UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Movimiento armnico simple

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA Y TEXTIL

Laboratorio de fsica II

INFORME N. 2Movimiento armnico simpleREALIZADO POR: MESA:F3 Trigoso Villalovos Fernando

Sanchez Choque Anderson Quispe Alegria Carlos

PROFESOR:

Ciro Carhuancho.PERIODO ACADMICO:2009-IIFECHA DE LA PRCTICA: 14/09/2009LIMA- PER

Movimiento armnico simpleI. OBJETIVOS:

Estudiar la relacin que existe entre el perodo T de las oscilaciones de un resorte, en funcin de la masa m agregada. Determinar el periodo de oscilacin y comprobar que no depende de la amplitud de la oscilacin, sino de la masa colgada.

Visualizar un cuerpo que describe un MAS.II. FUNDAMENTO TERICOMovimiento oscilatorio

El movimiento oscilatorio es un movimiento en torno a un punto de equilibrio estable. Los puntos de equilibrio mecnico son, en general, aquellos en los cuales la fuerza neta que acta sobre la partcula es cero. Si el equilibrio es estable, pequeos desplazamientos darn lugar a la aparicin de una fuerza que tender a llevar a la partcula de vuelta hacia el punto de equilibrio. Tal fuerza se denomina restauradora.

Movimiento armnico simple (M.A.S)

De todos los movimientos oscilatorios, el ms importante es el movimiento armnico simple, debido a que, adems de ser el movimiento ms simple de describir matemticamente, constituye una aproximacin muy cercana de muchas oscilaciones encontradas en la naturaleza.Cinemtica del movimiento armnico simple

Ecuacin del movimientoPosicin. La base de un movimiento armnico simple consiste en que la magnitud de la nica fuerza ejercida sobre la partcula es directamente proporcional al desplazamiento x de sta respecto al equilibrio. En un desplazamiento segn el eje Ox, esta fuerza es tal que Fx = kx donde k es una constante positiva y x la elongacin, es decir, la posicin de la partcula en cualquier instante respecto de la posicin de equilibrio. El signo negativo indica que en todo momento la partcula experimenta una fuerza contraria a su posicin (le "empuja" hacia la posicin de equilibrio).

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armnico simple se define entonces en una dimensin mediante la ecuacin diferencial

Siendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se obtiene la siguiente ecuacin donde es la frecuencia angular del movimiento:

Una solucin de la ecuacin diferencial (*) es;

donde:

: es la elongacin, es decir, la posicin en cualquier instante, respecto de la posicin de equilibrio, de la partcula que vibra.

: es la amplitud del movimiento (alejamiento mximo del punto de equilibrio).

: es la frecuencia angular: es el tiempo que determina el movimiento.

: recibe el nombre de fase inicial e indica el estado de vibracin (o fase) en el instante t = 0 de la partcula que oscila.

Adems, la frecuencia de oscilacin puede escribirse como

, y por lo tanto el periodo como

La velocidad y aceleracin de la partcula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresin .

Velocidad .La velocidad se obtiene derivando la ecuacin de la posicin obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:

Aceleracin. La aceleracin es la variacin de la velocidad respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuacin de la velocidad respecto al tiempo:

III. PARTE EXPERIMENTAL:EQUIPO:

Un resorte.

Una base y soporte universal.

Un cronometro.

Cuatro masa aproximadas de 150, 200, 250 y 500 gramos.

Regla metlica milimetrada.

PROCEDIMIENTO:Con los materiales dispuestos procedemos a ubicar el soporte universal sobre la mesa de trabajo, eso s cerca del filo de la mesa para que en el momento de que se realiza las elongaciones y el MAS no estorbe el movimiento que podran ocurrir y tambin para tener mayor comodidad al momento de usar la regla metlica debido a que es un poco grande.

Luego procedemos al montaje del resorte sobre el soporte universal y sobre ste le aadimos poco a poco las masas pequeas agrupndolas de diferentes formas, de tal manera que este aumentado de forma sucesiva, para que sea capaz de producir una deformacin apreciable.

En seguida de que se dispone del resorte procedemos a medir las elongaciones que producen las diferentes agrupaciones de las masas, esperando que el sistema se quede en repose para poder marcarla en el papel milimetrado, para as medir las diferentes elongaciones que ocasiona cada una de ellas; ya que con estos resultados podremos calcular la constante elstica del resorte que es de mucha importancia en el transcurso de esta experiencia.

Despus pasamos a la experiencia del MAS estirando el resorte hacia abajo, hasta una posicin inferior marcada fija de 5,9cm (amplitud) y poniendo el cronometro en cero procedemos a soltarlo y medir el tiempo que tarde en efectuar veinte oscilaciones, repitiendo tres veces para tener un tiempo cercano al real de cada oscilacin.

Por ltimo realizamos un MAS pero para solo una masa, midiendo el tiempo que dura 20 oscilaciones de sta, solo cambiando la amplitud.

IV. CALCULOS Y RESULTADOS1. Determinacin de la constante elstica del resorte.Se calcular la constante de rigidez del resorte, usando el mtodo de la pendiente de la grafica elongacin vs. Peso.

Secuencia de la experiencia llevada acabo. Suspender el resorte usando un soporte universal y agregarle sucesivamente masas. Anotar el alargamiento (x) del resorte respecto a su longitud natural, a medida que se van agregando las masas (m). Como se muestra en las figuras.Valores obtenidos en la experiencia: MASA (g)PESO (mN)X (cm.)

506,350632,6

759,927599,27,3

1015,2510152,512,1

1268,6512686,516,8

Haciendo ajuste de la curva por recta mnimo cuadrtica se tiene:

NXiYiXiYiXi2

12,6506313163,86,8

27,37599,255474,253,3

312,110152,5122845,3146,4

416,812686,5213133,2282,2

38,835501,2404616,4488,7

na0 + a1xi =yi

a0xi + a1 xi2 =xiyi

Sabemos: f(x) = a0 + a1x, al resolver:

Reemplazando las sumatorias del cuadro en el sistema de ecuaciones, obtenemos: a0 =3672.6 y a1 = 536.36( f(x) = 536.36x + 3672.6Graficando se tiene: Del grfico se tiene que la constante del resorte1 (k1) es igual a la pendiente de la recta. Por lo tanto:

k = 536.36 mN/cm. o k = 53.64N/m

Observaciones: En los clculos el valor de la gravedad se tomo como 10(m/s2). Para realizar las mediciones de longitud se debe esperar a que el sistema masa-resorte se encuentre en situacin de equilibrio

Se debe tener en cuenta que mientras mayor sea el nmero de datos usados para realizar el ajuste de curva, al calcular la pendiente de la misma, para nuestro caso igual a la constante de rigidez, se obtendr resultados mas exactos, es decir menor incertidumbre en los resultados.

Ahora calculamos K; promediando la relacin (Kn= mng / xn) para cada masa. Es decir: K1=m1g / X1 ( K1=5063 / 2.6 = 20.47 N/mK2=m2g / X2 ( K2=7599,2 / 7.3 = 25.4 N/mK3=m3g / X3 ( K3=10152,5 / 12.1 = 83.9 N/mK4=m4g / X4 ( K4=12686,5 / 16.8 = 75.5 N/mPor lo tanto:

k=( K1 +K2 +K3 +K4)/4 k = 51.31N/m2. Determine la frecuencia promedio con cada una de las masas y compare.Las frecuencias promedios se obtienen a partir de los tres periodos experimentales obtenidos en el laboratorio.

Los periodos se obtuvieron de la siguiente manera:

Luego se promediaban los tres promedios obtenidos experimental mente:

Obtenido los periodos para cada masa se calcula las frecuencias mediante la frmula:

Despus de efectuar los clculos se procede a llenar el siguiente cuadro:m(g)t1(s)t2(s)t3(s)# de osc. Periodo TFrecuencia f

759.9515.4815.3815.45200,771.3

1015.2517.8617.8617.77200.891.12

1256.319.8619.8419.96200.991.01

1509.221.6321.7021.67201.080.92

Una vez obtenidas las frecuencias se procede a comparar con cada una de las masas de la siguiente forma:

: Frecuencia al cuadrado para x

: Frecuencia al cuadrado para y

: Masa de y

: Masa de xTambin se calcula el porcentaje de diferencia de la siguiente manera:

Porcentaje de diferencia = .100 %Los clculos respectivos son:

1.347 con 1.336

1.230 con 1.237

Porcentaje de diferencia:

Porcentaje de diferencia:0,840%

-0.630%

1.205 con 1.201

1.657 con 1.653

Porcentaje de diferencia:

Porcentaje de diferencia:

0.325%

0.215%

1.482 con 1.487

1.997 con 1.986Porcentaje de diferencia:

Porcentaje de diferencia:

-0.303%

0.539%

3. Adicionando a cada masa un tercio de la masa del resorte vuelva a comparar las razones del paso 2, esto es:

Se efectan los clculos a continuacin:

1.347 con 1.328

Porcentaje de diferencia:

1.429%

1.230 con 1.283Porcentaje de diferencia:

-4.336%

1.205 con 1.198Porcentaje de diferencia:

0.599%

1.657 con 1.637

Porcentaje de diferencia:

1.189%

1.482 con 1.477Porcentaje de diferencia:

0.340%

1.997 con 1.961

Porcentaje de diferencia:

1.788%

4. Clculo de la frecuencia para cada masa.

Para calcular la frecuencia (frecuencia terica) de cada masa se har uso de la siguiente relacin:f = (1/2) x (K/m)1/2Para la constante de rigidez del resorte se tomar el valor hallado en la experiencia previa (k = 53.64N/m) MASA (g)

m1=759.95

m2=1015.25

m3=1256.3

m4=1509.2

Entonces se tiene:f1 = (1/2) x (K/m1)1/2 ( f1 = 3.12Hzf 2= (1/2) x (K/m2)1/2 ( f 2= 2.7 Hzf 3= (1/2) x (K/m3)1/2 ( f 3= 2.42 Hzf4 = (1/2) x (K/m4)1/2 ( f4 = 2.21 HzA continuacin se muestra un cuadro con las frecuencias medidas en el laboratorio. (Frecuencia experimental)masa(g)Periodo (T)frecuencia (fexp)

759,950,771,3

1015,250,891,12

1256,30,991,01

1509,21,080,93

Calculando el % de error %ERROR= ((fexp i-ft)/ft).100%frecuenciafrecuencia %error

experimentalteorica

1,33,12-58,33%

1,122,7-58,52%

1,012,42-58,26%

0,932,21-57,92%

5. Cmo reconocera si el movimiento de una masa que oscila, cumple un movimiento armnico?

Para reconocer si una masa que oscila cumple un MAS podramos partir de la siguiente situacin:

Teniendo en cuenta la ecuacin fundamental del movimiento y que:

Pero: , entonces:

Por la 2da ley de newton sabemos:

Donde la aceleracin es igual a:

La ecuacin obtenida es la ecuacin diferencial del movimiento armnico simple.

La forma de resolver este tipo de ecuacin diferencial es la siguiente: nos damos la solucin de antemano y luego la reemplazamos en la ecuacin.

Verificando si cumple.

Ahora bien; como saber la solucin de antemano. Si observamos la ecuacin diferencial:

Nos damos cuenta que tenemos que buscar una solucin de X en funcin del tiempo t tal que su segunda derivada respecto del tiempo sea igual a la misma funcin x con signo cambiado y multiplicada por una constante .

Sabemos que una funcin seno o coseno cumplen con esta condicin.

Por ejemplo, ensayemos una solucin seno:

La segunda derivada de x respecto del tiempo t, es igual a la funcin misma x con signo cambiado; y no es afectada si la multiplicamos por una constante.

Vemos que cumple, lo mismo pasa con una solucin coseno:

Es decir, podemos escoger una solucin seno o coseno o una combinacin de ambas. Nosotros escogeremos una solucin seno de la forma ms general.

Reemplazando en la ecuacin diferencial del M.A.S. Si hacemos , la ecuacin se cumple y a la vez tenemos el valor de una de las constantes.Por lo tanto: Es la solucin de la ecuacin diferencial del M.A.S.

La cantidad se denomina la fase del movimiento y por ello es la fase inicial; esto es, su valor cuando .

Como la funcin seno vara entre -1 y +1 la posicin x vara entre y El desplazamiento mximo A a partir de la posicin de equilibrio se define como la amplitud del Movimiento Armnico Simple.

La funcin seno se repite cada vez que el ngulo aumenta en ; por consiguiente, la posicin de la partcula se repite despus de un intervalo de tiempo .

Luego: el movimiento armnico simple es un movimiento peridico y cuyo periodo est dado por:

La frecuencia f de un movimiento armnico simple es igual al nmero de oscilaciones completas por unidad de tiempo; entendindose por oscilacin, el movimiento de ida y vuelta hasta volver al punto de partida.

As:

La cantidad w se denomina frecuencia angular de la partcula oscilante y est relacionada con la frecuencia por una relacin similar a la del movimiento circular.

6. Qu tan prximo es el movimiento estudiado aqu, a un movimiento armnico simple?

El movimiento realizado en el laboratorio es cercano al Movimiento Armnico Simple, ya que los resultados obtenidos de la experiencia respaldan que el periodo que dura una oscilacin con un resorte con masa es aproximadamente igual a de que sea un resorte ideal. Y no solo eso, sino que tambin la relacin de frecuencias al cuadrado con la inversa de las masas7. Grafica del periodo al cuadrado versus la masa.

MASA (g)PERIODO2(s2)

759.950,5929

1015.250,7921

1256.30,9801

1509.21,1664

Haciendo ajuste de la curva por recta mnimo cuadrtica se tiene:

NXiYiXiYiXi2

1759,0950,59447,9576225,2

21015,250,79802,01030732,6

31256,30,981231,21578289,7

41509,21,171765,82277684,6

4539,8453,534246,95462932,1

na0 + a1xi =yi

a0xi + a1 xi2 =xiyi

Sabemos: f(x) = a0 + a1x, al resolver:

Reemplazando las sumatorias del cuadro en el sistema de ecuaciones, obtenemos: a0 = 0.0124 y a1 = 0.7668( f(x) = 0.7668x + 0.0124Graficando se tiene:

ADICIONAL:8. Relacin entre la amplitud y la frecuencia

De la siguiente frmula:

f: frecuencia

W : frecuencia angular

k : constante del resorte

m: masa Se evidencia la independencia de la frecuencia respecto a la amplitud.En la experiencia los datos obtenidos fueron:

A(cm)Frecuencia

51.121

81.124

111.125

141.132

A: amplitud

De los cuales se obtiene la siguiente grafica

Se observa que la frecuencia depende mnimamente de la amplitud esto es debido a que el movimiento no es un M.A.S perfecto ya que se omiten fuerzas como la producida por el viento.

V. OBSERVACIONES Y CONCLUSIONES. El periodo al cuadrado es directamente proporcional a la masa, Ya que :T2 = (42/K) x m

Se puede ver que las frecuencias experimentales y las tericas tienen un gran margen de error, esto se debe ya que el K utilizado es un promedio hallado por mnimos cuadrados, ya que se sabe que para cada X en la frmula 18.6 hay un K especfico, otra de las razones es que en la experiencia el resorte tiene masa y este en la frmula no se considera ya que se toma como ideal. El Movimiento Armnico Simple es un movimiento peridico en el que la posicin vara segn una ecuacin de tipo senoidal o cosenoidal. La velocidad del cuerpo cambia continuamente, siendo mxima en el centro de la trayectoria y nula en los extremos, donde el cuerpo cambia el sentido del movimiento. El M.A.S. es un movimiento acelerado no uniformemente. Su aceleracin es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto a este. Toma su valor mximo en los extremos de la trayectoria, mientras que es mnimo en el centro. Podemos imaginar un M.A.S. como una proyeccin de un Movimiento Circular Uniforme. El desfase nos indica la posicin del cuerpo en el instante inicial. La fuerza elstica responsable de un M.A.S. es siempre opuesta al desplazamiento y proporcional al mismo. La frecuencia con la que vibra un cuerpo que describe un M.A.S. depende slo de su masa y dela constante elstica, mientras que es independiente de la amplitud de la vibracin. La fuerza elstica que origina un M.A.S. es conservativa. La energa potencial elstica que lleva asociada es nula en el centro de la trayectoria y mxima en sus extremos. La energa cintica en el M.A.S. vara continuamente, siendo mxima en el centro de la trayectoria y nula en sus extremos.

Dado el carcter conservativo de la fuerza elstica, la energa mecnica total del cuerpo permanece constante a lo largo de toda la trayectoria.

VI.BIBLIOGRAFIALibros consultados:

Fsica, Serway, Raymond A, edit. Interamericana, Mxico (1985).

Fsica, Resnick, Robert; Halliday, David; Krane, Kenneth S, edit. CECSA(1993)

Fsica I, Mecnica, Alonso, M y Finn E. J., Edit. Fondo EducativoPginas Web consultadas: http://www.xtec.es/centres/a8019411/caixa/movhar_es.htm http://perso.wanadoo.es/cpalacio/mas2.htm http://www.monografias.com/trabajos13/fiuni/fiuni.shtml http://perso.wanadoo.es/cpalacio/mcu2.htm http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/circular/oscila1.htm http://usuarios.lycos.es/pefeco/mas2/mas2.htm http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo

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