large amplitude thermo-mechanical vibration analysis of asymmetrically laminated composite beams

7
! " #$ % ! " &’(() (’)(( $’(() ’)(( * + , -+ !. + ! "#$% & ! ’ ( ! ) ! * ( + ( ! ( ( ! , - ) , & ! $ ! ! & - & ./01 + .231 $ - .4/51 , # .41 ( , ( ./51 & ( Key Engineering Materials Vols. 471-472 (2011) pp 745-750 Online available since 2011/Feb/21 at www.scientific.net © (2011) Trans Tech Publications, Switzerland doi:10.4028/www.scientific.net/KEM.471-472.745 All rights reserved. No part of contents of this paper may be reproduced or transmitted in any form or by any means without the written permission of TTP, www.ttp.net. (ID: 128.173.127.127, Virginia Tech University, University Libraries, Blacksburg, USA-12/11/14,21:19:44)

Upload: mohammad-mohammadi

Post on 16-Mar-2017

212 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Large Amplitude Thermo-Mechanical Vibration Analysis of Asymmetrically Laminated Composite Beams

���������� �������������������������������������������������������������������������������

������������������ �����������������������������������������������������������������������������

� �������������������������������� ��������������� ����!�������� �"�����#�$��������������������������������������%�������������� ����!�������� �"����

��&������'����(������(��)���(����������'�)�(��(����$����������'����(������(��)��������'�)�(��(���

�����������*������������� ���+��� ���������� �,���������-����+�!�����.��������������������+��

��������� ��� ����� ����� �� ��� �������� ��������� ��� ������� ���� ���� ������� ��� ��

������������������������������� ��������� ������� ������� ������������������

��� ������� ������� ����� ���� �� � �� ������������ ��� ������� �� ������ ��� ����� ���

�������� ��������� ������ ���������� !������ "#$�%� ��� ������� & �� ��������� ����� ���

������ ��� ������ � �� ��� ��� �������� ������ �� ������ ��� � ��������� ��� ��� ��������

��������� !������� '� ������� ����� ������� ��� ��� ������ ���(� ��� ����� ������ ���

�������� ������ ��� ������� ��� ������� �����!��� )� � ��� ������� ���� ��� �������� ������

��!������������� ������ ����������������������������� ���������������������������

������ ������������������������������������

����� �������

*�������������������������� ��������������������������� ���������������������

��������� ��� ��� �� ������� (���� ��� ��� �� ������ ���������� +�������� �� ������� �� ��

����������� ���� ��� � ���� ������ ��� ������������ ����� �� ������ ��(��� ������ ��� ������

!��� ���� ��� ���� ����� ��� �������� ����� ��� (���� � ������� ��� ���(����

� ������ ��� �� ������ ����������� ���� ��� ������ �������� � ������ ������ ���� ��

���������������!��������,�������� �������������������������� ������������������������

���������� ����������������������-������)����������������������� ��������������

���� �� ���������� ,����� ���� ��� ������ ��� ��� �� ������� ��������� ������� �� ����

�������� ��� ����� ����� �� ������ � �� ��� �������� &���� ������ �������� ��� ����

�����������������������������������������������������!��������

$���������������������������������������������������!�����������������������������

�� ����� �����!��� � �� ��� �� �������� &������ ������ ��� � ���������� ��� ��� ���� ��

������ �� ���������� �� ��� ���������� ��� ��� ������� ������� ����� �� �� ��� �� �����

������� ��� ����������� ��� �������� ��� ��� ����� �� - ���� ������ �� �������� ���������� ����

������������� ����� ������������& ����������� �����./�01���

+���������������������������������������������� �� ����������������������� ���

�� �������� � ����� �� ������ � �� .2�31�� $�� ��� ��� ����������������� ��������� ���

�� �������� � ����� � �� ����� �������� ���������� ������ �� �������� ��� � ���� ���

���������� ��� �� �������� �� ������ � ��� -� ��� ������� ��� �� ������ ��� ��� �������� ����

�������� ������� ��� �� �������� � ����� � �� .4�/51�� ,��� �������� #��� �� ��� .41�

���������� �������� ��� ������� ���������� ��� ��������(����� ��� � ����� ������������ � ��

������� ��� � ����� ��� ���� �� ��� ������ ���������� ������ � ���������� ���� ������� � �

� ����,�����������������������(����������������� ��������� ������� ������� ��

������������������������������������������������������./51��&������������������

(������� ��� ��� ������� ������� ����� ��� ��� ��� �� ������� �������� ��������� ���

�� ��������� ������ ���������������������������������

��� ����� ����� �� ��� �������� ��������� ��� ������� ���� ���� ������� ��� ��

������� ��� ��������� ������� ��� �� �������� �� ������ � ��� � ���� �� � �� ������

������ ��� ������� ����� �������������� ��� ������ ��� ������ ��� ����� ��� ��������

Key Engineering Materials Vols. 471-472 (2011) pp 745-750Online available since 2011/Feb/21 at www.scientific.net© (2011) Trans Tech Publications, Switzerlanddoi:10.4028/www.scientific.net/KEM.471-472.745

All rights reserved. No part of contents of this paper may be reproduced or transmitted in any form or by any means without the written permission of TTP,www.ttp.net. (ID: 128.173.127.127, Virginia Tech University, University Libraries, Blacksburg, USA-12/11/14,21:19:44)

Page 2: Large Amplitude Thermo-Mechanical Vibration Analysis of Asymmetrically Laminated Composite Beams

��������� ������ ���������� !������ ��� ������� *�� ��������� #$�� ��� ������ ��� �� ��������

���������� !������ "6$�%� ������ ��� �� ��� 7��(��� ������ & �� ��������� ����� ���

������ ��� ������ � �� ��� ��� �������� ������ �� ������ ��� � ��������� ��� ��� ��������

��������� 6$��� '� ������������ ������� ��� ��������� ���(� ��� ����� ������ ��� ��������

�������������������������������!���)� ����������������������������������!������

������� ������ ����������������������������� ��������������������������������� ��

�����������������

��������������������'����������� ��������� ������� ������� ���������������������

���������������������������������������������������������,���/���

�,����/��7� ��������� ������� ��������������������� �

8���� ���������������������������������� ��������������� ��� � ��������������

��� �� ��� ������� �� �������� ���� ��� ��� �������� � ������� ������� ������� �����

��� � �������������������������9�

���� = ��� ���� + 12 �������� + ��� ������ � "/%�

���� = ��� ���� + 12 �������� + ��� ������ � ":%�

��������������������������������������������������������9��

��� = ������ � � − �#�$%�&� , ��� = 12������ � �� − �#�� $, ��� = 13������ � �) − �#�) $%

�&�%

�&� � "0%�

��� ��� ��� �� ���� ������� � ������ ��� ;���� *������� � ������ �������� ��� �� ������

��∆+������������������ ������� �������� ���������������� �� � ������������������

� �������������������������9�

�,�� = - ����. /�� . +. 0 1�#1� = ������ . /���. +. � � − �#�$%�&� � "2%�

�,�� = - ����. /�� . +. . 0 1�#1� = 12������ . /���. +. � �� − �#�� $%�&� � "<%�

������� ������������/�������������9�/�� = /�234�5 + /�467�5� "=%�

����������5�������������������������������������������������������������� ����/�����/�� �� ��� ��� �� �������� ����������� ��� ��� ������ ����� ��� ������������ ��� ��������

8

9

��

;�

746 Composite Science and Technology

Page 3: Large Amplitude Thermo-Mechanical Vibration Analysis of Asymmetrically Laminated Composite Beams

����������� ����������� ��� �� �� ��� � � ���������� ��� ����� ������� ���� ������ ��� �������

� �����������������������������������������9�

� = 9��� = 9����� + �,��$ = 9��� <��� + 12 �������= + 9��� ������ + 9�,��� ">%�

� = 9��� = 9����� +�,��$ = 9��� <��� + 12 �������= + 9��� ������ + 9�,��� "3%�

*��!�������� �!������������� ������� �� ���������������������������9�

>��?� − ��� = 0� "4%�

>���?� + ����� − � ������ = 0� "/5%�

������ ��� ��� ��� ������� -���� �� � �� ����� �� ������������� ��� ��������� !������ ���

�� ������������������� ����������������9�

>�� ,ABAB + 9 ���� − ����������,�������� − 9. <�,�� + ���28 - ��,���0� + ���8CD E��,���8, ?$ − ��,���0, ?$F=��,����= 0�

"//%�

��� ������ �� � ������ �������� ����� ������ �������� ?�� *�� ���������� �� ��������� �������

����������9�

� = ��8 ; � = ��H ; ? = ?I9 ���� − �������� />8K� "/:%�

����H = LM/���������������������������������������������?������!��//��������� ���������

�����������������!��/:������� ������������ ����������������!��������� �9�

�,AA + �,���� − <�,� + N- �,�� 0� + O�D E�,��1, ?$ − �,��0, ?$F=�,�� = 0� "/0%�

���9�

�,� = �,��8�9 ���� − ��������

; N = ���H�2 ���� − ��������

; O = ���H���� − ��������

�"/2%�

-��� �������, ?$ = P�?$Q��$�����P�?$��������(������� ��������������������Q��$����

��������������������������������(�� ������������������������������������*���/���

�*���/��-� ���������������������������� ��������������������������������.//1��

������������������ Q��$ )� �������������"))%� sin�U�$

'� ���'� ���"''%� �cosh�Y�$ − cos�Y�$$ − cosh�Y$ − cos�Y$sinh�Y$ − sin�Y$ �sinh�Y�$ − sin�Y�$$; Y = 4.7300

-��� ���� ��������� ���������� ����Q��$� ������� ����� ��� 7��(��� �����!��� ��� !������ ���

����������� �������(��������������P�?$��������������9�P\ �?$ + E/� + /%]^FP�?$ + /�P�?$� + /)P�?$) = 0� "/<%�

���������������/_������������-��������*�������������� �������@��������������������

�����������������9�

Key Engineering Materials Vols. 471-472 747

Page 4: Large Amplitude Thermo-Mechanical Vibration Analysis of Asymmetrically Laminated Composite Beams

P�0$ = `, 0P�0$0? = 0� "/=%�

����������������� ��������� �� � � ����������������������

�������������� ������������������ ������������������!��/<�������������9�P\ + a�P + a�P� + a)P) = P\ + b�P$ = 0� "/>%�

���a� = /� + /%]^��a� = /����a) = /)������������������������!��/>�������������������

���� �������� �����./19��

c�P$ = - d−12P�e + a�2 P� + a�3 P) + a)4 PKf 0?,/KD � "/3%�

�����������������������������������������*�������� ���������������������9�P�?$ = `234�g?$� "/4%�

������ ���g� �� ��� ������� ��� �������� ������ ��!����� ��� ��� ����������� �����������

)�������������!��/4�������!��/3�������������������� ����h = g?����������9�

c�`, g$ = 1g- d−12 `2g24672�h$ + 12 a1`2cos2�h$ + 13 a2`3cos3�h$ + 14a3`4cos4�h$f 0hi/�D � ":5%�

*�������������������������������������������9�c` = 1g- j−`g24672�h$ +a1`cos2�h$ + a2`2cos3�h$ +a3`3cos4�h$k0hi/�D = 0� ":/%�

*������������������!����������� �������������� ������� ��!��:/��9�

g� = l ma� cos� �h$ + a�` cos)�h$ + a)`� cosK�h$n0hi�D l sin��h$ 0hi�D= a� + 83U a�` + 34a)`�� "::%�

*���������������� ������������������������ �����9�

P�?$ = `234 pIa� + 83U a�` + 34a)`�?q � ":0%�

��������� � ����������

-�� ������� ��� ����� ��� � ��� ��� ������� ��� ���������� �������� ���������� �� ����������

� ���� ��������������������� ������������� ����� ����������� ������������ ��� *���:�����

�������� ��� ����� ��!����� ����� "g%C/gC%� ��� ��� ���������� � � �� �������� �������� ��� ���

������������������������������������������������������������������������� �����������

������������������������������������������������������ ���������������������

*�� ���� � ��� ��� � 7�����A������ �� ������ � � ����� ��� ���������� �����

��������9��

r�� = 137�st`$; r�� = 9.96�st`$; s�� = 7.1�st`$;w�� = 0.3; x = 1200 yz>) ; /� = −0.3 × 1#|/℃; /� = 26.08 × 1#|/℃

B������� ��� �� ��������� ������� ��� � �� ����� ������� ������ ��� �� ��� ��������

���������������������������������������������������������

-�� ��������������!��/3����������!������������������ �������������������������������

���������� &������ ���� �� ����� ��� � �� ����� ���������� ��� �� ������ ��� !������� �� �

������� ��� �������� �!�� /3� ������ ��� � $������� !������� ��� ����� ���� ��� ���� ��������

��!�����"g~�%��������� �����9�

748 Composite Science and Technology

Page 5: Large Amplitude Thermo-Mechanical Vibration Analysis of Asymmetrically Laminated Composite Beams

g~� = 2U��4- 1

�a� � 12 �1 � sin��h$$a)`�0h

i�D �

�#�

� ":2%�

-��������������������� ������!���������������������!��::�������������� ������������

� �����"5�45�5�45%�� ��������������� ���������������������� ��������� ����������

����������*���0��C��������������� �������!�����������������!��:2���������������������

����� -����� �������� ����� �� ��� ����� ���� ��������� ���� �������� ������� ��� � �����

� ���������������+�� � �������������������������������������������������������

����������!��:2���������5�0D���

*���:��'� ������������!����������"g%C/gC%��

��))� � ''�

#����� .=1� .<1� .21� � #����� .=1� .<1� .21�

/� /�534>� /�534>� /�534>� /�534/� � /�5<<:� /�5<>:� /�5=:3� /�5� :/�

:� /�0::4� /�0::3� /�0::4� /�0/>>� � /�:5<=� /�:/:<� /�:/25� /�53<=�

0� /�=040� /�=040� /�=042� /�=:<=� � /�2:/2� /�2022� /�0452� /�/30/�

2� /�4444� /�4444� ��� ��� � /�=>>=� /�=/>/� /�<=0<� /�05=2�

*���0��,�!����������"g%C/gC%����''�� ������� ������� �"5�45�5�45%��

��

� +�}$�

� 5� � <5� � /55�

� #����� ����� � #����� ����� � #����� �����

5�<� � /�553<� /�553<� � /�553=� /�553=� � /�553>� /�553>�/�5� � /�500=� /�500<� � /�5025� /�5004� � /�5022� /�5020�:�5� � /�/:3<� /�/:>2� � /�/055� /�/:34� � /�/0/2� /�/050�0�5� � /�:>/5� /�:=>:� � /�:>04� /�:>55� � /�:>=3� /�:>:3�

*�� ������ ��� ��� � ������ �������� ��� ��� �������� ������ ��!����� ��� � �����

�� ������ � �� �� ������� ��� ������� �� ������� ��� ,����� :�0�� ��� ���� �������� ���

�� �����������!����������"g%C/gC%��������� ��������� �������"�%���������������������

���������������������������������������������''�� �����))�� ��.5�45�45�51����.5�2<�

5� 2<1� ������� � ������� �������� �������� ���� ��� �������� ��!����� ����� ������� �� ���

����������� ������� ��� �������� &������ ��� ��� ��� ��� ))� � � .45� 5� 45� 51�� ��!����� �����

��������������������������������� ������������������

��� ��� �� ��������� ��� � ,����� :�0� ���� �� ��� ����� ��� ��� � ������ �������� ������� ���

���������!�����������������������

� �"%� "�%�

,����:��������������* �����������!�������������''�� �%�+ � 100}���%�+ � 300}�

Key Engineering Materials Vols. 471-472 749

Page 6: Large Amplitude Thermo-Mechanical Vibration Analysis of Asymmetrically Laminated Composite Beams

� �"%� "�%�

,����0��������������� �����������!�������������))�� ��%+ = 50}���%+ � 100}����������

��������������� �������������������������������������� ���������� �� ����������

��������� ������� ��� �� �������� � ����� �� ������ � ��� *�� ������� ���������� ��

��������� ��� �������� ���� ��� �������� ������� ��� ��� � ����� � ��� ��� ����� ��� �����

�������� �����!��� ����� �� ����������� ������� ��� ������� ��������� ��� ����� ���� � ����

���� ��� ��������� ��������� ������ �E�� ��� ������ ��� ���� ��� ���� �� ������

������������ �������������� ��� ������ ��� ������ ��� ����� ��� �������� ��������� ������

����������!��������� �������& ����������� �������� ������������������ ��������������

������ ����������� ���������������������������������!�������'� �������������������

��� ��� ������ ���(� ��� ����� ������ ��� �������� ������ ��� ������� ��� ������� �����!���

)� � ��� ������� ���� ��� �������� ������ ��!������ ��� � ����� � �� ����� �� ��� ����� ���

��������� ������������������������������� �����������������������������C�����������

���� �� ��� ����� ��� ��� � ������ �������� ��� ��������� ������� ������� ��� ���� ���

��!����������������������

�������� ������

*���������������������(���������������������������������B������,���������"������+����

B�(����%���

�����������

./1�F�&�&9�'����)��������,�����������02�":55>%�����/205�

.:1�F�&�&9��'����)��������,����������/4�":552%�����32>�

.01�F�,��G��9�'� �����+����-����������<3�":554%�����:2:0�

.21�G��-;����C���� �����C�7��8���9�F�)��������������::2�"/444%�����/30�

.<1�+����H���9�-�����-�����������25�"/440%����/2/�

.=1�*��#����������+�*��-� �������+��,������9�+���C��'� ��������0=�":554%�����/20�

.>1�-�)��� ����-�&��B���9�'� �����)������������33�":554%�����=0=�

.31�I��)���������+�8���9*����8����)��������������2>�":554%����052�

.41���#��#����+��7���������+��*������9�'� �����)������������2=�"/444%�����/34�

./51� +�� ������� C�-�� F���*���(���� ��� &�� )����9� -����� +���� +����� ����� 0<� ":5//%�� ���

/05�

.//1�)�)�C�9� ��������������������������������F����8����J�)���������B��F����":552%��

��

����� ���

/� � l ∅,���� . ∅. 0��D l ∅��D . 0� ;/� � "O�∅,��1$ " ∅,��0$� l ∅,�� . ∅. 0��Dl ∅��D . 0� �

/) � "Nl ∅,��. 0��D l ∅,�� . ∅. 0��Dl ∅��D . 0� ;/%]^ � "�,� l ∅,�� . ∅. 0��Dl ∅��D . 0� ��

750 Composite Science and Technology

Page 7: Large Amplitude Thermo-Mechanical Vibration Analysis of Asymmetrically Laminated Composite Beams

Composite Science and Technology 10.4028/www.scientific.net/KEM.471-472 Large Amplitude Thermo-Mechanical Vibration Analysis of Asymmetrically Laminated Composite

Beams 10.4028/www.scientific.net/KEM.471-472.745