Soient z, $,e,trois points d'un espace préhilbertien.
On a, six est le milieu de [x0] :
La démonstration du lemme est kvidente ; en posant %-;i=s,
z-x
-q )
2
on retombe simplement sur (2,XXII,l;3 qnarto).
Montrons maintenant le théorème. Soit d=&(a.F) .
Soit 2, ,z, ,..., ï7 *,... une "suite minimisante", c'est-a-dire
que d(Q,zw)tende vers d, pour n infini. Appliquons le lemm
de la mddiane aux trois polnts$'Cm,r,, ;
on a :
Les deux premiers termes du deuxième membre tendent vers d
pour m,n,inflnls ;
mais F est convexe, donc
3E,+ r,
est
- - 24
dans F ,
et par suite d(Z, -;=y~ a
; donc le deux
me membre a sûrement une limite supérleure~c,et, comme Ilesta
iltend vers 0 pour m et n infinis. Ainsi toute suite minimi-
sante est une suite de Cauchy. Comme E est supposé complet,
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 535/599
11
elle est convergente ;
dansF
comme F est fer&e,sa limite 7 est
l comme la distance est une fonction continue,
d(Z,;J)Ld, 2 est une projection de ?% sur
F
. Il ne peut
exister qu'une projection ; car, siai etB sont deux pro-
jections,
la suite S,jS,Z,a,<, j$,.- .,
est minimlsante,
donc convergente, et s= p . C.q.f.d.
REMARQUE :
SI F n'est pas fermée ou n'est pas convexe, ou SI E
n'est pas complet, la conclusion ne subsiste en général pas.
Toutefois elle subsiste manifestement pour È préhilbertien
si l'ensemble convexe F est supposé séparé et complet.
Nous allons donner maintenant une caractérisation de la
projection :
THEOREME (2,XXII,3;2)
Soit F une partie fermée convexe non vide d'un espace
hilbertienÊ . Alors siz est la projection de x ê f surF
on a pour tout z E F : IRe (Z-XI Z-Z) 4 0 ; et ceci
est caractéristique de la projection.
.
DEMONSTRATION :
Par translation, on peut supposer G =
0
; la relation
s'écrit alors 0k(SZ) SO.
Si &(dIz)SO pour tout XEF , on aura
IIz-q2= u z 112-
z of45 cd 1z, + 11s 11% 11TE 11"
pour tout II ZII#a
de F et ;=Ô
est bien la projection
de 2 sur
F .
Inversement, si 2
=o est la projection de z sur F ,
on doit avoir,
puisque F est convexe et que par conséquent
tX )
o=st<1,
est dans
F
dès que 2 est dans
F:
11z - tzit II” a 11 %1”
pour tout Z ET et tout tE[O,I];
dort -zt&(aIE)+ t”l~~lfao r>oursEF ettE [O,I].
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 536/599
12
Fixons 3c: .
Si 6% (Zl Z) était > 0 , cette quantite
serait sûrement < 0 pour t suffisamment p
6?
etit ; donc
&(oilg) est bien G 0 . C.q.f.d.
P3MARQUES :
1) Cn peut donc dnoncer :
Si E est hllbertlen, si F est fermé convexe
dam Ë , et Si a
EË
, il existe un Ô? unique dans F tel
que, uour tout z de F , on ait :
& (Z-o;1
G-3) SO
2) Supposons que le corps des scalaires soit R . 11
est alors habituel de poser
GI$)
=ca50,
II g II
0 l'angle des vecteurs z,y .
II y Il
et d'appeler
Alors le théor5me précédent
s'interprète en disant que l'angle de 2-G
-t s-7 est
obtus (ou droit pour tout z de F .
VARIATIONS de la PROJECTION LORSQrJEa OU FvmIEîdT.
THXOREME (2.xX11.3:3)
Soient E un esnace hilbertien,F une partie fermée
convexe non vide de 2 .
L'application qui, à chaque point2
de È , fait correspondre sa projection z S?ur F , est
continue de7 sur F .
DEMONSTRATION :
SolentZ,$EË et Z,$
leurs projections sur F . On
a, en appliquant le lemme de la médiane au triangle x,$,3,
et en se rappelant que,
-Z+j$
par suite de la convexité de F,
-rF donc cw d(z,q)a d(&,F):
2
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 537/599
13
Nais, d'après (II,g;l) (actuellement au Chapitre IX.,, $ 2),
d$,F) P d
6,F) - d (a,&
Si d(a,F)s d(a,$)
, on aura
(2,.XX&3;4)
1 &=(;y,$) s (d(q;> + d(z,F$S 4d2(d,h;
2
Si
d(ifi,F) 9 d(&%
, on aura
(Z,xxn,3:5)
+ d2(;,1j) G (d(ii’,FJ t d(ajb)‘-(d(a,F.b d6,h2
= 4 dG,+ d(2.x) ;
dans touzles cas,
wqh
tend vers 0 , pour a fixé,
lorsque k tend vers x , c.q.f.d.
Faisons maintenant varier F .
THEOREME (2,XXII,3;4)
soit
Fe > F, >. . . F;, ,...
une suite décroissante d'en-
sembles fermés convexes d'intersection F non vide, d'un
espace hilbertien
Ë
. Ddsignons par ?- la projection d'un
point a sur Fn . Alors, lorsque n. tend vers l'infini, les
points 7%
convergent vers la projection z de a sur l'in-
tersection
F ;
et d(d,F,) tend vers d(Z,F).
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 538/599
14
DEMONSTRATION :
hrswe n augmente, l'ensemble F, devient plus petit
9
donc la dJstance
d
n
des 2.F
Il, eugmente ; cependant elle
est toujows il,férieure à la distance d de 2 à F ; donc
la suite des nombres d,
est bornée et croissante, et con-
verge par conséquent vers une limite JE d. 11 en résulte
en particulier que les différences dm- d,,
ccrnvergent vers
0 lorsque m et 1% tendent vers 00 . Appliqucns alors le
lemme de la rnédizne aux trois points 2 zwx,?
xm + 3,;
IL
, en sup-
posant 7131~ . Comme le point
2
appartier,t à l'en-
semble convexe F, on i: l’inégalité
et par suite la majoration
Elle prouve qw? la suite des TK
dans Ë .
est une suite de Cetichy
Celui-ci étant complet, elle cor.verge vers une limi-
teoi .
Comme tous les F sont fermés,
0; 'pp2rtlent 2
chaque t,, donc Ei
F . Alors d(a,Gî)
est la limite des
d(x,i?,J = d,,
,
donc est égale à 6 ; mais par ailleurs
o( EF
donc d(X,G?)> d 3 6 . CI-: a donc nécessai-
rement
d =’ S ,
c.q.f.d.
et z est la prc,jection de a sur F ,
REMARQUE :
Si F est vide,
n'existe ~1~s.
le résultat r.e subsiste plus, puisque;
Toutefois il reste vrai que
d,., converge
vers + 03 > distance de 2 à la partie vide.
En effet, s'il
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 539/599
15
n'en était pas ainsi, les d, seraient bornés, donc auraient
encore une limite 6 finie, comme dans la démonstration ci-
dessus. La même méthode montrerait alors que lesai, ont une
limite 2 G F , ce qui serait absurde puisque
F
est vide.
TI-EOREl'E (2,XXII,3;5).
Soit F, > E, , , .
l
, Fn ,. . . , une suite croissante d'ensem-
bles fermés convexes non vides d'un espace hilbertien Ë ,
et soit F l'adhérence de leur réunion. La projection;,,
d'un point; GÊ sur 5, converge, pour n tendant vers +or,
vers la projection z de z sur
F
, et
d
(z, F,) tend vers
d(%F).
Dl34ONSTRATION :
Cette fois-ci, la suite d,= d (a,Fn) est décroissante,
et a donc une limite 6 2
dz
d(&,F). Mais ici on voit direc-
tement que S= d . En effet, soit 2 la projection de a
sur F . Puisque F est l'adhérence de U F
Il.&0 n
, il existe,
pour tout & > 0 , un entier rt et un point z, de F, tel
que
11 -qx II d e
; alors d, < d(Z,Sil < d (R,< I+&=d+&;
donc 65 CL + & , et,
& étant arbitraire, 6 5 d, donc 6=&.
Ensuite, le lemme de la médiane montre, comme au thdoréme
précédent, que les qw ont une limite z . Tous les Fw sont
dans +$JO Q ,
donc q est dans l'adhérence F de cette
/
réunion. Et comme d <Ü?,z) est la limite des k(z,z)= d,,
c'est d, 3 donc z est la projection de z sur F ;' c.q.f.d.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 540/599
16
s 4 APPLICATIONS AUX SOUS ESPACES VECTORIELS FERMES
D’UN ESPACE HILBERTIEN
THEOREME (2,Xx11,4:1).
Soit 7 un sous-espace vectoriel fermé d'un espace
hilbertien Ë .
Pour tout point â
de E , si4
est sa
projection Sur F,[z,~] est l'unique perpendiculaire abaissée
de x sur F .
DEMONSTRATION
Un sous-espace vectoriel fermé est ferme convexe, on
peut donc appliquer les theorémes précédents.
Pour que 0; soit la projection de z , il faut et il
suffit que, pour touts de 7 , on ait : &(a-2 (s-z)&o.
Mais, puisque F est un sous-espace vectoriel,
dans F
siZ varie
, % -2 prend comme valeurs tous les éléments de 7;
cette condition est donc équivalente à
pour tout 2 de F .
: æe (Z-Zl5E)=s 0
Mais, sis est dans F ,-z y est
aussi ; les quantltds précédentes ne peuvent être toutesGO
sans être toutes nulles ; enfin2 ne peut être dans F sans
que ir‘ y soit aussi, de sorte que celà équivaut finalement
à : (z - 2 2)~ 0 pour tout z de ? . Donc z est la pro-
jection,
- -
si c seulement si a- o( est orthogonal Èr tous les
vecteurs de
F
nal à i' .
> ou,
comme on dit plus simplement, orthogo-
REMARQUE :
Bien sûr, 2 peut être dans
F , alors ; = a.
COROLLAIRE :
Soient
E
un esuace hilbertien, F
un sous-espace vec-
toriel de
Ë
. Pour que F soit dense dans Ë , il faut et
il Suffit qu'il n'existe pas de vecteur non nul orthogonal
.F-
ar .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 541/599
17
DEMONSTRATION
Si7 est dense, un vecteur orthogonal à F est ortho-
gonal à l'espace entier, donc à lui-même, donc nul. Si F
--c
--ç
n'est pas dense, F
est fermé +E ; siZ 6 F , et si
2
z
est sa projection sur
F
,Z-ai est un vecteur non nul or-
thogonal à ? .
DEFINITION
On dit qu'un vecteur z
de E s'il est orthogonal à
deux parties 5 F, sont
l'une est orthogonal a tout
est orthogonal à une partie F
tous ses éléments. On dit que
orthogonales, si tout élément de
élément de l'autre. On appelle
orthogonal- d'une partie.
F ,
et on note
F
t
, l'ensemble des
eldments orthogonaux à F .
+
4
L'orthogonal d'un élément
cx de E est le noyau de la
forme lineaire z--+ (g 2);
f
un hyperp
I
c'est donc, d'après le thdorème
an fermé,
sauf si cette forme lindaire
est identiquement nulle,
ce qui ne peut se produire que si
a,
Ô
(puisque (& 1 zd,= 0 entrarne Z =T ). L'orthogonal
F+ d'une partie F est donc toujours une intersection d'hy,
perplans fermés, donc est un sous-espace vectoriel fermé de E.
Par ailleurs un vecteur orthogonal à des éléments est
orthogonal à leurs combinaisons linéaires, donc tout vecteur
orthogonal à F est orthogonal au sous-espace vectoriel engen-
dré par F ;
mais aussi à son adhérence, par passage à la
limite. Finalement l'orthogonal F+ de F coyncide avec
-* ---,
l'orthogonal q+ de G , adhérence du sous-espace vectoriel
7 engendré par F .
THEOREME (2,XXII,'+;2).
Soit 7 un sous-espace vectoriel fermé d'un espace hil-
bertienË.
-L
Alors F et son orthogonal F+
sont topologique-
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 542/599
ment suualémentaires. Le projecteur de E sur F parallèle-
lement à
F’
est l’auplication qui, à tout 2 de E , fait.
correspondre sa projection sur ? ; on l'appelle aussi le
pro.lecteur orthogonal de E sur F . Sa norme est
1
si F
n'est pas r&uit à 401.
DEMONSTRATION
L'intersection de F et F+ est réduite à 0 , car
tout vecteur de cette intersection est orthogonal a lui-même.
Ensuite, si ;r. E E , et si? est sa projection sur F sui-
vant le th&@me de projection~(2,XXII,3;1).~-F est or-
thogonal à F
, (T (2,$11,4;')) donc dans F+ , et alors
la déczposition z={ + (g-1) montre que F
-+
et F
engen-
drent E ; donc ils sont algébriquement supplémentaires. Pour
démontrer qu'ils le sont topologiquement, nous devons montrer
(théorème T (2,xx+II,1;3)) que le projecteur de È sur 7 pa-
rallèlement à F est continu ; or c'est le théorème
(2,xXII,3;3) ;
ou encore d'après le théorème de Pythagore,
IIr II"= nTII"t 11=G- ij 11' donc I(x 11g 11 z )( , donc ce
projecteur est
Continu
et de norme < 1 . Il est en fait de
norme 4 , sauf si F est réduit à { 0 }
on a y= 33. c.q.f.d.
, car, pour ~CE F
REMARQUE :
Ceci montre en particulier que l'application G--+
r.
qui I
à chaque 2 de E ,
fait correspondre sa projection
sur F , est linéaire.
COROLLAIRE 1
Si F est une partie quelconoue de E , l'orthogonale F"
=
de son orthogonal F+ est l'adhérence G du sous-espace vec-
toriel G engendré par F ; c'est donc l'adhérence de F si
F est un sous-espace vectoriel, et F elle-même si F est
un sous-espace vectoriel ferme.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 543/599
DEMONSTRATION
--t
Puisque F+= G+
z
, on a F++= Cj ++
, et nous avons
simplement à montrez que,
si F est un sous-espace vectoriel
fermé,
+++
onaF ,F .
Or bien évidemment F++ contient ?
-+
d'autre part tous deux sont supplémentaires de F
donc ils
coïncident.
C.q.f.d.
COROLLAIRE 2
soit (q, c Ei
, une famille de sous-espacesvectoriels
fermés de E . L'orthogonal de la réunion ;lJ1q est l'in-
tersection ;?I F+ des orthogonaux ; l'orthogonal de
l'intersection
.(QI c
est l'adhérence du sous-espace vec-
toriel engendré par la réunion
des orthogonaux.
DEMONSTRATION :
Dire quez est orthogonal à
, c'est. dire
qu'il est orthogonal 4 chaque
donc appartient à chaque
; donc trivialement
Ceci
serait même vrai si les 5
étaient des parties quelconques
de Ë .
Il en résulte que l'orthogonal de& ?;+ estiLQI ?'+
c'est-à-dire
;2I c.
si les rti
sont des sous-espaces vec-
toriels fermés (corollaire 1) ; autrement dit, si F= U c+
ona ;E,c== F+
(;$,K )+= F ++
ijix
; alors
est bien
l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par 6
corol-
laire 1).
c.q.f.d.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 544/599
20
REMARQUE :
Ce resultat est normal ; l'orthogonal de
ne peut pas être ;y1 <+ , ce qui n'est en général pas
un sous-espace vectoriel et n'est pas fermé.
COROLLAIRE 3
-+
Soient 2 un eswce Drehllbertien sér>aré, F un SOUS-
ESDaCe vectoriel, Z un esnace vectoriel tonologipue complet
9
u une apDllcation lindaire continue de F dans z . Alors~
se DrdonKe en me aDDlicatiOn linéaire continue u de Ë
dans G ; en Outre, si G
est
normé, on Deut la choisir de
façon quel tLII = 11w 11
DEMONSTRATION
On peut toujours supposer E hilbertlen (car s'il ne
l'est pas, on démontrera même qu'on peut prolonger
complétd hilbertien).
à son
Ensuite le théorème de prolongement
(T 2,XI,2;4) (étendu aux espaces vectoriels to ologiques,
voir compléments à la fin du Chapitre XVII,
§ fk
permet
d'emblée de prolonger ,LL à F , en conservant sa norme sic
est normé ; donc on peut supposer F fermé (et dans ce cas
?f n'a plus besoin d'être supposd complet).
l'espace hllbertien E ,
Alors, dans
le sous-espace vectoriel fermé F
a un supplémentaire topologique ?+ . Donc on peut prolonger
u.enZ,
-+
en donnant à & la valeur 0 sur F (corollaire 2
de (T 2,XVII,1;51) ; pour (%+ 3)Ei-i ,~EF
++
on aura Z (Z+
> ;EL
â) = u(G). Alors, si q est norme :
(xxlL4;~) 11 -z 11 52 11AA-1
mais comme trivialement 11U 11 2 II ti 11
.
C.q.f.d.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 545/599
21
REMARQUE
En prenant c= IK on voit que le théorkme de Hahn
Banach (par exemple corollaire 2 de (T 2,XIX,?;l) est trivial
pour les espaces préhilbertiens séparés. Voir aussi la
remarque 1 qui suit le corollaire 12 du même théorbme.
Bien entendu, le prolongement z n'est pas unique en
général,
si7 n'est pas dense dans E .
ufl sous-espace vectoriel fermé 7 d'un espace
hilbertien E est hilbertien quand on le munit de la forme
sesquilinéaire induite, puisqu'il est séparé et complet.
Corsidérons maintenant le quotient Ê/F ; le
théorème T (2,XVII,6;4 nous indique qu'il est un espace de
Banach, relativement à la norme quotient. Nous allons voir
qu'il a une structure hilbcrtiennc, dite structure hilber-
tienne quotient. Soit, en effet F' l'orthogonal de r ;
il est supplémentaire de ? , donc la projection canoniquen
deË sur Ë/F
est me bijection linéaire de F' sur
E/T;
,
elle permet donc de transporter la structure hilber-
tienne de ?SIX
Ë
/ F. Autrement dit, peurs
nous poserons par définition ($ 1 ;)= rgl<)
est l'unique élément de F+
appartenant à la classez (respi$).
En fait on aura
mëme (z 1 Tj) = ( ZB 1Yj?),4;ême Si un sed
des
est dans
F
; soit en effet
dans p donc orthogonal à F+
Pluni de ce produit scalaire, est hilbertien, puisqu'il
est exactement isomorphe à F . La norme (z 1 z)
cette structure hilbertienne sur E
/F
est exactement la
norme quotient 11-Fc 11 ddfinie par le thdorème T (~,xvIII,~;~
en effet Ii& 11 est la borne inférieure des normes des 2 E g
c'est donc la distance de l'origine au sous-espace affine x
de Ë ,
parallèle à
7;
d'après les théoromes T (2,XXII,3;1)
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 546/599
22
etT (2,xxII,4;lj, c'est exactement
projection orthogonale de l'origine
la norme // z I( de 1,
sur le sous-espace af-
fine SS ,
c'est-à-dire la norme de l'unique élément z de%
qui appartienne B F'
Nous avons donc démontri ceci :
donc aussi (El %.i/l OU (2 1 z$&.
THEOREiW T (2,xX11,4:3)
SoientË un espace hilbertlen, F un sous-espace vec-
toriel fermé. Le quotient Ë /F , muni de sa structure
canonique d'esuace de Sanach, est hilbertien ; la bijection
canonique de F'
sur E
/ F
tures hllbertiennes.
est un isomorphisme des struc-
REMARQUES :
La démonstration a mis en evidence les 2 faits supplé-
mentaires suivants :
l"/ D'aprk la definition de la norme quotient,
la nor-
me de 5 E E/F est la borne inférieure des normes des:Es;
dans le cas présent,
cette borne est atteinte par l'unique
point= de & qui soit dans -i+.
2"/ Pour z E F
++ -.a -
ona (E
.yE 1
1 $=G I
ou pour S e
Ë
, T e F',
9,.
$4 5 DUAL D’UN ESPACE HILBERTIEN
Soit Ê un espace vectoriel normé. Le théorÈme (T 2,X111,
5;l: établit une bijection linéaire continue 1
l'espace des formes bilineaires continues sur
P
;dpisc&~; de
l'espace des applications linéaires continues de
Ë
dans son
dual El (voir remarque 1 après la démonstration du théorime).
Une simple modification permet d'établir une application bijec-
tive lineaire isométrlaue4.6
-+U de l'espace des formes sesqui-
linéaires continues surE,E sur l'espace des applications
anti-linéaires continues de E dans
F .
Redonnons cette
correspondance. Si 4.i est une forme sesquilinéaire continue
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 547/599
23
sur E
XE
,U une application antilinéaire continue U
dez dans Ë , la correspondance entre AA et
U
est définie
par :
le dernier produit scalaire etant celui que nous avons défini
entre un espace-vectoriel normé et son dual :
LZË.
Partons de U, pour
9
donné, U(q) sera la for-
me lin6aire continue~-tu(~-c)sur~ c'est donc bien un dlément
CL
dep*Comme, pour z fixé,u.(z)T)dépend anti-linéairement de y,
et que <z,lJ (y)>dépend linéairement de U (j) , u(a) doit
dépendre anti-linéairement de 3
-Y '
donc U est une applica-
tion antilinéaire de r dans E’ . En outre, en fixantZ,T,
on voit que ti A U
est linéaire ; et nous savons que
I I A4/ I I ‘ I I u I I l
Pour que U soit injective de Ë dans E) , il faut et
il suffit que U (5) =Timplique
y= 0 ; mais U (“a)=0
signifie-que u (z,T)= 0 pour tout= ; donc U est injec-
tive+de E dans
Ê
si et seulement si le seul élément-
de E vérifiant ti(z,?J= 0 pour tout 2 deË
est 3=
Y+
0 )
c'est-à-dire si ti est non dégénérée. On peut alors se deman-
der quand u est bijective :
TREOREME (T2,XXII,5;1)
Si & est une forme sesquilinéaire continue non déaénér6e
sur un espace vectoriel normé
Ë
, l'application linéaire
continue IJ de
Ë
dans Ê qu'elle définit par (2,XXII,5;1)
est une bijection antilinéaire bicontinue (c'est-à-dire un
1 La remarque 2 après le théorème (
2,x111,5; 11 nous in-
dique qu il y a deux manières de définir une bijection
telle que k4 _3
u ;
c'est précisément la deuxi&me que
nous prenons
ici.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 548/599
24
mti-isomorDhisme) deË sur
E’ , au moins dans les deux
cas suivants :
1)
2)
È
est de dimension finie ;
-4
E est un espace hilbertien, 64, est le
DrodUit sca-
laire de sa structure hilbertienne ; alors U est
en outre une isométrie de E sur Ê' .
DEMONSTRATION :
1) U étant injective, elle est sûrement bijective siE
est de dimension finie, puisque El a la même dimen-
sion. Elle est bicontinue puisqu'on est en dimension
finie.
2) Soit E un espace hilbertien, et A.& la forme produit
scalaire &L(X,?) = (ST 17) . Montrons donc que
U
est s2fjectlve. Soit donc (IT un élément #z?? du
dual E’ . Alors le noyau de la forme lindaire conti-
nue $ est un hyperplan fermé < de Ê . Puisque Ë
est hilbert?n, il existe un vecteur non nul7 or-
thogonal à H (corollaire du théorEme_T (2,XXII,4;1));
alors la forme linéaire continue sur E
a aussi le noyau H ,
:Z+<;CI$
àz,
donc elle est proportionnelle
ce qui montre bien la surjectivitd de U . Alors CJ
est bljective de
est antilindaire
ment dit IlU($)II~II
donc U (y] II> 11T
-
et
U
est une isométrie de E sur
est sussi continue. c.q.f.d.
SI E est un espace hilbertien.
-,
E-
et alors
U-’
le produit sca-
laire se note une fois pour toutes
alors l'anti-isomorphisme
U
de Ë
se notera
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 549/599
25
une fois pour touteâsous la forme
y-5 ;
cela s'écrit
(2,XXlI,5;2)
bien distinguer ( 1
) > produit scalaire sesquilinéaire
sur Ë X Ë
, de 4 , > ,
produit scalaire bilinéaire sur
Ë
x El.
COROLLAIRE 1
Un espace hilbertien est anti-isomorphe à son dual (en
tant qu'espace de Banach).
COROLLAIRE 2
Toute forme linéaire continue 2 sur un espace hilber-
tien Ë s'écrit d'une manière et d'une seule sous la forme
du produit scalaire avec un élément fixe : 2
-(Llij):
COROLLAIRE 3
Le dual E’ d'un espace hilbertien est lui aussi hilber-
tien. Son produit scalaire est le. complexe conjugué du
transporté par l'anti-isomorphisme canonique :
DEMONSTRATION :
Puisque,
en tant qu'espaces de Banach,
E
et Ë
sont
anti-isomorphes,
El
est hilbertien comme
Ë
. Son produit
scalaire est défini à partir de sa norme par la formule
-c c
(2,XXII,2;5) ; on a donc,
compte tenu de ce que s+ i--X -i-s
Y- Y*
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 550/599
-il1 Et$@)= (slr>< , c.q.f.d.
REMARQUE
On ne pourrait pas avoir (5 I;)6=(Z 1 j)r car le
deuxigme membre est linéaire en2 et anti-linéaire en 5
donc anti-linéaire en E et linéaire en
c
au premier.
Y '
contrairement
Fuisque il est hilbertien, il y a un anti-isomorphisme
canonique 5-7 de
Ë’
sur
Ë’
; pour?&'=%eË',
$eË
, on a :
où -
z
‘6-Y
est l'injection canonique de Ë dans son bi-
dual Ê'
. On a donc 7 = 5 ; mais alors l'injection
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 551/599
27
canonique, produit de deux anti-isomorphismes, est un iso-
morphisme. Donc :
COROLLAIRE 4
L'injection canonique de E
dans
Ë’I
est un isomorphis-
me, produit des anti-isomorphismes canoniques de Ë Sur p
et deE sur E
-II
; un espace hilbertien est réflexif.
COROLLAIRE 5
Les anti-isomorphismes canoniques de Ë
sur son d>Jal
C
E' et de E’
sur son dualS sont réciproques
l'un de l'au-
tre.
COROLLAIRE 6
La boule unité d'un espace hilbertien est faiblement
compacte.
Il suffit d'appliquer le théorème de Banach (J~,xIx,
7~8).
REMARQUE :
Les propridtés antérieures sur l'orthogonalité se dé-
duiraient alors à nouveau facilement de celles du chapitre
XIX, 9 7 : les corollaires 1 et 2 de (T 2,XXII,4;2) se
ddduisent du corollaire 2 de (T, 2, XIX,7;3). En effet,
d'après (2,XXII,5;2) ?& et? sont orthogonaux dans Ë si
et seulement si X E ËJ
et + E E
-3
sont orthogonaux ;
si alors A est une partie de E
son orthogonale dans Ë
est
l’image
de son orthogonale dans Ê
par la bijection
canonique de ??
sur Ë ; c'est aussi l'orthogonale dansE
de son image A dans Ë'
; alors sa biorthogonale pour la
structure hilbertienne de E est aussi sa biorthogonale
pour la dualitd entre ? et Ë’ .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 552/599
28
§ 6 SOMMES DIRECTES HILBERTIENNES, BASES HILBERTIENNES
IIIw###I#wwII#H#~II~~~~~~ll~~ll~~~ll~~~ll~~~~ll
Soient F,
,Ë
z deux espaces vectoriels normés.
Nous avons vu au § 4 du Chapitre XIII qu'on peut mettre sur
9 -
leur produit
E,x E,
, identifié à leur somme directe<@Ë%
diverses normes, définissant toutes la topologie produit,
mais qu'aucune ne s'impose plus qu'une autre. Cependant,
si Ë,
et FL
sont hilbertiens, auquel cas E, x
2%
est
sûrement complet,
les autres ;
c'est
il existe une norme plus intéressante que
Elle provient évidemment d'un produit scalaire
de sorte que Ë, Ë,
st lui-même hilbertien. On dit que
Ë,
8 E, I
muni
de cette structure hilbertienne, est la
somme directe hilbertienne de E, et de E, .
Sa structure
hilbertienne est la seule qui induise sur Ë, et Ë,,
leurs
structures hilbertiennes,
et pour laquelle ils soient or-
thogonaux.
Il n'y a évidemment aucune difficulté à étendre
à des sommes hilbertiennes finies. Dans ce sens, l'espaceRy
muni
de sa norme euclidienne usuelle
n’est autre aue la somme hilbertienne de n espaces identi-
ques à la droite réelleR ,
munie de sa norme canonique
(13~ 11= il scI( , qui provient évidemment du produit scalaire
De même l'espace cl%, muni de sa norme
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 553/599
hermitienne usuelle I[ m 11=(c, iakl'j/Ln'est autre que la
somme hilbertienne de 7~ espaces identiques à a , muni de
sa norme canonique 115 II= 13 1 , qui provient du produit
scalaire ("IU,)Qo=zT *
Mais on peut aussi définir des sommes hïlbertiennes
infinies.
Soit ZG)iEI
une famille quelconque d'espaces hil-
bertiens Ë; , 1 ensemble d'indices quelconque . Appelonszm
(ce qui entraine qu'au plus une infinité dénombrable des 2;
soient # 0 >. Appelons Ë
l'ensemble de ces familles2 ;
Défi$ssons l'addition et la multiplication par les scalaires
sur E par :
(2,BlI,6;3)
On définit ainsi , ? comme un espace vectoriel sur IK . Posons
maintenant
112 11 = (& \/~;11'~~ . lYontrons qu'on définit
là une norme sur Ë , La seule chose non triviale est l'iné-
galité de convexité, alors ce sera une semi-norme, et
II z II =
0 entrafnant trivialement Z = 0 , ce sera une norme.
Or, si J est un sous-ensemble fini de 1 , l inégalité
(2,1,2;5) donne
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 554/599
30
d'où l'on déduit bien en prenant la borne supérieure des deux
membres pour tous les J :
Donc E est un espace vectoriel normé. Mais sa norme provient
d'un produit scalaire sesquilinéalre hermitien, donc E est
préhllbertien sépard. Si en effet r
tien
on a la majora-
de sorte aue ;GI I(~L IT~)Ë, )C + 00
, Si alors on pose
c
(%m,6;7)
(EIj)~
,
on définit bien sur E un tel produit scalaire, et[~ll'=(~l~)
[
D'ailleurs la majoration (2,XXII,G;h) peut se remplacer par
une majoration meilleure,
soit en appliquant (2,1,2;7) à une
partie finieJ de 1 et en prenant la borne supérieure pour
tous les J , soit en appliquant l'indgalité de SCHWA32
(2,XXII,l;lO) puisque nous savons maintenant que E est
préhilbertien :
Définition :
L'espace Ë ddfini ci-dessus s'annelle la somme directe
hilbertienne des $, , et se note @ E;
IEI
Certains des Ë< peuvent être rdduits a (0) .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 555/599
31
T-HEOREME (T ,2,xx11,6;1 .
La somme directe hilbertienne d'une famille d'espaces
hilbertiens est hilbertienne.
DEMONSTRATION :
Mous devons montrer que Ê est complet *
rons le crithre (T,2,XIV,2;2),
nous applique-
en montrant hue toute série
normalement convergente de Ë est convergente. Soit donc
une série d'éléments de Ë ,T ljzfiII
<+Ce.
1t=O
Pour tout 7x ,Zn=(q,i)ceI . Commell Z..l,i 11~ I 11Ztilljf
>
on a pour tout tâ
complet, la série
1 , go II q1E;
< + 00 ; comme E,
est
c c,i.
converge ;
11' 0
soit 2; E ï?; sa
(2,1L2;5) à une somme de E termes au lieuomme. Appli uons
de 2 ; soit
3
fini C 1 ; alors
(2,XXE,6;9)
En prenant la borne supérieure pour tous les J finis et tous
les N :
et comme, pour tout L,
Il
)
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 556/599
32
Donc 'z;)iCi est un élémentz de 2 .
Il reste à voir que 2 Zw
converge vers z dans E .
n-0
Il suffit pour cela de réappliquer (2,XXII,h;lO), en rempla-
çant 2
n=O
par c :
I%=N +1
qui tend vers 0 pour N tendant vers l'infini,
c.q.f.d.
Tel qu'il a été défini,Ë =@ 2;
est un sous-espace du
CC1
produit LE1 Ë; ;
il ne contient que les (;CI jLEI tels que
,2; II ;E, Ik +- . D'autre part il a une topologie plus fine
que la topologie Induite par le produit et strictement plus
fine si 1 est infini ; (55;)~~~
converge vers 0 dans le
produit si, pour tout i , SE, converge vers 0 ,
alors qu'il
converge vers Ô dans El
Ëi
si la somme ,bql II Z; II’ con-
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 557/599
33
verge vers
0
. D'ailleurs, dès que 1
est infini, ;$Il E,
n'est pas normable (page XVIII,lg), alors qUe,zI Ë;
est
hilbertien. D'autre part f?*
k
n'apparart pas comme un sous-
espace vectoriel de Ë ; toutefois, si l'on appelle
-i
w
l'espace des (zi );er tels que ";= e pour c#' Ë .
3 ' iif est
manifestement isomorphe, en tant qu'espace hilbertien,
à E
-p
un isomorphisme entre les deux est défini par:-+1. ,fE E, ,
où <.
est 1'6lément (%*=T,Gi=O pour 4,+ de
(1) f
1 d b
“ l
Plus gdnéralement,.
soitJ un sous-ensemble de 1 ; appelons
Ê, le sous-espace fermé de Ë formé des(xx=;)leI pour les-
quels G;'o pour *L+.J .
G
est isomorphe à $ El . SiJ
et
K
sont deux sous-ensembles disjoints de I,EJ et ÈK
sont
orthogonaux ; si J et
K
sont exactement complémentaires,
chacun des sous-espaces
ËJ Ët(
,
est exactement l'orthogonal
de l'autre. Pour ?k= (El);,, , appelons 2, l'él~ment(~LL);EI
avec
+Si
pour L E J --
$=
0 pour 1. 6 J ; alorsZJ est la
projection orthogonale de; sur ÉJ .
Pour JF L , on a
E,= Ë,rl = 2; pour J = {j \, on retrouve l'espace Ftji
isomorphe à E; , et, pour z= (2; )irl ,s est la projec-
d
ta i
tion orthogonale de x sur Ë
ij\ '
%j\
n'est pas 2.
b
mais
t
%j ;
-t -+
oc;=0 pour
i* &) *
En fait, la plupart du temps, il
n'y a aucun inconvénient à identifier E. ài?
cl
id;
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 558/599
34
lesdE;
sont ainsi des sous-espaces, deux à deux orthogonaux,
deE . Mais il sera impossible de le faire si, pour deux
indices différents d
et-k; Zi=
Ë*+{ô/;
car on aura qtiand
même Ëti\# È{&) . Par exemple, soit 'ic un espace hilbertlen,
et considérons -la somme directe hilbertienne E = 8
F
> o
ié1
tous les
EL
sont Egaux à T . Alors, pour tout : CI
J
' sjt
est un sous-espace de Ê ,
mais tous ces sous-espaces sont
distincts et même orthogonaux ; l'isomorphisme de F
-
sur Eijl
est celui qui, à$EF, associe(Z;);el ,S. + +- d,Xir 0 pour
A# j .
Sauf mention expresse du contraire, nous ferons tou-
jours les Identification Ë.=z
2. - z
j ij\ ' d - 01 .
THEOREME (-r .2,xx11,5;2)
Le sous-espace vectoriel engendre par les
EL
dans
Ë=@
Ei
Id
est dense. Pour tout s = (r;);el de E , h
série cz-
; c'est la seule
i E 1
c est sommable et de somme%
série
i-I T. ,y1 E EL , qui Dulsse converger vers ;O .
DEMONSTRATION :
Soit z C:E un kldment orthogonal à tous les EL . si
r. = (TqT, xi est la projection de s sur Ë; C E
aonc 2;= 0 . Alors x=
Ô
. Cela prouve bien, d'après le
corollaire de (T,2,XXII,4;1), que le sous-espace vectoriel
engendre par les
Ë.
ls
est dense dans
E .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 559/599
35
Montrons que C 2;
est sommable et converge vers
.sI
5= (G&. soit & > 0 .
Soit J un sous-ensemble fini de
1 tel que
t
2 y%
>: II 2; IIE 6 t . Pour tout K , JC KC 1
;$J
J
on a,
en posant
2, = x G; 1
ce qui prouve notre affirmation (voir définition suivant
(î,C?,XIV,3;2) . Bien entendu, ceci prouverait à nouveau que+
le sous-espace vectoriel engendré par les EL est dense dans
E,
car z est limite de sommes finies xK , appartenant à ce
sous-espace vectoriel.
Enfin soit (?L];~~
une Tamille de vecteurs,
telle que C,Y;
soit sommable et de somme z = ("it;)iEI
La projection orthogonale de Ë
sur Ë;
est linéaire continue,
donc elle commute avec le signe x , autrement dit peut
s'opérer terme à terme ; elle donne z; =
C.q.f.d.
'REMARQUE :
Par contre la série
c
2.
n'est en général pas norma-
'L c 1
lement convergente. En effet,
0: a supposé GI \[Z;II"4 +OO ,
et non
r, 1 c; II 4. + 00 .
Prenons par exemple I- IN ,
Ëp R
1e1
si (=A, aM
est une suite de nombres réels telle que
x Isc,JL<+- , ~lzc++-(exemple : 3c, = ,t: , ) 7
n
n
alors,
en prenant x = (z~)~ EIN
E Ë=pENlf2,1a série
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 560/599
sera sommable dans
E ,
de somme z , mais non
normalement convergente.
1
Si tous les Ë ;
sont
le corps
des
scalaires IK
, muni de
sa norme usuelle 11 c 1 = Ixl,Ë =.‘c,
IK
se
note
P(I)
il se note 2' si 1= hJ .
C'est
donc
l'esDace
des
familles
s = i=;);Er, -xté IK
, telles que cr 132; 12< 00 , avec
Cet espace e'(I) généralise les espaces Rn et @"
correspondant à
I+I,% ,..., 1x2 . Il importe de ne pas
confondre, pour 1 inflnl, e'(I) avec IK1 (pas plus que
;FI Ë;
avec JT
Ë.
). Un éldment de
IKI
est une fa-
mille
%)iEI
quelconque, alors qu'un dlément de l"(I)
est une famille pour laquelle
zi
1s; I'<+w . En outre,IK*
a la topologie produit et n'est pas normable, (voir page XVII
lg), alors que '(I ) est hilbertien.
1 Ne pas confondre le nombre réel JC% E R , et le vecteur
5{%\ E -i(?,, = E
dont la TT -16me coordonnée est x,, et
toutes les autres nulles. Ici, comme tous les Ëqx
sont égaux
àlR,
nous n'avons pas identifié
En et
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 561/599
37
On ne devra pas non plus confondre t2 avec l'espace 1"
defini au Chapitre XV, 9 1, exemple
5”.
lieus avons vu, 5
l'exemple final du Chapitre XIX, § 7, que t" n'était pas
réflexif ; 4" , hilbertien, est réflexif.
THEOREï'~ (-i-,2,XXII,6;3).
Pour que e"(r) et t’(J) soient isomorphes, il faut et
suffit que 1 et
J
soient équipotents.
DEMONSTRATION :
Si 1
et J
sont équipotents, il existe une bijection
de 1 sur3 , qui définit trivialement un isomorphisme de R2(I)
sur L"(J).
Supposons inversement qu'il existe un isomorphisme 4.6
de e”(I) sur e”(J) et montrons que
1
et
J
sont équipo-
tents. C'est évident $i 1 ou J est fini, car la dimension
de e'(I) est égale à cmd 1 si ce nombre fini, et infinie
dans le cas contraire. Supposozs donc 1 et J infinis=
Ecrivons a'( 1)
= ,E~Ê~ , où Ei= IK . Le sous-espace Eji}
(,)
de J"(I) est appliqué, par w , sur un sous-espace de dimen-
sion 1
de j’(J) ;
les coordonnées des différents points de
w 'qi\'
sont toutes proportionnelles ; au plus une infinité
dénombrable sont Z+ 0
soit celles qui correspondent à un
sous-ensemble JL dénomkrable de J .
Identifions, pour A C 1 , l'espace R%(A)
au sous-es-
pace de e"(I) formé des {zc;)icI
tels que ~1 = 0 pour
i $ A, h'est-à-dire au sous-espace fermé note antérieurement
( e2 ( 1 ) ) * l
De même pour BcJ . On a donc n~(l'({i)))c b’(t).
Soit maintenant Z E l?'(I)
; il appartient à l'adhérence du Sous
espace vectoriel engendré par les t"({i)),donc UC;) est dans
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 562/599
l'adhérence du sous-espace engendré par les j'(J;) lequel est
contenu dans +?2(LyLEIJ,)Or& est surjective, donc ;$II J; _ J
Mais chaque J; est fini ou dénombrable ; si ?
est la puis-
sance du dénombrable, on a donc c.Lvcck JG J x ca& I= can,d 1
puisque 1 est infini (TA.. .) . En raisonnant sur *t“
on obtient l'inegalité inverse, donc cahd l= condJ. c.q.f.d.
Passons maintenant a "ne situation un peu diffd-
rente. SoitÊ un espace hilbertien,(ËL);eI "ne famille de
sous-espaces vectoriels fermés de 2 , donc hilbertiens, deux
à deux orthogonaux ; on dit que c'est "ne famille hilbertienne
de E . Or dit que la famille est totale, si le sous-espace
vectoriel engendré par les 2~ est dense dans E: ; on dit
qu'elle est maximale,
si elle ne peut pas être agrandie non
trivialement, c'est-à-dire en rajoutant a la famille un sous-
espace vectoriel ferme,
orthogonal aux précédents, non rdduit
a {q, .
Cela revient a dire qu'un vecteur orthogonal à tous
les Ei est nul ;
d'apr?s le corollaire de (l-, 2,XXII,4;1),
la famille est totale si es seulement si elle est maximale.
Frdquemment il n'est pas facile de reconnaître si une famille
hilbertienne de sous-espaces de
Ê
est totale.
THEOREIIE (T ,2,xX11,6:4)
Soit (FG );CI
"ne famille hilbertienne de sous-espaces
de
Ë
. Il existe "ne application linéaire continue "nique
C&?L@~
dans Ë , qui, sur chaque F; , induise son
ù EI
injection canonique dans z .
Elle est définie comme suit :
&(";);EI E F
, son image est la somme de la série sommable
;& ;; de 2 .
Elle est isomorphisme d'espaces hilbertiens
de F sur le sous-espace vectoriel fermé ËI de E , adhérence
du sous-espace vectoriel engendré par les < .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 563/599
39
DEMONSTRATION
Soit (QbEI
un élément de F, @ $ tel que tous les
if21
9
XI; soient nuls sauf un nombre fini ; faisons-lui corres-
pondre l'élément > 2; de Ë . On définit ainsi une appli-
iE1
cation linéaire u du sous-espace vectoriel de F engendré
par les
FL
, dans
E .
Comme les F, sont orthogonaux dans Ë
cette application conserve les produits
scalaires et les
normes ;
elle est en particulier injective et continue, et
son
image
est le sous-espace vectoriel de Ë engendre par
les f .
Comme le sous-espace engendre par les G est dense
dans 7 et que Ë? est complet, le théorème de prolongement
(r ,2,XI;I,2bis;2) indique que cette application se prolonge
de maniére unique en une application linéaire continue &,
de 7 dans
Ë
; comme une application linéaire continue trans-
forme les séries sommables en séries sommables, l'image de
est la somme de la série sommable
>: 5; deË . Par continuité ü conserve encore les pro-
ie1
duits scalaires et les normes ;
fermé dans
Ë
,
alors G>F) est complet donc
donc c'est l'adhérence EI du sous-espace
vectoriel engendré par les r& ,
c.q.f.d.
REMARQUE :
Nous avons employé des lettres différentes, E et F ,
pour conserver la notation antérieure F=
;TI F; , qui peut
être identifé à Ér
mais non à Ë .
En général il sera commode
de poser&, =
identité, et d'identifier F à EI ; et,
si la
famille hilbertienne est totale,?; =
et d'identifier Ë
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 564/599
COROLLAIRE 1
L'espace ;E, t
est, à un isomorphisme près, le seul
esnace hilbertlen admettant les F.
*
comme sous-espace hilber-
tiens deux à deux orthogonaux, et dans lequel l'espace vecto-
riel engendré par les f soit dense.
DEMONSTRA'TICi\I :
Si E est un tel espace hilbertlen, nous venons de. mon-
trer qu'il existe un isomorphisme unique & de @)I Fi
sur E,
ici identique à
Ë
C.q.f.d.
qui soit l'ldentitk sur chaaue 5 .
COROLLAIRE 2
Soit (FL )ieI une famille hllbertienne de sous-espaces
deÊ . Poy tout2 de Ë , soit zL sa projection orthogo-
nale sur Fi ; alors on a 1 égalltk de Bessel-Psrseval
(2,xxlI,6;44)
et la serie C 3c;
ie1
est sommable, de somme SI , projection
orthogonale de 'i sur l'adhérence ËI du sous-espace vectoriel
engendré par les f, . On a l'inégalité de Bessel-Parseval
et C Z.
CE1
c converge vers 2~ , si et seulement Z
CËI
cette
série est alors la seule série de la forme
&y; >+g
qui puisse converger vers S .
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 565/599
41
Inversement, si (E;)lET est une famille de vecteurs
des c ,
telle que z 11~~~ 11'c + 00 , il existe un vecteur
LE1
unique de
ËI
, de projection 5; sur
F;y
pour tout i ; c'est
la somme de la série x SI
, sommable dans E .
iEl:
La famille hilbertienne est totale, si et seulement si,
pour touts ,
on a l'égalité de Bessel-Parseval, ou si et
seulement si, pour tout52 ,C Z; converge vers Z.
DEMONSTRATION :
Tout résulte trivialement de l'isomorphisme de 8
LrI
6
avec
21 >
du théorème (T ,2,xx11,6;2), de ce que= et ZC~
ont les mêmes projections Z; sur les 7~ ,
et de ce qu'enfin
1g IIzi Il'= lis1 & (l~~['- II?& - x, 11% théorème de Pythagore:
5
et Z.-S,
sont orthogonaux) G 11z 11" c.q.f.d.
Définition :
On appelle syst3me orthonormé d'un espace hilber-
-
3
tienf une famille (e;) ;eI
de vecteurs unitaires, deux à
deux orthogonaux. On dit qu'il est total si le sous-espace
vectoriel engendré par les s; est dense ; il est total si
et seulement s'il est maximal
, c'est-à-dire s'il n'existe
aucun vecteur non nul orthogonal à tous lesz;
. Un système
orthonormé total s'appelle aussi une base hilbertienne deF "
1 Une base hilbertienne n'est pas une base E& effet, un
2
vecteur rc va s'exprimer comme série C xi ëi , et non
1
cc1
comme somme finie de ce
type.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 566/599
42
Appelons F;
le sous-espace de E engendré par ëk ;alors
(< )LE1
est une famille hllbertlenne.de Ë , formde de
sous-espaces de dimension 1. Pour tout g de Ë , si z.
ç est
sa projection sur F ,
elle peut s'écrireZi=x; ë;,
est le scalaire(Z ië;) ;
où x;
en effet s; ë; est proportionnel
à 63; et Z-Z; a; est orthogonal à ë‘ . Les 3~; E o(
s'appel-
lent les coordonnees orthogonales de5 suivant le système
(ë;)LÉI . Chaque < est Isomorphe a K
, en identifiant
AcK à aë;EFi ; donc?= @ E
icr
est canoniquement isomor-
phe à P'(I)= @ IK . On déduit alors trivialement du théo-
iEI
reme prdcédent et de ses corollaires :
COROLLAIRE 3
Soit (ë; )Le1 un système orthonormd de vecteurs d'un
espace hilbertien E .
Il existe une application linéaire
continue unique de l'(I) dans g , qui, pour tout scalaire a
et a tout i E 1 ,
associe à Aiii Ei’({i})
C
1% (1)
l'élé-
ment AZ;
de Ë ; c'est celle qui, à tout (A;)iG1 de e'(l)
associe la somme de la serie c a;zi sommable dans E .
iEI
Elle est un isomoruhisme d'esuaces hilbertiens de k '(I)
sur l'adhérence EI du sous-esoace vectoriel de Ë enaendré
par les ..5; .
Pour2 ê. E , soit x;=(?tIz$) ;
on a l'inégalité de Bessel-
Parseval
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 567/599
43
et la série x 30; Z; est sommable, et converge vers la
i BI
projection orthogonale ZI de x sur ËI .
On a l'égalité de Bessel-Parseval
@,X=46;
II)
et la série
.r,
X, Z; converge vers Z , si et seulement si
- e
2 E ËI ; et alors c'est la seule série de la formez 2d;z;,
Le1
9; G IK qui puisse converger vers 55 .
Inversement, si(~;);er esttune famille de scalaires,
--
telle que iqI Ilr;12< +OO ,
alors il existe un vecteur unique
s deEI
ayant les 2;
comme coordonnées orthogonales sui-
vant le
syst&me ;
c'est la somme de la skrie~&~;~~ dansE.
Le systzme orthonormé (ëi); EI est une base hilbertienne
si et seulement si, pour tout z de Ï? , on a l'égalité de
Bessel-Parseval, ou si et seulement si, pour tout G. , la sé-
rie ~IX; è; converge vers X .
REMARQUE :
Ces longs énoncés sont des ramassis de trivialités ; nous
ne les donnons sous une forme extensive qu'à titre de souvenir,
parce qu'ils ont joué un rôle important, sous toutes les for-
ici, dans la théorie des sdries orthogonales, antd-
rement à la découverte des espaces de Hilbert.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 568/599
Tmomm
(2,xX11,6:5)
Tout esoace hilbertien admet des bases hilbertiennes,
au1 sont toutes éauipotentes.
DEMONSTRATION :
Une base hilbertienne étant un système orthonormé maximal,
il suffit d'appliquer le thkorème de Zorn, pour en prouver
l'existence * on voit même ainsi que tout système
de vecteurs ést contenu dans une base hilbertienne
orthonormé
Soient (ë,);e. et (T.).
11 d’J
deux bases hilbertiennes ;
alors E est isomorphe à e'(I)
et à
i'(J)
donc 1 et 2
sont équipotents d'après (T ,2,xx11,6;3). C.q:f.d.
Tout espace hilbertien est isomorohe à un esnace e%(I)
où 1 est determiné a une équipotence ores.
Si l'on considère comme eauivalents deux espaces hilber-
tiens
iSOmOFDhSS,
les classes d'dquivalences d'espaces hil-
bertlens, sont en correspondance bijective avec les nombres
cardinaux.
$7 ADJOINT D’UN OPERATEUR
THEOREME (T,2,xxII.7;1)
Soient Ë,F deux espaces hilbertiens, U, une aoolication
linéaire continue de E dans r .
Il existe une application
unique c(r*
de F dans Ë , telle que l'on ait, pour tous
ZEË
, y& :
(û,==;7;1)
(4LZpj)~ =
(FG I4q 'Ë
Cette aopllcation est lindaire et continue, etll.w*ll = 1 *L 11 .
En outre, LL-LL* est une bijection anti-linéaire continue
isomdtrioue de&(Ë ;F)surJ(F ;E ). On a.&**=~.:
si 21 est une application linéaire continue de 7 dans un es-
pace hilbertlen T , on a Cc70 a)*= ALu+0 V*.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 569/599
45
DEMONSTRATION :
soit Alors z
-(,Fk\j)~est une forme linéaire
continue sur
Ê
, de norme h Il existe donc un
éldment unique 7 de
Ë
pour touts;
appelons le U*T Alors on a bien (2,XXII,7;1). Cela mon-
tre aussitôt, en
linéaire. En
outre
II u* y II
. Nais en fait
donc 11Lc"ll= 11i 11.
Ensuite (2,~11,'7;11 montre bien que &++L
*
est anti-linéaire de
S(E$) dans ~~~(?;Ë):(u+Y)~A,L*+* >
(? m)*z h u ” l
Montrons en détail cette dernière égalité :
Il résulte de la conservation des normes que.u- ti*
est
injective. Pour voir qu'elle est surjective, il suffit de
*if
montrer que U = u ,
car alors toute application linéaire
continue U de F dans Ë
sera l'adjointe ti* de &t, = U*.Or:
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 570/599
46
REMARQUE :
%F=E,
l'adjoint de l'identité est l'identité ;
l'adjoint de la multiplication par 2 E IK est la multiplica-
tion par> .
COROLLAIRE
Si ti est inversible, CL* l'est aussi, etiU*>L (a-')*.
Car ,*(i-')*= (UT'&)* = I*F = '2
et de même(ti')*u'= 1~
REMARQUE :
Il existe une liaison simple évidente entre l'adjointe
et la transposée (chapitre XIX,5 7). La transposée ta
de LL
applique F
dans Et ; mais FI
et E
I admettent des anti-
sisomorphimes
carioniques avec F et
Ê
.
On voit alors immh-
diatement, en comparant (2,Xx11,7:1) et (2,XIX, ;3bis), que
Yi
k 'j = tu ('j ) . En effet :
Ainsi u*;
7-Ë
F- -
L
-3
est la composée des 3 applications
-2
(C'est là que l'on voit bien la relation entre l'adjonction
et la structure hilbertienne.
par des normes Équivalentes,
Remplaçons les normes de 2 F,
c'est-&-dire donnant la mêmé
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 571/599
47
topologie, mais non proportionnelles ; les sttctures hilber-
tiennes sont différentes ; le transpo2é ta-: F'-+
TE)
n'a
P
as changé, mais l'adjoint u* : F-
i
n'est plus le
même .
Le théorzme précédent peut alors se ddduire des proprié-
tés de la transposée ; étant donné la simplicité de sa démons-
tration directe, nous avons préféré la donner. Le fait que
k-a* soit surjective est, dans ce cas hilbertien, évident;
mais celà résulte aussi de ce qui est dit page XIX, 62bis, car
un espace hilbertien est réflexif.
THEOREEE (T2,XXII,7;2).
L'orthogonal de titi?) est &*
-'({o j ) , l'orthogonal
de &'({Tj) est l'adhérence de LC* (7, .
Pour que ti soit
injective, il faut et il suffit que u* <i ) soit dense dansË;
-
pour que w (E ) soit dense dans F, il faut et il suffit que
Lb*
soit injective.
Celà rdsulte immédiatement de (r,2,XIX,7;6) et de son
corollaire ,
Mais on peutde revoir directement. Pour que
T soit orthogonal à CC E 1, il faut et il suffit que(uZl$
soit nul pour toutz de Ï? , donc que(GIti"
Y'
soit nul pour
tout z , donc que tiuyc)- 0
Y-
ou que
i
t2 ,a"i{;j ). Donc l'or-
thogonal de a(E) est bien ,uLLK
i(B)).
Alors l'orthogonal de
AA--' ({O} )
est le biorthogonal de hL* ( "FI c'est-à-dire son
adhérence,
d'après le corollaire 1 de (T 2,XXII,4;2). C.q.f.d.
CAS oùË=
7.
Alors U,LC u.,* est une bijection antilinéaire iso-
métrique de $\z ;Ë)sur lui-même.
Par ailleurs, si 4L&(ËjË)
on peut définir la
forme sesquilinéaire U sur Ë x E par
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 572/599
On voit alors
que G-U est une bijection linéaire isométrique de
2 (Ëp
sur l'espace des formes sesquilinéaires continues sur 5, E
En effet, pour u. donnee, U
est évidemment continue, et
Inversement,
soit u une forme sesquilinéaire continue sur z
Pour-2 donnk,v-U($ 4
,Y'
est une forme antilineaire conti-
nue sur E ; donc il existe un dlément unique uz de E , tel
que U(S,T) = (~&/;6)~pour tout 7
; & est linéaire conti-
nue de U dans lui-même, et, comme ci-dessus, 11~11
- II " Il*
Bien entendu, à partir de U ,
cation a*
on aurait pu définir une appli-
de Ë dans lui-même,
telle que U<S,T$=(~~~~*T)E;U*
aurait été exactement l'adjointe de LL. La bijection a
AU
peut
aussi
se déduire du théorème (T,2,XIII,5;3) ; celui-ci
dtablit une bijection de l.'espace 2% (Ë, E'; IK) des formes
bilinkaires continues sur E x Él
&(Ë;Ë”L d(E;i)(l
sur l'espace%(E;(e(Ë;IK))
es rôles de LL et U sont intervertis
entre ce théotime et le procddé développé ici) ; l'anti-iso-
morphisme de E sur E ramène sz (Ëx Ë;IK) à l'espace
des formes sesqullinéaires continues sur Ëx È .
Définition : On dit qu'une application linéaire continue LL
de E dans lui-même est hermitienne (on dit aussi self-adjoin-
te, ou auto-adjointe ; ou symétrique si IK = ÏR) si w*= AL
c'est-à-dire si l'on a, pour tout 3o.q~ E :
brn,7;9)
1 Comme la notion d'adjoint,
celle d'opérateur hermitien est
liée 51 la struc ure hilbertienne ; si l'on remplace la nor-
<ne hilbertienne de i
même topologie,
par une dquivalente, c.à.d. donnant la
mais non proportionnelle,uoopérateur hermitien
ne reste pas hermitien.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 573/599
49
Cela revient exactement à dire que la forme sesquilineaire
associée U comme plus haut est hermitienne, en effet,
(2,XXII,7;9) revient 3.
Il résulte alors de
(T2,XXII,l;l) que, pour IK= @. k est
hermitien si et seulement si, pour tout z ,(bglz) est
réel.
La multiplication par 3\ E /K est hermitiecne si et seu-
lement si 2 & R . Les opérateurs hermitiens forment un R-
sous-espace vectoriel de z(Ê.?). Par contre, si u etu sont
hermitiens, L&V ne l'est pas ef général ; il l'est si et seu-
lement si Lt et V commutent, car (
Ug)*= V* U* = Vh .
Définition :
@n dit que u E %(È;E ) est anti-hermitien (ou anti-
symétrique si \K =AR ) si ux=- u ; celà revient à dire que,
pour tous X
,~EE:
Pola- celà, il faut et il suffit que la forme sesquilinéaire
soit anti-hermitienne, c'est-&-dire vérifie
(2,=%7; 12)
u ig,a = - u <X,T,
Dans le cas IK= II?. ,
on sait que ceci est équivalent à U(G,Gl=O
pour
tout x , donc (ug Ix)= 0 pour tout z ; il n'en est rien
dans le cas IK=c
traînerait U= 0 ,
au contraire on sait que U (;C,Z>=O en-
'd'après (2,xx11,1;8L
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 574/599
Dans le cas complexe IK=a: , & est antl-hermitienne si et
seulement si &A, est hermitienne, puisque l'adjointe de Lu
est - iu* La multiplication par 2 est anti-hermitienne,
pour il purement imaginaire
(donc
a= 0 si IK= R 1.
THEOREME (2,XXII,7;3)
POU~ IK = C, et pour toute wc.$J(E ;Ë ), on a :
mq7;13~
; II 6% II 6
s"p I(4.Lr.I Z) 1 6 II 4.G II
It = Il 6 '
PourIK= If?. ou @.si w est hermitien, on a exactement
DEMONSTRATION :
Raisonnons sur U (on aurait aussi bien pu donner ce
théorème au début du Chapitre). On sait déjà que
Il faut une inégalité en sens inverse, pour IK= @
Appelons o( le dernier membre de (2,XXII,7;15). Alors
on a, pour tout Z,
(2,xx11,1;8) :
1 (J(3E,S)I-C o( 11 11'. Utilisons
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 575/599
(%m,7; 17 )
II u 1
= IIXU
ce qui donne (2,xX11,7; 13).
Supposons maintenant U hermitienne, K =]R ou Cl . Alors,
au lieu de (2,xx11,1;8), on utilise (2,XXII,l;3 quarto) :
(la partie & est à supprimer pour K=lR tout étant réel) :
Q +
(
Ilz+y12+ IJ;--y
d 1 ) ==;(2 IEl12+2 II$I”>
Hais, pour iG\/ 44
dans @ est équilibre,
<l,l'ensemble des valeurs de U(Z,y)
supérieure des modules est
aussi celle des valeurs absolues des parties réelles ; donc
ce qui donne (2,XXII,7;14).
REMAR VE.5.
1) Pour K =IR, la formule (2,xx11,7;13) ne peut pas
subsister, puisque,
si fi est antisymétrique, on a(UZ)Z)= 0
pour tout Z sans avoir a=0
. On retrouve les circons-
tances du théorème (2,XXII,1;2), dont celui-ci est simplement
une forme plus précise.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 576/599
2) Si U, n'est pas hermitien, (2,Xx11,7:14) n'est plus
nécessairement exact, et le facteur 5
de(2,XXII,7;13) est
inévitable. Considérons par exemple, dans E = cz , la trms-
formation 4.4,: (x, , m2)+ (X,,OJ; sa norme est
elle est trivialement s 1
, et, pour 3c,= 0
conservée par ti .
Or, pour z =(=,,+
on a
dont le maximum dl2 module pour 13c,12+ II~, 1%
Définition :
égale à 1, car
, la norme est
L'opérateuru E g(Ë;Ë)est dit hermitien 2, 0 s'il est
hermitien, et si ( tiz Iz) a
0
DOUT
tout 2 de
Ë
, 11 est
dit hermitien défini uositif si en outre (u??,Iz) > 0 uour
tout zp 0 .
Celà revient exactement à dire que la forme sesquilinéaire
associée u est hermitienne 2 0
oil hermitienne définie posi-
tive. D'aprh (T,2,XXII,l;l), si K = CO, l'inégalité(&JzJ&O
entra?nant(wZlZ) E R pour tout 5
l'hermiticité de M. .
, suffit à assurer
THEOREME (T,2,XXII.7;4)
--a 4
Soient E. F des espaces hilberLlens,U.Gg (E;FJ. Alors
-+
a*~. est un O&rateur hermitien > 0 de E dans lui-même,
et en outre i .~,++a 11 = 1 u, 11%
DE~IONSTRATIOiJ :
Or. a d'abord (u,*,w)*= L* &*ru* u,dom u* b
est her-
mitien. On a trivialement, pour tout r dcE
(uZ,IuZ) = Il4ZlllO. Alorr
,(LLu.GJ;c)=
en utilisant (2,XXII;:;l'I) :
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 577/599
53.
REMARQUE :
4
De même ti ,tiLy
est hermltien > 0 de F dans lui-même,
THEOREME (-J,2,XXII,7;5)
Soient E , F , deux espaces .hilbertiens,& E .% (z; F)
Pour que ti soit inversible à gauche, il faut et il suffit
qu'il existe une constante 4$ a 0 telle que
Le maximum de ces constantes k est alors aussi le maximum
des IIiu II-' , pour tous les inverses à gauche 'U' .
DEP4OIJSTRATION :
Supposons d'abord & inversible à gauche, et soit Q un
inverse à gauche : VLC =
Q*
Alors
donc on a bien (2,XXII,'7;2O), avec ; et la
borne supérieure 8,
des -k possibles est au moins égale à
la borne supérieure des 1 V II-'.
Supposons inversement l'existence d'une constante -k telle
que l'on ait (2,XXII,7;20). Appelons 4, la borne supérieure
de ces 4 ; on a alors aussi (2,XXII,7;20) avec la constante
a 0,
c'est donc un maximum. Posons .<= U, (Ë ) .
Alors (2,XXII,7;20)
prouve que /CL est une bijection linéaire de
Ë
bijection réciproque W est continue, car, si
et
et sa norme est ,L -&
1
0 *
Alors c
, dont la norme est équiva-
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 578/599
lente à la transportée par U. de celle de E , est complet
comme E , donc fermé dans F . Soit E
l'orthogonal de 3
on peut identifief:? à lzsomme hilbytienneq @g ;
l'ap-
plication 'Ir, de 5 dans E qui, sur ç , cokcide avec v
et est nulle sur H ,
gauche de 4 , car
est alors trivialement un inverse à
En outre, on a, pour
ce qui prouve bien que /IV" Il-' & -8,
, et que 8. est le maxi-
mum des ]IV Il-' pour les inverses > ::auche v possibles. C.q.f.d.
COROLLAIRE 1
soit
un opérateur hermitien de 2 dans ? .
Pour qu'il
soit inversible, Il faut et il suffit qu'il vérifie l'une des
conditions equivalentes suivantes :
a) il est inversible à gauche ;
b) il est inversible à droite ;
c) il existe une constante 4 2, 0 telle eue l'on ait
(2,XXII,7;20).
Et alors u“
est hermitien et le maximum ae ces constantes
ri
est exactement 1) ù' 11-1
DEMOhTSTRATION :
Supposons U, inversible à gauche, il existe ?y tel que
vu=I. Alors on a aussi, en prenant les adjoints, NIY*= 1
donc ti est aussi inversible à droite ; on sait alors (pro-
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 579/599
55
priété classique d'algèbre) que U, est inversible (car
lJ*=
WQL u
donc ~LI"=V est inverse bilatere)
l
et son
inverse V
eSt hermitien. Donc a) entraîne b)
de même b)
entrake a , et tous deux entra?kent l'inversibilité. Le
théorème précédent montre alors que c) entraîne l'inversibi-
lité à gauche, donc l'inversibilité. Il y a alors un seul
inverse à gauche, U,
-4
, d'où le résultat final.
C.q.f.d.
COROLLAIRE 2.
Soitu, un opérateur hermitien de e dans ? .
Pour tout
x complexe non réel, l'opérateur ti + 711 est inversible,,et
Il(t&.2Ij' IlG I zI&-rLA J , Si u/ est hermitienr, 0,
44, i-i\1 est aussi inversible pour 2
réel > 0 , et alors
~p+n>-‘JJ-‘2d
l
DEMONSTRATION :
Posons A= O+ i Z ; alors
donc 4, + a1 est inversible à gauche ; mais il en est de même
de ,LC +a1
d'un opérateur
donc u+ill est inversible à droite (l'adjoint
inversible à gauche est inversible à droite),
donc inversible ; et alors le théorème donne le résultat
II (LbthI)-‘ll-‘2lzl= Ml-d 1.
Si U, est hermitien 2 0 , et si il est réel > 0 , on
a de même
d'où l'on conclut de la même manière.
C.q.f.d.
1 parce que((a+G)?&I z) est réel, 6 étant hermitien.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 580/599
DE~I,xITIOI~ :
- -
Soient
E
et F des espaces hilbertiens. Un opérateur ~w
-+
de E dans F est dit partiellement unitaire, s'il conserve
les normes,
ce qui implique qu'il soit injectif :
Celà entrarne,
d'apr>s (2,YXII,2;5 et 6 , qu'il conserve aussi
les produits scalaires :
(Z,XLUJ;28)
CU.21 LL-
b)r +q-, I pour 2, - E E
Y -
Comme <u$,( hj), (û ti-~.Izj),*est partiellement unitaire si
et seulement si ti*u-= IF ; celii entrarne donc que u soit
inversible .3 gauche. On dit que & est unitaire s'il est par-
tiellement unitaire et inversible. Alors &*u= 1 implique
l'inverse de u/ soit u,* ; .ti est unitaire si et seulement
s'il est inversible et si u,* est son inverse. La multipli-
cation par un scalaire ;1
est unitaire, si et seulement si
l;zl=l
. Unitaire s'appelle aussi orthogonal si o( = R
Si Ë est de dimension finie,
tout opérateur partiellement
unitaire de E dans E , étant injectif, est inversible, donc
unitaire ;
mais ceci ne subsiste pas en dimension infinie. Soit
en effet Ë
un espace hilbertien muni d'ue base hilbertienne
dénombrable (2% )nt,N
; et considérons l'opérateur linéaire
continu unique LC tel que LL (ën)= e,+, ; il est défini par
(=0,-c
, >...>=clZ,... )
-CO,%,
x, ,.. I ,T%,.. )
en coor-
données orthogonales par rapport à la base. Il est évidemment
partiellement unitaire, mais non surjectif, puisque a (i)
est le sous-espace vectoriel fermé engendré par è;,ez,,..,...
c'est-a-dire l'orthogonal de z0
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 581/599
57
Définition : On dit qu'un opérate:r linéaire continu IA, deÈ
dans 2 est normal,
s'il commute avec son adjoint :U.*A&=M.&
* 1)
Un opérateur hermitien, antihermitien, unitaire, est
normal. La multiplication par un scalaire arbitraire est
normale.
L'intérêt aes opérateurs normaux est le suivant. On dira
qu'un opérateur w
de Ë dans Ë est ortho-diagonal, si l'on
peut décomposer
Ed
en somme directe hilbertienne de sous-
espaces, E
= BI E; 9
tels que chaque Ë,; soit stable par&
et que, dans chaque Ë; , * soit la multiplication par un
scalaire 3; . L'opérateur & peut ~'écrire(JCL);~~ - ("5&,
Un tel opérateur n'est continu que si S;i 12; 1
est fini, et
cette quantité est précisément 11 &J, 11 , si aucun des Ë; n'est
réduit 3.
{Ô)
; en effet,
trivialement)Iw II& ?y$ [A,[ ;
d'autre part, pour tout i ,
Ë;
n'étant pas nul, la norme de
la restriction de AA, à 2; est 11; 1 ,
Quel que soit le choix des A; , l'opérateur U ainsi défini
-
est normal, et son adjoint est w*:(~;)ioI +
(il;;c; )*
+e1
En effet, quels q-Je soient z et
dans Ë , on a
1 Comme les notions d'adjoint et d'opkrateur hermitien, la
notion d'opérateur normal est liée à la structure hilber-
tienne.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 582/599
On voit d'où vient le nom d'orthodiagonal ; chacun des Ë;
est sous-espace propre de& pour la valeur j\.
4
de sorte que
U est"diagonalisé" par la décomposition de E en somme
des
Ei , et les EL sont
deux à deux orthogonaux.
Si: est de dimension finie sur @ et .u, normal de E
dans Ê ,
on démontre en algèbre que 1~, est orthodiagonal :
il a un nombre fini de valeurs propres 2;
, et,
si les EL
sont les sous-espaces propres correspondants, ils sont deux
à deux orthogonaux, et engendrent
E .
(Si u est un opéra-
teur quelconque dans un espace hilbertien de dimension finie
Ë,
il a toujours au moins une valeur propre ; mais les sous
espaces propres, qui sont toujours indépendents, ne sont pas
1
nécessairement orthogonaux ,
et n'engendrent pas nécessnire-
ment E . Ainsi, en dimension finie, pour
IK
= c, opérateurs
;:ormaux et opérateurs orthodiagonaux coincident.(Pour lK=R,
on sait qu'il n'en est plus ainsi, il se peut qu'il n'y ait
pas de valeur propre).
En dimension Infinie, ce résultat ne s'étend pas. Toute-
fois on peut montrer des propriétés très voisines. Nous allons
dtudier, au paragraphe suivant,
et montrer qu'ils
les opérateurs normaux compac
sont encore orthodingonaux. Le résultat ne
s'appuiera pas sur un quelconque résultat analogue en dimension
finie, mais devra utiliser le fait qu'en dimension finie, pou
dvATem$eit;l y a au moins une valeur propre (thdorème de
9 8 OPSRATEURS COMPACTS
Définition :
On dit qu'une application linéaire LL d'un espace vecto-
riel topologique E dans un espace vectoriel topologique
e
1 Si l'opérateur& n'a zs certaines propriétés liées à la
norme hllbertienne de
E ,
comme celle d'être normal, les
sous-espaces propres n'ont pas de raison d'être orthogo-
naux.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 583/599
59
compacte,
s'il existe un voisinage U de 0 dans Ï? dont
4
l'image par w est relativement compacte dans F
’ .
Un opérateur compact est évidemment continu ; soit en
effet V un voisinage de 0 dans F * comme AA,(U) est rela-
tivement compact, il est borné,
donc'il existe un scalairea+
tel que i\ ti<U)C V ; alors 2U est un voisinage de8 dansË
dont l’image par &L est dans V * donc h& est bien continu.
Mais la réciproque n'est évidemmkt en général pas vraie, les
opérateurs compacts sont très particuliers ; par exemple, si
Ë est de dimension infinie, l'identité n'est pas un opéra-
teur compact de Ï? , puisque celà entraherait l'existence
d'un voisinage de 0 relativement compact dans Ë
. Par contre,
si 7 est de dimension finie, toute application linéaire con-
tinue de Ë dans ? est compacte ; en effet, F a un voisinage
V de 8
compact, alors U -‘(VI est un voisinage
U
de 0'
dans E
dont l'image IA(U) par ti est dans V donc rela-
tivement'compacte. Les opérateurs compacts sont d;nc la plus
immédiate généralisation des opérateurs linéaires continus
dans les espaces de dimension finie. Plus g$?ralemzt, tout
opérateur linéaire continu de rang fini de E dans F est
compact ;
en effet,
U
(Ï? ) étant un sous-espace de dimension
finie G de F ,
l’image
réciproque
U
= A&-'( VI d'un voisi-
nage compact V de 5 dans 5 , est un voisinage de> dansË
dont l'image par& est relativement compacte dans i .
Si Ah, et uz sont compactes de Ï?
dans F, AL, + wu/,
l'est
aus.si. Soient en effet U, , U,
des voisinages de Ô dans É
tels que u, ( U, )
et wz ( U,)
soient relativement compacts ;
Sl us U,nU,,(Lptl,)(U) c u,(u)+1L,(ü)wi
est compact
dans F
, donc ,u est compacte. Les applications linéaires
compactes de Ë dans F
forment donc un sous-espace vectoriel
deg(Ê;F). -
1 relativement compacte,
non ndcessairement compacte. Il serai
plus correct de dire :
opérateur relativement compact.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 584/599
soient~:Ë-. F et v: F--+
c;
des applications link-
alres continues ; si l'une des deux est compacte, alors vu,
est compacte. Soit en effet, par exemple, ti compact ; alors
il existe un voisinage
U
de 0 dans
E
tel que u(U) soit
relativement compact, donc u(U) compact ; alors(vu)( U)
est contenu dans V(U(U)) , image d'un compact par V conti-
nue donc compact.
En particulier, dans l'algèbre 9 (Ë ;Ë ) , les ooéra-
teurs compacts forment un idéal bilatère.
Dans la suite,5 et F seront presque toujours des Ba-
nach,
2t même fréquemment des Hilbert. Si E est normé,F quel-
conque, une application linéaire LL de 2 dans F est compacte,
si et seulement si l'image par 2 de la boule unit6 B deË
est relativement compacte dans F .
T~O~ME (r,2,xx11,8;1)
Si2 est un Banach reflexif, et u- compact de Ë dans?,
alors l'image par *1. de
la
boule unité
B
de E est compacte.
DE ?ONSlRATION :
Puisque E est réflexif, la boule unit6
B
de E est fai-
blement compacte (théorème (T 2,XIX,7;8) ). Mais LL , étant
continue, est faiblement continue (théorème (T 2,XIX,7;5)) ;
donc .U
(B)
est faiblement compacte, donc faiblement fermée
dansp ,
donc a fortiori fermée pour la topologie initiale ;
étant relativement compacte. elle est alors compacte, c.q.f.d.
REMARQUE :
Considdrons au contraire Ë= C (CO,11 ) qui $est pas
réflexif, et soit u la forme lin6aire continue sur E d6finie
B la dernière page du Chapitre XIX. Alors LL est linkaire
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 585/599
61
continue de? dans JK 3 donc comxxxte nuisque IK
est de dl-
mension finie ;
et nous avons juskment‘vu que u (B) n'est
pas compact, puisque 1 Ul
n'a pas de maximum sur B ( + 4 est
adhérent a .U (B) sans être dans LL( B) ).
THEOREME (T ,2,xx11,8;2)
Soient Ë et F des Banach.
Dans 9 6 ;FI, 1’ ensemble des opérateurs compacts est
fermé.
DEMOXSTRATIOM :
Comme ce(E;F) est normé, il suffit de voir que, si
u/ . A/&
sont des opérateurs compacts, convergeant
pZrtil'.infini t;éZ i.& , alors /cc/ est compact. Pour cela, nous
devons montrer que
l’image
w (B) de la boule unité B de Ê
est relativement compacte. D'après le critere de Weierstrass-
Bolzano, nous devons montrer que de toute suite de ,u (B-)
on peut extraire une suite partielle, convergente dans F
(voir (T ,2,VIII,2;5)) ; c'est-à-dire que, siz~~,~,,...,~,,,,..
est une suite quelconque de points de B
, il en existe-une
suite partielle dont les images par w convergent dans F .
Tout d'abord L&,, est
compacte.
Donc U, (B) est relati-
vement compacte dans F . Donc on peut extraire de la suite
des zw
une suite partielle, que nous écrirons Zt ,ZJ,...,Z:,...,
pour laquelle les LL, (z: ) convergent dans ? .
Ensuite ,u,
est un opérateur compact ; donc, de la suite des %L , on peut
extraire une nouvelle suite partielle,Zg , z"
-1
, ,"', 3cn > *** >
telle que les .U, (XL) convergent dans r ; de sorte que
maintenant,
pour la suite partielle des sr,, les deux suites
-cd
M/, (%A ),a4(-c,) convergent. Et ainsi de suite. Pour toutk
011 peut ainsi trouver une suite parti.elle
A
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 586/599
telle que toute suite (,u;, <zt )jnEN converge, pour L < % ;
chacune des suite ,s
R
A-1
étxt une suite partielle de la précé-
dente ,4 . Prenons alors la suite diagonale ,.5 , celle
des zz : x0
0 JX
: ,...,sn,... Alors J est suite partielle de
,-?u, >
à partir de son A-ikme terme ; donc chacune des suites
(4 (-;é3,1eN
a une limite
dans
F- pour n infini.
Montrons que la suite desu(zz)est de Cauchy dans F
Soit 6 > 0 donné. Choisissons 4 tel que /) a-a& 11 5 $L ,
ce qui est possible, puisque ;es u
k
sont supposées converger
vers u pour
R
infini. Alors on a, pour m e.t n
quelconques:
1 II
Puisque tous les 3cz sont dans la boule unité B
--
de E , le
premier et le troisième terme du 2ime membre sont ~5 . On
peut alors, la suite (a~ (Zz))rrEN étant convergente, trouver
N tel que nx,n> N entraine
Alors on aura 11
U(s: )-u(zz)[lS&
pour m et n> N
Donc la suite desU est bien de Cauchy.
F
étant comple
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 587/599
elle est convergente ; e+t ceci démontre que cc (B) est rela-
tivement compacte dans F , donc que l'opérateur LL est bien
compact.
RWiARQUE :
On aurait évidemment Cvité la suite diagonale en utilisant
un ultrafiltre ti sur B , et en montrant sueu 6tait un
filtre de Cauchy dans F
; nous avons préféré rester Glémen-
taires,
les espaces étant de toute facon métriques.
COROLLAIRE :
Toute limite d'opérateurs linéaires continus de ran:;s
finis de
Ë
dans 7 est un opérateur compact.
En effet nous
avons vu qu'un opérateur de rang fini s&calt
compact, et il
Suffit
nlors d'appliquer le :;hdor‘Jme.
Dans le cas hilbertien,
on peut noïitrer la réciproque :
THEOREME (T ,2,xx11,8;3)
SiË etF sont des espaces de Eanach, ? hilbertien,
pour qu'une application linéaire continue K de Ë da.nsF
soit
compacte, il faut et il cruffit qu'elle soit limite d'opérateurs
de rangs finis.
F~OUS n'avons donc à montrer que la nécessité de la cor,di-
tion. Soit donc K un opérateur compact. Alors 4&(B) est rela-
tivement compact dans F
si B est la boule ünité de Ï?
Donc,
E étant donné,
il existe un nombre fini de points
q,e;2,..Jn.
de
a(B)
tels que les boules de centres &
et de rayon &
re-
couvyt u(B)
.
Soit M le sous-espace vecto-rie1 engendré par
les 6~
, et soit+zz(F;?) l'opérateur de F , projecteur
orthogonal d'image M .
Considérzns l'opérateur .PL ; il est
de rang fini,
puisque P(~)C
M
. Evaluons la. différence
II
a _ ,p 11 . Pour tout FG
de B, ti (2) est à urle distiaiice s &
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 588/599
del'undes& ;
alors d(u.(Z&$SE; don+(+-+u(2) II&..
Ceci étant vrai pour toutg de B , celà prouve que
II u - +u II s & .
On a donc bien trouvé un opdrateur tw de
rang fini, à une distance s & den* ; ti est bien adh&ent au
sous-espace vectoriel des opérateurs de rang fini,
c.q.f.d.
REF:ARQUE :
Le caractère hllbertien de F est intervenu de façon esse
tuelle; par le projecteur orthogonal + En fait, &nach a
émis 1 hypothèse que le théoràme restait'vrai pour F
arbitraire
Banach
; depuis plusieurs dizaines d'années. cette con-
jecture reste ouverte
TIIEOREMJX (r,2,XXII,8;4).
Soient Ê,F des Banach . Le transposé d'un opérateur com-
pact u. de
E
dans? est compact de F
dansf' .
Sii etF
sont hllbertiens, .u,*
est compact de ? dans Ë .
DERONURATION :
Posons K=u(B) ;
c'est un compact de 7 . MunissonsF'
de la topolog? de la convergence uniforme sur les parties
compactes de F , et appelons F0
c
l'espace ainsi défini. Alors,
parmi les semi-normes qui définissent cette topologie, figure
fK , avec
2,xxJp;3) +$y ==+ $ 1 q,j-> 1 .
4
La semi-boule unité correspondante est le polaire
K”
de K .
Mais de ti(B)C K résulte ((T,2,XIX,7;6))t~(Ko)~Bo, B'bou-
le unité de
Ë
. Celà prouve, les homothétiques de B" formant
un système fondamental de voisinages de 0 dans
E
est continue de FL
dans Ë' .
, que t,
C'est là un résultat remarqua-
ble
; du fait que U, est continue,
résulte la continuité
de 'a de Fr
dansË' ; du fait que AL est compacte résulte
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 589/599
la continuitb de 'AL de 7: dans ËI Appelons B'
unité de ?' .
lagoule
C'est une partie équicktinue deF' c(KF),
(Chapitre XX, $ 1). Donc, sur
B’
, la topologi_t de la con-
vergence uniforme sur les parties compactes de F est ideni;l.
que a la topologie de la convergence simple, induite par
IK
pour laquelle B’ est compacte (théoreme de Sanach (T 2,X1X,
77;7). Alors, tu étant continue de FL
dans et , l'image
t
LL (B') de la partie compacte B’ de F,' est une partie com-
pacte de ËJ . Ainsi, l'image de B’ , boule unité de F1 ,
par t~ , es compacte dans E) , donc tas est un opérateur
compact de F' dans ËJ .
Le cas hilbertien se rambne B l'autre par (2,XXII,i;c)
et la remarque correspondante.
REMARQUE :
Nous avons
même démontré, par un argument analogue à
celui du théorsme (T ,2,xx11,8;1), que, si LL est un opérateur
compact de Ë dans F , c'est-k-dire si u (B) est relative-
ment compacte dans F , alors tti
(B’)
est compacte dans E' .
Soit Ë un espace vectoriel, h(,
une application
linéaire de E dans Ê . On appelle valeur propre de,% un
scalaire 31
tel que u-11 ait un noyau don réduit à (0) ,
autrement dit tel qu'il existe
XC 0 tel que Z = AZ
Un tel vecteur Z# 0'
s'appelle vecteur propre correspondant
à la valeur propre il . Le noyau Ë$(,u) =
6
de AL - 21,
pour 3r ouelconque,
s'appelle sous-espace vectoriel propre
relatif à 1
; si h est valeur propre,
FA
n'est pas réduit
9
i l
9
et le sous-espace propre
ËA
est alors
l'ensemble
formé des vecteurs propres relatifs à 2
et de 0 . Si Î?
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 590/599
est de dimension finie,, on sait que les valeurs propres de&
sont les racines de det (a- 21). D'aprks le théorème de
d'Alembert, si 1K-c , le polynome en it : dét(*L=itI)
admet au moins une racine complexe,
et il existe au moins
une valeur propre.
Ce résultat ne subsiste pas si K=R , ni si Ë est de
dimension infinie. Par exemple, dans Ë = R" , l'opérateur
de rotation + 5 autour de l'origine n'a pas de valeur propre,
Si Ë est l'espace de Banach C([O,~]) des fonctions complexes
continues sur[O, 4J , l'opérateur AL de multiplication par=
n'a pas de valeur propre
; car, si(~-?t)J(3c)= 0 , on a
$, IIIj:'d~L'~a:'~obt:lu:i~.'I.Io 's:: [,j;: sur
TI'm3IKE (r,2,xx11,8;5) (Fr.Riesz;.
Soit 4.~ un opérateur linéaire compact d'un espace vecto-
riel topologique E dans lui-même. siA est une valeur pro-
pre =b 0 , son sous-espace vectoriel propre E,
est de dimen-
sion finie.
DEMONSTRATION :
Soit U un voisinage de 0' dans E,d'image relativement
compacte par ti . Soit A+ 0 , 2, son sous-espace propre as-
socié. Posons U,=Un FA ; c’est un voisinage de e dans Ë2;
son image par w coïncide avec il U, , c’est donc encore un
voisinage de 0 de
ËA
puisque A# 0 ; mais contenu dans l'in-
tersection de ,u,(U) , compact de Ë avec E2
fermé dans f
il est contenu dans un compact deÊA . Donc E, est localement
compact, donc de dimension finie (d'après Riesz, (T 2,xVII,7';1))
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 591/599
67
REMARQUE :
C'est essentiellement pour démontrer ce théorkne que
Fr. RIES2 avait démontré le théorzme général (T 2,XVII,7;1).
THEOREME (T ,2,xx11,8;6).
Soit ti un opérateur lin&aire continu normal d'un espace
hilbertienË dans lui-même. B
Ë,
est le sous-espace propre
de& pour la valeur i\ , il est le sous-espace propre de IA*
pour la valeur 7i
. Deux sous-espaces propres de G pour deux
valeurs ;I
et fi distinctes sont orthogonauy.
I
DEMONSTRATION *
/Lc" laisse
ËA
a) stable ; en effet,
si si EË#,
AL*~ est encore dans E, (a) , car ~(~*Z)=L$L&=~(LL*%)
Alors LL et ,LL*
laissent tous deux Ea(u,)
stable ; dans
l'espace hilbertien ÊA LL)
, les restrictions de u et u*
sont encore adjointes l'une de l'autre, car ils vérifient
toujours (,Gk\q)=(Zl a*?) pour ",9 E E,(a). Mais,
dans FA(~), U,
est la multiplication par 2
; donc u* est
-
la multiplication par 2 , donc Eh(U)
est contenu dans le
sous-espace E, (a*)
. Mais de la même manière on démontre
que Eh \a*> C Fa (a) , d'où le premier résultat.
donc (;I-~)(~~l~$= 0 ; comme i\
C.q.f.d.
+r ’
on a bien(E,{s
P
)=0.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 592/599
Nous avons utilisé deux propridtés générales, qui revien-
dront plusieurs fois dans la suite ;
a) si Zr et ‘1.0 sont deux opérateurs de 2 qui commutent
(M(L& ii1) et x ),
1e noyau de chacun est stable
pour l'autre, donc pour les deux. Soit en effet=
un élément dl; coyau N de TJ' ; alors O(Ws) =
W(V;)= 0 ,doncW;& ;
b) si F est un sous-espace vectoriel fermé d'un espace
hilbertiw -i , stable pour u. et u
* (ici ÊA(*L)),
alors les restrictions de LL et LL* à F sont encore
adjointes l'une de l'autre ; car on a encore
(5c",JM,~J Lpj' pour s, < E F' . r$nc, si .lL
SE >
il l'est encore dans F . Remar-
quons aussi que,
encore dans 7
si .u est compact dans Ë
, il l'est
; car,
siB est la boule unité de E
a(BnF) c u,(B)nF' , compact de F'.
Soit alorsti un opérateur normal compact d'un espace
hilbertien
Ë
dans
lui-même.
Appelons alors A=A (LC) l'en-
semble des valeurs propres de LL . Pour 2 6 A
9
Êa
est ré-
duit à {;] ; pour L G A , ËA est quelcofique si Tt= 0
de dimension finiesi ?I # 0 ; et les différents EJ
sont deux
a deux orthogonaux. Enfin, siuz= 2$,s+~, on ai) ~&Il>)2
àonc A est contenu dans le disque de rayon II4L I( de a? .
THEOEYE
(T2,~~11,8;7).
Soit .u un opérateur normal compect d'un espace hilber-
tien E dans lui-même. 31 dehors de tout voisinaae de 0 dans
C,A:
ie
contient cw'un nombre fini de points.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 593/599
Autrement dit, ou bien A est fini, ou bien il est dd-
nombrable, et peut être rangé en une suite de nombres com-
plexes tendant vers 0 ,
0
faisant ou non partie de A .
DEMONSTRATION :
Supposons que ce soit inexact. Alors on pourrait trouver
une suite Â, ,7L,,a2,,..,a,,..., de nombres distincts,E A )
situés en dehors du disque de rayon & ; mais comme A
est
contenu dans le disque de rayon II& 11 , ces 1, sont dans la
couronne compacte &
4J-j I44 3
et on pourrait en extraire
une suite partielle convergente,
que nous appellerons encore
~'h,,LLE(N ' la limite 6tant Ir # 0 . A chaque 2, , on
pourrait associer un %% c SI, , de norme 1 ; les 3~1% seraient
12
deux à deux orthogonaux, d'où résulterait que, pour m # n,
Il
ST,-- glu /=fi.Mais les UZ, sont dans l'image tiu( B) de la
boule unit&
B
, relativement compacte par.hypoth&se ; donc
on pourrait extraire encore une suite partielle, que nous
appellerons encore de la même manière, pour laquelle les&%
aient une limite iF= Alors les z,%= t J,&~ auraient la
12
limite
+5,
ce qui est impossible, puisque leurs distances
mutuelles sont 6. C.q.f.d.
REMARQUE :
Par une méthode un
dre ce théorkme au cas
yeu plus compliquée, on Fourrait éten-
d un opérateur compact, d un Banach
quelconque Ê dans lui-même l le fait que r
soit hilbertien
et UI normal donne un6 démon:tration plus simple, mais n'a rien
d'essentiel.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 594/599
70
THEOREME T,~,xxII,~;~)
Soit 4~ Un opérateur normal compact d'Lm espace hilberclen
Ëf (of d
ans lui-nême. Si IK= C , ou si K = R et tu est
symétrique, alors il existe au moins une valeur propre de &, d
module 11u- 11 .
DEMONSTRATION
On peut supposer une fois pour toute.51
gupposons d'abord w hermitien, u<=R ou
L
w II = 1 1
. D'après (2,Xx11,
7;4), on a swi> I(&I;)1=4 . On a donc ou bien
II g II $ -1
Nous allons montrer que, dans le premier cas, + 4
propre,
et dans le deuxième cas, -4
est valeur
en- a,
; par changement de w
on peut se ramener au premier cas.
Il existe donc une suite si, ,s
3 7
~jcL,...,~,,,... de points
de la sphère unit6 de Ë ,
telle que (US~, 1 g, )
tende
vers + 1
pour q% Infini.
Comme les JC,
sont sur la boule unité B de E , les &
Ilr
sont dans .u(B) compacte,donc on peut, quitte à extraire une
suite partielle, supposer que les u;C, ont une limite +
Y *
Comme (a?&, jr,,), )("r, I[ ~4 , il ne peut tendre
vers 1 que si \I "Jcn 11 end vers 4 , donc 1) T r-1 .
Montrons alors que les z,,
convergent aussi vers-
'b .
1 sauf si w= 0 ,
auquel cas c'est trivial.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 595/599
71
a même limite que(&,\g,), c'est-h-dire 1,
car I(j - &~X(3c,)I"ll~-~~ 11 y<\\ qui tend vers 0 . Donc
(2,YXII,8;5) tend bien vers 0 , et s= converge vers 5 . Alors
%L
et "c,
convergent tous deux vers
s '
et la continuité
&zo~red~ne;~ =? 5 X
est un vecteur propre pour la valeur
qui mo
mitien, IKLIR ou
tre bien notre affirmation pour &L hcr-
de d'Alembert.
c. Il n'a pas été fait usage du théorème
Supposons maintenant U, normal compact, mais IK = aa .
Alors GL*LG
est hermitien p 0 ,
de norme 11~ 112=4 (T 2,xX11,
7;4)).
D'autre part, ti étant compact, w*,u l'est aussi
(page xX11,46). Donc le sous-espace propre 2, (&L*U) relatif
à la valeur propre 4 n'est pas réduit à
i f
.
Ce sous-
espace
7 = <, LLLX4L)
est stable par ti et u.* , qui
tous deux commutent avec AA,*A&
1 (remarques après (T ,2,XXII,
8;6)). Alors 7 est un sous-espace hilbertien de dimension
finie ;
les restrictions de ti et ti' à F sont adJointes
l'une de l'autre, donc normales. D'apres le résultat connu
dans un espace vectoriel de dimension finie, cc admet dans 7
au moins une valeur propre A (théorème de d'Alembert), et un
vecteur propre z~ correspondant ; d'aprGs (T,2,XXII,8;ij\,~~
-
est vecteur propre de U* pour la valeur propre il
. Alors
-
ZL &A&= ai\z , donc 1 2 \ = 1 1 ; donc u a bien la
valeur propre 2
de module 1
= 11 LL 11 C.q.f.d.
1 On peut encore dire : dans f ,
U. est unitaire puisque
M+*&L= 1 , donc il conserve les normes, donc ses va-
leurs propres sont nécessairement de module 1.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 596/599
COROLLAIRE
Soit& Un ODérZ3tWr IlOl’IWd COmDaCt
d'un esDace hil-
bertien
Ë
dans lui-même, nour K = c-, ou un onératsur symd-
trlaue comoact de 2 dans lui-même oour K _ R. Alors les
SOUS-BSDBCt?S DrODreS
ËA
, a e ,, , engendrent un sous-esoace
vectoriel dense dans
Ë
.
Autrement dit,
E
est la somme dl-
recte hllbertienne Q
Ë2
?sCh
DEMONSTRATION :
Nous avons déjà vu que chaque Ë1 , A E A,étalt stable
par ,u et M,* . Appelons i A l'adhérence du sous-espace vec-
toriel engendré par les EA . Comme chaque 72 3 ËA
est stable
para etpar u* .
Soit q l'orthogonal de EA . Montrons
que z aussi est stable par ~6 et u.* . Soit donc 2 E < c'est
a dire orthogonal à tous les Ê, . Montrons que A.& est aussi
orthogonal à tous les 2, . Soit donc zA EË~ . Alors
(u/sl~+(z~u*z,, =(3CIA?Eh> = ;1(i&q=O,
ce qui prouve notre affirmation.
Alors les restrictions de u-
et 44-I a
c
sont encore deux opérateurs adjoints, et u, est
encore compacte. Donc il existe un vecteur propre de ti dans3
sauf si C;= {OI :
or+l'existence d'un tel vecteur propre est
Impossible, puisque q est orthogonal à tous les vecteurs
propres, donc c={oi,et Ë = 2, ,
c.q.f.d.
Nous pouvons résumer ce qui précède dans le résultatsuivant :
TF1EOREPÏE T 2,XXII,8;9) (Riesz)
SoitË un espace hilbertlen, u un opdrateur compact
normal si
IK
- 6 , symétrique si IK= ]R . L'ensemble A des
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 597/599
73
valeurs propres. de ti est fini, ou peut être rangé en une
suite convergeant vers 0, 0 faisant ou non partie deh;A est
contenu dans le disque de rayon
l
1 &II.et a un élément de mo-
dule 11w 11 . Pour chaque 2 e A , sauf peut-être 71,0,
Ë,
est
de dimension finie ; les Ë, sont deux à deux orthogonaux.
E est la somme directe hilbertienne des ËA, i\ E A ; la dd-
composition Ë = A$AEA
s'appelle décomposition spectrale
de g relativement à ti . Ainsi l'opérateur ,u, est orthodiagonal
et peut s'écrire (;C,>,eA -
(2 giZ)ae12 , tandis que ti*
REMARQUES :
1) On peut remplacer
par @
aec
fA ) puls-
que F, = Ii;)
pour î\ 4A .
2) La réciproaue est trivialement vraie : si M/ a la
forme ci-dessus, nous avons déjà vu qu'il est normal ; mon-
trons qu'il est compact. Soit & > 0 .
Alors A est réunion de deux parties disjointes,
L
finie, formée des 2 de module > & ,
M=[*L.
Alors,
si nous posons, pour Z = (Z3)1eA :
(qxu3 $1
U(‘T-,)=X cnza , u1(5LC asa )
AEL
2rM
%' est de rang fini, puisque V(Ê)C fi2L Ë , ) de dimen-
sion finie,
et 11w 11 5 & puisque IA 1 C, E
pour 1~ M q
alors (T2,XXII,8;3) montre bien que
LL est compact.
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 598/599
74
3) P~ur E de dimension finie, toute application liné-
aire u de E dans E. est compacte ; on retrouve donc les
propriétés de la décomposition spectrale des opérateurs
Ilor-
maux dans les espaces de dimension finie.
4) Si A.G est hermitien,
toutes ses valeurs propres sont
réelles, car (
M jc, 12, ) = 1 l~GA1lER pour un vecteur
propre SA relatif à la valeur propre A . Si .u, est hermitien
30 >
toutes ses valeurs propres sont reelles z 0 . Si&
est anti-hermitien, toutes ses valeurs propres sont purement
imaginaires. Si .u est unitaire, toutes ses valeurs propres
sont de module 1 puisque IIMG//= 11% 11 , ce qui implique, si
l'on veut qu'il.soit compact, que Ë soit de dimension finie
(d'apresT ~,xxII,~;~). Les réciproques, lorsque +L. est sup-
posé normal compact, sont triviales, d'après l'expression
de AA. suivant (T 2,xX11,8:9).
5) soit D(=JR , et 4L normal.
position analogue,
Il n'y a pas de décom-
dansE'>
comme le montre le cas de la rotation+ 5
opérateur orthogonal qui n'a pas de valeurs propres
(les racines de d&( LA-AI) sont ici? k ). On peut cependant
trouver une décomposition canonique d'un autre type, faisant
justement jouer un rôle aux rotations dans des espaces de
dimension 2 ; nous ne la donnerons pas ; le lecteur pourra
la faire lui-même, en "complexifianth l'espace 2
6) On appelle spectres+& d'un opérateur AA dans un
Banach Ë l'ensemble des A eo< pour lesquels u-i\1 n'est
pas inversible.
Toute valeur propre 3 de a appartient évidemment
au spectre, puisqu'alors AA-AI
n'est pas injectif. Si
Ë est de dimension finie, la réciproque est vraie,
car toute
application linéaire injective de E dans E est bijective ;
le spectre de &L
est
donc dans ce cas 1 ensemble A des va-
leurs propres de ,u.
Il n'en est ~JUS de même si E est de
dimension infinie. Par exemple soit
Ë
= C Lo,~] espace des
fonctions continues sur le compact[0,4] de R ; soit ti l'o-
pérateur de multiplication par s . nous avons déjà vu (page
XxII,gl) qu'il n'a pas de valeur piopre ;
cependant il a un
7/25/2019 Laurent Schwartz-Cours d'Analyse Vol. 2 (1967)(1967)
http://slidepdf.com/reader/full/laurent-schwartz-cours-danalyse-vol-2-19671967 599/599
75
spectre, qui est le compact [0,4] de c
; car-Ah- 21
est