8/17/2019 LaplaceII

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Definición básica

Si f(t) está definida cuando t≥0, la integral impropia

se define como un límite:

Definición

Sea f una función definida para t Entonces la integral

se llama

TRANSFORMADA DE LAPLACE de f, siempre y cuando la integral converja. Cuando

s , la integral es divergente.

Observación. Cuando la integral converge, el resultado es una función de s.

Ejercicio

Evalúe

siendo s > 0

Transformación Lineal

Sean constantes, entonces:

=α.L βL  

Se dice que L es una transformación lineal.

Orden Exponencial

Se dice que una función f es de orden exponencial si existen constantes c,

M y T tales que para todo t > T.

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F(t) 

T  t

Observe que en todos los casos se cumple el orden exponencial donde t>T

F(t) 2  

T  2Cos(t)

t

F(t) 

t 

T

t

F(t) 

T

t 

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F(t) 

T  t 

Condiciones suficientes para la existencia

Si es continua por tramos en [0, + y de orden exponencial c para

t>T, entonces L existe para s>c.

Ejercicios

1.- Evalúe L

L

L  

siendo s > 0

2.- Evalúe L

L

L =

siendo s+3 > 0; s > -3

3.- Evalúe L

L De acuerdo a Integración por partes;

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L =

L   Aplicando otra integración por

partes, tenemos:

L

L =

 – 

L

L

L siempre que s > 0

4.- Evalúe L  

L

L siendo s > 0

5.- Evalúe

integrando por partes queda: 

= -

Siendo s+2 > 0; s >-2

6.- Evalúe

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Integrando por partes tenemos:

integrando nuevamente por partes

tenemos:

siendo s+2 > 0; s > -2

7.- Evalúe

siempre que s > 0

PROPUESTO:

TRANSFORMADAS DE ALGUNAS FUNCIONES BÁSICAS

g)

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8.- Evalúe

IMPORTANTE: El factor común que vamos a usar en la potencia de las funciones

exponenciales será el –  para que sea mayor a cero y de esta manera la

integral converja. Ejemplo:

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