LABORATORIO

Objetivo: Crear y trabajar con sistemas digitales dentro del MATLAB y en su presentacin de resultados.

POLOS (P) Y CEROS (Z):

Sea la funcin de transferencia en el dominio de z:

Que acomodando es:

En MATLAB podemos hallar los polos:

>> den = [1 -0.25 -0.375];

>> roots(den)

ans=

ans =

0.7500

-0.5000

Al factorizar en fracciones parciales:

Trazamos polos y ceros:

>> z = [0]

z =

0

>> p=[0.75; -0.5]

p =

0.7500

-0.5000

>> figure, zplane(z,p)

Grfica

Aplicando la transformada inversa:

Ahora encontraremos la respuesta al impulso o transformada Z inversa de polinomio

basado en el mtodo de expansin de la serie mediante la funcin impz:

Coeficientes numerador y denominador de vectores fila:

>> num = [0 1 0]

num =

0 1 0

>> den = [1 -0.25 -0.375]

den =

1.0000 -0.2500 -0.3750

>> h = impz(num,den,10)

h =

0

1.0000

0.2500

0.4375

0.2031

0.2148

0.1299

0.1130

0.0770

0.0616

Nosotros tambin podemos usar MATLAB para hallar las fracciones parciales en base

a los coeficientes (residuos), los polos y trminos directos.

Donde, al expresarlo en fracciones parciales:

As que podemos armas estas fracciones parciales, con R: residuo, p = polo:

>> num = [0 1]

num =

0 1

>> den = [1 -0.25 -0.375]

den =

1.0000 -0.2500 -0.3750

>> [R,P,K] = residuez(num,den) R =

0.8000

-0.8000

P =

0.7500

-0.5000

K =

[]

En base a esto, podemos armas las fracciones parciales:

Ya en este paso, es fcil aplicar la transformada inversa y hallar x(n). Por ltimo, vamos a trazar la respuesta en frecuencia de un polinomio en particular usando freqz.

>> num = [0 1 0]

num =

0 1 0

>> den = [1 -0.25 -0.375]

den =

1.0000 -0.2500 -0.3750

>> figure, freqz(num, den, 512)

Obteniendo las grficas:

Hay que observar que hemos elegido como nmero a 512, como el nmero de puntos

a utilizar en la trama que va de 0 a pi. La funcin a usar es:

>> freqz(num,den,N)

Tambin podemos optar por:

>> [H,f] = freqz(num, den, N, Fs)

>> plot(f, abs(H))

Donde Fs es la frecuencia e muestreo. Se calculan valores entre 0 y Fs=n. Los datos de respuesta frente a frecuencia se almacenan en H.

>> num = [0 1 0]

num =

0 1 0

>> den = [1 -0.25 -0.375]

den =

1.0000 -0.2500 -0.3750

>> [H,f] = freqz(num,den,512,8000)

H = 2.6667

2.6654 - 0.0600i

2.6616 - 0.1198i

2.6553 - 0.1793i

2.6466 - 0.2383i

3.9531

3.9609

3.9688

3.9766

3.9844

3.9922

>> plot(f,abs(H))

Grfica:

HOMEWORK

1. Encontrar el parcial z-transformada inversa de la H(z) a travs de la

expansin de fraccin parcial de Matlab.

ROC: |z| >

2. Dibujar la trama de Polo-cero de X(z)

3. Dibujar la trama magnitud y fase de X(ejw)

Solucin.

1. Usamos la expansin de fraccin parcial de MATLAB para nuestra expresin:

>> num = [4 -7/4 1/4]

>> den = [1 -3/4 1/8]

>> [R,P,K] = residuez(num,den)

R =

3

-1

P =

0.5000

0.2500

K =

2

Con R, P, K podemos armar las fracciones parciales.

Recordemos que:

Que tambin es: Luego, tenemos:

( ) . .

Ahora podemos hallar la transformada inversa:

( ) ( . ) ( . ) ( ) ( )

2. Ahora trazamos la trama Polo-Cero de X(z):

Usaremos el siguiente algoritmo de MATLAB:

>> num = [4 -7/4 1/4]

>> den = [1 -3/4 1/8]

>> figure, zplane(num,den)

Grfica de polos-ceros

3. Por ltimo dibujamos la trama de magnitud y fase de X(z) o X(e^(jw)) Usamos el freqz(num,den,N):

>> num = [4 -7/4 1/4]

>> den = [1 -3/4 1/8]

>> figure, freqz(num, den, 512)

Fin de Laboratorio