I Semestre 2015

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE PANAM FACULTAD DE INGENIERA MECNICA

DINMICA APLICADA

GUA DE LABORATORIO No.2 SISTEMA MASA RESORTE

2.1 Objetivos Generales

Desarrollar y analizar el modelo fsico y matemtico de un sistema masa-resorte bajo vibracin libre, sin amortiguamiento.

2.2 Objetivos Especficos

1. Determinar las caractersticas principales de los componentes de un sistema dinmico.

2. Obtener el modelo matemtico de un sistema masa-resorte. 3. Comprender el efecto de la no-linealidad sobre la complejidad del

modelo, 4. Determinar la ecuacin diferencial de movimiento para el sistema

linearizado. 5. Calcular el periodo y la frecuencia circular natural de la vibracin

libre resultante. 6. Medir el periodo natural de oscilacin y determinar la frecuencia

circular natural a partir del mismo. 7. Comparar los resultados obtenidos del modelo matemtico con los

resultados medidos. 8. Analizar los resultados y explicar las diferencias en funcin de las

aproximaciones y simplificaciones hechas al desarrollar el modelo. 9. Desarrollar y analizar el modelo matemtico utilizando MATHLAB Y

SIMULINK.

2.3 Equipos y materiales a utilizar

1. Resorte de tensin 2. Discos de diferentes pesos 3. Cronmetro 4. Marco para soporte 5. Base para los discos

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6. Balanza 7. Cinta mtrica 8. Computadora

2.4 Metodologa

1. Realizar mediciones mediante observacin directa, comparacin y pruebas.

2. Identificar las caractersticas bsicas de sistemas mecnicos. 3. Discutir de las experiencias y resultados. 4. Presentar el procedimiento para el desarrollo de modelos matemticos

de sistemas masa resorte. 5. Presentar anlisis cualitativo y cuantitativo del modelo 6. Presentar y discutir la representacin de modelos fsicos. 7. Realizar investigacin complementaria. 8. Se evaluar: asistencia, participacin y aporte individual y de grupo. 9. Entregar reporte de experiencia de laboratorio. 10. Utilizar el sistema Internacional de Unidades (SI).

2.5 Procedimiento

Para cada uno de los tres resortes estudiados en la experiencia de laboratorio No.1:

1. Asegure un extremo del resorte de tensin al marco soporte. Coloque la base de los discos en el extremo libre del resorte. Mida la longitud del resorte entre sus extremos. Escoja el punto central de la regin lineal y coloque discos hasta logra la deflexin del resorte correspondiente a este punto.

2. Desplace ligeramente la base con los discos y libere el mismo para que oscile dentro del rango lineal de la grfica.Con la ayuda del cronmetro tome el tiempo en que demora dar 3 oscilaciones el sistema.

3. Mida el periodo natural y calcule la frecuencia circular natural resultante.

! = !!!

(Hz o ciclos/s) (2.1)

! = 2!(rad/s) (2.2)

4. Determine analticamente la frecuencia natural del sistema masa resorte.

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5. Presente los resultados experimentales y analticos en la siguiente tabla.

Resorte Masa !"# !"! ! !"# ! !"# ! = ! = ! = ! = ! = ! =

2.6 Preguntas

1. Determine las frecuencias naturales de oscilacin, para los sistemas Masa-resorte de forma experimental y analtica. Presente los porcentajes de error.

2. Explique las posibles fuentes de error en la realizacin del laboratorio. 3. Qu suposiciones son necesarias para la simplificacin del modelo

matemtico estudiado en el laboratorio? 4. Demuestre matemticamente la obtencin de la frecuencia natural de

oscilacin analtica. 5. De qu parmetros depende la rigidez de un sistema?, Explique 6. De qu parmetros depende la frecuencia natural de oscilacin del

sistema masa resorte?, Explique. 7. Resuelva el modelo matemtico utilizando Mathlab y Simulink.

2.7 Fundamentos

Los sistemas mecnicos cuentan con medios para almacenar energa cintica (masas o inercias), para almacenar energa potencial (elementos elsticos y por su posicin en el campo gravitacional) y elementos para disipar energa (amortiguadores o friccin).

Para un resorte lineal, la relacin entre la fuerza F y la deformacin x estdada por la siguiente ecuacin:

= (2.3)

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Figura 1. Representacin Grfica Ley de Hooke

La energa potencial de un resorte est dada por la ecuacin (1.4).

! = !! ! (2.4)

Tal como se establece en la ecuacin (1.3) existe una proporcin directa entre la fuerza aplicada al resorte y la deformacin producida al mismo, la constante de proporcionalidad, que es la pendiente de la curva fuerza-deformacin representa la constante k del resorte.

Para una masa o inercia, la relacin entre la fuerza F y la aceleracin est dada por:

= (2.5)

La energa cintica de unamasa con movimiento de traslacin est dada por la ecuacin (1.6).

! = !! ! (2.6)

Asumiendo despreciable el amortiguamiento en el sistema, la energa total se conserva. Por lo tanto,

! = ! + ! (2.7)

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! = !! ! + !

! ! (2.8)

La ecuacin diferencial de movimiento de la masa suspendida de un resorte puede determinarse por varios mtodos entre los cuales podemos mencionar:

= (2.9)

!!"

! = 0 (2.10)

:

+ = 0 (2.11)

1.11 :

= sin + cos (2.12)

Donde las constantes A y B se obtienen a partir de las condiciones iniciales:

! = = 0 ! = ! = = 0 (2.13)

Podemos resolver este problema grficamente de la siguiente manera:

Un integrador est representado por la figura (1.2).

Figura 1.2 Integrador

Aplicando integradores para resolver la ecuacin (1.14) resulta el diagrama de la Figura (1.3):

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= !! (2.14)

Figura 1.3 Diagrama de bloque de la Ecuacin (1.14)

2.8 Referencias

1. Vibraciones Mecnicas. Singiresu S. Rao. Quinta edicin. PEARSON EDUCATION, Mxico, 2012.

2. Vibraciones. BalakumarBalachandran, Edward B. Magrab. CENGAGE Learning, Primeraedicin, 2008.

3. Diseo en Ingeniera Mecnica de Shigley. Richard G. Budynas y J. Keith Nisbett. Octavaedicin. McGraww-Hill/Interamericana, 2008.

4. Modeling, Analysis and Control of Dynamic Systems. William J. Palm III. John Wiley & Sons, 1983.

5. Mecatrnica, Sistemas de Control Electrnico en la Ingeniera Mecnica y Elctrica. Quinta edicin. Alfaomega Grupo Editor, S.A. 2013.